39. Badanie układów sterowania z regulatorami ciągłymi

Projekt wspfinansowany ze rodkw Europejskiego Funduszu Spoecznego

MINISTERSTWO EDUKACJI NARODOWEJ

Beata Organ Jacek Krzysztoforski

Badanie ukadw sterowania z regulatorami cigymi 311[07].Z7.02

Poradnik dla ucznia

Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Pastwowy Instytut Badawczy Radom 2006

Projekt wspfinansowany ze rodkw Europejskiego Funduszu Spoecznego 1

Recenzenci: mgr in. Anna Grska mgr in. Grzegorz migielski Opracowanie redakcyjne: mgr in. Danuta Paweczyk Konsultacja: mgr in. Gabriela Poloczek Korekta: mgr in. Urszula Ran

Poradnik stanowi obudow dydaktyczn programu jednostki moduowej 311[07].Z7.02 Badanie ukadw sterowania z regulatorami cigymi, zawartego w moduowym programie nauczania dla zawodu technik elektronik.

Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Pastwowy Instytut Badawczy, Radom 2006


SPIS TRECI 1. Wprowadzenie 32. Wymagania wstpne 53. Cele ksztacenia 64. Materia nauczania 74.1. Struktury ukadw regulacji 7 4.1.1. Materia nauczania 7 4.1.2. Pytania sprawdzajce 25 4.1.3. wiczenia 26 4.1.4. Sprawdzian postpw 274.2. Modele matematyczne obiektw i ukadw sterowania 28 4.2.1. Materia nauczania 28 4.2.2. Pytania sprawdzajce 35 4.2.3. wiczenia 35 4.2.4. Sprawdzian postpw 384.3. Kryteria sterowania i sterowanie optymalne 39 4.3.1. Materia nauczania 39 4.3.2. Pytania sprawdzajce 52 4.3.3. wiczenia 53 4.3.4. Sprawdzian postpw 544.4. Dobr optymalnych nastaw regulatorw PID 55 4.4.1. Materia nauczania 55 4.4.2. Pytania sprawdzajce 59 4.4.3. wiczenia 59 4.4.4. Sprawdzian postpw 655. Sprawdzian osigni 666. Literatura 71


1. WPROWADZENIE Poradnik, bdzie Ci pomocny w przyswajaniu wiedzy o budowie, zasadzie dziaania

i przeznaczeniu regulatorw cigych, doborze nastaw, a take uatwi wykonywanie wicze, zada i umoliwi Ci przygotowanie si do czekajcych egzaminw.

Poradnik zawiera: 4. Wymagania wstpne, czyli wykaz niezbdnych wiadomoci i umiejtnoci, ktre

powiniene mie opanowane, aby przystpi do realizacji tej jednostki moduowej. 5. Cele ksztacenia, czyli wykaz umiejtnoci, jakie uksztatujesz podczas pracy z tym

poradnikiem. 6. Materia nauczania (rozdzia 4), czyli wiadomoci dotyczce badania ukadw sterowania

z regulatorami cigymi. Rozdzia ten umoliwia samodzielne przygotowanie si do wykonania wicze i zaliczenia sprawdzianw. Obejmuje on rwnie wiczenia, dziki ktrym nabdziesz umiejtnoci praktycznych. Zawieraj one:

pytania sprawdzajce wiedz potrzebn do wykonania wiczenia, wiczenia wraz z opisem czynnoci, ktre musisz wykona w trakcie ich realizacji, sprawdzian postpw, ktry pomoe Ci samodzielnie oceni poziom swoich

umiejtnoci. 7. Sprawdzian osigni zawierajcy zestaw zada sprawdzajcych opanowanie wiedzy

i umiejtnoci z zakresu caej jednostki. Potraktuj go jako wskazwk przy powtarzaniu materiau. Pomoe Ci on oceni, czy wystarczajco dobrze przygotowae si do wiczenia lub testu podsumowujcego t jednostk.

8. Literatur, ktr moesz wykorzysta do poszerzenia wiedzy na interesujce Ci zagadnienia zwizane z tematem jednostki. Jeeli masz trudnoci ze zrozumieniem tematu lub wiczenia, to popro nauczyciela

o wyjanienie i ewentualne sprawdzenie, czy dobrze wykonujesz dan czynno. Po przerobieniu materiau sprbuj zaliczy sprawdzian z zakresu jednostki moduowej.

Jednostka moduowa: Badanie ukadw sterowania z regulatorami cigymi, ktrej treci teraz poznasz, jest jedn z koniecznych do zapoznania si z sterowaniem procesami technologicznymi z zastosowaniem regulatorw niecigych, co w przyszoci pozwoli Ci na zrozumienie dziaania urzdze z jakimi spotykasz si na co dzie, a take pozwoli na podjcie prac projektowych, montaowych, konserwatorskich zwizanych ze sterowaniem.

Bezpieczestwo i higiena pracy W czasie pobytu w pracowni, laboratorium musisz przestrzega regulaminw, przepisw

bhp oraz instrukcji przeciwpoarowych, wynikajcych z rodzaju wykonywanych prac. Przepisy te poznasz podczas trwania nauki.


Schemat ukadu jednostek moduowych dla moduu

Montowanie i eksploatowanie ukadw automatyki elektronicznej

311[07].Z7.03 Badanie ukadw sterowania z regulatorami niecigymi

Modu 311[07].Z7 Montowanie i eksploatowanie ukadw

automatyki elektronicznej

311[07].Z7.01 Montowanie i testowanie pocze

ukadw automatyki

311[07].Z7.02 Badanie ukadw sterowania

z regulatorami cigymi


2. WYMAGANIA WSTPNE Przystpujc do realizacji programu jednostki moduowej powiniene umie:

charakteryzowa podstawowe zjawiska zachodzce w polu elektrycznym, magnetycznym i elektromagnetycznym,

mierzy podstawowe wielkoci elektryczne i parametry elementw elektrycznych, dobiera metody i przyrzdy pomiarowe, przedstawia wyniki pomiarw w rnej formie, interpretowa wyniki pomiarw, wyjania oglne zasady dziaania i bezpiecznego uytkowania podstawowych maszyn

i urzdze elektrycznych, klasyfikowa elementy i ukady elektroniczne, analizowa dziaanie podstawowych elementw i ukadw elektronicznych, klasyfikowa elementy i ukady automatyki, rozrnia podstawowe czony dynamiczne na podstawie charakterystyk skokowych, okrela rol poszczeglnych elementw w ukadach automatycznej regulacji, analizowa dziaanie podstawowych ukadw automatyki, korzysta z rnych rde informacji o elementach, podzespoach i ukadach

elektronicznych oraz elementach i ukadach automatyki, rysowa schemat blokowy ukadu automatycznej regulacji, klasyfikowa ukad sterowania, klasyfikowa ukady automatycznej regulacji, klasyfikowa regulatory, charakteryzowa parametry sterownikw mikroprocesorowych, uruchamia i prezentowa ukad sterowania, sporzdza charakterystyki statyczne i dynamiczne przetwornikw pomiarowych

i elementw wykonawczych, stosowa przepisy bezpieczestwa i higieny pracy podczas montowania

i uruchamiania elementw i urzdze automatyki.


3. CELE KSZTACENIA W wyniku realizacji programu jednostki moduowej powiniene umie:

zmontowa ukad sterowania z regulatorem cigym, zaplanowa eksperyment pomiarowy w celu przeprowadzenia identyfikacji obiektu, wykona zaplanowany eksperyment i zarejestrowa odpowiednie zmienne procesowe, wyznaczy, na podstawie zarejestrowanych przebiegw, parametry przyblionego

modelu obiektu, wyznaczy, dla przyjtego kryterium, optymalne nastawy regulatora, zaprogramowa regulator, uruchomi ukad sterowania i przeprowadzi rejestracj zmiennych procesowych, zinterpretowa wyniki otrzymane dla sterowania z optymalnymi nastawami.


4. MATERIA NAUCZANIA 4.1. Struktury ukadw regulacji 4.1.1. Materia nauczania

Wasnoci ukadu automatyki zale gwnie od zastosowanej struktury pocze jego elementw. Poniej przedstawione zostan przykady ukadw regulacji, ktre powinny przedstawi struktur i zasad dziaania typowych ukadw regulacji.

Na rys. 1a przedstawiono schemat ideowy ukadu stabilizacji napicia staego generatora napdzanego sta prdkoci obrotow = const.

Rys. 1. Ukad stabilizacji napicia generatora prdu staego: [3, s. 92]

a) schemat ideowy, b) schemat obwodu twornika, c) schemat blokowy ukadu z trzema zmianami znaku przyrostw sygnaw, d) schemat blokowy z jedn zmian znaku przyrostw sygnaw

Zmiana wielkoci prdu (i) pobieranego przez odbiornik (odbiorcw), wpywa na zmian

wartoci napicia y, co jest spowodowane spadkiem napicia na rezystancji twornika Rtw. Zmiana obcienia, czyli zmiana prdu i, stanowi zakcenie pracy generatora prdu staego, a wic wpywa na stabilno pracy ukadu. Z tego powodu koniecznym stao si wprowadzenie ukadu automatycznej stabilizacji.

W tym ukadzie sygna wyjciowy (napicie) y jest porwnywany z wartoci zadan napicia w, a rnica midzy nimi stanowi uchyb regulacji e, ktry wzmocniony w wzmacniaczu wz, zasila silniczek wykonawczy prdu staego obcowzbudny s. Silniczek ten przez przekadni p zmienia warto opornoci R w uzwojeniu wzbudzenia. W ukadzie jak na rys. 1, wzrost napicia wyjciowego y powoduje wzrost opornoci R, co z kolei jest


powodem zmniejszenia si napicia y. Takie poczenie nazywa si ujemnym sprzeniem zwrotnym.

Ukad regulacji posiada jeszcze jedn istotn waciwo. Wze sumujcy realizuje rwnanie

ywe = Element ten (wze sumujcy) powinien zapewnia, by zmiana sygnau wyjciowego nie

wpywaa na zmian sygnau zadanego, a wic ma wywoa jedynie zmian uchybu e. W ukadzie generatora prdu staego taka sytuacja wystpi, gdy wzmacniacz wz bdzie posiada parametry wzmacniacza idealnego nieskoczon rezystancj wejciow. Jako element ukadu automatyki, wzmacniacz jest elementem bezinercyjnym o wzmocnieniu kw. Wyej podano, e w ukadzie wystpuje ujemne sprzenie zwrotne. Cechuje si ono t wasnoci, e w ptli utworzonej z elementw wystpuje nieparzysta ilo zmiany znaku przyrostw wielkoci. W ukadzie jak na rys. 1c, wystpuje zmiana znaku przyrostu eg w stosunku do u, zmiana znaku przyrostu e w stosunku do y oraz zmiana przyrostu u w stosunku do .

Oczywicie wielokrotna zmiana znaku przyrostw wielkoci nie jest potrzebna. Na rys 1d przedstawiono rwnowany schemat blokowy, w ktrym wystpuje tylko jedno ujemne wzmocnienie w wle sumujcym. Jest to wystarczajce do realizacji ujemnego sprzenia zwrotnego.

Rys. 2. Ukad stabilizacji poziomu cieczy w zbiorniku: [3, s.94] a) schemat ideowy ukadu stabilizacji poziomu, b) schemat blokowy ukadu, c) przeksztacenie fragmentu ukadu z rys. 2b objtego lini przerywan,

d) przeksztacony schemat ukadu

W ukadzie stabilizacji poziomu cieczy w zbiorniku (rys. 2) poziom cieczy zaley od rnicy pomidzy nastawionym przez hydrauliczny element wykonawczy ew dopywem objtociowym q1 i wymuszonym przez pomp odpywem q2. Warto zadan poziomu nastawia si przez wstpny nacig spryny pokrtem p. Staa fs pochodzca od wstpnie nacignitej spryny jest rwnowaona si fh oddziaywania mieszka m, w ktrym proporcjonalne do poziomu cinienie jest zamienione na si. W wyniku porwnaniu obu si ustala si pooenie strumiennicy s, z ktrej pod cinieniem wytryskuje strumie oleju. Jeeli


strumiennica znajduje si w pooeniu neutralnym wzgldem obu otworw o1, o2, cinienia nad i pod tokiem t elementu ew s takie same i tok stoi. Jeeli nastpi nieznacznie wychylenie strumiennicy o kt to na skutek rnicy cinie tok t zaczyna si porusza w odpowiednim kierunku, zmieniajc dopyw q1. Obieg oleju jest zamknity.

