Politechnika Opolska | Opole University of Technology | www.po.opole.pl
Wydział Inżynierii Produkcji i Logistyki | Faculty of Production Engineering and Logistics | www.wipil.po.opole.pl
Wykłady z fizyki
FIZYKA II dr Barbara Klimesz
POLITECHNIKA OPOLSKA
WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I LOGISTYKI
Instytut Matematyki i Fizyki
Katedra Fizyki
SPRAWY ORGANIZACYJNE Warunki ogólne zaliczenia zajęć (RSPO):
1) warunkiem przystąpienia studenta do zaliczenia zajęć i
egzaminu jest figurowanie jego nazwiska na protokołach
zaliczeniowych i egzaminacyjnych oraz posiadanie dokumentu
potwierdzającego tożsamość (§18 pkt.1 RSPO);
2) zaliczenie przedmiotu nieobjętego egzaminem dokonywane jest
na podstawie zaliczenia wszystkich form zajęć prowadzonych
w ramach tego przedmiotu (§19 pkt.2 RSPO);
3) zaliczenie zajęć dydaktycznych dokonywane jest na podstawie
weryfikacji efektów uczenia się w formie: prac kontrolnych,
sprawdzianów, projektów, referatów oraz innych form
sprawdzania wiedzy, umiejętności i kompetencji społecznych
studentów, a także obecności na zajęciach, za wyjątkiem
wykładów (§19 pkt.4 RSPO).
ocena słowna skrót zapis liczbowy
bardzo dobry bdb 5,0
dobry plus db plus 4,5
dobry db 4,0
dostateczny plus dst plus 3,5
dostateczny dst 3,0
niedostateczny nd 2,0
SPRAWY ORGANIZACYJNE Formalnym potwierdzeniem zaliczenia poszczególnych
form zajęć jest wpis oceny do protokołu elektronicznego, z zastosowaniem poniższej skali ocen (§19 pkt.6 RSPO):
Zaliczenie wykładu:
1) zaliczenia niższych form zajęć dydaktycznych oraz
wykładów nieobjętych egzaminem dokonują
prowadzący te zajęcia, przed rozpoczęciem sesji egzaminacyjnej (§19 pkt.3 RSPO), tj. przed 16 czerwca
2020 r. (sem. letni roku akademickiego 2019/2020)
2) kolokwium zaliczeniowe w formie pisemnej:
14.06.2020 r. (niedziela ) , s. Oz.207-208
Materiały dydaktyczne dotyczące wykładów:
http://www.b.klimesz.po.opole.pl/...
SPRAWY ORGANIZACYJNE
EFEKTY KSZTAŁCENIA
(WIEDZA)
student ma podstawową wiedzę w zakresie fizyki,
obejmującą fizykę atomową, w tym wiedzę niezbędną do
zrozumienia fizycznych podstaw kluczowych zagadnień
z zakresu studiowanego kierunku studiów (w, l ) ;
student ma elementarną wiedzę na temat planowania i
wykonywania eksperymentów fizycznych, zna i rozumie
metody pomiaru podstawowych wielkości fizycznych
oraz szacowania niepewności pomiarowych (l ) .
EFEKTY KSZTAŁCENIA
(UMIEJĘTNOŚCI)
student potrafi pozyskiwać informacje z literatury i innych źródeł,
integrować uzyskane informacje, dokonywać ich interpretacji, a
także wyciągać wnioski oraz formułować i uzasadniać opinie (w, l ) ;
student potrafi zaplanować i przeprowadzić eksperymenty fizyczne,
opracować i interpretować uzyskane wyniki, wyciągać i formułować
właściwe wnioski, uzasadniać opinie oraz opracować dane w postaci
zwięzłego sprawozdania (l ) ;
student potrafi pracować indywidualnie i w zespole, stosować
zasady bezpieczeństwa i higieny pracy oraz oszacować czas
potrzebny na realizację zleconego zadania zapewniający
dotrzymanie terminów ( l ) .
EFEKTY KSZTAŁCENIA
(KOMPETENCJE SPOŁECZNE)
student ma świadomość odpowiedzialności za pracę
własną oraz gotowość podporządkowania się zasadom
pracy w zespole i ponoszenia odpowiedzialności za
wspólnie realizowane zadania ( l ) ;
student ma świadomość ważności przestrzegania zasad
etyki zawodowej i społecznej, poszanowania
różnorodności poglądów oraz jest świadom ważności
postępowania zgodnego z duchem profesjonalizmu ( l ) .
ZALECANA LITERATURA R. Resnick, D. Halliday: FIZYKA (tom 1 i 2), PWN
Warszawa;
J. Massalski, M. Massalska: FIZYKA DLA INŻYNIERÓW
(część 1 i 2), WNT Warszawa;
J. Orear: FIZYKA (tom 1 i 2), WNT Warszawa;
Cz. Bobrowski: FIZYKA - KRÓTKI KURS, WNT
Warszawa;
M. Skorko: FIZYKA, PWN Warszawa;
A. Sukiennicki, A. Zagórski: FIZYKA CIAŁA STAŁEGO,
WNT Warszawa;
B. N. Buszmanow, J. A. Chromow: FIZYKA CIAŁA
STAŁEGO, WNT Warszawa.
