Державна служба України з надзвичайних ситуаційЧеркаський інститут пожежної безпеки імені Героїв Чорнобиля НУЦЗ України

Кафедра будівельних конструкцій

ПРИКЛАДНА МЕХАНІКА

Посібник до виконання розрахунково-графічних робіт

з розділу laquoОпір матеріалівraquo

Черкаси 2015

2

ББК 3442 я73УДК 42С-88

Рекомендовано до друку на засіданні методичної ради Черкаського інституту пожежної безпеки iм Героїв Чорнобиля НУЦЗ Українипротокол ____ від ______________ 2015 року

Рецензент Осипенко ВІ -- дтн професор

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

ББК 3442 я73УДК 42С-88copy Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ

copy ЧІПБ імені Героїв Чорнобиля НУЦЗ України 2015

3

Зміст

Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу5Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня9Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану15Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу28Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки35Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки 39

4

Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу

Завдання Для заданого поперечного перерізу що складається з швелера

рівнобічного кутника двотавра необхідно1 Визначити положення центру тяжіння2 Знайти осьові та відцентровий моменти інерції відносно довільних

вісей що проходять через центр тяжіння3 Визначити напрям головних центральних вісей4 Знайти моменти інерції відносно головних центральних вісей5 Накреслити переріз в масштабі 12 та вказати на ньому всі розміри в

числах та всі вісіПередостання цифра посвідчення ndash схема остання ndash розміри

зп Схема зп Схема зп Схема

1 2 3

4 5 6

7 8 9

0

N стр Швеллер Рівнобокий кутник Двотавр

1 14 80 х 80 х 8 122 16 80 х 80 х 6 143 18 90 х 90 х 8 164 20 90 х 90 х 7 185 22 90 х 90 х 6 20а6 24 100 х 100 х 8 207 27 100 х 100 х 10 22а8 30 100 х 100 х 12 229 33 125 х 125 х 10 24а0 36 125 х 125 х 12 24

5

Послідовність виконання1 За табличними даними визначаємо геометричні характеристики прокату2 Креслимо схему перерізу в масштабі3 Визначаємо координати центру ваги перерізу4 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і розраховуємо сумарні осьові та відцентровий моменти інерції5 Визначаємо напрям головних осей перерізу і будуємо головні осі на схемі

Приклад виконання

Визначити напрям головних вісей та величини головних осьових моментів інерції для складного плоского поперчного перерізу

ДаноШвелер ndash 36Двотавр ndash 24а

Розвrsquoязок1 За табличними даними визначаємо характеристики прокатуШвелер

профіля

Висота h мм

Ширина b мм

Площа перерізу

A см2Ix см4 Iy см4 z0 см

36 360 110 534 108200 513 268

Двотавр

профіля Висота h мм

Ширина b мм

Площа перерізу

A см2Ix см4 Iy см4

24а 240 125 375 38000 260

2 Креслимо схему перерізу в масштабі приймаємо систему координат

3 Визначаємо координати центрів ваги кожного профіля Приймемо для характеристик швелера індекс 1 для харакетристик двотавра ndash 2x1=-268 см y1 = 18 смx2=12 см y2 = 24 см

4 Визначаємо координати центру ваги всього перерізу

х

хс

6

xc=x1sdotA1+x2sdotA2

A1+ A2=minus2 68sdot53 4+12sdot37 5

53 4+37 5=337

см

yc=y1sdotA1+ y2sdotA2

A1+ A2=18sdot53 4+24sdot37 5

53 4+37 5=20 47

см

5 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і визначаємо

координати центрів ваги швелера і двотавра в новій системі координат xcyc

x1 =x1minusxc=minus268minus337=6 05 см

y1 = y1minus yc=18minus20 47=minus2 47 см

x2 =x2minusxc=12minus3 37=8 63 см

y2 = y2minus yc=24minus20 47=3 53 см

6 Застосовуючи теорему про паралельний перенос вісей визначаємо значення значення осьових та відцентрових моментів інерції відносно центру ваги всього перерізу та визначаємо сумарні осові та відцентровий моменти інерції відносно вісей xc та ycI x 1

=I x 1+( y1 )2sdotA1=10820+(minus2 47 )2sdot53 4=11145 см4

I y 1 =I y 1+( x1

)2sdotA1=513+(6 05 )2sdot53 4=2467см4I xy 1

=I xy 1+( x1sdoty1

)sdotA1=0+ (minus2 47 )sdot6 05sdot53 4=minus798 см4I x 2

=I x2+( y2 )2sdotA2=260+(3 53 )2sdot375=727см4

I y2 =I y 2+( x2

)2sdotA2=3800+ (8 63 )2sdot37 5=6593 см4

y yс

7

I xy 2 =I xy 2+( x2

sdoty2 )sdotA2=0+3 53sdot8 63sdot37 5=1142см4

I x=I x1 + I x 2

=11145+727=11872 см4I y=I y1

+ I y2 =2467+6593=9060 см4

I xy=I xy 1 + I xy 2

=minus798+1142=344 см47 Напрям головних осей перерізу та їх величини визначається за формулами

tg 2θгол=2sdotI xy

I yminusI x= 2sdot344

9060minus11872=minus0 2446

2 θгол=minus13 75 θ гол=minus6 87 deg

I 12=I y + I x

2plusmnradic( I y minusI x

2 )2

+ I xy2 =9060+11872

2plusmnradic(9060minus11872

2 )2

+3442 =10466plusmn1447

I 1=10466+1447=11913 см4I 1=10466minus1447=9019 см4

8 Будуємо головні вісі

8

Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня

ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і

розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня

Таблиця 1 ndash Початкові дані

Вар

іант Навантаження Довжина Площа

F кH q кHм a см А см2

1 30 15 20 352 25 10 32 353 20 12 24 324 15 14 26 305 17 16 28 286 23 11 30 337 27 13 18 368 32 90 16 389 36 70 17 400 40 80 20 45

9

Послідовність виконання

10

1 Креслиться розрахункова схема на якій вказуються направлення зовнішніх сил та геометричні розміри стержня

2 Визначаємо межі ділянок Для кожної ділянки складаємо рівняння для визначення поздовжньої сили N

3 Будується епюра поздовжніх сил від дії зовнішніх сил F та розподіленого навантаження q за допомогою методу перерізів

4 Будується епюра нормальних напружень5 Будується епюра абсолютних переміщень

Приклад виконання

ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і

розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати

1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня

Вар

іант Навантаження Довжина Площа

F кH q кHм a см А см2

11 10 5 20 4

Розвrsquoязок

1 Будуємо розрахункову схему стержня на якій позначаємо напрям чисельне значення зовнішньої сили та геометричні розміри стержня

2 Розділяємо стержень на ділянки характерними перерізами в місцях прикладання сил та в місцях зміни геометрії поперечного перерізу Утворилося чотири ділянки ndash 0-1 1-2 2-3 і 3-4 Для кожної ділянки записуємо рівняння для визначення поздовжньої сили

11

N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН

N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН

3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил

4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1

σ 0=N0

A= 0

4sdot10minus4 =0

σ 1=N1

A= 2sdot103

4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа

- ділянка 1-2

σ 1=N 1

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

σ 2=N 2

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

12

- ділянка 2-3

σ 2=N 2

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

σ 3=N 3

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

- ділянка 3-4

σ 3=N3

A=minus28sdot103

4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа

σ 4=N 4

A=minus26sdot103

4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа

Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом

Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана

6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням

Δl01=int0

04

( N 01

EsdotA )dz=int0

04

( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2

2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042

2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м

Δl12=N12sdotl12

Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м

Δl23=N 23sdotl23

Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м

Δl34=int1

14

(N34

EsdotA )dz=int1

14

(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=

(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2

2EsdotA

|114=

(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142

2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102

2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м

Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок

Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м

Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м

13

Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м

Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці

Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно

Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована

Задача розвrsquoязана

14

Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану

Завдання

Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що

розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони

діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2

Таблиця 2 ndash Початкові даніnn

xМПа

yМПа

МПа

Сталь

0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40

0

x

x

y

y

x

yy

x

1

x

x

y

y

x

yy

x

2

x

x

y

y

x

yy

x

3

x

x

y

y

x

yy

x

4

x

x

y

y

x

yy

x

5

x

x

y

y

x

yy

x

6

x

x

y

y

x

yy

x

7

x

x

y

y

x

yy

x

9

x

x

y

y

x

yy

x

8

x

x

y

y

x

yy

x

15

Розрахункові схеми

y

y

xxyx

yx

xy

xy

= 30

16

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження

2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом

3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут

4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно

визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності

Приклад розвrsquoязку

Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

4) головні напруження а також положення головних площин

5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом

6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45

Розвrsquoязок

y = 10 МПа

y

x = 50 МПаx

yx = 70 МПа

yx

xy = 70 МПа

xy

= 30

17

1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень

Враховуючи знаки напружень запишемо

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30

2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою

tg 2θгол=minus2 τ yx

σ xminusσ y=

minus2sdot(minus70)50minus10

=3 5

Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297

Головні напруження дорівнюють

σ 1=σ x +σ y

2+radic( σ x minusσ y

2 )2

+ τ yx2

=

50+102

+radic(50minus102 )

2+(minus70)2

= 1028 МПа

σ 2=σ x +σ y

2minusradic( σ x minusσ y

2 )2

+τ yx2

=

50+102

minusradic(50minus102 )

2+(minus70 )2

= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за

іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595

σ 1=( σx+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол =

(50+10 )2

+(50minus10)cos (74 05 deg)

2minus(minus70 )sin(74 05 deg )

=

= 1028 МПа

y

y

xx

yx

yx

xy

xy

21

12

rsquoгол = 5297

гол= +3703

18

σ 2=( σ x+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол

= (50+10 )

2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)

2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)

= = 428 МПа

Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють

1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень

показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30

Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження

σ θ=(σ x+σ y )

2+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin 2θ

= (50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot30deg )

2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )

= = 10062 МПа

τθ=( σ xminusσ y )sin2θ

2+τ yxcos 2θ

= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )

2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)

= 1768 МПа

σ θ =

(σ x+σ y )2

+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin2 θ

=

=(50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot120deg )

2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )

= 4062 МПа

τθ =

( σ xminusσ y )sin2 θ

2minusτ yx cos2θ

= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)

2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )

= =1768 МПа

x x

y

y

= 30

lsquo = 120rsquo

rsquo

rsquo

rsquo

19

Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто

x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа

Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа

Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів

Таким чином одержано

= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа

Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі

4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень

τ max=σ1minusσ2

2 =

102 8minus(minus428)2 = 728 МПа

Положення площадок з максимальними дотичними

ctg 2θк=2 τ yx

σ xminusσ y =

2(minus70 )50minus10 = 35

tg 2θк=σxminusσ y

2 τ yx = 0286

Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203

Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

x x

y

y

k = 797

lsquok = +8203k

k

k

k

max

max minrsquo

minrsquo

20

σ θk=

σx +σ y

2 =

50+102 = 30 МПа

Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45

Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається

Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані

на схемі

На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим

5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

+2гол

2rsquoгол 2

D

E

2rsquo

2rsquok

2k

max

min

21

6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

2

ББК 3442 я73УДК 42С-88

Рекомендовано до друку на засіданні методичної ради Черкаського інституту пожежної безпеки iм Героїв Чорнобиля НУЦЗ Українипротокол ____ від ______________ 2015 року

Рецензент Осипенко ВІ -- дтн професор

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

ББК 3442 я73УДК 42С-88copy Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ

copy ЧІПБ імені Героїв Чорнобиля НУЦЗ України 2015

3

Зміст

Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу5Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня9Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану15Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу28Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки35Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки 39

4

Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу

Завдання Для заданого поперечного перерізу що складається з швелера

рівнобічного кутника двотавра необхідно1 Визначити положення центру тяжіння2 Знайти осьові та відцентровий моменти інерції відносно довільних

вісей що проходять через центр тяжіння3 Визначити напрям головних центральних вісей4 Знайти моменти інерції відносно головних центральних вісей5 Накреслити переріз в масштабі 12 та вказати на ньому всі розміри в

числах та всі вісіПередостання цифра посвідчення ndash схема остання ndash розміри

зп Схема зп Схема зп Схема

1 2 3

4 5 6

7 8 9

0

N стр Швеллер Рівнобокий кутник Двотавр

1 14 80 х 80 х 8 122 16 80 х 80 х 6 143 18 90 х 90 х 8 164 20 90 х 90 х 7 185 22 90 х 90 х 6 20а6 24 100 х 100 х 8 207 27 100 х 100 х 10 22а8 30 100 х 100 х 12 229 33 125 х 125 х 10 24а0 36 125 х 125 х 12 24

5

Послідовність виконання1 За табличними даними визначаємо геометричні характеристики прокату2 Креслимо схему перерізу в масштабі3 Визначаємо координати центру ваги перерізу4 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і розраховуємо сумарні осьові та відцентровий моменти інерції5 Визначаємо напрям головних осей перерізу і будуємо головні осі на схемі

Приклад виконання

Визначити напрям головних вісей та величини головних осьових моментів інерції для складного плоского поперчного перерізу

ДаноШвелер ndash 36Двотавр ndash 24а

Розвrsquoязок1 За табличними даними визначаємо характеристики прокатуШвелер

профіля

Висота h мм

Ширина b мм

Площа перерізу

A см2Ix см4 Iy см4 z0 см

36 360 110 534 108200 513 268

Двотавр

профіля Висота h мм

Ширина b мм

Площа перерізу

A см2Ix см4 Iy см4

24а 240 125 375 38000 260

2 Креслимо схему перерізу в масштабі приймаємо систему координат

3 Визначаємо координати центрів ваги кожного профіля Приймемо для характеристик швелера індекс 1 для харакетристик двотавра ndash 2x1=-268 см y1 = 18 смx2=12 см y2 = 24 см

4 Визначаємо координати центру ваги всього перерізу

х

хс

6

xc=x1sdotA1+x2sdotA2

A1+ A2=minus2 68sdot53 4+12sdot37 5

53 4+37 5=337

см

yc=y1sdotA1+ y2sdotA2

A1+ A2=18sdot53 4+24sdot37 5

53 4+37 5=20 47

см

5 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і визначаємо

координати центрів ваги швелера і двотавра в новій системі координат xcyc

x1 =x1minusxc=minus268minus337=6 05 см

y1 = y1minus yc=18minus20 47=minus2 47 см

x2 =x2minusxc=12minus3 37=8 63 см

y2 = y2minus yc=24minus20 47=3 53 см

6 Застосовуючи теорему про паралельний перенос вісей визначаємо значення значення осьових та відцентрових моментів інерції відносно центру ваги всього перерізу та визначаємо сумарні осові та відцентровий моменти інерції відносно вісей xc та ycI x 1