W module 311[07].Z3 poznae elementy automatyki, podstawowe okrelenia, wzory opisujce elementy. Jednak jak przedstawiono na dwch przykadach opisanych powyej, niezbdne jest szersze (kompleksowe) spojrzenie na sterowanie i regulacj procesami technologicznymi.

System techniczny to zbir dowolnych elementw tworzcych okrelon funkcjonaln cao. Zgodnie z tym systemem mona nazwa przedsibiorstwo, wydzia produkcyjny, obrabiark, itp.

Istota sterowania w dowolnym systemie, polega na tym, e system wskutek sterowania osiga stany korzystniejsze ni stany, jakie w nim wystpiyby bez sterowania.

Okrelenie stany korzystniejsze w systemach technicznych oznacza, e przebieg procesu technologicznego jest prawidowy, zgodny z warunkami technicznymi lub optymalny ze wzgldu na zaoony cel produkcyjny.

W procesach produkcyjnych wskutek rnych nieuniknionych przyczyn zakcajcych, jak bdy obsugi, zakcenia w dostawie energii, surowcw, awarie, wystpuj odstpstwa od procesw prawidowych. W trakcie przebiegu procesu naley wic podj pewne czynnoci by osign stany korzystniejsze ni w przypadku braku tych czynnoci.

W takim rozumieniu, sterowanie procesami technicznymi to nie tylko czynnoci wpywajce na przebieg procesu, ale take zwizane z nadzorem, kontrol, zabezpieczeniami, sprawozdawczoci, itp.

Systemy techniczne ze wzgldu na stosowane metody sterowania dzieli si na ukady i systemy wielkie. W ukadach wystpuje sterowanie pojedynczymi procesami. Na og s to ukady stabilizacji parametrw na zadanym poziomie np. utrzymywanie temperatury, poziomu cieczy itp. W systemach wielkich, system sterowania obejmuje wiele ukadw lub podsystemw powizanych wsplnym celem dziaania.

Cech charakterystyczn systemw wielkich jest kompleksowe ujmowanie sterowania, a wic uwzgldnienie udziau ludzi, maszyn, rde surowcw i energii oraz powizania informacyjne pomidzy poszczeglnymi czciami systemu i powizania z innymi systemami.

Wspln cech ukadw sterowania jest uzyskiwanie, przetwarzanie, przesyanie i wyzyskiwanie informacji. W trakcie sterowania naley uzyska informacje o aktualnym stanie procesu, oceni na podstawie tej informacji ewentualne odstpstwa od prawidowego przebiegu procesu i sformuowa dziaania nastawcze przetwarzanie informacji. Z kolei dziaania nastawcze realizowane s w zespoach wykonawczych wyzyskiwanie informacji.

Kady ukad regulacji skada si z obiektu i urzdzenia sterujcego. Urzdzenie sterujce obejmuje wszystkie zespoy i elementy zapewniajce automatyczne sterowanie procesem. Natomiast urzdzenie technologiczne lub maszyn, w ktrej przebiegaj procesy sterowane nazywa si obiektem.

Rozrnia si dwa gwne rodzaje systemw sterowania: systemy sterowania otwartego (bez sprzenia zwrotnego) i systemy sterowania zamknitego (ze sprzeniem zwrotnym).


urzdzenie sterujce w y 1 2 3 Obiekt

Rys. 3. Schemat strukturalny systemu sterowania otwartego: 1 urzdzenie wejciowe,

2 urzdzenie przeczajce (ukad logiczny), 3 urzdzenie wyjciowe, w- wielko sterujca (wiodca), y wielko regulowana

Systemy sterowania otwartego (rys. 3) wystpuj we wszelkich rodzajach automatach

o dziaaniu cyklicznym. Do tych urzdze nale automaty handlowe (np. sprzeda biletw, napojw), automaty owietleniowe, itp. W kadym z nich sygna wejciowy inicjujcy cykl powoduje pojawienie si okrelonej wielkoci wyjciowej z obiektu, np. po wrzuceniu monety, etonu (sygna wejciowy) uzyskuje si puszk napoju (sygna wyjciowy).

W ukadzie otwartym, obieg sygnau nie tworzy obwodu zamknitego. Ukady sterowania otwartego s nieprzydatne do stabilizacji wielkoci wyjciowej.

Konieczny jest inny sposb sterowania.

z Kz u Ku y

obiekt urzdzenie pomiarowe e - ym urzdzenie w

sterujce

Rys. 4. Schemat strukturalny ukadu sterowania ze sprzeniem zwrotnym: u sygna nastawczy, z wymuszenie zakcajce, e odchyka (sygna bdu, uchyb),

ym sygna wyjciowy z urzdzenia pomiarowego, w wielko zadana Istot tej struktury (rys. 4) jest wystpowanie toru, po ktrym wielko wyjciowa y

z obiektu jest przesyana na wejcie obiektu. W ukadzie tworzy si zamknity obwd przekazywania sygnaw. Ukad o tej strukturze sterowania jest ukadem sterowania ze sprzeniem zwrotnym.

W systemach sterowania ze sprzeniem zwrotnym do elementarnych zada sterowania naley realizacja warunku

w - ym = e 0, gdzie: oznacza dy do 0, tzn. utrzymanie uchybu e na poziomie bliskim zeru, co jest rwnoznaczne ze stabilizacj sygnau ym na poziomie w.

Ukady sterowania, ktrych celem jest spenienie tego elementarnego warunku, nale do ukadw regulacji.

Ukady regulacji zalenie od wartoci zadanej dzieli si na ukady regulacji staowartociowej (stabilizacji), programowej, nadnej i ekstremalnej. W regulacji staowartociowej warto zadana ma w okrelonym czasie warto sta. Zadaniem ukadu regulacji staowartociowej jest utrzymywanie staej wartoci regulowanej niezalenie od dziaajcych zakce. Regulacja staowartociowa jest najczciej stosowana w praktyce


przemysowej. W regulacji nadnej warto zadana podlega zmianom nieprzewidywalnym. Ukad regulacji nadnej powinien zapewni zmian wielkoci regulowanej w zalenoci od zmian innej wielkoci fizycznej, zwanej wielkoci wiodc. W tym przypadku warto zadana jest funkcj innej wielkoci, do ktrej wielko regulowana powinna si dostosowywa. Regulacja nadna nazywa si te czsto regulacj ledzc. Przykadem s radarowe ukady nadne artylerii przeciwlotniczej. Ukady nadne, w ktrych wielkoci regulowan jest wielko mechaniczna, taka jak przesunicie, prdko ktowa, itd., s nazywane serwomechanizmami. W regulacji programowej warto zadana zmienia si zgodnie z ustalonym uprzednio programem czasowym. Ukad regulacji programowej jest szczeglnym przypadkiem ukadu ledzcego. Zadaniem ukadu regulacji ekstremalnej jest utrzymanie maksymalnej lub minimalnej wartoci wielkoci regulowanej, jak tylko mona osign, przy aktualnie wystpujcych zakceniach.

Innym kryterium klasyfikacji ukadw regulacji automatycznej mog by np. liczba wielkoci regulowanych w obiekcie oraz sposb pomiaru wielkoci regulowanej.

Ze wzgldu na liczb wielkoci regulowanych wyrniamy jedno- i wielowymiarowe ukady regulacji.

Ze wzgldu na sposb pomiaru wielkoci regulowanej, mona dokona podziau ukadw regulacji automatycznej na ukady analogowe i cyfrowe. W ukadach tych bardzo istotn rol peni odpowiednio przetworniki A/C i C/A.

Projektujc ukad regulacji naley uwzgldni wiele czynnikw, dokona jego analizy tak, by uzyska informacje o: nastawach regulatora, strukturze ukadu, zalenoci jaka powinien spenia regulator, jakoci regulacji, niezawodnoci ukadu w warunkach pracy normalnej i awaryjnej, kosztach, dostpnoci na rynku i inne.

Korzystanie z metod analizy wymaga znajomoci zasad pracy ukadu automatycznej regulacji i funkcji poszczeglnych elementw w ukadzie. Matematyczny opis ukadu regulacji

Waciwoci cigego elementu lub ukadu liniowego o parametrach staych mona opisa za pomoc rwnania rniczkowego, liniowego, o staych wspczynnikach i postaci oglnej:

an ,xbdt

xdbdt

xdbyadt

ydadt

yd01m

1m

1mm

m

m01n

1n

1nn

n

+++=+++

KK

przy czym dla fizycznie realizowanych przypadkw obowizuje warunek m n. Jest to rwnanie rzdu n wzgldem wielkoci wyjciowej y, za x oznacza wymuszenie (wielko wejciow), t czas, ak i bl wspczynniki stae (k = 0, 1, 2, ..., n; l = 0, 1, 2, ..., m).

Opis typu wejcie wyjcie w przedstawionej powyszej postaci nie jest najczciej zbyt wygodny. Bardzo due uproszczenie tego opisu uzyskuje si wprowadzajc pojcie transmitancji operatorowej.

Metoda operatorowa polega na zastosowaniu przeksztacenia, zwanego przeksztaceniem Laplace`a, ktre pozwala zastpi rwnanie rniczkowo-cakowe zwykym rwnaniem algebraicznym. Przeksztacenie Laplace`a przyporzdkowuje danej funkcji transformat (obraz przeksztacenia) i odwrotnie

f(t)F(s).


Zamy, e X(s) jest transformat Laplace`a wymuszenia x(t) pojawiajcego si dla t > 0, a Y(s) transformat szukanego sygnau wyjciowego y(t). Wwczas powysze rwnanie wejcie wyjcie, w dziedzinie transformat, przy zerowych warunkach pocztkowych, mona zapisa jako (ansn + an-1 sn-1 + an-2 sn-2 + ... + a1s + a0) Y(s) = (bmsm + bm-1 sm-1 + bm-2 sm-2 + ... + b1s + + b0) X(s).

Transmitancj operatorow nazywa si iloraz transformat wyjcia i wejcia, przy zerowych warunkach pocztkowych

G(s) = 01

2n2n

1n1n

nn

012m

2m1m

1mm

m

asasasasabsbsbsbsb

)s(X)s(Y

++++++++++

=

K

K,

przy czym m n. Transmitancja G(s) jest funkcj zmiennej zespolonej s i ma t waciwo, e w wyniku

pomnoenia transformaty wejcia X(s) przez transmitancj G(s) otrzymuje si transformat wyjcia Y(s):

X(s) G(s) = Y(s). Poniewa transmitancja operatorowa opisuje w sposb kompletny waciwoci elementu

lub ukadu liniowego, wpisujemy j wewntrz prostokta symbolizujcego dany element na schematach blokowych ukadw automatyki. Wyznaczanie transmitancji podstawowych pocze elementw

Poczenie szeregowe (rys. 5).

x a b y x y K1(s) K2(s) K3(s) G(s)

Rys. 5. Poczenie szeregowe elementw

Transmitancja gwna elementw poczonych szeregowo (rys.5), wynosi:

,)s(X)s(A)s(B)s(A)s(B)s(Y

)s(X)s(Y)s(G ==

czyli

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )sKsKsKsXsYsG 321 ==

a wic jest iloczynem transmitancji elementw tworzcych ukad. Poczenie rwnolege (rys. 6).

K1(s) +a

+b

x K2(s) y x G(s) y +c

K3(s)

Rys. 6. Poczenie rwnolege elementw Transmitancja gwna elementw poczonych rwnolegle (rys. 6), wynosi:

)s(X)s(C

)s(X)s(B

)s(X)s(A

)s(X)s(C)s(B)s(A

)s(X)s(Y)s(G ++=++== ,


czyli

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )sKsKsKsXsYsG 321 ++==

a wic jest sum algebraiczn transmitancji elementw tworzcych ukad. Poczenie ze sprzeniem zwrotnym (rys. 7).

Ko(s) y

e + Kr(s) w

Rys. 7. Ukad ze sprzeniem zwrotnym

W przypadku ujemnego sprzenia zwrotnego rwnanie wza sumacyjnego jest nastpujce:

E(s) = W(s) Y(s), a rwnanie opisujce sygna wyjciowy ma posta:

Y(s) = Ko(s) Kr(s)E(s). Po przeksztaceniach otrzymujemy:

G(s) =

)s(E)s(Y1

)s(E)s(Y

)s(Y)s(E)s(Y

)s(W)s(Y

+=

+= .