Fale elektromagnetyczne. Promieniowanie widzialne.
Dyspersja, interferencja i polaryzacja światła.
Holografia. Źródła światła.
Światło a zjawiska kwantowo - optyczne.
Pole elektryczne i magnetyczne. - ruch cząstek
naładowanych, wykorzystanie w nauce i technice.
Dualizm korpuskularno - falowy światła.
Budowa atomu, liczby kwantowe, zakaz Pauliego.
Układ okresowy pierwiastków, promieniowanie RTG.
Lasery. Podstawy krystalografii, defekty struktury.
TEMATYKA WYKŁADÓW
RACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU W roku 1995 Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO) w
porozumieniu z szeregiem światowych organizacji
naukowo - technicznych uzgodniła międzynarodowe normy dotyczące
terminologii i sposobu określenia niepewności pomiarowych („Guide to
Expression of Uncertainty in Measurement”, International Organization
for Standarization (ISO), Geneva 1995):
a) rozróżnienie niepewności pomiarowych od błędów pomiarowych;
b)przyjęcie jako miary niepewności „niepewności standardowej”, która
odpowiada odchyleniu standardowemu w rozkładzie normalnym;
c) rozróżnienie oceny niepewności wyników pomiarowych opartych ściśle
na rozkładzie normalnym (metody typu A) od innych metod oceny
(metody typu B);
d) inna klasyfikacja błędów w pomiarach;
e) rozróżnienie pomiarów nieskorelowanych i skorelowanych w pomiarach
złożonych;
f) wprowadzenie nowej wielkości: „niepewności rozszerzonej”;
g)określenie sposobu zapisu wyników pomiarowych i ich niepewności.
EKSPERYMENT FIZYCZNY Pomiary fizyczne są dokonywane tylko ze skończoną dokładnością.
Im doskonalsze jest doświadczenie, tym mniejsze są niepewności
pomiarowe.
Rozbieżności pomiędzy teorią a eksperymentem zależą od:
a) niedoskonałość przyrządów pomiarowych;
b)niedoskonałości eksperymentatora (nieprecyzyjność zmysłów osoby
dokonującej pomiaru);
c) niedoskonałości obiektów mierzonych;
Każdą mierzalną własność zjawiska lub substancji nazywamy wielkością
fizyczną.
Zbiór wielkości fizycznych występujących w danej dziedzinie wiedzy
nazywamy układem wielkości:
a) wielkości podstawowe - umownie przyjęte wielkości wyrażające prawa
przyrody i definiujące inne wielkości fizyczne danego układu (nie mogą
być określone za pomocą równań definicyjnych);
b) wielkości pochodne - wielkości definiowane za pomocą wielkości
podstawowych.
EKSPERYMENT FIZYCZNY (c.d.) Pomiar wielkości fizycznej polega na wyznaczeniu liczbowego stosunku
danej wielkości do wielkości tego samego rodzaju, przyjętej za jednostkę:
a) pomiar bezpośredni (np. t, l, m, I, itp.…),
b)pomiar pośredni (np. R, T, g, itp.…).
W fizyce istnieje kilka układów jednostek różniących się wyborem
wielkości podstawowych i ich jednostek (CGS, CGEES, CGSEM, układ
Gaussa - mieszany).
Od lat sześćdziesiątych zaleca się powszechne i ustawowe stosowanie
układu jednostek SI (System International d’Unites):
a) jednostki podstawowe (7),
b) jednostki uzupełniające (2).
Oprócz jednostek podstawowych i pochodnych można używać jednostek
wtórnych, które są ich wielokrotnościami lub podwielokrotnościami.
Jednostki wtórne wyraża się przez dodanie do nazwy jednostki
podstawowej odpowiedniego przedrostka, co jest równoważne
pomnożeniu jednostki przez czynnik równy pewnej potędze liczby 10.
UKŁAD JEDNOSTEK SI Lp. nazwa jednostka wielkość fizyczna
1. metr m długość
2. kilogram kg masa
3. sekunda s czas
4. amper A natężenie prądu elektrycznego
5. kelwin K temperatura
6. kandela cd natężenie światła
7. mol mol ilość materii
8. radian rad kąt płaski
9. steradian sr kąt bryłowy
JEDNOSTKI WTÓRNE przedrostek oznaczenie mnożnik
eksa E 1018
penta P 1015
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
kilo k 103
hekto h 102
deka da 101
- - 100
decy d 10-1
centy c 10-2
mili m 10-3
mikro μ 10-6
nano n 10-9
piko p 10-12
femto f 10-15
atto a 10-18
PODSTAWOWE POJĘCIA Każda wielkość fizyczna jest wielkością rzeczywistą, tzn. posiada wartość
rzeczywistą zwaną wartością prawdziwą.
Niepewność pomiaru jest związanym z wynikiem pomiaru parametrem,
charakteryzującym rozrzut wartości wyników pomiarów, które można w
uzasadniony sposób przypisać wartości mierzonej.
Niepewność występująca w pomiarze naukowym oznacza niemożliwy do
uniknięcia czynnik nierozerwalnie związany z istotą samego pomiaru.
