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13
1Promedios
Una media de un conjunto de datos es un valor que puede
representar o substituir a todos los elementos del conjunto
sin alterar una cierta característica de la misma.
Dicho valor se encuentra comprendido entre el mínimo y
máximo dato del conjunto.
En general, para “n” datos:
se tiene:
MEDIAS MÁS USUALES
1. Media Aritmética (MA)
La media aritmética del conjunto de “n” datos a1; a2;
..., an es:
Ejemplo:
Calcule la media aritmética de las notas 11; 16 y 18.
Resolución:
2. Media Geométrica (MG)
La Media Geométrica del conjunto de “n” datos positivos
a1, a2, ..., an es:
Ejemplo:
Halle la Media Geométrica de los números 8; 12 y 18.
PROMEDIOS O MEDIAS
1 2 3a a a ... an≤ ≤ ≤ ≤a an1 ≤ ≤media
(promedio)
1 2 na a ... aMA
n
+ + +=
Resolución:
11 16 18MA
3
+ += MA 15∴ =
n1 2 nMG a a ...a=
3MG 8 12 18 MG = 12= ⋅ ⋅ ∴
3. Media Armónica (MH)
La Media Armónica de los “n” datos positivos a1, a2,
..., an es:
Ejemplo:
Determine la media armónica de las velocidades:
20 m/s y 30 m/s
Resolución:
PROPIEDADES DE LA MEDIAS
Para un conjunto de datos:
1. Si no todos los datos son iguales
2. Si todos los datos son iguales
3. Para dos datos a y b
i)
ii)
1 2 n
nMH
1 1 1...
a a a
=+ + +
2MH
1 1
20 30
=+
MH 24 m / s∴ =
Media Media Media < <
Armónica Geométrica Aritmética
<MH MG MA
<
MA MG MH DATO= = =
( )2MA MH MG a b× = = ×( ) ( ) ( )2a b 4 MA MG MA MG− = + −
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14
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3En Cibertec, el promedio de las cuatro prácticas
de un curso, para aprobar debe ser exactamente
14. Si un alumno ha obtenido 16; 10 y 11 en las
tres primeras,¿cuánto debe obtener en la cuarta
práctica para lograr el promedio exigido.
El promedio de 50 numerales es 38, siendo 45 y 55
dos de los numerales, eliminando estos numerales,
el promedio de los restantes es:
La media aritmética de dos números enteros es
los 5/4 de su media geométrica. Hallar la razón de
dichos números. (UNFV 2011–II)
El producto de dos números es 64 y la suma de sus
raíces cuadradas positivas es 6. Calcule la media
armónica de dichos números. (UNMSM 2010–II)
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
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15
Rpta:
5
Rpta:
6La media aritmética de dos números es 20 y
su media geométrica es 18. Hallar su media
armónica.
Resolución:
Si la media geométrica de dos números enteros
positivos es igual a tres veces la media armónica
de los mismos, halle la suma de los cuadrados de
las razones que se obtienen con los dos números
positivos. (UNMSM 2012–I)
Resolución:
7. El promedio aritmético de las edades de 6
profesores es 27 años. si ninguno de ellos tiene
menos de 24 años?¿Cuál es la máxima edad que
podría tener uno de ellos?
8. La edad promedio de 30 alumnos del 5to. «A» es
14 años, del 5to. «B» que tiene 28 alumnos es 16
años y del 5to. «C» que tiene 40 alumnos es 15
años. Hallar el promedio de las tres secciones.
9. De 500 alumnos de un colegio cuya estatura
promedio es 1,67m, 150 son mujeres. Si la estatura
promedio de las mujeres es 1,60m. ¿Calcular la
estatura promedio de los varones?
10. El promedio aritmético de 50 números es 16.
Si a cada uno de los 20 primeros se le aumenta
7 unidades y a cada uno de los 30 restantes se
le disminuye 3 unidades. ¿Cuál será el nuevo
promedio?
11. Tres números enteros m, n, p tienen una media
aritmética de 10 y una media geométrica de 9603
Halle aproximadamente la media armónica de
estos números, si n. p =120 (UNI 2009–I)
12. Las normas académicas de una institución educativa
– Aprobado: Nota ≥ 14 ; – Desaprobado: 9 ≤ Nota < 14
– Reprobado: Nota < 9
fueron. 40% de aprobados, con nota promedio: 16
puntos; nota promedio de los desaprobados: 11 puntos;
y nota promedio de los reprobados: 6 puntos. Si la
nota promedio obtenido en el curso fue de 11 puntos,
entonces el porcentaje de alumnos reprobados es:
(UNI 2009–I)
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16
1. Si el promedio aritmético de 20; 32; N y 48 es 29.
Hallar el valor de «N»
a) 18 b) 16 c) 14
d) 24 e) 19
2. El promedio de 6 números es 10. Si la suma de los
cinco primeros es 28, el último número es:
a) 31 b) 30 c) 28
d) 29 e) 32
3. Ricardo ha obtenido en las cuatro primeras
prácticas de aritmética: 11; 13; 10 y 12. ¿Cuál
debe ser la nota en la quinta práctica, para que su
promedio sea 13?
a) 16 b) 20 c) 18
d) 21 e) 19
4. Mario calcula el promedio de sus 5 primeras
prácticas y resulta 13. Si en las 2 siguientes
prácticas obtuvo 14 y 16, ¿cuál es su promedio
ahora?
a) 13,42 b) 13,57 c) 12,58
d) 14,25 e) N. A.
