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© 株式会社エレファンキューブ
2015/09/08 三浦学
関数 - その2-数学 04
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目次
1. 座標
2. 三平方の定理
3. 関数
4. 微分・積分
5. ベクトル
6. 行列
7. 論理
2
座標、対象移動、平行移動、回転移動
定理の基本、座標系への応用
関数、逆関数、三角関数、(指数・対数)
微積分の基礎、物理演算
ベクトルの基礎、座標計算、内積
2×2行列、逆行列、回転、(クォータニオン)
逆・裏・対偶
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3.6.1 三角関数とは
• 幾何的には直角三角形を用いて次のように定義される(三角比)
sin 𝜃 =𝑏
𝑎
cos 𝜃 =𝑐
𝑎
tan 𝜃 =𝑏
𝑐
3
θ
ab
c
直角三角形はθが鋭角(90°未満)しか定義されないが、
三角関数ではこれを一般角に範囲を広げて次ページ以降のように定義される。
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3.6.2 単位円
• 単位円とはxy平面上の原点を中心とし、半径が1の円のこと
4
x
y第1象限第2象限
第4象限第3象限
1
1
-1
-1
O
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3.6.3 単位円周上の点を三角関数で表す
• 三角関数と単位円周上の任意*1の点の関係
5
*1 「任意」とは「どれか(some)」という意味ではなく、「どれでも(any)」という意味
つまり特定の値を指すのではなく、どの値でも成り立つことを指す
x
y
θ 1
1
-1
-1
r=1(x0,y0)
sin 𝜃 = ?
cos 𝜃 = ?
tan 𝜃 = ?
Q1.任意のθに対する三角関数の値を表してみよう
Q2.それぞれの取りうる値の範囲を求めてみよう
O
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3.6.4 三角関数は単振動
• θをうごかした時の三角関数の変化イメージを確認しよう!
→コンテンツで確認
6
x
y
θ 1
1
-1
-1
O
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3.6.5 弧度法(ラジアン)
• 角度はプログラム上のいくつかのメソッドでは、
度(° degree)ではなくラジアン(radian)が用いられる
7
x
y
θ 1
1
-1
-1
ラジアンは単位円の円周の長さに
角度を置き換えたもの
90° → 𝜋
2、180° → 𝜋 、270° →
3𝜋
2、360° → 2𝜋
O
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3.6.6 三角関数の公式は覚えなくていい
• 三角関数はたくさんの公式があるが、覚える必要はありません
どうしても知りたければこちらをどうぞ(出展:ウィキペディア)https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7
ただし、下記は覚えて(理解して)おいたほうが良い
8
sin2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1
tan 𝜃 =sin 𝜃
cos 𝜃
これらの式の意味は、sin, cos, tan のうちどれ
か1つでも値が分かれば、他の2つの値が分か
るということ
証明してみよう
定義:説明してみよう
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蛇足: 定義と定理
• 定義とは「決めたこと」
例:長方形の面積は縦×横、円周の長さは円周率×直径(2𝜋𝑟)
• 定理とは「証明されたこと」
例:三角形の面積は底辺×高さ÷2、円の面積は円周率×円周率×半径(𝜋𝑟2)
9
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3.6.7 逆三角関数
• 逆関数は前回資料参照
• 逆三角関数は以下のようなものがある
10
arcsin 𝑥
arccos 𝑥
arctan 𝑥
(かっこ内)はas3.0の対応メソッド
←sinの逆関数
←cosの逆関数
←tanの逆関数
(Math.asin(x))
(Math.acos(x))
(Math.atan(x))
入力できる値の範囲には注意!!
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3.6.8 三角関数の図形への応用(その1)
• 余弦定理
11
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2bc cos 𝛼 ・・・①
𝑏2 = 𝑐2 + 𝑎2 − 2ca cos 𝛽 ・・・②
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2ab cos 𝛾 ・・・③
cos 𝛼 =𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2
2𝑏𝑐
例えば①をcosについて解くと
3辺の長さが分かっている三角形の角度を求められる
ただし、逆関数(arccos)使うよ
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3.6.9 三角関数の図形への応用(その2)
• 三角形の面積S
12
S =1
2ab sin 𝛾 ・・・①
S =1
2bc sin 𝛼 ・・・②
S =1
2ca sin 𝛽 ・・・③