Wykład 6
Informatyka Stosowana
5 listopada 2018Magdalena Alama-Bucko
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 1 / 25
Definicja (Funkcja odwrotna)Niech f : X → Y bedzie róznowartosciowa na swojej dziedzinie.
Funkcja odwrotna do f nazywamy funkcje
f−1 : Y → X
taka, ze:
f−1(y) = x ⇔ y = f (x), dla x ∈ X , y ∈ Y .
Równowaznie dla dowolnych x ∈ X , y ∈ Y zachodza
(f f−1)(y) = y oraz (f−1 f )(x) = x .
Powyzsze zapisy mówia, ze złozenie funkcji odwrotnych jest odwzorowaniemidentycznosciowym, czyli takim ze Id(x) = x .
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 2 / 25
WłasnoscWykresy funkcji odwrotnych sa symetryczne wzgledem prostej y = x .
WłasnoscJezeli funkcja f jest rosnaca, to f−1 tez jest rosnaca.Jezeli funkcja f jest malejaca, to f−1 tez jest malejaca.
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 3 / 25
Przykład 2 Funkcje y = loga x i y = ax (dla ustalonego a > 0) sa do siebieodwrotne
Przykłady par funkcji odwrotnychxk ↔ k
√x (k -nieparzyste)
loga x ↔ ax
sin x ↔ arc sin xcos x ↔ arc cos xtg x ↔ arc tg xctg x ↔ arc ctg xax+bcx+d ↔
ex+fgx+h
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 4 / 25
Funkcje cyklometryczne
Funkcje cyklometryczne to funkcje odwrotne do funkcjitrygonometrycznych.
poniewaz funkcje trygonometryczne nie sa róznowartosciowe, dokonstrukcji funkcji arcus nalezy wybrac taki wycinek wykresu, na którymdana funkcja jest róznowartosciowa i przyjmuje wszystkie mozliwewartosci danej funkcji
arcus sinus x (arc sin x) jest funkcja odwrotna do funkcji sin x ,ograniczonej do przedziału [−π
2 ,π2 ].
arcus cosinus x (arc cos x) ..... cos x ograniczonej do przedziału [0, π].
arcus tangens x (arc tg x) ..... tg x ograniczonej do przedziału (−π2 ,
π2 ).
arcus cotangens x (arc ctg x) ..... ctg x ograniczonej do przedziału (0, π).
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 5 / 25
arc sin x : [−1,1]→ [−π2 ,
π2 ]
Dla x ∈ [−1,1] oraz y ∈ [−π2 ,
π2 ]
y = arc sin x ⇔ x = sin y
kat x −π2 −π
3 −π4 −π
6 0 π6
π4
π3
π2
sin x −1 −√
32 −
√2
2 − 12 0 1
2
√2
2
√3
2 1
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 6 / 25
arc sin x =?
W powyzszym zapisie x oznacza wartosc funkcji sinus.
Pytamy : dla jakiego kata sinus taka wartosc przyjmuje?
kat −π2 −π
3 −π4 −π
6 0 π6
π4
π3
π2
sin x −1 −√
32 −
√2
2 − 12 0 1
2
√2
2
√3
2 1
arc sin 12 = π
6 bo sin π6 = 1
2
arc sin(−√
32 ) = −π
3 bo sin(−π3 ) = −
√3
2
arc sin 1 = π2 bo sin π
2 = 1
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 7 / 25
arc cos x : [−1,1]→ [0, π]
Dla x ∈ [−1,1] oraz y ∈ [0, π]
y = arc cos x ⇔ x = cos y
kat x 0 π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6 π
cos x 1√
32
√2
212 0 − 1
2 −√
22 −
√3
2 −1
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 8 / 25
arc cos x =?
W powyzszym zapisie x oznacza wartosc funkcji cosinus.