5. El mayor promedio de dos números es 100,
mientras que su menor promedio es 36. Hallar la
diferencia de dichos números.
a) 180 b) 160 c) 120
d) 150 e) 100
6. El promedio aritmético de las edades de 5 hombres
es 46 años. Si ninguno de ellos tiene menos de 43
años.¿Cuál es la máxima edad que podría tener
uno de ellos?
a) 56 años b) 68 c) 58
d) 70 e) 64
7. El promedio de 30 alumnos de la clase «A» es 16,
de la clase «B» que tiene 40 alumnos es 14 y de la
clase «C», que tiene 50 alumnos es 12. Hallar el
promedio de las tres clases.
a) 13,2 b) 13,4 c) 13,6
d) 14,2 e) 14,6
8. El promedio de las notas de un curso de 30 alumnos
fue 5,2; los primeros 6 obtuvieron un promedio
de 8,0 y los 10 últimos sacaron 3,1. Calcular el
promedio de los alumnos restantes.
a) 5,5 b) 6,3 c) 4,9
d) 6,2 e) 5,8
9. El promedio aritmético de dos números es 76 y su
razón aritmética 18. Halla el número mayor.
a) 48 b) 85 c) 92
d) 106 e) 72
10. La edad promedio de 25 personas es 22 años. Si
se retiran dos personas cuyas edades son 31 y 36
años. ¿Cuál es el promedio de las restantes?
a) 21 años b) 20,2 c) 21,5
d) 19,8 e) 20,4
11. La media aritmética de 100 números consecutivos
es 69,5. Hallar el número menor.
a) 30 b) 25 c) 20
d) 19 e) 16
12. La MG de dos números es el triple del menor y
la MA es inferior en 36 unidades que el mayor.
Calcule la MH de los números.
a) 16 b) 16,1 c) 16,2
d) 16,3 e) 16,4
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2Magnitudes Proporcionales
Ejemplo:
Dos magnitudes son proporcionales si al variar el valor de
una de ellas, el valor correspondiente de la otra magnitud
varía proporcionalmente.
1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE
PROPORCIONALES (D.P.)
Sean A y B dos magnitudes cuyos valores correspondientes
se observan en la tabla:
A a1
a2
a3
B
an
...
b1
b2
b3
bn
...
Si A es directamente proporcional a B (A D. P. B) se cumple:
a1
b2
=a
2
b2
=a
3
b3
=...=a
n
bn
B
A
b3
b2
b1
a1
a2
a3
Dadas dos magnitudes directamente proporcionales, si el valor
de una de ellas se duplica, el valor correspondiente de la otra
magnitud también se duplica; si se reduce a su mitad una de
ellas, la otra también se reduce a su mitad; así sucesivamente.
La tabla muestra los valores de dos magnitudes directamente proporcionales.
A 24 48 72 36
B 16 32 48 24
x2
÷2x2
÷2
Se cumple:
24
16=
48
32
=72
48
=36
24
A 18 x 9 x+y
B 12 10 y z
Resolución:
Se cumple
18
12=
x
10
=9
y
=x+y
z⇒ x=15; y =6
Luego 18
12=
15+6
z⇒ z=14
Se pide x+y+z=15+6+14=35
Ejemplo 2:
Sabiendo que A es directamente proporcional a B;
encuentra el valor de A, para B = 81, sabiendo que cuando
A es 24, B es 36.
Resolución:
A
B
24
36
x
81=:⇒ ⇒x=36
Ejemplo 1:
Halla x + y + z si A y B son directamente proporcionales.
A D.P. B
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Ejemplo 3:
Se conoce la gráfica de dos magnitudes directamente
proporcionales. Si a+b+c = 72, encuentra el valor de x-a.
a b c x
8
16
b
12
8
a=
12
b=
16
c
=b
x
Sumando antecedentes y consecuentes tenemos:
8
a=
12
b=
16
c=
b
x
8+12+16
a+b+c= =
36
72
=1
2
72
⇒ a = 16, b = 24, c = 32
Luego x = 48.
Piden hallar x - a= 48 - 16 = 32
Sean M y N dos magnitudes cuyos valores correspondientes
se observan en la tabla:
M m1
m2
m3
N
mk
...
n1
n2
n3
nk
...
Si M es inversamente proporcional a N, se cumple
m1n
1=m
2n
2=m
3n
3=...m
kn
k
n1
n2
n3
m1
m2
m3 M
N
Dadas dos magnitudes inversamente proporcionales, si el
valor de una de ellas se duplica, el valor correspondiente de
la otra magnitud se reduce a su mitad; si se triplica una de
ellas la otra se reduce a su tercera parte, así sucesivamente.
Ejemplo:
La tabla muestra dos magnitudes inversamente
proporcionales.
Se cumple:
10x60 = 20x30 = 40x15 = 8x75
Ejemplo 1:
Halla a + b si las magnitudes A y B son inversamente
proporcionales.
A
B
a a-10
20 30 b
a+20
Resolución:
Se cumple:
ax20 = (a-10)x30 = (a+20)xb
Resolviendo: 2a = 3a - 30 ⇒ a = 30
Reemplazando:
30 x 20 = 20 x 30 = 50 x b
Se obtiene: b = 12
Luego: a + b = 30 + 12 = 42 ETNEMASREVNI SEDUTINGAM.2
PROPORCIONALES (I.P.)
M 10 20
N
40 8
60 30 15 75
x2x2
÷2÷2
Ejemplo 2:
Dos magnitudes inversamente proporcionales A y B son
tales que A es 24, cuando B es 15. ¿Qué valor le corresponde
a la magnitud A, cuando B aumenta 3 unidades. ¿Y qué
valor cuando B disminuye 3 unidades?
Resolución:
A I.P. B ⇒ Valores de A x Valores de B = constante
⇒ 24 x 15 = a1 (15 + 3) = a
2 (15 -3)
Ejemplo 3:
proporcionales mostradas, encuentra a + b.
36
6
a
b 6 b+11
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Resolución:
36 x b = 6 x 6 = a x (b + 11)
36
36 =a (1 + 11)
Se obtiene b = 1,
donde a = 3.
Se desea hallar a + b = 3 + 1 = 4.
