لماذا ندرس رياضيات تأمين الحياة

التأمين أقساط حساب كيفيةوكيفية المختلفة للوثائق

سدادها. الموارد روافد من رافد

األقتصادية . والمعادالت القوانين أهمية

األقتصادية الحياة في الرياضية. والوفاة الحياة جداول أهمية

الحسابية الرموز وجداول

رياضيات تأمين الحياة

الحياة جداولوالوفاة

واألستعاضة

األقساط الوحيدة الصافية

األقساط التجارية

األقساط السنوية الصافية

أبواب المنهج

أنواع األقساط

األقساط التجارية

األقساط السنوية الصافية

األقساط الوحيدة الصافية

رياضيات تأمين الحياة

الباب األول: أوال :جداول الحياةأو الوفاة

الحياة • جداول عن ”تعرف يمكن أداة بأنهاكل عند والوفاة الحياة احتماالت قياس طريقها

األعمار من “عمر

كيفية تكوين جداول الحياة أو الوفاة

هي أساسية، أعمدة خمسة من الحياة جداول تتكون: الترتيب علي

األول العمر ( س ): العمود من عادة ويبدأ العمر ) العمر) يكون ما وعادة ، المواليد أي صفر

حوالي .100التقديري عام الثاني العمر ( س ح): العمود تمام عند األحياء عدد

لألحياء تقديري بعدد الجدول ويبدأ .س : الثالث العمر ( سو)العمود تمام بين الوفيات عدد

+ س العمر وتمام ح 1س عددهم أشخاص بين س من

) ( سو)• – سح= +ح ( 1س

كيفية تكوين جداول الحياة أو الوفاة

الحياة :تكملة جداول

الرابع س وهو (سف): العمود العمر تمام في Cشخصا أن احتمال

+ س العمر بلوغ قبل يتوفي ف 1سوف علي الحصول ويمكن س،

بطريقتين:=ف  • / سو س س ح

=ف  • +ح– س ح) س / 1س س ح(

الخامس تمام ( س ل ): العمود في Cشخصا أن احتمال إلي ويشير

+ س العمر بلوغ حتى الحياة قيد علي يظل سوف س 1العمر+ح = سل • / (1س) ل س ح و سف - 1= س أ

كيفية تكوين جداول الحياة أو الوفاة

والوفاة : مثال الحياة جدول استكمال  عليأن : علمت إذا

117 = 41و 128 = 40و 1000= 40ح

96= 43و 108= 42و الحياة : جدول تكوين المطلوب

الحلاماكنها في المعطيات ونضع أوال الجدول نرسم

الناقص نستكمل ثم بالجدول

كيفية تكوين جداول الحياة أو الوفاةس س ح س و س ف س ل

40 10000 118 0118. 9882.

41 9882 117 0118. 9882.

42 9765 108 0111. 9889.

43 9657 96 0010. 9992.

س و – سح = 41ح

ح 9882 = 118 – 10000= 41ح 43ح,42هكذا

كيفية تكوين جداول الحياة أو الوفاة

40ح/ 40و = 40ف = 10000/118 = 0118.

ف 43ف 42ف 41وهكذا

.9882. = 118- 1= 40ف -1= 40ل

احتماالت الحياة والوفاة

لشخص واحد

من الكثرشخص

احتماالت الحياة والوفاة

احتماالت الحياة والوفاة لشخص واحد- 1

ما شخص حياة احتمال ) من ) ن لمدة

(سل نالسنوات)

لمدة الحياة احتمال ( ل واحدة (سسنة

ما شخص وفاة احتمال ) السنوات ) من ن خالل

(سف ن )

ما شخص حياة احتمال ) ( ) ن) لمدة س عمره

وفاتة ثم السنوات من( التالية السنة ن / خالل

(سف

ما شخص وفاة احتمالف ) واحدة سنة خالل

(س

ما شخص حياة احتمال ) ( ) ن) يعيش س عمره

وفاتة ثم السنوات من ) السنوات) من م خالل

م / التالية) (سف ن

احتمال الحياة والوفاة لشخص واحد

: واحدة سنة لمدة شخص حياة احتمال أوال

+ح = سل سح / (1س)

عمره : 1مثال شخص حياة احتمال العمر 45اوجد تمام حتي يعيش 46سنةسنه .

