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Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo
geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito.
Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes
topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el punto o vértice es el
semejante topológico del poliedro en cero dimensiones, una arista o segmento lo
es en 1 dimensión, el polígono para 2 dimensiones; y el polícoro el de cuatro
dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos, por lo que
podemos definir un poliedro como un polítopo tridimensional.
Propiedades
Regularidad
Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y
de aristas. Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son
iguales. Todos sus vértices son convexos a los del icosaedro
Simetría
Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio (centro de
simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas.
Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría
que pasan por el centro de simetría anterior.
Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de
simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.
Características
Los Poliedros tienen todas sus caras planas. Los Prismas y las Pirámides son
poliedros, por ejemplo. En los prismas las caras laterales (de los costados) son
"paralelogramos" y las bases son "polígonos" paralelos (nunca se tocan, se
enfrentan) y congruentes; en las pirámides hay una sola base y un vértice en el
que concurren todas sus caras menos una, o sea, la base. Los poliedros y los
redondos (cilindros, conos, esferas) entran en la clasificación de los cuerpos
geométricos. En la primaria es muy común que en materias como artísticas y
matemática nos hagan representar pirámides, en sí cuerpos geométricos. Es
divertido hacerlos con cartón, cuando era chica me encantaba decorar mi cuarto
con poliedros como: cubos, tetraedros, octaedros, dodecaedros e icosaedros.
En geometría, un prisma es un sólido determinado por dos polígonos paralelos
y congruentes que se denominan bases y por tantos paralelogramos como
lados tengan las bases, denominados caras;
En óptica, un prisma es un medio transparente limitado por caras planas no
paralelas con el que se producen reflexiones, refracciones y descomposiciones
de la luz;
Propiedades
1. Son tridimensionales.
2. Son sólidos (largo, ancho y alto). Son figuras sólidas.
3. Los prismas tienen vértices, aristas, caras y bases.
4. El prisma es un sólido que también es un poliedro. Forma parte de la familia
de los poliedros. El prisma es un sólido pero por formarse por polígonos se
llaman también poliedros. Tienen vértices y aristas. Todas sus aristas son
rectas. Sus bases están delimitadas por líneas rectas. Además es un
poliedro porque no tiene caras curvas.
5. Están formados por dos polígonos limitados por caras laterales.
Las bases se unen por medio de caras laterales que son paralelogramos.
Las bases se unen entre sí por aristas iguales.
6. Las caras bases son polígonos iguales y paralelos entre sí. Incluye
regulares, irregulares, con entrantes o no. Existen prismas triangulares,
cuadrangulares.
Características
1. Caras laterales, largas o cortas. Sus caras laterales son paralelogramos.
Las caras laterales son paralelogramos. Sus caras laterales unidas a las
bases por aristas pueden ser rectángulos, rombos, paralelogramos o
cuadrados. Sus caras laterales pueden ser cuadradas, rectangulares,
romboides, rombo, según sean Las caras laterales unen a las bases.
2. Los prismas pueden ser rectos y oblicuos.
3. Las caras laterales de los prismas rectos tienen el mismo tamaño.
Sus caras pueden ser perpendiculares o diagonales con respecto a la base.
Las caras laterales son perpendiculares con las bases sólo en los prismas
rectos. En los prismas oblicuos, no.
4. Si las bases son polígonos regulares los rectángulos serán iguales; si sus
bases son polígonos irregulares, las caras laterales serán de diferente
tamaño.
Un cilindro es una superficie de las denominadas cuádricas formada por el
desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curva
plana, que puede ser cerrada o abierta, denominada directriz del cilindro.
Si la directriz es un círculo y la generatriz es perpendicular a él, entonces la
superficie obtenida, llamada cilindro circular recto, será de revolución y tendrá por
lo tanto todos sus puntos situados a una distancia fija de una línea recta, el eje del
cilindro. El sólido encerrado por esta superficie y por dos planos perpendiculares al
eje también es llamado cilindro. Este sólido es utilizado como una superficie
Gausiana.
Propiedades
En el uso común se toma un cilindro en el sentido de una sección finita de
un cilindro circular recto, es decir, el cilindro con las líneas generatrices
perpendiculares a las bases, con sus extremos cerrados para formar dos
superficies circulares, como en la figura. Si el cilindro tiene un radio r y la
longitud h, a continuación, su volumen está determinado por
V = pr2h
Características
El cilindro consta de dos bases circulares y una superficie lateral que, al
desarrollarse, da lugar a un rectángulo. La distancia entre las bases es la altura
del cilindro. Las rectas contenidas en la superficie lateral, perpendiculares a las
bases, se llaman generatrices
Una superficie esférica es una superficie de revolución o el conjunto de los
puntos del espacio cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro. Los
puntos cuya distancia es menor que la longitud del radio forman el interior de la
superficie esférica. La unión del interior y la superficie esférica se llama bola
cerrada.
Propiedades
Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.
