อาจารยวรยะ โกษต โรงเรยนวดปาประด จงหวดระยอง

บทท 4การเคลอนท

แบบตางๆ

Outline

o การเคลอนทแบบโพรเจกไทลo การเคลอนทแบบวงกลมดวย

ความเรวคงทo การเคลอนทแบบฮารมอนกอยาง

งาย

การเคลอนทแบบโพรเจคไตล คอ การเคลอนทในแนวโคงพาราโบลา ซงเกดจากวตถไดรบความเรวใน 2 แนวพรอมกน คอ ความเรวในแนวราบและความเรวในแนวดง ตวอยางของการเคลอนทแบบโพรเจกไทล  ไดแก ดอกไมไฟ นำ0าพ การเคลอนทของลกบอลทถกเตะข0นจากพ0น การเคลอนทของนกกระโดดไกล

การเคลอนทแบบโพรเจคไตล

ตวอยางในชวตประจำาวน��𝟐

��𝟑

��𝟏

1

2

3

ตวอยางในชวตประจำาวน𝒚

𝒙

��𝟐

��𝟑

��𝟏

�� 𝒙𝟏

�� 𝒚𝟏

�� 𝒚𝟐=𝟎

1

2

3

¿ ��𝒙𝟐

�� 𝒙𝟑

�� 𝒚𝟑

𝜽

��𝟏

�� 𝒙𝟏

�� 𝒚𝟏

การเคลอนทแบบโพรเจคไตลo ในแนวราบ (แนวแกนX) วตถจะเคลอนทดวย

ความเรวคงตว (ไมมแรงกระทำา) และความเรงในแนวราบเปนศนย

o ในแนวดง (แนวแกนY) วตถจะเคลอนทอยางเสรภายใตแรงโนมถวงคงตว และความเรงในแนวดงคอความเรงโนมถวงของโลก

o จงทำาใหแนวทางการเคลอนทเปนแนว โคงพาราโบลา เชน การเคลอนทของกอนหนเมอถกขวางออกไปแนวระดบ การเคลอนทของลกฟตบอลทถกเตะ การเคลอนทของลกปนใหญทถกยง เปนตน

𝒚

𝒙

𝜽

การทดลองการเคลอนทแบบโพรเจคไตล

𝒕𝟎

𝒕𝟏

𝒕𝟐

𝒕𝟑

𝒕𝟎 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑

−𝒚

𝒙

��

�� 𝒙𝟏

�� 𝒚

รปแบบของการเคลอนทแบบโพรเจคไตล

1 .ความเรวตนตามแนวระดบ

𝒚

𝒙

𝜽

��

2. ความเรวตนทำามมกบแนวระดบ

1 .ความเรวตนตามแนวระดบa) หาความเรว ณ จดใดๆ (มทศสมผสกบเสนทางเดน ณ จดนน)