=I x 1+( y1 )2sdotA1=10820+(minus2 47 )2sdot53 4=11145 см4

I y 1 =I y 1+( x1

)2sdotA1=513+(6 05 )2sdot53 4=2467см4I xy 1

=I xy 1+( x1sdoty1

)sdotA1=0+ (minus2 47 )sdot6 05sdot53 4=minus798 см4I x 2

=I x2+( y2 )2sdotA2=260+(3 53 )2sdot375=727см4

I y2 =I y 2+( x2

)2sdotA2=3800+ (8 63 )2sdot37 5=6593 см4

y yс

7

I xy 2 =I xy 2+( x2

sdoty2 )sdotA2=0+3 53sdot8 63sdot37 5=1142см4

I x=I x1 + I x 2

=11145+727=11872 см4I y=I y1

+ I y2 =2467+6593=9060 см4

I xy=I xy 1 + I xy 2

=minus798+1142=344 см47 Напрям головних осей перерізу та їх величини визначається за формулами

tg 2θгол=2sdotI xy

I yminusI x= 2sdot344

9060minus11872=minus0 2446

2 θгол=minus13 75 θ гол=minus6 87 deg

I 12=I y + I x

2plusmnradic( I y minusI x

2 )2

+ I xy2 =9060+11872

2plusmnradic(9060minus11872

2 )2

+3442 =10466plusmn1447

I 1=10466+1447=11913 см4I 1=10466minus1447=9019 см4

8 Будуємо головні вісі

8

Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня

ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і

розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня

Таблиця 1 ndash Початкові дані

Вар

іант Навантаження Довжина Площа

F кH q кHм a см А см2

1 30 15 20 352 25 10 32 353 20 12 24 324 15 14 26 305 17 16 28 286 23 11 30 337 27 13 18 368 32 90 16 389 36 70 17 400 40 80 20 45

9

Послідовність виконання

10

1 Креслиться розрахункова схема на якій вказуються направлення зовнішніх сил та геометричні розміри стержня

2 Визначаємо межі ділянок Для кожної ділянки складаємо рівняння для визначення поздовжньої сили N

3 Будується епюра поздовжніх сил від дії зовнішніх сил F та розподіленого навантаження q за допомогою методу перерізів

4 Будується епюра нормальних напружень5 Будується епюра абсолютних переміщень

Приклад виконання

ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і

розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати

1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня

Вар

іант Навантаження Довжина Площа

F кH q кHм a см А см2

11 10 5 20 4

Розвrsquoязок

1 Будуємо розрахункову схему стержня на якій позначаємо напрям чисельне значення зовнішньої сили та геометричні розміри стержня

2 Розділяємо стержень на ділянки характерними перерізами в місцях прикладання сил та в місцях зміни геометрії поперечного перерізу Утворилося чотири ділянки ndash 0-1 1-2 2-3 і 3-4 Для кожної ділянки записуємо рівняння для визначення поздовжньої сили

11

N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН

N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН

3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил

4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1

σ 0=N0

A= 0

4sdot10minus4 =0

σ 1=N1

A= 2sdot103

4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа

- ділянка 1-2

σ 1=N 1

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

σ 2=N 2

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

12

- ділянка 2-3

σ 2=N 2

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

σ 3=N 3

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

- ділянка 3-4

σ 3=N3

A=minus28sdot103

4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа

σ 4=N 4

A=minus26sdot103

4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа

Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом

Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана

6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням

Δl01=int0

04

( N 01

EsdotA )dz=int0

04

( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2

2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042

2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м

Δl12=N12sdotl12

Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м

Δl23=N 23sdotl23

Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м

Δl34=int1

14

(N34

EsdotA )dz=int1

14

(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=

(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2

2EsdotA

|114=

(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142

2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102

2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м

Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок

Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м

Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м

13

Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м

Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці

Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно

Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована

Задача розвrsquoязана

14

Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану

Завдання

Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що

розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони

діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2

Таблиця 2 ndash Початкові даніnn

xМПа

yМПа

МПа

Сталь

0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40

0

x

x

y

y

x

yy

x

1

x

x

y

y

x

yy

x

2

x

x

y

y

x

yy

x

3

x

x

y

y

x

yy

x

4

x

x

y

y

x

yy

x

5

x

x

y

y

x

yy

x

6

x

x

y

y

x

yy

x

7

x

x

y

y

x

yy

x

9

x

x

y

y

x

yy

x

8

x

x

y

y

x

yy

x

15

Розрахункові схеми

y

y

xxyx

yx

xy

xy

= 30

16

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження

2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом

3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут

4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно

визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності

Приклад розвrsquoязку

Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

4) головні напруження а також положення головних площин

5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом

6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45

Розвrsquoязок

y = 10 МПа

y

x = 50 МПаx

yx = 70 МПа

yx

xy = 70 МПа

xy

= 30

17

1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень

Враховуючи знаки напружень запишемо

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30

2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою

tg 2θгол=minus2 τ yx

σ xminusσ y=

minus2sdot(minus70)50minus10

=3 5

Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297

Головні напруження дорівнюють

σ 1=σ x +σ y

2+radic( σ x minusσ y

2 )2

+ τ yx2

=

50+102

+radic(50minus102 )

2+(minus70)2

= 1028 МПа

σ 2=σ x +σ y

2minusradic( σ x minusσ y

2 )2

+τ yx2

=

50+102

minusradic(50minus102 )

2+(minus70 )2

= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за

іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595

σ 1=( σx+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол =

(50+10 )2

+(50minus10)cos (74 05 deg)

2minus(minus70 )sin(74 05 deg )

=

= 1028 МПа

y

y

xx

yx

yx

xy

xy

21

12

rsquoгол = 5297

гол= +3703

18

σ 2=( σ x+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол

= (50+10 )

2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)

2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)

= = 428 МПа

Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють

1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень

показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30

Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження

σ θ=(σ x+σ y )

2+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin 2θ

= (50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot30deg )

2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )

= = 10062 МПа

τθ=( σ xminusσ y )sin2θ

2+τ yxcos 2θ

= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )

2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)

= 1768 МПа

σ θ =

(σ x+σ y )2

+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin2 θ

=

=(50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot120deg )

2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )

= 4062 МПа

τθ =

( σ xminusσ y )sin2 θ

2minusτ yx cos2θ

= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)

2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )

= =1768 МПа

x x

y

y

= 30

lsquo = 120rsquo

rsquo

rsquo

rsquo

19

Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто

x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа

Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа

Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів

Таким чином одержано

= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа

Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі

4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень

τ max=σ1minusσ2

2 =

102 8minus(minus428)2 = 728 МПа

Положення площадок з максимальними дотичними

ctg 2θк=2 τ yx

σ xminusσ y =

2(minus70 )50minus10 = 35

tg 2θк=σxminusσ y

2 τ yx = 0286

Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203

Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

x x

y

y

k = 797

lsquok = +8203k

k

k

k

max

max minrsquo

minrsquo

20

σ θk=

σx +σ y

2 =

50+102 = 30 МПа

Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45

Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається

Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані

на схемі

На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим

5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

+2гол

2rsquoгол 2

D

E

2rsquo

2rsquok

2k

max

min

21

6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

3

Зміст

Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу5Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня9Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану15Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу28Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки35Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки 39

4

Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу

Завдання Для заданого поперечного перерізу що складається з швелера

рівнобічного кутника двотавра необхідно1 Визначити положення центру тяжіння2 Знайти осьові та відцентровий моменти інерції відносно довільних

вісей що проходять через центр тяжіння3 Визначити напрям головних центральних вісей4 Знайти моменти інерції відносно головних центральних вісей5 Накреслити переріз в масштабі 12 та вказати на ньому всі розміри в

числах та всі вісіПередостання цифра посвідчення ndash схема остання ndash розміри

зп Схема зп Схема зп Схема

1 2 3

4 5 6

7 8 9

0

N стр Швеллер Рівнобокий кутник Двотавр

1 14 80 х 80 х 8 122 16 80 х 80 х 6 143 18 90 х 90 х 8 164 20 90 х 90 х 7 185 22 90 х 90 х 6 20а6 24 100 х 100 х 8 207 27 100 х 100 х 10 22а8 30 100 х 100 х 12 229 33 125 х 125 х 10 24а0 36 125 х 125 х 12 24

5

Послідовність виконання1 За табличними даними визначаємо геометричні характеристики прокату2 Креслимо схему перерізу в масштабі3 Визначаємо координати центру ваги перерізу4 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і розраховуємо сумарні осьові та відцентровий моменти інерції5 Визначаємо напрям головних осей перерізу і будуємо головні осі на схемі

Приклад виконання

Визначити напрям головних вісей та величини головних осьових моментів інерції для складного плоского поперчного перерізу

ДаноШвелер ndash 36Двотавр ndash 24а

Розвrsquoязок1 За табличними даними визначаємо характеристики прокатуШвелер

профіля

Висота h мм

Ширина b мм

Площа перерізу

A см2Ix см4 Iy см4 z0 см

36 360 110 534 108200 513 268

Двотавр

профіля Висота h мм

Ширина b мм

Площа перерізу

A см2Ix см4 Iy см4

24а 240 125 375 38000 260

2 Креслимо схему перерізу в масштабі приймаємо систему координат

3 Визначаємо координати центрів ваги кожного профіля Приймемо для характеристик швелера індекс 1 для харакетристик двотавра ndash 2x1=-268 см y1 = 18 смx2=12 см y2 = 24 см

4 Визначаємо координати центру ваги всього перерізу

х

хс

6

xc=x1sdotA1+x2sdotA2

A1+ A2=minus2 68sdot53 4+12sdot37 5

53 4+37 5=337

см

yc=y1sdotA1+ y2sdotA2

A1+ A2=18sdot53 4+24sdot37 5

53 4+37 5=20 47

см

5 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і визначаємо

координати центрів ваги швелера і двотавра в новій системі координат xcyc

x1 =x1minusxc=minus268minus337=6 05 см

y1 = y1minus yc=18minus20 47=minus2 47 см

x2 =x2minusxc=12minus3 37=8 63 см

y2 = y2minus yc=24minus20 47=3 53 см

6 Застосовуючи теорему про паралельний перенос вісей визначаємо значення значення осьових та відцентрових моментів інерції відносно центру ваги всього перерізу та визначаємо сумарні осові та відцентровий моменти інерції відносно вісей xc та ycI x 1

=I x 1+( y1 )2sdotA1=10820+(minus2 47 )2sdot53 4=11145 см4

I y 1 =I y 1+( x1

)2sdotA1=513+(6 05 )2sdot53 4=2467см4I xy 1

=I xy 1+( x1sdoty1

)sdotA1=0+ (minus2 47 )sdot6 05sdot53 4=minus798 см4I x 2

=I x2+( y2 )2sdotA2=260+(3 53 )2sdot375=727см4

I y2 =I y 2+( x2

)2sdotA2=3800+ (8 63 )2sdot37 5=6593 см4

y yс

7

I xy 2 =I xy 2+( x2

sdoty2 )sdotA2=0+3 53sdot8 63sdot37 5=1142см4

I x=I x1 + I x 2

=11145+727=11872 см4I y=I y1

+ I y2 =2467+6593=9060 см4

I xy=I xy 1 + I xy 2

=minus798+1142=344 см47 Напрям головних осей перерізу та їх величини визначається за формулами

tg 2θгол=2sdotI xy

I yminusI x= 2sdot344

9060minus11872=minus0 2446

2 θгол=minus13 75 θ гол=minus6 87 deg

I 12=I y + I x

2plusmnradic( I y minusI x

2 )2

+ I xy2 =9060+11872

2plusmnradic(9060minus11872

2 )2

+3442 =10466plusmn1447

I 1=10466+1447=11913 см4I 1=10466minus1447=9019 см4

8 Будуємо головні вісі

8

Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня

ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і

розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня

Таблиця 1 ndash Початкові дані

Вар

іант Навантаження Довжина Площа

F кH q кHм a см А см2

1 30 15 20 352 25 10 32 353 20 12 24 324 15 14 26 305 17 16 28 286 23 11 30 337 27 13 18 368 32 90 16 389 36 70 17 400 40 80 20 45

9

Послідовність виконання

10

1 Креслиться розрахункова схема на якій вказуються направлення зовнішніх сил та геометричні розміри стержня

2 Визначаємо межі ділянок Для кожної ділянки складаємо рівняння для визначення поздовжньої сили N

3 Будується епюра поздовжніх сил від дії зовнішніх сил F та розподіленого навантаження q за допомогою методу перерізів

4 Будується епюра нормальних напружень5 Будується епюра абсолютних переміщень

Приклад виконання

ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і

розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати

1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня

Вар

іант Навантаження Довжина Площа

F кH q кHм a см А см2

11 10 5 20 4

Розвrsquoязок

1 Будуємо розрахункову схему стержня на якій позначаємо напрям чисельне значення зовнішньої сили та геометричні розміри стержня

2 Розділяємо стержень на ділянки характерними перерізами в місцях прикладання сил та в місцях зміни геометрії поперечного перерізу Утворилося чотири ділянки ndash 0-1 1-2 2-3 і 3-4 Для кожної ділянки записуємо рівняння для визначення поздовжньої сили

11

N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН

N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН

3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил

4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1

σ 0=N0

A= 0

4sdot10minus4 =0

σ 1=N1

A= 2sdot103

4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа

- ділянка 1-2

σ 1=N 1

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

σ 2=N 2

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

12

- ділянка 2-3

σ 2=N 2

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

σ 3=N 3

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

- ділянка 3-4

σ 3=N3

A=minus28sdot103

4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа

σ 4=N 4

A=minus26sdot103

4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа

Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом

Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана

6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням

Δl01=int0

04

( N 01

EsdotA )dz=int0

04

( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2

2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042

2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м

Δl12=N12sdotl12

Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м

Δl23=N 23sdotl23

Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м

Δl34=int1

14

(N34

EsdotA )dz=int1

14

(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=

(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2

2EsdotA

|114=

(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142

2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102

2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м

Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок

Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м

Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м

13

Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м

Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці

Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно

Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована

Задача розвrsquoязана

14

Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану

Завдання

Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що

розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони

діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2

Таблиця 2 ndash Початкові даніnn

xМПа

yМПа

МПа

Сталь

0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40

0

x

x

y

y

x

yy

x

1

x

x

y

y

x

yy

x

2

x

x

y

y

x

yy

x

3

x

x

y

y

x

yy

x

4

x

x

y

y

x

yy

x

5

x

x

y

y

x

yy

x

6

x

x

y

y

x

yy

x

7

x

x

y

y

x

yy

x

9

x

x

y

y

x

yy

x

8

x

x

y

y

x

yy

x

15

Розрахункові схеми

y

y

xxyx

yx

xy

xy

= 30

16

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження

2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом

3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут

4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно

визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності

Приклад розвrsquoязку

Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

4) головні напруження а також положення головних площин

5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом

6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45

Розвrsquoязок

y = 10 МПа

y

x = 50 МПаx

yx = 70 МПа

yx

xy = 70 МПа

xy

= 30

17

1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень

Враховуючи знаки напружень запишемо

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30

2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою

tg 2θгол=minus2 τ yx

σ xminusσ y=

minus2sdot(minus70)50minus10

=3 5

Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297

Головні напруження дорівнюють

σ 1=σ x +σ y

2+radic( σ x minusσ y

2 )2

+ τ yx2

=

50+102

+radic(50minus102 )