Rachunek niepewności jest nieodłącznym składnikiem opracowania
danych pomiarowych, którego zadaniem jest choćby przybliżone
oszacowanie rozrzutu wyników pomiarów.
„Niepewność” a błąd pomiaru:
a) błąd pomiaru (błąd bezwzględny pomiaru) - liczba losowa, której
wartości przewidzieć się nie da (różnica między wynikiem pomiaru xi a
wartością „umownie” prawdziwą x0)
b)niepewność standardowa - miara dokładności pomiaru, czyli
oszacowanie odchylenia standardowego (ozn. u, u(x), u(stężenie NaCl)).
0ii xx)(x
PODSTAWOWE POJĘCIA (c.d.) Rozróżniamy:
a) błędy przypadkowe - rozłożone statystycznie i rozumiane jako różnica
między danym wynikiem pomiaru a średnią z nieskończonej ich liczby;
b)błędy grube - dające się eliminować (łatwo zauważalne), powstają
wskutek fałszywego odczytu przyrządu lub ewidentnej pomyłki
mierzącego;
c) błędy systematyczne - wynikające z wadliwego działania przyrządu
pomiarowego lub źle zaprojektowanego doświadczenia, możliwe do
skorygowania (stała, co do znaku, różnica między wartościami
zmierzonymi a wartością prawdziwą).
Wymiar niepewności standardowej u(x) jest taki sam jak wymiar
wielkości mierzonej, zaś wymagany przed symbolem niepewności znak ±
mieści się w jej definicji i dlatego jest pomijany w zapisie.
Niepewność standardowa względna, czyli iloraz niepewności
standardowej i wielkości mierzonej jest wielkością bezwymiarową, często
wyrażaną w procentach: 100%
x
u(x)(x)[%]ur
NIEPEWNOŚĆ POMIARU Istnieje wiele źródeł niepewności pomiaru:
a) niepełna definicja wielkości mierzonej (określenie danej wielkości
fizycznej ulega zmianie wraz z rozwojem nauki);
b) fakt, że przyrząd, miernik, wzorzec nie jest idealną realizacją definicji
wielkości fizycznej (np. ściśle związany z prędkością światła w próżni
wzorzec czasu, którego wartość wielokrotnie zmieniano na skutek
rozwoju coraz dokładniejszych metod pomiarowych);
c) niereprezentatywność serii wyników pomiarów (np. zbyt mała liczba);
d)niedokładna znajomość czynników zewnętrznych mających wpływ na
pomiar (np. dryft temperatury, niestabilne zasilanie);
e) błędy obserwatora podczas odczytów wskazań przyrządów;
f) skończona zdolność rozdzielcza przyrządów stosowanych w pomiarach;
g)niedokładność stosowanych wzorców i materiałów odniesienia;
h)niedokładne wartości stałych lub parametrów pochodzących z innych
źródeł;
i) przybliżenia upraszczające przyjęte w procedurze pomiarowej;
j) zmiany kolejnych wyników pomiarów wielkości mierzonej w pozornie
identycznych warunkach.
OCENA NIEPEWNOŚCI
POMIARÓW Metoda typu A:
• opiera się na statystycznej analizie serii pomiarów bezpośrednich (np.
rozkład prawdopodobieństwa Gaussa);
• wymaga odpowiednio dużej liczby powtórzeń pomiaru (warunki
pomiaru lub mierzony obiekt mogą ulegać zmianom podczas trwania
eksperymentu);
• ma zastosowanie głównie do błędów przypadkowych.
Metoda typu B:
• opiera się na naukowym osądzie eksperymentatora wykorzystującym
wszystkie informacje o pomiarze i źródłach jego niepewności (rozkład
prawdopodobieństwa przyjętego przez obserwatora);
• stosuje się gdy statystyczna analiza nie jest możliwa (dostępny jest tylko
jeden wynik pomiaru lub seria wyników nie wykazuje rozrzutu);
• ma zastosowanie głównie do błędu systematycznego.
METODA TYPU A W metodzie typu A dobrym oszacowaniem (estymatorem) wartości
„umownie” prawdziwej x0 (w rzeczywistości nie znamy prawdziwej
wartości mierzonej) serii pomiarów x1, x2, ..., xn (gdzie n jest liczbą
pomiarów) jest średnia arytmetyczna:
* teoretycznie, jeżeli metoda pomiarowa pozbawiona jest wpływów błędów
systematycznych dla n→∞ średnia arytmetyczna staje się wartością prawdziwą;
Wartość eksperymentalnego odchylenia standardowego (dla pojedynczego
pomiaru) charakteryzującego rozrzut wyników serii n pomiarów tej samej
wielkości mierzonej:
Niepewność standardowa wyniku (odchylenie standardowe
eksperymentalne średniej arytmetycznej):
* dokładność 20-30% (5-10 pomiarów)
nxxn
1i
i
1n)x(x)s(xn
1i
2
ii
1)n(n)x(xn)s(x)x(un
1i
2
iiA
x
f(x)
ROZKŁAD NORMALNY GAUSSA
Rozkład ten określa funkcja gęstości
prawdopodobieństwa f(x):
(wartość oczekiwana)
(odchylenie standardowe)
Jeżeli wyniki serii pomiarów są otrzymane w sposób niezależny i w
warunkach zapewniających taką samą dokładność pomiaru, a także jeżeli
liczba pomiarów staje się znacząco duża (w praktyce wystarcza n 20-30)
to zmienna losowa jaką jest wynik pomiaru x podlega tzw. rozkładowi
normalnemu (Gaussa).
