ทฤษฎี�จำ��นวนเบื้ �องต้�น

น�ย�ม ถ้�า m และ n เป็นจำ านวนเต็�ม โดยที่�� n≠0 แล�ว n หาร m ลงต็�ว ก็�ต็�อเม��อ ม�จำ านวนเต็�ม c เพี�ยงจำ านวนเด�ยวเที่�าน�!น ซึ่#�ง m = nc เร�ยก็ n ว�าต็�วหารหน#�งของ m สั�ญล�ก็ษณ์) n|m หมายถ้#ง n หาร m ลงต็�ว n|/m หมายถ้#ง n หาร m ไม�ลงต็�ว

1. ก�รห�รลงต้�วa|b หมายถ้#ง “b หารด�วย a ลงต็�ว ”

หร�อ “a หาร b ลงต็�ว”b/a = c โดยที่�� c เป็นจำ านวนเต็�มสัมบั�ต็,1) ถ้�า a|b และ b|c แล�ว a|c2) ถ้�า a และ b เป็นจำ านวนเต็�มบัวก็ และ a|b แล�ว a≤b3) ถ้�า a, b, c เป็นจำ านวนเต็�ม โดย a|b และ a|c แล�ว a(bx+cy) เม��อ x, y เป็นจำ านวนเต็�มใดๆ

2. ก�รห�รเหล อเศษa/b = c เศษ d → a = bxc+d โดยที่�� a, b, c, d เป็นจำ านวนเต็�ม และ 0 ≤ d < b เช่�น 0/3 = 0 เศษ 0 → 0 = 3 x (0) + 0 (เหล�อเศษเที่�าก็�บั 0 หารลงต็�ว) 2/3 = 0 เศษ 2 → 2 = 3 x (0) + 2 (เหล�อเศษเที่�าก็�บั 2 )3/3 =1 เศษ 0 → 3 = 3 x (1) + 0 (เหล�อเศษเที่�าก็�บั 0 หารลงต็�ว)4/3 =1 เศษ 1 → 4 = 3 x (1) + 1 (เหล�อเศษเที่�าก็�บั 1)11/3 = 3 เศษ 2 → 11 = 3 x (3) + 2 (เหล�อเศษเที่�าก็�บั 2 )**Tips ถ้�า a/b เหล�อเศษเที่�าก็�บั d แล�ว am/b เหล�อเศษเที่�าก็�บั เศษเหล�อของ dm/b

3. จำ��นวนเฉพ�ะ และ จำ��นวนประกอบื้จำ านวนเฉพีาะ คื�อ จำ านวนเต็�มบัวก็ ที่��ม�แต็� 1,

−1, ต็�วม�นเอง, จำ านวนต็รงข�ามของต็�วม�นเองเที่�าน�!นที่��หารลงต็�ว (โดยที่�� 1 ไม�เป็นจำ านวนเฉพีาะ) เช่�น 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…

จำ านวนป็ระก็อบัคื�อ จำ านวนเต็�มบัวก็ ที่��ไม�ใช่� 1 และ ไม�ใช่�จำ านวนเฉพีาะโดยสัามารถ้เข�ยนจำ านวนป็ระก็อบัให�อย3�ในร3ป็จำ านวนเฉพีาะคื3ณ์ก็�นได� เช่�น

4 = 2 × 26 = 2 × 3

21 = 3 × 7

4. ห.ร.ม. (ห�รร"วมม�ก)ห.ร.ม. ของ a และ b ใช่�สั�ญล�ก็ษณ์) (a,b)คื�อ

จำ านวนเต็�มบัวก็ ที่��ม�คื�ามาก็ที่��สั4ดที่��หาร a และ b ลงต็�ว ก็ารหาคื�า ห.ร.ม. โดยว,ธี�แยก็ต็�วป็ระก็อบัเช่�น จำงหา ห.ร.ม. ของ 300 และ 180300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5ห.ร.ม. ของ 300 และ 180 หร�อ (300,180) คื�อ 2 × 2 × 3 × 5 = 60สัมบั�ต็,1) (a,b,c) = ((a,b),c) = (a,(b,c))2) *** ถ้�า n|a และ n|b จำะได�ว�า n|(a,b)***

5. ค.ร.น. (ค$ณร"วมน�อย)คื.ร.น. ของ a และ b ใช่�สั�ญล�ก็ษณ์) [a,b]คื�อ

จำ านวนเต็�มบัวก็ ที่��ม�คื�าน�อยที่��สั4ดที่��หารด�วย a และ b ลงต็�ว ก็ารหาคื�า คื.ร.น. โดยว,ธี�แยก็ต็�วป็ระก็อบัเช่�น จำงหา คื.ร.น. ของ 300 และ 180300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5คื.ร.น. ของ 300 และ 180 หร�อ [300,180] คื�อ 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 3 = 900สัมบั�ต็,1) [a,b,c] = [[a,b],c] = [a,[b,c]]2) *** ถ้�า a|n และ b|n จำะได�ว�า [a,b]|n***

6. จำ��นวนเฉพ�ะสั�มพ�ทธ์( คื�อ จำ านวนเต็�ม 2 จำ านวน ที่��ม�ห.ร.ม. เที่�าก็�บั

1(ด�งน�!น จำ านวนเต็�ม 2 จำ านวนน�!น จำะไม�ม�ต็�วป็ระก็อบัร�วมก็�น) เช่�น 21 ก็�บั 2521= 3×725 = 5×5สัร4ป็ 21 ก็�บั 25 ไม�ม�ต็�วป็ระก็อบัร�วมก็�นเลยด�งน�!น 21 ก็�บั 25 ม� ห.ร.ม. เที่�าก็�บั 1 และเป็นจำ านวนเฉพีาะสั�มพี�ที่ธี)

7. สัมบื้�ต้�ร"วมของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.(a,b) x [a,b] = a x b เช่�น (300,180)

คื�อ 60 , [300,180] คื�อ 900

จำาก็ (300,180) x [300,180] = 300 x 180 จำะได� 60 × 900 = 300 × 180