2+(minus70)2

= 1028 МПа

σ 2=σ x +σ y

2minusradic( σ x minusσ y

2 )2

+τ yx2

=

50+102

minusradic(50minus102 )

2+(minus70 )2

= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за

іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595

σ 1=( σx+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол =

(50+10 )2

+(50minus10)cos (74 05 deg)

2minus(minus70 )sin(74 05 deg )

=

= 1028 МПа

y

y

xx

yx

yx

xy

xy

21

12

rsquoгол = 5297

гол= +3703

18

σ 2=( σ x+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол

= (50+10 )

2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)

2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)

= = 428 МПа

Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють

1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень

показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30

Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження

σ θ=(σ x+σ y )

2+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin 2θ

= (50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot30deg )

2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )

= = 10062 МПа

τθ=( σ xminusσ y )sin2θ

2+τ yxcos 2θ

= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )

2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)

= 1768 МПа

σ θ =

(σ x+σ y )2

+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin2 θ

=

=(50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot120deg )

2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )

= 4062 МПа

τθ =

( σ xminusσ y )sin2 θ

2minusτ yx cos2θ

= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)

2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )

= =1768 МПа

x x

y

y

= 30

lsquo = 120rsquo

rsquo

rsquo

rsquo

19

Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто

x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа

Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа

Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів

Таким чином одержано

= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа

Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі

4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень

τ max=σ1minusσ2

2 =

102 8minus(minus428)2 = 728 МПа

Положення площадок з максимальними дотичними

ctg 2θк=2 τ yx

σ xminusσ y =

2(minus70 )50minus10 = 35

tg 2θк=σxminusσ y

2 τ yx = 0286

Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203

Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

x x

y

y

k = 797

lsquok = +8203k

k

k

k

max

max minrsquo

minrsquo

20

σ θk=

σx +σ y

2 =

50+102 = 30 МПа

Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45

Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається

Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані

на схемі

На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим

5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

+2гол

2rsquoгол 2

D

E

2rsquo

2rsquok

2k

max

min

21

6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

4

Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу

Завдання Для заданого поперечного перерізу що складається з швелера

рівнобічного кутника двотавра необхідно1 Визначити положення центру тяжіння2 Знайти осьові та відцентровий моменти інерції відносно довільних

вісей що проходять через центр тяжіння3 Визначити напрям головних центральних вісей4 Знайти моменти інерції відносно головних центральних вісей5 Накреслити переріз в масштабі 12 та вказати на ньому всі розміри в

числах та всі вісіПередостання цифра посвідчення ndash схема остання ndash розміри

зп Схема зп Схема зп Схема

1 2 3

4 5 6

7 8 9

0

N стр Швеллер Рівнобокий кутник Двотавр

1 14 80 х 80 х 8 122 16 80 х 80 х 6 143 18 90 х 90 х 8 164 20 90 х 90 х 7 185 22 90 х 90 х 6 20а6 24 100 х 100 х 8 207 27 100 х 100 х 10 22а8 30 100 х 100 х 12 229 33 125 х 125 х 10 24а0 36 125 х 125 х 12 24

5

Послідовність виконання1 За табличними даними визначаємо геометричні характеристики прокату2 Креслимо схему перерізу в масштабі3 Визначаємо координати центру ваги перерізу4 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і розраховуємо сумарні осьові та відцентровий моменти інерції5 Визначаємо напрям головних осей перерізу і будуємо головні осі на схемі

Приклад виконання

Визначити напрям головних вісей та величини головних осьових моментів інерції для складного плоского поперчного перерізу

ДаноШвелер ndash 36Двотавр ndash 24а

Розвrsquoязок1 За табличними даними визначаємо характеристики прокатуШвелер

профіля

Висота h мм

Ширина b мм

Площа перерізу

A см2Ix см4 Iy см4 z0 см

36 360 110 534 108200 513 268

Двотавр

профіля Висота h мм

Ширина b мм

Площа перерізу

A см2Ix см4 Iy см4

24а 240 125 375 38000 260

2 Креслимо схему перерізу в масштабі приймаємо систему координат

3 Визначаємо координати центрів ваги кожного профіля Приймемо для характеристик швелера індекс 1 для харакетристик двотавра ndash 2x1=-268 см y1 = 18 смx2=12 см y2 = 24 см

4 Визначаємо координати центру ваги всього перерізу

х

хс

6

xc=x1sdotA1+x2sdotA2

A1+ A2=minus2 68sdot53 4+12sdot37 5

53 4+37 5=337

см

yc=y1sdotA1+ y2sdotA2

A1+ A2=18sdot53 4+24sdot37 5

53 4+37 5=20 47

см

5 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і визначаємо

координати центрів ваги швелера і двотавра в новій системі координат xcyc

x1 =x1minusxc=minus268minus337=6 05 см

y1 = y1minus yc=18minus20 47=minus2 47 см

x2 =x2minusxc=12minus3 37=8 63 см

y2 = y2minus yc=24minus20 47=3 53 см

6 Застосовуючи теорему про паралельний перенос вісей визначаємо значення значення осьових та відцентрових моментів інерції відносно центру ваги всього перерізу та визначаємо сумарні осові та відцентровий моменти інерції відносно вісей xc та ycI x 1

=I x 1+( y1 )2sdotA1=10820+(minus2 47 )2sdot53 4=11145 см4

I y 1 =I y 1+( x1

)2sdotA1=513+(6 05 )2sdot53 4=2467см4I xy 1

=I xy 1+( x1sdoty1

)sdotA1=0+ (minus2 47 )sdot6 05sdot53 4=minus798 см4I x 2

=I x2+( y2 )2sdotA2=260+(3 53 )2sdot375=727см4

I y2 =I y 2+( x2

)2sdotA2=3800+ (8 63 )2sdot37 5=6593 см4

y yс

7

I xy 2 =I xy 2+( x2

sdoty2 )sdotA2=0+3 53sdot8 63sdot37 5=1142см4

I x=I x1 + I x 2

=11145+727=11872 см4I y=I y1

+ I y2 =2467+6593=9060 см4

I xy=I xy 1 + I xy 2

=minus798+1142=344 см47 Напрям головних осей перерізу та їх величини визначається за формулами

tg 2θгол=2sdotI xy

I yminusI x= 2sdot344

9060minus11872=minus0 2446

2 θгол=minus13 75 θ гол=minus6 87 deg

I 12=I y + I x

2plusmnradic( I y minusI x

2 )2

+ I xy2 =9060+11872

2plusmnradic(9060minus11872

2 )2

+3442 =10466plusmn1447

I 1=10466+1447=11913 см4I 1=10466minus1447=9019 см4

8 Будуємо головні вісі

8

Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня

ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і

розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня

Таблиця 1 ndash Початкові дані

Вар

іант Навантаження Довжина Площа

F кH q кHм a см А см2

1 30 15 20 352 25 10 32 353 20 12 24 324 15 14 26 305 17 16 28 286 23 11 30 337 27 13 18 368 32 90 16 389 36 70 17 400 40 80 20 45

9

Послідовність виконання

10

1 Креслиться розрахункова схема на якій вказуються направлення зовнішніх сил та геометричні розміри стержня

2 Визначаємо межі ділянок Для кожної ділянки складаємо рівняння для визначення поздовжньої сили N

3 Будується епюра поздовжніх сил від дії зовнішніх сил F та розподіленого навантаження q за допомогою методу перерізів

4 Будується епюра нормальних напружень5 Будується епюра абсолютних переміщень

Приклад виконання

ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і

розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати

1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня

Вар

іант Навантаження Довжина Площа

F кH q кHм a см А см2

11 10 5 20 4

Розвrsquoязок

1 Будуємо розрахункову схему стержня на якій позначаємо напрям чисельне значення зовнішньої сили та геометричні розміри стержня

2 Розділяємо стержень на ділянки характерними перерізами в місцях прикладання сил та в місцях зміни геометрії поперечного перерізу Утворилося чотири ділянки ndash 0-1 1-2 2-3 і 3-4 Для кожної ділянки записуємо рівняння для визначення поздовжньої сили

11

N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН

N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН

3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил

4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1

σ 0=N0

A= 0

4sdot10minus4 =0

σ 1=N1

A= 2sdot103

4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа

- ділянка 1-2

σ 1=N 1

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

σ 2=N 2

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

12

- ділянка 2-3

σ 2=N 2

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

σ 3=N 3

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

- ділянка 3-4

σ 3=N3

A=minus28sdot103

4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа

σ 4=N 4

A=minus26sdot103

4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа

Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом

Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана

6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням

Δl01=int0

04

( N 01

EsdotA )dz=int0

04

( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2

2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042

2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м

Δl12=N12sdotl12

Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м

Δl23=N 23sdotl23

Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м

Δl34=int1

14

(N34

EsdotA )dz=int1

14

(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=

(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2

2EsdotA

|114=

(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142

2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102

2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м

Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок

Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м

Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м

13

Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м

Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці

Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно

Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована

Задача розвrsquoязана

14

Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану

Завдання

Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що

розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони

діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2

Таблиця 2 ndash Початкові даніnn

xМПа

yМПа

МПа

Сталь

0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40

0

x

x

y

y

x

yy

x

1

x

x

y

y

x

yy

x

2

x

x

y

y

x

yy

x

3

x

x

y

y

x

yy

x

4

x

x

y

y

x

yy

x

5

x

x

y

y

x

yy

x

6

x

x

y

y

x

yy

x

7

x

x

y

y

x

yy

x

9

x

x

y

y

x

yy

x

8

x

x

y

y

x

yy

x

15

Розрахункові схеми

y

y

xxyx

yx

xy

xy

= 30

16

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження

2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом

3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут

4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно

визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності

Приклад розвrsquoязку

Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

4) головні напруження а також положення головних площин

5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом

6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45

Розвrsquoязок

y = 10 МПа

y

x = 50 МПаx

yx = 70 МПа

yx

xy = 70 МПа

xy

= 30

17

1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень

Враховуючи знаки напружень запишемо

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30

2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою

tg 2θгол=minus2 τ yx

σ xminusσ y=

minus2sdot(minus70)50minus10

=3 5

Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297

Головні напруження дорівнюють

σ 1=σ x +σ y

2+radic( σ x minusσ y

2 )2

+ τ yx2

=

50+102

+radic(50minus102 )

2+(minus70)2

= 1028 МПа

σ 2=σ x +σ y

2minusradic( σ x minusσ y

2 )2

+τ yx2

=

50+102

minusradic(50minus102 )

2+(minus70 )2

= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за

іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595

σ 1=( σx+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол =

(50+10 )2

+(50minus10)cos (74 05 deg)

2minus(minus70 )sin(74 05 deg )

=

= 1028 МПа

y

y

xx

yx

yx

xy

xy

21

12

rsquoгол = 5297

гол= +3703

18

σ 2=( σ x+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол

= (50+10 )

2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)

2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)

= = 428 МПа

Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють

1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень

показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30

Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження

σ θ=(σ x+σ y )

2+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin 2θ

= (50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot30deg )

2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )

= = 10062 МПа

τθ=( σ xminusσ y )sin2θ

2+τ yxcos 2θ

= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )

2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)

= 1768 МПа

σ θ =

(σ x+σ y )2

+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin2 θ

=

=(50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot120deg )

2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )

= 4062 МПа

τθ =

( σ xminusσ y )sin2 θ

2minusτ yx cos2θ

= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)

2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )

= =1768 МПа

x x

y

y

= 30

lsquo = 120rsquo

rsquo

rsquo

rsquo

19

Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто

x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа

Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа

Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів

Таким чином одержано

= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа

Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі

4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень

τ max=σ1minusσ2

2 =

102 8minus(minus428)2 = 728 МПа

Положення площадок з максимальними дотичними

ctg 2θк=2 τ yx

σ xminusσ y =

2(minus70 )50minus10 = 35

tg 2θк=σxminusσ y

2 τ yx = 0286

Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203

Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

x x

y

y

k = 797

lsquok = +8203k

k

k

k

max

max minrsquo

minrsquo

20

σ θk=

σx +σ y

2 =

50+102 = 30 МПа

Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45

Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається

Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані

на схемі

На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим

5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

+2гол

2rsquoгол 2

D

E

2rsquo

2rsquok

2k

max

min

21

6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

5

Послідовність виконання1 За табличними даними визначаємо геометричні характеристики прокату2 Креслимо схему перерізу в масштабі3 Визначаємо координати центру ваги перерізу4 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і розраховуємо сумарні осьові та відцентровий моменти інерції5 Визначаємо напрям головних осей перерізу і будуємо головні осі на схемі

Приклад виконання

Визначити напрям головних вісей та величини головних осьових моментів інерції для складного плоского поперчного перерізу

ДаноШвелер ndash 36Двотавр ndash 24а

Розвrsquoязок1 За табличними даними визначаємо характеристики прокатуШвелер

профіля

Висота h мм

Ширина b мм

Площа перерізу

A см2Ix см4 Iy см4 z0 см

36 360 110 534 108200 513 268

Двотавр

профіля Висота h мм

Ширина b мм

Площа перерізу

A см2Ix см4 Iy см4

24а 240 125 375 38000 260

2 Креслимо схему перерізу в масштабі приймаємо систему координат

3 Визначаємо координати центрів ваги кожного профіля Приймемо для характеристик швелера індекс 1 для харакетристик двотавра ndash 2x1=-268 см y1 = 18 смx2=12 см y2 = 24 см

4 Визначаємо координати центру ваги всього перерізу

х

хс

6

xc=x1sdotA1+x2sdotA2

A1+ A2=minus2 68sdot53 4+12sdot37 5

53 4+37 5=337

см

yc=y1sdotA1+ y2sdotA2

A1+ A2=18sdot53 4+24sdot37 5

53 4+37 5=20 47

см

5 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і визначаємо

координати центрів ваги швелера і двотавра в новій системі координат xcyc

x1 =x1minusxc=minus268minus337=6 05 см

y1 = y1minus yc=18minus20 47=minus2 47 см

x2 =x2minusxc=12minus3 37=8 63 см

y2 = y2minus yc=24minus20 47=3 53 см

6 Застосовуючи теорему про паралельний перенос вісей визначаємо значення значення осьових та відцентрових моментів інерції відносно центру ваги всього перерізу та визначаємо сумарні осові та відцентровий моменти інерції відносно вісей xc та ycI x 1