2
2
2σ
μ)(x
e2πσ
1f(x)
n
n
)xu(
x
* Prawdopodobieństwo uzyskania wyników:
• w przedziale ( ) → ok. 68,27 % ( 68,3 );
• w przedziale ( ) → ok. 95,45 %;
• w przedziale ( ) → ok. 99,73 %;
• poza przedziałem ( ) → jest nieistotne (mniejsze od 0,3 %).
PRZYKŁAD 1
6,360(58)x
0,058109
0,304
1)-n(n
)x(x
)x(u
n
1i
2
i
A
W wyniku przeprowadzenia serii niezależnych pomiarów pewnej
wielkości fizycznej xi otrzymano następujące wyniki: x1 = 6,2 , x2 = 6,4 ,
x3 = 6,0 , x4 = 6,4 , x5 = 6,6 , x6 = 6,4 , x7 = 6,2 , x8 = 6,6 , x9 = 6,4 ,
x10 = 6,4 i x11 = 4,6. Podaj najlepsze przybliżenia wykonanego pomiaru i
jego niepewność standardową.
Za wynik pomiaru przyjmujemy wartość liczbową estymatora wartości
oczekiwanej, czyli wartość średniej arytmetycznej wyników ( ), a
niepewność standardową liczymy następująco:
* Decyzja, gdzie wyznaczyć granice
„absurdalnego nieprawdopodobieństwa”
(odrzucenia danych pomiarowych) zależy
od eksperymentatora.
6,36x
i xi
1 6,2 -0,16 0,0256
2 6,4 0,04 0,0016
3 6,0 -0,36 0,1296
4 6,4 0,04 0,0016
5 6,6 0,24 0,0576
6 6,4 0,04 0,0016
7 6,2 -0,16 0,0256
8 6,6 0,24 0,0576
9 6,4 0,04 0,0016
10 6,4 0,04 0,0016
xxi 2
i)x(x
10
1i
2
i)x(x 0,304
10
1ii
x 3,66
METODA STUDENTA
x
Do określenia niepewności małej liczby pomiarów tzw. próbki losowej
(np. n < 5) stosujemy metodę studenta.
Obliczamy wartość średnią , eksperymentalne odchylenie standardowe
s(xi) oraz odchylenie standardowe eksperymentalne średniej arytmetycznej
i określamy na ile należy rozszerzyć przedział u(x), aby
prawdopodobieństwo znalezienia wartości rzeczywistej w rozszerzonym
przedziale było równe prawdopodobieństwu znalezienia wartości
rzeczywistej w przedziale określonym dla bardzo dużej liczby pomiarów.
)]xu(α)t(n,x[
t (n, α) - współczynnik studenta,
n - liczba pomiarów,
α - postulowany poziom ufności.
)xu(
n = 0,5 = 0,68 = 0,95 = 0,99
2 1,00 2,0 12,7 636,6
3 0,82 1,3 4,3 31,6
4 0,77 1,3 3,2 12,9
5 0,74 1,2 2,8 8,6
10 0,70 1,1 2,3 4,8
120 0,68 1,0 2,0 3,3
0,674 1,036 1,960 3,291
METODA TYPU B Najważniejszym zadaniem oceny typu B jest określenie niepewności
wynikających ze skończonej dokładności przyrządów pomiarowych
wśród, których możemy wyróżnić dwie grupy:
a) przyrządy proste (różnego rodzaju przymiary, suwmiarki, śruby
mikrometryczne, klasyczne stopery, termometry, wagi szalkowe oraz
wskazówkowe mierniki wielkości elektrycznych) - niepewność
wzorcowania dx (bliżej niesprecyzowana „dokładność”) stosowanego
przyrządu jest równa wartości jego działki elementarnej;
* zwiększenie lub zmniejszenie wartość niepewności wzorcowania poza wartość
najmniejszej działki (np. ½, ¼ lub jej wielokrotność) zależy wyłącznie od intuicji
eksperymentatora
(klasa dokładności miernika analogowego)
b)elektroniczne mierniki cyfrowe (np. mierniki elektryczne, wagi
elektroniczne, stopery) - podawana z reguły przez producenta
rzeczywista niepewność pomiaru jest nieco większa niż odpowiadająca
zmianie ostatniej cyfry wartość „najmniejszej działki”
21d CxCxΔ
100
zakresklasaxΔd
C1 - ułamek wielkości mierzonej (klasa miernika, knp.r.= 3); C2 - ułamek zakresu.
METODA TYPU B (c.d.) Znając wartość niepewności wzorcowania dx możemy wyznaczyć
niepewność standardową u(x) wielkości mierzonej bezpośrednio metodą
typu B: (jednostajny rozkład prostokątny)
(symetryczny rozkład trójkątny)
Drugim przyczynkiem niepewności pomiarów nie wykazujących rozrzutu
jest niepewność eksperymentatora ex spowodowana przyczynami
znanymi eksperymentatorowi i od niego niezależnymi (np. refleks,
podzielność uwagi, zdolność do koncentracji czy mentalność).