3 . P R O P I E DA D E S D E M A G N I T U D E S
PROPORCIONALES
1. Si A D.P. B ⇒ B D.P. A
A I. P. B ⇒ B I. P. A
2. Si A I. P. B ⇒ A D. P. 1/B
3. Si A D.P. B ⇒ An D.P. Bn
A I.P. B ⇒ An I.P. Bn
4. Si A D.P. B ⇒ (cuando C es
constante)
y A D.P. C ⇒ (cuando B es
constante)Se obtiene A D.P. B x C
Ejemplo 1:
A es D.P. a B y C, además cuando A es 24, B es 10 y C es 8.
Calcula el valor de B si A es 15 y C es 12.
Resolución:
A D.P. B
A D.P. C}A D.P. BxC
Se cumple = constanteA
BxC
24
10 x 8
15
X x 2= ⇒ X = 25
Ejemplo 2:
A es directamente proporcional a B2 y a C. Si cuando A es
24, B es 2 y C es 3. Halla A cuando B sea 3 y C sea 2.
Resolución:
A D.P. B2
A D.P. C }A D.P. B2 x C ⇒ A
B2 x C= constante
Luego = ⇒24
22x3
X
32x2X = 36
Ejemplo 3:
Una magnitud M es directamente proporcional a N y N es
inversamente proporcional a Q3. Si cuando M es 4, N es 16
y Q es 3, halla Q cuando N y M sean respectivamente 2 y 4.
Resolución:
Si M D.P. N ⇒ N D.P. M2
(según propiedades)
16 x 33
42
2x X3
42 ⇒Luego: = X = 6
1) El precio de impresión de un libro es directamente
proporcional al número de ejemplares que se imprimen.
Se editarán 2000 ejemplares de un libro de 400 páginas
costando S/. 6.00 el ejemplar. ¿Cuánto costará editar
un ejemplar si se mandaron a imprimir 1800 libros de
360 páginas?
a) S/.500 b) S/.800 c)S/.400
d) S/.700 e) S/.600
Resolución:
c x n
p6 x 2000
400
c2 x 1800
360= k ⇒ =
c2 = S/. 6.00
Rpta.: e
2) Un superpanetón en forma de paralelepípedo pesa 2160
g. El peso en gramos de un minipanetón de igual forma,
pero con sus dimensiones reducidas a la tercera parte
es:
a) 40 g b) 50 g c)60 g
d) 70 g e) 80 g
Resolución:
El peso es D.P. al volumen
P
V= k
3b3c
3a
P1 =
2160 g
2160
(3a)(3b)(3c)
P2
abc=
b ca
P2 =
??
P2 =
80 g
Rpta.: e
Luego = cte.N D.P. M2
N I. P. Q3}Nx Q3
M2⇒
EJERCICIOS RESUELTOS
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3) La rapidez de A es igual a 3 veces la rapidez de B y a
su vez esto es 4 veces la rapidez de C. Si A hace un
triángulo en 9 min y 15 s, ¿en cuánto tiempo lo hará
C?
a) 1h 40' b) 2h
b) 1h 41' 15" e) N. A.
c) 1h 51'
Resolución:
Rapidez: r y tiempo: t
rA
tA
= rC
tC
; rA
= 3r
B
rB = 4r
C ⇒
r
A =
12r
C⇒ 12 rC
(9 + 0,25)=rC
x tC
tC
= 111'
tC
= 1h' 51'
Rpta.: c
4) Se sabe que la producción de un cierto artículo es
proporcional al número de horas diarias destinadas
a dicha producción e inversamente proporcional a
la cantidad de productos x que pueden sustituir el
artículo indicado. Si en un inicio se trabaja 8 horas
diarias, haciendo en el mercado 5000 productos x;
pero al incrementarse en 4375 unidades los productos
x, se aumenta el número de horas diarias de modo
que la producción actual y anterior se encuentren
en la relación de 2 a 3. ¿Cuántas horas diarias se ha
aumentado?
Resolución:
Producción x # Prodx#horas diarias= cte.
(3P)x5000
8
(2P)(5000+4375)
(8+x)⇒ =
Anterior Actual
Resolviendo: x = 2
Rpta.: 2
5) Un pastelero prepara una porción de turrón de Doña
Pepa de 60 cm x 40 cm, de cuya venta se propone
obtener S/. 48.00. Si se vende una porción de 30 cm
x 30 cm por S/. 15.00. ¿A cuánto debe vender cada
porción de 5 cm x 5 cm para obtener lo que esperaba
en un principio?
a) S/. 0.22 b) S/. 0.55 c) S/. 0.88
d) S/. 0.33 e) S/. 0.44
Resolución:
30
1030
30 30
40
El área total es: 60 x 40 = 2400 cm2
Vende: 30 x 30 = 900 cm2
Queda: 2400 - 900 = 1500 cm2
Ya vendió por S/. 15, el resto debe vender en
48 - 15 = S/. 33.00
Cada porción tiene 5 x 5 = 25 cm2 de área.
De los que queda salen 1500 ÷ 25 = 60 porciones.
Cada porción debe venderse en:
33
60= S/.0.55
Rpta.: b
Promedios
El origen de la palabra promedio se remonta a la época en que los viajes por mar implicaban gran riesgo. Era frecuente que los barcos, durante una tormenta, tirasen una parte de la carga. Se
podían reclamar con justicia una indemnización a expensas de aquéllos que no habían sufrido disminución en sus bienes. El valor de los bienes perdidos se pagaba mediante un acuerdo entre todos los que tenían mercaderías en el mismo buque.El daño causado por el mar se conocía como «Havaria» y la palabra llegó a aplicarse naturalmente al dinero que cada individuo tenía que pagar como compensación por el riesgo. De esta palabra latina se deriva la moderna palabra average (promedio). La idea de un promedio tiene por raíces en los primitivos seguros.