=I x 1+( y1 )2sdotA1=10820+(minus2 47 )2sdot53 4=11145 см4

I y 1 =I y 1+( x1

)2sdotA1=513+(6 05 )2sdot53 4=2467см4I xy 1

=I xy 1+( x1sdoty1

)sdotA1=0+ (minus2 47 )sdot6 05sdot53 4=minus798 см4I x 2

=I x2+( y2 )2sdotA2=260+(3 53 )2sdot375=727см4

I y2 =I y 2+( x2

)2sdotA2=3800+ (8 63 )2sdot37 5=6593 см4

y yс

7

I xy 2 =I xy 2+( x2

sdoty2 )sdotA2=0+3 53sdot8 63sdot37 5=1142см4

I x=I x1 + I x 2

=11145+727=11872 см4I y=I y1

+ I y2 =2467+6593=9060 см4

I xy=I xy 1 + I xy 2

=minus798+1142=344 см47 Напрям головних осей перерізу та їх величини визначається за формулами

tg 2θгол=2sdotI xy

I yminusI x= 2sdot344

9060minus11872=minus0 2446

2 θгол=minus13 75 θ гол=minus6 87 deg

I 12=I y + I x

2plusmnradic( I y minusI x

2 )2

+ I xy2 =9060+11872

2plusmnradic(9060minus11872

2 )2

+3442 =10466plusmn1447

I 1=10466+1447=11913 см4I 1=10466minus1447=9019 см4

8 Будуємо головні вісі

8

Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня

ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і

розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня

Таблиця 1 ndash Початкові дані

Вар

іант Навантаження Довжина Площа

F кH q кHм a см А см2

1 30 15 20 352 25 10 32 353 20 12 24 324 15 14 26 305 17 16 28 286 23 11 30 337 27 13 18 368 32 90 16 389 36 70 17 400 40 80 20 45

9

Послідовність виконання

10

1 Креслиться розрахункова схема на якій вказуються направлення зовнішніх сил та геометричні розміри стержня

2 Визначаємо межі ділянок Для кожної ділянки складаємо рівняння для визначення поздовжньої сили N

3 Будується епюра поздовжніх сил від дії зовнішніх сил F та розподіленого навантаження q за допомогою методу перерізів

4 Будується епюра нормальних напружень5 Будується епюра абсолютних переміщень

Приклад виконання

ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і

розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати

1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня

Вар

іант Навантаження Довжина Площа

F кH q кHм a см А см2

11 10 5 20 4

Розвrsquoязок

1 Будуємо розрахункову схему стержня на якій позначаємо напрям чисельне значення зовнішньої сили та геометричні розміри стержня

2 Розділяємо стержень на ділянки характерними перерізами в місцях прикладання сил та в місцях зміни геометрії поперечного перерізу Утворилося чотири ділянки ndash 0-1 1-2 2-3 і 3-4 Для кожної ділянки записуємо рівняння для визначення поздовжньої сили

11

N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН

N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН

3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил

4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1

σ 0=N0

A= 0

4sdot10minus4 =0

σ 1=N1

A= 2sdot103

4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа

- ділянка 1-2

σ 1=N 1

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

σ 2=N 2

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

12

- ділянка 2-3

σ 2=N 2

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

σ 3=N 3

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

- ділянка 3-4

σ 3=N3

A=minus28sdot103

4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа

σ 4=N 4

A=minus26sdot103

4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа

Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом

Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана

6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням

Δl01=int0

04

( N 01

EsdotA )dz=int0

04

( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2

2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042

2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м

Δl12=N12sdotl12

Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м

Δl23=N 23sdotl23

Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м

Δl34=int1

14

(N34

EsdotA )dz=int1

14

(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=

(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2

2EsdotA

|114=

(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142

2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102

2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м

Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок

Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м

Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м

13

Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м

Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці

Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно

Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована

Задача розвrsquoязана

14

Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану

Завдання

Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що

розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони

діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2

Таблиця 2 ndash Початкові даніnn

xМПа

yМПа

МПа

Сталь

0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40

0

x

x

y

y

x

yy

x

1

x

x

y

y

x

yy

x

2

x

x

y

y

x

yy

x

3

x

x

y

y

x

yy

x

4

x

x

y

y

x

yy

x

5

x

x

y

y

x

yy

x

6

x

x

y

y

x

yy

x

7

x

x

y

y

x

yy

x

9

x

x

y

y

x

yy

x

8

x

x

y

y

x

yy

x

15

Розрахункові схеми

y

y

xxyx

yx

xy

xy

= 30

16

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження

2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом

3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут

4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно

визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності

Приклад розвrsquoязку

Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

4) головні напруження а також положення головних площин

5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом

6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45

Розвrsquoязок

y = 10 МПа

y

x = 50 МПаx

yx = 70 МПа

yx

xy = 70 МПа

xy

= 30

17

1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень

Враховуючи знаки напружень запишемо

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30

2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою

tg 2θгол=minus2 τ yx

σ xminusσ y=

minus2sdot(minus70)50minus10

=3 5

Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297

Головні напруження дорівнюють

σ 1=σ x +σ y

2+radic( σ x minusσ y

2 )2

+ τ yx2

=

50+102

+radic(50minus102 )

2+(minus70)2

= 1028 МПа

σ 2=σ x +σ y

2minusradic( σ x minusσ y

2 )2

+τ yx2

=

50+102

minusradic(50minus102 )

2+(minus70 )2

= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за

іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595

σ 1=( σx+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол =

(50+10 )2

+(50minus10)cos (74 05 deg)

2minus(minus70 )sin(74 05 deg )

=

= 1028 МПа

y

y

xx

yx

yx

xy

xy

21

12

rsquoгол = 5297

гол= +3703

18

σ 2=( σ x+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол

= (50+10 )

2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)

2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)

= = 428 МПа

Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють

1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень

показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30

Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження

σ θ=(σ x+σ y )

2+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin 2θ

= (50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot30deg )

2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )

= = 10062 МПа

τθ=( σ xminusσ y )sin2θ

2+τ yxcos 2θ

= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )

2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)

= 1768 МПа

σ θ =

(σ x+σ y )2

+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin2 θ

=

=(50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot120deg )

2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )

= 4062 МПа

τθ =

( σ xminusσ y )sin2 θ

2minusτ yx cos2θ

= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)

2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )

= =1768 МПа

x x

y

y

= 30

lsquo = 120rsquo

rsquo

rsquo

rsquo

19

Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто

x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа

Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа

Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів

Таким чином одержано

= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа

Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі

4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень

τ max=σ1minusσ2

2 =

102 8minus(minus428)2 = 728 МПа

Положення площадок з максимальними дотичними

ctg 2θк=2 τ yx

σ xminusσ y =

2(minus70 )50minus10 = 35

tg 2θк=σxminusσ y

2 τ yx = 0286

Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203

Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

x x

y

y

k = 797

lsquok = +8203k

k

k

k

max

max minrsquo

minrsquo

20

σ θk=

σx +σ y

2 =

50+102 = 30 МПа

Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45

Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається

Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані

на схемі

На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим

5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

+2гол

2rsquoгол 2

D

E

2rsquo

2rsquok

2k

max

min

21

6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

х

хс

6

xc=x1sdotA1+x2sdotA2

A1+ A2=minus2 68sdot53 4+12sdot37 5

53 4+37 5=337

см

yc=y1sdotA1+ y2sdotA2

A1+ A2=18sdot53 4+24sdot37 5

53 4+37 5=20 47

см

5 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і визначаємо

координати центрів ваги швелера і двотавра в новій системі координат xcyc

x1 =x1minusxc=minus268minus337=6 05 см

y1 = y1minus yc=18minus20 47=minus2 47 см

x2 =x2minusxc=12minus3 37=8 63 см

y2 = y2minus yc=24minus20 47=3 53 см

6 Застосовуючи теорему про паралельний перенос вісей визначаємо значення значення осьових та відцентрових моментів інерції відносно центру ваги всього перерізу та визначаємо сумарні осові та відцентровий моменти інерції відносно вісей xc та ycI x 1

=I x 1+( y1 )2sdotA1=10820+(minus2 47 )2sdot53 4=11145 см4

I y 1 =I y 1+( x1

)2sdotA1=513+(6 05 )2sdot53 4=2467см4I xy 1

=I xy 1+( x1sdoty1

)sdotA1=0+ (minus2 47 )sdot6 05sdot53 4=minus798 см4I x 2

=I x2+( y2 )2sdotA2=260+(3 53 )2sdot375=727см4

I y2 =I y 2+( x2

)2sdotA2=3800+ (8 63 )2sdot37 5=6593 см4

y yс

7

I xy 2 =I xy 2+( x2

sdoty2 )sdotA2=0+3 53sdot8 63sdot37 5=1142см4

I x=I x1 + I x 2

=11145+727=11872 см4I y=I y1

+ I y2 =2467+6593=9060 см4

I xy=I xy 1 + I xy 2

=minus798+1142=344 см47 Напрям головних осей перерізу та їх величини визначається за формулами

tg 2θгол=2sdotI xy

I yminusI x= 2sdot344

9060minus11872=minus0 2446

2 θгол=minus13 75 θ гол=minus6 87 deg

I 12=I y + I x

2plusmnradic( I y minusI x

2 )2

+ I xy2 =9060+11872

2plusmnradic(9060minus11872

2 )2

+3442 =10466plusmn1447

I 1=10466+1447=11913 см4I 1=10466minus1447=9019 см4

8 Будуємо головні вісі

8

Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня

ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і

розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня

Таблиця 1 ndash Початкові дані

Вар

іант Навантаження Довжина Площа

F кH q кHм a см А см2

1 30 15 20 352 25 10 32 353 20 12 24 324 15 14 26 305 17 16 28 286 23 11 30 337 27 13 18 368 32 90 16 389 36 70 17 400 40 80 20 45

9

Послідовність виконання

10

1 Креслиться розрахункова схема на якій вказуються направлення зовнішніх сил та геометричні розміри стержня

2 Визначаємо межі ділянок Для кожної ділянки складаємо рівняння для визначення поздовжньої сили N

3 Будується епюра поздовжніх сил від дії зовнішніх сил F та розподіленого навантаження q за допомогою методу перерізів

4 Будується епюра нормальних напружень5 Будується епюра абсолютних переміщень

Приклад виконання

ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і

розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати

1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня

Вар

іант Навантаження Довжина Площа

F кH q кHм a см А см2

11 10 5 20 4

Розвrsquoязок

1 Будуємо розрахункову схему стержня на якій позначаємо напрям чисельне значення зовнішньої сили та геометричні розміри стержня

2 Розділяємо стержень на ділянки характерними перерізами в місцях прикладання сил та в місцях зміни геометрії поперечного перерізу Утворилося чотири ділянки ndash 0-1 1-2 2-3 і 3-4 Для кожної ділянки записуємо рівняння для визначення поздовжньої сили

11

N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН

N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН

3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил

4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1

σ 0=N0

A= 0

4sdot10minus4 =0

σ 1=N1

A= 2sdot103

4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа

- ділянка 1-2

σ 1=N 1

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

σ 2=N 2

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

12

- ділянка 2-3

σ 2=N 2

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

σ 3=N 3

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

- ділянка 3-4

σ 3=N3

A=minus28sdot103

4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа

σ 4=N 4

A=minus26sdot103

4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа

Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом

Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана

6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням

Δl01=int0

04

( N 01

EsdotA )dz=int0

04

( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2

2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042

2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м

Δl12=N12sdotl12

Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м

Δl23=N 23sdotl23

Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м

Δl34=int1

14

(N34

EsdotA )dz=int1

14

(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=

(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2

2EsdotA

|114=

(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142

2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102

2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м

Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок

Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м

Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м

13

Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м

Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці

Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно

Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована

Задача розвrsquoязана

14

Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану

Завдання

Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що

розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони

діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2

Таблиця 2 ndash Початкові даніnn

xМПа

yМПа

МПа

Сталь

0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40

0

x

x

y

y

x

yy

x

1

x

x

y

y

x

yy

x

2

x

x

y

y

x

yy

x

3

x

x

y

y

x

yy

x

4

x

x

y

y

x

yy

x

5

x

x

y

y

x

yy

x

6

x

x

y

y

x

yy

x

7

x

x

y

y

x

yy

x

9

x

x

y

y

x

yy

x

8

x

x

y

y

x

yy

x

15

Розрахункові схеми

y

y

xxyx

yx

xy

xy

= 30

16

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження

2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом

3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут

4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно

визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності

Приклад розвrsquoязку

Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

4) головні напруження а також положення головних площин

5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом

6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45

Розвrsquoязок

y = 10 МПа

y

x = 50 МПаx

yx = 70 МПа

yx

xy = 70 МПа

xy

= 30

17

1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень

Враховуючи знаки напружень запишемо

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30

2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою

tg 2θгол=minus2 τ yx

σ xminusσ y=

minus2sdot(minus70)50minus10

=3 5

Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297

Головні напруження дорівнюють

σ 1=σ x +σ y

2+radic( σ x minusσ y

2 )2

+ τ yx2

=

50+102

+radic(50minus102 )

2+(minus70)2

= 1028 МПа

σ 2=σ x +σ y

2minusradic( σ x minusσ y

2 )2

+τ yx2

=

50+102

minusradic(50minus102 )

2+(minus70 )2

= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за

іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595

σ 1=( σx+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол =

(50+10 )2

+(50minus10)cos (74 05 deg)

2minus(minus70 )sin(74 05 deg )

=

= 1028 МПа

y

y

xx

yx

yx

xy

xy

21

12

rsquoгол = 5297

гол= +3703

18

σ 2=( σ x+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол

= (50+10 )

2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)

2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)

= = 428 МПа

Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють

1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень

показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30

Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження

σ θ=(σ x+σ y )

2+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin 2θ

= (50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot30deg )

2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )

= = 10062 МПа

τθ=( σ xminusσ y )sin2θ

2+τ yxcos 2θ

= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )

2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)

= 1768 МПа

σ θ =

(σ x+σ y )2

+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin2 θ

=

=(50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot120deg )

2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )

= 4062 МПа

τθ =

( σ xminusσ y )sin2 θ

2minusτ yx cos2θ

= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)

2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )

= =1768 МПа

x x

y

y

= 30

lsquo = 120rsquo

rsquo

rsquo

rsquo

19

Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто

x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа

Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа

Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів

Таким чином одержано

= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа

Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі

4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень

τ max=σ1minusσ2

2 =

102 8minus(minus428)2 = 728 МПа

Положення площадок з максимальними дотичними

ctg 2θк=2 τ yx

σ xminusσ y =

2(minus70 )50minus10 = 35

tg 2θк=σxminusσ y

2 τ yx = 0286

Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203

Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

x x

y

y

k = 797

lsquok = +8203k

k

k

k

max

max minrsquo

minrsquo

20

σ θk=

σx +σ y

2 =

50+102 = 30 МПа

Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45

Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається

Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані

на схемі

На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим

5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

+2гол

2rsquoгол 2

D

E

2rsquo

2rsquok

2k

max

min

21

6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

7

I xy 2 =I xy 2+( x2

sdoty2 )sdotA2=0+3 53sdot8 63sdot37 5=1142см4

I x=I x1 + I x 2

=11145+727=11872 см4I y=I y1

+ I y2 =2467+6593=9060 см4

I xy=I xy 1 + I xy 2

=minus798+1142=344 см47 Напрям головних осей перерізу та їх величини визначається за формулами

tg 2θгол=2sdotI xy

I yminusI x= 2sdot344

9060minus11872=minus0 2446

2 θгол=minus13 75 θ гол=minus6 87 deg

I 12=I y + I x

2plusmnradic( I y minusI x

2 )2

+ I xy2 =9060+11872

2plusmnradic(9060minus11872

2 )2

+3442 =10466plusmn1447

I 1=10466+1447=11913 см4I 1=10466minus1447=9019 см4

8 Будуємо головні вісі

8

Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня

ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і

розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня

Таблиця 1 ndash Початкові дані

Вар

іант Навантаження Довжина Площа

F кH q кHм a см А см2

1 30 15 20 352 25 10 32 353 20 12 24 324 15 14 26 305 17 16 28 286 23 11 30 337 27 13 18 368 32 90 16 389 36 70 17 400 40 80 20 45