W celu określenia tej niepewności ex eksperymentator musi skorzystać
ze swojego doświadczenia i wiedzy, a wynikającą stąd niepewność
standardową wyznaczyć z wzoru:
Niepewnościami obarczone są również wyniki zaczerpnięte z literatury
tx (wartość prędkości dźwięku, prędkość światła, gęstość materiału, itp.):
6xΔ(x)u
xΔ0,583
xΔ(x)u
dB
dd
B
3xΔ(x)u eB
3xΔ(x)u tB
METODA TYPU B (c.d.) Jeżeli występują wszystkie wcześniej opisane niepewności razem, to
niepewność standardowa dana jest wzorem:
PRZYKŁAD 2 Woltomierzem wskazówkowym o zakresie pomiarowym z = 100 V zmierzono
napięcie U = 80 V. Wiedząc, że skala przyrządu posiada 100 działek, oblicz
niepewność standardową pomiaru uwzględniając niepewność eksperymentatora.
3
x)(Δx)(Δx)(Δ(x)u
2
t
2
e
2
dB
V0,653
1,25
3
0,51
3
U)(ΔU)(Δ(x)u
V0,5dz100
V100
2
1UΔi1VUΔ
222
e
2
dB
ed
METODY TYPU A i B Jeżeli występują obydwa typy niepewności A i B równocześnie, to należy
posłużyć się wzorem na niepewność standardową całkowitą:
PRZYKŁAD 3 Sekundomierzem o działce elementarnej równej 0,2 s zmierzono 5-krotnie czas
trwania pewnego zjawiska otrzymując następujące wyniki: t1 = 24,8 s, t2 = 25,0 s,
t3 = 25,2 s, t4 = 25,2 s, t5 = 25,4 s. Eksperymentator ocenił niepewność systematyczną
związaną z wyborem chwil włączenia i wyłączenia stopera na 0,4 s oraz dokładność
odczytu ze skali 0,2 s. Podaj najlepsze przybliżenie wyniku pomiaru i określ jego
niepewność.
(średnia arytmetyczna)
(odchylenie standardowe typu A)
3
x)(Δ
3
x)(Δ
3
x)(Δ
1)-n(n
)x(x
(x)u(x)u(x)u2
t
2
e
2
d
n
1i
2
i2
B
2
Ac
0,10s)t(t45
1)t(u
25,12s5tt
25
1iiA
5
1ii
25,12(37)st
0,37s(0,36)(0,10))t(u)t(u)t(u
0,36s3
0,2)(0,4(0,2)
3
t)Δt(Δt)(Δ)t(u
0,2stΔ
0,4stΔ
0,2stΔ
222
A
2
Ac
222
2e1e
2
dB
2e
1e
d
(niepewności typu B)
Odchylenie standardowe typu B:
Niepewność standardowa całkowita:
Ostateczny wynik pomiaru:
METODY TYPU A i B (c.d.)
Jeżeli y jest wielkością mierzoną pośrednio i zależy od k wielkości x
mierzonych bezpośrednio, to złożoną niepewność standardową uc(y)
wyznaczonej wielkości y = f(xk) lub y = f(x1, x2, x3,…, xk) obliczamy na
podstawie prawa przenoszenia (propagacji) niepewności.
Bardzo ważnym jest jednak w tym przypadku, rozróżnienie czy wielkości
były zmierzone bezpośrednio w pomiarach nieskorelowanych czy też w
pomiarach skorelowanych:
a) pomiary pośrednie nieskorelowane - każdą z wielkości {xk} mierzymy
niezależnie za pomocą innego przyrządu (każdą z wielkości możemy
mierzyć w innym czasie i przy zmianie istotnych czynników, ale
zachowując warunki odtwarzalności pomiarów);
b)pomiary pośrednie skorelowane - pomiar polega na odczytaniu wartości
wszystkich wielkości {xk} w tych samych warunkach, bez wprowadzenia
jakichkolwiek zmian w układzie pomiarowym i w tym samym czasie (w
warunkach gwarantujących powtarzalność wyników).
W przypadku pomiarów skorelowanych, dodatkowo możemy
przeprowadzić obliczenia ścisłe lub uproszczone.
PRAWO PRZENOSZENIA NIEPEWNOŚCI
))u(x(xuxx
y
x
y
xx
y)(xu
x
y(y)u
)u(xx
y(y)u
u(x)dx
dyu(y)
ji
2k
1i
k
1ij2
ji
3
i
2
ji
2
i
2k
1i
2
i
c
k
1i
2
i
i
c
Jeżeli znane są wyniki pomiarów określone w pojedynczym pomiarze lub
w serii pomiarów (w tym przypadku za wynik pomiaru należy przyjąć
wartość średniej arytmetycznej) oraz odpowiednie niepewności
standardowe u(x1), u(x2), u(x3),...u(xk) wyznaczone w taki sposób jak dla
pomiaru bezpośredniego (metodami typu A lub B), to niepewność złożoną
liczymy:
funkcja jednej zmiennej
f. wielu zmiennych (szereg Taylora uwzględniający tylko wyraz liniowy rozwinięcia)
f. nieliniowa (rozwinięcie w szereg Taylora uwzględniający wyrazy wyższego rzędu)
POMIARY POŚREDNIE NIESKORELOWANE
PRZYKŁAD 4 Niech wielkość fizyczna y będzie funkcją wielkości x1 i x2, zmierzonych w
bezpośrednich pomiarach nieskorelowanych, zadaną wzorem:
gdzie a i b są wielkościami stałymi. Oblicz niepewność złożoną wielkości y
znając wartości zmierzone i , niepewności standardowe u(x1) i u(x2) oraz
stałe a i b.