Radio: Distancia del centro a un punto de la esfera.
Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie.
Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.
Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la
superficie esférica.
Características
Paralelos: Circunferencias obtenidas al cortar la superficie
esférica con planos perpendiculares al eje de revolución.
Ecuador: Circunferencia obtenida al cortar la superficie esférica
con el plano perpendicular al eje de revolución que contiene al
centro de la esfera.
Meridiano: Circunferencias obtenidas al cortar la superficie
esférica con planos que contienen el eje de revolución.
Es un polígono determinado por tres segmentos que se cortan dos a dos en
tres puntos (que no se encuentran alineados, es decir: no colineales). Los puntos
de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta
determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los
ángulos interiores del triángulo.
Propiedades
Un triángulo puede ser definido como un polígono de tres lados, o como un
polígono con tres vértices.
El triángulo es el polígono más simple y el único que no tiene diagonal. Tres
puntos no alineados definen siempre un triángulo (tanto en el plano como en el
espacio).
Si se agrega un cuarto punto coplanar y no alineado, se obtiene
un cuadrilátero que puede ser dividido en triángulos como el de la figura de la
izquierda. En cambio, si el cuarto punto agregado es no coplanar y no alineado, se
obtiene un tetraedro que es el poliedro más simple y está conformado por 4 caras
triangulares.
Todo polígono puede ser dividido en un número finito de triángulos, esto se logra
por triangulación. El número mínimo de triángulos necesarios para ésta división es
, donde n es el número de lados del polígono. El estudio de los triángulos es
fundamental para el estudio de otros polígonos, por ejemplo para la demostración
del Teorema de Pick.
En geometría euclidiana2 la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es
siempre 180°, lo que equivale a π radianes:
Características
La suma de las longitudes de dos de los lados de un triángulo es siempre
mayor que la longitud del tercer lado.
El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios
de dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.
Los triángulos (polígonos de tres lados) son los únicos polígonos
siempre convexos, no pueden ser cóncavos, dado que ninguno de sus tres
ángulos puede superar los 180 grados ó radianes.
Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los
lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden
tener distintas formas, pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales, y la
suma de sus ángulos internos siempre da como resultado 360°.
Todos los cuadriláteros son cuadrángulos, ya que esta definición se aplica a
los polígonos de cuatro ángulos.
Propiedades y Caracteristicas
1. Los “LADOS OPUESTOS” son iguales y que no tienen ningún vértice en
común.
2. Los “LADOS CONSECUTIVOS” son los que tienen un vértice en común.
3. Los “VÉRTICES Y ÁNGULOS OPUESTOS” son los que no pertenecen a un
mismo lado, siendo los ángulos iguales.
4. La “SUMA DE ÁNGULOS INTERIORES” es igual a cuatro rectos (360°).
5. Los “ÁNGULOS ADYACENTES” a un mismo lado son suplementarios, es
decir, suman 180°.
6. Las “DIAGONALES” se cortan en su punto medio.
7. El “NÚMERO TOTAL DE DIAGONALES” que pueden trazarse siempre son
dos y que se cortan en un punto interior.
8. Desde un Vértice solo puede trazarse una “DIAGONAL”.
Un paralelogramo es un tipo especial de cuadrilátero (un polígono formado
por cuatro lados) cuyos lados son paralelos dos a dos.
Propiedades
El conjunto de los paralelogramos reúne en sí a varios subconjuntos de figuras
geométricas, todas ellas con lados opuestos iguales y paralelos, por ejemplo
los romboides, los rombos, los cuadrados y los rectángulos son todos
subconjuntos pertenecientes al conjunto de los paralelogramos. El hecho de que
varias figuras con algunas características distintas sean parte de los
paralelogramos hace un poco más complejo el mencionar sus propiedades, puesto
que existen propiedades que son comunes a toda la familia de paralelogramos,
por ejemplo «lados opuestos iguales y paralelos», pero otras propiedades como
ser «ejes de simetría de reflexión» pueden ser diferentes para cada subfamilia de
paralelogramos.
Por el motivo anterior se mencionarán en primer término, las propiedades
comunes a todos los paralelogramos (de cualquier subclase), luego algunas de
las propiedades particulares que diferencian a las distintas clases o figuras de la
familia, y finalmente algunas propiedades métricas.
Características
Todo paralelogramo tiene cuatro vértices y cuatro lados (es un subconjunto de
los cuadriláteros).
Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos (por definición), por lo
cual nunca se intersecan.
Los lados opuestos de un paralelogramo son de igual longitud, (congruentes).
Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales en medida.
Los ángulos de dos vértices contiguos cualesquiera son suplementarios
(suman 180 °).
La suma de los ángulos interiores de todo paralelogramo es siempre igual a
360 °.
El área de un paralelogramo es el doble del área de un triángulo creado por
cualquiera de sus diagonales.
El área de un paralelogramo es igual a la magnitud del producto vectorial1 de
dos lados contiguos.
