Upload
warunee-sangsrijan
View
364
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
จดทำำโดย
นำงสำว สรรตน ตนสกลรหสประจำำตว 43040989
อำจำรยทปรกษำอำจำรย กรรณกำ คงสำคร
เสนอ
อำจำรย พชร เลศวจตรศลป
เมอเรำเรยนพชคณตเชงเสน (linear algebra) เรำมกจะพบเอกลกษณทเรยกวำ Vandermonde determinant ในรป
23
22
21
321
xxx
xxx
111
det )xx)(xx)(xx( 231312 −−−
=Vandermonde Matrix
⇒ Vandermonde Matrix
23
22
21
321
xxx
xxx
111
ตวอยำง
⇒ det = (4-2)(4-3)(3-2) = (2)(1)(1) = 2
1694
432
111
⇒ det = (-1-(-4))(-1-(-3))(-1-(-2)) (-2-(-4))(-2-(-3))(-3-(-4))
= (3)(2)(1)(2)(1)(1) = 12
−−−−
−−−−
182764
14916
1234
1111
ในกรณทวไปนยำมเมทรกซทเรยก Vandermonde matrix เปน
−
=
1nn
x... 1-n
3 x
1-n2
x1-n
1 x
.
n
x... 3
x2
x1
x
1 ... 1 1 1
)x,...,x,(x V n21
… (1)
∏≤<≤
−=nji1
ijn1 )xx()x,...,x(Vdet
เมอ n เปนจำำนวนเตมบวกและ n 2≥…(2)
พสจน
กรณ n = 2 เหนไดชดเจนวำ
….(3)
( ) ( )1221
21 xxxx
11x,xVdet −==
สมมตให
∏≤<≤
−=kji1
ijk1 )xx()x,...,x(Vdet
เมอ k เปนจำำนวนเตมบวกใด ๆ ตองกำร
แสดงวำ ∏
+≤<≤
−=1kji1
ij )xx(det V (x1,…xk,xk+1) เปนจรง
เปนจรง
det V (x,…xk,xk+1) = det
+
−+
−−−−
+
+
k1k
kk
k3
k2
k
1k1k
1kk
1k3
1k2
1k
21k
2k
23
22
21kk32
xx...xxx
xx...xxx
.....
.....
.....
xx...xxx
xx...xxx
11...111พจำรณำ
…(4)
เมอกระจำยตำมหลกท 1 คำของ det V(x,…,xk,xk+1) จะเปนพหนำมดกร k ใน x และถำแทน x ดวย จะเหนวำ คำของตวกำำหนด (determinant) เปนศนย
1k32 x,...,x,x +
ดงนนสำมำรถ เขยนไดวำ det V(x,…,xk,xk+1) = A(x-x2) (x-x3)…(x-xk) (x-xk+1) ….(5)
เมอ A เปนคำคงท จำก (5) จะเหนวำ A เปนสมประสทธของ xk ดงนนจำก (4) ไดวำ
1k1k
1kk
1k3
1k2
1kk32
k
xx...xx
....
....
....
