Upload
gerard-alba
View
72
Download
6
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Introduction to Volatility models and their applications in Finance. Part 3 of 4.
Citation preview
Volatilitat i Correlació
Gerard AlbàXavier Noguerola
FME UPC – febrer 2014
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
2
1. Introducció
2. Volatilitat
2.1 Volatilitat històrica.
2.2 Volatilitat implícita.
2.3 Volatilitat implícita vs real.
Sessió Pràctica 1: Gregues. Gestió del risc d’una opció.Gestió d’un llibre de derivats.Informació de mercat sobre volatilitat.
2.4 Models de volatilitat.2.4.1 Models de volatilitat discrets: EWMA, GARCH.2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Volatilitat.Local, Volatilitat Estocàstica i Jump diffusion
2.5 Trading de volatilitat. Swaps de volatilitat.
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
33
3. Correlació
3.1 Introducció. Covariància i correlació.
3.2 Correlació històrica i implícita.
3.3 Models de correlació.
3.4 Trading de correlació.
3.5 Inconvenients de la correlació.
3.6 Altres mesures de dependència. Exemple: Opció Composite.
3.7 Efectes de la correlació en la valoració i càlcul de gregues.
3.8 Inconvenients en l’ús de paràmetres no observables. Provisions.
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
4
2.4 Models de volatilitat
• Històricament, s’observa:
– Moviments reduïts de l’acció venen seguits d’altres movimentsreduïts, i moviments accentuats venen seguits de més movimentsaccentuats (clustering).
– Reversió a la mitjana de la volatilitat històrica.
– Correlació negativa entre rendibilitats de l’acció i volatilitatimplícita
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
5
2.4 Models de volatilitat
• i en la volatilitat implícita:
– Les volatilitats de curt termini es mouen més que les de llargtermini.
– Les volatilitats implícites en strikes “a la baixa” més elevades queles volatilitats per strikes “a l’alça” (skew).
– Les volatilitats implícites es mouen més quan la volatilitatimplícita és més alta.
– L’skew de la volatilitat implícita a curt termini molt més accentuatque a llarg termini (salts – jumps-)
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
6
• Índex S&P500 des del 1990 a 2005
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
7
• Moviments superiors al 4% i volatilitat. Salts en ambdós.
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
8
2.4 Models de volatilitat
• Els models de volatilitat poden ser utilitzats tant en lapredicció del nivell de volatilitat actual com en la valoraciód’opcions.
• Existeixen dues famílies de models de volatilitat:– Models discrets (usats en la predicció)
• EWMA• ARCH i GARCH
– Models continus (usats en la valoració d’opcions)• Volatilitat local• Volatilitat estocàstica• Jump diffusion.
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
9
2.4.1 Models de volatilitat discrets: EWMA, GARCH
• Per tal de calcular la volatilitat actual, l’estimador de la
volatilitat es pot modificar assignant
diferents ponderacions a les observacions, de manera que
les observacions més recents contribueixin més:
• També podem afegir al model una volatilitat mitjana V a llargtermini amb un cert pes γ:
• Model ARCH(m):
∑=
−=m
iinn r
m 1
22 1σ
∑=
−⋅=m
iinin r
1
22 ασ
iα
jiji >< αα ∑=
=m
ii
1
1α
∑=
−⋅+⋅=m
iinin rV
1
22 αγσ ∑=
=+m
ii
1
1αγ
∑=
−⋅+=m
iinin r
1
22 αωσ
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
10
2.4.1 Models de volatilitat discrets: EWMA, GARCH
• En el model de mitjana mòbil exponencial (EWMA) s’usa unfactor per assignar els pesos a cada observació.
• A les observacions més recents se’ls assigna una ponderaciómajor que les anteriors:
• S’obté la següent expressió pel càlcul successiu de lesvolatilitats:
• El model EWMA s’usa sobretot en càlculs de riscos VaR. Podeuveure “RiskMetrics-Technical Document” de RiskGroup(JPMorgan et al) (λ=0.94 per diària; 30 dies aprox és el perioded’observació efectiu. λ=0.97 per mensual; 100 dies)
)1( ≤λλ
1−⋅= ii αλα
21
21
2 )1( −− ⋅−+⋅= nnn rλσλσ
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
11
2.4.1 Models de volatilitat discrets: EWMA, GARCH
• Model GARCH(1,1):
• EWMA és GARCH(1,1) amb
• GARCH presenta reversió a la mitjana, tal com s’observa enels mercats. EWMA no té reversió.
• Model GARCH(p,q) calcula a partir de les p observacionsmés recents i les q darreres estimacions de la variància.
