WYKŁAD 13
DYFRAKCJA FRAUNHOFERA NA
POJEDYNCZYM OTWORZE
PLAN WYKŁADU
Zasada Babineta i zasada Huyghensa-Fresnela
Całka dyfrakcyjna Fresnela-Kirchhofa w przybliżeniu Fraunhofera
Dyfrakcja Fraunhofera na otworze prostokątnym
Dyfrakcja Fraunhofera na otworze kołowym
Dyfrakcja Fraunhofera na innych otworach
PODSUMOWANIE
Zasada Babineta
Zasada Babineta
S1 E = PE
Bez ekranu i zatyczki
Zasada Babineta
Z ekranem i zatyczką
S1 E = PE
Bez ekranu i zatyczki
0 = PE2
Zasada Babineta
Z ekranem i zatyczką
S1 E = PE
Bez ekranu i zatyczki
0 = PE2
ekran3 E = PE
Z ekranem bez zatyczki
Zasada Babineta
Z ekranem i zatyczką
S1 E = PE
Bez ekranu i zatyczki
0 = PE2
Z zasady superpozycji
zatyczkiekran2 E+E = PE ekran3 E = PE
Z ekranem bez zatyczki
Zasada Babineta
Z ekranem i zatyczką
S1 E = PE
Bez ekranu i zatyczki
0 = PE2
Z zasady superpozycji
zatyczkiekran2 E+E = PE ekran3 E = PE
Z ekranem bez zatyczki
zatyczki3 E - = PE
zatyczki3 E - = PE
Obrazy dyfrakcyjne od otworu i komplementarnej do niego zatyczki są takie same (pręt i szczelina,
otwor i kulka itd.)
Zasada Babineta
Pola fali świetlnej wytworzone przez ekran i zatyczkę różnią się tylko fazą
Zasada Huyghensa-Fresnela
Każdy punkt do którego dociera fala pierwotna staje się źródłem nowej fali wtórnej. Obwiednia fal
wtórnych tworzy nowe czoło fali.
Źródłem fal wtórnych są fikcyjne oscylatory Huyghensa rozłożone w obszarze otworu
zatyczki3 E - = PE
Jak obliczyć pole fali świetlnej w punkcie P?
Całka dyfrakcyjna Fresnela-Kirchhoffa w przybliżeniu Fraunhofera
Korzystamy z zasady Huyghensa-Fresnela; pole w punkcie P pochodzi od fikcyjnych oscylatorów
Huyghensa rozłożonych w otworze
Fala pierwotna; monochromatyczna fala z S w środku otworu:
Fala pierwotna; monochromatyczna fala z S w środku otworu:
tkRiexpE = 0E 100S
Fala pierwotna; monochromatyczna fala z S w środku otworu:
tkRiexpE = 0E 100S
Do punktu x w otworze fala pierwotna ma „bliżej”, więc, w przybliżeniu Fraunhofera (xsinθ1 jako różnica dróg):
Fala pierwotna; monochromatyczna fala z S w środku otworu:
tkRiexpE = 0E 100S
tsinkxkRiexpE = xE 1100S
Do punktu x w otworze fala pierwotna ma „bliżej”, więc, w przybliżeniu Fraunhofera (xsinθ1 jako różnica dróg):
Fala pierwotna; monochromatyczna fala z S w środku otworu:
tkRiexpE = 0E 100S
tsinkxkRiexpE = xE 1100S
Do punktu x w otworze fala pierwotna ma „bliżej”, więc, w przybliżeniu Fraunhofera (xsinθ1 jako różnica dróg):
Ponieważ oscylatory Huyghensa mają różne fazy więc fale wtórne także będą miały różne fazy:
Fala pierwotna; monochromatyczna fala z S w środku otworu:
tkRiexpE = 0E 100S
tsinkxkRiexpE = xE 1100S
Do punktu x w otworze fala pierwotna ma „bliżej”, więc, w przybliżeniu Fraunhofera (xsinθ1 jako różnica dróg):
Ponieważ oscylatory Huyghensa mają różne fazy więc fale wtórne także będą miały różne fazy:
dx tsinxsinxRRkiexpExdE 2120100S
W dwóch wymiarach:
położenie źródła S (X1,Y1), położenie punktu P (X2,Y2)
Uwzględnienie drugiego wymiaru, y, prowadzi do:
Uwzględnienie drugiego wymiaru, y, prowadzi do:
dxdytsinsiny
sinsinxRRikexpE
y,xdE
21
2120100
S
Uwzględnienie drugiego wymiaru, y, prowadzi do:
dxdytsinsiny
sinsinxRRikexpE
y,xdE
21
2120100
S
dxdy y,xdE =PE SS całka Fresnela-Kirchhofa
Uwzględnienie drugiego wymiaru, y, prowadzi do:
dxdytsinsiny
sinsinxRRikexpE
y,xdE
21
2120100
S
dxdy y,xdE =PE SS całka Fresnela-Kirchhofa
dxdyy,xTe
eE= PE
2121
2010
sinsinysinsinxik-
tRRki0S
gdzie: . otworem poza 0,
otworu wewn. yx, dla 1 = y,xT
T(x,y) to funkcja otworu
gdzie: . otworem poza 0,
otworu wewn. yx, dla 1 = y,xT
T(x,y) to funkcja otworu
12 12 Punkt P0
gdzie: . otworem poza 0,
otworu wewn. yx, dla 1 = y,xT
T(x,y) to funkcja otworu
12 12 Punkt P0
Punkt P0 to punkt przecięcia ekranu i prostej przechodzącej przez źródło S i początek układu
współrzędnych O (środek obrazu dyfrakcyjnego)
gdzie: . otworem poza 0,
otworu wewn. yx, dla 1 = y,xT
T(x,y) to funkcja otworu
12 12 Punkt P0
Punkt P0 to punkt przecięcia ekranu i prostej przechodzącej przez źródło S i początek układu
współrzędnych O (środek obrazu dyfrakcyjnego)
dxdyyx,T e E=PE tRRki00S
2010
dxdyyx,T e E=PE tRRki00S
2010
dxdyyx,T e E=PE tRRki00S
2010
PGPE = PE S0SS
dxdyyx,T e E=PE tRRki00S
2010
PGPE = PE S0SS
gdzie:
dxdyyx,T e E=PE tRRki00S
2010
PGPE = PE S0SS
dxdyyx,T
dxdye yx,T = PG
2121 sinsinysinsinxik-
S
gdzie:
dxdyyx,T e E=PE tRRki00S
2010
PGPE = PE S0SS
dxdyyx,T
dxdye yx,T = PG
2121 sinsinysinsinxik-
S
to czynnik dyfrakcyjny
gdzie:
2S0SS PG PI = PI
gdzie: *000S EE PI
zmodyfikowana przez czynnik dyfrakcyjny:
2S PG
Ostatecznie:
to stała wartość
Dyfrakcja Fraunhofera na otworze prostokątnym
;PGPI = PI 2S0SS
dxdye yx,TS1
= PG 2121 sinsinysinsinxik-S
Dyfrakcja Fraunhofera na otworze prostokątnym
;PGPI = PI 2S0SS
dxdye yx,TS1
= PG 2121 sinsinysinsinxik-S
21
21
sinsinb
=
;sinsina
=
b/2+
b/2-
by
i2-a/2+
a/2-
ax
i2-dye xde
ba1
= PG
b/2+
b/2-
by
i2-a/2+
a/2-
ax
i2-dye xde
ba1
= PG
= 2/a
2/ae
ai2-
1 = dxe
xa
i2-
2/a
2/a
xa
2i
b/2+
b/2-
by
i2-a/2+
a/2-
ax
i2-dye xde
ba1
= PG
sina= ee
ai2-
1
= 2/a
2/ae
ai2-
1 = dxe
ii-
xa
i2-
2/a
2/a
xa
2i
b/2+
b/2-
by
i2-a/2+
a/2-
ax
i2-dye xde
ba1
= PG
sina= ee
ai2-
1
= 2/a
2/ae
ai2-
1 = dxe
ii-
xa
i2-
2/a
2/a
xa
2i
sinsin
= PGS
2
2
2
2
0SSsinsin
PI = PI
Rozkład natężenia na ekranie dla otworu prostokątnego
Charakterystyczny „krzyż”,
nakładanie się maksimów
głównych jednego rozkładu na boczne
drugiego
Położenie źródła S: 011
Położenie źródła S: 011
LX
; RX
sin 2
20
2
,LR20 22 ,Położenie punktu
obserwacji P:
Położenie źródła S: 011
LX
; RX
sin 2
20
2
,LR20 22 ,
LXa
a
2
LYbb
2
Położenie punktu obserwacji P:
Położenie źródła S: 011
LX
; RX
sin 2
20
2
,LR20 22 ,
LXa
a
2
LYbb
2
bL
= Y i aL
= X 22
Położenie punktu obserwacji P:
Związek pomiędzy współrzędnymi X2 i Y2 punktu P na ekranie, a parametrami α i β
I-sze minima, α i β równe ±1, X2 i Y2
równe Lλ/a
Interpretacja minimum dla kąta
λ/a:
destruktywna interferencja oscylatorów
Huyghensa (oscylator 1 znosi się z
oscylatorem 2 itd.)