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"x" varía en razón directa a "y" e inversa al
cuadrado de "z". Cuando x = 10, entonces y = 4,
z = 14. Halla "x" cuando y = 16 y z = 7.
El precio de un televisor a color varía en forma
D.P. al cuadrado de su tamaño e I.P. a la raíz
cuadrada de la energía que consume. Si cuando
su tamaño es de 14 pulgadas y consume «E» de
energía, su precio es de $360. ¿Cuánto costará
un televisor cuyo tamaño es de 21 pulgadas y
consume E/4 de energía?
Si "A" y "B" son magnitudes proporcionales
representados mediante el siguiente gráfico,
halla "x".
Se sabe que A es directamente proporcional a B2
y B es inversamente proporcional a C.
Halla: x+y+z de la tabla mostrada:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
A
B20 x4
40
a
16
AB
=κ AxB =k
A 24 x 96
B
2
y 3 4 1
C 9 6 z 3
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
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22
Rpta:
5
Rpta:
6
Resolución:
La rueda "A" de 40 dientes en grana con otra
rueda "B" de 60 dientes. Fija el eje de esta hay
otra rueda "C" de 80 dientes que engrana con otra
rueda "D" de 30 dientes. La rueda "A" da en un
minuto 30 vueltas mas que "D". ¿En que tiempo
"D" dará 3 200 vueltas? (CALLAO 2001)
Resolución:
7. Se sabe que A es D.P. a B e I.P. a 3 C . Además
cuando A es 14 entonces B = 64 y C = B. Halla
A cuando B sea 4 y C sea el doble de B.
8. Dadas dos magnitudes A y B se observa que A
es directamente proporcional a B para valores
de A menores o iguales a 24 y B es inversamente
proporcional a A cuando los valores de A son
mayores o iguales a 24. Si cuando A = 6, entonces
B = 14, calcula el valor de B cuando A es 168.
9. Una rueda A de 64 dientes engrana con otra B de
72 dientes y ésta con otra C de 48 dientes. Si entre
las tres dan 580 vueltas en un minuto, ¿cuántas
vueltas dará A en 5 minutos?
10. El precio de una joya varía proporcionalmente con
el cuadrado de su peso. Una joya de este tipo que
cuesta S/. 24000 se rompe en dos pedazos que están
en la relación de 2 a 3. ¿Cuál es la pérdida sufrida
al romperse dicha joya?
11. En la siguiente gráfica que relaciona magnitudes
proporcionales; A y B son rectas y C es una
hipérbola. Determina "m", si a+b+c+m= 60.
12. Dadas las magnitudes A, B y C si A D.P. B (cuando
"C" permanece constante); A I.P. C2 (cuando "B"
permanece constante). Si en un determinado
momento el valor de B se duplica y el valor de C
aumenta en su doble, el valor de A varía en 35
unidades. ¿Cuál era el valor inicial de A?
n
a-2 a 2a
24
2m
4 a
m
b c
A
B
C
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23
1. Sabiendo que "A" es D. P. a "B2" y que las variaciones de las magnitudes "A" y "B" se muestran en el siguiente cuadro. Halla "a + d".
a) 48 b) 51 c) 50d) 47 e) 54
2. Se sabe que (x + 2) varía proporcionalmente con (y - 3). Si cuando x = 10, entonces y = 19. Halla el valor de "x" si y = 31.
a) 21 b) 23 c) 20d) 19 e) 18
3. Se tienen tres magnitudes "A", "B" y "C" tales que "A" es D. P. a "C" e I. P. a B. Halla "A" cuando
B=C2, sabiendo que si A=10, B=144 y C=15.
a) 4 b) 8 c) 12d) 16 e) 15
4. Si "P" y "Q" son magnitudes proporcionales
Halla "y - x".
a) 12b) 36c) 24d) 20e) 30
5. Conocida la gráfica, halla a + b.
a) 50 b) 60 c) 72d) 80 e) 96
6. El sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado de la edad que tiene. Si actualmente tiene 18 años, ¿dentro de cuántos tiempo cuadruplicará su sueldo?
a) 20 años b) 25 años c) 36añosd) 18años e) 10años
7.
a) 27b) 32c) 41d) 18e) 20
8. El sueldo de un empleado es directamente proporcional a su rendimiento e inversamente proporcional al número de días que ha faltado a trabajar. Si Juan tuvo un sueldo mensual de S/.600 y su rendimiento es como 5 y faltó 4 días, entonces, ¿cuál es el sueldo de Carlos si su rendimiento es como 8 y faltó 3 dias?
a) S/.960 b) S/.1 440 c) S/.1 080 d) S/.980 e) S/.1 280
9. Se tiene una rueda A1
que engrana con A2, la
cual está unida mediante un eje con A3. ¿Cuántas
vueltas da esta última si entre las ruedas A1 y A
2
han dado 280 vueltas y el número de dientes de la rueda A
k está dado por D
k = (10k + 5)x2?
a) 120 b) 125 c) 150d) 155 e) 105
10. Si el precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso, ¿cuánto se ganará o perderá en un diamante que vale S/.720 que se parte en dos pedazos, uno el doble del otro?
a) Gana S/.240 b) Gana S/.320a) No gana ni pierded) Pierde S/.240 e) Pierde S/.320
11. La presión a la cual está sometido un gas es directamente
proporcional al volumen que ocupa. Si el volumen se reduce a su tercera parte, entonces la presión:
a) Aumenta en su doble b) Aumenta en su triple c) Aumenta en su cuádruplo
d) Aumenta una vez su valor e) No varía
12. Dado el siguiente gráfico, halla x + y +z.
a) 50 b) 60 c) 72d) 80 e) 96
A 27 75 d
B
192
a 5 4 8
P
Qyx4
26
18
2a
a b
a
12
15
12
20a c
x
yz4
6 9 18 M
N
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24
3Reparto Proporcional
El problema de reparto consiste en dividir una cantidad en partes proporcionales a ciertos números llamados índices del reparto o números proporcionales. El reparto se puede efectuar en forma directa o inversamente proporcional.
