Upload
maija-liepa
View
1.881
Download
9
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Citation preview
Augstāku kārtu atvasinājumi un diferenciāļi
y’ = f’(x) – pirmās kārtas atvasinājumsy’’ = (y’)’ = (f’(x))’ = f’’(x)y’’’ = (y’’)’ = (f’’(x))’ = f’’’(x)y(n) = (y(n – 1))’ = (f(n – 1)(x)); = f(n)(x)
Otrās kārtas atvasinājumu apzīmē y’’, f’’(x) vai
2
2
dx
yd
Otrās kārtas atvasinājums mehāniskā interpretācija
X = x(t) – materiāla punkta taisnvirziena kustības likums
Funkcijas x(t) atvasinājums x’(t) = v(t) – punkta momentānais ātrums, laika funkcija
v = v(t + t) – v(t) – momentānā ātruma pieaugums laika intervālā t
materiālā punkta vidējaispaātrinājums intervālā t
vidat
y
Otrās kārtas atvasinājums mehāniskā interpretācija
Materiāla punkta paātrinājums a laika momentā t ir vidējā paātrinājums robeža, kad t 0
Tā kā v = xt’, tad a = vt’ = (xt’)t’ = xtt’’
Ja x = x(t) ir materiāla punkta taisnvirziena kustības likums, tad punkta momentānais ātrums ir funkcijas x(t) otrās kārtas atvasinājums
'limlim00
tt
vidt
vt
vaa
FUNKCIJU PĒTĪŠANA
1. Noteikt funkcijas definīcijas apgabalu, pārtraukuma punktus un nepārtrauktības intervālus.
2. Noteikt funkcijas paritāti, un vai funkcija ir periodiska.
3. Noteikt grafika krustpunktus ar koordinātu asīm un intervālus, kuros funkcija ir pozitīva, kuros ir negatīva.
4. Noteikt funkcijas monotonitātes intervālus un ekstrēmus.
5. Noteikt funkcijas grafika izliekuma un ieliekuma intervālus, kā arī pārliekuma punktu koordinātas.
6. Atrast funkcijas grafika asimptotas.
12
3
x
xy
Pārtraukuma punkti: x = 1
Definīcijas apgabals: x (-; -1) (-1; 1) (1; +)
Dotā funkcija ir nepāra.
xfx
x
x
x
x
xxf
111 2
3
2
3
2
3
Grafiks simetrisks pret koordinātu sākumpunktu
Funkcijas grafika krustpunkts ar Ox asi (0; 0).Funkcijas grafika krustpunkts ar Oy asi (0; 0).
x (-; -1) (-1; 0) (0; 1) (1; +)y - + - +
Negatīvas vērtības
Pozitīvas vērtības
Negatīvas vērtības
Pozitīvas vērtības
12
3
x
xy
22
22
22
24
22
424
22
322
22
2323
1
3
1
3
1
233
1
213
1
'11''
x
xx
x
xx
x
xxx
x
xxxx
x
xxxxy
130
01030
0103222
2222
xxx
xxx
xxx
x 0 (0; 1) 1 (1; 3) 3 (3; +)
y’ 0 - Neeksistē - 0 +y max
0↘ Pārtraukta ↘ min ↗
x (-; -3) -3 (-3; -1) -1 (-1; 0)y’ - 0 + Neeksistē +y ↘ min ↗ Pārtraukta ↗
2
33
2
33
12
3
x
xy 22
24
1
3'
x
xxy
42
24232
42
2224223
42
22242224
1
2231641
1
'123164
1
'131'3'
x
xxxxxxx
x
xxxxxxx
x
xxxxxxy
12
3
x
xy 22
24
1
3'
x
xxy
32
2
32
3
32
35335
32
2423
42
24232
1
32
1
62
1
1246644
1
43164
1
431641
x
xx
x
xx
x
xxxxxx
x
xxxxxx
x
xxxxxxx
12
3
x
xy 22
24
1
3'
x
xxy
32
2
1
32''
x
xxy
130
01030
0103
2
222
3222
xxx
xxx
xxx
x (-; -1) -1 (-1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; +)
y - + 0 - + Pārtrau
kuma punkts
Pārliekuma
punkts
Pārtraukuma
punkts
Funkcijas vertikālās asimptotas ir x = -1 un x = 1.Slīpā asimptota y = kx + b
11
1
1
11
233
3
3
3
3
3
2
32
3
limlimlim
limlimlim
xxx
xxxx
xx
x
xx
x
xxx
x
xfk
xxx
xxx
Slīpā asimptota y = kx + bk = 1 b = 0Slīpā asimptota y = x
01111
1
22
2
2
22
3
2
3
2
3
limlimlim
limlim
xxxxx
x
x
x
xx
x
x
xx
xkxxfb
xxx
xx
TEILORA FORMULA
Dots polinoms:
nnn xxAxxAxxAAxP 02
02010 ...
nnn xaxaxaaxP ...2
210
Ja x = x0, tad Pn(x0) = A0
10
203021 ...32' n
nn xxnAxxAxxAAxP
Ja x = x0, tad Pn’(x0) = A1
Dots polinoms: nnn xaxaxaaxP ...2
210
20032 1...3221'' n
nn xxnAnxxAAxP
Ja x = x0, tad Pn’’(x0) = 1 2∙ A2
Ja x = x0, tad Pn’’’(x0) = 1 2 3∙ ∙ A3
Ja x = x0, tad Pn(n)(x0) = 1 2 3 … n∙ ∙ ∙ ∙ An=n!
∙An !0
n
xPA
nn
n
Teilora formula n-tās pakāpes polinomam Pn(x) pēc binoma x – x0 pakāpēm
Dots polinoms: nnn xaxaxaaxP ...2
210
nn
n
nnnn
xxn
xP
xxxP
xxxP
xPxP
00
20
00
00
!
...!2
''
!1
'
Teilora koeficienti
Teilora formula polinomam P3(x) = 5 + 3x - 2x2 + x3 pēc binoma x - 2
62'''6'''
92''64''
72'343'
112235
33
33
32
3
332
3
PxP
PxxP
PxxxP
PxxxxP
3232 2!3
62
!2
82
!1
711235 xxxxxx
3232 2242711235 xxxxxx
Teilora formula funkcijai
xRxxn
xf
xxxf
xxxf
xfxf
nn
n
00
20
00
00
!
...!2
''
!1
'
Atlikuma loceklis jeb n-tais atlikums
00 , xxxxoxPxf nn
0...' 000 xRxRxR nnnn
Ja x0 = 0, tad Teilora formulu sauc par Maklorena formulu
xRxn
f
xf
xf
fxf
nn
n
!
0
...!2
0''
!1
0'0 2
xcxn
cfxR n
n
n
0,!1
11
Atlikuma loceklisLagranža formā
Teilora formula svarīgākajām elementārajām funkcijām
xxf
xxf
xxf
xxf
exf x
1
1ln
cos
sin
Uzrakstīt Teilora formulu un aprēķināt ar precizitāti 0,001