موحد+وطني Enna.. (1)

Page 1 أحمد الناج أستاذ مادة الراضات ومرشد تربوي

الرياضيات : المادة

شعبة العلوم التجريبية : الشعبة

لوجات والتكنو

ساعات 3 :االنجاز مدة

7 : المعامل

معلومات عامة

سمح باستعمال اآللة الحاسبة غير قابلة للبرمجةي

ساعات 3 : مدة إنجاز موضوع االمتحان

-حتان المتبقتانفاألولى تتضمن معلومات والصحات ) فص : عدد الصفحات

(.ان تمارن االمتحاننتتضم

ناسبه.يمكن للمتر شح إنجاز تمارين االمتحان في الترتيب الذي ي

.ينبغي تفادي اللون األحمر عند تحرير األجوبة

بالرغم من تكرار بعض الرموز في أكثر من تمرين، فكل رمز مرتبط

.له بالتمارين السابقة أو الالحقة وال عالقةبالتمرين المستعمل فيه

معلومات خاصة

يتكون الموضوع من خمسة تمارين مستقلة فيما بينها وتتوزع حسب المجاالت -

كمايلي.

التمرين

نقط3 األعداد العقدية 1تمرين

نقط3 الهندسة الفضائية 2تمرين

نقط3 حساب االحتماالت 3تمرين

نقط3 المتتاليات العددية 4تمرين

دراسة الدوال وحساب 5تمرين التكامل

نقط8


ع االمتحان الوطني المقترح من طرف األستاذ وموض

لرياضيات الدورة المرشد أحمد الناجي في مادة ا

شعبة العلوم التجريبية بمسالكها وشعبة 2012العادية

سلكيها.مالعلوم والتكنولوجيات ب

ن3 : 1نــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــتمري

z : المعادلة Cحل ف مجوعة األعداد العقدة -1 z 2 10 50 0

ف المستوى المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر -2 O;e ;e1 . نعتبر 2

Azلحقهما على التوال هما Bو A النقطتن i 5 Bzو 5 i 5 5

Bأ( بن أن

A

zi

z

ب( استنتج أن i

B Az z e

بالدوران الذي Aه صورة النقطة Bوأن النقطة 2

نبغ تحدد زاوته. Oمركزه النقطة

معلال جوابك . AOBج( حدد طبعة المثلث

ن3 : 2نـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــتمري

نعتبر ف الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم O;i; j;k مباشر. النقطتن

E ; ;

11 0

3Fو ; ;

3 10

5 5والفلكة S الت معادلتها : x y z

22 2 1 1 0

مركز الفلكة إحداثات متلوثحدد -1 S وقمة شعاعهاr.

xبن أن -2 z 3 4 1 معادلة دكارتة للمستوى 0 P المار من النقطة E

و n ; ;3 0 المتجهة المنظمة عله. 4

تأكد من أن -3 d ; P 1


استنتج أن الفلكة -4 S مماسة للمستوى P النقطة فF.

ن3 : 3نــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــتمري

وجد قسم مستوى ثانة باكلورا ألتأهلبمؤسسة تعلمة خصوصة للتعلم الثانوي

حسب Bو A( موزعن إلى مجموعتن وإناثتلمذا)ذكور 24علوم تجربة ضم

: الجدول التال

لتالمذ الذن اختاروا شعبة علوم الحاة واألرض. ا : Aالمجموعة -

التالمذ الذن اختاروا شعبة العلوم الفزائة. : Bالمجوعة -

اإلناث الذكور التالمذ

A 12 7المجموعة

B 2 3المجموعة

نختار تلمذا من هذا القسم. ونفترض أن جمع التالمذ لهم نفس الحظ لك قع -1

علهم االختار.

أ( ما هو االحتمال ك كون هذا التلمذ ذكرا؟

؟Bار من المجموعةب( ماهو احتمال أن كون التلمذ المخت

المتغر العشوائ الذي Xتالمذ من هذا القسم . ولكن 3نختار لجنة تضم -2

ساوي عدد اإلناث ف هذه اللجنة.

