Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
1
ZADACI ZA VEŽBANJE
DIJAGONALNI PRESECI PRIZME
1. Izračunati površinu dijagonalnog preseka kocke ivice a = 6cm.
2. Izračunati dužinu ivice kocke ako je površina dijagonalnog preseka 9√2 cm2.
3. Izračunati površinu poprečnog preseka kvadra PD1 ako je a = 6cm, b = 8cm i H = 12cm.
4. Izračunati površinu velikog i malog preseka pravilne šestostrane jednakoivične prizme čija je ivica 4cm.
POVRŠINA ČETVOROSTRANE PRIZME
5. Izračunati površinu kocke čija je ivica a = 8cm.
6. Izračunati dijagonalu kocke čija je površina P = 216cm2
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
2
7. Ivice kvadra su a = 6cm, b = 8cm i c = 10cm. Izračunati površinu i dužinu dijagonale D tog kvadra.
8. Osnovne ivice kvadra su a = 5cm i b = 12cm. Ako je površina dijagonalnog preseka PD = 130cm2, izračunati
površinu tog kvadra.
9. Izračunati površinu pravilne četvrostrane prizme čija je osnovna ivica a = 10cm, a visina prizme H = 15cm.
10. Ako je površina osnove pravilne četvorostrane prizme B = 256cm2, a visina H = 11cm, izračunati površinu te
prizme.
11. Ako dijagonala pravilne četvorostrane prizme gradi sa ravni osnove ugao od 60o, a dijagonala osnove je
d = 6√2cm, izračunati površinu te prizme.
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
3
12. Osnova prave prizme je romb čije su dijagonale d1 = 12cm i d2 = 16cm. Ako važi da je razmera visine prizme i
osnovne ivice H : a = 3 : 2, izračunati površinu te prizme.
13. Osnova prave prizme je jednakokraki trapez čije su osnovice a = 27cm i b = 11cm, a krak trapeza je c = 17cm.
Izračunati površinu te prizme ako je visina prizme za 5cm duža od visine osnovice.
POVRŠINA TROSTRANE PRIZME
14. Izračunati površinu pravilne trostrane prizme čija je osnovna ivica a = 12cm, a visina prizme H = 10cm.
15. Ako je površina osnove pravilne trostrane prizme B = 36√3 cm2, a visina prizme H = 8cm, izračunati površinu te
prizme.
16. Ako je površina pravilne trostrane prizme P = (8√3 + 60) cm2, a osnovna ivica a = 4cm, izračunati visinu te
prizme.
17. Ako je poluprečnik upisanog kruga u osnovu pravilne trostrane jednakoivične prizme ru = 2cm, izračunati
površinu te prizme.
18. Osnova prave prizme je pravougli trougao čije su katete a = 12cm i b = 16cm. Izračunati površinu ove prizme, ako
je najveća bočna strana kvadrat.
19. Ako je dijagonala bočne strane pravilne trostrane prizme d = 8cm i ako ona zaklapa sa ravni osnove ugao od 45o,
izračunati površinu te prizme.
20. (zbirka, 360.) Površina osnove pravilne trostrane prizme B = 36√3 cm2, a površina omotača jednaka je zbiru
površina osnova. Izračunati površinu prizme.
POVRŠINA ŠESTOSTRANE PRIZME
21. Izračunati površinu pravilne šestostrane prizme čija je osnovna ivica a = 6cm, a visina prizme H = 12cm.
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
4
22. Ako je površina osnove pravilne šestostrane prizme B = 24√3 cm2, a visina prizme H = 10cm, izračunati površinu
te prizme.
23. Ako je poluprečnik opisanog kruga oko osnove pravilne jednakoivične šestostrane prizme ro = 6cm, izračunati
površinu te prizme.
24. Najduža prostorna dijagonala D = 12cm pravilne šestostrane prizme zaklapa sa ravni osnove ugao od 60o,
izračunati površinu te prizme.
25. Ako je kraća dijagonala osnove pravilne šestostrane prizme dm = 12cm, a dijagonala bočne strane d = 7cm,
izračunati površinu te prizme.
26. (zbirka, 368.a)) Površina većeg dijagonalnog preseka pravilne šestostrane prizme je P1 = 20cm2, a visina prizme
je H = 5cm. Izračunati površinu te prizme.
27. (zbirka, 370.) Izračunati površinu pravilne šestostrane prizme ako veći dijagonalni presek predstavlja kvadrat
površine P1 = 324cm2.
28. (zbirka, 367.b)) Površina manjeg dijagonalnog preseka pravilne šestostrane prizme je P2 = 24√3 cm2, a dužina
osnovne ivice je a = 4cm. Izračunati površinu te prizme.
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
5
REŠENJA ZADATAKA:
DIJAGONALNI PRESECI PRIZME
1. Izračunati površinu dijagonalnog preseka kocke ivice a = 6cm.
REŠENJE:
2. Izračunati dužinu ivice kocke ako je površina dijagonalnog preseka 9√2 cm2.
REŠENJE:
3. Izračunati površinu poprečnog preseka kvadra PD1 ako je a = 6cm, b = 8cm i H = 12cm.
REŠENJE:
PD1 = √𝑎2 + 𝑏2 ∙ H
PD1 = √62 + 82 ∙ 12
PD1 = √36 + 64 ∙ 12
PD1 = √100 ∙ 12
𝐏𝐃𝟏 = 𝟏𝟐𝟎 cm2
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
6
4. Izračunati površinu velikog i malog preseka pravilne šestostrane jednakoivične prizme čija je ivica 4cm.
REŠENJE:
POVRŠINA ČETVOROSTRANE PRIZME
5. Izračunati površinu kocke čija je ivica a = 8cm.
REŠENJE:
B = 𝑎2 = 64cm2
M = 4a2= 4 ∙ 64 = 256cm2
P = 2B + M = 2 ∙ 𝟔𝟒 + 𝟐𝟓𝟔 = 384 cm2
6. Izračunati dijagonalu kocke čija je površina P = 216cm2
REŠENJE:
P = 6a2 = 216cm2
a2 = 36cm2
a = 6cm
D = a√𝟑 = 6√𝟑 cm
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
7
7. Ivice kvadra su a = 6cm, b = 8cm i c = 10cm. Izračunati površinu i dužinu dijagonale D tog kvadra.
REŠENJE:
P = 2ab + 2ac + 2bc = 2 ∙ (ab + ac + bc)
P = 2 ∙ (6 ∙ 8 + 6 ∙ 10 + 8 ∙ 10) = 2 ∙ (48 + 60 + 80)
P = 2 ∙ 188 = 376cm2
D = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
D = √62 + 82 + 102
𝐃 = 𝟏𝟎√𝟐 cm
8. Osnovne ivice kvadra su a = 5cm i b = 12cm. Ako je površina dijagonalnog preseka PD = 130cm2, izračunati
površinu tog kvadra.