1. REPARTO DIRECTO
Cuando el reparto se hace directamente proporcional a un solo grupo de índices.
Para el problema:
Reparte 4500 en partes proporcionales a 2,3 y 4.
Resolución:
Ejemplo 1:
Reparte 4500 en partes directamente proporcionales a 24, 36 y 48.
Resolución:
Cantidad a repartir
4500 243648
Índices
Se determina el valor de la constante de reparto k.
450024 + 36 + 48
4500108
1253
C1 = 24 x = 1000
C2= 36 x = 1500
C3 = 48 x = 2000
1253
1253
1253
k = = =
Las partes que se desean hallar se obtienen multiplicando la constante del reparto k por cada uno de los índices: parte = Índice x k
Las partes son 1000, 1500 y 2000.
Ejemplo 2:
4500234
Índices
⇒ k = = 5004500
2+ 3 + 4
Partes obtenidas:
C1 = 2 x 500 = 1000C2 = 3 x 500 = 1500C3 = 4 x 500 = 2000
Las partes obtenidas en el ejemplo 1 son los mismos en el ejemplo 2, comparando los índices: 24 = 12 x 2; 36 =12 x 3; 48 = 12 x 4. Nótese que si los índices
cantidades obtenidas en el reparto no varían.
Observación
Ejemplo 3:
Divide 6300 en tres partes que sean proporcionales a 30, 45 y 75.
Resolución:
630030 = 2 x 15 ⇒ 245 = 3 x 15 ⇒ 3 75 = 5 x 15 ⇒ 5
Índices
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25
63002 + 3 + 5⇒ k = = 630
Partes: C1 = 2 x 630 = 1260C2 = 3 x 630 = 1890C3 = 5 x 630 = 3150
Ejemplo 4:
Encuentra las 3 partes en que se divide 8100 de modo que sean proporcionales a 2/3; 1/2 y 1/3.
Resolución:
Como se ha observado las partes en el reparto no varían si
partes si a todos los índices se les multiplica por un mismo número.
Índices iniciales:
M.C.M. (denominadores) = MCM (3; 2; 3) = 6
23
, 12
, 13
.
23
x 6 = 4 ⇒ 4
1213
x 6 = 2 ⇒ 2
x 6 = 3 ⇒ 38100
81004 + 3 + 2
81009
k = = = 900
Partes: C1 = 4 x 900 = 3600C2 = 3 x 900 = 2700C3 = 2 x 900 = 1800
Nuevos índices
Cuando el reparto se hace inversamente proporcional a un solo grupo de índices.
Para resolver este problema se considera la propiedad de magnitudes:
Ejemplo 1:
2. REPARTO INVERSO
Ejemplo 2:
A I.P. B ⇒ A D.P. 1B
Reparte 3400 en partes que sean inversamente proporcional a 4, 6 y 18.
4 ⇒ 1/4 6 ⇒ 1/618 ⇒ 1/18
I.P. D.P.
3400
El reparto inverso se transforma en reparto directo tomando la inversa de cada uno de los índices. Si estos resultaran ser fraccionarios, se multiplica por el MCM de los denominados para hacerlos enteros.
MCM (4; 6; 18)= 36
34009 + 6 + 2
340017
k = = = 200
Partes: C1 = 9 x 200 = 1800C2 = 6 x 200 = 1200C3 = 2 x 200 = 400
Reparte 1640 en forma inversamente proporcional a los números 2/3, 4 y 3/5.
Resolución:
2/3 4 3/5
I.P. D.P.
1640 1640 3/2 x 12 = 18 1/4 x 12 = 3 5/3 x 12 = 20
Nuevos Índices
MCM (2; 4; 3) = 12
164018 + 3 + 20k = = 40
Partes P1 = 18 x (40) = 720P2 = 3 x (40) = 120P3 = 20 x (40) = 800
3400
x 36 = 9 ⇒ 9 x 36 = 6 ⇒ 6x 36 = 2 ⇒ 2
14
16
118
Índices
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26
3. REPARTO COMPUESTO
Ejemplo 2:
El reparto se hace proporcionalmente a varios grupos de índices. Las partes pueden ser directa o inversamente proporcionales a los grupos de índices.
De acuerdo a la propiedad de magnitudes, las partes son proporcionales a los productos de los respectivos índices de cada grupo:
A D.P. BA D.P. C
⇒ A D.P. B x C
Ejemplo 1:
Reparte 3800 en partes que sean proporcionales a 4; 12 y 10, y también a los números de 15; 20 y 8.
Resolución:
60 = 3 x 20 ⇒ 3 240 =12 x 20 ⇒ 12 80 = 4 x 20 ⇒ 4
3800
D.P. D.P. Índices
38003 +12 + 4
380019
k = = = 200
Partes C1 = 3 x 200 = 600C2 =12 x 200 = 2400C3 = 4 x 200 = 800
Encuentra las partes en que se divide 1240 proporcionalmente a 5; 10 y 12, e inversamente proporcional a 6; 9 y 8.
Resolución:
5 6 10 9 12 8
D.P.
1240
I.P.
D.P.
1240 5 x 1/6 = 5/6 10 x 1/9 = 10 / 9 12 x 1/8 = 12/8= 3
2
MCM (6; 9; 2) = 185/6 x 18 = 1510/9 x 18 = 203/2 x 18 = 27
124015 + 20 + 27
124062
k = = = 20
15 20 27
1240
D.P.
Partes P1 = 15(20) = 300 P2 = 20(20) = 400P3 = 27(20) = 540
Ejemplo 3:
Se reparte 7800 en forma directamente proporcional a 10; 12 y 20, y también inversamente proporcional a 24; 16 y 20.