W przypadku dodatniego sprzenia zwrotnego rwnanie wza sumacyjnego jest nastpujce:

E(s) = W(s) +Y(s), zatem zmieni si tylko znak sumy w mianowniku transmitancji. Transmitancja ukadu ze sprzeniem zwrotnym (rys. 7) okrelana jest zalenoci

( ) ( ) ( )( ) ( )sKsK1sKsKsGro

ro

=

m.

Gdy w mianowniku wystpuje znak +, mamy do czynienia z ukadem z ujemnym sprzeniem zwrotnym, natomiast gdy wystpuje znak -, - to ukad z dodatnim sprzeniem zwrotnym.

Transmitancja ukadu zamknitego

Rys. 8. Schemat blokowy ukadu z wyrnionymi wymuszeniami:

wartoci zadan w i zakceniem z [3, s. 97]


Na rys. 8, elementy wystpujce pomidzy miejscami wejcia zakcenia z a gwnym wzem sumujcym przedstawiono w postaci jednego bloku o transmitancji Kz(s). Pozostae elementy ptli skupiono w drugim bloku transmitancji Kz*(s). Analizujc schemat blokowy ukadu, jak na rys. 8 uzyskujemy rwnania:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )sKsZsEsKsY z*z =

( ) ( ) ( )sYsWsE = Wprowadzajc oznaczenie

( ) ( ) ( )sKsKsK z*z= jako transmitancj otwartego ukadu, otrzymujemy:

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )sZsK1sKsW

sK1sKsY z

+

+=

We wzorze powyszym, przedstawiajcym zaleno pomidzy wymuszeniami w i z, a wielkoci regulowan y w ukadzie zamknitym wystpuj dwie transmitancje. Pierwsza z nich

( ) ( )( )( )( ) ( ) 0sZprzy,sWsY

sK1sKsG ==

+=

nazywa si transmitancj gwn zamknitego ukadu, natomiast druga

( )( )( ) ( ) 0sWprzy,sZsY

sK1)s(K)s(G zz ==+

=

nazywa si transmitancj zakceniow zamknitego ukadu. Po przeksztaceniach, otrzymujemy zaleno pomidzy uchybem E(s) a wymuszeniami

W(s) i Z(s):

( ) ( ) ( )( )( ) ( )sZsK1sKsW

sK11sE z

++

+=

We wzorze tym, take wystpuj dwie transmitancje. Transmitancja

( ) ( )( )( ) ( ) 0sZprzy,sWsE

sK11sGe ==+

=

zwana jest transmitancj uchybow zamknitego ukadu. Transmitancja

( ) 0)s(Wprzy,)s(Z)s(E

)s(K1)s(KsG zz ==+

=

tak jak poprzednio, jest transmitancj zakceniow zamknitego ukadu. W przypadku, gdy w ukadzie dziaa kilka zakce (Zi(s), i = 1, 2, ... , n) otrzymuje si

dla uchybu w zamknitym ukadzie nastpujc zaleno:

)s(Z)s(K1

K)s(W

)s(K11)s(E i

n

1i

zi= +

++

=

gdzie: )s(Kiz - transmitancja zastpcza elementw znajdujcych si pomidzy wejciem

i-tego zakcenia a gwnym wzem sumujcym. Ksztatowanie wasnoci dynamicznych

Na rys. 9, przedstawiono ukad regulacji ze sprzeniem zwrotnym, skadajcy si z bezinercyjnego wzmacniacza o bardzo duym wzmocnieniu kw >> 1 oraz elementu dynamicznego o transmitancji (s).


w + e y kw - (s)

Rys. 9. Ukad regulacji ze sprzeniem zwrotnym przez blok kw wzmocnienie wzmacniacza, (s) transmitancja elementu sprzenia zwrotnego

Transmitancja ukadu z rys. 9, wynosi:

)s(k1k)s(G

w

w+

=

Przy wzmocnieniu kw >> 1 transmitancja spenia zaleno:

)s(1

)s(k1

1)s(G

w

+=

Transmitancja G(s) zaley tylko od parametrw transmitancji sprzenia zwrotnego (s), a nie zaley od parametrw wzmacniacza. Zatem wzmocnienie kw moe si zmienia, byle tylko byo due. T wasno wykorzystuje si do konstrukcji regulatorw analogowych jako elementw o podanych wasnociach dynamicznych.

Ujemne sprzenie zwrotne jest podstawow cech ukadu regulacji automatycznej. Zasadnicz wasnoci ukadu z ujemnym sprzeniem zwrotnym jest to, e przy

dostatecznie duym wzmocnieniu, przy ktrym ukad jest stabilny, uchyb jest zbliony do zera. Wasnoci statyczne i dynamiczne podstawowych elementw automatyki

Jeeli istnieje proporcjonalno midzy zmianami sygnau wyjciowego y i zmianami sygnau wejciowego x elementu, to charakterystyka statyczna elementu y = f(x) jest lini prost (rys.10), a element taki nazywamy liniowym. W charakterystyce liniowej nachylenie wykresu K, nazywane wspczynnikiem wzmocnienia, ma warto sta, niezalen od wartoci sygnau wejciowego, ktra jest rwna tangensowi kta nachylenia charakterystyki statycznej.

K = xy

= tg = const

W ukadach regulacji automatycznej rzeczywiste elementy maj czsto charakterystyki statyczne nieliniowe, w ktrych wspczynnik wzmocnienia zaley od wartoci sygnau wejciowego (rys.11). Czony takie nazywamy nieliniowymi. Przyblion warto wspczynnika wzmocnienia elementu nieliniowego, dla okrelonej wartoci sygnau wejciowego, otrzymamy zastpujc jego charakterystyk statyczn odcinkiem stycznej w danym punkcie i przyjmujc tanges kta nachylenia stycznej jako wzmocnienie.

Dla wybranych na wykresie punktw nachylenie wykresu wynosi:

dla punktu P1 K1 = 1

1

xy

= tg 1,

dla punktu P2 K2 = 2

2

xy

= tg 2.


Rys. 10. Charakterystyka statyczna elementu liniowego

[8, s.14] Rys. 11. Charakterystyka statyczna elementu

nieliniowego [8, s. 14]

Zastpowanie charakterystyki nieliniowej odcinkiem linii prostej nazywamy linearyzacj.

Linearyzacja pozwala okreli warto wspczynnika wzmocnienia jedynie w niewielkim otoczeniu punktu pracy. Im wiksze jest otoczenie punku pracy, tym wikszy jest bd spowodowany linearyzacj.

Charakterystyki dynamiczne okrelaj zachowanie si blokw w stanach nieustalonych, po zadaniu okrelonego przebiegu sygnau wejciowego. Do okrelania charakterystyk dynamicznych ukadu sterowania lub jego czci stosuje si, wytworzone specjalnie w tym celu, standardowe sygnay wejciowe (tab. 1), ktrych przebieg czasowy odwzorowuje z gry okrelon funkcj. Tabela 1. Standardowe sygnay wejciowe (wymuszenia) stosowane do badania elementw automatyki [8, s. 15]


Najczciej do okrelania waciwoci dynamicznych czonw stosuje si standardowe wymuszenie skokowe jednostkowe przybierajce w dowolnej chwili czasu warto skoku rwn jeden a odpowied elementu lub ukadu na to wymuszenie nazywamy odpowiedzi skokow jednostkow. Odpowied skokowa czonu to odpowied na standardowe wymuszenie skokowe przybierajce w dowolnej chwili czasu sta warto xst. Rodzaje podstawowych czonw dynamicznych automatyki. Czon proporcjonalny

Czon proporcjonalny (bezinercyjny) jest to najprostszy element automatyki, ktrego waciwoci dynamiczne mog by pominite i ktry w zwizku z tym jest wystarczajco dokadnie opisywany charakterystyk statyczn

y = kx, gdzie: y wielko wyjciowa, x wielko wejciowa, k wspczynnik wzmocnienia (proporcjonalnoci).

Charakterystyk statyczn elementu proporcjonalnego przedstawia rys. 12, natomiast charakterystyk odpowiedzi skokowej przedstawia rys.13.

Rys. 12. Charakterystyka statyczna elementu proporcjonalnego [8, s. 17]

Rys. 13. Odpowied skokowa elementu proporcjonalnego [8, s. 17]

Wspczynnik wzmocnienia elementu obliczamy z charakterystyki skokowej:

)t(x)t(y =

st

st

xxk

= k.

W zapisie rachunku operatorowego czon proporcjonalny (bezinercyjny) opisany jest transmitancj, ktra jest rwna wspczynnikowi proporcjonalnoci:

G(s) = )s(X)s(Y = k.

Przykadem elementu proporcjonalnego jest dwignia dwustronna (rys. 14). Sia Fx przyoona do jednego koca dwigni powoduje, e natychmiast pojawia si na drugim kocu sia Fy, ktrej warto zaley od stosunku odlegoci punktw przyoenia si od punktu podparcia dwigni:

Fxa = Fyb,

Fy = ba Fx .


Rys. 14. Dwignia dwustronna [16, s. 34] Rys. 15. Rezystancyjny dzielnik napicia [8, s. 18]

Przykadem elektrycznego elementu proporcjonalnego jest rezystancyjny dzielnik

napicia (rys. 15). Sygnaem wejciowym x jest napicie U1 , przyoone w chwili t0, ktre powoduje, e na zaciskach wyjciowych w tej samej chwili pojawi si napicie U2 jako sygna wyjciowy y, ktrego warto wynosi:

U2 = 121

2 URR

R+

,

gdzie: k = 21

2

RRR+

- jest wzmocnieniem elementu proporcjonalnego.

Do elementw proporcjonalnych (bezinercyjnych) zaliczamy rwnie wszystkie poczenia sztywne, zawory, przekadnie. Czon inercyjny I rzdu

Waciwoci dynamiczne czonu inercyjnego I rzdu dobrze oddaje jego odpowied skokowa (rys. 16). Wielko wyjciowa tego czonu wykazuje, w stosunku do wymuszenia przyoonego na wejciu, pewn bezwadno (inercj). Std nazwa tego czonu. Czon inercyjny ma take charakterystyk statyczn, ktra okrela zaleno midzy sta w czasie wartoci wielkoci wejciowej a wartoci ustalon wielkoci wyjciowej.

Rys. 16. Odpowied skokowa elementu inercyjnego I rzdu: x(t) sygna wejciowy, y(t) sygna wyjciowy, k, T parametry czonu [8, s. 19]

Odpowied na wymuszenie skokowe ma posta:

y(t) = K(1 e Tt

),

gdzie: K - wzmocnienie czonu, e staa (podstawa logarytmw naturalnych), T staa czasowa.


Szybko zmian wielkoci wyjciowej jest charakteryzowana za pomoc parametru T, zwanego sta czasow i majcego wymiar czasu. Im wiksza jest warto tego parametru, tym wolniej nada wielko wyjciowa za wejciow.

Sta czasow T czonu inercyjnego otrzymujemy jako czas okrelony rzutem odcinka stycznej 0A na asymptot wyznaczajca warto ustalon wielkoci wejciowej. Moemy wyznaczy j rwnie podstawiajc do wyej podanego rwnania opisujcego odpowied na wymuszenie skokowe t = T:

y(T) 0,632K. W przypadku skokowej zmiany wielkoci wejciowej, wielko wyjciowa czony

inercyjnego I rzdu zmienia si w cigu kadego przedziau czasu o dugoci T o ok. 63% rnicy midzy jej wartoci pocztkow a wartoci ustalon, do ktrej dy.

Czon inercyjny I rzdu opisany jest rwnaniem rniczkowym

T dt

)t(dy + y(t) = K x(t)

lub transmitancj w zapisie rachunku operatorowego

G(s) = sT1

K+

.

Charakterystyk czonu inercyjnego ma wiele urzdze (sam lub w poczeniu z innymi czonami). Inercj spotykamy przede wszystkim tam, gdzie wystpuje pokonywanie bezwadnoci i oporw ruchu. Przykadowo charakterystyk inercyjn bdzie mia wykres prdkoci wirowania silnika elektrycznego po wczeniu go do sieci, wykres prdkoci liniowej samochodu po zmianie pooenia dwigni gazu. Za pomoc inercji moemy przedstawi waciwoci dynamiczne np.: elazka, garnka, w ktrym podgrzewana jest woda, zbiornika ze swobodnym odpywem

Przykadem w elektronice czonu inercyjnego I rzdu jest czwrnik typu RC lub LR (rys.17). W przypadku czwrnika RC odpowiedzi na wymuszenie skokowe napicia U1, jest napicie na adujcym si kondensatorze, a w przypadku czwrnika LR napicie na odbiorniku, wprost proporcjonalne do narastajcego prdu w obwodzie. Stae czasowe

podanych elementw inercyjnych s odpowiednio rwne: RC i RL .