xx...xx
11...11
)1(
−+
−−−
+
−A =
k)1(−= det V(x2,…,xk+1)
= (-1)k ∏+≤<≤
−1kji2
ij )xx(
สรปวำ detV= )x,x,...,x( 1kk1 +
(x-x2)(x-x3)…(x-xk)(x-xk+1)
−− ∏
+≤<≤ 1kji2ij
k )xx()1(=
เมอแทน x ดวย x1
det V (x1,…xk,xk+1) = (x1-x2) (x1-x3)…(x1-xk) (x1-xk+1)
−− ∏
+≤<≤ 1kji2ij
k )xx()1(
−∏
+≤<≤ 1kji2ij )xx( )xx)(xx)...(xx)(xx( 11k1k1312 −−−− +
∏+≤<≤
−1kji2
ij )xx(=
=
โดยหลกกำรอปนยทำงคณตศำสตร ไดวำ (2) เปนจรงทก ๆ n ทเปนสมำชกของจำำนวนเตมบวกใด ๆ
เรำมกจะพบ Vandermonde matrix ในปญหำดงตอไปน
1. กำรสรำงพหนำมคำสอดแทรก (polynomial interpolation)
2. ปญหำคำเรมตนของสมกำรเชงอนพนธ (differential equation initial value problem) และ
3. กำรสรำงลำำดบโดยกำำหนดจำกควำมสมพนธเวยนบงเกด (recursively defined sequences) ในทนจะกลำวถงเพยงปญหำทง 3 อยำงทกลำวไว
แลว ขำงตน และบทบำทของ Vandermonde matrix และเพอไมใหเกดควำมสบสน จะเขยน V แทน V
)x,...,x,x( n21
1. 1. พหนำมคำสอดแทรกพหนำมคำสอดแทรก (Polynomial (Polynomial interpolation)interpolation)กำำหนดใหพหนำมดกร n-1 ผำนจด (x1, y1),
(x2,y2),….,(xn,yn) ตำงกน n จด เขยนในรปq(x) = ….(6)
1n1n10 xc...xcc −
−+++
สมประสทธ ci หำไดจำกระบบสมกำร q(xj) = yj ; j = 1, 2 ,…,n
เมอแทนคำ j = 1, 2,…,n ในพหนำม q(x) จะไดระบบสมกำรดงน
1n11n
212110 xc...xcxcc −
−++++1n
21n222210 xc...xcxcc −
−++++
1nn1n
2n2n10 xc...xcxcc −
−++++
......
= yn
= y1
= y2
…(7)
จำกระบบสมกำร สำมำรถนำำมำเขยนในรปเมทรกซ ดงน
−
−
−
1nn
2nn
1n2
222
1n1
211
x...xx1
....
....
....
x...xx1
x...xx1
−1n
1
0
c
.
.
.
c
c
=
n
2
1
y
.
.
.
y
y
… (8)
สงเกตวำ เมทรกซ สมประสทธ จะเปนตวสลบเปลยน (transposed) ของ Vandermonde matrix และ ตวกำำหนด (determinant) ของเมทรกซ สมประสทธของ (7) จะเกยวของกบเอกลกษณ (2) เหนไดชดวำเมอ xi
ตำงกนหมด ตวกำำหนด (determinant) จะไมเทำกบศนย สมประสทธของ q มเพยงหนงเดยว
q(x) q(x) จะสำมำรถหำไดโดยกำรปฏบตดงจะสำมำรถหำไดโดยกำรปฏบตดงตอไปนตอไปน
กำำหนดให
Q(x) = det
−−−−
0y...yy
xx...xx
....
....
....
xx...xx
11...11
n21
1n1nn
1n2
1n1
n21
…(9)
เมอแทน x ใน หลกสดทำยดวย xi จะได
Q( xi) = det
−−−−
0y...yy
xx...xx
....
....
....
xx...xx
11...11
n21
1ni
1nn
1n2
1n1
in21
นำำหลกสตรทำยลบดวย หลกท i จะไดวำสมำชกในหลกสดทำย เปน 0 ยกเวน สมำชกตวสดทำย มคำเปน -yi และ
Q( xi) = det
−
−−−
in21
1nn
1n2
1n1
n21
yy...yy
0x...xx
....
....
....
