Applied Econometric Time Series 3rd WALTER ENDERS

5章 5節 2014-5-14

Yuta Nakamura

Kobe University Docter 3rd

101e106e@stu.kobe-u.ac.jp

内容

• VAR解析-導入: P297

–構造型VAR

–誘導型VAR

• 安定性、定常性: P299

• VARモデルの動学: P301

1

5章 5節 VAR解析-導入(1/11)

• 構造型VAR: 2変数1次

–特徴

• 伝達関数(2・3節が詳しい）を対称系に拡張

• ある内生変数(過去・現在)は別の内生変数に作用

–仮定

• yt、zt: 定常

• εyt、εzt: 白色雑音(標準偏差: σy、σz)

• {εyt}、{εzt}: 無相関

2

)18.5(

)17.5(

1221212120

1121111210

zttttt

yttttt

zyybbz

zyzbby

5章 5節 VAR解析-導入(2/11) • 弱定常(共分散・広義定常とも表現)

–白色雑音

3

の距離と時点時点 stts

sXXCov

XE

XE

stt

t

t

:

)(),(

)(][

)(][

22

0),(

][

0][

22

stt

t

t

uuCov

uE

uE

5章 5節 VAR解析-導入(3/11)

• 時系列データ

–定常

• 弱定常 – 白色雑音

• 強定常

–非定常

• 発散系列

• 単位根系列 – ランダムウォーク

» ドリフト、トレンド

4

5章 5節 VAR解析-導入(4/11) –係数

• 現在効果 – 直接: b12: ztの1単位の変化がytに与える影響

– 間接: b21: εytがztに与える影響

• 過去効果 – γ11: yt-1の1単位の変化がytに与える影響

–例

• GDP - 金利

• 持ち家・賃貸投資

• 均衡価格・数量

5

zttttt

yttttt

zyybbz

zyzbby

1221212120

1121111210

5章 5節 VAR解析-導入(5/11) • 誘導型VAR: 2変数1次

– 特徴 • 内生変数が先決変数と誤差にて表現

– 導出 • 行列代数より、(5.17)、(5.18)を以下のように変形

• 左からBの逆行列を掛けることで、誘導型を獲得

6

ttt

zt

yt

t

t

t

t

xBx

z

y

b

b

z

y

b

b

110

1

1

2221

1211

20

10

21

12][]][[][]][

1

1[

tt

ttt

BeBABA

exAAx

11

1

10

1

0

110 )19.5(

　　

5章 5節 VAR解析-導入(6/11)

–要素表示

• ai0: ベクトルA0の要素i

• aij: 行列A1の行i、列jの要素

• eit: ベクトルetの要素i

7

)21.5(

)20.5(

212212120

111211110

tttt

tttt

ezayaaz

ezayaay

)19.5(110 ttt exAAx

5章 5節 VAR解析-導入(7/11)

–誤差項

• 平均: e2tでも同様

8

)23.5()1/()(

)22.5()1/()(

2112212

2112121

bbbe

bbbe

ytztt

ztytt

0)1/(])[][(

)]1/()[(][

211212

2112121

bbEbE

bbbEeE

ztyt

ztytt

5章 5節 VAR解析-導入(8/11) • 分散: e2tでも同様

• 系列相関: e2tでも同様

9

00

])1/())([(

][

2

21121212

11

ifor

bbbbE

eeE

iztiytztyt

itt

　　

)24.5()1/()(

])}1/()[{(][

2

2112

22

12

2

2

211212

2

1

bbb

bbbEeE

zy

ztytt

5章 5節 VAR解析-導入(9/11) • 相関

– b12=b21=0: 現在効果を認めない→ショックは無相関

10

)25.5()1/()(

])1/())([(

][

2

2112

2

12

2

21

2

21122112

21

　bbbb

bbbbE

eeE

zy

ytztztyt

tt

)18.5(

)17.5(

1221212120

1121111210

zttttt

yttttt

zyybbz

zyzbby

5章 5節 VAR解析-導入(10/11)

–問題

• 誘導型VAR推定では、経済構造は不明瞭なまま – 構造型VAR係数の推定が必要

– 同時方程式体系なので、OLS推定にバイアスが発生

» Stock and Watsonが詳しい

• 間接最小二乗法、2SLSにより、誘導型係数から構造型係数を獲得 – 識別条件が重要

11

)18.5(

)17.5(

1221212120

1121111210

zttttt

yttttt

zyybbz

zyzbby

5章 5節 VAR解析-導入(11/11)

• 構造型VAR係数の推定

12

]][1

1[

1

1][

2221

1211

21

12

21122221

1211

b

b

bbaa

aa

]

1

1[][

2112

201210

2112

201210

20

10

bb

bbb

bb

bbb

a

a

　　0

1

0 BA

　11

1 BA

内容

• VAR解析-導入: P297

• 安定性、定常性: P299

• VARモデルの動学: P301

13

5章 5節 安定性、定常性(1/8) • 1次のARモデル

– 安定条件: |a1|<1

• 1次のVARの安定条件: 発散・振動しない – 導出

• (5.19)を後方から逐次代入 – I: 2×2 単位行列

14

ttt yaay 110

)19.5(110 ttt exAAx

ttt

tttt

eeAxAAAI

eexAAAAx

112

2

101

121010

)(

)(

5章 5節 安定性、定常性(2/8)