Rys. 17. Realizacja elektryczna elementu inercyjnego I rzdu za pomoc: a) czwrnika RC, b) czwrnika LR [8, s. 21]

Czon inercyjny II rzdu acuchowe poczenie dwch elementw inercyjnych I rzdu prowadzi do ukadu

zwanego elementem inercyjnym II rzdu. Przykadem w dziedzinie elektroniki takiego elementu moe by poczenie dwch czonw inercyjnych typu RC (rys. 18) lub LR.


Rys. 18. Realizacja elektryczna elementu inercyjnego II rzdu [8, s. 20]

Czon R1C1 wprowadza opnienie pocztkowe, poniewa napicie na kondensatorze jest traktowane jako sygna wejciowy dla czonu R2 C2.

Rwnanie rniczkowe elementu inercyjnego II rzdu ma posta:

T1 T2 22

dtyd + (T1 + T2) dt

dy + y = Kx,

gdzie: T1, T2 stae czasowe, K wspczynnik proporcjonalnoci.

Transmitancja operatorowa ma posta:

G(s) = )1sT)(1sT(

K

21 ++.

Rys. 19. Odpowied skokowa elementu inercyjnego II rzdu: x(t) sygna wejciowy, y(t) sygna wyjciowy [8, s. 19]

Na rys. 19 przedstawiona jest odpowied skokowa czonu inercyjnego II rzdu oraz sposb wyznaczania staych czasowych T1, T2. Element inercyjny II rzdu czsto po uproszczeniu traktowany jest jako element inercyjny I rzdu o staej czasowej T2 z pocztkowym opnieniem T1. Jest to typowy model dynamiczny wielu procesw przemysowych.


Czon cakujcy Charakterystyka odpowiedzi skokowej czonu cakujcego przedstawiona jest na rys. 20.

Rys. 20. Odpowied skokowa czonu cakujcego: x(t) sygna wejciowy, y(t) sygna wyjciowy [8, s. 21]

Odpowied skokowa y(t) jest okrelona zalenoci:

y(t) = T1 xstt,

gdzie: T staa czasowa cakowania ( czas po, ktrym odpowied skokowa osignie warto

wymuszenia). Element cakujcy opisany jest rwnaniem rniczkowym:

T dtdy = kx

lub transmitancj operatorow

G(s) = sTk

Jak wida z przebiegu odpowiedzi skokowej, ktra narasta liniowo do nieskoczonoci, czon cakujcy nie osiga stanu ustalonego. Czon cakujcy nazywany jest czonem astatycznym, bo nie ma on charakterystyki statycznej. Poniewa osiga on stan ustalony tylko przy zerowej wartoci sygnau wejciowego (rys. 21).

Rys. 21. Zmiana sygnau wyjciowego czonu cakujcego przy skokowych zmianach sygnau wejciowego [9, s. 22]

Przykadem fizycznym elementu cakujcego jest zbiornik, w ktrym zarwno dopyw, jak i odpyw s wymuszane i niezalene od poziomu cieczy. Rwnie silnik elektryczny,


idealizujc sposb jego rozruchu ( silnik rusza z prdkoci znamionow, nie wykazujc inercji), jest przykadem modelu czonu cakujcego. W chwili zaczenia napicia, ktre dla maych silnikw ma charakter skokowy, obserwujemy liniowo narastajc liczb obrotw wau silnika.

Czon inercyjny I rzdu mona, przez pewien czas stanowi dobre przyblienie czonu cakujcego. Im wiksza jest staa czasowa czonu inercyjnego, tym duszy jest ten czas. W zwizku z tym, przy bardzo duych wartociach staych czasowych czonu inercyjnego mona go traktowa jak czon cakujcy. Czon rniczkujcy

Idealny element rniczkujcy opisany jest rwnaniem rniczkowym:

y(t) = kdtdx

lub transmitancj operatorow G(s) = k s.

Odpowiedzi skokow idealnego czonu rniczkujcego (rys. 22) jest funkcja Diraca pomnoona przez wspczynnik proporcjonalnoci oraz amplitud wymuszenia wejciowego. Moemy powiedzie, e odpowiedzi czonu rniczkujcego idealnego jest sygna o znikomo krtkim czasie trwania (o zerowym czasie trwania) i nieskoczenie wielkiej amplitudzie.

Rys. 22. Odpowied skokowa idealnego czonu rniczkujcego: x(t) sygna wejciowy, y(t) sygna wyjciowy [8, s. 21]

W rzeczywistych ukadach fizycznych nie moliwe jest uzyskanie impulsu o nieograniczonej amplitudzie, w zwizku z tym waciwoci czonu rniczkujcego idealnego bada si wymuszeniem liniowo narastajcym (rys. 23).

Rys. 23. Odpowied idealnego czonu rniczkujcego przy liniowo narastajcym sygnale wejciowym [9, s. 23]


Jak wida na rys. 23, przy liniowo narastajcym wymuszeniu na wyjciu idealnego czonu rniczkujcego otrzymujemy funkcj skokow. Przykadem takiego czonu moe by prdnica prdu staego, ktrej sygnaem wejciowym jest kt obrotu wau, a sygnaem wyjciowym napicie o staej wartoci, proporcjonalnej do prdkoci wirowania wau.

Czon rniczkujcy rzeczywisty jest opisany rwnaniem rniczkowym:

T dtdy + y = k

dtdx ,

dla ktrego transmitancja operatorowa wynosi

G(s) = ksT1

s+

,

gdzie: T staa czasowa czonu rniczkujcego, k wspczynnik wzmocnienia. Na rys. 24 przedstawiona jest odpowied skokowa tego czonu.

Rys. 24. Odpowied skokowa rzeczywistego czonu rniczkujcego: x(t) sygna wejciowy, y(t) sygna wyjciowy, T staa rniczkowania [8, s. 23]

Przebieg zmian sygnau wyjciowego y(t) rzeczywistego czonu rniczkujcego

przedstawia zaleno:

y(t) = Tk xste-

Tt

,

gdzie: xst warto skoku wymuszenia. Taka sam odpowied skokow jak na rys. 24 otrzymalibymy przy szeregowym

poczeniu czonw: inercyjnego ze sta czasow T i rniczkujcego idealnego. Przykadem w elektronice elementu rniczkujcego jest dzielnik napicia RL i czwrnik

CR (rys. 25).

a)

b)

Rys. 25. Przykad rzeczywistego czonu rniczkujcego: a) dzielnik napicia RL, b) czwrnik CR [8, s. 25]

Czon oscylacyjny Czon oscylacyjny jest opisany rwnaniem rniczkowym:

T12 22

dtyd + T2

dtdy + y = kx(t)


lub transmitancj operatorow

G(s) = 1sTsT

k

222

1 ++,

gdzie: T1, T2 stae czasowe, 22T <

21T ,

k wspczynnik proporcjonalnoci.

Rys. 26. Odpowied skokowa czonu oscylacyjnego dla rnych wspczynnikw tumienia: x(t) sygna wejciowy, y(t) sygna wyjciowy [8, s. 25]

Przebiegi odpowiedzi na wymuszenie skokowe czonu oscylacyjnego przedstawia

rys. 26. Zale one od wartoci wspczynnika tumienia = 1

2

TT . Dla wspczynnika 1

charakterystyka przypomina odpowied czonu inercyjnego, dla < 1 wystpuj oscylacje. Przykadem realizacji elektrycznej elementu oscylacyjnego jest szeregowy obwd

rezonansowy zoony z elementw RLC jak na rys. 27. Sygnaem wejciowym ukadu jest napicie U1, sygnaem wyjciowym napicie U2. Parametry elementu oscylacyjnego okrelaj nastpujce zalenoci:

T1 = CL , T2 = RC, = LC

2R .

Rys. 27. Realizacja elektryczna elementu oscylacyjnego [8, s. 26]

Czon opniajcy (continuum RL)

Sygna wyjciowy elementu opniajcego ma taki sam ksztat jak sygna wejciowy, lecz przesunity w czasie. Rwnanie czon opniajcego ma posta:

y(t) = x(t T0), gdzie: T0 opnienie.

Jego transmitancja operatorowa wynosi: G(s) = k 0sTe ,


a odpowied skokow przedstawia rys. 28.

Rys. 28. Odpowied skokowa czonu opniajcego: x(t) sygna wejciowy, y(t) sygna wyjciowy

[8, s. 27]

Czon opniajcy nie wprowadza znieksztace sygnau wejciowego, lecz przesuwa go w czasie o pewn sta warto T0. Czon ten opisuje czas transportu materiau, czas potrzebny do przesania sygnau. W zwizku z tym, czon ten czsto nazywany jest opnieniem transportowym. Przykadami czonu opniajcego s: np. odcinek rurocigu wprowadzajcy opnienie w przesyle jakiego medium, tamocig. W dziedzinie elektroniki przykadem takiego czonu jest linia opniajca 64s (sygnay podawane s w odstpie czasu trwania linii, czyli przez 64s na matryc dekodera) stosowana w kolorowych odbiornikach telewizyjnych.

Innym modelem czonu opniajcego jest linia elektryczna, w ktrej uwzgldniono tylko indukcyjno L i pojemno C na jednostk dugoci (rys. 29). Std inna nazwa czonu opniajcego continuum LC.

Rys. 29. Continuum LC [15, s. 60]

4.1.2. Pytania sprawdzajce

Odpowiadajc na pytania, sprawdzisz, czy jeste przygotowany do wykonania wicze. 1. Jakie s podstawowe ukady czenia elementw? 2. Jaki jest wzr na transmitancj zastpcz szeregowego i rwnolegego poczenia

elementw? 3. Jakie zalenoci opisuj ukady ze sprzeniem zwrotnym? 4. Jaki wpyw na dziaanie ukadu ma sprzenie zwrotne, gdy wzmocnienie wzmacniacza

jest bardzo due? 5. Jaki zachowa si ukad ze sprzeniem zwrotnym, gdy pojawi si zakcenie

w dowolnej czci ukadu? 6. Jak charakteryzuje si elementy liniowe? 7. Jakie poznae elektryczne modele podstawowych czonw automatyki?


4.1.3. wiczenia wiczenie 1

Wyznacz transmitancj ukadu jak na rys. Uwzgldnij wartoci elementw.

Rys. do wiczenia 1. Schemat ideowy ukadu

Sposb wykonania wiczenia Aby wykona wiczenie powiniene:

1) zapozna si z instrukcj wykonania wiczenia, 2) zorganizowa stanowisko pracy do wykonania wiczenia, 3) wykona obliczenia, 4) zaprezentowa wykonane wiczenie, 5) dokona oceny poprawnoci wykonanego wiczenia, 6) sporzdzi sprawozdanie z przebiegu wiczenia, zaczajc schematy ukadu, otrzymane

wyniki, obliczenia i wnioski z bada. Wyposaenie stanowiska pracy:

zeszyt, instrukcja wiczenia, literatura z rozdziau 6. wiczenie 2

Wyznacz transmitancj ukadu jak na rys. Uwzgldnij wartoci elementw.

Rys. do wiczenia 2. Schemat ideowy ukadu


1) zapozna si z instrukcj wykonania wiczenia,


2) zorganizowa stanowisko pracy do wykonania wiczenia, 3) wykona obliczenia, 4) zaprezentowa wykonane wiczenie, 5) dokona oceny poprawnoci wykonanego wiczenia, 6) sporzdzi sprawozdanie z przebiegu wiczenia, zaczajc schematy ukadu, otrzymane


zeszyt, instrukcja wiczenia, literatura z rozdziau 6.

4.1.4. Sprawdzian postpw

Tak Nie Czy potrafisz:

1) obliczy transmitancj zastpcz poczonych szeregowo elementw? 2) obliczy transmitancj wzmacniacza objtego sprzeniem zwrotnym? 3) przeksztaci ukad automatyki? 4) obliczy odpowied ukadu na wymuszenie skokiem jednostkowym? 5) przewidzie wpyw zakcenia na wielko regulowan?


4.2. Modele matematyczne obiektw i ukadw sterowania 4.2.1. Materia nauczania

Sterowanie polega na oddziaywaniu na okrelony proces fizyczny w celu uzyskania podanego przebiegu tego procesu. Wrd wielu odmian wyrni mona sterowanie: sekwencyjne, czasowe, sekwencyjno-czasowe, nadne, programowe.