0x...xx
01...11
= -yi det V(x1,…,xn)
หรอ yi = - ….(10))Q(x)x,...,detV(x
1i
n1
สงนเปนจรงสำำหรบทก i = 1, 2, 3…,n และเพรำะวำ q(xi) = yi
ดงนนจะไดวำ q(x) = ….(11)
)Q(x)x,...,detV(x
1-
n1
ในทน Vandermonde determinant มควำมสำำคญอยำงเหนไดชด ในกำรสรำงพหนำมคำสอดแทรก (polynomial interpolation) ผำนจดตำงกน n จด
กำำหนดใหพหนำมกำำลง 2 ทผำนจด (-3, 4), (0, 1), (2, 9)
ตวอยำงตวอยำง
คอ q(x) =
2210 xcxcc ++
เมอแทนคำ (x1, y1) =(-3,4) , (x2 y2) = (0,1)
และ (x3, y3) = (2,9) ลงในสมกำร จะได210 c9c3c +−
210 c0c0c ++
210 c4c2c ++
= 4
= 1
= 9
จำกระบบสมกำร สำมำรถเขยนในรปเมทรกซ ดงน
−
421
001
931
2
1
0
c
c
c
9
1
4
VT C = Y)x,x,x( 321
=
det V(x1,x2,x3) = det
−
409
203
111
= (2-(-3)) (0-(-3)) (2-0) = (5) (3) (2)
= 30
Q(x) = det
−
0914
x409
x203
1111
2
= - 2x
9 1 4
2 0 3-
1 1 1
-x
9 1 4
4 0 9
1 1 1
9 1 4
4 0 9
2 0 3-
+
จะได Q(x) = -30 + (-60)x -30 x2
จำก (11) ; q(x) = ดงนน q(x) = 1 + 2x + x2
)230x-60x-(-3030
1-
จำก (9) ; กำำหนดให
#
2. 2. ปญหาคาเรมตนของสมการเชงปญหาคาเรมตนของสมการเชงอนพนธอนพนธ(Differential equation initial value (Differential equation initial value problems)problems)พจำรณำสมกำรเชงอนพนธ
0=y0a+Dy1a+...+y1-nD1-na+y
nD ….(12)
เมอ a0,a1,…an เปนคำคงท และ D แทนกำรหำอนพนธเทยบกบ t พรอมดวยเงอนไขเรมตน
Djy(0) = yj ; j = 0, 1, 2,…,n-1 ….(13)
สมกำร (12) มพหนำมลกษณะเฉพำะ (characteristic polynomial)
( )( )( ) ( )n21
011n
1nn
xDxDxD
aDaDaDDp
−−−=++++= −
−
จำกสมกำร (12) จะมผลเฉลย yi = ; i = 1,
2,…,n และเมอ ผลเฉลยทง n ผลเฉลย จะเปนอสระเชงเสน ดงนน ผลรวมเชงเสน (linear combinations) ของ yi = คอ
tx ien21 x...xx ≠≠
tx ie
y =
txn
tx2
tx1
n21 ec...ecec +++เปนผลเฉลยของ (12) ดวย
Dy tx
nntx
22tx
11n21 exc...excexc +++=yD2
tx2nn
tx222
tx211
n21 exc...excexc +++=
tx1nnn
tx1n22
tx1n11
1n n21 exc...excexcyD −−−− +++=
เมอแทนเงอนไขเรมตนจำก (13) จะไดระบบสมกำร j
nnj22
j11 xc...xcxc +++ = yj ; j = 0,1,2,…,n-1
และ
…
ระบบสมกำรนสำมำรถเขยนใหม ในรปเมทรกซ ไดเปน
−−−− 1nn
1n3
1n2
1n1
2n
23
22
21
n321
x...xxx
....
....
....
x...xxx
x...xxx
1...111
=
n
3
2
1
c
.
.
.
c
c
c
−1n
2
1
0
y
.
.
.
