PUNTE: 150
TYD: 3 uur
Hierdie vraestel bestaan uit 15 bladsye
VOORBEELD EKSAMENVRAESTEL
GRAAD 12
WISKUNDE VRAESTEL 2SEPTEMBER 2011
Wiskunde Vraestel 2 September 2011
INSTRUKSIES EN INLIGTING
Lees sorgvuldig deur die onderstaene instruksies voordat jy die vrae be-
antwoord:
1. Hierdie vraestel bestaan uit 9 vrae. BEANTWOORD AL DIE VRAE.
2. Toon duidelik ALLE bewerkings, diagramme, grafieke ens. Wat jy gebruik
het in die be-antwoording van die vrae.
3. ‘n Goedgekeurde, nie programmeerbare wetenskaplike sakrekenaar mag
gebruik word, tensy eners vermeld.
4. Indien nodig moet antwoorde tot TWEE desimale plekke afgerond word,
tensy eners vermeld.
5. Nommer antwoorde korrek volgens die nommerstelsel wat in die vraestel
gebruik word.
6. Diagramme is nie noodwendig volgens skaal geteken nie.
7. Dit is in jou eie belang om leesbaar te skryf en jou werk netjies aan te bied.
2
Wiskunde Vraestel 2 September 2011
VRAAG 1
Agt (8) leerders het ingeskryf vir ‘n opstelkompetisie. Hul opstelle is deur twee onafhanklike panele be-oordeel. Hul punte in persentasies uitgedruk, word hieronder aangegee.
Deelnemer 1 2 3 4 5 6 7 8
Paneel 1 90 35 60 15 95 25 5 45
Paneel 2 75 30 55 20 75 30 10 40
1.1 Stel hierdie inligting in ‘n spreigrafiek voor (4)
1.2 Trek ‘n beste paslyn om die verwantskap tussen die punte van die twee panele weer te gee.
(2)
1.3 ‘n Laat-inskrywing kry ‘n punt van 75% by Paneel 1. Skat die moontlike punt wat Paneel 2 mag toeken. Toon op jou spreigrafiek hoedat jy jou antwoord bepaal het. (2)
[8]
3
Wiskunde Vraestel 2 September 2011
VRAAG 2Die histogram hieronder toon huispryse (in miljoen rand) van ‘n steekproef van huise in ‘n sekere voorstad van Kaapstad
2.1
Voltooi die volgende frekwensieverspreing op die diagramvel wat voorsien is:
(6)
huispryse ……. ……. …………0≤ x≤ 0,5 ………. ……… 20,5 ≤ x≤ 1 10 0,75 ………..1 ≤ x ≤1,5 ………… ……….. 27,51,5≤ x ≤2 15 1,75 ………..2 ≤ x ≤2,5 ………. ………… 22,5
2,50≤ x ≤3 5 2,75 ………
2.2
Bereken vervolgensdie geskatte gemiddelde van huispryse in hierdie voorstad
(4)
[10]
4
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
PRYS IN MILJOEN RAND
30
25
20
15
10
Wiskunde Vraestel 2 September 2011
VRAAG 3
3 Die volgende persentasies vertoonwoordig die Wiskunde punte van 10 graad 12 leerders in die Junie eksamen.
43; 70; 55; 60; 85; 92; 65; 62; 75; 58
3.1 Bereken die gemiddelde persentasie vir hierdie groep van leerders (2)
3.2 Dink jy dat hierdie gemiddelde ‘n goeie aanduider is van die prestasie van al die graad 12 leerders aan hierdie skool? Verskaf ‘n rede vir jou antwoord. (2)
3.3 Gebruik ‘n sakrekenaar en bepaal die standaard afwyking van hierdie punte
(2)
3.4 Bepaal die persentasie van leerders wat binne een standaard afwyking vanaf die gemiddelde lê.
(2)
[8]
5
Wiskunde Vraestel 2 September 2011
VRAAG 4ABCD is a vierhoek met hoekpunte A(– 2 ; 2), B(6 ; 4), C en D(0 ; 0). is die inklinasiehoek van BD en is die inklinasiehoek van AD.