Pytamy : dla jakiego kata cosinus taka wartosc przyjmuje?
kat x 0 π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6 π
cos x 1√
32
√2
212 0 − 1
2 −√
22 −
√3
2 −1
Przykłady:
arc cos 12 = π
3 bo cos π3 = 1
2
arc cos(−√
32 ) = 5π
6 bo cos 5π6 = −
√3
2
arc cos 1 = 0 bo cos 0 = 1
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 9 / 25
arc tg x : R→ (−π2 ,
π2 )
Dla x ∈ R oraz y ∈ (−π2 ,
π2 )
y = arc tg x ⇔ x = tg y
kat (−π2 )+ −π
3 −π4 −π
6 0 π6
π4
π3 (π
2 )−
tg x −∞ −√
3 −1 −√
33 0
√3
3 1√
3 ∞
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 10 / 25
arc tg x =?
W powyzszym zapisie x oznacza wartosc funkcji tangens.
Pytamy : dla jakiego kata tangens taka wartosc przyjmuje?
kat (−π2 )+ −π
3 −π4 −π
6 0 π6
π4
π3 (π
2 )−
tg x −∞ −√
3 −1 −√
33 0
√3
3 1√
3 ∞
Przykłady:
arc tg√
33 = π
6 bo tg(π6 ) =
√3
3
arc tg(−√
3) = −π3 bo tg(−π
3 ) = −√
3
arc tg 1 = π4 bo tg(π
4 ) = 1
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 11 / 25
arc ctg x : R→ (0, π)
Dla x ∈ R oraz y ∈ (0, π)
y = arc ctg x ⇔ x = ctg y
kat x 0+ π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6 (π)−
ctg x ∞√
3 1√
33 0 −
√3
3 −1 −√
3 −∞
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 12 / 25
arc ctg x =?
x oznacza tu wartosc funkcji ctg.
Pytamy : dla jakiego kata cotangens taka wartosc przyjmuje?
kat x 0+ π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6 (π)−
ctg x ∞√
3 1√
33 0 −
√3
3 −1 −√
3 −∞
Przykłady:
arc ctg√
33 = π
3 bo ctg(π3 ) =
√3
3
arc ctg(−1) = 3π4 bo ctg( 3π
4 ) = −1
arc ctg 1 = π4 bo ctg π
4 = 1
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 13 / 25
Schemat wyznaczania funkcji odwrotnej do y = f (x):1 Badamy róznowartosciowosc f (x)
2 Zamieniamy miejscami x i y (x ↔ y ) , a nastepnie ze wzoru x = f (y)wyznaczamy y = g(x). Otrzymana funkcja g jest szukana f−1.
W celu sprawdzenia mozna policzyc f (f−1(x)) oraz f−1(f (x)). W obuprzypadkach powinno wyjsc x .
Zadanie 1 Wyznaczyc funkcje odwrotna (o ile istnieje) do funkcji:
a) f (x) = 12x + 2x ;
b) f (x) = 5 3√
x − 2;
c) f (x) = 3x−12x+1 ;
c’) f (x) =3e5x − 12e5x + 1
;
d) f (x) = 3 ln(x5 − 1) + 2.
Dokonac odpowiednich sprawdzen.
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 14 / 25
Zbiory
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 15 / 25
Oznaczenia:
A,B,C, .... - Zbiory (oznaczane wielka litera)
a,b, c, ... - elementy zbioru (oznaczane mała litera)
a ∈ A czytamy: element a nalezy do zbioru A
a /∈ A czytamy: element a nie nalezy do zbioru A
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 16 / 25
DefinicjaZbiór, którego wszystkimi elementami sa a1,a2, . . . ,an nazywamy zbioremskonczonym i oznaczamy
a1,a2, . . . ,an
DefinicjaLiczebnoscia zbioru A (inaczej moca zbioru) nazywamy liczbe elementównalezacych do zbioru A i oznaczamy |A|.
Zbiór, którego moc jest okreslona przez pewna liczbe naturalna nazywamyzbiorem skonczonym.
Przykład A = 1,√
3,8, to |A| = 3.