• GARCH(1,1) es calibraajustant els paràmetres amb funcions de màximaversemblança. Implica càlcul massiu, sobretot en casmultivariant.
21
21
2−− ⋅+⋅+⋅= nnn rV σβαγσ
1=++ βαγ
λβλαγ =−== 10
2nσ
1<+ βα
21
21
2−− ⋅+⋅+= nnn r σβαωσ
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
12
2.4.1 Models de volatilitat discrets: EWMA, GARCH• Model GARCH de Heston:
– segueix una distribució N(0,1)– tipus d’interès compost continu
• Es poden calibrar els paràmetres mitjançant preus de mercatd’opcions europees, ja que en aquest model es té fórmulatancada per la seva valoració.
• En el límit quan el pas de temps tendeix a 0, aquest modelens dóna un model continu de volatilitat estocàstica.
21
21
2−− ⋅+⋅+= nnn r εβαωσ
nnnnr εσσµ ⋅+−= 2
21
nεµ
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
13
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
14
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
15
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
16
• Els models més importants de modelització de la volatilitati de valoració d’opcions més enllà de Black-Scholes són:
� Volatilitat Local
� Volatilitat Estocàstica
� Jump diffusion
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
17
• Black-Scholes:
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion
tttt
t dWdtS
dS ⋅+= σµ
02 2
222
=−∂∂+
∂∂+
∂∂
tt
ttt
t
tttt rVS
VS
S
VS
t
V µσ
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
18
• Volatilitat Local:– És una metodologia pràctica i simple per valorar opcions
exòtiques de manera consistent amb l’skew de volatilitat del mercat de les opcions vainilles. Extensió Black-Scholes.
– És conegut que la funció de densitat (risc neutral) per la distribució de probabilitats dels preus d’un actiu subjacent St a venciment T (és a dir, distribució d’ST) es pot obtenir dels preus d’opcions europees:
– Donada la distribució dels preus ST per cada T amb preu inicial S0, ! procès de difusió que la genera.
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion
( ) ( ){ }∞∈ ,0;,, KTKSC o
∃
( ) ttt
t dWStSdtS
dS0;,σµ +=
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
19
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion
• Volatilitat Local:
– Per tant, donats els preus d’opcions europees per diferentsstrikes , ! procès de difusió que generaaquests preus. És a dir, existeix una única funció (VolatilitatLocal) que calibra els preus de mercat de les opcionseuropees.
∃( ) ( ){ }∞∈ ,0;,, KTKSC o
( )0;, StSσ
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
20
• Volatilitat Local:
– Com calculem la funció Volatilitat Local?
– El Lema d’Ito aplicat a: permet
obtenir EDP pel preu de l’opció europea (anàleg a Black-
Scholes.):
– o bé, equivalentment, si C=C(FT, K, T) amb
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion
( ) ttt
t dWStSdtS
dS0;,σµ +=
∂∂−⋅+
∂∂=
∂∂
K
CKC
K
CK
T
Ct
t µσ2
222
2
2
222
2 K
CK
T
C
∂∂=
∂∂ σ
∫⋅=
T
tdt
T eSF 00
µ
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
21
• Volatilitat Local:
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion
( )2
22
02
2
1,,
K
CK
T
C
STK
∂∂⋅
∂∂
=σ
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
22
• Volatilitat Local:
� Per tant, amb el preu d’una opció en un cert instant de temps, amb els preus de dues opcions d’strikes adjacents i el d’una opció amb venciment a l’instant posterior, podem calcular la volatilitat local en aquest instant. És a dir, amb butterflies i calendar spreads d’opcions podem obtenir (garantir-nos) volatilitats implícites futures (anàleg a tipus d’interès forward).
� Podem usar volatilitats locals en arbres, MonteCarlo, diferències finites per EDPs per valorar derivats complexos.
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
23
• Volatilitat Local:
– Avantatges:
� Calibració exacta de la superfície de volatilitats de mercat.� Mercat complet (existeix cartera replicant) i tots els
paràmetres són observables.� Solució senzilla pel pricing (EDP,Crank Nicholson.
Aproximacions analítiques per opcions amb barrera).
– Inconvenients:
� Dinàmica de l’skew no realista.� L’estructura de volatilitat futura (implícita) que resulta no
correspon a la realitat. Especialment, per dates futures allunyades es perd l’skew.
� La calibració és molt sensible a interpolació/extrapolació dels preus discrets observats de mercat.
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
24
• Volatilitat Estocàstica:
– Els models de volatilitat estocàstica modelitzen la volatilitat mitjançant un procés continu estocàstic.