��

���� 𝒙

�� 𝒚

𝜽

b) หาการกระจด ณ จดใดๆ

��𝒙

��𝒚

𝑠2=��𝑥2+ ��𝑦2

1 .ความเรวตนตามแนวระดบ��

���� 𝒙

�� 𝒚𝜽

หลกการคำานวณ • ตงแกน X ใหอยในแนวระดบ และ

แกน Y อยในแนวดง โดยจดกำาเนด(origin) ตองอยทจดเรมตน

• แตกเวกเตอรทกคาคอ ความเรว ระยะทาง ใหอยในแนวแกน X และ Y

• ax = 0 และ ay = -g

2 .ความเรวตนทำามมกบแนวระดบ𝒚

𝒙

��𝟐�� 𝒚𝟐=𝟎

2

3

¿ �� 𝒙𝟐

��𝟑

�� 𝒙𝟑

�� 𝒚𝟑

��𝟏

�� 𝒙𝟏

�� 𝒚𝟏

1 𝜽

��𝒚

��𝒙

สตรการคำานวณการเคลอนทแบบโพรเจกไตล

ในแนวดงในแนวราบความเรวในแนวราบคงท ax = 0ความเรวในแนวดงไมคงท ay = -g

สตรการคำานวณการเคลอนทแบบโพรเจกไตล

การเวลาทวตถอยทจดสงสด

• จาก • ทจดสงสด ความเรวในแนว

ดง

• เวลาทวตถอยทจดสงสด • เวลาทวตถอยทจดสงสดจน

ตกถงพน

�� 𝒚=𝟎�� 𝒙

��𝒙

��𝒚��𝒚

สตรการคำานวณการเคลอนทแบบโพรเจกไตล

การกระจดทวตถอยทจดสงสด

• จาก • ทจดสงสด ความเรวในแนวดง

• การกระจดทวตถอยทจดสงสด

�� 𝒚=𝟎�� 𝒙

��𝒙

��𝒚��𝒚

สตรการคำานวณการเคลอนทแบบโพรเจกไตล

วตถจะตกถงพนไดไกลทสดจากจดยง• การกระจดทวตถตกถงพนจากจดยง

• เมอ

• วตถจะตกถงพนไดไกลทสดจากจดยง(เตะ)��  

��𝒙

��𝒚

𝜽=?? ?

สตรการคำานวณการเคลอนทแบบโพรเจกไตล

วตถจะตกถงพนไดไกลทสดจากจดยง• วตถจะตกถงพนไดไกลทสดจากจดยง(เตะ) ทำามม

• เมอ ดงนน

��  ��𝒙

��𝒚

𝜽��𝒙

นกอเมรกนฟตบอลคนหนงเตะลกบอลทำามม 30o กบแนวระดบดวยความเรวตน 80 เมตร/วนาท จงหาวาเมอลกบอลเคลอนทไปได 3 วนาท จะมความเรวเทาไร และใชเวลานานเทาไรลกบอลนนจงตกถงพน

ตวอยาง 14

30o𝒖=𝟖𝟎𝒎

/𝒔

ระดบอางอง

ชายคนหนงยนอยบนตกสง 45 เมตร ขวางลกเทนนสออกไปในแนวราบดวยความเรว 12 เมตร/วนาท กระทบกบกำาแพงแลวกระดอนกลบ จงหาวาลกเทนนสจะตกกระทบพนทจดหางจากฐานตกเทาไร ถาใหหนาตกหางจากกำาแพง 20 เมตร

ตวอยาง 1545

m

��𝑥=12𝑚/𝑠ระดบอางอง

ชายคนหนงเตะลกบอลดวยความเรว 25 เมตร/วนาท ในทศทำามมเงย 53o จงหาวาลกบอลนขนไดสงสดเทาไร และ ใชเวลานานเทาไรลกบอลจงตกถงพน (เมอ g = 10 เมตร/วนาท2)

ตวอยาง 16

53o��=𝟐𝟓

𝒎/𝒔

ระดบอางอง

ยงลกกระสนออกไปในแนวระดบดวยความเรว 400 เมตร/วนาท เมอเวลาผานไป 3 วนาท จงหา (เมอ g = 10 เมตร/วนาท2)

)ก ความเรวและทศทางของกระสน)ข ระยะกระจดของลกกระสน

ตวอยาง 17

��𝑥=400𝑚/𝑠ระดบอางอง

ยงปนทำามมเงย 37 องศา กบแนวราบดวยความเรว 500 เมตร/วนาท จงคำานวณหา (เมอ g = 10 เมตร/วนาท2)

)ก ความเรวของลกกระสน เมอเวลาผานไป 1 วนาท

)ข เวลาทลกกระสนอยทตำาแหนงสงสด)ค การกระจดของลกกระสน เมอตกถงพน

ตวอยาง 18

��=500𝑚/ 𝑠

37o ระดบอางอง

การเคลอนทแบบวงกลม(Circular Motion)

การเคลอนทในแนววงกลม หมายถง การเคลอนทของวตถ ทมการเปลยนแปลงความเรวตามทศทางการเคลอนทตลอดเวลา ในการศกษาเราสวยใหญจะใหอตราเรวของวตถจะคงท เชน การโคจรของดวงจนทรรอบโลก เปนตน

