Základy vektorového počtukartézská soustava souřadná (pravoúhlá, pravotočivá)
• vektor je popsán svými třemi průměty ax, ay, az do souřadných osa ortogonálními vektory báze
)0,0,1(=ir
)0,1,0(=jr
)1,0,0(=kr
kajaiaaaaa zyxzyx
rrrr++== ),,(
velikost vektoru: 222zyx aaaa ++=
vektor:vektory báze:
rr
xy
z
α β
γ
ir j
rkr
Polohový vektor:
kzjyixzyxrrrrr
++== ),,(
rz
=γcosry
=βcosrx
=αcos
1coscoscos 222 =γ+β+α
Základy vektorového počtu
v praxi existují i jiné (křivočaré) souřadné soustavy (sférické, válcové, eliptické,…)
kzjyixzyxrrrrr
++== ),,(
sférické souřadnice:
rr
xy
z
ϕ
ϑ
ir j
rkr
rz
=ϑcosϕϑ= cossinrx
ϕϑ= sinsinry
ϑ= cosrz ry
=ϕsin
rx
=ϕcos
Základy vektorového počtuSkalární součin dvou vektorů
abba rrrr⋅=⋅
0=⋅⇒⊥ babarrrr
abbaba =⋅⇒⎥⎥rrrr
- výsledkem je číslo (skalár)
( ) ∑=++=ϕ=⋅=k
kkzzyyxxba babababababaS rr
rr cos
Vektorový součin dvou vektorů
( )zyx
zyxbaba
bbbaaakji
nbababac
rrr
rrrrrrrrrr =ϕ==×= sin],[
abba rrrr×−=×
- výsledkem je vektor, kolmý na oba vektory
bababaS rr
rrϕ=×= sinplocha:
bcacrrrr
⊥∧⊥
0rrrrr
=×⇒⎥⎥ babaar
brcr
barrϕban rr
r
Základy vektorového počtuDvojnásobný vektorový součin:
( ) ( ) ( )baccabcbarrrrrrrrr⋅−⋅=××
Smíšený součin vektorů : -při cyklické permutaci vektorů se nemění
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dacbdbcadcbarrrrrrrrrrrr
⋅⋅−⋅⋅=×⋅× ][][
Dále platí identita
( )zyx
zyx
zyx
cccbbbaaa
cba =×⋅rrr ( ) ( ) ( )bacacbcba
rrrrrrrrr×⋅=×⋅=×⋅
( ) ( )bcacbarrrrrr
×⋅−=×⋅
Dyadický (tenzorový) součin vektorů :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⊗=
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
bababababababababa
bacrrr- výsledkem je matice
Základy vektorového počtuvelikost oblouku
ϕ= dd Rs
Elementární otočení vektoru kolem osy:
1=cr-jednotkový vektor ve směru osy otáčení:
-otočení o elementární úhel dϕ
-pootočený vektor:
-vektor pootočení:
-změna vektoru:
ϕ==α⋅=×
dd
dd
ddsin)( a
saR
aaaac
rr
r
rrr
)d(d)(d aaacaaaa rrrrrrrrr×ϕ+=ϕ×+=+=′
ϕ⋅=ϕ dd crr
aa rrr×ϕ= dd
o
cr
ara′r
ardϕd
R
α
Základy vektorového počtuOrtogonální transformace souřadnic (rotace):
aa rr T=′zyx TTTT =
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
ψψψ−ψ=
cossin0sincos0001
xT rotace kolem osy x o úhel ψ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
ϑϑ−
ϑϑ=
cos0sin010
sin0cos
yT rotace kolem osy y o úhel ϑ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ϕϕϕ−ϕ
=1000cossin0sincos
zT rotace kolem osy z o úhel ϕ
Užitečné matematické vztahy...
