Click here to load reader
Upload
manolis-vavalis
View
3.497
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Βάσεις και διαστάσεις θεμελειωδών χώρων
Citation preview
Γραμμική ΄Αλγεβρα
Βάσεις θεμελειωδών διανυσματικών χώρων
Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
12 Νοεμβρίου 2014
Παρατηρήσεις
A= 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −31 3 1 6 −4
, U = 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −30 0 0 0 −0
1. Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται (άρα έχει την ίδιαδιάσταση r και την ίδια βάση) με τον χώρο γραμμών τουU.
2. Ο χώρος στηλών του A δεν ταυτίζεται με τον χώροστηλών του U.
3. Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο τουU.
Παρατηρήσεις
A= 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −31 3 1 6 −4
, U = 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −30 0 0 0 −0
1. Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται (άρα έχει την ίδιαδιάσταση r και την ίδια βάση) με τον χώρο γραμμών τουU.
2. Ο χώρος στηλών του A δεν ταυτίζεται με τον χώροστηλών του U.
3. Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο τουU.
Παρατηρήσεις
A= 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −31 3 1 6 −4
, U = 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −30 0 0 0 −0
1. Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται (άρα έχει την ίδιαδιάσταση r και την ίδια βάση) με τον χώρο γραμμών τουU.
2. Ο χώρος στηλών του A δεν ταυτίζεται με τον χώροστηλών του U.
3. Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο τουU.
Παρατηρήσεις
A= 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −31 3 1 6 −4
, U = 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −30 0 0 0 −0
1. Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται (άρα έχει την ίδιαδιάσταση r και την ίδια βάση) με τον χώρο γραμμών τουU.
2. Ο χώρος στηλών του A δεν ταυτίζεται με τον χώροστηλών του U.
3. Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο τουU.
Παρατηρήσεις
A= 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −31 3 1 6 −4
, U = 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −30 0 0 0 −0
1. Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται (άρα έχει την ίδιαδιάσταση r και την ίδια βάση) με τον χώρο γραμμών τουU.
2. Ο χώρος στηλών του A δεν ταυτίζεται με τον χώροστηλών του U.
3. Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο τουU.
Βάσεις και διαστάσεις θεμελειωδών υπόχωρων του A ∈Rm,n
χώρος γραμμών Βάση: το σύνολο των μη-μηδενικών
γραμμών του U. Διάσταση: r (το πλήθος τωνοδηγών του A).
χώρος στηλών Βάση: το σύνολο των στηλών του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουνοδηγό. Διάσταση: r.
μηδενόχωρος Βάση: οι (γραμμικά ανεξάρτητες) λύσεις του
ομογενούς. Διάσταση: n− r.αριστερός μηδενόχωρος Βάση: το σύνολο των γραμμών του
L−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του
U. Διάσταση: m− r.
A= LU ⇒ L−1A=U
Βάσεις και διαστάσεις θεμελειωδών υπόχωρων του A ∈Rm,n
χώρος γραμμών Βάση: το σύνολο των μη-μηδενικών
γραμμών του U. Διάσταση: r (το πλήθος τωνοδηγών του A).
χώρος στηλών Βάση: το σύνολο των στηλών του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουνοδηγό. Διάσταση: r.
μηδενόχωρος Βάση: οι (γραμμικά ανεξάρτητες) λύσεις του
ομογενούς. Διάσταση: n− r.αριστερός μηδενόχωρος Βάση: το σύνολο των γραμμών του
L−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του
U. Διάσταση: m− r.
A= LU ⇒ L−1A=U
Βάσεις και διαστάσεις θεμελειωδών υπόχωρων του A ∈Rm,n
χώρος γραμμών Βάση: το σύνολο των μη-μηδενικών
γραμμών του U. Διάσταση: r (το πλήθος τωνοδηγών του A).
χώρος στηλών Βάση: το σύνολο των στηλών του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουνοδηγό. Διάσταση: r.
μηδενόχωρος Βάση: οι (γραμμικά ανεξάρτητες) λύσεις του
ομογενούς. Διάσταση: n− r.
αριστερός μηδενόχωρος Βάση: το σύνολο των γραμμών του
L−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του
U. Διάσταση: m− r.
A= LU ⇒ L−1A=U
Βάσεις και διαστάσεις θεμελειωδών υπόχωρων του A ∈Rm,n
χώρος γραμμών Βάση: το σύνολο των μη-μηδενικών
γραμμών του U. Διάσταση: r (το πλήθος τωνοδηγών του A).
χώρος στηλών Βάση: το σύνολο των στηλών του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουνοδηγό. Διάσταση: r.
μηδενόχωρος Βάση: οι (γραμμικά ανεξάρτητες) λύσεις του
ομογενούς. Διάσταση: n− r.αριστερός μηδενόχωρος Βάση: το σύνολο των γραμμών του
L−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του
U. Διάσταση: m− r.
A= LU ⇒ L−1A=U
Βάσεις και διαστάσεις θεμελειωδών υπόχωρων του A ∈Rm,n
χώρος γραμμών Βάση: το σύνολο των μη-μηδενικών
γραμμών του U. Διάσταση: r (το πλήθος τωνοδηγών του A).
χώρος στηλών Βάση: το σύνολο των στηλών του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουνοδηγό. Διάσταση: r.
μηδενόχωρος Βάση: οι (γραμμικά ανεξάρτητες) λύσεις του
ομογενούς. Διάσταση: n− r.αριστερός μηδενόχωρος Βάση: το σύνολο των γραμμών του
L−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του
U. Διάσταση: m− r.
A= LU ⇒ L−1A=U
Παράδειγμα
A= 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −31 3 1 6 −4
→ 1 0 0
0 1 01 1 1
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0
Παράδειγμα
A= 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −31 3 1 6 −4
→ 1 0 0
0 1 01 1 1
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0
΄Υπαρξη Αντιστρόφων
Ï Ο B είναι αριστερός αντίστροφος του A αννBA= I
Ï Ο C είναι δεξιός αντίστροφος του A ανν AC= I
Εάν n=m= r τότε ο αριστερός αντίστροφοςταυτίζεται με τον δεξιό και είναι μοναδικός
΄Υπαρξη Αντιστρόφων
Ï Ο B είναι αριστερός αντίστροφος του A αννBA= I
Ï Ο C είναι δεξιός αντίστροφος του A ανν AC= I
Εάν n=m= r τότε ο αριστερός αντίστροφοςταυτίζεται με τον δεξιό και είναι μοναδικός
΄Υπαρξη Αντιστρόφων
Ï Ο B είναι αριστερός αντίστροφος του A αννBA= I
Ï Ο C είναι δεξιός αντίστροφος του A ανν AC= I
Εάν n=m= r τότε ο αριστερός αντίστροφοςταυτίζεται με τον δεξιό και είναι μοναδικός
Τύποι Αντιστρόφων
B= (ATA
)−1AT
C=AT (AAT)−1
Γιατί (και πότε) αντιστρέφονται οι
ATA και AAT;
Τύποι Αντιστρόφων
B= (ATA
)−1AT
C=AT (AAT)−1
Γιατί (και πότε) αντιστρέφονται οι
ATA και AAT;
Τύποι Αντιστρόφων
B= (ATA
)−1AT
C=AT (AAT)−1
Γιατί (και πότε) αντιστρέφονται οι
ATA και AAT;