Cech charakterystyczn sterowania sekwencyjnego jest zapewnienie waciwej kolejnoci wykonywania operacji technologicznych.

Sterowanie czasowe, polega na tym, e odpowiednie oddziaywanie urzdzenia sterujcego odbywa si wedug z gry ustalonego programu czasowego. Najczciej chodzi o utrzymanie odpowiedniego odstpu czasowego midzy dwoma zdarzeniami.

Sterowanie sekwencyjno-czasowe stanowi poczenie dwch wyej przedstawionych odmian sterowania. W ukadach sterowania nadnego warto wielkoci wiodcej (zadanej) nie jest z gry znana, lecz zmienia si do przypadkowo. W ukadach sterowania programowego wielko wiodca zmienia si w sposb z gry znany, zgodnie z okrelonym programem. Program ten moe by zmieniany przez obsug.

Jako regulatory wykorzystuje si ukady przekanikowe, logiczne, sterowniki, komputery.

Niejednokrotnie wskutek wystpowania wielu zakce, zmieniajcych si w szerokim zakresie, zastosowanie prostych ukadw regulacji automatycznej nie pozwala uzyska zadawalajcego przebiegu procesu technologicznego. Konieczne jest zastosowaniem bardziej zoonych ukadw regulacji. Wrd zoonych struktur ukadw regulacji automatycznej mona wyrni ukady regulacji: z pomocnicz wielkoci nastawcz, kaskadowej, z pomiarem wielkoci zakcajcej.

Dobr najwaciwszej struktury ukadu regulacji jest zadaniem trudnym i wymaga bardzo dobrej znajomoci waciwoci statycznych i dynamicznych obiektu regulacji.

Ukady regulacji z pomocnicz wielkoci nastawcz (rys. 30) stosuje si w celu poprawienia przebiegu wielkoci regulowanej w stanach nieustalonych. W ukadzie wyrnia si dwie wielkoci nastawiajce: gwn y i pomocnicz yp, a tym samym dwa elementy wykonawcze. Aby pomocniczy element wykonawczy mg ingerowa rwnie w stanach nieustalonych, jest on sterowany przez element dynamiczny typu D lub PD.

z y x xo e - yp

Rys. 30. Schemat blokowy ukadu regulacji z pomocnicz wielkoci nastawiajc: y gwna wielko nastawiajca, yp pomocnicza wielko nastawiajca, xo - wielko zadana,

e uchyb, z zakcenie, x wielko regulowana, R regulator, CD czon dynamiczny

R CD

Obiekt


Rys. 31. Ukad regulacji temperatury komory nagrzewanej pyem wglowym

z pomocnicz wielkoci nastawiajc [14, s. 104] MK myn kulowy, C cyklon, R regulator, PD regulator pomocniczy typu PD, K komora spalania

Przykadem ukadu regulacji z pomocnicz wielkoci nastawiajc jest ukad regulacji

temperatury w komorze K nagrzewanej pyem wglowym (rys. 31). Po zmieleniu wgla w mynie kulowym MK py zostaje przetransportowany wraz ze strumieniem powietrza do cyklonu C, gdzie osiada na jego dnie. Prosty sposb regulacji moe polega na pomiarze temperatury i oddziaywaniu na prdko ktow myna. Cecha charakterystyczn takiego obiektu jest dua warto czasu opnienia oraz staej czasowej. Dla polepszenia regulacji wykorzystano jako pomocnicz wielko nastawiajc strumie powietrza dostarczajcy py wglowy bezporednio do komory spalania. Zmniejszenie si wartoci temperatury w stosunku do zadanej o powoduje: zwikszenie stopnia otwarcia zaworu, wskutek czego nastpi chwilowe zwikszenie

przepywu powietrza porywajcego za sob czstki pyu, zwikszenie prdkoci ktowej myna, co z kolei spowoduje zwikszenie iloci

wytwarzanego paliwa. Powietrze dodatkowe doprowadzone bezporednio do komory spalania uzupenia ilo

powietrza do cakowitego spalania.

Rys. 32. Ukad regulacji cinienia w zbiorniku, z wykorzystaniem [14, s. 105]

pomocniczej wielkoci nastawiajcej P pompa, Z zbiornik, R regulator, D regulator typu D, M silnik


Rys. 32 przedstawia zbiornik zasilany przez pomp P. Wielkoci regulowan jest cinienie w zbiorniku. Nastawianie cinienia przez zmian prdkoci ktowej pompy P jest sposobem bardzo ekonomicznym (mae zuycie energii), ale rwnoczenie bardzo powolnym. Zmniejszenie odpywu Q ze zbiornika powoduje w nim nadmierny wzrost cinienia, co jest bardzo niebezpieczne. Zastosowanie zaworu pomocniczego powoduje, w przypadku wzrostu cinienia, szybkie przymknicie zaworu. Spowoduje to zwikszenie spadku cinienia na zaworze nie dopuszczajc do wystpienia nadmiernego cinienia w zbiorniku. W normalnym stanie pracy zawr jest cakowicie otwarty.

W niektrych przypadkach mona dla okrelonego obiektu wybra pewn wyjciow wielko pomocnicz, na ktr wszelkie zakcenia wpywaj znacznie wczeniej ni na wielko regulowan. Czsto wielkoci pomocnicz moe by wielko regulowana, ale zmierzona w jakim miejscu porednim.

Wykorzystanie wielkoci pomocniczej w ukadzie regulacji umoliwia regulatorowi odpowiednio wczeniej wpyn na wielko nastawian, niby to byo moliwe w przypadku odczekania a do chwili uwidocznienia wpywu tego zakcenia na wielko regulowan. Ukad umoliwiajcy realizowanie takiego oddziaywania nosi nazw ukadu regulacji kaskadowej.

obiekt e x xo Rg Rp O1 O2

xp

Rys. 33. Schemat blokowy ukadu regulacji kaskadowej: Rg regulator gwny, Rp regulator pomocniczy, x0 - wielko zadana, e - uchyb xp pomocnicza wielko regulowana,

x wielko regulowana, O1, O2 czci obiektu

Schemat blokowy ukadu regulacji kaskadowej przedstawiono na rys. 33. W obiekcie regulacji wyodrbniono dwie czci: blok O1 symbolizuje wpyw wielkoci nastawianej na pomocnicz wielko regulowan

xp, blok O2 symbolizuje wpyw wielkoci xp na wielko regulowan x. W strukturze mona take wyodrbni dwa obwody regulacyjne: pomocniczy z regulatorem Rp, gwny z regulatorem Rg.

Obwd z regulatorem gwnym Rg, jest obwodem wolno dziaajcym, wspomagajcym prac obwodu pomocniczego. Przeciwdziaa on gwnie tym zakceniom, ktre wpywaj bezporednio na gwn wielko regulowan.

W porwnaniu z prostymi ukadami regulacji, ukady regulacji kaskadowej posiadaj nastpujce zalety: wiksz dokadno regulacji, mniejsze wahania wartoci wielkoci wyjciowej w wyniku ograniczenia zakresu

zmiennoci pomocniczej wielkoci regulowanej, znaczny stopie i prdko tumienia zakce przez obwd pomocniczy.

Ukady regulacji kaskadowej s powszechnie stosowane, gdy umoliwiaj uzyskanie regulacji na odpowiednim, zadawalajcym poziomie. Modele statyczne i dynamiczne w automatyce

Skuteczno sterowania dowolnego ukadu wymaga poznania jego zachowania si w czasie, czyli znajomoci odpowiedzi na pytanie, jakie s skutki dziaania w ukadzie okrelonej przyczyny. Kady ukad fizyczny, ktrego zachowanie zmienia si w czasie


nazywamy ukadem dynamicznym. Ukady automatyki s w wikszoci ukadami dynamicznymi. Rozpatruje si ich waciwoci, podobnie jak elementw automatyki, podajc na ich wejcie standardowe sygnay wejciowe i obserwuje ich odpowiedzi na okrelone wymuszenie. Wyniki bada zale od liniowoci ukadu lub odstpstw od liniowoci. Ukad dynamiczny jest liniowy gdy spenia on zasad superpozycji, a rwnanie rniczkowe opisujce ukad jest liniowe. Waciwie ukady liniowe nie istniej, np. prawo Ohma dla rezystora jest prawdziwe tylko dla pewnych wartoci prdw i napi, a po przekroczeniu wartoci odpowiadajcej mocy znamionowej rezystor ulega zniszczeniu.

Dla penej oceny waciwoci obiektu dynamicznego przeprowadza si badania w stanach ustalonych i przejciowych (nieustalonych). Waciwo ukadu dynamicznego okrelona w stanie ustalonym nazywa si charakterystyk statyczn. Ze wzgldu na ksztat charakterystyki statycznej, obiekty regulacji (sterowania) dzielimy na: obiekty liniowe, obiekty nieliniowe.

Wikszo obiektw sterowania ma charakterystyk statyczn nieliniow. Analizujc nieliniow charakterystyk statyczn (rys.34) moemy jednak okreli zakres zmian sygnaw, w ktrym poszczeglne obiekty traktuje si jako liniowe. Dziki temu, badajc obiekty w otoczeniu punktu pracy, zastpujemy charakterystyk krzywoliniow charakterystyk liniow. Rwnie analiza ukadw liniowych jest prostsza ni nieliniowych.

Rys. 34. Ilustracja zakresu liniowoci nieliniowej charakterystyki statycznej [13, s. 67]

Charakterystyki statyczne obiektw regulacji Model statyczny obiektu moemy przedstawi jako szeregowe lub rwnolege

poczenie podstawowych elementw automatyki. Rwnie elementy skadowe mog by poczone w ukad sprzenia zwrotnego. Analiz takiego modelu statycznego obiektu przeprowadzi moemy posugujc modelami przedstawionymi graficznie.

Konstruowanie charakterystyki obiektu, ktrego dwa elementy s poczone rwnolegle (rys. 35), sprowadza si do narysowania charakterystyk tych elementw na jednym wykresie oraz ich dodaniu graficznym.

Rys. 35. Rwnolege czenie elementw: a) schemat blokowy, b) wypadkowa charakterystyka statyczna [13, s. 58]


W celu otrzymania charakterystyki wynikowej obiektu, ktrego dwa elementy s poczone szeregowo (rys. 36), wykonuje si zoenie (superpozycj) charakterystyk tych elementw.

Rys. 36. Szeregowe czenie elementw: a) schemat blokowy, b) wypadkowa charakterystyka statyczna [13, s. 58]

Jeeli elementy s poczone przez sprzenie zwrotne, to charakterystyk wypadkow

wyznacza si w zalenoci od znaku sprzenia wedug schematu z rys. 37: dla ujemnego sprzenia zwrotnego krzywa y = f1(x), dla dodatniego sprzenia zwrotnego krzywa y = f2(x).

W zalenoci od znaku sprzenia, sygna x opisany jest zalenociami: dla sprzenia ujemnego

x = k + l, dla sprzenia dodatniego

x = k l.

Rys. 37. Ukad sprzenia zwrotnego: a) schemat, b) wypadkowe charakterystyki statyczne przy sprzeniu dodatnim y = f2(x) i ujemnym y = f1(x) [8, s. 33]


Charakterystyki dynamiczne obiektw regulacji Ze wzgldu na przebieg odpowiedzi skokowej obiekty regulacji moemy podzieli na:

statyczne (z samowyrwnaniem), w ktrych wielko sterowana (regulowana) y osiga stan ustalony w otwartym ukadzie sterowania (bez pomocy regulatora),

astatyczne (bez samowyrwnania), w ktrych wielko sterowana y nie moe osign stanu ustalonego bez regulatora. Zapewnienie dobrych parametrw ukadom regulacji stosowanym w przemyle jest

czsto trudne, gdy w obiekcie wystpuje opnienie, np. zwizane z transportem skadnikw reakcji procesu chemicznego. Opnienie jest tak wanym skadnikiem dynamiki obiektu, e czsto moemy zaniedba wpyw innych skadnikw i dlatego typowym modelem dynamicznym obiektu (procesu) przemysowego jest: opnienie z inercj opisane rwnaniem rniczkowym (obiekt statyczny

z samowyrwnaniem - rys. 38 a):

y(t) + Tz dt)t(dy = Kx(t T0),

gdzie: wspczynnik wzmocnienia K = y0/xst, zastpczy czas opnienia T0, zastpcza staa czasowa Tz; lub opnienie z cakowaniem opisane rwnaniem rniczkowym (obiekt astatyczny bez

samowyrwnania rys. 38 b):

dt)t(dy = Kx(t - T0),

gdzie: zastpczy czas opnienia T0, staa cakowania Tc = xst/ tg (lub k = 1/ tg gdy y jest inn wielkoci fizyczn ni x).