REŠENJE:
d = √𝑎2 + 𝑏2 = √52 + 122
𝐝 = 𝟏𝟑 cm
PD = d ∙ c
c = PD / d = 𝟏𝟎𝐜𝐦
P = 2ab + 2ac + 2bc = 2 ∙ (ab + ac + bc)
P = 2 ∙ (5 ∙ 12 + 5 ∙ 10 + 12 ∙ 10) = 2 ∙ (60 + 50 + 120)
P = 2 ∙ 230 = 460cm2
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
8
9. Izračunati površinu pravilne četvrostrane prizme čija je osnovna ivica a = 10cm, a visina prizme H = 15cm.
REŠENJE:
B = 𝑎2 = 102 = 100cm2
M = 4aH= 4 ∙ 10 ∙ 15 = 600cm2
P = 2B + M = 800cm2
10. Ako je površina osnove pravilne četvorostrane prizme B = 256cm2, a visina H = 11cm, izračunati površinu te
prizme.
REŠENJE:
B = 𝑎2 = 256cm2
a = √256 = 16cm
M = 4aH= 4 ∙ 16 ∙ 11 = 704cm2
P = 2B + M = 2 ∙ 256 + 704 = 512 + 704
P = 1216cm2
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
9
11. Ako dijagonala pravilne četvorostrane prizme gradi sa ravni osnove ugao od 60o, a dijagonala osnove je
d = 6√2cm, izračunati površinu te prizme.
REŠENJE:
H =2d√3
2=
2 ∙ 6√2 ∙ √3
2
H = 6√𝟔 cm
d = a√𝟐 = 6√𝟐
a = 6cm
B = 𝑎2 = 36cm2
M = 4aH= 4 ∙ 6 ∙ 6√6 = 144√6cm2
P = 2B + M = 2 ∙ 36 + 144√𝟔
P = 72 ∙ (𝟏 + 𝟐√𝟔)cm2
12. Osnova prave prizme je romb čije su dijagonale d1 = 12cm i d2 = 16cm. Ako važi da je razmera visine prizme i
osnovne ivice H : a = 3 : 2, izračunati površinu te prizme.
REŠENJE:
a
a
a
a
H
H
B =d1 ∙ d2
2=
12 ∙ 16
2= 96cm2
𝑎 = √(d1
2)
2+ (
d2
2)
2= √(
12
2)
2+ (
16
2)
2= 10cm
2H = 3a → H = 15cm
M = 4aH= 4 ∙ 10 ∙ 15 = 600cm2
P = 2B + M = 2 ∙ 96 + 600
P = 792 cm2
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
10
13. Osnova prave prizme je jednakokraki trapez čije su osnovice a = 27cm i b = 11cm, a krak trapeza je c = 17cm.
Izračunati površinu te prizme ako je visina prizme za 5cm duža od visine osnovice.
REŠENJE:
ℎ = √𝑐2 − (𝑎 − 𝑏
2)
2
ℎ = √172 − (27 − 11
2)
2
= √289 − 64
h = 5cm → H = h + 5 = 20cm
M = a ∙ H + b ∙ H + 2c ∙ H = H ∙ (a + b + 2c)
M = 20 ∙ (27 + 11 + 2 ∙ 17) = 20 ∙ 72 = 1440cm2
P = 2B + M = 2 ∙ 285 + 1440
P = 2010 cm2
POVRŠINA TROSTRANE PRIZME
14. Izračunati površinu pravilne trostrane prizme čija je osnovna ivica a = 12cm, a visina prizme H = 10cm.
REŠENJE:
B =𝑎2√3
4=
122√3
4= 36√3cm2
M = 3aH= 3 ∙ 12 ∙ 10 = 360cm2
P = 2B + M = 72 ∙ (√𝟑 + 5) cm2
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
11
15. Ako je površina osnove pravilne trostrane prizme B = 36√3 cm2, a visina prizme H = 8cm, izračunati površinu te
prizme.
REŠENJE:
B =𝑎2√3
4= 36√3cm2
→ a = 12cm
M = 3aH= 3 ∙ 12 ∙ 8 = 288cm2
P = 2B + M = 72 ∙ (√𝟑 + 4) cm2
16. Ako je površina pravilne trostrane prizme P = (8√3 + 60) cm2, a osnovna ivica a = 4cm, izračunati visinu te
prizme.
REŠENJE:
B =𝑎2√3
4= 4√3cm2
P = 2B + M = (8√3 + 60) cm2
M = 3aH= 3 ∙ 4 ∙ H = 60cm2
H = 5cm
17. Ako je poluprečnik upisanog kruga u osnovu pravilne trostrane jednakoivične prizme ru = 2cm, izračunati
površinu te prizme.
REŠENJE:
r𝑢 =1
3h =
1
3∙
𝑎√3
2=
𝑎√3
6= 2cm
a = 4√3 cm → H = 4√3 cm
B =𝑎2√3
4= 12√3cm2
M = 3aH = 144cm2
P = 2B + M = (24√𝟑 + 144) cm2
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
12
18. Osnova prave prizme je pravougli trougao čije su katete a = 12cm i b = 16cm. Izračunati površinu ove prizme, ako
je najveća bočna strana kvadrat.
REŠENJE:
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √122 + 162 = 20cm
→ H = 20cm
B =𝑎 ∙ b
2= 96cm2
M = (a + b + c) ∙ H = 48 ∙ 20 = 960cm2
P = 2B + M = 1152cm2
19. Ako je dijagonala bočne strane pravilne trostrane prizme d = 8cm i ako ona zaklapa sa ravni osnove ugao od 45o,
izračunati površinu te prizme.
REŠENJE:
a = H
d = √𝑎2 + H2
d = √𝑎2 + 𝑎2
d = a√2
𝑎 = H =d√2
2= 4√2cm
P = 2B + M = 2𝑎2√3
4+ 3𝑎H
P = (16√𝟑 + 96) cm2
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
13
20. (zbirka, 360.) Površina osnove pravilne trostrane prizme B = 36√3 cm2, a površina omotača jednaka je zbiru
površina osnova. Izračunati površinu prizme.