• n回繰り返し以下を獲得

– 収束条件

» A1^n: nが増えるにつれ0に漸近

– 安定条件

» (1-a1LL)(1-a22L)-(a12a21)L^2の根が単位円外に存在

• 高次システムの安定条件(付録6.2参照)

15

n

i

nt

n

it

in

tttt

xAeAAAAI

eexAAAAx

0

1

1

11011

121010

)...(

)(

5章 5節 安定性、定常性(3/8)

– xtの解: 安定条件の成立が存在の前提

16

21122211

10211120

20122210

0

1

)1)(1(

/])1([

/])1([

],[

)27.5(

aaaa

aaaaz

aaaay

zy

eAxi

it

i

t

　　

　　

5章 5節 安定性、定常性(4/8)

• 平均

• 分散・共分散行列

17

][

]][[[][

]}[{])[(

2

221

12

2

1

21

2

12

0

2

1

2

tt

t

t

t

i

it

i

t

eee

eEeE

eAExE

][ txE

5章 5節 安定性、定常性(5/8)

– {yt}、{zt}は安定条件が成り立つもとで定常

18

)0^1(

][][

]...)[(])[(

2

221

12

2

112

1

2

221

12

2

16

1

4

1

2

1

2

nA

AI

AAAIxE t

安定条件が成立

5章 5節 安定性、定常性(6/8)

–安定条件

• (5.20)、(5.21)をラグオペレーターで書き直すことで 以下を獲得

19

)21.5()1(

)20.5()1(

)21.5(

)20.5(

2212022

1121011

2222120

1121110

ttt

ttt

tttt

tttt

eLyaazLa

eLzaayLa

eLzaLyaaz

eLzaLyaay

5章 5節 安定性、定常性(7/8) • (5.21)’をLztに関してまとめ以下を獲得

• (5.20)’に代入し以下を獲得

• 整理・展開により{yt}、{zt}の確率差分方程式を獲得

20

tttt eLaeLyaaLaayLa 12222120121011 )]1/()[()1(

)1/()( 2222120 LaeLyaaLLz ttt

)29.5()1)(1(

)1()1(

)28.5()1)(1(

)1()1(

2

21122211

112121110211120

2

21122211

121212220122210

LaaLaLa

eaeLaaaaaz

LaaLaLa

eaeLaaaaay

ttt

ttt

5章 5節 安定性、定常性(8/8)

• 安定条件:P41-高次システムのラグオペレーターに詳細 – (1-a11L)(1-a22L)-a12a21L^2の根が単位円の外側に存在する必要有り

» 実数:収束

» 複素数: 発散

• yｔ,ztの特性方程式は同じ – a12、a21がどちらも0でない場合

21

内容

• VAR解析-導入: P297

• 安定性、定常性: P299

• VARモデルの動学: P301

22

5章 5節 VARモデルの動学(1/10)

• 4種類のVAR –共通設定

• e1t、e2t〜正規分布

• y0、z0はゼロ

• yt、ztの時間経路

–特徴 • (a) 定常過程 正の相関

• (b) 定常過程 負の相関

• (c) ランダムウォーク

• (d) ランダムウォーク + ドリフト

23

)21.5(

)20.5(

212212120

111211110

tttt

tttt

ezayaaz

ezayaay

5章 5節 VARモデルの動学(2/10)

24

5章 5節 VARモデルの動学(3/10)

• (a): 定常過程-正の系列相関 –係数

• a10=a20=0 a11=a22=0.7 a12 = a21 = 0.2

– {yt} {zt}の平均: 0

– {yt} {zt}の特性根: 0.9 0.5 • 解は正、実数、1未満 → 収束

– (1-a11L)(1-a22L)-a12a21L^2 (逆特性方程式)の根: 1.111 2.0 • 根は単位円の外側に存在 → システムは定常

25

)21.5(7.02.00

)20.5(2.07.00

211

111

tttt

tttt

ezyz

ezyy

5章 5節 VARモデルの動学(4/10)

26

5章 5節 VARモデルの動学(5/10)

• (b)定常過程-負の系列相関

–係数

• a10 = a20 = 0 a11 = a22 = 0.5 a12 = a21 = -0.2

– {yt} {zt}の平均: 0

– {yt} {zt}の特性根 : 0.7 0.3

27

)21.5(5.02.00

)20.5(2.05.00

211

111

tttt

tttt

ezyz

ezyy

5章 5節 VARモデルの動学(6/10)

28

5章 5節 VARモデルの動学(7/10)

• (c)ランダムウォーク: 単位根

–係数

• a11 = a22 = a12 = a21 = 0.5 a10 = 0 a20 = 0

• a11 = 1 a22 = a12 = a21 = a10 = a20 = 0

– {yt} {zt}の特性根

• モーメントより算出

29

)21.5(5.05.00

)20.5(5.05.00

211

111

tttt

tttt

ezyz

ezyy

ttt eyy 1

5章 5節 VARモデルの動学(8/10)

30

5章 5節 VARモデルの動学(9/10)

• (d) ランダムウォーク + ドリフト

–係数

• a11 = a22 = a12 = a21 = 0.5 – (c)と同じ

• a10 = 0.5 a20 = 0 – ドリフト項(定数項)

31

)21.5(5.05.00

)20.5(5.05.05.0

211

111

tttt

tttt

ezyz

ezyy

5章 5節 VARモデルの動学(10/10)

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