Rys. 38. Przebieg odpowiedzi na wymuszenie skokowe: a) obiektu statycznego, b), c) obiektu astatycznego

[16, s. 40]

Na rys. 38 c przedstawiono odpowied obiektu astatycznego opnienie z inercj i cakowaniem, ktr charakteryzuj nastpujce parametry: zastpczy czas opnienia T0, zastpcza staa czasowa czci inercyjnej odpowiedi obiektu Tz, staa cakowania Tc = xst/ tg (lub k = 1/ tg gdy y jest inn wielkoci fizyczn ni x).


Wyznaczanie charakterystyk obiektw dynamicznych Charakterystyki statyczn i dynamiczn obiektu mona wyznaczy zarwno analitycznie

jak i dowiadczalnie. Waciwoci cigego elementu, obiektu lub ukadu liniowego o parametrach staych

mona opisa za pomoc rwnania rniczkowego, liniowego, o staych wspczynnikach. Teoretyczne wyznaczenie waciwoci dynamicznych na podstawie odpowiedzi na

typowe wymuszenie wymaga rozwizania rwnania rniczkowego. Mona to zrobi dwiema metodami: metod klasyczn polegajc na rozwizaniu rwnania (obliczeniu pierwiastkw

rwnania i wyznaczeniu staych na podstawie warunkw pocztkowych, wymagana jest znajomo wyszej matematyki),

metod operatorow polegajc na zastosowaniu przeksztacenia, zwanego przeksztaceniem Laplaceà, ktre pozwala zastpi rwnanie rniczkowo-cakowe zwykym rwnaniem algebraicznym. Przeksztacenie Laplaceà, powszechnie stosowane w automatyce, przyporzdkowuje

danej funkcji transformat (obraz przeksztacenia) i odwrotnie f(t)F(s).

Zamy, e X(s) jest transformat Laplaceà wymuszenia x(t) pojawiajcego si dla t > 0, a Y(s) transformat szukanego sygnau wyjciowego y(t).

Transmitancj operatorow nazywa si iloraz transformat wyjcia i wejcia, przy zerowych warunkach pocztkowych

G(s) = )s(X)s(Y .

Transmitancja G(s) jest funkcj zmiennej zespolonej s i ma t waciwo, e w wyniku pomnoenia transformaty wejcia X(s) przez transmitancj G(s) otrzymuje si transformat wyjcia Y(s):

X(s) G(s) = Y(s). Poniewa transmitancja operatorowa opisuje w sposb kompletny waciwoci elementu

lub ukadu liniowego, wpisujemy j wewntrz prostokta (bloku) symbolizujcego dany element na schematach blokowych ukadw automatyki.

Na podstawie charakterystyki operatorowej mona wyznaczy charakterystyki statyczne elementw, obiektw i ukadw regulacji, a take charakterystyki dynamiczne odpowiedzi na typowe wymuszenia, np. skok jednostkowy. Jest to znacznie prostsze ni rozwizywanie metod klasyczn rwnania rniczkowego, ale wymaga znajomoci rachunku operatorowego.

Praktyczne wyznaczenie charakterystyk obiektu wymaga: przygotowanie obiektu do bada ( ustalenie wielkoci wejciowych i wyjciowych oraz

zakresw ich zmian), doboru aparatury pomiarowej ( odpowiedni zakres pomiarowy, inercyjno wskaza

przyrzdw znacznie mniejsza od inercyjnoci obiektu), montau aparatury pomiarowej na obiekcie ( monta przyrzdw zgodnie z ich

dokumentacj techniczno-ruchow), przygotowania tabel pomiarowych.

W celu wyznaczenia charakterystyki statycznej (rys. 39 a) dokonuje si, w stanach ustalonych, odczytw wartoci sygnau wyjciowego y dla kolejnych wartoci sygnau wejciowego x. Pomiary naley przeprowadzi w caym zakresie zmian pracy obiektu. Jeeli zmiany sygnau wejciowego nie nastpuj w sposb cigy, to naley przyj kwant (przyrost w kolejnych odczytach) sygnau. Warto kwantu moe by zmieniana w trakcie pomiaru, np. w obszarach duych nachyle charakterystyk kwant powinien by mniejszy.


Charakterystyk odpowiedzi skokowej obiektu wyznacza si w otoczeniu wybranego punktu pracy. Warto wymuszenia skokowego powinna wynosi 515 % maksymalnej swojej wartoci oraz znajdowa si na takim poziomie, aby odpowied skokowa miecia si w obszarze punku pracy. Warto skoku na wejciu zaley od stopnia nieliniowoci charakterystyki statycznej (im bardziej nieliniowa tym warto skoku mniejsza rys. 39 a, b). W przypadku bada obiektw podczas ich eksploatacji, do wyznaczenia odpowiedzi skokowej czsto stosuje si wymuszenie impulsem prostoktnym (rys. 39 c). Warto impulsu wynosi 1525% zakresu zmian wymuszenia. Impuls prostoktny traktowany jest jak dwa sygnay skokowe o takiej samej wartoci ale o przeciwnych znakach i opnione wzgldem siebie o czas .

Rys. 39. Charakterystyka obiektw: a) przebieg charakterystyki statycznej, b) odpowied obiektu y(t) na

wymuszenie skokowe x = x1 x2, c) odpowied obiektu h(t) na wymuszenie impulsowe x = x1 x2 [16, s. 40]


Odpowiadajc na pytania, sprawdzisz, czy jeste przygotowany do wykonania wicze. 1. Jakie s podstawowe struktury ukadw regulacji? 2. Jakie waciwoci posiada ukad regulacji kaskadowej? 3. Jakie czynniki decyduj o wyborze struktury ukadu sterowania? 4. Jaki jest cel stosowania ukadu sterowania z pomocnicza wielkoci nastawcz? 5. Kiedy ukad dynamiczny jest liniowy? 6. Jak wyznacza si charakterystyk statyczn ukadu dynamicznego? 7. Kiedy moemy traktowa obiekty o nieliniowej charakterystyce statycznej jako liniowe? 8. W jaki sposb wyznacza si graficznie model obiektu zoonego z dwch elementw

poczonych rwnolegle? 9. W jaki sposb wyznacza si charakterystyk graficzn wypadkow dwch elementw

poczonych szeregowo? 10. Jak dzieli si obiekty regulacji ze wzgldu na przebieg odpowiedzi skokowej? 11. W jaki sposb moemy wyznaczy teoretycznie wasnoci dynamiczne obiektu regulacji? 12. Jakie wymagania naley speni aby wyznaczy dowiadczalnie charakterystyki obiektu? 13. W jaki sposb wyznacza si charakterystyk odpowiedzi skokowej obiektu regulacji? 4.2.3. wiczenia wiczenie 1

Badanie ukadu dynamicznego, ktry jest przedstawiony na rysunku poniej. Jest to naczynie z wod o objtoci ok. 1l z wymuszonym strumieniem wody 5 10-6 m3s-1, ogrzewane grzak zasilan z sieci przez autotransformator. Sygnaem wyjciowym ukadu


jest temperatura wody (1 lub 2), a sygnaem wejciowym moc grzaki P. Pomiaru temperatury dokonaj termometrem cieczowo-szklanym. Pomiar mocy P= UI wykonaj metod poredni, przy pomocy woltomierza i amperomierza. Wyznacz charakterystyki statyczne 1,2 = f(P) i charakterystyki dynamiczne. Okrel uyteczny zakresu liniowoci podanego ukadu oraz podaj waciwoci dynamiczne na podstawie charakterystyki skokowej.

Uwaga: Grzak przycz do sieci dopiero po zanurzeniu jej w wodzie.

Rysunek do wiczenia 1. [6, s. 35]


1) zapozna si z wiadomociami dotyczcymi wyznaczania charakterystyk statycznych i dynamicznych obiektw regulacji,

2) zapozna si z instrukcj do wiczenia, 3) zapozna si z aparatur pomiarow oraz badanym obiektem, 4) zmontowa badany ukad na podstawie schematu, 5) okreli jakie wsprzdne charakteryzuj stan badanego ukadu dynamicznego, 6) wyznaczy charakterystyk statyczn ukadu dynamicznego jako zaleno 2 = f(P), 7) wyjani czy na podstawie otrzymanej charakterystyki mona stwierdzi liniowo

badanego ukadu, 8) wybra liniowy zakres charakterystyki, 9) okreli warto skoku sygnau wejciowego odpowiadajcego poowie zakresu liniowego

charakterystyki statycznej, 10) wyznaczy charakterystyk skokow, 11) wyznaczy z wykresu sta czasow T i wzmocnienie ukadu k, 12) opracowa i zinterpretowa otrzymane wyniki, 13) zaprezentowa efekty swojej pracy, 14) dokona oceny wykonania wiczenia.

Wyposaenie stanowiska pracy: naczynia z wod z wymuszonym przepywem, w gumowy (klucz szklany), grzaka o mocy PN = 500 W, autotransformator, termometr szklany o zakresie 0 100C, mierniki (woltomierz, amperomierz), instrukcja wiczenia, zeszyt, przybory do pisania i rysowania, literatura z rozdziau 6 poradnika.


wiczenie 2 W ukadzie podanym na rysunku poniej wyznacz charakterystyki: statyczn

i dynamiczn czwrnika RC.

Rysunek do wiczenia 2. [6, s. 36] Sposb wykonania wiczenia Aby wykona wiczenie powiniene:

1) zapozna si z wiadomociami dotyczcymi wyznaczania charakterystyk statycznych i dynamicznych obiektw regulacji,

2) zapozna si z instrukcj do wiczenia, 3) zapozna si z aparatur pomiarow, 4) zmontowa ukad wedug rysunku, 5) okreli, jakie wsprzdne charakteryzuj stan badanego ukadu dynamicznego, 6) wyznaczy charakterystyk statyczn ukadu dynamicznego, 7) wyjani, czy na podstawie otrzymanej charakterystyki mona stwierdzi liniowo

badanego ukadu, 8) wybra liniowy zakres charakterystyki, 9) okreli warto skoku sygnau wejciowego odpowiadajcego poowie zakresu

liniowego charakterystyki statycznej, 10) wyznaczy charakterystyk skokow, 11) wyznaczy z wykresu sta czasow T i wzmocnienie ukadu k, 12) opracowa i zinterpretowa otrzymane wyniki, 13) zaprezentowa efekty swojej pracy, 14) dokona oceny wykonania wiczenia.

Wyposaenie stanowiska pracy: generator, oscyloskop, wycznik, czwrnik RC, bateria 9V, instrukcja do wiczenia, przybory do pisania i rysowania, literatura z rozdziau 6.


4.2.4. Sprawdzian postpw Tak Nie Czy potrafisz:

1) wyznaczy charakterystyki statyczne i dynamiczne obiektu regulacji? 2) wyznaczy liniowy zakres charakterystyki statycznej obiektu? 3) rozrni ukady sterowania? 4) opisa zasad dziaania ukadw z pomiarem wielkoci zakcajcej? 5) wymieni zalety ukadw regulacji kaskadowej? 6) odczyta z przebiegu odpowiedzi skokowej sta czasow

T i wzmocnienie k? 7) poda, w jaki sposb wyznacza si warto wymuszenia skokowego

w celu wyznaczenia charakterystyki dynamicznej ukadu? 8) poda, w jaki sposb uzyskuje si charakterystyk skokow w trakcie

eksploatacji obiektu?


4.3. Kryteria sterowania i sterowanie optymalne 4.3.1. Materia nauczania

Stabilno jest okrelana jako zdolno zachowania pewnego stanu rwnowagi (rys. 40).

Stabilno charakteryzuje waciwoci dynamiczne ukadu, ktre s warunkiem jego prawidowej pracy.

Ukad zamknity liniowy jest stabilny, jeeli dla wymusze rwnych zeru i dowolnych warunkw pocztkowych uchyb w ukadzie dy do zera w stanie ustalonym (rys. 41). Rozrnia si dwa rodzaje stabilnoci: 1. stabilno ukadu w stanie swobodnym gdy na ukad nie dziaaj sygnay zewntrzne

(zarwno sterujce jak i zakcajce), 2. stabilno ukadu poddanego dziaaniom zakcajcym.