الحل : ح الحل 46ح 45تمهيد

65448 64643 45و – 45ح = 46ح

= 65448- 805 = 64643 .98770015 =64643/65448= 45ح/46ح = 45ل

احتمال الحياة والوفاة لشخص واحد

واحدة : سنة خالل ما شخص وفاة احتماالت ثانيا

ف س ح/ سو = سف س ل- 1 = سأو

العمر : 2مثال تمام في الحياة قيد علي األشخاص عدد أن علمت 78590هو 20إذاهو الوفيات عمره 411وعدد لشخص الوفاة احتمال يبلغ 20أوجد أن قبل ويموت

. 21العمر الحل

: ح الحل 20و 20تمهيد 78590 411

20ح / 20و = 20ف = 78590/411= 807.ف ) 20أو – سح= +ح /1س 2ح( 0

ف 20ل- 1= 20أو

احتمال الحياة والوفاة لشخص واحد

) ( : السنوات( من ن لمدة ما شخص حياة احتمال ل نثالثا س

( ) تمامالعمر ) الي ويصل السنوات من س اآلن عمره شخص اي)+ ةةة ةةةةة ةةة ةةة ةةةةةة ) وهومازالعليقيدالحياةسن .

ن(حس = ل + ن) سح/ س

عمره : 3مثال شخص أن احتمال هو لمدة 45ما يعيش سنة 20سنةتالية

الحلالحل ن تمهيد 45ل 20س

؟ 20 45

ن+ = 65 = 20 +45سن

(حس = ل + ن) سح/ س

ن.59012 = 56448/38622= 45ح/ (65)حس = ل

احتمال الحياة والوفاة لشخص واحد

) ن: ) خالل ما شخص وفاة احتمال رابعامنالسنوات(

ف ن س

( ) منالسن ) س اآلن عمره شخص اي ) الت ) السنوات من ن خالل يموت وات

) س ) عمره شخص أن احتمال أي اليةإليالعمر( يصل أن قبل يموت سنة

+ ن .) سن

(حس = ف (ح- س) + ن) سح / س

عمره : 3مثال شخص أن احتمال هو ماخالل 50 يموت التالية 15سنة سنة

احتمال الحياة والوفاة لشخص واحد

( ) السنوات: ) من ن خالل ما شخص وفاة احتمال شخص( سف نرابعا اي ) ( ) أي ) التالية السنوات من ن خالل يموت السنوات من س اآلن عمره

.) + ( ) ن ) س العمر إلي يصل أن قبل يموت سنة س عمره شخص أن احتمالن(حس = ف (ح- س) + ن) سح / س

الحلالحل ن تمهيد س

50 15

(ح (ح 61067 = 50ح= س) + ن) 38622 = 65ح= س

1561067(/ 38622-61067) = 50ح( / 65ح- 50ح) = 50 ف

=36755.

احتمال الحياة والوفاة لشخص واحد

) ل: ) س عمره ما شخص حياة احتمال خامسا ) ا ) السنة خالل وفاتة ثم السنوات من ن مدة

لتالية( ن / س) ف

+ ( ح = سف ن / ن) +ح- س + ن) س ح/ ( 1س

عمره :4مثال شخص أن احتمال هو حتي 30ما يعيش سنة

مباشرة 40العمر التالية السنة خالل ويموت سنة

احتمال الحياة والوفاة لشخص واحد

) ( ) السنوات: ) من ن لمدة س عمره ما شخص حياة احتمال خامساالتالية ) السنة خالل وفاتة (ن/ ثم س ف

+ ( ح = سف ن / ن) +ح- س + ن) س ح/ ( 1س

الحل+ = 30س= ن , 40س

10/ح = س 30ح /41ح –40ف

(=68943-68298/ )74290 = 00861.

احتمال الحياة والوفاة لشخص واحد

) ي: ) س عمره ما شخص حياة احتمال سادسا) ( ) م ) م خالل وفاتة ثم السنوات من ن عيش

التالية( السنوات ن/ م ن س) ف

م / + ( ح = سف ن ن) ( ح- س + + م) ن س ح/ س

عمره :4مثال شخص أن لمدة 20أوجداحتمال يعيش سنة

ال 15 خالل ويموت التالية .10سنة سنوات

احتمال الحياة والوفاة لشخص واحد

) ( ) من: ) ن يعيش س عمره ما شخص حياة احتمال سادسا( ) التالية ) السنوات من م خالل وفاتة ثم م/ السنوات (ن س ف

م / + ( ح = سف ن ن) ( ح- س + + م) ن س ح/ س

الحل

م ن س 20 15 10

20ح/ ( 45)ح- ( 35) ح = 20ف 10 / 15

( = 71862-65448 / )78590 = 081613.

