Изгиб

Под изгибом понимают такой вид деформации, при которой в поперечном сечении бруса действует изгибающий момент, от действия последнего происходит искривление оси бруса.

Различают два вида плоского изгиба: чистый и поперечный изгиб.

Под плоским чистым изгибом понимают деформацию, когда в поперечных сечениях участка бруса действует только один силовой фактор отличный от нуля и одинаковый во всех сечениях – это изгибающий момент

F1

F2

RA RB

А В М М

F1 F2

RA RB

В А

Q

Q

М М

Под плоским поперечным изгибом понимают такой вид деформации, при которой в поперечном сечении бруса действует два силовых фактора: изгибающий момент М и поперечная сила Q

Изгиб. Основные требования к балкамБрус в поперечном сечении, которого действует изгибающий момент, называется балкой.

Балки, рассматриваемые в сопротивлении материалов должны удовлетворять следующим условиям:

1.Сечение балки имеет хотя бы одну ось симметрии

2. Все внешние силы лежат в плоскости симметрии балки.

F2

F1

F3

M1

R1

Вертикальная плоскость симметрии

Горизонтальная плоскость симметрии

Основные типы балок

l

lк

l lк

l

В зависимости от числа опор и характера опорного закрепления различают балки

1. Однопролетные

2.Консольные

3.Заделанными концами

4.Разрезные

5.Неразрезные

Консолью называют часть двух опорной балки, свисающую за опору или балку с одним защемленным и другим свободным концом

Разрезными называются статически определимые балки, проходящие над несколькими промежуточными опорами

Неразрезными называются статически неопределимые балки , проходящие над несколькими промежуточными опорами

Правило знаков для внутренних силовых факторов

М М

М М

Изгибающий момент считается положительным, если алгебраическая сумма моментов сил, расположенных слева от сечения, дает равнодействующий момент, направленный по ходу часовой стрелки.

Q Q

Q Q

Положительный момент

Отрицательный момент

Отрицательная поперечная сила

Положительная поперечная сила

Поперечная сила считается положительной, если равнодействующая внешних сил, приложенная слева от выбранного сечения направлена вверх и отрицательной, если она направлена вниз.

Метод сечений при изгибе

bzFMzFМ II

Изгибающий момент в любом сечении балки равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения.

FFQ II

При поперечном изгибе в сечении действует изгибающий момент М и поперечная сила Q, для определения, которых используют метод сечений.

Для изгибающего момента метод сечений формулируется следующим образом:

Поперечная сила в сечении равна сумме проекций на нормаль к оси балки всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения.

Для поперечной силы метод сечений формулируется следующим образом:

Дифференциальные зависимости при изгибе

qdzdQ

0dQQqdzQFkxc

02

QdzdMMdz

qdzMFm kA

02

dzdQQdMMdz

qdzMFm kA

Дифференциальные зависимости при изгибе

dzdQ

q

dz

dMQ

2

2

dzMd

dzdQ

q

0dQQqdzQFkxc

02

QdzdMMdz

qdzMFm kA

Первая производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки, перпендикулярной к ее оси

Первая производная от изгибающего момента по длине балки равна поперечной силе.

Вторая производная от изгибающего момента по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки, перпендикулярной к ее оси.

Правила контроля эпюр

R A

F

R A Ч a

F

R

B

b а

R B

R

A

R B R A

а b

R B

R A

R A Чa

F

F

1. В сечении, в котором к балке приложена сосредоточенная внешняя сила, перпендикулярная к оси балки эпюра поперечных сил Q делает скачок на величину этой силы и с ее знаком.

2. В сечении, где приложена сосредоточенная внешняя сила эпюра изгибающих моментов делает резкое изменение угла наклона смежных участков эпюры (излом эпюры). Излом эпюры направлен навстречу вектору силы.

R

A

l

R A

R B

q

l

2

/

8

R

B

RA а b

R A R B

R A Ч a M

M

Правила контроля эпюр

5. На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка q, эпюра поперечных сил имеет вид прямой наклонной линии с угловым коэффициентом q.

3. Сосредоточенная (или распределенная) пара сил влияния на закон изменения поперечных сил на участке не оказывает, и на эпюре Q это ни как не отражается.

R

В

q

4. В сечении, где приложена пара сил, эпюра изгибающих моментов делает скачок на величину этой пары и с ее знаком.

6. На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра изгибающих моментов ограничена параболической кривой.