Todos los paralelogramos son convexos.2
Cualquier recta secante coplanar corta a los paralelogramos en dos y solo dos
de sus lados.
Las diagonales de un paralelogramo de un bisecan entre sí.
En geometría plana, un rectángulo es un paralelogramo cuyos
cuatro lados forman ángulos rectos entre sí.
Los lados opuestos tienen la misma longitud. El perímetro de un rectángulo es
igual a la suma de todos sus lados.
Propiedades
Sus lados paralelos son iguales
Sus dos diagonales son iguales, y se cortan en partes iguales (esta
característica también lo define)
Se puede pavimentar el plano, repitiendo infinitos rectángulos.
Características
es un paralelogramo
sus lados son iguales dos a dos
sus cuatro ángulos son iguales (90)
sus diagonales son iguales y no son perpendiculares
tiene dos ejes de simetría.
El rombo es un cuadrilátero paralelogramo cuyos cuatro lados son de igual
longitud.
Los ángulos interiores opuestos son iguales.
Sus diagonales son perpendiculares entre si y cada una divide a la otra en partes
iguales (esta característica por sí sola también define al rombo).
Un rombo con un ángulo interno de 45° suele llamarse losange.
Propiedades
El rombo definido por los vértices A, B, C y D, cumple las siguientes propiedades:
Sus cuatro lados: l, son iguales
Sus dos diagonales son de distinta longitud:
Siendo:
Las diagonales son bisectrices de los ángulos internos.
Las diagonales son ejes de simetría.
El punto de intersección O de las diagonales es el incentro del
rombo.
Las diagonales del rombo son perpendiculares entre sí, y
satisfacen la relación:
Las dos alturas: h, de un rombo tienen la misma longitud que
el diámetro: d, de su circunferencia inscrita:
En geometría, un cuadrado es un paralelogramo que tiene sus lados iguales y
además sus cuatro ángulos son iguales y rectos, tiene 4 ejes de simetría, 4
vértices y 4 aristas.
Propiedades
Es el polígono que tiene sus lados opuestos paralelos y, por tanto, es
un paralelogramo. Dado que sus cuatro ángulos internos son rectos, es también
un caso especial de rectángulo, es un rectángulo equilátero. De modo similar, al
tener los cuatro lados iguales, es un caso especial de rombo, es un rombo
equiángulo. Cada ángulo interno de un cuadrado mide 90 grados ó radianes,
y la suma de todos ellos es 360° ó radianes. Cada ángulo externo del
cuadrado mide 270° ó radianes.
Entre los rectángulos que tienen el mismo perímetro, el cuadrado es el que tiene
mayor área.
Un cuadrado es un rombo que tiene por lo menos un ángulo recto.
Características
Un cuadrado un polígono regular de cuatro lados. Esto es, es una figura poligonal
de cuatro lados iguales en la que los cuatro ángulos internos también son iguales.
Al ser regular, los cuatro ángulos internos son iguales a 360º/4 = 90º, es decir, sus
cuatro ángulos internos son rectos
Un cuadrado tiene sus lados opuestos paralelos y por tanto es un paralelogramo.
Dado que sus cuatro ángulos son rectos, es también un ejemplo de rectángulo
(aunque no todo rectángulo es un cuadrado). De modo similar, al tener los cuatro
lados iguales, es un tipo de rombo (aunque no todo rombo es cuadrado).
Un círculo, en geometría euclídea, es el lugar geométrico de
los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es
menor o igual que una cantidad constante, llamada radio. En otras
palabras, es la región del plano delimitada por una circunferencia y que posee
un área definida.1 -
En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, y se utiliza
indistintamente círculo por circunferencia, que es la curva geométrica plana,
cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud (es
decir, el perímetro del círculo).2 "Aunque ambos conceptos están relacionados, no
debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie).
Propiedades
El círculo comparte con la circunferencia sus elementos principales:
Centro: Punto equidistante a la circunferencia.
Radio: es un segmento que une el centro con un punto de la circunferencia
perimetral.
Diámetro: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el
centro. El diámetro divide al círculo en dos partes iguales.
Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por su
centro. Una cuerda define un arco.
Recta Secante: es la recta que corta al círculo en dos partes.
Recta tangente: es la recta que toca al círculo en un solo punto; es perpendicular
al radio cuyo extremo es el punto de tangencia.
Características
Perímetro del Círculo
El perímetro de un círculo es una circunferencia y su ecuación es:
(en función del radio).
o
(en función del diámetro).
donde es el perímetro, es la constante matemática pi (
), es
el radio y es el diámetro del círculo.
Área del círculo
Existen numerosas fórmulas para calcular el área de un círculo. Un círculo
de radio , tendrá un área:
; En función del radio (r).
O
; En función del diámetro (d), pues
o
; En función de la longitud de la circunferencia máxima (C),
pues la longitud de dicha circunferencia es:
