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Universidad Nacional de IngenierıaFacultad de Ingenierıa de Petroleo, Gas y

PetroquımicaCiclo 2015-II

Practica Calificada №2 de Calculo I(PM-111B)

Profesor : Alvaro Naupay Gusukuma.Fecha : 29 de Septiembre de 2015

1. Determinar el dominio de definicion, rango y grafico de las siguientes funciones

a) fpxq “a

x´ vxw.

SOLUCION :

Tenemos por definicion de maximo entero que vxw ď x, @x P R, es decir 0 ď x ´ vxw, @x P R,por lo tanto el dominio de f es Df “ R.En busca del Rango y el grafico.Como vxw “ n, @x P rn, n` 1y, n P Z, entonces tendriamos que

fpxq “?x´ n, @x P rn, n` 1y, @n P Z

luego fijando n, tenemos que n ď x ă n` 1, 0 ď x´ n ă 1, 0 ď?x´ n ă 1, entonces

0 ď fpxq ă 1, @x P rn, n` 1y, @n P Z

Observe que la union de todos los intervalos rn, n` 1y con n variando en todo Z es igual a R,

es decirď

nPZrn, n` 1y “ R, entonces

0 ď fpxq ă 1, @x P R .

Por lo tanto tenemos que el rango es Rf “ r0, 1y.Para el grafico tenemos que considerar lo siguiente

fpxq “

$

’

’

’

’

’

’

’

’

’

&

’

’

’

’

’

’

’

’

’

%

......

?x` 2 si x P r´2,´1y

?x` 1 si x P r´1, 0y

?x si x P r0, 1y

?x´ 1 si x P r1, 2y

?x´ 2 si x P r2, 3y

......

lo que da origen a

�

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b) fpxq “ vxw `a

x´ vxw

SOLUCION :

Para esto debemos de razonar de manera analoga al problema anterior.Es claro que 0 ď x´ vxw, @x P R, entonces Df “ R.En busca del Rango y Grafico.Como vxw “ n, @x P rn, n` 1y, n P Z, entonces tendriamos que

fpxq “ n`?x´ n, @x P rn, n` 1y, @n P Z

luego fijando n, tenemos que n ď x ă n ` 1, 0 ď x ´ n ă 1, 0 ď?x´ n ă 1,

n ď n`?x´ n ă n` 1, entonces

n ď fpxq ă n` 1, @x P rn, n` 1y, @n P Z ,

esto es fpxq toma todos los valores de rn, n` 1y y esto es @n P Z, por lo tanto podemos decirque Rf “ R.Para hacer el grafico debemos tomar en cuenta lo siguiente

fpxq “

$

’

’

’

’

’

’

’

’

’

&

’

’

’

’

’

’

’

’

’

%

......

´2`?x` 2 si x P r´2,´1y

´1`?x` 1 si x P r´1, 0y

?x si x P r0, 1y

1`?x´ 1 si x P r1, 2y

2`?x´ 2 si x P r2, 3y

......

lo que da origen a

�

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2. Para una funcion arbitraria f : X Ñ Y y A,B Ă Y demostrar que las siguientes identidades:

a) f´1 pAYBq “ f´1pAq Y f´1pBq.

SOLUCION :

Sea x P f´1pAYBq ô fpxq P AYB

ô fpxq P A p_q fpxq P B

ô x P f´1pAq p_q x P f´1pBq

ô x P f´1pAq Y f´1pBq .

Finalmente de esto podemos concluir que efectivamente se cumple

f´1 pAYBq “ f´1pAq Y f´1pBq .

�

b) f´1 pAXBq “ f´1pAq X f´1pBq.

SOLUCION :

Sea x P f´1pAXBq ô fpxq P AXB

ô fpxq P A p^q fpxq P B

ô x P f´1pAq p^q x P f´1pBq

ô x P f´1pAq X f´1pBq .

Finalmente de esto podemos concluir que efectivamente se cumple

f´1 pAXBq “ f´1pAq X f´1pBq .