Rys. 40. Rodzaje rwnowagi [wykad prof. dr hab. in. J. Kowala AGH]

Podstawowym warunkiem prawidowej pracy liniowych ukadw sterowania jest ich

stabilno w stanie swobodnym. Dlatego due znaczenie maj metody jej sprawdzania. a) b)

Rys. 41. Przykadowe charakterystyki czasowe: a) ukadw stabilnych, b) ukadw niestabilnych

Obecnie zastosowanie techniki komputerowej znacznie uatwia okrelenie stabilnoci

ukadw. Jednak czsto chcemy zbada wpyw zmian poszczeglnych parametrw na


stabilno oraz jej zapas, tzn. ustali jak warunki pracy ukadu rni si od krytycznych, po ktrych przekroczeniu ukad liniowy traci stabilno. W takich przypadkach stosuje si tzw. kryteria stabilnoci lub metod linii pierwiastkowych i bada si stabilno bez rozwizywania rwnania charakterystycznego. Mona skorzysta z kryteriw algebraicznych Routha i Hurwitza oraz czstotliwociowych Michajowa i Nyquista oraz kryterium logarytmicznego.

Kryteria algebraiczne Routha i Hurwitza umoliwiaj sprawdzenie, czy ukad liniowy jest stabilny na podstawie wartoci wspczynnikw tzw. rwnania charakterystycznego bez jego rozwizywania [3]. Korzystajc z czstotliwociowego kryterium stabilnoci mona wnioskowa o stabilnoci ukadu na podstawie przebiegu odpowiednich charakterystyk czstotliwociowych.

Kryterium Michajowa umoliwia badanie stabilnoci ukadu liniowego na podstawie przebiegu na paszczynie zmiennej zespolonej wykresu funkcji K(j), otrzymanej z wielomianu charakterystycznego K(s) po podstawieniu s = j. Zgodnie z tym kryterium przebiegi y0(t) zanikaj w funkcji czasu, jeeli pierwiastki rwnania charakterystycznego s rzeczywiste ujemne lub zespolone o czciach rzeczywistych ujemnych, a jeeli chociaby jedna z czci rzeczywistych si jest dodatnia to y0(t) zmierza do nieskoczonoci czyli ukad jest niestabilny. Kryterium Nyquista

Niech bdzie dany ukad otwarty o transmitancji G0(s) (rys. 42). Po wprowadzeniu ujemnego, sztywnego sprzenia zwrotnego otrzymujemy ukad zamknity (rys. 43).

x y

Rys. 42. Schemat ukadu otwartego

W + y y

-

Rys. 43. Schemat ukadu zamknitego Dla przypadku gdy ukad otwarty jest stabilny, ukad zamknity te jest stabilny, jeeli

0)]j(G1[arg 00

=++


2. Jeeli ukad otwarty jest niestabilny i jego transmitancja ma m biegunw w prawej ppaszczynie zmiennej zespolonej, to ukad zamknity jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej G0(j) ukadu otwartego przy

zmianie pulsacji od 0 do + obejmuje punkt (- 1, j0) 2m razy.

Rys. 44. Charakterystyki amplitudowo-fazowe stabilnego ukadu otwartego [12, s. 255]

1 krzywa dla wzmocnienia, przy ktrym ukad zamknity jest stabilny, 2 krzywa dla wzmocnienia, przy ktrym ukad zamknity jest niestabilny

Na rys. 44 pokazano wykresy G0(j) dla ukadu otwartego stabilnego asymptotycznie. W przypadku, gdy wypadkowe wzmocnienie tego ukadu jest takie, e wykres G0(j) przebiega jak krzywa 1, ukad zamknity jest stabilny. Wtedy bowiem charakterystyka amplitudowo-fazowa ukadu otwartego nie obejmuje punktu (- 1, j0) przy zmianie od 0 do + . Natomiast przy odpowiednio wikszym wzmocnieniu wykres G0(j) przebiegajc

zgodnie z krzyw 2, obejmuje punkt (- 1, j0), a zatem ukad zamknity jest niestabilny.

Rys. 45. Charakterystyka amplitudowo-fazowa niestabilnego ukadu otwartego [12, s. 256]

Rys. 45 przedstawia charakterystyk amplitudowo-fazow niestabilnego ukadu

otwartego. W celu sprawdzenia ile razy wykres G0(j) obejmuje punkt (- 1, j0) przy zmianach od 0 do + , wyznaczamy dla tego zakresu pulsacji wypadkow zmian argumentu wektora poprowadzonego z punktu (- 1, j0) do biecego punktu krzywej G0(j). Dla poszczeglnych czci tej krzywej (rys. 45) odpowiednie zmiany i kta wynosz:

od A do B +=1 od B do C += 2 od C do D +=3 od D do E += 4


od E do F +=5 od F do G 06 = od G do 0 = 7 .

Rys. 46. Charakterystyka amplitudowo-fazowa ukadu otwartego [12, s. 257]

Wypadkowa zmiana argumentu == 4i

a wic krzywa G0(j) z rys. 46 obja punkt (- 1, j0) dwa razy. Zgodnie z kryterium Nyquista ukad zamknity jest stabilny wtedy i tylko wtedy gdy

liczba biegunw transmitancji G0(s) w prawej ppaszczynie jest rwna m = 4. Natomiast przy innej liczbie tych biegunw ukad zamknity jest niestabilny.

Stabilno ukadu zamknitego dogodnie jest sprawdzi na podstawie liczby przeci charakterystyki G0(j) z osi rzeczywist z lewej strony punktu (- 1, j0), tzn. na jej czci od 1 do . Jeeli ustali si, e dodatnimi nazywa si przecicia odpowiadajce przejciu charakterystyki G0(j) przez t cz osi rzeczywistej z kierunku z gry w d, a ujemnymi przecicia odpowiadajce przejciu charakterystyki G0(j) przez t cz osi rzeczywistej w kierunku z dou do gry (oznaczenia na rys. 45 i 46), obserwujc zmian argumentu wnioskujemy o stabilnoci lub niestabilnoci ukadu zamknitego.

Zatem gdy ukad otwarty jest asymptotycznie stabilny, wtedy ukad zamknity jest stabilny, jeeli wykres G0(j) przebiega albo zgodnie z krzyw 1 albo z krzyw 2 na rys. 46.

Stosowanie kryterium Nyquista do analizy i syntezy ukadw liniowych jednowymiarowych jest szczeglnie przydatne w przypadku gdy ukad otwarty jest stabilny. Wtedy mona korzysta take z charakterystyki amplitudowo-fazowej G0(j) zdjtej dowiadczalnie, co jest nieraz dogodne przy badaniu realnych ukadw.

Gdy ukad otwarty jest niestabilny, wtedy w celu stosowania kryterium Nyquista naley zna liczb biegunw transmitancji G0(s) pooonych w prawej paszczynie. Wyznacza si je na podstawie znanej struktury ukadu i znanych transmitancji elementw skadowych. Gdy ukad otwarty ma lokalne sprzenie zwrotne, naley je odpowiednio uwzgldni.


Rys. 47. Charakterystyka amplitudowo-fazowa ukadu otwartego [12, s. 264]

Gdy zmieniamy pulsacj od 0 do + (rys. 47), stosujc kryterium Nyquista stwierdza

si, e ukad zamknity jest stabilny asymptotycznie, jeeli krzywa G0(j) ukadu otwartego nie obejmuje punktu (- 1, j0).

Jedn z zalet kryterium Nyquista jest to, i mona je stosowa dla ukadw zamknitych zawierajcych elementy opniajce.

Wan zalet kryterium Nyquista jest atwo okrelenia zapasu stabilnoci ukadu badanego.

W pobliu granicy stabilnoci stany nieustalone s oscylacyjne o tym mniejszym tumieniu, im bliej granicy niestabilnoci znajduje si ukad. Dlatego projektujc ukad dymy by ukad regulacji mia dany zapas stabilnoci, tzn. aby by dostatecznie odlegy od granicy niestabilnoci.

Korzystajc z charakterystyk czstotliwociowych ukadw stabilnych zapas stabilnoci (rys. 48) okrela si za pomoc: zapasu moduu (wzmocnienia) [dB], lub K, zapasu fazy [0].

Zapas moduu okrela krotno o jak musiaoby wzrosn wzmocnienie przy niezmiennym argumencie ukadu otwartego, aby ukad zamknity znalaz si na granicy niestabilnoci.

Zapas fazy okrela warto zmiany argumentu transmitancji widmowej ukadu otwartego przy niezmiennym wzmocnieniu, ktra doprowadziaby ukad zamknity do granicy niestabilnoci.

Zapas fazy podaje si zawsze w stopniach, natomiast zapas moduu , w przypadku operowania charakterystykami logarytmicznymi, podaje si w decybelach [dB], a w przypadku operowania liniow charakterystyk amplitudowo-fazow (rys. 49) zapas wzmocnienia K podaje si w jednostkach bezwymiarowych.


Rys. 48. Zapas fazy [0] i zapas moduu : [dB] [1, s. 300] a) na charakterystyce logarytmicznej

amplitudowo-fazowej, b) na logarytmicznych charakterystykach moduu M() i fazy () ukadu otwartego.

Rys. 49. Okrelenie zapasw moduu i fazy [1, s. 31]

Pomidzy zapasem moduu i zapasem wzmocnienia k istnieje zaleno Klg20

]dB[= .

W praktyce ukady automatycznej regulacji projektuje si zwykle tak, aby zapas moduu 6 dB i zapas fazy 300. Logarytmiczne kryterium stabilnoci

Jeeli dana jest funkcja przejcia otwartego ukadu regulacji w postaci charakterystyk logarytmicznych (amplitudy i fazy), to dogodnie jest skorzysta z kryterium stabilnoci dla charakterystyk logarytmicznych. S to warunki wynikajce bezporednio z kryterium Nyquista, przetransponowane na charakterystyki logarytmiczne.

Rys. 50. Charakterystyki czstotliwociowe: [18, s. 92] a) ukadu stabilnego, b) ukadu niestabilnego.


Analizujc charakterystyki z rys. 50 z uwzgldnieniem kryterium Nyquista mona sformuowa nastpujcy warunek stabilnoci:

[ ] ,1)j(KRe x


synteza z uwzgldnieniem wskanikw jakoci zwizana z tworzeniem ukadw, ktre powinny pracowa w sposb gwarantujcy uzyskanie najlepszych moliwych przy istniejcych ograniczeniach waciwoci. Korzystajc z elementw matematyki wyszej oraz stosujc m.in. specjalistyczne

programy komputerowe, w nowoczesnej teorii sterownia wykorzystuje si tzw. metod zmiennych stanu. Jest to metoda, ktra znajduje coraz wicej zwolennikw.

Zastosowanie opisu ukadw sterowania przy uyciu zmiennych stanu umoliwio stworzenie oglnych skutecznych metod syntezy ukadw sterowania, majcych zadane z gry waciwoci dynamiczne. Dotyczy to zarwno ukadw jednowymiarowych jak i wielowymiarowych. Niewtpliw zalet metody zmiennych stanu jest to, e umoliwia ona sprawdzenie, czy mona skutecznie sterowa obiektem i to co obserwujemy na jego wyjciach wystarcza do penego scharakteryzowania jego stanu ( czy pozwala stwierdzi czy ukad jest sterowalny i obserwowalny).

Przy klasycznej metodzie syntezy ukadw sterowania (rys. 52) najpierw zestawia si dane wyjciowe obejmujce zadanie stawiane ukadowi, model matematyczny obiektu, ograniczenia i warunki pracy. Na tej podstawie okrela si wymagania i ustala zaoenia. Do podstawowych wymaga nale: dokadno w stanach ustalonych, zakres, w jakim wielko wyjciowa ma by regulowana, stabilno i odpowiedni zapas, charakter przebiegu procesw przejciowych.

Poza tym, rnym ukadom, zalenie od ich przeznaczenia i waciwoci obiektu sterowanego, stawia si wymagania dodatkowe (jak. np. dokadno w stanach dynamicznych, zmniejszenie wraliwoci na zmiany niektrych parametrw i na okrelone zakcenia, rodzaje elementw, ktre naley zastosowa ze wzgldu bezpieczestwa czy niezawodnoci itp.).

Po przyjciu zaoe dokonuje si wyboru struktury ukadu, dobiera wstpnie elementy i podzespoy, sprawdza dokadno w stanie ustalonym oraz zakres regulacji. Jeeli nie odpowiadaj one zaoeniom, wprowadza si odpowiedni korekcj waciwoci statycznych przez zmiany parametrw lub nastaw niektrych elementw lub przez wymian tych elementw na inne. Gdy w wyniku odpowiednich modyfikacji udao si uzyska wymagan dokadno w stanie ustalonym i zakres regulacji, naley z kolei zbada stabilno tego ukadu.