Resolución:
D.P. D.P. 4 15 ⇒ 4 x 15 = 60 12 20 ⇒ 12 x 20 = 240 10 8 ⇒ 10 x 8 = 80
3800
Índices
D.P. I.P.10 2412 1620 20
7800
D.P. D.P.10 1/2412 1/1620 1/20
7800⇒
* Si existe un grupo de índices que fuera inversamente proporcional a las partes, se toma la inversa a cada índice de ese grupo.
* Cuando todos los grupos de índices son directamente proporcionales a las partes buscadas, se toma el producto de los índices respectivos en cada grupo.
512
34
x 12 = 5
7800 x 12 = 9
1 x 12 = 12
124
512
116
34
120
10 x
12 x
20 x
=
== 1
7800
D.P.
Índices
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27
Resolución:
MCM (12; 4; 1) =12
78005 + 9 + 12
k = =300
Partes C1 = 5 x 300 = 1500 C2 = 9 x 300 = 2700C3 = 12 x 300 = 3600
4. REGLA DE COMPAÑÍA
Es el caso particular de los repartos proporcionales, en el cual las ganancias o pérdidas obtenidas en un negocio se reparten proporcionalmente a los capitales aportados por cada participante en el negocio (socios) y a los tiempos que han estado invertidos en él. Si existiesen pérdidas en el negocio, éstas son asumidas entre los socios, proporcionalmente a los capitales y tiempos.
Ejemplo 1:
el cual debe de repartirse proporcionalmente a los capitales aportados por los 3 socios que son 1200, 1500 y 1800. ¿Cuánto le toca a cada uno?
75004 + 5 + 6k = = 500
Partes P1 = 4 x (500) = 2000P2 = 5 x (500) = 2500P3 = 6 x (500) = 3000
Ejemplo 2:
Dos socios A y B participaron en un negocio. El primero aportó 4000 por 3 meses, y el otro aportó 2500 por 6 meses. Si al término del negocio se obtuvo una ganancia de 7200, ¿cuánto le toca a cada uno?
Resolución:
4000 x 3 = 12000 = 4(3000)2500 x 6 = 15000 = 5(3000)
7200
Capitales TiempoD.P. D.P.
72004 + 5 k = = 800
Partes P1 = 4 x (800) = 3200P2 = 5 x (800) = 4000
Ejemplo 3:
Tres socios han aportado en un negocio 2400, 3200 y 4000 soles. Si al término del mismo se ha obtenido una ganancia de 12000 soles, ¿cuánto le corresponde a cada uno?
Resolución:
120002400 = 800 x 3 ⇒ 3 3200 = 800 x 4 ⇒ 44000 = 800 x 5 ⇒ 5
Índices
120003 + 4 + 5
k = =1000
Ganancias obtenidas
G1 = 3x(1000) = 3000 G2 = 4x(1000) = 4000G3 = 5x(1000) = 5000
D.P.
75001200 = 4 x 3001500 = 5 x 3001800 = 6 x 300
7500456
Capitales
7200
D.P.45
EJERCICIO RESUELTO
3) Se reparte el número 145 800 en partes proporcionales a todos los números pares entre 10 y 98. ¿Cuánto le toca a la 1/72 parte?
a) 4420 b) 4200 c) 4226
d) 4320 e) 4500
Resolución:
a10 + a12 + a14 + ... + a98
10 + 12 + 14 + ... + 98k =
10 + 12 + 14 + ... + 98 = 2430
1458002430k = = 60
a72
= 60 ⇒ a = 4320 ∴
a10
10a12
12a14
14a98
98= = =... =k=
10+2+14+...+98 (10+98)452(98-8)%2=45 números
=
Rpta.: d
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28
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Encuentra la menor de las partes que se obtiene al
dividir 1820 en forma inversamente proporcional
a las raíces cuadradas de 24; 54 y 96.
Si un número se reparte en forma D.P. a 4, 5
y 8 e I.P. a 3, 8 y 12 se observa que la mayor
diferencia entre las partes repartidas es 544.
Halla el número.
Reparte S/. 20500 entre 3 personas de modo que
la parte de la primera sea a la segunda como 2 es
a 3 y la segunda a la tercera como 4 es a 7. Halla
la mayor parte.
Se divide una suma de dinero ("N") en partes que
son proporcionales a 3, 7, 5 y 12, observándose
que la primera y la cuarta exceden a las otras dos
juntas en S/. 300. Halla "N".
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
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29
Rpta:
5
Rpta:
6Al repartir una cierta suma D. P. a 3; 5/3 y 7 e
I.P. a 1/2; 4 y 3/2 se observó que la mayor parte
excede a la menor en S/. 6 700. Indica a cuánto
asciende la suma repartida.
Resolución:
Una cantidad se reparte en forma proporcional
a , , resultando la menor
de las partes 14. ¿Cuál es la suma de cifras de la
cantidad repartida?
Resolución:
7. Descomponer el número 1134 en cuatro sumandos cuyos cuadrados sean proporcionales a 12, 27, 48 y 75.
8. Al repartir "N" en forma inversamente proporcional a 4; 5 y 12, la menor de las partes es 2000 unidades menor que la mayor. Indica la suma de cifras de N.
9. S e p r o p o n e a d o s a l u m n o s r e p a r t i r proporcionalmente un número. Uno lo hace directamente proporcional a 3, 4 y 7; el otro lo hace directamente a los cuadrados correspondientes, encontrándose una diferencia de 480 en lo que corresponde a la primera parte. Halla el número.