REŠENJE:
B = 36√3cm2
M = 2B = 72√3cm2
P = 2B + M = 𝟏𝟒𝟒√𝟑𝐜𝐦𝟐
POVRŠINA ŠESTOSTRANE PRIZME
21. Izračunati površinu pravilne šestostrane prizme čija je osnovna ivica a = 6cm, a visina prizme H = 12cm.
REŠENJE:
B = 6𝑎2√3
4= 6
62√3
4= 54√3cm2
M = 6aH= 6 ∙ 6 ∙ 12 = 432cm2
P = 2B + M = 108 ∙ (√𝟑 + 4) cm2
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
14
22. Ako je površina osnove pravilne šestostrane prizme B = 24√3 cm2, a visina prizme H = 10cm, izračunati površinu
te prizme.
REŠENJE:
B = 6𝑎2√3
4= 24√3cm2
→ a = 4cm
M = 6aH= 6 ∙ 4 ∙ 10 = 240cm2
P = 2B + M = 48 ∙ (√𝟑 + 5) cm2
23. Ako je poluprečnik opisanog kruga oko osnove pravilne jednakoivične šestostrane prizme ro = 6cm, izračunati
površinu te prizme.
REŠENJE:
ro = a = H = 6cm
B = 6𝑎2√3
4= 54√3cm2
M = 6aH= 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216cm2
P = 2B + M = 108 ∙ (√𝟑 + 2) cm2
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
15
24. Najduža prostorna dijagonala D = 12cm pravilne šestostrane prizme zaklapa sa ravni osnove ugao od 60o,
izračunati površinu te prizme.
REŠENJE:
dv = 2a
D = 4a → a = 3cm
H =D√3
2=
12√3
2= 6√3cm
B = 6𝑎2√3
4=
27√3
2cm2
M = 6aH= 6 ∙ 3 ∙ 6√3 = 108√3 cm2
P = 2B + M = 𝟏𝟑𝟓√𝟑 cm2
25. Ako je kraća dijagonala osnove pravilne šestostrane prizme dm = 12cm, a dijagonala bočne strane d = 7cm,
izračunati površinu te prizme.
REŠENJE:
dm = a√3
a = dm√3
𝑎 =d𝑚√3
3=
12√3
3= 4√3cm
B = 6𝑎2√3
4= 72√3cm2
H = √d2 − 𝑎2 = √72 − (4√3)2 = 1cm
M = 6aH= 6 ∙ 4√3 ∙ 1 = 24√3 cm2
P = 2B + M = 𝟏𝟔𝟖√𝟑 cm2
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
16
26. (zbirka, 368.a)) Površina većeg dijagonalnog preseka pravilne šestostrane prizme je P1 = 20cm2, a visina prizme
je H = 5cm. Izračunati površinu te prizme.
REŠENJE:
P1 = 2a ∙ H
𝑎 =P1
2H=
20
10= 2cm
B = 6𝑎2√3
4= 6√3cm2
M = 6aH= 6 ∙ 2 ∙ 5 = 60cm2
P = 2B + M = 𝟏𝟐 ∙ (√𝟑 + 𝟓) cm2
27. (zbirka, 370.) Izračunati površinu pravilne šestostrane prizme ako veći dijagonalni presek predstavlja kvadrat
površine P1 = 324cm2.
REŠENJE:
2a = H
P1 = 2a ∙ H = 4a2 = 324
𝑎 = √324
4= √81 = 9cm
H = 18 cm
B = 6𝑎2√3
4= 121.5 √3 cm2
M = 6aH= 6 ∙ 9 ∙ 18 = 972 cm2
P = 2B + M = 𝟐𝟒𝟑 ∙ (√𝟑 + 𝟒) cm2
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
17
28. (zbirka, 367.b)) Površina manjeg dijagonalnog preseka pravilne šestostrane prizme je P2 = 24√3 cm2, a dužina
osnovne ivice je a = 4cm. Izračunati površinu te prizme.
REŠENJE:
P2 = a√3 ∙ H
H =P2
𝑎√3=
P2√3
3𝑎=
72
12= 6cm
B = 6𝑎2√3
4= 24√3cm2
M = 6aH= 6 ∙ 4 ∙ 6 = 144cm2
P = 2B + M = 𝟒𝟖 ∙ (√𝟑 + 𝟑) cm2
GRADIVO SA TESTA T3.2:
• Pojam zapremine tela (udžbenik, 83.strana)
• Zapremina kvadra i kocke (udžbenik, 84.strana)
Primeri iz udžbenika:
✓ Primer 31 – 84.str.
• Zapremina prave četvorostrane prizme (udžbenik, 84.strana)
Primeri iz udžbenika:
✓ Primer 32 – 85.str.
• Zapremina pravilne četvorostrane prizme (udžbenik, 85.strana)
Primeri iz udžbenika:
✓ Primer 33 – 85.str. ✓ Primer 34 – 85.str.
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
18
• Zapremina pravilne trostrane prizme (udžbenik, 86.strana)
Primeri iz udžbenika:
✓ Primer 35 – 86.str.
• Zapremina pravilne šestostrane prizme (udžbenik, 86.strana)
Primeri iz udžbenika:
✓ Primer 36 – 87.str.
Zadaci iz zbirke: 373, 374, 376, 383, 384, 385, 386, 387, 392, 395, 396, 397, 401, 402, 403, 404, 408, 409, 410, 411, 412, 413,
414, 416, 422, 423, 424, 425, 426, 427, 428, 429, 430, 431, 432, 433, 441 (ukupno 37 zad.)
ZADACI ZA VEŽBANJE
ZAPREMINA ČETVOROSTRANE PRIZME
1. Izračunati zapreminu kocke čija je ivica a = 5cm.
2. Izračunati zapreminu kocke čija je površina P = 600cm2.
3. Izračunati zapreminu kvadra čije su ivice a = 6cm, b = 8cm i c = 10cm.
4. Ako su ivice kvadra a = 9cm i b = 12cm, a dužina dijagonale je D = 17cm, izračunati zapreminu kvadra.
5. Koliko litara vode se može naliti u bazen čija je dužina a = 50m, širina b = 20m i dubina c = 2m.
6. Izračunati zapreminu pravilne četvorostrane prizme čija je osnovna ivica a = 7cm, a visina prizme H = 9cm.
7. Ako je osnovna ivica pravilne četvorostrane prizme a = 5cm, a površina omotača M = 200cm2, izračunati zapreminu te
prizme.
8. Izračunati površinu pravilne četvorostrane prizme čija je površina osnove B = 144cm2, a zapremina V = 1152cm3.
9. Izračunati zapreminu pravilne četvorostrane prizme čija je površina P = 290cm2, a osnovna ivica je a = 5cm.
10. Izračunati zapreminu pravilne četvorostrane prizme čija je površina P = 264cm2, a površina omotača je M = 192cm2.
11. Izračunati zapreminu pravilne četvorostrane prizme čija je površina P = 352cm2, a visina je pet puta duža od osnovne ivice.