องคประกอบการเคลอนทแบบวงกลม

การเคลอนทแบบวงกลมประกอบไปดวย

• แรงกระทำาจากภายนอก

• การเปลยนแปลงความเรวตามทศทาง

• ความเรงมทศเขาสศนยกลาง

• เกดแรงสศนยกลาง• อตราเรวตามแนว

สมผสคงท

�� 𝒄

��

�� 𝒄

��

�� 𝒄

�� 𝒄

�� 𝒄

�� 𝒄��

��

��

��

𝜽����𝒄

การเคลอนทแบบวงกลม และ การเคลอนเชงเสน

𝒗

𝒗

𝜽

𝑹

𝑹

𝑠

𝜽𝟎

𝜽𝟏

• ระยะทาง (s) คอ ระยะทางตามเสนทางของการเคลอนทหนวยเปน เมตร(m)

• มม (q) คอ มมทวตถกวดไปไดหนวยเปนเรเดยน (rad)

𝒔𝟎 ,𝒕𝟎

𝒔𝟏 ,𝒕𝟏

สญลกษณในการคำานวณ

การเคลอนทแบบวงกลม• คาบ (T) คอ เวลาท

ใชในการเคลอนทครบ 1 รอบ หรอ วนาทตอรอบ (s)

• ความถ (f) คอ จำานวนรอบทเคลอนทไดในหนงหนวยเวลา หรอ รอบตอวนาท (Hz)

�� 𝒄

��

�� 𝒄

��

�� 𝒄

�� 𝒄

�� 𝒄

�� 𝒄��

��

��

��,

𝜽����𝒄

การเคลอนทแบบวงกลม และ การเคลอนเชงเสน

𝒗

𝒗

𝜽

𝑹

𝑹

Δ 𝑠

𝒔𝟎 ,𝒕𝟎

𝒔𝟏 ,𝒕𝟏

𝜽𝟎

𝜽𝟏

• อตราเรวเชงเสน (v) คอ ระยะทางตามแนวเสนรอบวงของวงกลมทวตถเคลอนทไดในหนงหนวยเวลา ( m/s)𝒗=𝚫 𝒔

𝚫𝒕=¿𝒔𝟏−𝒔𝟎

𝒕𝟏− 𝒕𝟎• อตราเรวเชงมม ( w )

คอ คอ มมทจดศนยกลางของวงกลมทรศมกวาดไปไดในหนงหนวยเวลา (เรเดยน/วนาท หรอ rad/s)𝝎=𝚫𝜽

𝚫 𝒕 =𝜽𝟏−𝜽𝟎

𝒕𝟏− 𝒕𝟎

สญลกษณในการคำานวณ

การเคลอนทแบบวงกลม• อตราเรวเชงเสน (v)

คอ ระยะทางตามแนวเสนรอบวงของวงกลมทวตถเคลอนทไดในหนงหนวยเวลา ( m/s)

�� 𝒄

��

�� 𝒄

��

�� 𝒄

�� 𝒄

�� 𝒄

�� 𝒄��

��

��

��

𝒗=𝟐𝝅 𝑹𝑻 =𝟐𝝅 𝑹𝒇

• อตราเรวเชงมม ( w ) คอ คอ มมทจดศนยกลางของวงกลมทรศมกวาดไปไดในหนงหนวยเวลา (เรเดยน/วนาท หรอ rad/s)𝝎=𝜽𝑻 =

𝟐𝝅𝑻 =𝟐𝝅 𝒇 = 𝒗

𝑻

𝜽����𝒄

สญลกษณในการคำานวณ

การเคลอนทแบบวงกลม• ความเรงเขาส

ศนยกลาง (Centripetal Acceleration, ac) ac คอ ความเรงเนองจากการเคลอนทแบบวงกลมมขนาดคงท และมทศเขาสศนยกลางเสมอ

�� 𝒄

��

�� 𝒄

��

�� 𝒄

�� 𝒄

�� 𝒄

�� 𝒄��

��

��

��𝒂𝒄=

𝒗𝟐

𝑹

𝜽����𝒄

เมอ R= รศมการเคลอนทในแนววงกลม (m)