pochodne cząstkowe y po zmiennych x1 i x2
niepewność złożona wielkości y (prawo przenoszenia niepewności)
)(xu)x(36b)(xu)x(4a
)(xux
y)(xu
x
y(y)u
6bxx
yi2ax
x
y
2bxaxy
2
24
2
2
1
22
1
2
2
2
2
2
1
2
2
1
c
2
2
2
1
1
3
2
2
1
21 xx
𝑢𝑟 𝑦 =𝑢𝑐 𝑦
𝑦=
𝜕𝑦
𝜕𝑥𝑖∙
1
𝑦∙ 𝑢 𝑥𝑖
2𝑘
𝑖=1
𝑢𝑟 𝑦 = 𝜕𝑦
𝜕𝑥𝑖∙𝑥𝑖
𝑦∙𝑢 𝑥𝑖
𝑥𝑖
2𝑘
𝑖=1
= 𝑤𝑖 ∙ 𝑢𝑖 𝑥𝑖 2
𝑘
𝑖=1
𝑤𝑖 =𝜕𝑦
𝜕𝑥𝑖∙𝑥𝑖
𝑦 , 𝑢𝑟 𝑥𝑖 =
𝑢 𝑥𝑖
𝑥𝑖
ZŁOŻONA NIEPEWNOŚĆ WZGLĘDNA Prawo przenoszenia niepewności możemy również zastosować do
obliczenia złożonej niepewności względnej ur(y):
bezwymiarowe wagi
zależne od postaci
funkcji y = f(xk)
niepewności względnych
wielkości mierzonych
bezpośrednio
NIEPEWNOŚĆ WZGLĘDNA (c.d.) Najprostszy i ważny w praktyce przypadek prawo przenoszenia
niepewności względnej zachodzi, gdy wielkość mierzoną pośrednio
można przedstawić w postaci iloczynu dowolnych potęg wielkości
mierzonych bezpośrednio.
gdzie A - oznacza stałą
a1, a2, …, ak - wykładniki potęgowe (dodatnie, ujemne lub potęgowe)
k321 a
k
a
3
a
2
a
1 x...xxxAy
k
1i
2
iri
k
1i
2
i
ii
cr )(xua
x
)u(xa
y
(y)u(y)u
Załóżmy, że wielkość fizyczną y można przedstawić w postaci wzoru:
gdzie x1, x2, x3 oznaczają wielkości wyznaczone w pomiarach
bezpośrednich (w pomiarze pojedynczym lub serii pomiarów), a A to
pewna stała. Oblicz względną złożoną niepewność standardową pomiaru.
UWAGA !!!
Niepewności standardowe u(x1), u(x2) i u(x3) obliczamy uprzednio opisanymi
metodami (np. dla serii pomiarów metodą typu A lub typu B dla pojedynczego
pomiaru).
W miejsce x1, x2, x3 dla pojedynczego pomiaru wstawiamy jego wartość, a dla
serii pomiarów - wartość ich średniej arytmetycznej.
2
3
3
2
2
2
2
1
1rc
3
3
2
1
1
2
1
x
xu3
x
xu
2
1
x
xu2
y
(y)u(y)u
x
xxAy
PRZYKŁAD 5
Obliczenia ścisłe przeprowadzamy w dwóch etapach:
a) etap pierwszy - postępujemy tak jak w przypadku pomiarów
nieskorelowanych (określamy niepewności standardowe u(xk) dla każdej
wielkości mierzonej bezpośrednio);
b)etap drugi - przy obliczaniu niepewności uc(y) uwzględniamy korelacje
między wynikami pomiarów wielkości mierzonych bezpośrednio,
korzystając (przy rozwinięciu w szereg Taylora) z rozszerzonego wzoru:
gdzie r(xi, xj) jest estymatorem współczynnika korelacji:
u(xi, xj) - estymator kowariancji (kowariancja eksperymentalna) wielkości xi, xj.
)u(x)u(x
)x,u(x)x,r(x
)x,r(x))u(xu(xx
y
x
y)(xu
x
y(y)u
ji
ji
ji
jiji
1-k
1i
k
1ij ji
i
2k
1i
2
i
c
POMIARY POŚREDNIE SKORELOWANE
POMIARY SKORELOWANE (c.d.)
n
1i
2
i
n
1ii
)y(y1)n(n
1u(y)
n
y
y
Ze względu na skomplikowany charakter obliczeń szczegółowych
(ścisłych) w pracowniach studenckich stosujemy obliczenia uproszczone:
a) korzystając z kompletu wyników pomiarów bezpośrednich k wielkości
uzyskanych w i-tym pomiarze obliczamy poszczególne wartości yi;
b)seria wyników yi uzyskanych w n pomiarach stanowi (podobnie jak w
pomiarach bezpośrednich) próbkę statystyczną;
c) za wynik pomiaru pośredniego przyjmuje się, zatem średnią
arytmetyczną, a „złożoną niepewność standardową” obliczmy np.
metodą typu A:
POMIARY PROMIENIOWANIA JĄDROWEGO
Podczas badania procesów przypadkowych i nieskorelowanych takich jak
rozpady jąder promieniotwórczych, czy promieniowanie kosmiczne
wyniki wielokrotnie powtarzanych pomiarów wykazują fluktuacje
statystyczne (są przypadkowe i w jednostkowym przedziale czasu mogą
różnić od oczekiwanej wartości średniej).