Dyfrakcja Fraunhofera na otworze kołowym
Źródło S w punkcie O1
(θ1, φ1 = 0)
Punkt P na osi O2X2 (φ2 = 0)
20 PGPI = PI
dxdye yx,TS1
= PG 2121 sinsinysinsinxik-
Dyfrakcja Fraunhofera na otworze kołowym
20 PGPI = PI
2/D
2/D
sinikx2 dxxy2e
D
4 = PG
y(x) z całkowania funkcji T(x,y) po y
Podstawiamy: 22
x4
D = xy ; sin
D =
Podstawiamy: 22
x4
D = xy ; sin
D =
D/2+
2/D
22
Dx
i2-
2 dxx4
D2e
D
4 = PG
Podstawiamy: 22
x4
D = xy ; sin
D =
D/2+
2/D
22
Dx
i2-
2 dxx4
D2e
D
4 = PG
Dx2u Wprowadzamy nową zmienną:
Podstawiamy: 22
x4
D = xy ; sin
D =
D/2+
2/D
22
Dx
i2-
2 dxx4
D2e
D
4 = PG
Dx2u Wprowadzamy nową zmienną:
= dueeu-12
= ....+......
= dueu-12
= PG
1
0
uiui2
+1
0
0
1-
1
1
ui2
Ostatecznie:
1
0
2 duu cos u14
=PG
Ostatecznie:
1
0
2 duu cos u14
=PG
21
01 2J
PI = PI ; 2J
= PG
Ostatecznie:
1
0
2 duu cos u14
=PG
21
01 2J
PI = PI ; 2J
= PG
Ostatecznie:
1
0
2 duu cos u14
=PG
21
01 2J
PI = PI ; 2J
= PG
D1.22 min
Centralny jasny krążek Airy’egokolejne minima
(ciemne pierścienie):
α = 2.23, 3.24 itd
Dyfrakcja Fraunhofera na innych otworach
Otwory (niżej) i ich obrazy dyfrakcyjne (wyżej)
Dyfrakcja Fraunhofera na innych otworach
Obrazy dyfrakcyjne otworów o prostych lub zakrzywionych bokach pokazują zbiory prążków przy czym prostej krawędzi otworu odpowiada
zbiór liniowych prążków wzajemnie równoległych i równoległych do tej krawędzi. Krawędziom zakrzywionym towarzyszą prążki o pewnej
krzywiźnie, rosnącej długości i szybko malejącym natężeniu w miarę oddalania się od centrum obrazu
dyfrakcyjnego.
PODSUMOWANIE
Zasada Huyghensa; każdy punkt do którego dociera czoło fali staje się źródłem nowej fali elementarnej. Superpozycja wszystkich fal elementarnych daje
nowe czoło fali
W oparciu o zasadę Huyghensa możemy znaleźć pole fali świetlnej w dowolnym punkcie na ekranie,
całkując wkłady od oscylatorów Huyghensa rozmieszczonych na powierzchni otworu w nieprzeźroczystym ekranie znajdującym się
pomiędzy źródłem fali pierwotnej i ekranem.
PODSUMOWANIE
Dyfrakcja Fraunhofera na pojedynczym otworze prostokątnym prowadzi do powstania
charakterystycznego „krzyża” odpowiadającego nałożeniu dwóch rozkładów opisanych funkcjami:
gdzie parametry α i β związane są z współrzędnymi źródła i punktu P (X2, Y2) na
ekranie.
22
2
2 sinsin
PODSUMOWANIE
bL
= Y i aL
= X 22
gdzie X2, Y2 to współrzędne punktu obserwacyjnego P na ekranie, a i b to szerokość i wysokość otworu,
L odległość ekranu od otworu i λ długość fali.
Dla źródła umieszczonego na osi optycznej układu (X1 = 0, Y1 = 0):
,a
b
Pierwsze minima powstaną dla:
PODSUMOWANIE
gdzie D to średnica otworu.
Dla otworu kołowego i dla źródła umieszczonego na osi optycznej (X1 = 0, Y1 = 0):
Obrazy dyfrakcyjne otworów o większej liczbie krawędzi pokazują rozdzielne zbiory liniowych
prążków równoległych do każdej krawędzi. Krawędziom zakrzywionym towarzyszą prążki o
pewnej krzywiźnie, rosnącej długości i szybko malejącym natężeniu w miarę oddalania się od
centrum obrazu dyfrakcyjnego.
D1.22 min