Upload
sergio-manoel
View
1.616
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição.
I) LISTAGEM
Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves .
Exemplos:
A) O conjunto dos números pares maiores que 5 e menores que 20.
A = { 6;8;10;12;14;16;18 }
II) Propriedade de Seus Elementos
O conjunto é apresentado por meio de uma propriedade que sirva a todos os elementos do conjunto e somente a estes elementos.
Exemplo:
Seja A o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:A = {x / x é vogal do nosso alfabeto} A = {a , e , i , o , u }
Os elementos são representados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada.
A
MT
7
23
6
9 aei
o
u1 7
2 5
84
1 5
Exemplos :Exemplos :1) Um conjunto formado por números inteiros entre 2 e 7.
{ }A = x Z / 2 < x < 7 ∈
A = { 3 , 4 , 5 , 6 }
A3
4 56
2) Um conjunto formado por números Naturais pares e primos.
{ } primo epar e x / N x = A ∈
A = { 2 }
A2
conjunto unitárioA = { 2 }
CONJUNTO VAZIO
Chamamos de conjunto vazio aquele formado por nenhum elemento. Representado por ou { }φExemplos:
M = { números maiores que 9 e menores que 5 } = { }
P = { x / }1 0X
=
CONJUNTO UNITÁRIOÉ o conjunto que tem um único elemento.
Exemplos:
F = { x / 2x + 6 = 0 } G = }{ 2x / x 4 x 0= ∧ <
CONJUNTO FINITOÉ o conjunto com número limitado de elementos.
Exemplos:
E = { x / x é um número impar positivo menor que 10 }N = { x / x2 = 4 }
;
CONJUNTO INFINITO
É um conjunto com um número ilimitado de elementos.Exemplos:R = { x / x < 6 } S = { x / x é um número par };
Se um elemento pertence a um conjunto se usa o símbolo: ∈Se um elemento não pertenece a um conjunto se usa o símbolo: ∉Exemplo: Se M = {2;4;6;8;10}
2 M∈ ...se lê 2 pertence ao conjunto M
5 M∉ ...se lê 5 não pertence ao conjunto M
Exemplo:
A= {a;b;c;d;e} n(A)=
B= {x;x;x;y;y;z} n(B)=
Não levamos em consideração a ordem, nem a repetição dos elementos.O conjunto {x; x; x; y; y; z } = { x; y; z }.
Cardinal = nº de elementos.
n(A) = nº de elem. de A
5
3
Exemplo: Se A = {2;4;6;{8};10}
( ) A2 ∈( ) A}8{ ∈( ) A}2{ ∉( ) A8 ∈
( ) A6 ∉( ) A}2{ ∈( ) A0∉( ) A2 ∈
INCLUSÃODizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se A for uma parte de B.
NOTAÇÃO : ⊂A BSe lê : A é subconjunto de B, A está contido em B , A é parte de B.
1
2
A
1
2
1
2
1
2
1
2
A A A A
{ } A1 ⊂ { } A2 ⊂ { } A2;1 ⊂ { } A⊂
PROPRIEDADES:
I ) Todo conjunto está contido em si mesmo. ⊂A A
II ) O conjunto vazío está contido em qualquer conjunto. φ ⊂ A
Seja o conjunto A = { , 1 , 2, { 1 } }, então :
∅
∅ ..... A
1 ..... A
2 ..... A
{ 1 } ..... A
∅ ..... A
{ , 1 , 2, { 1 } } ......... A∅
∅{ } ..... A
1{ } ..... A
2{ } ..... A
{ 1 }{ } ..... A
1 , 2{ } ..... A
76
556
A B
9
87
3
1
4
2
}{∪ =A B 1;2;3;4;5;6;7;8;9
B
A B A A B
B
A U B = { x / x Є A ou x Є B }
76
556
AB
9
87
3
1
4
2
}{A B 5;6;7∩ =
AB
A A BB
A B = O
A ∩ B = { x / x Є A e x Є B }
76
556
A B
9
87
3
1
4
2
}{A B 1;2;3;4− =
B
A – B = ? B – A = ?