Mierząc wielokrotnie w małych przedziałach czasu tego typu wielkości,
otrzymujemy rozkład określony rozkładem Poissona:
gdzie w określonym przedziale czasu, n jest liczbą zliczeń, a - oczekiwaną średnią
liczbą zliczeń.
odchylenie standardowe (estymator niepewności standardowej wartości )
niepewność względna
nn
n
n
u(n)(n)u
nu(n)
en
nnp
r
nn
n
1
!)(
n
nn
NIEPEWNOŚĆ ROZSZRZONA Dla wielu praktycznych zastosowań zachodzi konieczność podania miary
niepewności, która określa przedział otaczający wynik pomiaru
zawierający dużą (z góry określoną) część wyników pomiarów, jest to
tzw. niepewność rozszerzona:
U(y) = k · uc(y)
* k - współczynnik rozszerzenia czyli tak wybrana, umownie przyjęta liczba, aby
w przedziale y u(y) znalazła się większość wyników pomiaru.
Zgodnie z międzynarodową praktyką do obliczenia U przyjmuje się
umowną wartość k = 2 (inne wartości k mogą być stosowane tylko w
przypadkach szczególnych i winny być podyktowane przez ustalone,
dobrze udokumentowane wymagania).
Wartości k = 2 odpowiada prawdopodobieństwo realizacji zmiennej
losowej w przedziale U równe 100 % (dla rozkładu jednostajnego) lub
95 % (dla rozkładu Gaussa) .
ZAOKRĄGLANIE WYNIKÓW OBLICZEŃ Dokonując obliczeń (np. wartości średniej czy niepewności
pomiaru) za pomocą kalkulatora lub komputera otrzymujemy liczby
wielocyfrowe:
xśr = 9,8689658790 ± 0,014567409,
w których wiarygodne są tylko niektóre cyfry nazywane cyframi
znaczącymi.
Cyfry znaczące – cyfry od 1 do 9 oraz 0, gdy znajduje się między
dwiema cyframi nie będącymi zerami lub na dowolnym miejscu po
cyfrze nie będącej zerem, ale zawartej w liczbie z przecinkiem (nie
jest cyfrą znaczącą, jeżeli w dowolnym miejscu liczby na lewo od
niego nie ma cyfry nie będącej zerem):
• 0,0506 - trzy cyfry znaczące,
• 5700 - cztery cyfry znaczące,
• 5,7103 - dwie cyfry znaczące.
ZAOKRĄGLANIE WYNIKÓW (c.d.) Z matematycznego punktu widzenia wszystkie wyniki pomiarów są
liczbami przybliżonymi, stąd stosowane do opracowania wyników
operacje (działania) matematyczne są rachunkami na liczbach
przybliżonych.
Jeśli nie znamy niepewności danej wielkości, to przyjmujemy
niepewność maksymalną (cyfrę najmniej znaczącą), równą 10
jednostkom miejsca dziesiętnego zajmowanego przez ostatnią cyfrę
znaczącą (np. maksymalna niepewność dla liczby 7142 to liczba 10,
a dla liczby 31,745 - liczba 0,010).
Z analizy funkcji rozkładu niepewności wynika, że istotne znaczenie
ma właściwie pierwsza cyfra znacząca niepewności, ale zalecane jest
podawanie niepewności do dwóch cyfr znaczących (maksymalna
niepewność zawiera się wówczas w przedziale od 5% do 0,5%
odpowiednio, dla cyfr 10 i 99).
ZAOKRĄGLANIE WYNIKÓW (c.d.) Zatem, zaokrąglenia dokonujemy zgodnie z następującymi zasadami:
a)niepewność:
• obliczamy do trzeciego miejsca znaczącego;
• zaokrąglamy zawsze w górę, do drugiej cyfry znaczącej
(ewentualnie możemy zaokrąglić wynik do jednego miejsca
znaczącego, jeśli nie zwiększy to niepewności o więcej niż 10 %).
b)wynik:
• obliczamy z dokładnością o jedno miejsce więcej, niż w
przypadku zaokrąglonej niepewności (zwykle najwyżej do
czterech miejsc znaczących);
• zaokrąglamy do tego samego miejsca, co w przypadku
niepewności;
• zaokrąglamy według normalnych zasad zaokrąglania:
- cyfry 1, 2, 3, 4 - w dół;
- cyfry 6, 7, 8, 9 - w górę;
- cyfrę 5 - w górę, jeśli poprzedza ją liczba nieparzysta i w dół,
jeśli jest poprzedzona cyfrą parzystą.