احتماالت الحياة والوفاة ألكثر من شخص- 2

عمرهما : , 1مثال شخصان ب أوجد 50,30أيعيش أن احتمال الحياة جداول بأستخدام

السن ب يبلغ حتي .60الشخصان سنة الحل

) السن ) ب يبلغ يعيش 60حتي اي عام 10سنة ) أ ) عمر سنة 40 =10+ 30يصبح

) أ ) يعيش أن 30ح/ 40 ح = 30ل10احتمال

) ب ) يعيش أن 50ح/ 60 ح = 50ل10احتمال

ب , = ا يعيش أن 50ل10* 30ل10احتمال

- احتماالت الحياة والوفاة ألكثر من 2شخص

ب , = ا يعيش أن 50ل10* 30ل10احتمال

50ح/ 60 ح* 30ح/ 40 ح =

( = 14360/22905( * )4523/85938 ) = 6269373499*.526358664.= 32999.

الباب األول: ثانيا :جداول األستعاضة

جدول أو الحسابية الرموز جدول باسم سمياستبدال يتم ألنه وذلك أيضا الزمني األستبدال

بجدول الحالية القيمة وجدول والوفاة الحياة جداولل واحد د ع م % 4ب ل د ع م ل ا ف ل ت خ ا ا ذ إ ا م ا ط ق ف

ة ي ل ا ح ل ا ة م ي ق ل ا ل و د ج م د خ ت س ن

: من يتكون الجدول خانات 7خانات : األولي بالعمر الخانة (خاصة س)

بالحياة خاصة التالية الثالثة الخانات ثم : الثانية ( = الخانة س) سح * سح* 1د

*) ( * = ) القيمة ) س العمر عند األحياء عدد النقود وحدة س د( ) المعدل ) تحت س أمام النقود لوحدة .(0ع+1الحالية

الباب األول: ثانيا :جداول األستعاضة

الحسابية الرموز جدول تكملةتكراري ( سن) : ثالثةال الخانة جدول عن عبارة وهي

لخانة هابط ( سد) متجمعنهاية 00( 2س+د( + ) 1س+د( + ) سد) ( = سن) الي وهكذا

الجدول1س+ن +س د ( = سن)

الرابعة جدول ( سن مج): الخانة عن عبارة وهيلخانة هابط متجمع ( سن) تكراري

1+ سن مج + سن= س ن مج

وهكذا 2+ سن مج+ 1س+ن= 1+ سن مجو

الباب األول: ثانيا :جداول األستعاضة

الحسابية الرموز جدول تكملةالوفيات * ( سج) : الخامسة الخانة عدد تمثل وهي

العمر تمام بين النقود لوحدة الحالية ( القمة س)+والعمر (1س )

(1س +ح( * ) سو) ( = سج) : السابعة جدول ( سم مج) الخانة عن عبارة وهي

لخانة هابط متجمع ( سم) تكرارينهاية 2س+م + 1س+م+ س م ( = سم مج): مثال الي وهكذا

الجدول ( 1س+م مج + )سم ( = سم مج)أو

الباب األول: ثانيا :جداول األستعاضة

األستبدال : 1مثال جدول باستخدامأوجد ثم اآلتية العالقات أكمل التأميني

قيمة 34ن مج + 0000 = 33ن مج 21ن + 000000 = 20ن

45م مج + 0000 = 44م مج 45م + 000000 = 44م

الحل 710723 =674856 +35867= 21ن+ 20د = 20ن

4892003.8 = 4542764.8 + 349239= 34ن مج + 33ن = 33ن مج

5111.9 = 4979.9 + 132 = 45م+ 44ن = 44م •

الباب األول: ثانيا :جداول األستعاضة

الحسابية : 2مثال الرموز جدول باستخدامقيمة أوجد اآلتية

38ن مج - 34ن مج 25ن - 20ن

65م مج -60م مج 40م - 36م

الحل 24د - 23د - 22د - 21د - 20د = 25ن - 20ن

ن 164375 = 546348-710723= 25ن - 20أو1206022 = 336742.8 - 4542764.8= 38ن مج - 34ن مج

وهكذا 525 = 5625.9 + 6150.9 = 40م - 36م •

الباب األول: ثانيا :جداول األستعاضة

قيمة : 3مثال أوجد%6بمعدل 40ج 40د

الحلوجدول% 6 40ح * 40ح = 40د الحياة جداول من

الحالية القبمة = 68943* 09722 = .6702.64

%6 41ح * 40و= 40ج

=645 * 09717 = .59.2

الباب الثاني: األقساط الوحيدة الصافية

األقساط الوحيدة

للعقود الصافية

حالة فيالحياة والوفاة

حالة فيالوفاة

حالة فيالحياة

الباب الثاني: األقساط الوحيدة الصافية : األقساط الوحيدة الصافية في حالة الحياةأوال

الوحيد . القسط ألعقد الصافي

المال رأس تأمينالمؤجل

القسط . بالصافي الوحيد

الحياة لدفعات

الباب الثاني: األقساط الوحيدة الصافية : األقساط الوحيدة الصافية في حالة الحياةأوال

المال أ . رأس تأمين لعقد الصافي الوحيد القسطالمؤجل

تلتزم : - الوثيقة لهذة وفقا البحتة الوقفية أوظل إذا للشخص التأمين مبلغ بدفع التأمين شركة

التأمين . مدة نهاية حتي الحياة قيد عليتلتزم ال التأمين مدة خالل الوفاة حدثت إذا أما

للورثة . مبالغ أي بدفع الشركةواحدة مرة التأمين قسط بدفع عليه المؤمن ويقوم

الصافي الوحيد بالقسط سمي لذلك

الباب الثاني: األقساط الوحيدة الصافية : األقساط الوحيدة الصافية في حالة الحياةأوال

رأس . تأمين لعقد الصافي الوحيد القسط أالمؤجل المال

التأمين = * مبلغ الصافي الوحيد ل نالقسطنح* س

ح = * ) التأمين ( مبلغ + ن) ن ح (* سح/ س

الصافي = الوحيد القسط د * أو التأمين (مبلغ + ن) / سسد

الباب الثاني: األقساط الوحيدة الصافية : األقساط الوحيدة الصافية في حالة الحياةأوال

رأس . تأمين لعقد الصافي الوحيد القسط أالمؤجل المال

الصافي : 1مثال الوحيد القسط احسبعمره شخص يدفعة ألحدي 40الذي سنة

له تدفع حتي الحياة علي التأمين شركاتالحياة 20000مبلغ قيد علي ظل إذا جنيهالمعدل 15لمدة بأن علما % . 5سنة

الحل

الباب الثاني: األقساط الوحيدة الصافية : األقساط الوحيدة الصافية في حالة الحياةأوال

المال . رأس تأمين لعقد الصافي الوحيد القسط أالمؤجل

الحلالتأمين ع مبلغ ن الصافي س الوحيد القسط

؟ 5% 15 40 20000الصافي = الوحيد التأمين * القسط ن( 1. 0ع)ن ح* سل نمبلغ

15-( 1. 05 (* )40ح/ 55ح * ) 20000= =20000( * 55039/68943 * )04810171 =

جنية7680.17

الباب الثاني: األقساط الوحيدة الصافية : األقساط الوحيدة الصافية في حالة الحياةأوال

رأس . تأمين لعقد الصافي الوحيد القسط أالمؤجل المال

الذي : 2مثال الصافي الوحيد القسط احسبعمره شخص شركات 40يدفعة ألحدي سنة

مبلغ له تدفع حتي الحياة علي 20000التأمينلمدة الحياة قيد علي ظل إذا سنة 15جنيه

المعدل بأن جدول % 4علما استخدام يفضل . الحسابية الرموز

الحل

الباب الثاني: األقساط الوحيدة الصافية : األقساط الوحيدة الصافية في حالة الحياةأوال

رأس . تأمين لعقد الصافي الوحيد القسط أالمؤجل المال

الحلالتأمين ع مبلغ ن الوحيد س القسط

الصافي؟ 4% 15 40 20000

الصافي = الوحيد د * ) القسط التأمين ن+مبلغ (سد/ س

( 40د/ 55د * ) 20000= جنية 8866.2952( = 14360/6366 * )20000=

الباب الثاني: األقساط الوحيدة الصافية : األقساط الوحيدة الصافية في حالة الحياةأوال