สญลกษณในการคำานวณ

การเคลอนทแบบวงกลม• แรงเขาสศนยกลาง

(Centripetal Force, Fc) คอ แรงทกระทำาตอวตถในการเคลอนทแบบวงกลมมทศเดยวกบทศของความเรง�� 𝒄

��

�� 𝒄

��

�� 𝒄

�� 𝒄

�� 𝒄

�� 𝒄��

��

��

��

�� 𝒄=𝒎��𝒄=𝒎𝒗𝟐

𝑹

𝜽����𝒄

เมอ m = มวลวตถทเคลอนทเปนวงกลม (kg)

กฎแรงดงดดระหวางมวลนวตน

กฎแรงดงดดระหวางมวลนวตน กลาววา วตถทง“หลายในเอกภพจะออกแรงดงดดซงกนและกน โดยขนาดของแรงดงดดระหวางวตถคหนงๆ จะแปรผนตรงกบผลคณระหวางมวลวตถทงสองและจะแปรผกผนกบกำาลงสองระยะทางระหวางวตถทงสองนน”

��=𝑮𝒎𝑴𝑹𝟐

เมอ

G คอ คานจความโนมถวงสากล มคา 6.672 x 10-11 Nm2/kg2

�� 𝑬��𝒎

𝑴𝒎 𝑹

หลกการคำานวณเรองการเคลอนทแบบวงกลมแบบตาง ๆ

1 .เขยนระนาบกลมขณะทวตถกำาลงหมน2. เขยนแรงทกระทำาตอวตถ แลวแตกแรง

ทงหมดใหอยในแนวสศนยกลางวงกลม และแนวตงฉากกบแนวสศนยกลาง

3. ในแนวสศนยกลาง หาแรงลพธทททศทางพงเขาสศนยกลาง แรงนจะทำาหนาทเปนแรงสศนยกลาง• ในแนวตงฉากกบระนาบ

วงกลมน ถอวาสมดล ในแนวนเทากบศนย

การเคลอนทวงกลมตามแนวระดบ

o เมอระบบของวงกลมวางอยในแนวระดบวตถผกเชอก แกวงเปนวงกลมบนโตะระดบผวเกล0ยง

• หาความเรวเชงมมไดจาก • หาความเรงสศนยกลางไดจาก • หาแรงสศนยกลางไดจาก

𝒗

𝑭 𝒄=𝒎𝒂𝒄=𝒎𝒗𝟐

𝑹 =𝒎𝝎𝟐𝑹

การเคลอนทเปนวงกลมในแนวดง

การเคลอนทของวงกลมในแนวดงแตกตางจากแนวระดบ คอ มคา g

• แรงตามแนวรศม • แรงตามแนวสมผส • จาก ไดวา • เมอ ไดวา • ดงนน ความตกเชอกคอ

q

𝑚𝑔

𝑚𝑔 cos𝜃

𝑚𝑔sin𝜃

𝑇

𝑻=𝒎𝒗𝟐

𝑹 +𝒎𝒈cos𝜽

𝑹

การเคลอนทบนทางโคงในแนวราบ

การทวตถหรอรถจะเลยวโคงตองมแรงสศนยกลางเสมอ ในขณะทรถเลยวโคงแรงสศนยกลางทกระทำาตอรถกคอ แรงเสยดทานนนเอง โดยแรงเสยดทานมทศเขาสศนยกลางในขณะทรถเลยวโคงการหาความเรวทพอดทำาใหรถเลยวโคงได

รถจะเลยวโคงไดดวยความเรวมากหรอนอยขนอยกบรศม (R) วงกลมของทางโคง และมม q ทรถเอยงจากแนวดง ถา R และ q มคามาก รถจะเลยวโคงไดดวยความเรวสง

q 𝑓  𝑘=𝜇𝑁

𝑁=𝑚𝑔

• ส.ป.ส. ของแรงเสยดทานระหวางลอกบถนน

o เมอ o ดงนน o ไดวา

𝒗=√𝒕𝒂𝒏𝜽 𝑹𝒈=√𝝁𝑹𝒈

การเคลอนทเปนทางโคงบนถนนลนเอยงทำามม q กบแนวระดบ

ในกรณทางโคงนยมยกขอบดานนอกใหสงกวาดานใน เพอชวยทำาใหเกดแรงสศนยกลางโดยไมตองอาศยแรงเสยดทาน