10. Un padre decide repartir una herencia en forma directamente proporcional a las edades de sus hijos que son: 6, 8 y 10, pero decide postergar el reparto hasta que el menor tenga la edad actual del mayor, por lo cual uno de los hijos recibe 4 000 soles más de lo que iba a recibir. Entonces mayor recibió:
11. Tres personas forman una sociedad aportando cada uno de ellos igual capital, el primero de ellos lo impuso durante un año, el segundo durante 8 meses y el tercero durante un semestre. Si al final se obtiene un beneficio de S/. 1 950, ¿cuánto ganó el que impuso su capital durante mayor tiempo?
12. Dos individuos emprenden un negocio por 1
año. El primero empieza con $500 y 7 meses después añade $200. El segundo empieza con $600 y 3 meses después añade $300. ¿Cuánto le corresponde al segundo de un beneficio de $3 380?
192k324k3 81k3
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30
1. Reparte 780 en partes I.P. a 15; 36; y 20. Indica la
diferencia entre la mayor y la menor parte.
a) 90 b) 120 c) 150
d) 210 e) 180
2. Cuando se reparte una cantidad D.P. a 4, 8, y 12,
la diferencia entre la mayor y menor de las tres
partes es 480. ¿Cuál es la cantidad repartida?
a) 1 200 b) 1 500 c) 1 440
d) 1 750 e) 2 000
3. Se reparte 738 en forma directamente proporcional
a dos cantidades; de modo que, ellas están en la
relación de 32 a 9. Halla la suma de las cifras de
la cantidad menor.
a) 18 b) 14 c) 13
d) 11 e) 9
4. Divide S/. 780 en tres partes de modo que la
primera sea a la segunda como 5 es a 4 y la primera
sea a la tercera como 7 es a 3. Entonces la segunda
es:
a) S/. 205 b) S/. 280 c) S/. 150
d) S/. 410 e) S/. 350
5. Al repartir N D. P. a 5; 8 y 6 e I.P. a 12; 6 y 10, la
diferencia entre la segunda y la tercera parte es 176
Halla: N.
a) 526 b) 246 c) 324
d) 218 e) 564
6. Reparte 3562 en partes proporcionales a 422, 283,
562. Halla como respuesta la suma de cifras del
número que representa una de las partes.
a) 6 b) 9 c) 7
d) 8 e) 10
7. Al dividir 2100 en 4 partes proporcionales a las fraciones 2/3; 3/4; 1/5 y 2/15 se observa que la diferencia entre la mayor y la menor de las partes es:
a) 700 b) 720 c) 740d) 780 e) 800
8. Un profesor caritativo quiere repartir S/. 300 entre 3 de sus alumnos, proporcionalmente al número de hermanos que cada uno tiene. Halla cuánto le toca a cada uno si el primero tiene 3 hermanos, el segundo 4 y el tercero 5. Halla la diferencia entre la mayor y la menor parte.
a) 100 b) 125 c) 50d) 150 e) 75
9. Se ha repartido cierta cantidad entre 3 personas en partes proporcionales a los números 3; 4 y 5. Sabiendo que la tercera persona ha recibido S/. 600 más que la primera, ¿cuánto dinero se distribuyó?
a) S/.3600 b) S/.3000 c) S/.2400d) S/.1200 e) S/.2700
10. Un tutor "Mentor" quiere repartir S/. 57 entre tres alumnos, para efectuar el reparto tendrá en cuenta la cantidad de problemas no resueltos de la última tarea domiciliaria. El primero no resolvió 1 problema: el segundo 3 y el tercero 4. ¿Cuánto le corresponde al tercero?
a) S/.36 b) S/.12 c) S/.9d) S/.28,5 e) S/.26
11. Dos personas inician un negocio. El primero aportó 12000 soles por 2 meses, mientras que el segundo aportó 7500 soles por 6 meses. Al liquidar el negocio se obtuvo un beneficio de 5290 soles. ¿Cuánto más que el primero recibe el segundo?
a) S/. 1610 b) S/. 1750 c) S/. 1640 d) S/. 1800 e) S/. 1650
12. Marina inicia un negocio con $600; 6 meses después se asocia con Fernando quien aporta $480 a la sociedad. Si después de 18 meses de asociados se reparten una ganancia de $ 1520, ¿cuánto le corresponde a Marina?
a) $950 b) $920 c) $570 d) $720 e) $600
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31
4 Regla de Tres Simple y Compuesta
Es un procedimiento aritmético que permite el calculo del
valor de una cantidad mediante la comparación de dos
o más magnitudes que guardan entre si una relación de
proporcionalidad.
Se presentan 2 casos:
REGLA DE TRES
Regla de Tres Simple Directa
Se da cuando las magnitudes en comparación, son
directamente proporcionales.
Sean las magnitudes A y B; además las cantidades; a, b, c:
datos y «x»: incognita.
Luego:
Regla de Tres Simple Inversa
Se da cuando las magnitudes en comparación, son
inversamente proporcionales.
Sean las magnitudes A y B; además las cantidades; a, b, c:
datos y «x»: incognita.
REGLA DE TRES SIMPLE
Magnitud A Magnitud B
DP
a
x = ?
b
c
Acte
B⇒ =
a x
b c=
acx
b∴ =
REGLA DE TRES COMPUESTA
Magnitud A Magnitud B
IP
a
x = ?
b
c
A B cte⇒ × =
Luego: a . b = x . c
abx
c∴ =
Eficiencia
Nº de
Obreros Tiempo
a b c d e
m n p q r
Obra Dificultad
IP DPIP DP
( ) ( )( ) ( )
Nº deEficiencia Tiempo
Obreroscte
Obra Dificultad
⇒ =
Cumpliendose entonces:
a b c m n p
d e q r
× × × ×× ×=
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32
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Una casa puede ser hecha por 30 obreros en 15
días. ¿Cuántos obreros hay que añadir para que
la obra se termine en 10 días?