– Els models poden ser integrats en els processos habituals de modelització de preus.
– Existeixen diversos models de volatilitat estocàstica:– Heston– Hull & White– Ornstein-Uhlenbeck
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
25
• Model de Heston:
Volatilitat a curt terminiVolatilitat a llarg terminiVelocitat de reversió a la mitjanaVolatilitat de la Volatilitat
• amb distribució i correlació ρ.
( ) ( )2222tttt dWdtd γσσθκσ +−=
0σθκγ
0>κ0≥γ
)1(ttt
t
t dWdtS
dS σµ +=
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion
)2()1( , tt dWdW ( )dtN ,0
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
26
• Model de Heston:
– Modelitza reversió a la mitjana i correlació entre la volatilitat i elpreu de l’actiu subjacent.
– Suposant , el model implica que a l’instant següent t+dt, lavolatilitat haurà augmentat en mitjana, ja que il’esperança de l’altre terme és 0. Anàlogament, la volatilitatdisminueix si . La velocitat de reversió a la mitjanadetermina la força de retorn cap a la mitjana .
– La correlació ρ afecta l’skew de volatilitat. Per exemple, per unacorrelació positiva, un augment de la rendibilitat de l’actiu vindràacompanyat, en mitjana, d’un augment de la volatilitat. És a dir,la volatilitat implícita augmenta amb l’strike.
– El paràmetre de volatilitat γ afecta a la kurtosi (fat tails).
θσ <t022 >− tσθ
θσ >t θ
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
27
• Model de Heston:
– Existeix fórmula tancada de valoració d’opcions vainilla europees
– S’usa per valorar altres opcions exòtiques, calibrant el model a partir dels preus de mercat de vainilles.
– Sovint es valora usant MonteCarlo o diferències finites, calibrant amb preus de mercat.
– Valoració usant MonteCarlo:
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
28
Exemple de valoració usant simulacions de Montecarlo:Option ExplicitOption Base 1Global Const Pi = 3.14159265358979
Function opcioPVHeston( _ByVal CallPutFlag$, _ByVal data1 As Date, _ByVal data2 As Date, _ByVal S0#, _ByVal K#, _ByVal r#, _ByVal div#, _ByVal vol#, _ByVal kappa#, _ByVal theta#, _ByVal lambda#, _ByVal rho#, _ByVal N&, _ByVal m&)
'kappa=Velocitat de reversió a la mitjana (>0)'theta=Volatilitat a llarg termini'lambda=Volatilitat de la volatilitat (>=0)'rho=correlació entre les variables aleatories' del preu del subjacent i la volatilitat'N=nombre de tirades de MC'm=discretització de temps
Dim rnd1#, rnd2#Dim S#, v#, dt#Dim i&, j&, cpflag%Dim valor
valor = 0
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
29
Select Case CallPutFlag
Case "CALL":cpflag = 1
Case "PUT"cpflag = -1
Case Else:opcioPVHeston = "ERROR EN TIPUS D'OPCIÓ!!!"Exit Function
End Select
'Comprovem si la data d'inici es superior a la de v encimentIf data1 >= data2 Then
valor = Max(cpflag * (S0 - K), 0)Else
'Definim tic de tempsdt = (data2 - data1) / (365 * m)For i = 1 To N
v = vol * volS = S0
For j = 1 To m'Generem dos nombres aleatoris correlacionatsrnd1 = BoxMuller()rnd2 = rho * rnd1 + Sqr(1 - rho * rho) * BoxMuller()
S = S * Exp((r - div - 0.5 * v) * dt + Sqr(v * dt) * rnd1)v = v + kappa * (theta * theta - v) * dt + lambda * Sqr(v * dt) * rnd2
If v < 0 Thenv = -v
End IfNext
'payoffvalor = valor + Max(cpflag * (S - K), 0)
Next
opcioPVHeston = valor / N
End If
End Function
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
30
Function BoxMuller()Dim x As DoubleDim y As DoubleDim dist As Double
Dox = 2 * Rnd() - 1y = 2 * Rnd() - 1dist = x * x + y * yLoop While dist >= 1 Or dist = 0#
BoxMuller = x * Sqr(-2 * Log(dist) / dist)
End Function
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
31
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
32
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
33
• Altres models de volatilitat estocàstica:
– Hull&White: (Volatilitat sense reversió a la mitjana)
– Ornstein-Uhlenbeck: (La variància pot resultar negativa)
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion
)2(222tttt dWdtd γσκσσ +=
( ) )2(22ttt dWdtd γσθκσ +−=
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
34
• Volatilitat Estocàstica:
– Avantatges:
� Calibració adequada de l’smile de mercat pels terminis llargs.� Dinàmica de l’smile realista.