9

Послідовність виконання

10

1 Креслиться розрахункова схема на якій вказуються направлення зовнішніх сил та геометричні розміри стержня

2 Визначаємо межі ділянок Для кожної ділянки складаємо рівняння для визначення поздовжньої сили N

3 Будується епюра поздовжніх сил від дії зовнішніх сил F та розподіленого навантаження q за допомогою методу перерізів

4 Будується епюра нормальних напружень5 Будується епюра абсолютних переміщень

Приклад виконання

ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і

розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати

1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня

Вар

іант Навантаження Довжина Площа

F кH q кHм a см А см2

11 10 5 20 4

Розвrsquoязок

1 Будуємо розрахункову схему стержня на якій позначаємо напрям чисельне значення зовнішньої сили та геометричні розміри стержня

2 Розділяємо стержень на ділянки характерними перерізами в місцях прикладання сил та в місцях зміни геометрії поперечного перерізу Утворилося чотири ділянки ndash 0-1 1-2 2-3 і 3-4 Для кожної ділянки записуємо рівняння для визначення поздовжньої сили

11

N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН

N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН

3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил

4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1

σ 0=N0

A= 0

4sdot10minus4 =0

σ 1=N1

A= 2sdot103

4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа

- ділянка 1-2

σ 1=N 1

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

σ 2=N 2

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

12

- ділянка 2-3

σ 2=N 2

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

σ 3=N 3

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

- ділянка 3-4

σ 3=N3

A=minus28sdot103

4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа

σ 4=N 4

A=minus26sdot103

4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа

Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом

Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана

6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням

Δl01=int0

04

( N 01

EsdotA )dz=int0

04

( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2

2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042

2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м

Δl12=N12sdotl12

Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м

Δl23=N 23sdotl23

Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м

Δl34=int1

14

(N34

EsdotA )dz=int1

14

(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=

(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2

2EsdotA

|114=

(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142

2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102

2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м

Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок

Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м

Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м

13

Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м

Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці

Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно

Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована

Задача розвrsquoязана

14

Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану

Завдання

Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що

розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони

діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2

Таблиця 2 ndash Початкові даніnn

xМПа

yМПа

МПа

Сталь

0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40

0

x

x

y

y

x

yy

x

1

x

x

y

y

x

yy

x

2

x

x

y

y

x

yy

x

3

x

x

y

y

x

yy

x

4

x

x

y

y

x

yy

x

5

x

x

y

y

x

yy

x

6

x

x

y

y

x

yy

x

7

x

x

y

y

x

yy

x

9

x

x

y

y

x

yy

x

8

x

x

y

y

x

yy

x

15

Розрахункові схеми

y

y

xxyx

yx

xy

xy

= 30

16

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження

2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом

3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут

4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно

визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності

Приклад розвrsquoязку

Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

4) головні напруження а також положення головних площин

5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом

6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45

Розвrsquoязок

y = 10 МПа

y

x = 50 МПаx

yx = 70 МПа

yx

xy = 70 МПа

xy

= 30

17

1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень

Враховуючи знаки напружень запишемо

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30

2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою

tg 2θгол=minus2 τ yx

σ xminusσ y=

minus2sdot(minus70)50minus10

=3 5

Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297

Головні напруження дорівнюють

σ 1=σ x +σ y

2+radic( σ x minusσ y

2 )2

+ τ yx2

=

50+102

+radic(50minus102 )

2+(minus70)2

= 1028 МПа

σ 2=σ x +σ y

2minusradic( σ x minusσ y

2 )2

+τ yx2

=

50+102

minusradic(50minus102 )

2+(minus70 )2

= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за

іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595

σ 1=( σx+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол =

(50+10 )2

+(50minus10)cos (74 05 deg)

2minus(minus70 )sin(74 05 deg )

=

= 1028 МПа

y

y

xx

yx

yx

xy

xy

21

12

rsquoгол = 5297

гол= +3703

18

σ 2=( σ x+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол

= (50+10 )

2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)

2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)

= = 428 МПа

Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють

1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень

показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30

Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження

σ θ=(σ x+σ y )

2+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin 2θ

= (50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot30deg )

2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )

= = 10062 МПа

τθ=( σ xminusσ y )sin2θ

2+τ yxcos 2θ

= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )

2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)

= 1768 МПа

σ θ =

(σ x+σ y )2

+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin2 θ

=

=(50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot120deg )

2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )

= 4062 МПа

τθ =

( σ xminusσ y )sin2 θ

2minusτ yx cos2θ

= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)

2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )

= =1768 МПа

x x

y

y

= 30

lsquo = 120rsquo

rsquo

rsquo

rsquo

19

Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто

x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа

Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа

Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів

Таким чином одержано

= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа

Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі

4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень

τ max=σ1minusσ2

2 =

102 8minus(minus428)2 = 728 МПа

Положення площадок з максимальними дотичними

ctg 2θк=2 τ yx

σ xminusσ y =

2(minus70 )50minus10 = 35

tg 2θк=σxminusσ y

2 τ yx = 0286

Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203

Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

x x

y

y

k = 797

lsquok = +8203k

k

k

k

max

max minrsquo

minrsquo

20

σ θk=

σx +σ y

2 =

50+102 = 30 МПа

Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45

Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається

Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані

на схемі

На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим

5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

+2гол

2rsquoгол 2

D

E

2rsquo

2rsquok

2k

max

min

21

6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

8

Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня

ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і

розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня

Таблиця 1 ndash Початкові дані

Вар

іант Навантаження Довжина Площа

F кH q кHм a см А см2

1 30 15 20 352 25 10 32 353 20 12 24 324 15 14 26 305 17 16 28 286 23 11 30 337 27 13 18 368 32 90 16 389 36 70 17 400 40 80 20 45

9

Послідовність виконання

10

1 Креслиться розрахункова схема на якій вказуються направлення зовнішніх сил та геометричні розміри стержня

2 Визначаємо межі ділянок Для кожної ділянки складаємо рівняння для визначення поздовжньої сили N

3 Будується епюра поздовжніх сил від дії зовнішніх сил F та розподіленого навантаження q за допомогою методу перерізів

4 Будується епюра нормальних напружень5 Будується епюра абсолютних переміщень

Приклад виконання

ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і

розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати

1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня

Вар

іант Навантаження Довжина Площа

F кH q кHм a см А см2

11 10 5 20 4

Розвrsquoязок

1 Будуємо розрахункову схему стержня на якій позначаємо напрям чисельне значення зовнішньої сили та геометричні розміри стержня

2 Розділяємо стержень на ділянки характерними перерізами в місцях прикладання сил та в місцях зміни геометрії поперечного перерізу Утворилося чотири ділянки ndash 0-1 1-2 2-3 і 3-4 Для кожної ділянки записуємо рівняння для визначення поздовжньої сили

11

N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН

N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН

3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил

4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1

σ 0=N0

A= 0

4sdot10minus4 =0

σ 1=N1

A= 2sdot103

4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа

- ділянка 1-2

σ 1=N 1

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

σ 2=N 2

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

12

- ділянка 2-3

σ 2=N 2

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

σ 3=N 3

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

- ділянка 3-4

σ 3=N3

A=minus28sdot103

4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа

σ 4=N 4

A=minus26sdot103

4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа

Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом

Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана

6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням

Δl01=int0

04

( N 01

EsdotA )dz=int0

04

( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2

2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042

2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м

Δl12=N12sdotl12

Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м

Δl23=N 23sdotl23

Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м

Δl34=int1

14

(N34

EsdotA )dz=int1

14

(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=

(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2

2EsdotA

|114=

(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142

2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102

2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м

Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок

Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м

Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м

13

Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м

Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці

Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно

Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована

Задача розвrsquoязана

14

Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану

Завдання

Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що

розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони

діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2

Таблиця 2 ndash Початкові даніnn

xМПа

yМПа

МПа

Сталь

0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40

0

x

x

y

y

x

yy

x

1

x

x

y

y

x

yy

x

2

x

x

y

y

x

yy

x

3

x

x

y

y

x

yy

x

4

x

x

y

y

x

yy

x

5

x

x

y

y

x

yy

x

6

x

x

y

y

x

yy

x

7

x

x

y

y

x

yy

x

9

x

x

y

y

x

yy

x

8

x

x

y

y

x

yy

x

15

Розрахункові схеми

y

y

xxyx

yx

xy

xy

= 30

16

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження

2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом

3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут

4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно

визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності

Приклад розвrsquoязку

Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

4) головні напруження а також положення головних площин

5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом

6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45

Розвrsquoязок

y = 10 МПа

y

x = 50 МПаx

yx = 70 МПа

yx

xy = 70 МПа

xy

= 30

17

1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень

Враховуючи знаки напружень запишемо

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30

2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою

tg 2θгол=minus2 τ yx

σ xminusσ y=

minus2sdot(minus70)50minus10

=3 5

Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297

Головні напруження дорівнюють

σ 1=σ x +σ y

2+radic( σ x minusσ y

2 )2

+ τ yx2

=

50+102

+radic(50minus102 )

2+(minus70)2

= 1028 МПа

σ 2=σ x +σ y

2minusradic( σ x minusσ y

2 )2

+τ yx2

=

50+102

minusradic(50minus102 )

2+(minus70 )2

= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за

іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595

σ 1=( σx+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол =

(50+10 )2

+(50minus10)cos (74 05 deg)

2minus(minus70 )sin(74 05 deg )

=

= 1028 МПа

y

y

xx

yx

yx

xy

xy

21

12

rsquoгол = 5297

гол= +3703

18

σ 2=( σ x+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол

= (50+10 )

2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)

2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)

= = 428 МПа

Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють

1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень

показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30

Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження

σ θ=(σ x+σ y )

2+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin 2θ

= (50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot30deg )

2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )

= = 10062 МПа

τθ=( σ xminusσ y )sin2θ

2+τ yxcos 2θ

= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )

2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)

= 1768 МПа

σ θ =

(σ x+σ y )2

+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin2 θ

=

=(50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot120deg )

2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )

= 4062 МПа

τθ =

( σ xminusσ y )sin2 θ

2minusτ yx cos2θ

= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)

2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )

= =1768 МПа

x x

y

y

= 30

lsquo = 120rsquo

rsquo

rsquo

rsquo

19

Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто

x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа

Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа

Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів

Таким чином одержано

= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа

Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі

4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень

τ max=σ1minusσ2

2 =

102 8minus(minus428)2 = 728 МПа

Положення площадок з максимальними дотичними

ctg 2θк=2 τ yx

σ xminusσ y =

2(minus70 )50minus10 = 35

tg 2θк=σxminusσ y

2 τ yx = 0286

Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203

Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

x x

y

y

k = 797

lsquok = +8203k

k

k

k

max

max minrsquo

minrsquo

20

σ θk=

σx +σ y

2 =

50+102 = 30 МПа

Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45

Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається

Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані

на схемі

На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим

5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

+2гол

2rsquoгол 2

D

E

2rsquo

2rsquok

2k

max

min

21

6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

9

Послідовність виконання

10

1 Креслиться розрахункова схема на якій вказуються направлення зовнішніх сил та геометричні розміри стержня

2 Визначаємо межі ділянок Для кожної ділянки складаємо рівняння для визначення поздовжньої сили N

3 Будується епюра поздовжніх сил від дії зовнішніх сил F та розподіленого навантаження q за допомогою методу перерізів

4 Будується епюра нормальних напружень5 Будується епюра абсолютних переміщень

Приклад виконання

ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і

розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати

1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня

Вар

іант Навантаження Довжина Площа

F кH q кHм a см А см2

11 10 5 20 4

Розвrsquoязок

1 Будуємо розрахункову схему стержня на якій позначаємо напрям чисельне значення зовнішньої сили та геометричні розміри стержня

2 Розділяємо стержень на ділянки характерними перерізами в місцях прикладання сил та в місцях зміни геометрії поперечного перерізу Утворилося чотири ділянки ndash 0-1 1-2 2-3 і 3-4 Для кожної ділянки записуємо рівняння для визначення поздовжньої сили

11

N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН

N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН

3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил

4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1

σ 0=N0

A= 0

4sdot10minus4 =0

σ 1=N1

A= 2sdot103

4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа

- ділянка 1-2

σ 1=N 1

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

σ 2=N 2

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

12

- ділянка 2-3

σ 2=N 2

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

σ 3=N 3

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

- ділянка 3-4

σ 3=N3

A=minus28sdot103

4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа

σ 4=N 4

A=minus26sdot103

4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа

Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом

Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана

6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням

Δl01=int0

04

( N 01

EsdotA )dz=int0

04

( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2

2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042

2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м

Δl12=N12sdotl12

Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м

Δl23=N 23sdotl23

Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м

Δl34=int1

14

(N34

EsdotA )dz=int1

14

(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=

(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2

2EsdotA

|114=

(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142

2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102

2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м

Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок

Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м

Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м

13

Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м

Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці

Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно

Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована

Задача розвrsquoязана

14

Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану

Завдання

Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що

розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони

діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2

Таблиця 2 ndash Початкові даніnn

xМПа

yМПа

МПа

Сталь

0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40

0

x

x

y

y

x

yy

x

1

x

x

y

y

x

yy

x

2

x

x

y

y

x

yy

x

3

x

x

y

y

x

yy

x

4

x

x

y

y

x

yy

x

5

x

x

y

y

x

yy

x

6

x

x

y

y

x

yy

x

7

x

x

y

y

x

yy

x

9

x

x

y

y

x

yy

x

8

x

x

y

y

x

yy

x

15

Розрахункові схеми

y

y

xxyx

yx

xy

xy

= 30

16

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження

2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом

3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут

4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно

визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності

Приклад розвrsquoязку

Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

4) головні напруження а також положення головних площин

5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом

6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45

Розвrsquoязок

y = 10 МПа

y

x = 50 МПаx

yx = 70 МПа

yx

xy = 70 МПа

xy

= 30

17

1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень

Враховуючи знаки напружень запишемо

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30

2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою

tg 2θгол=minus2 τ yx

σ xminusσ y=

minus2sdot(minus70)50minus10

=3 5

Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297

Головні напруження дорівнюють

σ 1=σ x +σ y

2+radic( σ x minusσ y

2 )2

+ τ yx2

=

50+102

+radic(50minus102 )

2+(minus70)2

= 1028 МПа

σ 2=σ x +σ y

2minusradic( σ x minusσ y

2 )2

+τ yx2

=

50+102

minusradic(50minus102 )

2+(minus70 )2

= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за

іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595

σ 1=( σx+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол =

(50+10 )2

+(50minus10)cos (74 05 deg)

2minus(minus70 )sin(74 05 deg )

=

= 1028 МПа

y

y

xx

yx

yx

xy

xy

21

12

rsquoгол = 5297

гол= +3703

18

σ 2=( σ x+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол

= (50+10 )

