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Integrais, duplos, Areas, volumes, Propriedades, Fubini, Aplicacões, Mudança de variáveis, Coordenadas, Polares, Polares generalizadas, Applets Se quiser a fonte em LaTeX ofereço com todo o gosto: [email protected]
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AM2
Revisoes R2
Integraisduplos
Definicao
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplicacoes
Mudanca devariaveis
Polares
Polares gener.
Applets
Integrais DuplosAnalise Matematica II – Calculo II
Sandra Gaspar Martins
2o Semestre 2013/14
Versao de 9 de Maio de 2014
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Revisoes R2
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Areas e volumes
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Revisoes de R2
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Rectas
y = mx + b m, b ∈ Rm decliveb ordenada na origem
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Parabolas
y = ax2 + bx + c a, b, c ∈ R
zeros: x =−b ±
√b2 − 4ac
2aa > 0 ∪a < 0 ∩
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Circunferencias
(x − a)2 + (y − b)2 = r 2 a, b, r ∈ R
(a, b) centror raio
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Elipses
(x − a
c
)2
+
(y − b
d
)2
= 1 a, b, c , d ∈ R c 6= 0 ∧ d 6= 0
(a, b) centroc , d semi-eixos
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Hiperboles
(x − a
c
)2
−(
y − b
d
)2
= 1 a, b, c , d ∈ R c 6= 0 ∧ d 6= 0
(a, b) centroc distancia ao centrodc abertura dos arcos
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x3
y = ax3 + bx2 + cx + d a, b, c , d ∈ R
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Modulo
y = |x |
|x | =
{x se x ≥ 0−x se x < 0
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Raiz
y =√
x
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1x
y =1
x
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Exponenciais
y = ax , a ∈ R+
a > 1 a < 1
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Logaritmos
y = loga(x), a ∈ R+
a > 1 a < 1
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Seno
y = sin(x)
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Coseno
y = cos(x)
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Tangente
y = tan(x)
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Arco-seno
y = arcsin(x)
D = [−1, 1] CD =[−π
2 ,π2
]
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Arco-coseno
y = arccos(x)
D = [−1, 1]CD = [0, π]
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Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplicacoes
Mudanca devariaveis
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Arco-tangente
y = arctan(x)
D = RCD =
[−π
2 ,π2
]
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Integrais Duplos
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Revisao de integrais simples
∫ b
af (t) dt = lim
n→+∞
n∑i=1
f (xi )∆xi
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Areas e volumes
Propriedades
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Aplicacoes
Mudanca devariaveis
Polares
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Integral duplo de Riemann
1
∫∫R
f (x , y) dx dy = limn,m→+∞
n∑i=1
m∑j=1
f (xi , yj)∆xi∆yj
1http://www.santarosa.edu/~gsturr/StewartAnimations/movies/
Sec15-1fig8.html 22/42
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Aplicacoes
Mudanca devariaveis
Polares
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Areas e volumes usando integraisduplos
Seja V ={
(x , y , z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ f (x , y), (x , y) ∈ D}
entao
volume de V =
∫∫D
f dA
Seja D uma regiao limitada de R2 entao
area de D =
∫∫D1 dA
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Propriedades
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Aplicacoes
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Propriedades
Sejam D1 e D2 duas regioes de R2: int(D1) ∩ int(D2) = ∅e D = D1 ∪ D2 entao∫∫
Df dA =
∫∫D1
f dA +
∫∫D2
f dA
Se f (x , y) ≤ g(x , y), ∀(x , y) ∈ D entao∫∫D
f dA ≤∫∫
Dg dA
Se f (x , y) ≥ 0, ∀(x , y) ∈ D entao∫∫
D f dA ≥ 0
Seja λ ∈ R entao∫∫D
f + λg dA =
∫∫D
f dA + λ
∫∫D
g dA
∣∣∣∣∫∫D
f dA
∣∣∣∣ ≤ ∫∫D|f | dA
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Teorema de Fubini: 2
Suponhamos que f uma funcao que admite descontinuidadesde 1a especie num conjunto de area nula em D.Se
D ={
(x , y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}
entao ∫∫D
f (x , y)dxdy =
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)f (x , y)dydx .