12. Kolika je cena daske, dužine a = 2.5m, širine b = 3dm, debljine c = 4cm, ako je cena 1m3 ove građe 12000 dinara.
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
19
13. Dve ivice kvadra su a = 12cm i b = 35cm. Dijagonalni presek kvadra koji sadrži treću ivicu predstavlja kvadrat. Izračunaj
površinu i zapreminu kvadra.
14. Razmera ivica kvadra je a : b : c = 1 : 3 : 5, a zbir dužina svih ivica je 108cm. Odredi zapreminu kvadra.
15. Izračunati zapreminu pravilne četvorostrane prizme čija je dijagonala bočne strane d = 10cm, a osnovna ivica i visina su u
razmeri a : H = 3 : 4
16. Izračunati površinu i zapreminu prave jednakoivične prizme, čija je osnova romb sa dijagonalama d1 = 10cm i d2 = 24cm.
17. Poprečni presek nasipa je jednakokraki trapez, čije su osnovice dužina a = 14m i b = 5m, a visina h = 6m. Koliko m3 zemlje
je potrebno da bi se napravio ovakav nasip dužine 10km?
18. Izračunati zapreminu prave prizme čija je osnova pravougli trapez čije su osnovice a = 12cm i b = 8cm, a krak c = 5cm.
Visina prizme je jednaka četvorostrukoj vrednosti visine osnove.
19. Izračunati zapreminu pravilne četvorostrane prizme čija je dijagonala D = 3.5cm, a dijagonala bočne strane je d = 2.5cm.
20. Dijagonala pravilne četvorostrane prizme je D=12cm. Njen nagibni ugao prema ravni osnove je 450.
a) Izračunati dužinu osnovne ivice, a
b) Izračunati visinu prizme, H
v) Izračunati površinu osnove, B
g) Izračunati površinu omotača, M
d) Izračunati površinu prizme, P
đ) Izračunati zapreminu prizme, V
21. Osnovna ivica pravilne četvorostrane prizme je a=7cm, a dijagonala prizme sa ravni njene osnove obrazuje ugao od 600.
a) Izračunati dijagonalu prizme, D
b) Izračunati visinu prizme, H
v) Izračunati površinu osnove, B
g) Izračunati površinu omotača, M
d) Izračunati površinu prizme, P
đ) Izračunati zapreminu prizme, V
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
20
22. Na slici je prikazan poprečni presek metalne cevi, dužine 5m.
a) Izračunati površinu osnove (baze) cevi
b) Izračunati zapreminu cevi
v) Izračunati masu cevi, ako je gustina metala 8,9 g/cm3.
Rezultat izraziti u kilogramima.
ZAPREMINA TROSTRANE PRIZME
23. Izračunati zapreminu pravilne trostrane prizme čija je osnovna ivica a = 6cm, a visina prizme H = 12cm.
24. Ako je visina pravilne trostrane prizme H = 5cm, a površina omotača M = 120cm2, izračunati zapreminu te prizme.
25. Izračunati površinu pravilne trostrane prizme čija je visina H = 12cm, a zapremina V = 300√𝟑 cm3.
26. Izračunati zapreminu prave trostrane prizme, čija je osnova pravougli trougao čije su katete u razmeri a : b = 3 : 4, a visina
prizme je jednaka dužini hipotenuze tog trougla, H = c = 15cm.
27. Osnova prave prizme je jednakokraki trougao čiji je krak b = 8cm, a ugao pri vrhu α = 120o. Izračunati zapreminu te prizme,
ako je visina prizme H = 4cm.
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
21
28. Osnovna ivica pravilne trostrane prizme je a = 4cm, a visina je H = 6cm. Odredi masu ove prizme koja je napravljena od
drveta ako je gustina drveta ρ = 0.866 g/cm3. Napomena: Uzeti da je √3 = 1.732
29. Na slici je prikazan poprečni presek čelične cevi, dužine 2m.
a) Izračunati površinu osnove (baze) cevi
b) Izračunati zapreminu cevi
v) Izračunati masu cevi, ako je gustina čelika 7,7 g/cm3. Rezultat izraziti u
kilogramima.
30. Izračunati zapreminu pravilne trostrane prizme, ako je P = 90√𝟑 cm2 i M = 72√𝟑 cm2
31. Izračunati dužinu osnovne ivice pravilne jednakoivične trostrane prizme, ako je V = 250√𝟑 cm3
32. Izračunati zapreminu pravilne trostrane prizme, ako je B = 25√𝟑 cm2 i M = 75√𝟑 cm2
ZAPREMINA ŠESTOSTRANE PRIZME
33. Izračunati zapreminu pravilne šestostrane prizme čija je osnovna ivica a = 3cm, a visina prizme H = 8cm.
34. Ako je površina omotača pravilne jednakoivične šestostrane prizme M = 96cm2, izračunati zapreminu te prizme.
35. Izračunati površinu pravilne šestostrane prizme čija je visina H = 2cm, a zapremina V = 192√𝟑𝐜𝐦𝟑.
36. Poluprečnik upisane kružnice u osnovu pravilne šestostrane prizme ru = 3cm. Izračunati zapreminu te prizme, ako je
površina prizme zapremina P = 96√𝟑𝐜𝐦𝟐.
37. Izračunati zapreminu pravilne šestostrane prizme, čija je visina H = 6cm, a dijagonala bočne strane zaklapa sa ravni osnove
ugao od 60o.
38. Površina većeg dijagonalnog preseka pravilne šestostrane prizme je PV = 96cm2, a visina prizme i osnova ivice su u razmeri
H : a = 3 : 1. Izračunati zapreminu te prizme.
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
22
39. Kolika je masa gvozdene šipke oblika pravilne šestostrane prizme čija je dužina 5m, a osnovna ivica 2cm, ako je gustina
gvožđa 7.8 g/cm3. Napomena: Uzeti da je √3 = 1.732
40. Duža prostorna dijagonala pravilne šestostrane prizme je
D = 20cm i nagnuta je prema ravni osnove pod uglom od
60o. Izračunati površinu i zapreminu te prizme.