!2)(
!1)()()( 200
00 xxfxxfxfxxf ∆′′
+∆′
+=∆+Taylorův rozvoj:
ε±=ε± nn 1)1(počítání s malými čísly: 1<<ε
...53
sin53
−α
+α
−α=α
...42
1cos42
−α
+α
−=α
...21
12
+++=xxex
ϕ+ϕ=ϕ sincos ieiEulerův vztah:
Re
Im
1
ϕie
ϕ1−
i
i−
1−=i
Základy vektorového počtuzměna nějaké veličiny Y = f(Xi), která je funkcí N proměnných Xi lze vyjádřit pomocí totálního diferenciálu
ve fyzice často veličiny závisí na jiných veličinách (např.na čase, atd.) a pro změnu vektorové funkce skalárního argumentu platí:
∑= ∂
∂=
N
ii
i
XXfY
1dd
vyjadřuje lineárnípřírůstek funkce ftotální diferenciál:
kt
ajt
ai
ta
ta
ta
ta
tta zyxzyx
rrrr
dd
dd
dd)
dd,
dd
,d
d(d
)(d++==
derivace
xfxf
dd)( ≡′
zyx akajaita ddd)(drrrr
++=diferenciál vektoru:
Základy vektorového počtuPříklad: (výpočet změny objemu a povrchu válce)
h
r2
VVV ∆+
pokud budou změny rozměrů∆D a ∆h dostatečně malé:
hrV 2π= 222 rrhS π+π=
objem: povrch:
hrrrhhhVr
rVV ∆π+∆π=∆
∂∂
+∆∂∂
=∆ 22&Změna objemu:
hrrrhhhSr
rSS ∆π+∆π+π=∆
∂∂
+∆∂∂
=∆ 2)42(&Změna povrchu:
Vlastnosti totálního diferenciáluzměnu veličiny Y = f(Xi), která je funkcí N proměnných Xi, lze vyjádřit pomocí totálního diferenciálu
∑= ∂
∂=
N
ii
i
XXfY
1dd
vyjadřuje lineárnípřírůstek funkce ftotální diferenciál:
pokud je diferenciální změna δY nějaké funkce Y=g(Xi) jejím totálním diferenciálem potom platí:
závisí pouze na počáteční a koncové
hodnotě funkce g)()(d 12
2
1ii XYXYYY −==∆ ∫změna funkce Y:
křivkový integrál z dané funkce po
uzavřené křivce Cje roven nule
0d 12 =−=∫ YYYC
Základy vektorového počtuderivace součinu:
[ ]taSa
tStatS
t dd
dd)()(
dd r
rr+=
[ ]tbab
tatbta
t dd
dd)()(
dd
rrrrrr
+=
[ ]tbab
tatbta
t dd
dd)()(
dd
rrrrrr×+×=×
diferenciál součinu:aata rrr d2])([d 2 ⋅=
babatbtarrrrrr dd])()([d ⋅+⋅=
babatbtarrrrrr dd])()([d ×+×=×
umožňuje určit, jak se nám změnívýsledný součin (skalární, vektorový)
při malé (infinitezimální) změnědílčích veličin
Základy vektorového počtuzaveďme nyní zcela zvláštní “vektor”, tzv. Hamiltonův operátor(nabla)
symbolicky též můžeme místo ∇ psát také
dále si zaveďme další symbolický diferenciální operátor, tzv. Laplaceův operátor ∆
zk
yj
xi
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇rrr
∇≡rrd
d
jedná se o symbolický diferenciální operátor, který umožňuje zjistit změnu dané
veličiny v závislosti na prostorových souřadnicích x,y,z
2
2
2
2
2
22
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇⋅∇=∇=∆
Základy vektorového počtuderivace složené vektorové funkce vektorového argumentu:
pokud platí:
potom časová změna veličiny
))(,( tbtarr
),,()d
d,d
d,
dd(
dd
zyxzyx ccc
ta
ta
ta
tac ===r
r
tb
ba
tb
ba
tb
ba
ta
tac z
z
xy
y
xx
x
xxxx ∂
∂∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
==d
d
))(),(),(()()( tztytxtrtb ==rr
avta
tac rr
rrr
⋅∇⋅+∂∂
== )(dd
),( rta rr
jedná se o častý praktický případ, kdy nám veličina závisí na poloze a čase, např. rychlost, teplota,…t
rvddrr
=
atb
ta
tac r
rrrr
⋅∇⋅+∂∂
== )dd(
dd
Základy vektorového počtuKřivky
Rn
sr rr
=2
2
dd
R
τr
nrC
nr
τr
)(rA rr
rrdα
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
)()()(
:tzztyytxx
C222 ddddd zyxrs ++==
r
zkyjxizyxsr ddd)d,d,d(ddrrrrr
++==⋅τ=
222
2
2
dd
dd
dd
dd1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛==
sz
sy
sx
sr
R
r
Základy vektorového počtuPlocha
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
Φ),(),(),(
:vuzzvuyyvuxx
SnS dd rr=
222gradgrad