REGUŁY ARYTMETYKI LICZB PRZYBLIŻONUCH Przy odejmowaniu i dodawaniu zaokrąglanie przeprowadza się do rzędu o 1
mniejszego od rzędu najmniej dokładnej liczby, a w wyniku zachowujemy tylko
tyle znaków dziesiętnych, ile ich jest w liczbie o najmniejszej liczbie znaków
dziesiętnych:
0,232 + 5,338 + 43,2 = 0,23 + 5,34 + 43,2 = 48,77 = 48,8;
Przy mnożeniu i dzieleniu w wyniku zachowuje się tyle cyfr znaczących, ile
zawiera ich liczba o najmniejszej ilości cyfr znaczących:
56,9 : 2,41 = 23,610 = 23,6 i 51 2,434 = 124,134 =124;
Przy podnoszeniu do potęgi w wyniku zachowuje się tyle cyfr znaczących, ile ich
zawiera liczba podnoszona do potęgi:
(9,36)2 = 87,6096 = 87,6 i (0,68)3 = 0,3144 = 0,31;
Przy logarytmowaniu należy brać tylko tyle znaków, ile cyfr znaczących zawiera
liczba logarytmowana:
log 77,23 = 1,8878 = 1,888;
Przy pierwiastkowaniu wynik ma taką samą liczbę cyfr znaczących, jaką miała
liczba pierwiastkowana:
0,180,18470,0063i1,721,7232,97 3
ZAPIS WYNIKÓW POMIARÓW W zapisie wyniku obliczeń zaleca się stosowanie odpowiednich
przedrostków jednostek i wielokrotności potęgowe (tzw. zapis naukowy
→ 2,110-5) tak, aby niepewnością obarczone były miejsca dziesiętne i
setne (żeby pierwsza cyfra znacząca niepewności znalazła się na
pierwszym miejscu po przecinku).
PRZYKŁAD 6 W wyniku obliczeń otrzymaliśmy wartość: x = 41,284 i u(x) = 1,342. Zapisz
poprawnie wynik pomiaru.
przy zaokrągleniu do pierwszej cyfry znaczącej u(x) = 1 (niepewność ok. 25%)
przy zaokrągleniu do drugiej cyfry znaczącej u(x) = 1,3 (niepewność ok. 3%)
ostatecznie wynik zapisujemy: x = (4,13 ± 0,13) ·101
0,031,342
1,3421,3
0,251,342
1,3421
ZAPIS WYNIKÓW POMIARÓW (c.d.) Wynik pomiaru powinien zawierać wartość, niepewność pomiarową i
odpowiednią jednostkę:
a) niepewność standardowa
• długość drutu jest równa 36,43 cm z niepewnością standardową 0,25 cm
(zapis słowny);
• l = 36,43 cm; u(l) = 0,25 cm (zapis przy użyciu symboli);
• l = 36.43(0,25) cm = 36,43(25) 10-2 m (zapis skrócony).
b) niepewność rozszerzona
• długość drutu jest równa 36,43 cm z niepewnością standardową 0,50 cm
(zapis słowny);
• l = 36,43 cm; U(l) = 0,50 cm (zapis przy użyciu symboli);
• l = 36.43 ± 0,50 cm = (36,43 ± 0,50 ) 10-2 m (zapis skrócony).
Zasady zapisu wyników zalecane przez normy międzynarodowe:
a) niepewność zapisujemy z dokładnością dwu cyfr znaczących, a wartość
mierzoną zaokrąglamy do tego samego miejsca, co niepewność.
b) zapis z użyciem „” stosujemy do niepewności rozszerzonej i in.
przedziałów o wysokim poziomie ufności, zapis z użyciem nawiasów -
dla niepewności standardowej.
Bardzo często, mierzone wielkości fizyczne x i y związane są zależnością
liniową (np. zależność oporu elektrycznego metali od temperatury)
postaci:
y = a x + b
* gdzie współczynniki a i b można wyznaczyć bezpośrednio z wykresu lub
obliczyć metodą regresji liniowej (zw. metodą najmniejszych kwadratów).
REGRESJA LINIOWA
Współczynniki regresji liniowej a i b znajdujemy metodą najmniejszych
kwadratów (przy założeniu, żeby suma kwadratów odchyleń punktów
doświadczalnych od wykreślonej krzywej była jak najmniejsza).
Jeżeli y jest liniową funkcją wielkości x, to w wyniku przeprowadzenia
serii pomiarów i przy założeniu, że wielkości zmierzone obarczone są
tylko błędami przypadkowymi (tzw. regresja klasyczna) otrzymujemy
szereg par wielkości xi i yi (i = 1,2,3,…, n) dla których najlepszym
przybliżeniem są tzw. estymatory regresji liniowej:
gdzie:
REGRESJA LINIOWA (c.d.)
2n
ε
2n
b)ax(y
σixxnX
X
x
σSiX
1yxxyxb
X
nσSi
X
1yxyxna
n
1i
2
i
n
1i
2
ii2
n
1ii
n
1i
2
i
n
1i
2
i
b
n
1iii
n
1ii
n
1ii
n
1i
2
i
a
n
1ii
n
1ii
n
1iii