41. Izračunaj površinu i zapreminu pravilne šestostrane prizme čija je bočna strana kvadrat površine 1dm2.
REŠENJA ZADATAKA:
ZAPREMINA ČETVOROSTRANE PRIZME
1. Izračunati zapreminu kocke čija je ivica a = 5cm.
REŠENJE:
V = a3 = 53 = 125cm3
2. Izračunati zapreminu kocke čija je površina P = 600cm2.
REŠENJE:
P = 6a2 = 600cm2
→ a2 = 100
→ a = 10cm
→ V = a3 = 103 = 1000cm3
3. Izračunati zapreminu kvadra čije su ivice a = 6cm, b = 8cm i c = 10cm.
REŠENJE:
V = a ∙ b ∙ 𝒄 = 6 ∙ 8 ∙ 𝟏𝟎 = 480cm3
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
23
4. Ako su ivice kvadra a = 9cm i b = 12cm, a dužina dijagonale je D = 17cm, izračunati zapreminu kvadra.
REŠENJE:
D2 = a2 + b2 + c2
172 = 92 + 122 + c2
289 = 225 + c2
c2 = 64 → c = 8cm
V = a ∙ b ∙ 𝒄 = 9 ∙ 12 ∙ 𝟖 = 864cm3
5. Koliko litara vode se može naliti u bazen čija je dužina a = 50m, širina b = 20m i dubina c = 2m.
REŠENJE:
1dm3 = 1l
1m3 = 1000dm3
V = a ∙ b ∙ 𝒄 = 50 ∙ 20 ∙ 𝟐 = 2000m3 = 2000000dm3 = 2000000 l
6. Izračunati zapreminu pravilne četvorostrane prizme čija je osnovna ivica a = 7cm, a visina prizme H = 9cm.
REŠENJE:
B = a2 = 72 = 49cm2
V = B ∙ H = 49 ∙ 9 = 441cm3
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
24
7. Ako je osnovna ivica pravilne četvorostrane prizme a = 5cm, a površina omotača M = 200cm2, izračunati zapreminu te
prizme.
REŠENJE:
B = a2 = 52 = 25cm2
M = 4a ∙ 𝐇
200 = 20 ∙ H
H = 10cm
V = B ∙ H = 25 ∙ 10 = 250cm3
8. Izračunati površinu pravilne četvorostrane prizme čija je površina osnove B = 144cm2, a zapremina V = 1152cm3.
REŠENJE:
B = a2 = 144cm2 → a = 12cm
V = B ∙ H = 144 ∙ H = 1152cm3
H = 8cm
M = 4a ∙ 𝐇 = 4 ∙ 𝟏𝟐 ∙ 𝟖 = 384cm2
P = 2B + M = 2 ∙ 𝟏𝟒𝟒 + 𝟑𝟖𝟒
P = 288 + 384 = 672cm2
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
25
9. Izračunati zapreminu pravilne četvorostrane prizme čija je površina P = 290cm2, a osnovna ivica je a = 5cm.
REŠENJE (zbirka, 384.a)):
B = a2 = 25cm2
P = 2B + M
290 = 2 ∙ 𝟐𝟓 + M
M = 240cm2
M = 4a ∙ 𝐇
240 = 4 ∙ 5 ∙ 𝐇 → H = 12 cm
V = B ∙ H = 25 ∙ 12 = 300 cm3
10. Izračunati zapreminu pravilne četvorostrane prizme čija je površina P = 264cm2, a površina omotača je M = 192cm2.
REŠENJE (zbirka, 385.a)):
P = 2B + M
264 = 2B + 192 → 2B = 72 → B = 36cm2
B = a2 = 36cm2 → a = 6cm
M = 4a ∙ 𝐇
192 = 4 ∙ 6 ∙ 𝐇 → H = 8 cm
V = B ∙ H = 36 ∙ 8 = 288 cm3
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
26
11. Izračunati zapreminu pravilne četvorostrane prizme čija je površina P = 352cm2, a visina je pet puta duža od osnovne ivice.
REŠENJE (zbirka, 387.)):
P = 2B + M
→ P = 2a2 + 4a ∙ H
→ 352 = 2a2 + 4a ∙ 𝟓a
→ 22 ∙ a2 = 352 → B = a2 = 352 / 22 = 16cm2
→ a = 4cm → H = 5a = 20cm
V = B ∙ H = 16 ∙ 20 = 320 cm3
12. Kolika je cena daske, dužine a = 2.5m, širine b = 3dm, debljine c = 4cm, ako je cena 1m3 ove građe 12000 dinara.
REŠENJE (zbirka, 392.)):
V = a ∙ b ∙ c = 2.5 ∙ 0.3 ∙ 0.04 = 0.03m3
Ukupna cena: 0.03 ∙ 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝟑𝟔𝟎 dinara
13. Dve ivice kvadra su a = 12cm i b = 35cm. Dijagonalni presek kvadra koji sadrži treću ivicu predstavlja kvadrat. Izračunaj
površinu i zapreminu kvadra.
REŠENJE (zbirka, 396.)):
c = d = √𝑎2 + 𝑏2 = √122 + 352 = √1369
c = d = 37cm
P = 2 ∙ (ab + ac + bc) = 2 ∙ (12 ∙ 35 + 12 ∙ 37 + 35 ∙ 37)
P = 2 ∙ (𝟒𝟐𝟎 + 𝟒𝟒𝟒 + 𝟏𝟐𝟗𝟓) = 2 ∙ 2159 = 4318cm2
V = a ∙ b ∙ c = 12 ∙ 𝟑𝟓 ∙ 𝟑𝟕 = 15540 m3
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
27
14. Razmera ivica kvadra je a : b : c = 1 : 3 : 5, a zbir dužina svih ivica je 108cm. Odredi zapreminu kvadra.
REŠENJE (zbirka, 397.)):
a : b : c = 1 : 3 : 5 → a = k; b = 3k; c = 5k;
4 ∙ (a + b + c ) = 108 → a + b + c = 27cm → k + 3k + 5k = 9k = 27 → k = 3 → a = 3cm; b = 9cm; c = 15cm;
V = a ∙ b ∙ c = 3 ∙ 𝟗 ∙ 𝟏𝟓 = 405 cm3
15. Izračunati zapreminu pravilne četvorostrane prizme čija je dijagonala bočne strane d = 10cm, a osnovna ivica i visina su u
razmeri a : H = 3 : 4
REŠENJE:
a : H = 3 : 4 → a = 3k, H = 4k
d2 = a2 + H2
100 = (3k)2 + (4k)2
25k2 = 100 → k = 2 → a = 6cm, H = 8cm
B = a2 = 36cm2
V = B ∙ H = 36 ∙ 8 = 288cm3
16. Izračunati površinu i zapreminu prave jednakoivične prizme, čija je osnova romb sa dijagonalama d1 = 10cm i d2 = 24cm.