.Xأ( أعط قانون احتمال المتغر العشوائ

لك كون الجنسن معا ف اللجنة. ب( أحسب احتمال

ن3 :4نــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــتمري

المعرفة على المجال fنعتبر الدالة العددة I ; 3 : ب 6 x

f xx

4 3

Iتزادة على المجال f( بن أن الدالة1

( بن أن 2 f I I


( لتكن 3 nu المتتالة العددة حث n n

un IN :

u f u

0

1

6

nnبن بالترجع أن -أ IN : u 3

ةبن أن المتتال -ب nu تناقصة

المتتالةاستنتج أن -ج nuمتقاربة ثم أحسبnxlim u

ن8 : 5نـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــتمري

الجزء األول

المعرفة على المجال gنعتبر الدالة العددة ;0 ب : g x ln x ln x 2

ولكن gC . منحناها ف معلم متعامد ممنظم

( تحقق من أن 1 x :g x ln x ln x 0 1

( أحسب 2 xlim g x

ثم xx

lim g x 00

وأول النتجة المحصل علها

بن أن -أ (3

x

ln xlim

x

2

tمكنك وضع 0 x

استنتج أن -ب

x

f xlim

x ثم أعط تأوال هندسا لهذه النتجة 0

( حل المعادلة 4 x ; : ln x ln x 2

ط تقاطع المنحنى واستنتج أفاصل نق 0

gC .مع محور األفاصل

الجزء الثاني

بن أن -أ (1 x :g ' x ln xx

1

0 2 1


e;تناقصة على المجال gبن أن الدالة -ب

1

وتزادة على 20

eالمجال ;

1

2

gتأكد من أن -ج e

1

21

4 .

على المجال gأعط جدول تغرات الدالة -د ;0.

قابلة لالشتقاق مرتن على المجال gبن أن الدالة العددة -( أ2 ;0 وأن

ln x

x ; : g '' xx

2

3 20

Iأثبت أن النقطة -ب e ;

3

23

4ه نقطة انعطاف المنحنى gC

( بن أن المعادلة 3 g x 0 تقبل حال وحدا ف المجالe ;e

1 3

2 2

eعلى المجال gقصور الدالة hلتكن الدالة ( 4 ;e

1 3

2 2

eعلى المجال h1تقبل دالة عكسة hبن أن الدالة -أ ;e

1 3

2 محددا مجموعة 2

تعرفها.

h1أعط جدول تغرات الدالة -ب

أحسب -ج '

h1 0

الجزء الثالث

هو للمنحنى التمثل المبان التال gC الممثل للدالةg.


x المتراجحةحل مبانا ( 1 : (ln x) ln x 20

( بن باستعمال مكاملة باألجزاء أن 2e

ln xdx 1

1

المعرفة على Gأثبت أن الدالة -أ (3 ;0 ب :

G x x ln x ln x 2

2 xة دالة أصلة للدال2 (lnx)2 على ;0

استنتج أن -ب e

ln x dx e 2

1

2

استنتج مساحة حز المستوى المحصور بن المنحنى -ج gC ومحور األفاصل

xوالمستقمن اللذن معادلتاهما 1 وx e


حل التمرين األول

لنحل المعادلة -1 E : z : z z 2 10 50 0

لدنا ممز هذه المعادلة E هو i 2

100 iألن 10 2 1

zومنه i 1 5 zو 5 i 2 5 إذن 5 S i; i 5 5 5 5

Bلنبن أن -أ -2

A

zi

z

Bلدنا إذن

A

zi

z

استنتاج -ب

Bبما أن

A

zi

z فإنB Az iz وحث

i

i cos isin e

2

2 2فإن

i

B Az e z

2

ومنه i

B O A Oz z e z z

2 ألنOz ه صورة Bوهذا عن بأن النقطة 0

وزاوته Oمركزه النقطة rبالدوران Aالنقطة

2

AOBطبعة المثلث -ج

وزاوته Oزه النقطة مرك rبالدوران Aه صورة النقطة Bلدنا النقطة

2

إذن

OA OB

OA;OB

22

قائم الزاوة ومتساوي الساقن ف AOBأي المثلث

.Oالنقطة

حل التمرين الثاني

مركز الفلكةمتلوثلنحدد إحداثات -1 S وشعاعهاr.

لدنا S : x y z x y z 2 2 2 22 2 21 1 0 0 0 1 1

ومنه ; ; 0 0 مركز الفلكة 1 S وشعاعهاr 1

B

A

z i

z i

5 5

5 5

5 i1

5 i

i

21

21

2 i

2i


الدكارتة للمستوى لنبن أن المعادلة -2 P هx z 3 4 1 0

لدنا المتجهة n ; ;3 0 منظمة على المستوى 4 P إذن

P : x oy z d 3 4 أي 0 P : x z d 3 4 بما أن 0 E P وE ; ;

11 0

3

dفإن

13 0 1 4 0 0

3dأي 1 dومنه 0 1 وبالتال فإن المعادلة

الدكارتة للمستوى P هx z 3 4 1 0

لنبن أن -3 d ; P 1

لدنا d ; P

2 2 2

3 0 4 1 1 5

3 0 4 51 إذن d ; P 1

استنتاج -4

لدنا d ; P 1 إذن الفلكة S مماسة للمستوى P وحث .F ; ;