– Inconvenients:
� Calibració inadequada de l’smile per terminis curts.� Problemes en un mercat incomplet o amb paràmetres no
observables.� Solució numèrica complexa.
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
35
• Jump diffusion:
– es la mitjana de salts a l’any (nombre de salts)– M és la magnitud mitjana del salt (%)– amb distribució de Poisson (independent de ) amb
freqüència :
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion
( ) ttttt
t dPMdWdtMS
dS ⋅++⋅−= σλµ
λ
dt⋅λ
( )dtPoissondPt ⋅λ~
tdWtdP
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
36
• Jump diffusion:
– Avantatges:
� Calibració adequada de l’smile de mercat pels terminis curts.� Dinàmica de l’smile realista.� Existeix fórmula analítica de valoració de vanilles europees.
– Inconvenients:
� Calibració inadequada a l’smile per terminis llargs.� Problemes en un mercat incomplet o amb paràmetres no
observables.� Solució numèrica complexa.
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
37
• Models Universals:
� Els models universals corresponen a combinacions dels tres models anteriors (volatilitat local, estocàstica i de jump difussion), alguns fins i tot amb jumps en la volatilitat.
� Aquestes combinacions permeten obtenir models que reuneixen els avantatges dels models inicials però també presenten més problemàtica en altres aspectes (per exemple, en la complexitat de càlcul dels paràmetres).
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
38
• Model de volatilitat local estocàstica (SLV):
��� = �� ∙ ��∙ �� + �� , � ∙ �� ∙ �� ∙ � ��
�� = −� ∙ � −�
�∙ �� ∙ �� + � ∙ � �
�
� � �� ∙ � �
� = � ∙ ��
on:
� �� , �� ∙ ���|�� = � = �, � � ∙ � ���|�� = � = �� �, � �
⇒ �, � =��� �,�
� !"|�#$�
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion. Exemple.
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
39
Valoració alternativa sense model específic de volatilitat per aopció exòtica (per exemple, opció FX amb barrera):
o Calcular preu teòric usant entorn B-S (volatilitat ATM constant).
o Considerar skew:
� Portfolio de vainilles que replica aproximadament la Vegade l’opció exòtica (implica, doncs, opcions OTM, i.e.,utilització de l’skew). Es determinen nominals usant, perex., mínims quadrats i un univers finit de vainilles.
� Calcular cost/benefici (primes) de la cartera respectevaloracions ATM.
o Preu exòtica = Valor teòric + cost/benefici de l’skew.
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion. Exemple.
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
40
2.5 Trading de volatilitat. Swaps de volatilitat
• Un swap de volatilitat és un derivat que té com a subjacent la volatilitat d’un cert actiu durant un període de temps.
• Tal com un swap de tipus d’interès que permet intercanviar un tipus fix per un de flotant, els swaps de volatilitat permeten intercanviar una volatilitat fixada per la volatilitat futura real.
• Permeten tenir una exposició a la volatilitat d’un subjacent, independentment de moviments direccionals d’aquest.
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
41
2.5 Trading de volatilitat. Swaps de volatilitat
• Si la volatilitat fixa és Vf (també anomenada strike) i la volatilitat real (anualitzada) al llarg del termini del contracte és Vh, el payoff del swap de volatilitat és:
Payoff=Nominal x (Vh-Vf)
• La volatilitat real (històrica) es calcula segons una font, freqüència i fórmula pactats inicialment.
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
42
2.5 Trading de volatilitat. Swaps de volatilitat
• Els swaps de volatilitat són útils per a especular sobre valorsfuturs de la volatilitat.
• També són molt útils per a market-makers d’opcions, ja quepermeten cobrir-se del diferencial entre la volatilitat real i laimplícita. El market-maker té un risc de volatilitat realitzadaen el delta-hedging, però les opcions es negocien segonsvalors de volatilitat implícita.
Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
43
• Exemple: Valoració d’un swap de volatilitat usant el model de Heston:
– Swap cost zero:
– Model de Heston:
[ ] [ ] [ ] [ ]( )30
220
22
0
20
2
82 σσσσ
σσσσ −+−+≈ EVarE
E
[ ] ( ) 2220
2 1 θθσκ
σκ
+−−=−
T
eE
T
[ ] ( )( ) ( )[ ]222220
223
222 234112
2θκθσκ
κγσ κκκκ
κ
TeeeTeT
eVar TTTT
T
+−+−+−+−=−
[ ] [ ]σσ EKKE =⇒=− 0
2.5 Trading de volatilitat. Swaps de volatilitat