2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)

2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)

= = 428 МПа

Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють

1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень

показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30

Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження

σ θ=(σ x+σ y )

2+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin 2θ

= (50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot30deg )

2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )

= = 10062 МПа

τθ=( σ xminusσ y )sin2θ

2+τ yxcos 2θ

= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )

2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)

= 1768 МПа

σ θ =

(σ x+σ y )2

+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin2 θ

=

=(50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot120deg )

2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )

= 4062 МПа

τθ =

( σ xminusσ y )sin2 θ

2minusτ yx cos2θ

= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)

2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )

= =1768 МПа

x x

y

y

= 30

lsquo = 120rsquo

rsquo

rsquo

rsquo

19

Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто

x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа

Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа

Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів

Таким чином одержано

= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа

Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі

4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень

τ max=σ1minusσ2

2 =

102 8minus(minus428)2 = 728 МПа

Положення площадок з максимальними дотичними

ctg 2θк=2 τ yx

σ xminusσ y =

2(minus70 )50minus10 = 35

tg 2θк=σxminusσ y

2 τ yx = 0286

Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203

Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

x x

y

y

k = 797

lsquok = +8203k

k

k

k

max

max minrsquo

minrsquo

20

σ θk=

σx +σ y

2 =

50+102 = 30 МПа

Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45

Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається

Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані

на схемі

На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим

5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

+2гол

2rsquoгол 2

D

E

2rsquo

2rsquok

2k

max

min

21

6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

10

1 Креслиться розрахункова схема на якій вказуються направлення зовнішніх сил та геометричні розміри стержня

2 Визначаємо межі ділянок Для кожної ділянки складаємо рівняння для визначення поздовжньої сили N

3 Будується епюра поздовжніх сил від дії зовнішніх сил F та розподіленого навантаження q за допомогою методу перерізів

4 Будується епюра нормальних напружень5 Будується епюра абсолютних переміщень

Приклад виконання

ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і

розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати

1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня

Вар

іант Навантаження Довжина Площа

F кH q кHм a см А см2

11 10 5 20 4

Розвrsquoязок

1 Будуємо розрахункову схему стержня на якій позначаємо напрям чисельне значення зовнішньої сили та геометричні розміри стержня

2 Розділяємо стержень на ділянки характерними перерізами в місцях прикладання сил та в місцях зміни геометрії поперечного перерізу Утворилося чотири ділянки ndash 0-1 1-2 2-3 і 3-4 Для кожної ділянки записуємо рівняння для визначення поздовжньої сили

11

N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН

N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН

3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил

4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1

σ 0=N0

A= 0

4sdot10minus4 =0

σ 1=N1

A= 2sdot103

4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа

- ділянка 1-2

σ 1=N 1

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

σ 2=N 2

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

12

- ділянка 2-3

σ 2=N 2

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

σ 3=N 3

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

- ділянка 3-4

σ 3=N3

A=minus28sdot103

4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа

σ 4=N 4

A=minus26sdot103

4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа

Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом

Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана

6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням

Δl01=int0

04

( N 01

EsdotA )dz=int0

04

( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2

2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042

2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м

Δl12=N12sdotl12

Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м

Δl23=N 23sdotl23

Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м

Δl34=int1

14

(N34

EsdotA )dz=int1

14

(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=

(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2

2EsdotA

|114=

(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142

2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102

2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м

Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок

Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м

Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м

13

Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м

Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці

Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно

Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована

Задача розвrsquoязана

14

Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану

Завдання

Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що

розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони

діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2

Таблиця 2 ndash Початкові даніnn

xМПа

yМПа

МПа

Сталь

0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40

0

x

x

y

y

x

yy

x

1

x

x

y

y

x

yy

x

2

x

x

y

y

x

yy

x

3

x

x

y

y

x

yy

x

4

x

x

y

y

x

yy

x

5

x

x

y

y

x

yy

x

6

x

x

y

y

x

yy

x

7

x

x

y

y

x

yy

x

9

x

x

y

y

x

yy

x

8

x

x

y

y

x

yy

x

15

Розрахункові схеми

y

y

xxyx

yx

xy

xy

= 30

16

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження

2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом

3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут

4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно

визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності

Приклад розвrsquoязку

Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

4) головні напруження а також положення головних площин

5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом

6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45

Розвrsquoязок

y = 10 МПа

y

x = 50 МПаx

yx = 70 МПа

yx

xy = 70 МПа

xy

= 30

17

1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень

Враховуючи знаки напружень запишемо

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30

2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою

tg 2θгол=minus2 τ yx

σ xminusσ y=

minus2sdot(minus70)50minus10

=3 5

Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297

Головні напруження дорівнюють

σ 1=σ x +σ y

2+radic( σ x minusσ y

2 )2

+ τ yx2

=

50+102

+radic(50minus102 )

2+(minus70)2

= 1028 МПа

σ 2=σ x +σ y

2minusradic( σ x minusσ y

2 )2

+τ yx2

=

50+102

minusradic(50minus102 )

2+(minus70 )2

= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за

іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595

σ 1=( σx+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол =

(50+10 )2

+(50minus10)cos (74 05 deg)

2minus(minus70 )sin(74 05 deg )

=

= 1028 МПа

y

y

xx

yx

yx

xy

xy

21

12

rsquoгол = 5297

гол= +3703

18

σ 2=( σ x+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол

= (50+10 )

2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)

2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)

= = 428 МПа

Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють

1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень

показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30

Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження

σ θ=(σ x+σ y )

2+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin 2θ

= (50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot30deg )

2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )

= = 10062 МПа

τθ=( σ xminusσ y )sin2θ

2+τ yxcos 2θ

= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )

2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)

= 1768 МПа

σ θ =

(σ x+σ y )2

+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin2 θ

=

=(50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot120deg )

2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )

= 4062 МПа

τθ =

( σ xminusσ y )sin2 θ

2minusτ yx cos2θ

= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)

2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )

= =1768 МПа

x x

y

y

= 30

lsquo = 120rsquo

rsquo

rsquo

rsquo

19

Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто

x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа

Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа

Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів

Таким чином одержано

= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа

Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі

4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень

τ max=σ1minusσ2

2 =

102 8minus(minus428)2 = 728 МПа

Положення площадок з максимальними дотичними

ctg 2θк=2 τ yx

σ xminusσ y =

2(minus70 )50minus10 = 35

tg 2θк=σxminusσ y

2 τ yx = 0286

Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203

Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

x x

y

y

k = 797

lsquok = +8203k

k

k

k

max

max minrsquo

minrsquo

20

σ θk=

σx +σ y

2 =

50+102 = 30 МПа

Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45

Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається

Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані

на схемі

На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим

5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

+2гол

2rsquoгол 2

D

E

2rsquo

2rsquok

2k

max

min

21

6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

11

N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН

N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН

N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН

3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил

4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1

σ 0=N0

A= 0

4sdot10minus4 =0

σ 1=N1

A= 2sdot103

4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа

- ділянка 1-2

σ 1=N 1

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

σ 2=N 2

2sdotA= 2sdot103

2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа

12

- ділянка 2-3

σ 2=N 2

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

σ 3=N 3

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

- ділянка 3-4

σ 3=N3

A=minus28sdot103

4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа

σ 4=N 4

A=minus26sdot103

4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа

Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом

Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана

6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням

Δl01=int0

04

( N 01

EsdotA )dz=int0

04

( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2

2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042

2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м

Δl12=N12sdotl12

Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м

Δl23=N 23sdotl23

Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м

Δl34=int1

14

(N34

EsdotA )dz=int1

14

(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=

(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2

2EsdotA

|114=

(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142

2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102

2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м

Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок

Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м

Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м

13

Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м

Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці

Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно

Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована

Задача розвrsquoязана

14

Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану

Завдання

Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що

розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони

діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2

Таблиця 2 ndash Початкові даніnn

xМПа

yМПа

МПа

Сталь

0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40

0

x

x

y

y

x

yy

x

1

x

x

y

y

x

yy

x

2

x

x

y

y

x

yy

x

3

x

x

y

y

x

yy

x

4

x

x

y

y

x

yy

x

5

x

x

y

y

x

yy

x

6

x

x

y

y

x

yy

x

7

x

x

y

y

x

yy

x

9

x

x

y

y

x

yy

x

8

x

x

y

y

x

yy

x

15

Розрахункові схеми

y

y

xxyx

yx

xy

xy

= 30

16

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження

2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом

3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут

4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно

визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності

Приклад розвrsquoязку

Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

4) головні напруження а також положення головних площин

5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом

6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45

Розвrsquoязок

y = 10 МПа

y

x = 50 МПаx

yx = 70 МПа

yx

xy = 70 МПа

xy

= 30

17

1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень

Враховуючи знаки напружень запишемо

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30

2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою

tg 2θгол=minus2 τ yx

σ xminusσ y=

minus2sdot(minus70)50minus10

=3 5

Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297

Головні напруження дорівнюють

σ 1=σ x +σ y

2+radic( σ x minusσ y

2 )2

+ τ yx2

=

50+102

+radic(50minus102 )

2+(minus70)2

= 1028 МПа

σ 2=σ x +σ y

2minusradic( σ x minusσ y

2 )2

+τ yx2

=

50+102

minusradic(50minus102 )

2+(minus70 )2

= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за

іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595

σ 1=( σx+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол =

(50+10 )2

+(50minus10)cos (74 05 deg)

2minus(minus70 )sin(74 05 deg )

=

= 1028 МПа

y

y

xx

yx

yx

xy

xy

21

12

rsquoгол = 5297

гол= +3703

18

σ 2=( σ x+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол

= (50+10 )

2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)

2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)

= = 428 МПа

Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють

1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень

показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30

Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження

σ θ=(σ x+σ y )

2+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin 2θ

= (50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot30deg )

2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )

= = 10062 МПа

τθ=( σ xminusσ y )sin2θ

2+τ yxcos 2θ

= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )

2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)

= 1768 МПа

σ θ =

(σ x+σ y )2

+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin2 θ

=

=(50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot120deg )

2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )

= 4062 МПа

τθ =

( σ xminusσ y )sin2 θ

2minusτ yx cos2θ

= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)

2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )

= =1768 МПа

x x

y

y

= 30

lsquo = 120rsquo

rsquo

rsquo

rsquo

19

Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто

x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа

Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа

Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів

Таким чином одержано

= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа

Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі

4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень

τ max=σ1minusσ2

2 =

102 8minus(minus428)2 = 728 МПа

Положення площадок з максимальними дотичними

ctg 2θк=2 τ yx

σ xminusσ y =

2(minus70 )50minus10 = 35

tg 2θк=σxminusσ y

2 τ yx = 0286

Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203

Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

x x

y

y

k = 797

lsquok = +8203k

k

k

k

max

max minrsquo

minrsquo

20

σ θk=

σx +σ y

2 =

50+102 = 30 МПа

Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45

Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається

Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані

на схемі

На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим

5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

+2гол

2rsquoгол 2

D

E

2rsquo

2rsquok

2k

max

min

21

6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

12

- ділянка 2-3

σ 2=N 2

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

σ 3=N 3

2sdotA=minus28sdot103

2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа

- ділянка 3-4

σ 3=N3

A=minus28sdot103

4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа

σ 4=N 4

A=minus26sdot103

4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа

Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом

Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана

6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням

Δl01=int0

04

( N 01

EsdotA )dz=int0

04

( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2

2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042

2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м

Δl12=N12sdotl12

Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м

Δl23=N 23sdotl23

Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2

2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м

Δl34=int1

14

(N34

EsdotA )dz=int1

14

(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=

(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2

2EsdotA

|114=

(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142

2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102

2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м

Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок

Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м

Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м

13

Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м

Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці

Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно

Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована

Задача розвrsquoязана

14

Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану

Завдання

Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що

розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони

діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2

Таблиця 2 ndash Початкові даніnn

xМПа

yМПа

МПа

Сталь

0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40

0

x

x

y

y

x

yy

x

1

x

x

y

y

x

yy

x

2

x

x

y

y

x

yy

x

3

x

x

y

y

x

yy

x

4

x

x

y

y

x

yy

x

5

x

x

y

y

x

yy

x

6

x

x

y

y

x

yy

x

7

x

x

y

y

x

yy

x

9

x

x

y

y

x

yy

x

8

x

x

y

y

x

yy

x

15

Розрахункові схеми

y

y

xxyx

yx

xy

xy

= 30

16

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження

2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом

3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут

4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно

визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності

Приклад розвrsquoязку

Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

4) головні напруження а також положення головних площин

5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом

6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45

Розвrsquoязок

y = 10 МПа

y

x = 50 МПаx

yx = 70 МПа

yx

xy = 70 МПа

xy

= 30

17

1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень

Враховуючи знаки напружень запишемо

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30

2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою

tg 2θгол=minus2 τ yx

σ xminusσ y=

minus2sdot(minus70)50minus10

=3 5

Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297

Головні напруження дорівнюють

σ 1=σ x +σ y

2+radic( σ x minusσ y

2 )2

+ τ yx2

=

50+102

+radic(50minus102 )

2+(minus70)2

= 1028 МПа

σ 2=σ x +σ y

2minusradic( σ x minusσ y

2 )2

+τ yx2

=

50+102

minusradic(50minus102 )

2+(minus70 )2

= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за

іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595

σ 1=( σx+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол =

(50+10 )2

+(50minus10)cos (74 05 deg)

2minus(minus70 )sin(74 05 deg )

=

= 1028 МПа

y

y

xx

yx

yx

xy

xy

21

12

rsquoгол = 5297

гол= +3703

18

σ 2=( σ x+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол

= (50+10 )

2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)

2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)

= = 428 МПа

Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють

1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень

показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30

Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження

σ θ=(σ x+σ y )

2+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin 2θ

= (50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot30deg )

2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )

= = 10062 МПа

τθ=( σ xminusσ y )sin2θ

2+τ yxcos 2θ

= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )

2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)

= 1768 МПа

σ θ =

(σ x+σ y )2

+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin2 θ

=

=(50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot120deg )

2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )

= 4062 МПа

τθ =

( σ xminusσ y )sin2 θ

2minusτ yx cos2θ

= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)

2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )

= =1768 МПа

x x

y

y

= 30

lsquo = 120rsquo

rsquo

rsquo

rsquo

19

Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто

x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа

Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа

Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів

Таким чином одержано

= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа

Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі

4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень

τ max=σ1minusσ2

2 =

102 8minus(minus428)2 = 728 МПа

Положення площадок з максимальними дотичними

ctg 2θк=2 τ yx

σ xminusσ y =

2(minus70 )50minus10 = 35

tg 2θк=σxminusσ y

2 τ yx = 0286

Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203

Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

x x

y

y

k = 797

lsquok = +8203k

k

k

k

max

max minrsquo

minrsquo

20

σ θk=

σx +σ y

2 =

50+102 = 30 МПа

Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45

Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається

Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані

на схемі

На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим

5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

+2гол

2rsquoгол 2

D

E

2rsquo

2rsquok

2k

max

min

21

6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

13

Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м

Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці

Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно

Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована

Задача розвrsquoязана

14

Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану

Завдання

Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що

розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони

діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2

Таблиця 2 ndash Початкові даніnn

xМПа

yМПа

МПа

Сталь

0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40

0

x

x

y

y

x

yy

x

1

x

x

y

y

x

yy

x

2

x

x

y

y

x

yy

x

3

x

x

y

y

x

yy

x

4

x

x

y

y

x

yy

x

5

x

x

y

y

x

yy

x

6

x

x

y

y

x

yy

x

7

x

x

y

y

x

yy

x

9

x

x

y

y

x

yy

x

8

x

x

y

y

x

yy

x

15

Розрахункові схеми

y

y

xxyx

yx

xy

xy

= 30

16

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження

2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом

3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут

4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно

визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності

Приклад розвrsquoязку

Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

4) головні напруження а також положення головних площин

5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом

6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45

Розвrsquoязок

y = 10 МПа

y

x = 50 МПаx

yx = 70 МПа

yx

xy = 70 МПа

xy

= 30

17

1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень

Враховуючи знаки напружень запишемо

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30

2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою

tg 2θгол=minus2 τ yx

σ xminusσ y=

minus2sdot(minus70)50minus10

=3 5

Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297

Головні напруження дорівнюють

σ 1=σ x +σ y

2+radic( σ x minusσ y

2 )2

+ τ yx2

=

50+102

+radic(50minus102 )

2+(minus70)2

= 1028 МПа

σ 2=σ x +σ y

2minusradic( σ x minusσ y

2 )2

+τ yx2

=

50+102

minusradic(50minus102 )

2+(minus70 )2

= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за

іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595

σ 1=( σx+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол =

(50+10 )2

+(50minus10)cos (74 05 deg)

2minus(minus70 )sin(74 05 deg )

=

= 1028 МПа

y

y

xx

yx

yx

xy

xy

21

12

rsquoгол = 5297

гол= +3703

18

σ 2=( σ x+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол

= (50+10 )

2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)

2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)

= = 428 МПа

Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють

1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень

показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30

Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження

σ θ=(σ x+σ y )

2+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin 2θ

= (50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot30deg )

2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )

= = 10062 МПа

τθ=( σ xminusσ y )sin2θ

2+τ yxcos 2θ

= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )

2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)

= 1768 МПа

σ θ =

(σ x+σ y )2

+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin2 θ

=

=(50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot120deg )

2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )

= 4062 МПа

τθ =

( σ xminusσ y )sin2 θ

2minusτ yx cos2θ

= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)

2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )

= =1768 МПа

x x

y

y

= 30

lsquo = 120rsquo

rsquo

rsquo

rsquo

19

Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто

x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа

Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа

Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів

Таким чином одержано

= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа

Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі

4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень

τ max=σ1minusσ2

2 =

102 8minus(minus428)2 = 728 МПа

Положення площадок з максимальними дотичними

ctg 2θк=2 τ yx

σ xminusσ y =

2(minus70 )50minus10 = 35

tg 2θк=σxminusσ y

2 τ yx = 0286

Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203

Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

x x

y

y

k = 797

lsquok = +8203k

k

k

k

max

max minrsquo

minrsquo

20

σ θk=

σx +σ y

2 =

50+102 = 30 МПа

Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45

Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається

Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані

на схемі

На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим

5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

+2гол

2rsquoгол 2

D

E

2rsquo

2rsquok

2k

max

min

21

6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

14

Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану

Завдання

Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що

розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони

діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2

Таблиця 2 ndash Початкові даніnn

xМПа

yМПа

МПа

Сталь

0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40

0

x

x

y

y

x

yy

x

1

x

x

y

y

x

yy

x

2

x

x

y

y

x

yy

x

3

x

x

y

y

x

yy

x

4

x

x

y

y

x

yy

x

5

x

x

y

y

x

yy

x

6

x

x

y

y

x

yy

x

7

x

x

y

y

x

yy

x

9

x

x

y

y

x

yy

x

8

x

x

y

y

x

yy

x

15

Розрахункові схеми

y

y

xxyx

yx

xy

xy

= 30

16

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження

2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом

3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут

4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно

визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності

Приклад розвrsquoязку

Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

4) головні напруження а також положення головних площин

5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом

6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45

Розвrsquoязок

y = 10 МПа

y

x = 50 МПаx

yx = 70 МПа

yx

xy = 70 МПа

xy

= 30

17

1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень

Враховуючи знаки напружень запишемо

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30

2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою

tg 2θгол=minus2 τ yx

σ xminusσ y=

minus2sdot(minus70)50minus10

=3 5

Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297

Головні напруження дорівнюють

σ 1=σ x +σ y

2+radic( σ x minusσ y

2 )2

+ τ yx2

=

50+102

+radic(50minus102 )

2+(minus70)2

= 1028 МПа

σ 2=σ x +σ y

2minusradic( σ x minusσ y

2 )2

+τ yx2

=

50+102

minusradic(50minus102 )

2+(minus70 )2

= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за

іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595

σ 1=( σx+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол =

(50+10 )2

+(50minus10)cos (74 05 deg)

2minus(minus70 )sin(74 05 deg )

=

= 1028 МПа

y

y

xx

yx

yx

xy

xy

21

12

rsquoгол = 5297

гол= +3703

18

σ 2=( σ x+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол

= (50+10 )

2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)

2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)

= = 428 МПа

Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють

1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень

показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30

Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження

σ θ=(σ x+σ y )

2+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin 2θ

= (50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot30deg )

2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )

= = 10062 МПа

τθ=( σ xminusσ y )sin2θ

2+τ yxcos 2θ

= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )

2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)

= 1768 МПа

σ θ =

(σ x+σ y )2

+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin2 θ

=

=(50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot120deg )

2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )

= 4062 МПа

τθ =

( σ xminusσ y )sin2 θ

2minusτ yx cos2θ

= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)

2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )

= =1768 МПа

x x

y

y

= 30

lsquo = 120rsquo

rsquo

rsquo

rsquo

19

Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто

x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа

Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа

Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів

Таким чином одержано

= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа

Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі

4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень

τ max=σ1minusσ2

2 =

102 8minus(minus428)2 = 728 МПа

Положення площадок з максимальними дотичними

ctg 2θк=2 τ yx

σ xminusσ y =

2(minus70 )50minus10 = 35

tg 2θк=σxminusσ y

2 τ yx = 0286

Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203

Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

x x

y

y

k = 797

lsquok = +8203k

k

k

k

max

max minrsquo

minrsquo

20

σ θk=

σx +σ y

2 =

50+102 = 30 МПа

Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45

Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається

Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані

на схемі

На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим

5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

+2гол

2rsquoгол 2

D

E

2rsquo

2rsquok

2k

max

min

21

6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

0

x

x

y

y

x

yy

x

1

x

x

y

y

x

yy

x

2

x

x

y

y

x

yy

x

3

x

x

y

y

x

yy

x

4

x

x

y

y

x

yy

x

5

x

x

y

y

x

yy

x

6

x

x

y

y

x

yy

x

7

x

x

y

y

x

yy

x

9

x

x

y

y

x

yy

x

8

x

x

y

y

x

yy

x

15

Розрахункові схеми

y

y

xxyx

yx

xy

xy

= 30

16

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження

2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом

3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут

4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно

визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності

Приклад розвrsquoязку

Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

4) головні напруження а також положення головних площин

5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом

6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45

Розвrsquoязок

y = 10 МПа

y

x = 50 МПаx

yx = 70 МПа

yx

xy = 70 МПа

xy

= 30

17

1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень

Враховуючи знаки напружень запишемо

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30

2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою

tg 2θгол=minus2 τ yx

σ xminusσ y=

minus2sdot(minus70)50minus10

=3 5

Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297

Головні напруження дорівнюють

σ 1=σ x +σ y

2+radic( σ x minusσ y

2 )2

+ τ yx2

=

50+102

+radic(50minus102 )

2+(minus70)2

= 1028 МПа

σ 2=σ x +σ y

2minusradic( σ x minusσ y

2 )2

+τ yx2

=

50+102

minusradic(50minus102 )

2+(minus70 )2

= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за

іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595

σ 1=( σx+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол =

(50+10 )2

+(50minus10)cos (74 05 deg)

2minus(minus70 )sin(74 05 deg )

=

= 1028 МПа

y

y

xx

yx

yx

xy

xy

21

12

rsquoгол = 5297

гол= +3703

18

σ 2=( σ x+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол

= (50+10 )

2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)

2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)

= = 428 МПа

Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють

1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень

показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30

Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження

σ θ=(σ x+σ y )

2+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin 2θ

= (50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot30deg )

2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )

= = 10062 МПа

τθ=( σ xminusσ y )sin2θ

2+τ yxcos 2θ

= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )

2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)

= 1768 МПа

σ θ =

(σ x+σ y )2

+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin2 θ

=

=(50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot120deg )

2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )

= 4062 МПа

τθ =

( σ xminusσ y )sin2 θ

2minusτ yx cos2θ

= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)

2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )

= =1768 МПа

x x

y

y

= 30

lsquo = 120rsquo

rsquo

rsquo

rsquo

19

Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто

x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа

Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа

Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів

Таким чином одержано

= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа

Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі

4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень

τ max=σ1minusσ2

2 =

102 8minus(minus428)2 = 728 МПа

Положення площадок з максимальними дотичними

ctg 2θк=2 τ yx

σ xminusσ y =

2(minus70 )50minus10 = 35

tg 2θк=σxminusσ y

2 τ yx = 0286

Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203

Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

x x

y

y

k = 797

lsquok = +8203k

k

k

k

max

max minrsquo

minrsquo

20

σ θk=

σx +σ y

2 =

50+102 = 30 МПа

Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45

Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається

Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані

на схемі

На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим

5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

+2гол

2rsquoгол 2

D

E

2rsquo

2rsquok

2k

max

min

21

6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

y

y

xxyx

yx

xy

xy

= 30

16

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження

2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом

3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут

4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно

визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності

Приклад розвrsquoязку

Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно

4) головні напруження а також положення головних площин

5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом

6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45

Розвrsquoязок

y = 10 МПа

y

x = 50 МПаx

yx = 70 МПа

yx

xy = 70 МПа

xy

= 30

17

1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень

Враховуючи знаки напружень запишемо

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30

2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою

tg 2θгол=minus2 τ yx

σ xminusσ y=

minus2sdot(minus70)50minus10

=3 5

Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297

Головні напруження дорівнюють

σ 1=σ x +σ y

2+radic( σ x minusσ y

2 )2

+ τ yx2

=

50+102

+radic(50minus102 )

2+(minus70)2

= 1028 МПа

σ 2=σ x +σ y

2minusradic( σ x minusσ y

2 )2

+τ yx2

=

50+102

minusradic(50minus102 )

2+(minus70 )2

= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за

іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595

σ 1=( σx+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол =

(50+10 )2

+(50minus10)cos (74 05 deg)

2minus(minus70 )sin(74 05 deg )

=

= 1028 МПа

y

y

xx

yx

yx

xy

xy

21

12

rsquoгол = 5297

гол= +3703

18

σ 2=( σ x+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол

= (50+10 )

2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)

2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)

= = 428 МПа

Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють

1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень

показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30

Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження

σ θ=(σ x+σ y )

2+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin 2θ

= (50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot30deg )

2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )

= = 10062 МПа

τθ=( σ xminusσ y )sin2θ

2+τ yxcos 2θ

= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )

2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)

= 1768 МПа

σ θ =

(σ x+σ y )2

+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin2 θ

=

=(50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot120deg )

2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )

= 4062 МПа

τθ =

( σ xminusσ y )sin2 θ

2minusτ yx cos2θ

= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)

2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )

= =1768 МПа

x x

y

y

= 30

lsquo = 120rsquo

rsquo

rsquo

rsquo

19

Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто

x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа

Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа

Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів

Таким чином одержано

= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа

Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі

4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень

τ max=σ1minusσ2

2 =

102 8minus(minus428)2 = 728 МПа

Положення площадок з максимальними дотичними

ctg 2θк=2 τ yx

σ xminusσ y =

2(minus70 )50minus10 = 35

tg 2θк=σxminusσ y

2 τ yx = 0286

Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203

Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

x x

y

y

k = 797

lsquok = +8203k

k

k

k

max

max minrsquo

minrsquo

20

σ θk=

σx +σ y

2 =

50+102 = 30 МПа

Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45

Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається

Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані

на схемі

На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим

5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

+2гол

2rsquoгол 2

D

E

2rsquo

2rsquok

2k

max

min

21

6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

y = 10 МПа

y

x = 50 МПаx

yx = 70 МПа

yx

xy = 70 МПа

xy

= 30

17

1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень

Враховуючи знаки напружень запишемо

x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30

2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою

tg 2θгол=minus2 τ yx

σ xminusσ y=

minus2sdot(minus70)50minus10

=3 5

Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297

Головні напруження дорівнюють

σ 1=σ x +σ y

2+radic( σ x minusσ y

2 )2

+ τ yx2

=

50+102

+radic(50minus102 )

2+(minus70)2

= 1028 МПа

σ 2=σ x +σ y

2minusradic( σ x minusσ y

2 )2

+τ yx2

=

50+102

minusradic(50minus102 )

2+(minus70 )2

= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за

іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595

σ 1=( σx+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол =

(50+10 )2

+(50minus10)cos (74 05 deg)

2minus(minus70 )sin(74 05 deg )

=

= 1028 МПа

y

y

xx

yx

yx

xy

xy

21

12

rsquoгол = 5297

гол= +3703

18

σ 2=( σ x+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол

= (50+10 )

2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)

2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)

= = 428 МПа

Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють

1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень

показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30

Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження

σ θ=(σ x+σ y )

2+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin 2θ

= (50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot30deg )

2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )

= = 10062 МПа

τθ=( σ xminusσ y )sin2θ

2+τ yxcos 2θ

= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )

2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)

= 1768 МПа

σ θ =

(σ x+σ y )2

+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin2 θ

=

=(50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot120deg )

2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )

= 4062 МПа

τθ =

( σ xminusσ y )sin2 θ

2minusτ yx cos2θ

= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)

2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )

= =1768 МПа

x x

y

y

= 30

lsquo = 120rsquo

rsquo

rsquo

rsquo

19

Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто

x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа

Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа

Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів

Таким чином одержано

= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа

Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі

4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень

τ max=σ1minusσ2

2 =

102 8minus(minus428)2 = 728 МПа

Положення площадок з максимальними дотичними

ctg 2θк=2 τ yx

σ xminusσ y =

2(minus70 )50minus10 = 35

tg 2θк=σxminusσ y

2 τ yx = 0286

Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203

Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

x x

y

y

k = 797

lsquok = +8203k

k

k

k

max

max minrsquo

minrsquo

20

σ θk=

σx +σ y

2 =

50+102 = 30 МПа

Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45

Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається

Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані

на схемі

На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим

5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

+2гол

2rsquoгол 2

D

E

2rsquo

2rsquok

2k

max

min

21

6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

y

y

xx

yx

yx

xy

xy

21

12

rsquoгол = 5297

гол= +3703

18

σ 2=( σ x+σ y)

2+(σ xminusσ y)cos2θгол

2minusτ yx sin 2θгол

= (50+10 )

2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)

2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)

= = 428 МПа

Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють

1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень

показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30

Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження

σ θ=(σ x+σ y )

2+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin 2θ

= (50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot30deg )

2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )

= = 10062 МПа

τθ=( σ xminusσ y )sin2θ

2+τ yxcos 2θ

= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )

2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)

= 1768 МПа

σ θ =

(σ x+σ y )2

+(σ xminusσ y )cos2 θ

2minusτ yx sin2 θ

=

=(50+10 )

2+(50minus10)cos (2sdot120deg )

2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )

= 4062 МПа

τθ =

( σ xminusσ y )sin2 θ

2minusτ yx cos2θ

= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)

2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )

= =1768 МПа

x x

y

y

= 30

lsquo = 120rsquo

rsquo

rsquo

rsquo

19

Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто

x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа

Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа

Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів

Таким чином одержано

= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа

Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі

4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень

τ max=σ1minusσ2

2 =

102 8minus(minus428)2 = 728 МПа

Положення площадок з максимальними дотичними

ctg 2θк=2 τ yx

σ xminusσ y =

2(minus70 )50minus10 = 35

tg 2θк=σxminusσ y

2 τ yx = 0286

Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203

Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

x x

y

y

k = 797

lsquok = +8203k

k

k

k

max

max minrsquo

minrsquo

20

σ θk=

σx +σ y

2 =

50+102 = 30 МПа

Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45

Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається

Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані

на схемі

На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим

5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

+2гол

2rsquoгол 2

D

E

2rsquo

2rsquok

2k

max

min

21

6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

x x

y

y

= 30

lsquo = 120rsquo

rsquo

rsquo

rsquo

19

Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто

x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа

Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа

Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів

Таким чином одержано

= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа

Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі

4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень

τ max=σ1minusσ2

2 =

102 8minus(minus428)2 = 728 МПа

Положення площадок з максимальними дотичними

ctg 2θк=2 τ yx

σ xminusσ y =

2(minus70 )50minus10 = 35

tg 2θк=σxminusσ y

2 τ yx = 0286

Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203

Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями

x x

y

y

k = 797

lsquok = +8203k

k

k

k

max

max minrsquo

minrsquo

20

σ θk=

σx +σ y

2 =

50+102 = 30 МПа

Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45

Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається

Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані

на схемі

На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим

5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

+2гол

2rsquoгол 2

D

E

2rsquo

2rsquok

2k

max

min

21

6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

x x

y

y

k = 797

lsquok = +8203k

k

k

k

max

max minrsquo

minrsquo

20

σ θk=

σx +σ y

2 =

50+102 = 30 МПа

Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45

Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається

Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані

на схемі

На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим

5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

+2гол

2rsquoгол 2

D

E

2rsquo

2rsquok

2k

max

min

21

6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

+2гол

2rsquoгол 2

D

E

2rsquo

2rsquok

2k

max

min

21

6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПаC

2 1

x

y

М

22

Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

23

Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

24

Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

А

xy

xy

yx

B

МПа

МПа

C

Рис 230

2 1

x

y

М

2

1

гол

гол + 90

rsquo

D

E

F

G

k

k

k

25

7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження

За першою теорією міцності

σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа

За першою теорією міцність забезпечена

За другою теорією міцності

еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа

За другою теорією міцність забезпечена

За третьою теорією міцності

σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа

За третьою теорією міцність забезпечена

За четвертою теорією міцності

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

26

σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа

За четвертою теорією міцність забезпечена

За пrsquoятою теорією міцності

σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2

2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа

За пrsquoятою теорією міцність забезпечена

Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

27

Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу

Завдання

Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу

Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41

Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м

0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07

Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

28

Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

М1 М2 М3 М4

а а 2а

29

Послідовність виконання

1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)

Приклад виконання

Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами

Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі

М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа

Розвrsquoязок1 На початку розвязку

задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

М1 = 12 кНм М4

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

12

Еп МкркНм

19

2

30

2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім

sumi

M крi=0

sumi

M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення

моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод

перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3

МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм

4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

31

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня

Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic M BC

кр

0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм

Ділянка СD

dCD=3radic M СD

кр

0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм

Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм

5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою

dge3radic M кр

0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу

= dd0Ділянка АВ

d АВ=3radic M АВ

кр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103

0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм

Ділянка ВС

d ВС=3radic MBCкр

0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм

Ділянка СD

dCD=3radic MСDкр

0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103

0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм

2 м

М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм

2 м 4 м

А В С D

Еп рад

0059401102

01055

32

Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм

6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою

ϕ=М крsdotl

Gsdot0 1 d4

де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки

Ділянка АВ

ϕ АВ=М АВ

крsdotlАВ

Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад

Ділянка ВС

ϕ ВС=М ВС

крsdotlВС

Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2

8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад

Ділянка СD

ϕСD=МСD

кр sdotlСD

Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4

8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад

Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування

А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування

ділянки АВ

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

33

В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів

закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між

опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

34

Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки

Завдання

Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 51

Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

35

Розрахункові схеми до задачі 5

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

Рис 48

q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 м 4 м

А В С D

36

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця

2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz

QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P

QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду

ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22

МАz = 0 =

qz2

2=6sdot02

2 = 0 МВz = 8 =

qz2

2=6sdot82

2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M

МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм

Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

37

МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм

Кінцевий вигляд епюр

Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні

розміри перерізу за умовою міцності σ=12M

bh3le[ σ ]

або hge3radic12 M

b [σ ]

Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot596sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см

192200

392

q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН

8 м 4 мА В С

4 м

Еп MкНм

D

596

48

Еп QкН

51

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

38

Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки

Завдання

Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

Вихідні дані наведені у таблиці 61

Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb

0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

39

Розрахункові схеми до задачі 6

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

q = 6 кНм

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

AB C D

40

Приклад виконання

Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа

РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі

4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки

5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А

MA = RD18 + P12 + q63 М= 0

RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =

3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН

Сума моментів відносно опори D

MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =

=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН

Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює

Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже

реакції знайдені правильно

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

41

6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz

QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН

Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН

Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB

MAB = minusqsdotz2

2+R AsdotzminusM

Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля

RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм

Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм

Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0

Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати

h=3radic12 Mb [σ ]

=3radic12sdot74 37sdot103

30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см

Таким чином задача розвrsquoязана

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

42

3144

456Еп QкН756

q = 6

М = 8 кНм

Р = 3 кН

6 м 6 м 6 м

RA RD

A B CD

Рис 425

7237

8

7437

Еп М кНм

4528

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

ДОДАТКИДодаток 1

Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)

Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

44

профілю

Маса1 м кг

Розміри ммПлоща

перерізусм 2

Довідкові величини для осей

см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

45

Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)

Позначення

h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см

5 658

10 12

484590705859

104

506580

100120

3236404652

4444454548

7072747678

616751898

109 133

228486894

174 304

91150224348506

192254316399478

5690

133204296

5687

128204312

275368475646852

095108119137153

116124131144154

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

46

профілю

Маса1 м кг

Розміри мм

Площаперрізу

см 2

Довідкові величини для осей

см

14 14а16 16а18

123 133 142 153 163

140140160160180

5862646870

4949505051

8187849087

156 170 181 195 207

491 545 747 823

1090

702778934

103 121

560566642649724

408451541594698

454575633799860

110 133 138 164 170

170184187201204

16718718 20 19

18a20 20a22 22a

174 184 198 210 226

180200200220220

7476808287

5152525454

93909795

102

222 234 252 267 288

1190 1520 1670 2110 2330

132 152 167 192 212

732807815889899

761878959

110 121

105 113 139 151 187

200 205 242 251 300

218220235237255

21 20 22122 246

24 24a27 30 33

240 258 277 318 365

240240270300330

909595

100105

5656606570

100107105110117

306 329 352 405 465

2900 3180 4160 5810 7980

242 265 308 387 484

973984

109 120 131

139 151 178 224 281

208 254 262 327 410

316 372 373 436 518

260278273284297

242267247252259

36 40

419 483

360400

110115

7580

126135

534 615

10820

15220

601 761

142 157

350 444

513 642

617 734

310323

268275

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

47

Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)

Позначення

b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0

- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2 20 34

35 12 113146

089115

040050

028037

059058

063078

075073

017022

020024

039038

081110

023028

060064

25 25 345

35 12 143186227

112146178

081103122

046059071

075074073

129162191

095093092

034044053

033041047

049048048

157210267

047059069

073076080

28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

48

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

45

227278

178218

184220

087106

090089

292347

113112

077094

061071

058058

364460

108127

089093

32 32 34

45 15 186243

146191

177226

077100

097096

280358

123121

074094

059071

063062

324441

103132

089094

35 35 345

45 15 204267328

160210258

235301361

093121147

107106105

372476571

135133132

097125152

071088102

069068068

427573723

137175210

097101105

4 40 3456

50 17 235308379448

185242298352

355458553641

122160195230

123122121120

563726875

1013

155153152150

147190230270

095119139158

079078078078

634851

10721297

208268322372

109113117121

45 45 3456

50 17 265348429508

208273337399

513663803935

156204251295

139138137136

813105212741480

175174172171

212274333390

124154181206

089089088088

901122515281847

300389471545

121126130134

5 50 345678

55 18 296389480569656741

232305377447515582

711921

1120130714841651

194254313369423476

155154153152150149

112714631777207223472603

195194192191189187

295380463543621698

157195230263293322

100099098098097097

123516622088252029603386

416542657765863952

133138142146150153

56 56 45

60 20 438541

344425

13101597

321396

173172

20792536

218216

541659

252297

111110

23222931

769941

152157

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

49

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

6 60 4568

10

70 23 472589692904

1108

371458543710870

16211979232129553532

370456540700852

185184183181179

25693140368146775564

233232231227224

672818960

12341500

293349399490570

119118118117116

28603602432158197324

9481161136017222032

162166170178185

63 63 456

70 23 496613728

390481572

188623102706

409505598

195194193

299036804291

245244243

781952

1118

326387444

125125124

330341665013

110013701590

169174178

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

7 70

455678

10

80 27 620686815942

10671311

487538639739837

1029

290431943758429848165790

567627743857968

1182

216216215214212210

460350675964681976359152

272272271269268264

120413221552177719972427

453492566631699817

139139138137137136

50955670682580289170

11572

170018702210252028203360

188190194199202210

75 75 5678

90 30 739878

10151150

580689796902

3953465753345984

721857989

1118

231230229228

6265738784619489

291290289287

1641192822072480

574662743816

149148147147

696883839810

11300

231273312350

202206210215

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

50

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055

678

1012

90 30 863938

1085123015141790

678736851965

11881405

52685697653173368858

10274

903980

1132128015671842

247247245244242240

83569040

10366116391403116227

311311309308304301

218023542697303236854321

710760855944

11091262

159158158157156155

93321019611927136741721920757

309334383430567595

217219223227235242

9 90 6789

1012

10033 106112281393156017172033

833964

1093122013481596

82109430

10611118001286014967

124914451636182920072385

278277276275274271

130001496716842186002039323588

350349348346345341

339738944380486053276240

98811151234134814541653

179178177177176175

144751692219387219442437829460

481554623680753862

243247251255259267

10 100

6578

1012141516

12040 12821375156019242280262827992968

10061079122515101790206321972330

1221013059147191789520890237152506826382

16691790203024972947338335953804

309308307305303300299298

1934620701233462838333095374983958741604

389388387384381378376374

507354166092740886849932

1054811161

13381413156618512110234924622579

199198198196195194194194

2141823157265163330440197472105076554173

714764863

11001220138014501520

268271275283291299303306

11 110

78

12040 15151720

11891350

1756119817

21832477

340339

2785431451

429428

72688183

17361929

219218

3083535297

106116

296300

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

51

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

12 120

8101215

12046 1880232427603399

1476182421672668

25975317163718044890

2968365943305296

372369367363

41245503795902871132

468466462457

10704130541533318648

2329277231793735

239237236234

45833574876927487245

153187218262

325333341353

125 125

89

10121416

14046 196922002433288933373777

154617301910226826202965

294363274835982422234817653856

322036003974470654176109

387386385382380378

466765200057104670027639085284

487486484482478475

121981358814859174431996222429

256728263045349439104310

249248247246245244

5166558180649417822391664

105006

172192211248282315

336340345353361368

профілю

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг см 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4 см 4 см

14 140

91012

14046 247227333249

194121452550

465725122960249

455550325966

434433431

739428136295698

547546543

192032109624801

359239054497

279278276

8189391110

109666

274301354

378382390

15 150

10121518

14046 2933348943085109

2302273933824011

634767474890838

106008

5807689084669986

465463459456

100856118786144260168092

586583579574

26097307093741743924

4534523261967091

298297295293

112061134837169385204021

374440534621

407415427438

16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

52

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

0 111214161820

344237394357490754796040

270229353397385243014744

8442191289

104647117519129024141885

724478629077

102641142412560

495494492489487485

134006145000166213186573206103224826

624623620617613610

347773757843081484645374658943

565360536815759282089002

318317316314313312

149552163347191704219106246477275309

496537615690771830

435439447455463470

18 180

1112151820

16053 38804219521861996843

30473312409648665372

121644131662160736188407206111

924710041123741463616107

560559555551549

193310209278255499299269327131

706704700695691

4997854045659737754485092

728678159311

1068811571

359358356354353

212911232547291708351545391146

716776948

11081210

485489501513520

20 200

121314161820242530

18060 47105085546061986930765490789429

11154

369739924280486554406008712574028756

182278196077209700236257262064287147335066346621401960

124611344414417163371822220073236772455928857

622621620617615612608606600

289616311618333300375539416454456042531350549404635105

784783781778775772765763755

74940805358610096974

107674118192138773143838169816

98681050711150123771354814662167741726819306

399398397396394393391391389

318100345456372471426484480944535825645738673733812928

107311561236139315441689196320282332

537542546554562570585589607

22 220

1416

21070 60386858

47405383

281436317544

1751819871

683680

447015504537

860858

115856130552

1386215334

438436

492332566081

16551869

591602

25 250

1618

24080 78408772

61556886

471710524724

2584328882

776773

749210833669

978975

194209215778

2034522339

498496

828920933928

27753089

675683

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

53

профілю

Розміри мм

Площаперерізу

см 2

Маса1 м кг

Довідкові величини для осей

см 4 смсм 4 см 3 см

см 4 см см 4см 3

смсм 4

2022252830

969610612119711331214196

76118331939710451114

576487627032700639771686817651

3187634826391724342546211

771769765761759

915973996160

111255212243841296466

972969964959956

237001257904288726318989338898

2425226052287143119832782

494493491490489

10394531147020130579814675431576230

33953691411945274788

691700711723731

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані

3

Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-

графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с

• D
• С
• В
• А
• Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
• Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
• Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
• Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
• • Таблиця 41
  • Чисельні дані до задачі
  • • Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
    • • Таблиця 51 ndash Початкові дані
      • • Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
        • • Таблиця 61 ndash Початкові дані