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂Φ∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂Φ∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂Φ∂
∂Φ∂
+∂Φ∂
+∂Φ∂
=ΦΦ
=
zyx
zyxnr0),,(: =Φ zyxS
SSr
dd =
nr
Sd
Ar
Základy vektorového počtuObjem
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
),,(),,(),,(
:wvuzzwvuyywvuxx
V
zyxV dddd ⋅⋅=
Základy vektorového počtuIntegrování skalární a
vektorové funkce:∫∫∫∫ ++=2
1
2
1
2
1
2
1
d)(d)(d)(d)(t
tz
t
ty
t
tx
t
t
ttAkttAjttAittArrrr
ktAjtAitAAAAtA zyxzyx
rrrr)()()(),,()( ++==
množina pole integrál označení
skalární
vektorové
skalární
vektorové
skalární
křivkový 1. druhu
křivkový 2. druhu
plošný 1. druhu
plošný 2. druhu
objem objemový
plocha
křivka ∫C
sf d
∫C
rA rrd
∫∫S
Sf d
∫∫S
SArr
d
∫∫∫V
Vf d
Charakteristiky fyzikálních polískalární pole S vektorové pole v
),(),( trftrS rr= ktrAjtrAitrAtrA xxx
rrrrrrrr ),(),(),(),( ++=
skalární veličina je popsána v daném místě prostoru a v čase jednou hodnotou S
(např. teplota, tlak,…)
vektorová veličina je popsána v daném místěprostoru a v čase třemi složkami (Ax, Ay, Az)
(např. rychlost, síla,…)
při transformaci souřadnic se hodnota nemění
při transformaci souřadnic se hodnota obecně mění
Charakteristiky skalárních polígradient skalární funkce
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
==⋅∇=zS
yS
xS
rSSS ,,
ddgrad r
• výsledkem této diferenciální operace je vektor
)( 22
),( yxexyxfz +−⋅==
gradient vyjadřuje vektor směru maximální
prostorové změny skalárníveličiny S,
tj. směr, kterým nám v daném místě prostoru daná
veličina (např.teplota) nejvíce narůstá
SrS graddd ⋅=r
Charakteristiky skalárních políSrS graddd ⋅=
rtotální diferenciál
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅ zyx nzSn
ySn
xSSn gradrzměna skalární funkce v
libovolném směru n
zyx knjnin α=⋅α=⋅α=⋅ coscoscosrrrrrr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ∂∂
ϑϑ∂∂
∂∂
=S
rS
rrSS
sin1,1,gradgradient ve sférických
souřadnicích
pokud se dá nějaká veličina Avyjádřit jako gradient jiné veličiny
f, potom se jedná o potenciálnípole a funkce f, se označuje jako
potenciál
fA grad=r
ekvipotenciální plochy- vektorové pole A má směr
normály k ploše
konst.),,( =zyxf
Charakteristiky skalárních políkonst.),,( =zyxf ekvipotenciální plochy
)d,d,d(,,dgradd zyxzf
yf
xfrff ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
=⋅=r
rf rd⊥∇gradient je kolmý k ekvipotenciální
ploše
Charakteristiky vektorových políktrAjtrAitrAtrA xxx
rrrrrrrr ),(),(),(),( ++=vektorová pole v
vektorová pole závislá na polohovém vektoru (např. rychlost proudění, intenzita silového pole,…) se dají se charakterizovat pomocí vektorových čar
zyx Az
Ay
Ax ddd
==0d =× rA rr
Vektorové čáry
vektorové čáry jsou křivky, jejichž tečna v každém bodě pole má stejný směr jako daný vektor pole A
zfz
yfy
xfx
∂∂=
∂∂=
∂∂ /d
/d
/d
fA grad=r
potenciální pole
Charakteristiky vektorových polísiločáry
vektorové čáry daného vektorového polejejich tečna určuje směr vektoru polejejich prostorová hustota charakterizuje velikost intenzity polepro potenciálové pole se siločáry neprotínají
vektorová trubice
je vytvořená siločárami daného vektorového pole, které procházejíuzavřenou křivkou
Charakteristiky vektorových políproudočáry
- mají směr vektoru rychlosti v daném časovém okamžiku- můžeme pomocí nich graficky znázornit velikost toku- v závislosti na typu proudění mohou být otevřené i uzavřené křivky
- myšlené trubice, jejichž stěny jsou tvořeny sousedícími proudočárami.