𝑵

q

𝑵𝐜𝐨

𝐬𝜽

𝑵 𝐬𝐢𝐧 𝜽

𝒎𝒈

อตราเรวพอดกบมมทยกขน หาไดดงนo เมอ o และ o ไดวา o อตราเรวพอดกบมมท

ยกขน คอ

q

q = มมทผวถนนกระทำาตอพนราบv = อตราเรวทพอดกบมมทยกผวถนนR = เปนรศมความโคงg = ความเรงเนองจากความโนมถวง

𝒗=√𝒕𝒂𝒏𝜽 𝑹𝒈

การเคลอนทวงกลมของดาวเทยม

• แรงสศนยกลาง ดงนน หรอ • คาแรงโนมถวงกระทำากบดาวเทยม เมอ

• ความเรวของดาวเทยม

�� ��

นำ0าหนกดาวเทยมลงสโลก เปนแรงสศนยกลาง

𝒎��𝒉

𝒎 𝑴��𝑬

• G คอ คานจความโนมถวงสากล มคา 6.672 x 10-11 Nm2/kg2

𝒗=√𝒈𝒉𝑹=√𝒈𝒉 (𝑹𝑬+𝒉 )=√ 𝑮𝑴𝑹𝑬+𝒉

จงหาความเรงเขาสศนยกลางของวตถทเคลอนทเปนรปวงกลมรศม 8 เมตร ดวยอตราเรว 20 เมตร/วนาท และหากมวลทเคลอนทมขนาด 5 กโลกรม จงหาแรงเขาสศนยกลาง

ตวอยาง 19 𝑣=20𝑚/ 𝑠

𝑅=8𝑚

วตถมวล 2 กโลกรม ผกเชอกยาว 1 เมตร แลวแกวงใหเคลอนทเปนวงกลมตามแนวระดบดวยความถคงท 2 รอบตอวนาท จงหา

)ก ความเรงสศนยกลาง)ข แรงตงในเสนเชอก

ตวอยาง 20

R = 1 m

โลกหมนรอบตวเองครบ 1 รอบ ใชเวลา 24 ชวโมง และรศมของโลกเทากบ 6.37x106

เมตร จงคำานวณหา)ก อตราเรวเชงมมของวตถบนผวโลก)ข อตราเรวเชงเสน และขนาดของความเรงส

ศนยกลางของวตถทอยบนเสนศนยสตรของโลก

ตวอยาง 21

เสนเชอกเบายาว 1 เมตร ปลายขางหนงตดวตถมวล 0.5 กโลกรม อกปลายหนงตรงแนนแกวงใหวตถเคลอนทเปนวงกลมในแนวราบรศม 30 เซนตเมตร และ เสนเชอกทำามม 37o กบแนวดง จงคำานวณหา

)ก อตราเรวเชงเสน และ อตราเรวเชงมม)ข แรงตงในเสนเชอก)ค คาบของการแกวง

ตวอยาง 22

0.5 kg

37o

30 cm1 m

การเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนก(Simple Harmonic Motion,

SHM)

การเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนก หมายถง การทวตถเคลอนทกลบไปมาซำารอยเดม มกจะใชสญญลกษณวา SHM. ตวอยางของการเคลอนทแบบนไดแก การเคลอนทของวตถทถกผกตดไวกบสปรงในแนวราบ การแกวงของชงชา การแกวงของลกตมนาฬกา เปนตน

สมการของการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนก

จากภาพจะเหนวาเมอวตถสเหลองเคลอนทเปนวงกลม เงาของวตถบนฉากจะเคลอนทเปนเสนตรงกลบไปกลบมา เรยกการเคลอนทแบบซำารอยเดมนวา การเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนค (Simple Harmonic Motion) หรอการเคลอนทแบบ S.H.M

q ฉาก

เงาของบอล

𝑹

𝒀

การเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนก

q ฉาก

เงาของบอล

จะไดการกระจดในแนวแกน Y ดงน0

𝑹

𝒀อตราเชงเสนมม คอ

𝒀=𝑹 sin𝜔𝑡

การเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนก

หรอ (แอมปลจด)

เมอนำา ไปเขยนกราฟการกระจด-เวลา ของการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนค จะไดกราฟดงน

จากสมการ เมอ คาของการกระจดของการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนคจะมคามากทสด นนคอ

0 2 4 6 8 10 12 14

-1.5-1

-0.50

0.51

1.5

เวลา

การก

ระจด

ซมเปลฮารโมนคในสปรงการทวตถเคลอนทกลบไปมาซำารอยเดม มกจะใช

สญลกษณวา SHM. ตำาแหนงสมดล

ตำาแห

นงสม

ดล

−𝒚

+𝒚−𝒙

+𝒙

2

22

2

F ma

kx m x

k mT

mTk

w

2 kT mw

ซมเปลฮารโมนคในสปรง

ตำาแหนงสมดล

−𝒙

+𝒙

สปรงเบาตวหนงมคานจ 100 นวตน/เมตร ผกตดกบมวล 1 กโลกรม ซงวางอยบนพน ราบเกลยง เมอดงสปรงออกไป 30 เซนตเมตร แลวปลอยมอ มวลกอนนจะมอตราเรงสงสดเทาใด

ตวอยาง 23

รถทดลองมวล 500 กรม ตดอยกบปลายสปรงดงรป เมอดงดวยแรง 5 นวตน ในทศขนานกบพน จะทำาใหสปรงยดออก 10 เซนตเมตร เมอปลอยรถจะเคลอนทกลบไปกลบมาบนพนเกลยงแบบซมเปลฮารโมนก ดวยคาบเทาไร(คาคงทสปรงเทากบ 10 N/m)

ตวอยาง 24

แขวนมวล 2 กโลกรม กบสปรง แลวปลอยใหสนขนลง วดคาบของการสนได 1 วนาท ถาเอามวล 2 กโลกรม ออกสปรงจะสนกวาตอนทแขวนมวลนอยกเมตร

ตวอยาง 25

การเคลอนทแบบลกตมนาฬกา

จากรป เปนการเคลอนทแบบลกตมนาฬกา (simple pendulum) ซงเปนการเคลอนทแบบซมเปลฮารมอนกอยางงาย อกลกษณะหนงโดยการนำาวตถมวล m ผกเชอกยาว l เมอวตถแกวงเปนมมแคบๆ (q มคานอย ๆ) ซงถอไดวาแรงลพธททำาใหวตถเคลอนทมทศขนานกบเสนทางการเคลอนทของวตถ และสวนโคงของวงกลมจากตำาแหนงสมดลถงตำาแหนงตางๆ ของวตถเปนเสนตรง

q

𝑚𝑔𝑚𝑔 cos𝜃

𝑚𝑔sin𝜃

𝑇𝒍𝒙

การเคลอนทแบบลกตมนาฬกา

o จากกฎขอสองของนวตน

o เมอ q มคานอย ๆ ดงนน

o จาก ไดวา

q

𝑚𝑔𝑚𝑔 cos𝜃

𝑚𝑔sin𝜃

𝑇𝒍𝒙

และ

ลกตมแขวนดวยเชอกยาว 0.4 เมตร แกวงไปมาดวยแอมพลจด 0.1 เมตร จงหา ความเรวขณะเคลอนผานจดสมดล

ตวอยาง 26

q 𝑙=0 . 4𝑚

𝑥=0 .1𝑚

ลกตมแขวนดวยเชอกยาว 100 เซนตเมตร เมอจบลกตมใหเบนออกมาจากตำาแหนง สมดลเปนระยะ 5 เซนตเมตร แลวปลอยใหแกวงอยางอสระความเรวสงสดในการแกวง จะมคาเทากบก เซนตเมตร / วนาท

ตวอยาง 27