A B A B A BA BA AB
B - A = O
76
556
A B
A B∆
}{A B x / x (A B) x (B A)∆ = ∈ − ∨ ∈ −
Exemplo:
9
87
3
1
4
2
}{ }{A B 1;2;3;4 8;9∆ = ∪
A B (A B) (B A)∆ = − ∪ −
A B (A B) (A B)∆ = ∪ − ∩
A BA-B B-A
A B
COMPLEMENTAR :
AB
A B ⊂A
B
CAB(complementar de B em relação a A )
Obs: CAB= A - B
EX: A = { 1, 3 } e B = { 1 , 2 , 3 , 4 }
CBA= { 2 , 4 }
∈
Pág. 236
A B
4
5
E6
7
1
2 3
{ 3, 4, 5 }
A tabela expressa o número de cursos oferecidos, em uma faculdade, por turno.Da análise da tabela, pode-se afirmar que essa instituição oferece um total de cursos igual a :
A) 25 C) 20 E) 10
B) 22 D) 15
3Matutino, Vespertino e Noturno4Vespertino e Noturno4Matutino e Noturno5Matutino e Vespertino6Noturno9Vespertino10Matutino
Nº. DE CURSOSTURNO
(01) A pesquisa envolveu 500 pessoas .
(02) 61 pessoas estavam matriculadas apenas em alongamento .
(04) 259 pessoas estavam matriculadas em alongamento ou musculação .
(08) 89 pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades indicadas na tabela .
(16) O número de pessoas matriculadas apenas em hidroginástica corresponde a 28,4% do total de pessoas envolvidas na pesquisa .
ATIVIDADES N°. DE PESSOAS
Alongamento 109
Hidroginástica 203
Musculação 162
Alongamento e hidroginástica
25
Alongamento e musculação
28
Hidroginástica e musculação
41
As três atividades
5
Outras atividades
115
a b c
Nº 1 Nº 2
acertaram pelo menos uma 80
a + b + c = 80
acertaram a nº 1 70
a + b = 70
acertaram a nº 2 50
b + c = 50
a + b + c = 80a + b = 70
c = 10
b + c = 50c = 10
b = 40a + b = 70a = 30
OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
CRQ’QZN
?
CONJUNTOS NUMÉRICOS
1) NÚMEROS NATURAISEstes números foram
criados pela necessidade de
contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais.
1
2
3
4N = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
CONJUNTOS NUMÉRICOS
2) NÚMEROS INTEIROS
• Os números naturais não permitiam a resolução de todas as operações. A subtração de 3 - 4 era impossível.
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}Z
⊂N ZN
Entretanto...surgiu outro tipo de problema:“ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros ? “
Para resolver este tipo de problemas foram criados os números fracionários.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
⊂
3) NÚMEROS RACIONAIS
Q = Z ∪ { números fracionários }
N ZQ
N Z Q⊂⊂
1. O p r o d u t o d a s d z im a s p e r i d ic a s í ó0 ,1 6 6 6 ... e 0 ,6 6 6 ... a d z im a É íp e r i d ic a 0 ,X X X ..., s e n d o X u m óa l g a r is m o n o n u l o . O v a l o r d e X ãé
9(E )
8(D )
6 (C )
3 (B )
1(A)
(01) Se x = 0,666... , y =
-1,333... e z = 12,444...,
então
= 6,222.... .yxz−
Ao aplicar o Teorema de Pitágoras para determinar a medida do comprimento da diagonal de um quadrado de lado unitário, não conseguimos
encontrar um número racional para essa medida.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
2 3
4) NÚMEROS IRRACIONAIS
Ex.: πN Z
Q Q’
Qualquer número racional ou irracional é chamado de número real. Podemos dizer, portanto que número real é todo número
decimal, finito ou infinito.
CONJUNTOS NUMÉRICOS5) NÚMEROS REAIS
N ZQ Q’
R
Símbolos de exclusão:
* Exclui o zero.
+ Exclui os negativos.
- Exclui os positivos.
A* = números não nulos.A+ =A+ = números não negativos.A -- = números não positivos.A*
+ = números positivos.A*
-- = números negativos.
vFFvvvFv
A = { 0, 2 ,4 ,6 ,8, 10, ...}
B = { -1, 0, 1 ,2 ,3 ,4 ,5 }
C = { 0, 1 ,2 ,3 ,4 }
BX 2
4-11
3
0
5
Intervalos
[a; b] = { x Є R/ a ≤ x ≤ b } = a b
]a; b[ = { x Є R/ a < x < b } = a b
[a; b[ = { x Є R/ a ≤ x < b } = a b
]a; b] = { x Є R/ a < x ≤ b } = a b
[a; +∞[ = { x Є R/ x ≥ a } = a
]- ∞; a[ = { x Є R/ x < a } = a