3 10

5 5

المستوى تنتم إلى كل من P والفلكة S ألن

2 2

2

3 1 9 4 53 4 1 0

5 5 5 5 5

3 1 9 16 250 1 1 0

5 5 25 25 25

المستوى إذن Pمماس للفلكة S

Fف النقطة

حل التمرين الثالث

Gاحتمال الحدث -1

" اختار تلمذ ذكر" إذن Gلدنا الحدث p G 14 7

24 12

Aاحتمال الحدث -2

را" إذن وكون ذك B" التلمذ من المجموعة Aلدنا الحدث p A 2

5

Xقانون احتمال المتغر العشوائ -3

.3و 2و 1و 0ه Xالقم الت أخذها المتغر العشوائ


* C

p XC

3

14

3

24

1820

1012 Xالجدول التال لخص قانون

* C C

p XC

2 1

14 10

3

24

4551

1012

* C C

p XC

1 2

14 10

3

24

3152

1012

* C

p XC

3

10

3

24

603

1012

1القمة Xلك كون الجنسن معا ضمن اللجنة جب أن أخذ المتغر -4

: ومنه االحتمال المطلوب هو 2والقمة p X p X 637

1 21012

حل التمرين الرابع

تزادة على المجال fلنبن أن الدالة -1 I ; 3 6

نا لد x

f xx

4 3إذن f ' x

x

2

3وحث

x2

3xلكل 0 I إذنf تزادة على

المجال I ; 3 6.

لنبن أن -2 f I I

تزادة على المجال fلدنا I ; 3 إذن 6 f I f ; f ;f ;

73 6 3 6 3

2

وبما أن ; ;

73 3 6

2فإن f I I.

nnلنبن بالترجع أن -أ -3 IN : u 3

nمن أجل 0 لدناu 0 u0إذن 6 )صحح( 3

nnنفترض أن IN : u nuونبن أن 3 1 3

nuلدنا حسب االفتراض تزادة fونعلم أن حسب ما سبق الدالة 3

إذن nf u f وحث 3

n nu f u

f

1

3 3nuإذن 1 nnومنه فإن 3 IN : u 3

3 2 1 0 ix

60

1012

315

1012

455

1012

182

1012 ip X x


لنبن أن -ب nu تناقصة

nلدنا n n n nn n n

n n n

u u u u uu u u

u u u

2 2

1

4 3 4 3 4 3وبما أن

n n nu u u 22 4 3 2 nuوعلم أن 1 nuإذن 3 2 ومنه 1

nu 2

2 nأي 1 nu u 2 4 3 nuكما أن 0 nuألن 0 إذن 3

n n

n

u u

u

2 4 3nوبالتال فإن 0 nu u1 وهذا عن أن المتتالة nu

تناقصة.

استنتاج -ج

لدنا المتتالة nu وتناقصة إذن 3مصغورة بالعدد nu .متقاربة

ولدنا Iالمجال متصلة على fوحث الدالة f I I وu I0 إذن نهاة المتتالة

nu عند ه العدد الحققa حقق f a a.

nuبما أن nفإن 3nlim u

3

5حل التمرين

الجزء األول

لنتأكد من أن -1 x :g x ln x ln x 0 1

لدنا g x ln x ln x إذن 2 g x ln x ln x 1

ات عند محد gنهاة الدالة -2 ;0

لدنا

x

x

lim ln x

lim ln x

إذن xlim g x

a a a

f a a a a a a a a أوa a

224 3 4 3

0 2 1 0 3 1 0 3 1


لدنا

x

x

x

x

lim ln x

lim ln x

0

0

0

01

إذن xx

lim g x

00

ومنه محور األراتب

مقارب للمنحى gC للدالةg.

لنبن أن -أ -3

x

ln xlim

x

2

0

لدنا t x

t xx

2

0ومنه

x t x

ln tln x ln tlim lim lim

x t t

22 2 2

24 ألن 0

x

ln tlim

t وبالتال فإن 0

x

ln xlim

x

2

0

استنتاج -ب

لدنا

x

x

ln xlim

x

ln xlim

x

2

0

0

إذن

x x

ln x ln xlim lim

x x

2

ومنه فإن 0

x

g xlim

x 0

وبالتال فإن المنحنى gC للدالةg .قبل فرعا شلجما ف اتجاه محور األفاصل

لنحل المعادلة -أ -4 x : ln x ln x 2

0

x : ln x ln x

x : ln x ln x

x : ln x ln x

x

x e xأو

: ln x و lnx-1=0ا

2

2

0

0 0

0 1 0

0

1

0

ومنه فإن ومنه المنحنى gC للدالةg قطع محور األفاصل ف النقطتن A ;1 0

و B e;1.