y
y
y
VC = Y …(14)
เมอ V = , C = , Y = )x,...,x(V n1 [ ] Tn21 c...cc [ ] T
n10 y...yy
ถำ xiตำงกน ผลเฉลยของ (14) มหนงเดยวจะเหนวำ Vandermonde matrix มบทบำทในกำรหำคำคงท C ของผลเฉลยของปญหำ
ตวอยางตวอยาง
= 0 ; y0= 1,y1 = 9, y2= 17 y3yy3y +′−′′−′′′
( D3 - 3D2 – D + 3 )y = 0 พหนำมลกษณะเฉพำะของสมกำรคอ p(D) = D3 - 3D2 – D + 3
= (D + 1)(D – 1)(D – 3) 3tectect-ecy(t) 321 ++=
วธทำำ
เมอแทนเงอนไข เรมตน (13) จะไดผลเฉลย คอ
321 ccc ++321 c3cc)1( ++−321 c9cc ++
= 1
= 9
=17
จำกระบบสมกำรนำำมำเขยนในรปเมทรกซ ไดเปน
−
911
311
111
3
2
1
c
c
c
17
9
1
=
V C = C =
0Y
01YV−
#
3.3.ลำาดบทกำาหนดโดยความลำาดบทกำาหนดโดยความสมพนธเวยนบงเกดสมพนธเวยนบงเกด (Recursively defined sequences(Recursively defined sequences))
ให เปน n พจนแรกของลำำดบทมควำมสมพนธกนตำมสมกำร
n10 y,,y,y
….(15)
k02-nk2n1nk1nnk yayayay −−−−= +−−+−+
เมอ ai ไมขนกบ k จะเรยกลำำดบนวำ recurrent
sequenceตวอยำงของลำำดบนทรจกกนด คอ Fibonaci
sequence ซงเรมจำก 0,1,1,2,3,… และแตละพจนจะเปนผลรวมของ 2 พจน ทอยขำงหนำ
ในอกทำงหนง เรำกำำหนดให {yj} เปนลำำดบทม n + 1 พจน ซงสอดคลองกบสมกำรในรปแบบขำงตนเปน
….(16) 0yayayay k02-nk2n1nk1nnk =++++ +−−+−+
ซง y0, y1 ,y2, …, yn-1 เปนคำเรมตนทกำำหนดไวแนนอน สมกำรท (16) จะเรยกวำสมกำรเชงผลตำง (difference equations) และสมกำรนเปนสมกำรทสำำคญในกำรสรำงแบบจำำลองปญหำตำง ๆ
สมกำร (16) หำคำำตอบไดโดยกำรให yj อยในรปฟงกชนของ j ซงเหมอนกบทกลำวมำในสมกำรเชงอนพนธกำำหนดตวดำำเนนกำร L โดยท
L {yj} = {yj+1} , j=0,1,2,…
เรยกตวดำำเนนกำรนวำ ตวดำำเนนกำรเลอน
(Shifting Operator) ซงเลอนลำำดบ y0, y1, y2,… ไปทำงซำยเปนลำำดบ y1, y2, y3,… สมกำร (16)
เขยนใหมไดเปน Ln{yj}+ an-1L
n-1{yj}+…+a1L{yj}+a0L{yj}={0} ….(17)
ซงพหนำมลกษณะเฉพำะของสมกำรคอ
p(L) = Ln+an-1Ln-1+…+ a0
= (L-x1)(L-x2)…(L-xn)
ถำ x1, x2,…, xn
ตำงกนหมด ผลรวมเชงเสนทงหมดของลำำดบน จะเปนผลเฉลยของสมกำร (17) ดงนนผลเฉลยทวไปของ (17) คอ
jnn
j22
j11j xcxcxcy +++=
เมอใชคำเรมตนพบวำสมประสทธ cj จะสอดคลองกบ (14) คอ
n1n
2n1n
221n
11
1nn2211
0n21
yxcxcxc
y xcxcxc
y ccc
=+++
=+++
=+++
−−−
จะไดระบบสมกำรทสำมำรถเขยนใหอยในรปเมทรกซไดเปน
เมอ V = V(x1,…,xn) , C = [c1c2…cn]T ,
Y = [y0y1…yn-1]T
YCV
y
y
y
y
c
c
c
c
xxxx
xxxx
xxxx
1111
1n
2
1
0
n
3
2
1
1nn
1n3
1n2
1n1
2n
23
22
21