proudová trubice
proudové trubice
Charakteristiky vektorových polívektorové čáry mohou vznikat i zanikat a o jejich přírůstku nebo úbytku nás informuje divergence vektoru pole
divergence – výtok vektoru z objemového elementu jednotkové velikosti
Tok vektoru uzavřenou plochou:VNA
VA
V ddd1limdiv
0=Ω
∆= ∫
∆Ω→∆
rrr
∫∆Ω
Ω=rr
dAN
N > 0 … vytéká více než vtéká (zřídla toku)N < 0 … vytéká méně než vtéká (propady toku)N = 0 … stejný vtok i výtok
tok vektoru pole můžeme charakterizovat počtem vektorových čar v daném objemu
0div =Ar
0div ≠Ar
Divergence vyjadřuje to, zda dané vektorové pole (např. pole
rychlosti proudící kapaliny, elektromagnetické pole,…)
obsahuje v daném místě zdroje či úbytky toku dané veličiny
Umožňuje určit tok daného vektorového pole ve
specifikovaném objemu, např. hmotnostní průtok kapalinypole nezřídlové pole zřídlové
Charakteristiky vektorových polí
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+
∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅=⋅∇=
zv
yv
xvv
rvv zyxr
rrr
dddiv
VdAr
yx ≡2
xx ≡1
zx ≡3
yy AA d+yA
VAVzA
yA
xANNNN zyx
zyx ddivdddddr
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+
∂∂
=++=
Celkový tok vektoru v objemu dV:
Vy
Azxy
yA
AN yyyyy ddddddd
∂
∂=
∂
∂=Ω⋅=
Tok vektoru ve směru y:
Divergence vektorového pole: Gaussova věta:
( ) ∫∫ =Ω⋅Ω V
VAA ddivdrrr
- výsledkem této diferenciální operace je skalár (číslo)
Charakteristiky vektorových políRotace vektorového pole:
maxmax0 d
dd1limrot ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆
= ∫Γ
→∆ SCnrA
SnA
S
rrrrr
∫Γ
= rAC rrd cirkulací vektoru pole
podél uzavřené křivky lze charakterizovat otáčivý pohyb vektoru pole v daném místě
Je-li rotace nulová, není v daném bodě vír v roviněobdélníka.
Maximální hodnota cirkulace vektoru pole v daném bodě po obvodu plošky ∆S
rotace vyjadřuje to, zda danévektorové pole (např. pole rychlosti proudící kapaliny,
elektromagnetické pole,…) v daném místě má vírový
charakter
umožňuje určit, zda vektor pole koná v daném místě
otáčivý pohyb0rot ≠A
r0rot =A
r
pole nevírové pole vírové
Charakteristiky vektorových polí
elementární cirkulace vektoru pole v rovinách (x,y), (x,z), (y,z)
yxx
AyxAyxxAC y
yyy ddd)(d)d(d∂∂
=−+=
x
yxA
yAyd
xd zSd),( yx
)d,d( yyxx ++
zxy
zyxxy SyA
xA
lACCC ddddd ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=⋅=+= ∫rr
yxyAxyAxyyAC x
xxx ddd)(d)d(d∂∂
−=++−=
yzx
yxz SxA
zAlAC ddd ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
=⋅= ∫rr
xyz
xzy Sz
AyAlAC ddd ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=⋅= ∫rr
výsledná cirkulace vektoru pole SAlACCCC yzxzxy
rrrrdrotddddd ⋅=⋅=++= ∫
kyA
xA
jxA
zAi
zA
yAA xyzxyz
rrrr⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=rotRotace vektorového pole:
Charakteristiky vektorových políjestliže některé vektorové čáry jsou uzavřené křivky, pak dochází k otáčivému pohybu vektoru pole, jde o tzv. vírový pohyb