Se
D ={
(x , y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d , h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}
entao ∫∫D
f (x , y)dxdy =
∫ d
c
∫ h2(y)
h1(y)f (x , y)dxdy .
2http://www.santarosa.edu/~gsturr/StewartAnimations/movies/
Sec15.2.1-2.html25/42
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Aplicacoes
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Exercıcios
Indique∫∫
R f (x , y) dydx e∫∫
R f (x , y) dxdy onde
1
R ={
(x , y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x2}
2
R ={
(x , y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4}
3
R ={
(x , y) ∈ R2 : x ≤ 1, y ≤ 1, y ≥ −x + 1}
Calcule e interprete os resultados no caso def (x , y) = x + y , f (x , y) = x2 + 3y 2 e f (x , y) = 1.
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ExercıciosIndique
∫∫R f (x , y) dydx e
∫∫R f (x , y) dxdy sendo:
1
R ={
(x , y) ∈ R2 : y ≤ 2x , y ≤ x2}
2
R ={
(x , y) ∈ R2 : x ≤ √y , x ≥ y 2}
3
R ={
(x , y) ∈ R2 : y ≤ 2, y ≥ x + 1, y ≥ −x + 1}
4
R ={
(x , y) ∈ R2 : y ≥ ln(x), y ≤ 2, y ≥ 0, x ≥ 0}
5
R =
{(x , y) ∈ R2 : y ≥ 1
2x , y ≤
√x , x ≥ 2
}27/42
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Aplicacoes
Mudanca devariaveis
Polares
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ExercıciosIndique
∫∫R f (x , y) dydx e
∫∫R f (x , y) dxdy sendo:
1
R ={
(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4}
2
R ={
(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y ≤ 0}
3
R ={
(x , y) ∈ R2 : (x − 2)2 + (y + 3)2 ≤ 9, x ≤ 2}
4
R =
{(x , y) ∈ R2 : 1 ≤
(x + 5
4
)2
+ (y + 1)2 ≤ 4, x ≥ −5
}
(trabalhoso)
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Exercıcios
Inverta a ordem de integracao de:
1
∫ 1
0
∫ ex
1f (x , y)dydx
2
∫ 1
0
∫ −x+2
xf (x , y)dydx
3
∫ 0
−1
∫ x+1
x2−1f (x , y)dydx
4
∫ 1
0
∫ 1
y−2f (x , y)dxdy +
∫ 2
1
∫ −y+2
y−2f (x , y)dxdy
5 *
∫ 1
0
∫ 1
x2−2f (x , y)dydx
6 *
∫ 1
−1
∫ 1
−√
1−x2
f (x , y)dydx
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Aplicacoes
Sendo ρ(x , y) a funcao que indica a densidade em cada pontode uma placa com a forma da regiao R.
A massa de uma placa com a forma da regiao R e dadapor ∫∫
Rρ(x , y) dA
O centro de massa de uma regiao R e (x , y) onde
x =
∫∫R xρ(x , y) dA∫∫R ρ(x , y) dA
y =
∫∫R yρ(x , y) dA∫∫R ρ(x , y) dA
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Aplicacoes
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Polares
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Exercıcios
1 Calcule a massa e o centro de massa da regiao
D ={
(x , y) ∈ R2 : −2 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4}
sabendo que a funcao densidade e dada por
ρ(x , y) = 2x + 3y .
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Mudanca de variaveis
Para mudar das coordenadas (x , y) para (u, v), usando afuncao bijectiva ϕ : R2 −→ R2,
(x , y) = ϕ(u, v) = (ϕ1(u, v), ϕ2(u, v))
para a qual enquanto (x , y) percorre D, (u, v) percorre T , ouseja, T = ϕ−1(D).
Supondo que ϕ ∈(C 1 (T )
)2; o Jacobiano de ϕ: J 6= 0; e f e
integravel em D, entao a funcao f ◦ ϕ e integravel em T ,tendo-se∫∫
Df (x , y) dx dy =
∫∫T
f (ϕ1(u, v), ϕ2(u, v)). |detJ| du dv
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Coordenadas polares
Teorema (Coordenadas polares R2 −→ R2)
Tem-se a seguinte relacao entre coordenadas cartesianas (x , y)e polares (ρ, θ){
x = ρ cos(θ)y = ρ sin(θ)
, θ ∈ [0, 2π[, ρ ∈ R+
J = ρ{ρ =
√x2 + y 2
θ = arctan( yx
)
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Nota:
ρ e a distancia entre o ponto e o polo (a origem: (0,0)).
