Γραμμική ΄Αλγεβρα

Ανάλυση μη-τετραγωνικών συστημάτων

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

27 Οκτωβρίου 2014

Ορισμοί

xγενικη: όλες οι λύσεις του Ax= bxoµoγενoυς: όλες οι λύσεις του Ax= 0

xειδικη: μια οποιαδήποτε λύση του Ax= bΕλεύθερες μεταβλητές: όλες οι συνιστώσες της λύσης που

δεν αντιστοιχούν σε στήλη με οδηγό.

Υπολογισμός Γενικευμένης Λύσης Ax= b

1. Απαλοιφή στο Ax= b (Ax= b⇒Ux= c)2. Μηδένισε τις ελεύθερες μεταβλητές και λύσε

(xειδικη)3. Θέσε b= 0 και διαδοχικά, σε κάθε ελεύθερημεταβλητή 1 θέτοντας ταυτόχρονα τις υπόλοιπες

μεταβλητές ίσες με 0 και βρες το σύνολο των

λύσεων του ομογενούς (xoµoγενoυς)

4. xγενικη = xειδικη+xoµoγενoυς

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

→ 1 0 0

0 1 01 1 1

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

x1x2x3x4x5

=0

00

⇒

Λύσεις ομογενούς

s1 =

−3

1000

, s2 =

−2

0−4

10

, s3 =

10301

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

→ 1 0 0

0 1 01 1 1

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

x1x2x3x4x5

=0

00

⇒

Λύσεις ομογενούς

s1 =

−3

1000

, s2 =

−2

0−4

10

, s3 =

10301

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

x=5

27

1 0 0

0 1 01 1 1

y1y2y3

=5

27

→y1

y2y3

=5

20

1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

x1x2x3x4x5

=5

20

xειδικη =

x1x2x3x4x5

=

50200

⇒

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

x=5

27

1 0 0

0 1 01 1 1

y1y2y3

=5

27

→y1

y2y3

=5

20

1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

x1x2x3x4x5

=5

20

xειδικη =

x1x2x3x4x5

=

50200

⇒

Λύσεις

xγενικη = xoµoγενoυς+xειδικη

xγενικη = c1

−3

1000

+c2

−2

0−4

10

+c3

10301

+

50200

, ∀c1,c2,c3 ∈R

Επίλυση ομογενούς m×n

Ax= 0⇒ LUx= 0⇒Ux= L−10⇒Ux= 0

1 3 3 20 0 3 10 0 0 0

uvwy

=0

00

x=

−3v−y

v−1

3yy

= v

−3

100

+y

−1

0−1

31

Επίλυση ομογενούς m×n

Ax= 0⇒ LUx= 0⇒Ux= L−10⇒Ux= 0

1 3 3 20 0 3 10 0 0 0

uvwy

=0

00

x=

−3v−y

v−1

3yy

= v

−3

100

+y

−1

0−1

31

Επίλυση ομογενούς m×n

Ax= 0⇒ LUx= 0⇒Ux= L−10⇒Ux= 0

1 3 3 20 0 3 10 0 0 0

uvwy

=0

00

x=

−3v−y

v−1

3yy

= v

−3

100

+y

−1

0−1

31

Επίλυση ομογενούς m×n

Ax= 0⇒ LUx= 0⇒Ux= L−10⇒Ux= 0

1 3 3 20 0 3 10 0 0 0

uvwy

=0

00

x=

−3v−y

v−1

3yy

= v

−3

100

+y

−1

0−1

31

Ερωτήματα

Ï Είναι τα διανύσματα του xγενικη όλα λύσεις του συστήματος;Ï Είναι τα διανύσματα του xγενικη όλες οι λύσεις τουσυστήματος;

Ï Υπάρχει και άλλος τρόπος αναπαράστασης του xγενικη;Ï Κάτω απο ποιές συνθήκες ένα σύστημα έχει λύση;

΄Υπαρξη λύσεων

Ï Αν ένα ομογενές σύστημα Ax= 0 έχει περισσότερουςαγνώστους απο εξισώσεις (n>m) τότε έχει μιατουλάχιστον μη-τεριμένη λύση.

Ï Το σύνολο των μη-τετριμένων λύσεων του ομογενούςσυστήματος Ax= 0 είναι ίσο με το σύνολο τωνμη-τετριμένων λύσεων του ομογενούς συστήματος

Ux= 0 όπου U ο άνω κλιμακωτός πίνακας που προκύπτειαπο τον A με απαλοιφή.

΄Υπαρξη λύσεων

Ï Αν ένα ομογενές σύστημα Ax= 0 έχει περισσότερουςαγνώστους απο εξισώσεις (n>m) τότε έχει μιατουλάχιστον μη-τεριμένη λύση.

Ï Το σύνολο των μη-τετριμένων λύσεων του ομογενούςσυστήματος Ax= 0 είναι ίσο με το σύνολο τωνμη-τετριμένων λύσεων του ομογενούς συστήματος

Ux= 0 όπου U ο άνω κλιμακωτός πίνακας που προκύπτειαπο τον A με απαλοιφή.

΄Υπαρξη λύσεων

΄Εστω ότι η απαλοιφή μετατρέπει το σύστημα Ax= b στο σύστημαUx= c. ΄Εστω επίσης ότι υπάρχουν r (μη-μηδενικοί) οδηγοί τότε

Ï r=min{m,n}.

Ï Οι τελευταίες m− r γραμμές του U είναι μηδενικές.Ï Υπάρχει λύση μόνον αν οι τελευταίες m− r συνίστώσες του cείναι και αυτές μηδενικές.

Ï Αν r=m υπάρχει πάντα λύσηÏ Αν r= n το ομογενές σύστημα έχει μόνον την τετριμένη λύση