Un caballo atado con una soga de 3 metros de
largo demora 5 días en comer el pasto que esta a
su alcance. Si la soga fuera de 6 metros ¿En
cuantos días comerá todo el pasto que está a su
alcance? (UNMSM 1990)
José es el doble de rápido que Miguel y este
el triple de rápido que Toño. Si entre los tres
pueden terminar una tarea de matemáticas en
108 días.¿En cuantos días Miguel y Toño harán
dicha tarea?
En 12 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes
de una obra, se retiran 6 obreros. ¿Cuántos días
demorarán los obreros restantes para terminar la
obra? (UNI 1983–I)
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
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33
Rpta:
5
Rpta:
6Quince obreros pueden hacer 30 carpetas en 18
días.¿Cuántos días demorán 10 obreros de doble
la tercera parte de la anterior?
Resolución:
Diez campesinos siembran unas parcelas de 50 m2,
en 15 días, en jornadas de 7 horas. Si la jornadas
fueran de 8 horas. ¿Cuantos días tardaran en
sembrar otra parcela de 80 m2, 15 campesinos
doblemente hábiles? (UNFV 2010)
Resolución:
7. Doce mecánicos hacen una obra en 28 días. Si 8
mecánicos aumentan su rendimiento en un 60%.
¿Qué tiempo emplearán en hacer la misma obra?
8. Una familia de 5 miembros tenía víveres para 30
días, pero como recibieron la visita de 3 familiares,
los víveres se acabaron 6 días antes ¿Cuántos días
durará la visita de los 3 familiares?
9. Se emplearon “m” obreros para ejecutar una obra
y al cabo de “d” días hicieron 1/k de ella. ¿Cuántos
obreros se aumentaron para terminar la obra en “p”
días más? (UNMSM 1997)
10. Una cuadrilla de 15 obreros pueden terminar un
trabajo en 26 días. Al cabo de 10 días de labor se
enferman 5 obreros y 6 días mas tarde, se comunica
el contratista para que entregue el trabajo en la fecha
tendrá que contratar para cumplir con tal exigencia?
11. Para pintar el Estadio Nacional se contratan 8
10 días, laborando 8 horas diarias. Al terminar
el quinto día de trabajo se decde incrementar la
jornada a 10 horas diarias y contratar mas personas
para culminar el resto de la obra en 2 dias.Calcular
la cantidad de personas que se deben contratar en
forma adicional. (UNI 2010–II)
12. Una obra debe terminarse en 30 días empleando
20 obreros, trabajando 8 horas diarias. Después
de 12 días de trabajo, se pidió que la obra quedase
terminada 6 días antes de aquel plazo y así se
hizo. ¿Cuántos obreros se aumentaron teniendo
presente que se aumento también en dos horas el
trabajo diario? (UNI 1985–I)
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34
1. Juan es el doble de rápido que José y este es el
triple de rápido que Miguel. Si entre los 3 pueden
terminar una obra en 16 días. ¿En cuántos días José
y Miguel harán la misma obra?
a) 40 b) 15 c) 16
d) 11 e) 10
2. Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14
dias. ¿Cuántos obreros hay que añadir para que la
obra se termine en 8 dias?
a) 11 b) 8 c) 10
d) 14 e) 15
3. Sabiendo que un burro atado a una cuerda de 3m
de largo, tarda 5 días en comerse todo el pasto a
su alcance. ¿Cuanto tardaría si la cuerda fuera de
6m?
a) 15 b) 10 c) 20
d) 8 e) 17
4. Si 21 obreros tardan 10 días para hacer una obra.
¿Cuántos obreros se necesitarán para hacer la
misma obra en 15 días?
a) 15 b) 10 c) 14
d) 11 e) 18
5. Sabiendo que 50 obreros trabajando 8h/d pueden
hacer una obra en 20 días; determinar en cuántos
días 80 obreros trabajando 5 horas diarias pueden
hacer la misma obra.
a) 20 b) 30 c) 40
d) 14 e) 10
6. Trabajando 10 h/d durante 15 días 5 obreros
consumen 50 kg de arroz. ¿Cuántos kg serían
necesarios para mantener trabajando 9h/d durante
85 días, 3 obreros más?
a) 158 b) 408 c) 145
d) 135 e) 402
7. Ocho obreros pueden hacer una obra en 20 días.
Después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros,
¿con cuántos días de atraso se entregará la obra?
a) 8 b) 9 c) 7
d) 5 e) 15
8. En 12 días, 10 obreros hicieron los 2/5 de una obra.
Si se retiran 6 obreros cuántos días demorán los
obreros restantes para terminar la obra?
a) 44 b) 45 c) 47
d) 41 e) 48
9. Quince obreros han hecho la mitad de un trabajo
en veinte días. En ese momento abandonan el
trabajo cinco obreros. ¿Cuántos días tardarán en
terminar el trabajo los obreros que quedan?
a) 15 b) 30 c) 45
d) 13 e) 24
10. Una obra se debe terminar en 30 días con 12
obreros que trabajan 5 horas diarias. Pero cuando
ya habían realizado la quinta parte de la obra, «n»
obreros son despedidos, por lo cual los que quedan
trabajan 3 horas mas cada día, terminando la obra
4 días antes de lo provisto. Calcular «n»
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11. Una cuadrilla de 15 obreros pueden terminar
un trabajo en 25 días. Al cabo de 13 días de
labor se enferman 10 obreros y 4 días mas tarde,
se comunica al contrastista para que entregue
adicionales tendrá que contratar para cumplir con
tal exigencia?
a) 15 b) 14 c) 13
d) 11 e) 16
12. Si N es el número de obreros que pueden hacer
una obra en N43 días trabajando N
3 horas diarias.
¿Cuál es el número N de obreros , si 2N obreros
hacen la misma obra en 72 Horas trabajando N
horas diarias. (UNI 1985–I)
a) 12 b) 24 c) 36
d) 48 e) 60
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