Wymaganie dotyczce stabilnoci powinno by zawsze spenione przy wszelkich przewidywalnych dla rozwaanego ukadu warunkach.


Rys. 52. Schemat postpowania przy syntezie ukadu sterowania metodami klasycznymi [12, s. 391] Poza stabilnoci naley sprawdzi waciwoci dynamiczne, ktre zale od rodzaju

obiektu i sposobu jego pracy, od charakteru procesu technologicznego, wpywu stanw przejciowych, itp. Czsto formuuje si warunki, jakie powinien speni przebieg odpowiedzi jednostkowej (rys. 53). Przy tym wymagania obejmuj: dopuszczalny czas praktycznego ustalania si przebiegw ustt , po ktrym

dopustdopust h)t(hh + , usttt (przez usth oznaczono warto ustalon, odpowiedzi jednostkowej po zakoczonym przebiegu, a przez dop zadane z gry, dopuszczalne odchylenie od niej),

wymagany czas nrt - po ktrym h(t) osignie po raz pierwszy warto rwn usth , maksymalne przeregulowanie hmax - wyraane zwykle w procentach usth , dopuszczaln liczb przeregulowa w przedziale czasowym od t = 0 do usttt = .

Czsto przy ustalaniu wymaga okrela si te warunki dla nastpujcych czasw: 5,0t - po ktrym h(t) osignie warto rwn usth5,0 , prt - po ktrym odpowied jednostkowa wzrasta od wartoci usth1,0 (przy 1,0tt = ) do

wartoci usth9,0 (przy 9,0tt = ).


Rys. 53. Przykadowy przebieg odpowiedzi jednostkowej i charakteryzujce j wielkoci [12, s. 391]

Wskaniki jakoci Celem ukadu regulacji automatycznej (ukad z ujemnym sprzeniem zwrotnym rys.

54) jest minimalizacja uchybu regulacji powstajcego na skutek dziaania zakce na obiekt regulacji i w wyniku zmian sygnau zadanego. Chodzi tutaj o minimalizacj uchybu regulacji zarwno w stanach ustalonych, jak i przejciowych.

Z x + e y y -

Rys. 54. Jednoobwodowy ukad regulacji automatycznej:

O obiekt regulacji, R regulator, Z zakcenie, x wielko zadana, y wielko regulowana, e uchyb regulacji

O ile ocena uchybw ustalonych jest stosunkowo prosta, to ocena stanw przejciowych

sprawia trudnoci. Trudnoci te rosn w miar wzrostu rzdu ukadu regulacji (stopnia charakterystycznego).

Uchyb e(t) (rys. 55), zaley od sygnau zadanego x(t), od sygnau zakce z(t), od struktury i parametrw regulatora R oraz od struktury i parametrw obiektu regulacji O. Zaleno t mona zapisa w postaci

[ ]O,R),t(z),t(xf)t(e = .

R O


Rys. 55. Przebiegi przejciowe uchybu regulacji w ukadzie automatycznej regulacji: [1, s. 193] a) i b) wywoane skokiem wartoci zadanej, c) i d) wywoane skokiem zakcenia;

a) i c) aperiodyczne, b) i d) oscylacyjne.

Badanie jakoci regulacji w stanach przejciowych sprowadza si do badania ksztatu uchybu regulacji e(t) wywoanego standardowym wymuszeniem, np. wymuszeniem w postaci skoku jednostkowego.

Miar jakoci regulacji jest tzw. wskanik jakoci, ktry powinien by tak zdefiniowany, aby mierzy dane cechy przebiegu przejciowego e(t) z dostateczn dokadnoci.

Wskanikiem jakoci moe by w najprostszym przypadku sam uchyb e(t), lecz taki wskanik jest nieprecyzyjny, poniewa zmienia si w czasie. Dlatego raczej uywamy innych miar jakoci, ktre okrelaj cechy przebiegu e(t) przy okrelonych wymuszeniach (np. skokowych).

Wskaniki jakoci mona podzieli na dwie zasadnicze grupy: wskaniki bezporednie, wskaniki porednie.

Do wskanikw bezporednich zaliczamy te wskaniki, ktre s bezporedni miar okrelonej cechy przebiegu przejciowego e(t) wywoanego standardowym wymuszeniem.

Natomiast do wskanikw porednich zaliczamy te wskaniki jakoci, ktre na podstawie przebiegu charakterystyk czstotliwociowych pozwalaj w przyblieniu oceni ksztat e(t) przy okrelonym wymuszeniu (np. zapas stabilnoci jest wskanikiem).

Do wskanikw bezporednich zalicza si parametry charakterystyki skokowej e(t), takie jak: maksymalny uchyb dynamiczny )t(emaxem = ; uchyb ustalony (kocowy) - ek, zwany te uchybem statycznym - es:

)s(Glim)t(elim)(eee e0stsk ==== ;


oscylacyjno (zwana take przeregulowaniem) - stosunek maksymalnego uchybu przejciowego (chwilowego) e2, o kierunku przeciwnym ni maksymalny uchyb pocztkowy, do maksymalnego uchybu pocztkowego e1 wyraony w procentach:

1

2

ee

100= , gdzie e1 i e2 s okrelone na rys. 44b;

czas regulacji tr (zwany te czasem ustalania Tu) definiowany jako czas od chwili podania wymuszenia skokowego na wejcie ukadu a do chwili, od ktrej poczwszy rnica midzy wartoci odpowiedzi skokowej a jej wartoci kocow nie przekracza (zwykle) 5% wartoci kocowej. Inn klas wskanikw bezporednich tworz wskaniki cakowe, gdzie konieczne jest

posugiwanie si wzorami i obliczeniami wykorzystujcymi elementy matematyki wyszej. Optymalizacja ukadw regulacji automatycznej

Optymalizacja ukadu regulacji automatycznej polega na takim doborze parametrw i struktury regulatora, ktry zminimalizuje wybrany wskanik jakoci regulacji.

Wszystkie wskaniki regulacji s tak sformuowane, e optymalizacja ukadu z rys. 54, przy dowolnie wybranym wskaniku jakoci, sprowadza si do takiego doboru struktury regulatora i jego nastaw, aby zminimalizowa przyjty wskanik regulacji.

Wybrany wskanik jakoci regulacji Q jest funkcjonaem parametrw ukadu regulacji (rys. 56)

]O,R),t(z),t(x[QQ = . Optymalizacja ukadu regulacji polega na minimalizacji tego funkcjonau przy zaoeniu,

e x(t) oraz z(t) s dane. Jest dany rwnie obiekt regulacji O. Natomiast naley znale regulator R minimalizujcy funkcjona Q

]R,O),t(z),t(x[Qmin]R[Q0RR

00

= .

Poszukiwanie regulatora optymalnego R0 jest przedmiotem projektowania ukadw regulacji automatycznej.

Poszukiwanie minimum funkcjonau Q jest najatwiejsze w przypadku znajomoci zalenoci analitycznej lub graficznej wskanika jakoci od parametrw regulatora Q(PR). Jeeli taka zaleno nie jest znana, ani nie mone by obliczona analitycznie na podstawie transmitancji ukadu regulacji automatycznej, to minimalizacj Q(PR) prowadzimy metod modelowania analogowego lub cyfrowego. Tok postpowania jest przedstawiony na rys. 58, w formie schematu dziaa.

Spord przedstawionych wyej wskanikw jakoci regulacji jedynie uchyb kocowy ek i wskanik cakowy mona wyznaczy na podstawie danej transformaty uchybu E(s), bez obliczania oryginau e(t).

Pozostae wskaniki jakoci wymagaj obliczenia przebiegu e(t). Niektre z tych wskanikw, znalezione metod modelowania dla konkretnych ukadw regulacji automatycznej s opublikowane w postaci wykresw danego wskanika Q w funkcji parametrw ukadu regulacji.


Rys. 56. Schemat dziaa przy optymalizacji metod modelowania: [1, s. 196] Q0, PR0 optymalne wskaniki jakoci i parametrw regulatora, i numer iteracji,

Qi warto wskanika jakoci obliczona w i-tej iteracji

Przykad. W ukadzie przedstawionym na rys. 57, naley wyznaczy tak sta cakowania Ti regulatora, przy ktrej czas regulacji tr bdzie minimalny. Parametry obiektu regulacji s nastpujce: T0 = 1 min, k0 = 0,7.

Rys. 57. Ukad regulacji automatycznej Rozwizanie Tok postpowania jest nastpujcy:

1. Wyznaczamy transmitancj ukadu zamknitego. Transmitancja ukadu zamknitego wynosi:

1kTsTTs1

)s(X)s(Y)s(G

0ii02 ++

== .

x e

0k

iTs1

0Ts1

y x e u


Na podstawie rwnania widzimy, e ukad regulacji automatycznej jest ukadem drugiego rzdu, a zatem przy dostatecznie maym i0Tk moe by ukadem oscylacyjnym. Okres drga tego ukadu T i wspczynnik tumienia wynosz

0i TTT = , 0

i0 T

Tk5,0= .

2. Z wykresw odczytujemy optymalne nastawy (wspczynnik tumienia ).

Rys. 58. Wykresy wskanikw jakoci obliczonych dla obiektu oscylacyjnego o transmitancji

ukadu drugiego rzdu: [1, s. 198] I warto wskanikw cakowych przy zaoeniu, e T = 1; tr czas regulacji, przy = 5% skoku

wymuszenia

Czas regulacji jest najmniejszy przy 0 = 0,7 (rys. 58), zatem optymalna warto staej czasowej cakowania

020

0

2

0

00i T

k2T

k5,0T

= .

3. Wyznaczamy szukany parametr regulatora w tym wypadku Ti. Dla podanego obiektu

s240min417,02T 20i === .

Czas regulacji w tak nastawionym ukadzie regulacji (rys. 66) s360T3t 0r = .


Odpowiadajc na pytania, sprawdzisz, czy jeste przygotowany do wykonania wicze. 1. Jakie mona wyrni kryteria stabilnoci ukadw automatyki? 2. W jaki sposb postpujemy badajc stabilno ukadu za pomoc czstotliwociowego

kryterium stabilnoci? 3. Jakie warunki musz by spenione by ukad by stabilny, gdy korzystamy

z logarytmicznego kryterium stabilnoci?


4. Jakich informacji dostarczaj nam wskaniki jakoci? 5. Na czym polega optymalizacja ukadw regulacji automatycznej? 6. Jaki obowizuje schemat przy syntezie i optymalizacji ukadw regulacji?

4.3.3. wiczenia wiczenie 1

Dla ukadu wzmacniacza o bardzo duym wzmocnieniu, poczonego szeregowo z elementem inercyjnym III rzdu, sprawd stabilno ukadu. Podaj warunki stabilnoci.


1) zapozna si z instrukcj wykonania wiczenia, 2) zorganizowa stanowisko pracy do wykonania wiczenia, 3) zaprojektowa ukad wedug wskaza nauczyciela (narysowa schemat blokowy), 4) wykona obliczenia, 5) zaprezentowa otrzymane wyniki, 6) dokona oceny poprawnoci wykonanego wiczenia, 7) sporzdzi sprawozdanie z przebiegu wiczenia, zaczajc schemat ukadu, otrzymane


zeszyt, literatura z rozdziau 6, instrukcja wiczenia.

wiczenie 2

Dla ukadu wzmacniacza o bardzo duym wzmocnieniu, poczonego szeregowo z elementem inercyjnym III rzdu, sprawd stabilno ukadu. Podaj warunki stabilnoci. Przedstaw charakterystyki ukadu, otrzymane w wyniku symulacji komputerowej, z wykorzystaniem programu MATLAB i MATLAB-SIMULINK.


1) zapozna si z instrukcj wykonania wiczenia, 2) zorganizowa stanowisko pracy do wykonania wiczenia, 3) zaprojektowa ukad wedug wskaza nauczyciela (narysowa schemat blokowy), 4) zgosi gotowo wykonania wiczenia, 5) uruchomi program komputerowy, 6) napisa program w MATLAB-ie dla danego ukadu, 7) uruchomi program, 8) zaprezentowa otrzymane charakterystyki, 9) zmieni nastawy: wzmocnienia i staych czasowych i obserwowa na wykresach zmiany, 10) powtrzy wiczenie w programie MATLAB-SIMULINK, 11) zaprezentowa ot

Education

39. Badanie układów sterowania z regulatorami ciągłymi