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Problem Solve & Research by 응용수학전공
P.S.R. 연구 과제 발표( 부제 : 피보나치 수열과 성망형 곡선 )
P.S.R. 연구 과제 발표( 부제 : 피보나치 수열과 성망형 곡선 )
응용수학전공발표 김경훈제작 김지만
Problem Solve & Research by 응용수학전공
목 차
피보나치 수열의 일반항Ⅰ
성망형 (astroid) 곡선의 일반식 Ⅱ
Problem Solve & Research by 응용수학전공
피보나치 수열의 일반항Ⅰ
ⅱ 수열 & 생성함수의 소개
ⅲ 생성함수를 이용한 일반항의 유도
ⅳ 결 론
ⅰ 피보나치 수열의 소개
Problem Solve & Research by 응용수학전공
피보나치 수열의 소개
( 질문 ) 어떤 토끼 한 쌍이 있다 .암컷 토끼는 2 개월에 암수 한 쌍을 낳는다 .10 년 후 몇 마리의 토끼가 될까 ?
피보나치 수열의 정의황금비율
Problem Solve & Research by 응용수학전공
수열 & 생성함수의 소개
20 1 2( ) ... ...n
nf x a a x a x a x
0 1 2, , ,..a a a임의의 수열 에대하여
0
kk
k
a x
`
``
`1, 1, 1, 1, 1, …… 20 1 2( ) ... ...n
nf x a a x a x a x 1 1 1 1
11
1x
x
일반항 1na
수열의 세계 생성함수의 세계
수열의 세계 생성함수의 세계
`자연수 전체를 N 이라고 할 때 .N 을 정의역 으로 하는 실수 값( 또는 복소수 값 ) 함수
( ) : ( )f x orN R C
Problem Solve & Research by 응용수학전공
우리는 피보나치 수열의 항들간의 관계식을 알고 있다 !
생성함수를 이용한 일반항의 유도 (1)
수열의 세계 생성함수의 세계
``
``0, 1, 1, 2, 3, 5,… 2 3 40 1 2 3 4( ) ...f x F F x F x F x F x
?일반항` ?na
0 1 1 2 3
2 1 0 1( 0, 1, 2)n n nF F F F F n
2 3 20 1 2 3 2( ) ... ...n n
n nf x F F x F x F x F x
2 3 20 1 4 3( ) ... ...n n
n nx f x F x F x F x F x
2 2 3 20 5 4( ) ... ...n n
n nx f x F x F x F x
+-
21( 1) ( )x x f x F x x
2( )
1
xf x
x x
2 1 0n n nF F F
Problem Solve & Research by 응용수학전공
생성함수를 이용한 일반항의 유도 (2)
2( )
1
xf x
x x
가 부분분수로 나누어 진다고 가정하자 .
2( ) ( , , ,
1 1 1
x A Bf x A B a b
x x ax bx
)
2
(1 ) (1 ) ( ) ( )
(1 )(1 ) 1 ( )
A ax B bx A B aB bA x
ax bx a b x abx
2
( ) ( )
( ) 1
B A bA aB x
abx a b x
빨간 박스 안의 두식이 같아야 하므로 두식의 계수를
비교해서 상수 A, B, a, b 의 관계식을 구해준다 .
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생성함수를 이용한 일반항의 유도 (3)
0
1
B Ai
Ab aB
1
1
a bii
ab
1A B
a b
두 근 를 가진 이차방정식 , 을 이용하면 된다 !!2 ( ) 0x x
2 1 0x x 1 5
2x
1 5 1 5&
2 2a b
1
5A B
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생성함수를 이용한 일반항의 유도 (4)
1 1 1( )
1 15f x
ax bx
2 2 3 311 .... ( 1)
1ax a x a x ax
ax
2 2 3 3 2 2 3 31( ) 1 ... (1 ...)
5f x ax a x a x bx b x b x
2 2 2 3 3 311 1 ( ) ( ) ( ) ...
5a b x a b x a b x
2 2 3 32 3( ) ( ) ( )
0 ...5 5 5
a b a b a bx x x
0F 1F 2F 3F
1 1 5 1 5( 0)
2 25
n n
nF n
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결 론
1 1 5 1 5( 0)
2 25
n n
nF n
피보나치 수열 =< 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,…>
2 1 0 1( 0, 1, 2)n n nF F F F F n
생성함수
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ⅰ 성망형 (astroid) 곡선의 소개
ⅱ 문제 소개 및 그래프의 유추
ⅲ 그래프의 일반식 유도
ⅳ 문제의 해결
ⅴ 결 론
성망형 (astroid) 곡선의 일반식 Ⅱ
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문제 소개 및 그래프의 유추 (1)
벽에 수직으로 서있는 길이가 a 인 막대가 있다 .막대의 한 끝은 벽에 , 한 끝은 지면에 닿은 상태이
다 .처음 막대가 벽에 붙어 있다가 미끄러지면서 지면에누울 때까지 막대가 지나온 부분의 넓이를 구하여
라 .
미끄러지는 막대는 어떠한 그래프를 그릴 것이다 ?!Ⅱ
일정한 길이의 막대가 넘어지므로 대칭성이 있다 ?!Ⅰ
직관적 유추
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일정한 길이의 막대가 넘어지므로 대칭성이 있다 ?!Ⅰ
문제 소개 및 그래프의 유추 (2)
y x
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미끄러지는 막대는 어떠한 그래프를 그릴 것이다 ?!Ⅱ
따라서 우리는 대칭성을 띈 다른 곡선임을 예측 할 수 가 있다 .
문제 소개 및 그래프의 유추 (3)
0.8 a
a
원 ?!포물선 ?!
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그래프 일반식의 유도 (1)
x
y
a
( ,0)k
2 2( ,0)a k(k,o) 을 지나는 직선
2 2
( )a k
y x kk
그리고 우변의 항을 모두
좌변으로 이항 시키면
2 2
( , , ) ( ) 0a k
f x y k y x kk
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그래프 일반식의 유도 (2)
3 변수 함수에서는 x 와 y, 그리고 k 의 관계를 알수 없으므로2 3
2 2 2
( , , )0
f x y k a x k
k k a k
3
2
kxa
따라서 우리는 두 개의 식을 얻게 된다 .
2 2
2 3
2 2 2
( , , ) ( ) 0
( , , )0
a kf x y k y x k
k
f x y k a x k
k k a k
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그래프 일반식의 유도 (3)
3
2
32 2 2
2
( )
kxa
a ky
a
2 2 2
3 3 3x y a
2 2
( , , ) ( ) 0a k
f x y k y x kk
3
2
k
a
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성망형 (astroid) 곡선 보충 설명
이 곡선은 반지름이 a 인 원 위에다시 반지름이 a/4 인 원을 올려
놓고 큰 원의 둘레를 따라
작은 원을 굴렸을 때 나타나는
자취를 나타낸 곡선
성망형 (astroid) 곡선
일반식 : 2 2 2
3 3 3x y a
``
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문제의 해결 (1)
따라서 적분을 위해 직교방정식을 극방정식으로 바꿔준다 .3 3cos & sinx a y a
1 0 3 2
02
sin 3 cos ( sin )S y dx a a d 2 4 22
03 sin cosa d
23
32
a
23
32
aS
23
8
a 성망형 (astroid)전체의 넓이
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결 론
길이가 a 인 막대가 쓰러지는 자취의 넓이
그 래 프 의 유 추 및 일 반 식 유 도
2 2 2
3 3 3x y a
성망형 (astroid) 그래프의 일반식
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