Правила контроля эпюрRB RA

а a

F F

R A

R B

R A Чa

R B

R A

а a

F F

l

R B R A

F

R A Ч a

R B Ч a

7. В сечении где приложена сосредоточенная сила эпюра изгибающих моментов делает резкое изменение угла наклона смежных участков эпюры (излом эпюры). Излом эпюры направлен навстречу вектору силы.

8. На участке, где поперечная сила равна нулю, наблюдается деформация чистого плоского изгиба, при котором изгибающий момент является постоянной величиной (М=const).

Порядок построения эпюр Q и М

02/ FcMbaqabaRFm AkB

кН

ba

FcMbaqaRA 5,4

22

22221242/

02/ FcMbaqabaRFm AkB

025,5245,4 FRqaRF BAky

F=2кН

RB

а = 2 м c = 2 м

RA

b = 2 м

M = 2 к Н м q = 4 к Н / м

Сумма моментов всех сил относительно опоры В:

Реакция в опоре А:

Сумма моментов всех сил относительно опоры А:

Реакция в опоре В:

кН

ba

cbaFMaqaRB 5,4

22

6221242/

5,5 кН

Проверка:

1. Определяем реакции опор

F=2

кН

R B

R A

а = 2 м c = 2 м b = 2 м

Н м M = 2 к

R B

F

z 2 z 3

z 0

1 z

R A q = 4 к Н / м

2. Разбиваем балку на участки

Уравнения для поперечной силы

1 участок 0≤z1≤a=2 м.

Q1=RA-q z1

при z1=0, Q1=RA-=4,5 кН;

при z1=2 м, Q1(2)=RA-qz=4,5-4∙2=3,5 кН.

2 участок 2 м ≤z2≤a=4 м.

Q2=RA-q а

при z2=2, Q2(2)=RA-2q=4,5-4∙2=-3,5 кН;

3 участок 4 м ≤z3≤a=6 м.

Q3=RA-q а+RB

при z3=4, Q3(4)=RA-2q + RB =4,5-4∙2+5,5=2 кН;

Прямая параллельная оси эпюры

Прямая параллельная оси эпюры

Прямая наклонена оси эпюры

Q1=RA-q z0 =0,

z 0=RA/q=4,5/4=1,125 м

Координаты сечения в котором поперечная сила равна нулю:

F = 2 ê Í R B

à = 2 ì c = 2 ì

R A

R A

b = 2 ì

M = 2 ê Í ì q = 4 ê Í / ì

R B

F

z 1 z 2

z 3

2 , 5 3

z 0

4

3

Уравнения для изгибающего момента

1 участок 0≤z1≤2 м

M1=RA∙z1 -q∙z12/2

При z1=0, M1(0)=0.

При z1=z0=1,125 м

M1(1,125)=4,5∙1,125-4∙1,1252/2=2,53 кН∙м.

При z1=2 м, М1(2)=4,5∙2-4∙22/2=1 кН∙м;

1 к∙Нм

2 участок 2≤z2≤4 м

M2=RA∙z2 -q∙a∙(z2-a/2)+М

При z2=2, M2(2)=4,5∙2-4∙2(2-1)+2=3 кН∙м.

При z2=4 м M2(4)=4,5∙4-4∙2(4-1)+2=-4 кН∙м.3 участок 4≤z3≤6 м

M3=RA∙z3 -q∙a∙(z3-a/2)+М+RB(z3-4)

При z3=4 м M3(4)=4,5∙4-4∙2(4-1)+2=-4 кН∙м;

При z3=6 м М3(6)=4,5∙6-4∙2(6-1)+2+5,5(6-4)=0

Квадратная парабола

Убывающая наклонная прямая

Возрастающая наклонная прямая

F=2кНRВ

а = 2 м c = 2 м

R A

RА

b = 2 м

M = 2 к Н м q = 4 к Н / м

R B

F

z 1 z 2

z 3

2 , 5 3

z 0

4

3

На участке, где поперечная сила положительна (Q>0), эпюра изгибающих моментов возрастает.

В сечениях балки, где эпюра поперечных сил пересекает ось эпюры, изгибающий момент имеет экстремум. Если при этом поперечная сила меняет знак с плюса на минус, на эпюре изгибающих моментов имеет место максимум, при смене знака с минуса на плюс имеет место минимум.

На участке, где поперечная сила отрицательна (Q<0), эпюра изгибающих моментов убывает

На концевой шарнирной опоре поперечная сила равна реакции этой опоры, а изгибающий момент равен нулю.

На концевой шарнирной опоре поперечная сила равна реакции этой опоры, а изгибающий момент равен нулю.