4.1 Bereken M die middelpunt van BD (2)
4.2 Indien M ook die middelpunt van AC is, bepaal die koördinatevan C.
(2)
4.3 Bepaal die vergelyking van die lyn DC (2)
4.4 Bepaal die grootte van A D̂ B (5)
4.5 Toon, deur middel van analitiese metodes dat AB = DC (4)
[15]
6
x
M
D(0 ; 0).
y
B(6 ; 4)
A(– 2 ; 2)
Wiskunde Vraestel 2 September 2011
VRAAG 5A( 5;5); B(-7;1) en C(1; -7) is punte op ‘n sirkel met middelpunt by die oorsprong
5.1 Bepaal die vergelyking van hierdie sirkel (3)
5.2 Toon analities dat die middelloodlyn van BC deur die middelpunt van hierdie sirkel gaan.
(5)
[8]
VRAAG 66.1 Gegee die sirkel: x2+ y2−6 x−2 y+1=0
6.1.1 Bepaal die koördinate van die middelpunt van die sirkel asook die lengte van die radius
6.1.2 Indien A(3 ; k) is ‘n punt op die sirkel is, bepaal die vergelyking van die raaklyn(e) aan die sirkel by die punt A.
(6)
(6)
6.2 ‘n Sirkel with middelpunt M(-5 ; 4) en radius 5 sny die x -as by A en B. Bepaal die lengte van AB
(6)
[18]
7
Wiskunde Vraestel 2 September 2011
VRAAG 77.1 In die diagram hieronder is, A(– 6; 4), B(4 ; 8), en C( 6 ; – 2) die
hoekpunte van ‘n driehoek.
7.1.1 ABC ondergaan die volgende transformasie na A' B' C':(x; y) (x + 2 ; – y).Skryf die koördinate A' neer
(2)
7.1.2 Indien AB = 2√29 , AC = 6√5 en BC = 2√26 , Bepaal die lengte van A' B'.
(2)
7.1.3 Thabo sê dat die transformasie in 7.1.1 ‘n rigiede transformasie is. Na watter eienskap van hierdie transformasie verwys hy?
(2)
7.2 Die reëls hieronder beskryf ‘n kombinasie van transformasies in die volgorde soos aangegee. Beskryf elke stap in hierdie kombinasie in woorde:
Stap 1: (x; y) (y; x)Stap 2: (y; x) (–y; – x)Stap 3: (–y; – x) (–3y; – 3x)
(6)
[12]
8
Wiskunde Vraestel 2 September 2011
VRAAG 8 Die hoekpunte van ABC in die Cartesiese vlak, is A(0 ; 4), B( – 4 ; 1) en C( – 2 ; –2).
ABC word vergroot deur die oorsprong met ‘n faktor 2, na A/B/C/ .A/B/C/ word dan om die oorsprong, kloksgewys geroteer deur 90 na A//B//C//.8.1 Skryf neer:
8.1.18.1.28.1.3
Die koördinate van B/
Die koördinate van A//
Die transformasie reël van ABC na A//B//C// indie vorm (x ; y) ...
(2)(2)(2)
8.2 Bepaal:8.2.18.2.2
Area A//B//C// : area A/B/C/
Area A/B/C/ : area ABC(1)(1)
8.3 ABC word geroteer deur 750 om die oorsprong in ‘nanti-kloksgewyse rigting na ΔPQR. Bereken die koördinatevan P, die beeld van A, korrek tot twee desimale plekke . (4)
9
Wiskunde Vraestel 2 September 2011
[12]VRAAG 99.1 Indien tanα=12
5,00<α<900
9.1.1 Bepaal sonder die bebruik van ‘n sakrekenaar, die waarde van sinα+cosα
9.1.2 Toon dat 13 sin (α+x )=5 sinx+12cosx
9.1.3 Bepaal vervolgens, die algemene oplossing van: 5 sinx+12cosx=7
(4)
(3)
(6)
[13]
VRAAG 1010.1 Vereenvoudig die volgende uitdrukking:
cos330 ° .sin 140 °sin (−160° ) . tan 405 ° . sin 290°
(9)
10.2 Beskou die volgende identiteit:1−2 sinA . cosA
sinA−cosA=sinA−cosA
10.21 Bewys die identiteit (3)
10.2.2
Vir watter waardes van Asal die identiteit nie geldig wees nie? (2)
[14]
10
Wiskunde Vraestel 2 September 2011
VRAAG 1111.1 Los op vir x indien sin 3x = cos(x+180°) waar x∈[-90°;90°]. (5)
11.2 Teken nou die grafieke van :
f(x) = sin 3x en g(x) = cos(x+180°) vir x∈[-90°;90°].