REŠENJE (zbirka, 408.) :
a
a
a
a
H
H
B =d1 ∙ d2
2=
10 ∙ 24
2= 120cm2
𝑎 = √(d1
2)
2+ (
d2
2)
2= √(
10
2)
2+ (
24
2)
2= 13cm
H = a = 13cm
M = 4aH= 4 ∙ 13 ∙ 13 = 676cm2
P = 2B + M = 2 ∙ 120 + 676
P = 916 cm2
V = B ∙ H = 120 ∙ 13 = 1560 cm3
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
28
17. Poprečni presek nasipa je jednakokraki trapez, čije su osnovice dužina a = 14m i b = 5m, a visina h = 6m. Koliko m3 zemlje
je potrebno da bi se napravio ovakav nasip dužine 10km?
REŠENJE (zbirka, 409.) :
𝐁 = (𝒂 + 𝒃
𝟐) ∙ 𝐡 = (
𝟏𝟒 + 𝟓
𝟐) ∙ 𝟔 = 𝟓𝟕 𝐦𝟐
V = B ∙ H = 57 ∙ 10000 = 570000 m3
18. Izračunati zapreminu prave prizme čija je osnova pravougli trapez čije su osnovice a = 12cm i b = 8cm, a krak c = 5cm.
Visina prizme je jednaka četvorostrukoj vrednosti visine osnove.
REŠENJE:
𝑐2 = (𝑎 − b)2 + h2
h = √𝑐2−(𝑎 − b)2
h = √52−(12 − 8)2
h = √25 − 16 = 3cm
H = 4h = 12cm
B =𝑎 + b
2∙ h =
12 + 8
2∙ 3 = 30𝑐𝑚2
𝐕 = 𝐁 ∙ 𝐇 = 𝟑𝟎 ∙ 𝟏𝟐 = 𝟑𝟔𝟎𝒄𝒎𝟑
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
29
19. Izračunati zapreminu pravilne četvorostrane prizme čija je dijagonala D = 3.5cm, a dijagonala bočne strane je d = 2.5cm.
REŠENJE:
d2 = 𝑎2 + H2
D2 = (𝑎√2)2 + H2 = 2𝑎2 + H2
D2 – d2 = 2a2 + H2 – (𝑎2 + H2)
3.52 – 2.52 = a2
𝑎 = √12.25 − 6.25
𝒂 = √𝟔 cm
2.52 = 6 + H2 → H = 0.5cm
V = B ∙ 𝐇 = a2 ∙ H = 6 ∙ 𝟎. 𝟓 = 𝟑𝐜𝐦𝟑
20. Dijagonala pravilne četvorostrane prizme je D=12cm. Njen nagibni ugao prema ravni osnove je 450.
a) Izračunati dužinu osnovne ivice, a
b) Izračunati visinu prizme, H
v) Izračunati površinu osnove, B
g) Izračunati površinu omotača, M
d) Izračunati površinu prizme, P
đ) Izračunati zapreminu prizme, V
REŠENJE:
𝒂) 𝒂√𝟐 = 𝐇 (zbog ugla od 45o)
→ (𝒂√𝟐)2 + H2 = 122
→ (𝒂√𝟐)2 + (𝒂√𝟐)2 = 122
→ 4a2 = 144 → a = 6cm
b)
𝐇 = 𝒂√𝟐
→ H = 6√𝟐 cm
v)
B = a2 = 62 = 36cm2
g)
M = 4aH = 144√𝟐 cm2
d) P = 2B + M = 2 ∙ 36 + 144√𝟐
→ P = 72 ∙ (1 + 2√𝟐) cm2
đ) V = B ∙ H = 36 ∙ 6 √𝟐
→ V = 216 √𝟐 cm3
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
30
21. Osnovna ivica pravilne četvorostrane prizme je a=7cm, a dijagonala prizme sa ravni njene osnove obrazuje ugao od 600.
a) Izračunati dijagonalu prizme, D
b) Izračunati visinu prizme, H
v) Izračunati površinu osnove, B
g) Izračunati površinu omotača, M
d) Izračunati površinu prizme, P
đ) Izračunati zapreminu prizme, V
REŠENJE:
a)
D = 2𝒂√𝟐 = 14√𝟐 cm
b)
H = (𝐃√𝟑)
𝟐
→ H = (𝟏𝟒√𝟐 √𝟑)
𝟐 = 𝟕√𝟔 cm
v)
B = a2 = 49cm2
g)
M = 4aH = 4 ∙ 7 ∙ 7√𝟔
→ M = 196√𝟔 cm2
d)
P = 2B + M
→ P = 98 (1 + 2√𝟔)cm2
đ)
V = B ∙ H = 49 ∙ 𝟕√𝟔
→ V = 343√𝟔 cm3
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
31
22. Na slici je prikazan poprečni presek metalne cevi, dužine 5m.
a) Izračunati površinu osnove (baze) cevi
b) Izračunati zapreminu cevi
v) Izračunati masu cevi, ako je gustina metala 8,9 g/cm3.
Rezultat izraziti u kilogramima.
REŠENJE:
a)
B = BS – BU = 52 – 42 = 9cm2
b)
V = B ∙ H = 9cm2 ∙ 500cm = 4500cm3
v)
m = ρ ∙ V = 8.9g/cm3 ∙ 4500cm3
→ m = 40050g = 40.05kg
ZAPREMINA TROSTRANE PRIZME
23. Izračunati zapreminu pravilne trostrane prizme čija je osnovna ivica a = 6cm, a visina prizme H = 12cm.
REŠENJE:
B =𝑎2√3
4=
62√3
4= 9√3cm2
V = B ∙ H = 9√𝟑 ∙ 12 = 108√𝟑cm3
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
32
24. Ako je visina pravilne trostrane prizme H = 5cm, a površina omotača M = 120cm2, izračunati zapreminu te prizme.
REŠENJE:
M = 3aH
120 = 3 ∙ 𝑎 ∙ 5 → a = 120 / 15 = 8cm
B =𝑎2√3
4=
82√3
4= 16√3cm2
V = B ∙ H = 16√𝟑 ∙ 5 = 8𝟎√𝟑cm3
25. Izračunati površinu pravilne trostrane prizme čija je visina H = 12cm, a zapremina V = 300√𝟑 cm3.
REŠENJE:
V = B ∙ H = B ∙ 12 = 300√3 cm3
B =𝑎2√3
4= 25√3cm2
𝑎2√3 = 100√3 → a = 10cm
M = 3 ∙ 𝑎 ∙ H = 3 ∙ 10 ∙ 12 = 360cm2
P = 2B + M = 2 ∙ 𝟐𝟓√𝟑 + 360 = 5 ∙ (𝟏𝟎√𝟑 + 𝟕𝟐) cm2
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
33
26. Izračunati zapreminu prave trostrane prizme, čija je osnova pravougli trougao čije su katete u razmeri a : b = 3 : 4, a visina
prizme je jednaka dužini hipotenuze tog trougla, H = c = 15cm.