DefinicjaZbiór, który nie zawiera zadnego elementu nazywamy zbiorem pustym ioznaczamy symbolem ∅
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 17 / 25
DefinicjaMówimy, ze zbiór A jest podzbiorem zbioru B, czyli A ⊂ B, gdy kazdyelement zbioru A jest równoczesnie elementem zbioru B, zatem
A ⊂ B ⇔(
x ∈ A⇒ x ∈ B).
Stad w przypadku, gdy A ⊂ B, w zbiorze B moga byc elementy, które nienaleza do zbioru A.
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 18 / 25
DefinicjaZbiory nazywamy rozłacznymi, gdy nie maja zadnego elementu wspólnego.
Przykład1,3,5 ∩ 2,4 = ∅
1,3,5 ∩ 1,2 = 1.
DefinicjaZbiory nazywamy równymi, gdy składaja sie z tych samych elementów.
WłasnoscJezeli A ⊂ B i B ⊂ A, to A = B.
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 19 / 25
Definicja (Działania na zbiorach)- Suma zbiorów A i B (ozn. A ∪ B) to zbiór punktów, które naleza do
zbioru A albo naleza do zbioru B, czyli
A ∪ B = x : x ∈ A ∨ x ∈ B;
- Iloczyn (czesc wspólna) zbiorów A i B (ozn. A ∩ B), to zbiór punktów,które naleza równoczesnie do zbioru A i do zbioru B, czyli
A ∩ B = x : x ∈ A ∧ x ∈ B;
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 20 / 25
Definicja (Działania na zbiorach)- Róznica zbiorów A i B (ozn. A \ B) to zbiór punktów, które naleza do
zbioru A, ale nie naleza do zbioru B, czyli
A \ B = x : x ∈ A ∧ x /∈ B = x : x ∈ A ∧ ∼ x ∈ B,
- Dopełnienie zbioru A (ozn. A′) to zbiór punktów, które nie naleza dozbioru A, tzn.
A′ = x : x ∈ Ω ∧ x /∈ A = x : x /∈ A = x : ∼ x ∈ A.
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 21 / 25
WłasnoscDla dowolnych zbiorów A,B,C zachodza własnosci:
a) A ∪ B = B ∪ A, A ∪ ∅ = A, A ∪ A′
= Ω
b) A ∩ B = B ∩ A A ∩ ∅ = ∅, A ∩ A′
= ∅c) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
d) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
e) prawa de Morgana dla zbiorów
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′, (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
oraz wiele innych, np.
f) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
g) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)
Zadanie Sprawdzic, czy dla dowolnych zbiorów A,B,C prawdziwe sarównosci:
a) (A ∪ B ∪ C) \ (A ∪ B) = Cb) A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 22 / 25
Pokazemy, własnosc c) , tzn.
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
x ∈ L⇔ x ∈ (A ∪ B) ∩ C
⇔ x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ C ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x ∈ C
(p ∨ q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)
⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ C) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C) ⇔ x ∈ A ∩ C ∨ x ∈ B ∩ C
⇔ x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⇔ x ∈ P
gdzie L i P oznaczaja lewa i prawa strone udowadnianej tozsamosci.
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 23 / 25
Zadanie b) Sprawdzimy, czy dla dowolnych zbiorów zachodzi
A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C
Niech L i P oznaczaja lewa i prawa strone powyzszego wyrazenia.x ∈ L ⇔ x ∈ A \ (B ∪ C)
⇔ x ∈ A ∧ ∼ x ∈ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A ∧ ∼ (x ∈ B ∨ x ∈ C)
∼ (p ∨ q)⇔ (∼ p) ∧ (∼ q)
⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C
x ∈ P ⇔ x ∈ (A \ B) \ C
⇔ x ∈ (A \ B) ∧ x /∈ C ⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C
Zatem wyrazenie jest prawdziwe dla dowolnych zbiorów A,B,C, bo x ∈ Li x ∈ P maja taka sama postac:
x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C.
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 24 / 25
Dziekuje za uwage !
Informatyka Stosowana Wykład 6 5.11.2018, M.A-B 25 / 25