vírový pohyb je možno charakterizovat rotací vektoru pole:
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ×=×∇= A
rAA
rr
rr
ddrot
Stokesova věta:
∫∫ ΓΩ=Ω rAA rrrr
ddrot
Př.: rotace rychlosti jednoho bodu kontinua
[ ] [ ] ω=×ω=×ω+=rrrrrrr 2rotrotrotrot rrvv T
0rotrr
=v 0rr
=ω vírový pohyb
diferenciální operátory – příklad
Charakteristiky vektorových polí
)0,0,0(rot2div
)0,,(
=
=
=
AA
yxA
r
r
r
)2,0,0(rot0div
)0,,(
=
=
−=
AA
xyA
r
r
r
)0,0,0(rot0div
)0,,(
=
=
−=
AA
yxA
r
r
r
Charakteristiky vektorových políIntegrální teorémy
( ) ∫∫ =Ω⋅Ω V
VAA ddivdrrr
∫∫ =ΩΩ V
VSS dgraddr
( ) ∫∫ =×ΩΩ V
VAA drotdrrr
( ) ∫∫ ∆−∆=Ω∇⋅−∇⋅Ω V
Vpqqppqqp d)(dr
∫∫ ΓΩ=Ω rAA rrrr
ddrot
V
Ωd Ar
Ωr
d
Γ
Ωd ArΩ
rd
Charakteristiky vektorových políNevírové (potenciální) pole
zA
xA
yA
zA
xA
yA xzzyyx
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂
∂
∂
∂=
∂∂
,,0rot =Ar
skalární potenciál 0d == ∫Γ
rAC rrΦ−= gradA
r
Charakteristiky vektorových políNezřídlové (solenoidální) pole
0div =∂∂
+∂∂
+∂∂
=zA
yA
xAA zyxr
0div =Ar
VArr
rot= vektorový potenciál
0d =Ω= ∫∆Ω
rrAN
Obecné vektorové pole
VArr
rotgrad +Φ−=
Charakteristiky vektorových políVybrané identity vektorové analýzy
ABBABAABBArrrrrrrrrr
divdiv)()()(rot −+∇⋅−∇⋅=×
nn
i xxfx
xfxf grad...grad)(grad 11 ∂
∂++
∂∂
=
fggffg gradgrad)(grad ⋅+⋅=
AAArrr
∆−= divgradrotrot
BAABBAABBArrrrrrrrrr
rotrot)()()(grad ×+×+∇⋅+∇⋅=⋅
BAABBArrrrrr
rotrot)(div ⋅−⋅=×
AffAAfrrr
div)(div ⋅+∇⋅=⋅
0gradrot =f
0rotdiv =Ar
BABArrrr
divdiv)(div +=+
gfgf gradgrad)(grad +=+
BABArrrr
rotrot)(rot +=+
AAArrr
∆=∇= 2graddiv
TenzoryTenzor n-tého řádu obsahuje 3n prvků, které se při transformaci souřadných soustav transformují přesně definovaným způsobem
...,...,,,
*... ijkl
lkjirlqkpjsispqr TccccT ∑= pro otočení
souř.soustavy• tenzor 0.řádu – skalár (číslo)
• tenzor 1.řádu – vektor
• tenzor 2.řádu: ∑∑= =
=3
1
3
1
*
i jijljkikl TccT
),cos( *ikki eec rr
=
∑=
=3
1
*
iikik AcA
9 složek tenzoru 2.řádu lze vyjádřit
pomocí matice
A
O
∗y
∗x
z∗z
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
333231
232221
131211
TTTTTTTTT
Tt
yx
1er ∗1er
∗2er∗
3er
2er
3er
TenzoryHlavní osy a hlavní hodnoty tenzoru:
- taková souřadná soustava, kde nediagonální složky tenzoru setrvačnosti jsou rovny nule
- diagonální složky T1, T2, T3 se poté nazývají hlavní hodnoty tenzoru- osy souřadného systému s nazývají hlavní osy
- Platí:
jiTij ≠= 0
nTnT rrt=
0
333231
232221
131211
=−
−−
TTTTTTTTTTTT
3
2
1
000000
TT
TT =∗
-u tenzoru setrvačnosti bude např. moment hybnosti mít stejný směr jako vektor úhlové rychlosti
- hodnoty T1, T2, T3 jsou extrémní ze všech možných natočení souřadné soustavy
ω=rtr
JL
Diferenciální rovniceObyčejná diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty
0dd
dd
2
2
=++ butua
tu
homogenní rovnice
tmt eCteCu 2121
αα +=
obecné řešení:
baa 422,1 −±−=α
02 =+α+α bacharakter.
rovnice
10
21
21
=⇒α=α=⇒α≠α
mm