�

c) f´1pBCq “ rf´1 pBqsC

.

SOLUCION :

Sea x P f´1pBCq ô fpxq P BC

ô fpxq R B

ô x R f´1pBq (Por definicion)

ô x P rf´1pBqsC .

Lo que finalmente prueba la afirmacion. �

3. Sea f : RÑ R una funcion tal que cumple

fpx` yq “ fpxq ¨ fpyq

ademas @x P R, fpxq ‰ 0. Verificar lo siguiente:

a) fp0q “ 1.

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SOLUCION :

En la definicion de f hacemos x “ y “ 0, luego tenemos

fp0` 0q “ fp0q ¨ fp0q

fp0q “ fp0q ¨ fp0q

0 “ fp0q ¨ fp0q ´ fp0q

0 “ fp0qpfp0q ´ 1q

como f es diferente de cero, entonces podemos comcluir que

fp0q “ 1

�

b) fp´xq “1

fpxq.

SOLUCION :

Usando el resultado del problema anterior tenemos que

1 “ fp0q “ fpx` p´xqq “ fpxq ¨ fp´xq

como f ‰ 0 entonces podemos concluir que

fp´xq “1

fpxq

�

c) @n P N se cumple que fpnxq “ fnpxq.

SOLUCION :

Esto se demuestra por induccion.

i) Es claro que se cumple para n “ 1, fpxq “ fpxq.

ii) Suponemos que se cumple para n “ k P N, fpkxq “ fkpxq.

iii) Teniendo en cuenta los anterior demostraremos que se cumple para n “ k ` 1 P N, enefecto

fppk ` 1qxq “ fpkx` xq “ fpkxqfpxq

de la hipotesis inductiva tenemos que fpkxq “ fkpxq, luego

fppk ` 1qxq “ fkpxqfpxq “ fk`1

pxq

como se querıa.

Finalmente podemos concluir que el enunciado se cumple para todos los naturales.�

4. Para la funcion f : X Ñ Y , mostrar que los siguientes enunciados son equivalentes:

a) f es inyectiva.

b) fpAXBq “ fpAq X fpBq se cumple para todo A,B P PpXq.

donde PpXq es el conjunto potencia de X.

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SOLUCION :

(a) ñ (b)Teniendo como hipotesis afirmativa que (a) debemos probar que se cumple (b).Sean A,B P PpXq fijos pero arbitrarios, para demostrar que fpA X Bq “ fpAq X fpBqdebemos demostrar la doble inclusion, es decir que se cumple fpA X Bq Ă fpAq X fpBq yfpAq X fpBq Ă fpAXBq.

i) Verificando fpAqXfpBq Ă fpAXBq. Sea y P fpAqXfpBq, entonces existen a P A y b P Btales que y “ fpaq “ fpbq, pero como f es tambien inyectiva tenemos que a “ b P A X Bpor lo tanto fpaq “ fpbq “ y P fpAXBq. Lo que muestra la inclusion.

ii) Verificando fpA X Bq Ă fpAq X fpBq. Sea y P fpA X Bq, entonces existe x P A X B talque y “ fpxq, es decir x P A y x P B, entonces fpxq “ y P fpAq y fpxq “ y P fpBq, por lotanto y P fpAq X fpBq. Lo que muestra la inclusion.

Entonces de i) e ii) podemos afirmar que se cumple fpAXBq “ fpAq X fpBq.(a) ð (b)Teniendo como hipotesis afirmativa que (b) debemos probar que se cumple (a).Recuerde que fpHq “ H, luego si A y B son disjuntos entonces fpAXBq “ fpAqX fpBq “ H.Tenemos que mostrar que si fpaq “ fpbq entonces a “ b.Si fpaq “ fpbq, entonces hacemos A “ tau y B “ tbu, luego por (b)

fpAXBq “ fpAq X fpBq “ fpaq X fpbq “ fpaq X fpaq ‰ H ,

de lo cual podemos decir que AXB ‰ H, como A y B son unitarios entonces la unica opcion esque a “ b, como se querıa demostrar. �