Toon duidelik alle draaipunte, afsnitte op die asse, asook die
snypunte van die twee grafieke. (7)
11.3 Skryf neer:
11.3.1 die periode van g
11.3.2 die amplitude van f
11.3.3 die waardeversameling van h indien h(x) = f(x) +1
(1)
(1)
(2)
11.4 Gebruik die oplossings in VRAAG 11.1, sowel as die grafieke om
die waardes(s) van x∈[-90°;90°] te bepaal waar:
11.4.1 beide f(x) en g(x) toeneem soos wat x toeneem. (2)
11.4.2 sin 3x < - cos x (3)
[19]
11
Wiskunde Vraestel 2 September 2011
VRAAG 12
12.1 An ESKOM werker staan op ‘n hoë hyskraan TB, langs ‘n nasionale
pad, 25 m bokant grondvlak. Hy sien twee motors K en L op die pad. Die
dieptehoek van T na motor L is 10°. Die hoogtehoek van motor K na
die top van die hyskraan, T is 17°. B, K en L lê in ‘n reguitlyn en lê op
dieselfde horisontale vlak as die basis van die hyskraan TB.
12.1.1
12.1.2
12.1.3
Bereken die grootte van .
Bereken die lengte van KT.
Bereken vervolgens die afstand tussen die twee motors.
(1)
(3)
(4)
12
2
1 2
1
25 m
K
10
17
L
T
B
Wiskunde Vraestel 2 September 2011
12.2 ‘n Passasiers straalvliegtuig, G, is 103 km vanaf die beheertoring by die
Kaapstad Internasionale lughawe, C, in ‘n kompasrigting 54° oos. Die
beheertoring gewaar ‘n ander passasierstraler wat bestem is vir
dieselfde aanloopbaan. Die tweede vliegtuig is 198 km vanaf die
beheertoring in ‘n kompasrigting, 5º suid van oos.
Die diagram hieronder is ‘n voorstelling van bogenoemde situasie.
12.2.1
12.2.2
Bereken die afstand (AG) tussen die twee vliegtuie korrek
tot die naaste kilometer.
Geen ander vliegtuig mag die lugruimte tussen hierdie twee
vliegtuie en die beheertoring, binnegaan nie. Bereken die
oppervlakte van hierdie lugruimte, d.w.s. die oppervlakte
van ΔCGA
(4)
(2)
[14]
TOTALE PUNTE 150
13
198 km
103 km
1
5
54
A
G
C
Wiskunde Vraestel 2 September 2011
INLIGTINGSBLAD
x=−b ±√b2−4ac2a
A=P (1+i )n A=P (1−i )n
A=P(1+¿) A=P(1−¿) ∑i=1
n
1=n
∑i=1
n
i=n (n+1)2
T n=a+ (n−1 ) d Sn=n2
¿
T n=a r n−1 Sn=a (rn−1)
r−1, r ≠ 1 Sn=
ar−1
,−1<r<1
F=x [(1+i )n−1]
iP=
x [1−(1+i )−n]i
f ' ( x )= limh→0
f ( x+h )−f (x)h
d=√(x¿¿1−x2)2+( y¿¿1− y2)
2 ¿¿ M (x1+x2
2;
y1+ y2
2) m=
y2− y1
x2−x1
y=mx+c y− y1=m(x−x1) m=tanθ
( x−a )2+ ( y−b )2=r2
In ΔABC:
asinA
= bsinB
= csinC a2=b2+c2−2b . c .cosA Area ΔABC ¿
12
a . b . sinC
sin ¿)=sinαcosβ+cosαsinβsin 2 α=2 sinαcosα
sin ¿)=sinαcosβ−cosαsinβ cos2α=cos2 α−sin2 α
¿1−sin 2α
¿2co s2 α−1
cos¿)=cosαcosβ−cosαcosβ
cos¿)=cosαcosβ+cosαcosβ
( x ; y )→(xcosθ− ysinθ ; ycosθ+xsinθ)
14
Wiskunde Vraestel 2 September 2011
DIAGRAM VELNAAM:…………………………………………VRAAG 1.1
0% 20% 40% 60% 80% 100%0%
20%
40%
60%
80%
100%
Panel 1
Pane
l 2
VRAAG 2.1Huispryse
…………….. …………………. ………………….
0≤ x≤ 0,5 ………. ……… 2
0,5 ≤ x≤ 1 10 0,75 ………..
1≤ x ≤1,5 ………… ……….. 27,5
1,5≤ x ≤2 15 1,75 ………..
2 ≤ x ≤2,5 ………. ………… 22,5
2,50 ≤ x ≤3 5 2,75 ………
15
Wiskunde Vraestel 2 September 2011
16