REŠENJE:
a = 3k, b = 4k;
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √(3𝑘)2 + (4𝑘)2
15 = √25𝑘2
5k = 15 → k = 3 → a = 3k = 9cm, b = 4k = 12cm;
B =𝑎 ∙ b
2=
9 ∙ 12
2= 54 cm2
V = B ∙ H = 54 ∙ 15 = 810 cm3
27. Osnova prave prizme je jednakokraki trougao čiji je krak b = 8cm, a ugao pri vrhu α = 120o. Izračunati zapreminu te prizme,
ako je visina prizme H = 4cm.
REŠENJE:
𝐁 =𝐛𝟐√𝟑
𝟒= 𝟏𝟔√𝟑𝐜𝐦𝟐
V = B ∙ 𝐇 = 𝟏𝟔√𝟑 ∙ 𝟒 = 𝟔𝟒√𝟑𝐜𝐦𝟑
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
34
28. Osnovna ivica pravilne trostrane prizme je a = 4cm, a visina je H = 6cm. Odredi masu ove prizme koja je napravljena od
drveta ako je gustina drveta ρ = 0.866 g/cm3. Napomena: Uzeti da je √3 = 1.732
REŠENJE:
B =𝑎2√3
4= 4√3cm2
V = B ∙ H = 4√3 ∙ 6 = 24√3 cm3
m = ρ ∙ V = 𝟎. 𝟖𝟔𝟔 ∙ 𝟐𝟒 ∙ 𝟏. 𝟕𝟑𝟐 ≈ 36g
29. Na slici je prikazan poprečni presek čelične cevi, dužine 2m.
a) Izračunati površinu osnove (baze) cevi
b) Izračunati zapreminu cevi
v) Izračunati masu cevi, ako je gustina čelika 7,7 g/cm3. Rezultat izraziti u
kilogramima.
REŠENJE:
a)
B = BS – BU = 0.5 ∙ (8 ∙ 6 – 4 ∙ 3) = 18cm2
b)
V = B ∙ H = 18 ∙ 200 = 3600cm3
v)
m = ρV = 7.7g/cm3 ∙ 3600cm3
→ m = 27720g = 27.72kg
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
35
30. Izračunati zapreminu pravilne trostrane prizme, ako je P = 90√𝟑 cm2 i M = 72√𝟑 cm2
REŠENJE (zbirka, 410.b)):
P = 2B + M
90√𝟑 = 2B + 72√𝟑
2B = 18√3 → B = 9√𝟑 cm2
B =𝑎2√3
4= 9√3 → 𝒂 = 𝟔𝒄𝒎
M = 3aH = 3 ∙ 6H → 18H = 72√3 → H = 4√𝟑 cm
𝐕 = 𝐁 ∙ 𝐇 = 𝟗√𝟑 ∙ 𝟒√𝟑 = 𝟏𝟎𝟖𝐜𝐦𝟑
31. Izračunati dužinu osnovne ivice pravilne jednakoivične trostrane prizme, ako je V = 250√𝟑 cm3
REŠENJE (zbirka, 413.v)):
H = a
B =𝑎2√3
4= 4√3cm2
V = B ∙ H =𝑎2√3
4∙ 𝑎 =
𝑎3√3
4= 250√3cm3
a3 = 1000 → a = 10cm
32. Izračunati zapreminu pravilne trostrane prizme, ako je B = 25√𝟑 cm2 i M = 75√𝟑 cm2
REŠENJE (zbirka, 414.):
B =𝑎2√3
4= 25√3 → 𝒂 = 𝟏𝟎𝒄𝒎
M = 3aH = 3 ∙ 10H → 30H = 75√3 → H = 2.5√𝟑 cm
𝐕 = 𝐁 ∙ 𝐇 = 𝟐𝟓√𝟑 ∙ 𝟐. 𝟓√𝟑 = 𝟏𝟖𝟕. 𝟓 𝐜𝐦𝟑
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
36
ZAPREMINA ŠESTOSTRANE PRIZME
33. Izračunati zapreminu pravilne šestostrane prizme čija je osnovna ivica a = 3cm, a visina prizme H = 8cm.
REŠENJE:
B = 6𝑎2√3
4= 6
32√3
4= 13.5√3cm2
V = B ∙ H = 13.5√𝟑 ∙ 8 = 108√𝟑cm3
34. Ako je površina omotača pravilne jednakoivične šestostrane prizme M = 96cm2, izračunati zapreminu te prizme.
REŠENJE:
H = a
M = 6aH = 6a2 = 96 → a2 = 16 → a = 4cm, H = 4cm
B = 6𝑎2√3
4= 6
42√3
4= 24√3cm2
V = B ∙ H = 24√𝟑 ∙ 4 = 96√𝟑cm3
35. Izračunati površinu pravilne šestostrane prizme čija je visina H = 2cm, a zapremina V = 192√𝟑𝐜𝐦𝟑.
REŠENJE:
V = B ∙ H
B = 6𝑎2√3
4=
V
H=
192√3
2= 96√3cm2
6𝑎2
4= 96 → 𝑎2 =
4 ∙ 96
6 → 𝑎2 = 64 → 𝑎 = 8cm
M = 6aH = 6 ∙ 8 ∙ 2 = 96cm2
P = 2B + M = 2 ∙ 𝟗𝟔√𝟑 + 𝟗𝟔 = 96 ∙ (𝟐√𝟑 + 𝟏) cm2
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
37
36. Poluprečnik upisane kružnice u osnovu pravilne šestostrane prizme ru = 3cm. Izračunati zapreminu te prizme, ako je
površina prizme zapremina P = 96√𝟑𝐜𝐦𝟐.
REŠENJE:
𝑟𝑢 =𝑎√3
2 → 𝑎√3 = 2 ∙ 𝑟𝑢 = 6 → 𝑎 =
6√3
√3 ∙ √3 → 𝒂 = 𝟐√𝟑 𝐜𝐦
B = 6𝑎2√3
4= 6
(2√3)2√3
4= 18√3cm2
P = 2B + M → M = P − 2B → M = 96√3 − 2 ∙ 18√3
M = 6aH = 6 ∙ 2√3 ∙ H = 60√3 → 𝐇 = 𝟓𝐜𝐦
V = B ∙ H = 18√𝟑 ∙ 𝟓 = 𝟗𝟎√𝟑 cm3
37. Izračunati zapreminu pravilne šestostrane prizme, čija je visina H = 6cm, a dijagonala bočne strane zaklapa sa ravni osnove
ugao od 60o.