θ e o angulo entre duas semirretas: e o angulo que comeca nasemirreta que e a parte positiva do eixo dos xx e termina nasemirreta que une o ponto ao polo (no sentido anti-horario).
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Exercıcios IUsando coordenadas polares calcule:
1∫∫
R x2 + y 2 dxdy onde
R ={
(x , y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, y ≤ 0, x ≥ 0}
2∫∫
R x dxdy onde
R ={
(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 9, y ≤ 0, x ≤ 0}
3∫∫
R1
x2+y2 dxdy onde
R ={
(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 25, y ≤ x}
4∫∫
R 1dxdy onde
R ={
(x , y) ∈ R2 : 4 ≤ x2 + y 2 ≤ 16, y ≤ 0, x ≤ 0}
5∫∫
R x2 + y 2dxdy onde
R ={
(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4, y ≤ 0}
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Coordenadas polares generalizadas
Teorema (Coordenadas polares generalizadas R2 −→ R2)
Tem-se a seguinte relacao entre coordenadas cartesianas (x , y)e polares generalizadas (ρ, θ){ x−a
c = ρ cos(θ)y−bd = ρ sin(θ)
, θ ∈ [0, 2π[, ρ ∈ R+.
J = cdρ
ρ =
√(x−ac
)2+(y−bd
)2
θ = arctan(
(y−b)c(x−a)d
)
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Polares
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Nota:
ρ e a distancia entre o ponto e o polo (o ponto (a,b)).
θ e o angulo entre duas semirretas: e o angulo que comeca nasemirreta formada pelos pontos (x , b) para x ≥ a e termina nasemirreta que une o ponto ao polo (no sentido anti-horario).
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Polares
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Exercıcios I
Usando coordenadas polares (indique quais) indique o integralque lhe permitiria calcular:
1∫∫
R x + y dxdy onde
R ={
(x , y) ∈ R2 : (x − 1)2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 1}
2∫∫
R x dxdy onde
R ={
(x , y) ∈ R2 : x2 + (y + 2)2 ≤ 4, y ≤ −x − 2}
3∫∫
R x + 2y dxdy onde
R ={
(x , y) ∈ R2 : (x + 1)2 + (y − 2)2 ≤ 25, y ≥ x + 3}
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Polares
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Exercıcios II
4∫∫
R 1 dxdy onde
R =
{(x , y) ∈ R2 :
(x
3
)2+(y
2
)2≤ 1, x ≤ 0
}5∫∫
R x + y dxdy onde
R =
{(x , y) ∈ R2 : 1 ≤
(x
2
)2+(y
5
)2≤ 4, y ≤ 0
}6∫∫
R x + 2y dxdy onde
R =
{(x , y) ∈ R2 :
(x − 1
3
)2
+
(y − 3
4
)2
≤ 1, y ≤ 3
}
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Polares
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Exercıcios III7∫∫
R 5x + 2y dxdy onde
R =
{(x , y) ∈ R2 : 1 ≤
(x + 5
4
)2
+ (y + 1)2 ≤ 4, x ≥ −5
}8 *
∫∫R x + y dxdy onde
R ={
(x , y) ∈ R2 : y ≤ −x + 1, x ≥ 0, y ≥ 0}
9 *∫∫
R x dxdy onde
R ={
(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4, y ≥ 0, y ≤ x + 2}
10 *∫∫
R x + 2y dxdy onde
R ={
(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≥ 4, y ≤ −x2 + 4}
11∫∫
R x2 dxdy onde
R ={
(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4, y ≥ −x2}
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Confirme os seus resultados usando os applets:
http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/
doubint/double_integrals.html
(ao introduzir um integral duplo mostra a regiao de integracao)
http://www.wolframalpha.com/widgets/gallery/
?category=math
procure por ”double integral calculator”(calcula o valor de um integral duplo)
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Autora:Sandra Gaspar Martins
Com base no trabalho de:Nuno David Lopes
eCristina Januario
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