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Universidad Nacional de IngenierıaFacultad de Ingenierıa de Petroleo, Gas Natural

y PetroquımicaCiclo 2015-II

Practica Calificada №1 de Calculo I(PM-111)

Profesor : Alvaro Naupay Gusukuma.Fecha : 15 de Septiembre de 2015

1. Demostrar que x, y ∈ R se cumple que (4 ptos.)∣∣|x| − |y|∣∣ ≤ |x− y|

SOLUCION :

Recordemos la desigualdad triangular

|a + b| ≤ |a|+ |b| (D.T.)

Luego, haciendo a = y y b = x− y en (D.T.) tenemos

|x + (x− y)| ≤ |y|+ |x− y||x| ≤ |y|+ |x− y|

con lo que tenemos

|x| − |y| ≤ |x− y| (∗)

Por otra parte, haciendo a = x y b = y − x en (D.T.) tenemos

|x + (y − x)| ≤ |x|+ |y − x||y| ≤ |x|+ |y − x|

Pero observemos que |y − x| = | − (y − x)| = |x− y|, de lo cual tendriamos

|y| ≤ |x|+ |x− y|−|x− y| ≤ |x| − |y| (∗∗)

Finalmente de (∗) y (∗∗) tenemos que

−|x− y| ≤ |x|+ |y| ≤ |x− y|

es decir ∣∣|x| − |y|∣∣ ≤ |x− y|

�

2. Demostrar por induccion que

(1 + x)n ≥ 1 + nx +

[n(n− 1)

2

]x2

si x ≥ 0. (4 ptos.)

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SOLUCION :

La idea es usar la la desigualdad de Bernoulli

i) Para n = 1 se cumple.

ii) Suponemos que se cumple para n = k ∈ N

(1 + x)k ≥ 1 + kx +

[k(k − 1)

2

]x2

iii) Por demostrar que se cumple para n = k + 1 utilizando (II).

(1 + x)k+1 ≥ (1 + x)k(1 + x)

≥(

1 + kx +

[k(k − 1)

2

]x2

)(1 + x)

≥ 1 + kx +

[k(k − 1)

2

]x2 + x + kx2 +

[k(k − 1)

2

]x3

≥ 1 + (k + 1)x +

[(k + 1)k

2

]x2 +

[k(k − 1)

2

]x3

como x ≥ 0 entonces x3 ≥ 0 con lo que tenemos finalmente

(1 + x)k+1 ≥ 1 + (k + 1)x +

[(k + 1)k

2

]x2

�

3. Sean A,B ⊂ R conjuntos acotados y c ∈ R+ constante. Si tambien son acotados los conjuntosA+B = {x+ y : x ∈ A e y ∈ B} y c ·A = {c ·x : x ∈ A}. Demuestre los siguientes items (4 ptos.)

a) sup(A + B) = supA + supB.

SOLUCION :

i) Tenemos que x ≤ supA,∀x ∈ A e y ≤ supB, ∀y ∈ B, sumando tenemos

x + y ≤ supA + supB, ∀x ∈ A, ∀y ∈ B

esto muestra que supA + supB es una cota superior para el conjunto A + B, luego pordefinicion de supremo tenemos que

sup(A + B) ≤ supA + supB (∗)

ii) Veamos que se cumple tambien supA + supB ≤ sup(A + B).Tenemos que ∀x ∈ A e ∀y ∈ B se cumple que x + y ≤ sup(A + B).Fijando y ∈ B (fijo pero arbitrario) y ∀x ∈ A tenemos que

x ≤ sup(A + B)− y

luego por definicion de supremo en A tenemos que

supA ≤ sup(A + B)− y .

Luego de esto tenemos que ∀y ∈ B, supA ≤ sup(A + B)− y es decir

y ≤ sup(A + B)− supA

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aplicando la definicion de supremo en B tenemos que

supB ≤ sup(A + B)− supA

es decirsupA + supB ≤ sup(A + B) . (∗∗)

Finalmente de (∗) y (∗∗) tenemos que

supA + supB = sup(A + B)

�

b) sup(c · A) = c · supA.