REŠENJE:
H =d√3
2=
2𝑎√3
2= 𝑎√3
𝑎 =H√3
3= 2√3 cm
B = 6𝑎2√3
4= 6
(2√3)2√3
4= 18√3cm2
V = B ∙ H = 18√𝟑 ∙ 𝟔 = 𝟏𝟎𝟖√𝟑 cm3
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
38
38. Površina većeg dijagonalnog preseka pravilne šestostrane prizme je PV = 96cm2, a visina prizme i osnova ivica su u razmeri
H : a = 3 : 1. Izračunati zapreminu te prizme.
REŠENJE:
H ∶ 𝑎 = 3 ∶ 1 → H = 3𝑎
Pv = dv ∙ H → Pv = 2𝑎 ∙ H → Pv = 2𝑎 ∙ 3𝑎 → Pv = 6𝑎2→ 𝑎2 =
Pv
6=
96
6= 16
→ 𝒂 = 𝟒𝐜𝐦 → H = 3𝑎 = 𝟏𝟐 𝐜𝐦
B = 6𝑎2√3
4= 6
42√3
4= 24√3cm2
V = B ∙ H = 24√𝟑 ∙ 𝟏𝟐 = 𝟐𝟖𝟖√𝟑 cm3
39. Kolika je masa gvozdene šipke oblika pravilne šestostrane prizme čija je dužina 5m, a osnovna ivica 2cm, ako je gustina
gvožđa 7.8 g/cm3. Napomena: Uzeti da je √3 = 1.732
REŠENJE (zbirka, 424.):
H = 5m = 500cm; a = 2cm; ρ = 7.8 g/cm3
B = 6𝑎2√3
4= 6
22√3
4= 6√3cm2
V = B ∙ H = 6√3 ∙ 500 = 3000√3 cm3 = 5196 cm3
m = ρ ∙ 𝐕 = 7.8 ∙ 𝟓𝟏𝟗𝟔 = 𝟒𝟎𝟓𝟐𝟖. 𝟖 𝐠 = 𝟒𝟎. 𝟓𝟐𝟖𝟖 𝐤𝐠
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
39
40. Duža prostorna dijagonala pravilne šestostrane prizme je D = 20cm i nagnuta je prema ravni osnove pod uglom od 60o.
Izračunati površinu i zapreminu te prizme.
REŠENJE:
dv = 2a
D = 2dv = 2 ∙ 2a = 4a → a = D
4 = 5cm
H =D√3
2=
20√3
2= 10√3 cm
B = 6𝑎2√3
4= 6
52√3
4= 37.5 √3cm2
M = 6aH = 6 ∙ 5 ∙ 10√3 = 300√3 cm2
P = 2B + M = 2 ∙ 𝟑𝟕. 𝟓 √𝟑 + 𝟑𝟎𝟎 √𝟑 = 𝟑𝟕𝟓√𝟑 cm2
V = B ∙ H = 37.5√𝟑 ∙ 𝟏𝟎√𝟑 cm3 = 1125 cm3
41. Izračunaj površinu i zapreminu pravilne šestostrane prizme čija je bočna strana kvadrat površine 1dm2.
REŠENJE (zbirka, 430.):
a = H
1dm2 = 100cm2 = aH = a2 → a = 10cm, H = 10cm
B = 6𝑎2√3
4= 6
102√3
4= 150 √3cm2
M = 6aH = 6 ∙ 10 ∙ 10 = 600 cm2
P = 2B + M = 2 ∙ 𝟏𝟓𝟎 √𝟑 + 𝟔𝟎𝟎 = 𝟑𝟎𝟎 ∙ (√𝟑 + 𝟐) cm2
V = B ∙ H = 150√𝟑 ∙ 𝟏𝟎 = 150𝟎√𝟑 cm3
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
40
PRIMER KONTROLNOG ZADATKA – K3
1. (1 poen) Izračunati dužinu ivice kocke ako je površina dijagonalnog preseka 9√2 cm2.
REŠENJE:
2. (3 poena) Veći dijagonalni presek pravilne šestostrane prizme predstavlja kvadrat površine P1 = 324cm2.
a) (1 poen) Izračunati dužinu osnovne ivice a
b) (1 poen) Izračunati površinu baze, B
v) (1 poen) Izračunati površinu omotača, M
REŠENJE:
2a = H
P1 = 2a ∙ H = 4a2 = 324
𝑎 = √324
4= √81 = 9cm
H = 18 cm
B = 6𝑎2√3
4= 121.5 √3 cm2
M = 6aH= 6 ∙ 9 ∙ 18 = 972 cm2
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
41
3. (2 poena) Osnova prave prizme je trapez čije su osnovice a = 14m i b = 5m, a visina h = 8m. Visina prizme je H = 2 dm.
a) (1p.) Izračunati površinu osnove ove prizme, B
b) (1p.) Izračunati zapreminu ove prizme, V
REŠENJE:
𝒂) 𝐁 = (𝒂 + 𝒃
𝟐) ∙ 𝐡 = (
𝟏𝟒 + 𝟓
𝟐) ∙ 𝟖 = 𝟕𝟔 𝐦𝟐 b) V = B ∙ H = 76 ∙ 0.2 = 15.2 m3
4. (3 poena) Osnovna ivica pravilne četvorostrane prizme je a = 4cm, a dijagonala prizme sa ravni njene osnove obrazuje ugao
od 450.
a) (1p.) Izračunati visinu prizme, H
b) (1p.) Izračunati dijagonalu prizme, D
v) (1p.) Izračunati površinu omotača, M
REŠENJE:
a)
𝒂√𝟐 = 𝐇 (zbog ugla od 45o)
→ 𝐇 = 𝟒√𝟐 𝐜𝐦
b)
(𝒂√𝟐)2 + H2 = D2
→ (𝟒√𝟐)2 + (𝟒√𝟐)2 = D2
→ D2 = 64 → D = 8cm
v)
M = 4aH = 4 ∙ 4 ∙ 4√𝟐 = 64√𝟐 cm2
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
42
5. (3 poena) Na slici je prikazan poprečni presek čelične cevi, dužine 4 dm.
a) (1p.) Izračunati površinu osnove (baze) cevi, B
b) (1p.) Izračunati zapreminu cevi, V
v) (1p.) Izračunati masu cevi, ako je gustina čelika ρ = 7,7 g/cm3.
REŠENJE:
a)
B = BS – BU = 0.5 ∙ (8 ∙ 6 – 4 ∙ 3) = 18cm2
b)
V = B ∙ H = 18 ∙ 40 = 720cm3
v)
m = ρ ∙ V = 7.7g/cm3 ∙ 720cm3
→ m = 5544 g = 5.544 kg
Matematika za 8.razred; K3 - Prizma; Trajan Stanču
43