الحياة . لدفعات الصافي الوحيد القسط ب

التي الدفعات هي الحياة بدفعات يقصدصورة في التأمين شركات بدفعها تقومعلي الشخص كان إذا للمستأمن معاش

الحياة قيد

الباب الثاني: األقساط الوحيدة الصافية : األقساط الوحيدة الصافية في حالة الحياةأوال

الحياة . لدفعات الصافي الوحيد القسط بمؤقتة

مدة) لهامحددة(

عادية عاجلة) ومؤجلة(

فورية عاجلة) ومؤجلة(

دائمةمدي ) الحياة(

عادية عاجلة) ومؤجلة(

فورية عاجلة) ومؤجلة(

الباب الثاني: األقساط الوحيدة الصافية ب . القسط الوحيد الصافي لدفعات الحياة

عاجلةومؤجلة

العادية والفورية

القسط الوحيد

الصافي لدفعات الحياة الدائمة

القسط الوحيد

الصافي لدفعات الحياة الدائمة

العادية

ن= * العاجلة الدفعة +مبلغ د(/ 1س)

س

المؤجلة= * الدفعة مبلغ+ن + م) سد / (1س

الفورية

ن= * العاجلة الفورية / سالدفعةسد

ن= * المؤجلة الفوربة الدفعة ) + م) سد/ س

الباب الثاني: األقساط الوحيدة الصافية ب . القسط الوحيد الصافي لدفعات الحياة

مثال :

الباب الثاني: األقساط الوحيدة الصافية ب . القسط الوحيد الصافي لدفعات الحياة

ومؤجلة عاجلةك : , : التأجيل مدة م حيث

الدفعات مدة

العادية والفور

ية

القسط الوحيد

الصافي لدفعات الحياة المؤقتة

القسط الوحيد

الصافي لدفعات الحياة المؤقتة

العادية

ن= * عاجلة +دفعة +ن - (1س) + ك) د / (1س

س

مؤجلة= * +ندفعة + م) +ن - (1س + + م) ك / (1سسد

الفورية

ن= * عاجلة ( /ن - سدفعة + ك) س د س

مؤجلة * دفعة= ( ن مؤجلة + م) ن- س

/ ) + + م) ك س د س

الباب الثاني: األقساط الوحيدة الصافية ب . القسط الوحيد الصافي لدفعات الحياة

مثال :

الباب الثاني: األقساط الوحيدة الصافية: األقساط الوحيدة الصافية في حالة الوفاةثانيا

الصافي الوحيد القسطحالة في تأمين لوثيقة

العقد مدة خالل الوفاة

الصافي الوحيد القسط) م ) مؤجلة تأمين لوثيقة

الصافي الوحيد القسط) ك ) مؤقتة تأمين لوثيقة

الباب الثاني: األقساط الوحيدة الصافية: األقساط الوحيدة الصافية في حالة الوفاةثانيا

الوحيد القسطمدة خالل الصافي

التأمين = مبلغ العقدالوحيد سد/ سمـ * القسط

المؤجل = الصافيمـ * التأمين مبلغ

) + م) سد/ س

الوحيد القسطالمؤقت = الصافي

التأمين س مـ* مبلغ

( مـ - + ك) سد/ س

الباب الثاني: األقساط الوحيدة الصافية: األقساط الوحيدة الصافية في حالة الوفاةثانيا

مثال :

الباب الثاني: األقساط الوحيدة الصافية(المختلط: األقساط الوحيدة الصافية في حالة الحياة والوفاة)ثاثا

تأمين عقد قسطي مجموع يشمل القسط هذاالوثيقة هذة وفي والمؤقت المؤجل المال رأسللشخص التأمين مبلغ بدفع التأمين شركة تلتزم

التأجيل مدة نهاية حتي الحياة قيد علي ظل إذاالتأجيل مدة خالل وفاة حالة في الورثة أو

الصافي = الوحيد القسط

التأمين * (مـ – سمـ{ مبلغ + ك) ( د + س + ك) د/ س

} س ) مختلط ) تأمين لوثيقة التأمين مدة هي ك حيث

الباب الثاني: األقساط الوحيدة الصافية(المختلط: األقساط الوحيدة الصافية في حالة الحياة والوفاة)ثاثا

مثال :