SOLUCION :

Si c < 0 la igualdad no cumple.Tenemos que c ∈ R+

I) Tenemos que x ≤ supA, ∀x ∈ A, entonces

cx ≤ c supA, ∀x ∈ A

esto muestra que c supA es una cota superior del conjunto cA, luego por definicion desupremo tenemos que

sup(cA) ≤ c supA . (∗)

II) Veamos ahora que tambien se cumple c supA ≤ sup(cA).Tenemos que ∀x ∈ A, cx ≤ sup(cA), es decir

x ≤ 1

csup(cA)

luego aplicando la definicion de supremo tenemos supA ≤ 1

csup(cA) es decir

c supA ≤ sup(cA) . (∗∗)

Finalmente de (∗) y (∗∗) tenemos que

sup(c · A) = c · supA .

�

4. Se dice que una funcion f : X → R es acotada superiormente cuando su imagenf(X) = {f(x) : x ∈ X} es un conjunto acotado superiormente. Entonces poseesup f = sup{f(x) : x ∈ X}. Demuestre los siguientes items (elegir solo 2) (4 ptos.)

a) Si f, g : X → R son acotados superiormente entonces sup(f + g) ≤ sup f + sup g.

SOLUCION :

Tenemos que ∀x ∈ X se cumple g(x) ≤ sup g y f(x) ≤ sup f , luego sumando estas dosdesigualdades tenemos que

f(x) + g(x) ≤ sup f + sup g

es decir(f + g)(x) ≤ sup f + sup g

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luego por definicion de supremo tenemos que

sup(f + g) ≤ sup f + sup g .

�

b) Si f : X → R es acotada y c ∈ R+ una constante entonces sup(c · f) = c sup f .

SOLUCION :

Tenemos que c ∈ R+.

i) Tenemos que f(x) ≤ sup f , luego cf(x) ≤ c sup f , entonces por definicion de supremostenemos que

sup(cf) ≤ c sup f . (∗)

ii) Por otra parte cf(x) ≤ sup cf , luego f(x) ≤ 1

csup(cf), entonces por definicion de

supremo tenemos que sup f ≤ 1

csup(cf) es decir

c sup f ≤ sup(cf) . (∗∗)

Finalmente de (∗) y (∗∗) podemos concluir que

sup(cf) = c sup f .

�

c) Si f, g : X → R+ son acotados entonces sup(f 2) = (sup f)2 e ınf(f 2) = (ınf f)2.

SOLUCION :

Veamos primero que sup(f 2) = (sup f)2.

i) Veamos que se cumple sup(f 2) ≤ (sup f)2. Tenemos por definicion de supremo que0 < f(x) ≤ sup f, ∀x ∈ X, luego elevando al cuadrado, 0 < f 2(x) ≤ (sup f)2, entoncespor definicion de supremo, sup(f 2) ≤ (sup f)2.

ii) Veamos que tambien se cumple que (sup f)2 ≤ sup(f 2). Teniendo en cuenta quef 2(x) > 0,∀x ∈ X, entonces dado cualquier c ∈ R tal que 0 < c ≤ sup f 2, luego pordefinicion de supremo existe x ∈ X talque c < f 2(x) ≤ sup f 2,

√c < f(x) ≤

√sup f 2,

aplicando la definicion de supremo tenemos que√c < f(x) ≤ sup f ≤

√sup f 2, luego

elevando al cuadrado tenemos que (sup f)2 ≤ sup(f 2).

Finalmente de I) y II) podemos concluir que

sup(f 2) = (sup f)2

En la demostracion para el ınfimo el razonamiento es analogo.�

5. Sean A,B ⊂ R acotados y diferentes de vacıo, ademas A ⊂ B, demostrar que (4 ptos.)

ınf B ≤ ınf A

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SOLUCION :

Tenemos que ınf B ≤ x,∀x ∈ B, en particular esto se cumple tambien para todos los elementosde A ya que A ⊂ B.Luego tenemos que ınf B ≤ x,∀x ∈ A, esto quiere decir que el ınf B es una cota inferior para elconjunto A, entonces por definicion de ınfimo tenemos que ınf B ≤ ınf A, como se querıa. �