Теорема Пифагора

Руководитель: Сафронов Роман АлександровичВыполнила: Рахимбекова Роксана

Какое чудо – этот переход от слепоты к прозрению, к пониманию сути дела!

М. Вертгеймер

Цель работы:

Изучение теоремы Пифагора;

Расширение теоретической базы, аналитический обзор литературы;

Развитие умений и навыков исследовательской работы;

Формирование общеучебных математических навыков и умений: доказательство и формулировка теоремы Пифагора;

Знакомство с практическим применение Теоремы Пифагора;

Умение решать задачи с помощью теоремы Пифагора.

Все с детства знают, что то-то и то-то невозможно. Но всегда находится невежда, который этого не знает. Он-то и делает открытие…

Содержание:

Пифагор Теорема Пифагора Самое простое доказательство Доказательство Бхаскари Алгебраическое доказательство Доказательство Хоукинсa Доказательство Вальдхейма Векторное доказательство Применение Факты о теореме Проверь себя Ссылки

ПифагорПифагор Самосский (ок. 580 — ок. 500 до н. э.) — древнегреческий философ,

религиозный и политический деятель, основатель пифагореизма, математик. Пифагору приписывается изучение свойств целых чисел и пропорций, доказательство теоремы Пифагора и др.

Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям впоследствии приведшие к революции в астрономии, впервые появились именно в Школе Пифагора.

Многое сделал ученый и в геометрии. Доказанная Пифагором знаменитая теорема носит его имя. Достаточно глубоко исследовал Пифагор и математические отношения, закладывая тем самым основы теории пропорций. Особенное внимание он уделял числам и их свойствам, стремясь познать смысл и природу вещей.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Самое простое доказательство теоремы Пифагора

Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке.Сторона квадрата равна a + c.

В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат со стороной b и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.

В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.

Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна сумме площадей квадратов со сторонами a и c.

Доказательство индийского математика Бхаскари

Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке.Сторона квадрата равна b, на квадрат наложены 4 исходных треугольника с катетами a иc, как показано на рисунке.

Сторона маленького квадрата, получившегося в центре, равна c - a, тогда:

= 2a + +

Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора

1. S = a × /2𝑐

S = a × /2𝑐 = r × 𝑝 S = a × /2 = ( + 2c + + ) 𝑐3. Приводя к общему знаменателю, получаем :

2. S = r

r — радиус вписанной окружности, r = (a+c-b)

p – полупериметр

Таким образом :

S = r ×𝑝 = (a+c-b) ÷2 (a+c-b) ÷2 = ( + 2c + +

Доказательство Хоукинсa.

Доказательство Вальдхейма. Для того чтобы доказать теорему пользуясь первым рисунком достаточно

только выразить площадь трапеции двумя путями.

S трапеции=(a+b)²2

S трапеции= a²b²+c²2

Приравнивая обе части, получим :

Векторное доказательство Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С,

построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство:b+c=a

откуда имеем: c = a – b

возводя обе части в квадрат, получим : c²=a²+b²-2ab

Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда:

Применение теоремы Пифагоры в жизни :

Строительство Литература

Мобильная связь

Мобильная связь.

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например радиусе R=200 км?, если известно. что радиус Земли равен 6380 км.) Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км. OB = OA + AB OB = r + x Используя теорему Пифагора, получим ответ. Ответ: 2,3 км.

Строительство

Теорема Пифагора нашла своё практическое применение в архитектуре и строительстве.

При строительстве любого сооружения, рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок и т. д.

Четырехугольную пирамиду рассматривают как крышу башни.

В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон.

Строительство

Теорема Пифагора очень сильно распространена в области строительства.

Лестница длиной 12,5 м приставлена к стене так, что расстояние от ее нижнего конца до стены равно 3,5 м. На какой высоте от земли находится верхний конец лестницы?

Литература

Мало кто знает, что Пифагор имел отношение не только к математике, но и к литературе. Он и его теорема воспеты в литературе.

Существуют много легенд, мифов, рассказов, песен, притчей, небылиц, анекдотов, частушек об этой теореме

Факты о теореме

Строго говоря, хоть теорема и называется «теоремой Пифагора», сам Пифагор ее не открывал. Прямоугольный треугольник и его особенные свойства изучались задолго до него. Ее знали в Китае, Вавилонии, Египте. ( за 1200 лет) до Пифагора. Есть две полярных точки зрения на этот вопрос. По одной версии Пифагор первым нашел полноценное доказательство теоремы. По другой доказательство не принадлежит авторству Пифагора.

Во Франции и некоторых областях Германии в средневековье она называлась «мостом ослов». У математиков арабского Востока «теорема невесты» за сходство чертежа с пчелкой, бабочкой, что по-гречески называлось нимфой. При переводе с греческого арабский переводчик , не обратив внимания на чертеж, перевел слово «нимфа» как «невеста», а не бабочка.

Факт о теореме

На марке надпись: «Теорема Пифагора. Эллас. 350 драхм». Эта красивая марка – почти единственная среди многих тысяч существующих, на которой изображен математический факт.

Проверь себя:

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?

Проверь себя:

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнёс его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашёл же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока.

Ссылки:

http://www.clascalc.ru/ (Статья «Теорема Пифагора»)

http://th-pif.narod.ru/ ( Биография Пифагора)

http://wiki.iteach.ru/ (Статья «Теорема Пифагора»)

http://nspotal.ru/ (Статья «Применение Пифагора»)

http://biographer.ru/ (Статья «Биография Пифагора»)

Спасибо за внимение!