الجزء الثاني

لنبن أن -أ -1 x . : g ' x ln x 1

0 2 12


قابلة لالشتقاق على المجال gلدنا الدالة ;0 إن فومنه

' ln x

g ' x ln x ln x ln xx x x

2 1 1 2 1أي 2

x :g ' x ln xx

1

0 2 1.

e;على كل من gرتابة الدالة -ب

1

eو 20 ;

1

2

x :g ' x x : ln x x : ln x x e 1

21

0 0 0 2 1 0 02

ومنه نعط جدول إشارة g ' x لكل x ; 0

من خالل جدول إشارة g ' xلدنا :

الدالةg تناقصة على المجال;e

1

ألن 20 x ;e : g ' x

1

20 0

الدالةg تزادة على المجالe ;

1

ألن 2 x e ; : g ' x

1

2 0

gلنتأكد من أن -ج e

1

21

4

g e lne lne

1 1 1

2 2 21 1 1

1 12 2 4

lneألن 1 إذنg e

1

21

4

جدول التغرات -د


-ا -2 ln x

x ; : g '' xx

2

3 20

gلدنا الدالة قابلة لالشتقاق على ' ;0 إذن

'

x :g '' x ln x ln x ln xx x x x

2 2 2

1 1 2 10 2 1 2 1 2 ومنه فإن 3

ln x

x ; : g '' xx

2

3 20

Iلنثبت أن النقطة -ب e ;

3

23

4ه نقطة انعطاف المنحنى gC

g '' x ln x ln x x e 3

23

0 3 2 02

وبما أن

g e lne lne

3 3 3

2 2 23 3 3

1 12 2 4

Iفإن النقطة e ;

3

23

4ه نقطة

انعطاف المنحنى gC.

لنبن أن المعادلة -3 g x 0 تقبل حال وحدا ف المجالe ;e

1 3

2 2.

لدنا الدالةg متصلة على المجال ;0 إذن فه متصلة على

eالمجال ;e

1 3

2 ألن 2 e ;e ;

1 3

2 2 0.

g e

g e g e

g e

1

2

1 3

2 2

3

2

1

40

3

4

لدنا الدالةg تزادة على المجالe ;e

1 3

2 2


إذن المعادلة g x 0 تقبل حال وحدا ف المجالe ;e

1 3

2 2.

محددا مجموعة تعرفها. h1تقبل دالة عكسة hن أن الدالة لنب -أ -4

eمتصلة على المجال hلدنا الدالة ;e

1 3

2 eتزادة على hو 2 ;e

1 3

2 إذن 2

مجموعة تعرفها ه h1تقبل دالة عكسة hالدالة

J h e ;e ;

1 3

2 21 3

4 4.

h1جدول تغرات الدالة العكسة -ب

لنحسب -ج '

h1 0

'

''h e

h eh h

e

1

1

1 1 10

10إذن

'

h e 1 0

الجزء الثالث

xلنحل مبانا المتراجحة -1 : (ln x) ln x 20

x : (ln x) ln x x : ln x ln x x :g x 220 0 0 0 ومنه فإن 0

المنحنى gC للدالةg تحت محور األفاصل لكل x ;e وبالتال فإن 1 S ;e 1.

لنبن أن -2e

ln xdx 1

1


نضع 'u x 1 و v x x ومنه فإن :

'

'

u x xu x

v x ln x v xx

1وبالتال فإن 1

ee

ln xdx x ln x x 1 1

.x

1

ee

dx x ln x x 1

1

ي أ 1e

ln xdx 1

1

لنبن أن -ب G x x ln x ln x 2

2 xدالة أصلة للدالة 2 (ln x)2 على

;0.

قابلة لالشتقاق على Gلدنا الدالة ;0 إذن

إذن 'G x ln xومنه فإن 2 G x x ln x ln x

22 دالة أصلة للدالة 2

x (ln x)2 على ;0.

لنستنتج مساحة حز المستوى المحصور بن المنحنى -ج gC ومحور األفاصل

xوالمستقمن اللذن معادلتاهما 1 وx e.

لتكن المساحة ووحدة القاس وحث المنحنى gC تحت محور األفاصل

على المجال ;e1 إذن :

أي e . 3.

'

G' x x ln x ln x ln x ln x x

2 22 2 2 2

ln x

x

2 2 ln x ln x

22 2 ln x 2 2 ln x

2

e e e

e

g x dx. ln x ln x dx. ln xdx G x . e . e .

2

11 1 1

1 2 3

Education

موحد+وطني Enna.. (1)