n321
=
=
−−−−−
ตวอยตวอยำงำง พจำรณำสมกำรผลตำงสบเนอง yn+2 - 5yn+1+ 6 yn
= 0 ; y0 = 9 , y1 = 23
เขยนในรปตวดำำเนนกำร L ไดเปน (L2 – 5L + 6)yn = 0
พหนำมลกษณะเฉพำะของสมกำร คอp(L) = L2 + 5L+6
= (L-2)(L-3)ดงนนผลเฉลย คอ yn = c12
n + c23n
เมอแทนเงอนไขเรมตน จะได c1 + c2 = 9
2c1 +3c2 = 23
จำกระบบสมกำร นำำมำเขยนในรปเมทรกซ ไดเปน
C = V-1Y0
=
23
9
c
c
32
11
2
1
0YCV =
เหนไดชดวำ Vandermonde determinant จะครอบคลมกำรแกของปญหำตำงๆ ตำมทกลำวมำ
#
แตละกรณขำงตน Vandermonde matrix เกยวของกบปญหำของกำรหำคำสมประสทธของผลรวมเชงเสน
ในปญหำพหนำมคำสอดแทรก ปญหำคำเรมตนของสมกำรเชงอนพนธ และของสมกำรเชงผลตำง สำมำรถหำสตรของผลเฉลยทเกยวของกบเมทรกซ V(x1,…,xn) โดยตรง โดยหลกเลยงกำรเกยวของกบกำรใชผลรวมเชงเสน (linear combinations)
พจำรณำสมกำรเชงอนพนธพจำรณำสมกำรเชงอนพนธ (12)(12)
หรอ
มพหนำมลกษณะเฉพำะของสมกำร
0yaDyayDayD 011n
1nn =++++ −
−
)x(D)x)(Dx(D
aDaDaDp(D)
n21
011n
1nn
−−−=++++= −
−
0)y aDaDa(D 011n
1nn =++++ −
−
เมอแปลงเปนระบบสมกำรอนดบหนงโดย กำำหนด
n1n2110n
n1n
32
21
1
ya...yaya Dy
y Dy
y Dy
y Dy
y y
−
−
−−−−==
===
เขยนในรปเมทรกซ ไดเปน
….(18)
หรอ DY = AY ….(19)
เมอ Y เปนเวกเตอรทประกอบดวยสมำชก A เปนเมทรกซขนำด n x n ซงอยทำงขวำ
ของสมกำร (18)
y
y
y
y
aaaa
1000
0100
0010
Dy
Dy
Dy
Dy
n
1n
2
1
1n210n
1n
2
1
−−−−
=
−
−
−
n21 y,,y,y
ผลเฉลยของรำกบนสมกำรอนดบหนง (18) ทำำไดโดยหำคำเจำะจง จำกสมกำร
λ
0
λaaaaa
1λ000
001λ0
0001λ
λIA
1n2n210
=
−−−−−−
−
−
−
=−
−−
กระจำยตวกำำหนดตำมแถวท n จะไดสมกำร ( )
n21
n21
012n
2n1n
1nn
x,,x,xλ
0 )x(λ)x)(λx(λ
λpaλaλaλaλ0
=
=−−−
=+++++= −−
−−
สำำหรบ หำเวกเตอรเจำะจง C1 จำก
1xλ =
0CI)λ-(A =
=
−−−−−−−
−−
−
−− 0
0
0
0
c
c
c
c
xaaaaa
1x000
001x0
0001x
n
1n
2
1
11n2n210
1
1
1
1n1n213112 cxc,,cxc,cxc −=== ดงนน
เลอก c1 = 1
จะได และ
=
n1
21
1
1
x
x
x
1
C
tx
n1
21
1tλ
1111 e
x
x
x
1
eCY
==
ทำำนองเดยวกน
tx
n2
22
2tλ
2222 e
x
x
x
1
eCY
==
ผลเฉลยทวไป คอ
tx
1nn
2n
n
ntx
1n2
22
2
2tx
1n1
21
1
1
n
3
2
1
nn2211
n21 e
x
x
x
1
ce
x
x
x
1
ce
x
x
x
1
c
y
y
y
y
YcYcYcY
++
+
=
+++=
−−−
จดเปน
[ ] Ce,,eVDY
c
c
c
c
e000
0e00
00e0
000e
xxxx
xxxx
xxxx
1111
y
y
y
y
txtxiag
n
3
2
1
tX
tX
tX
tX
1nn
1n3
1n2
1n1
2n
33
22
21
n321
n
3
2
1
n1
n
3
2
1
=
=
−−−−
… (20)
เมอ =
[ ]txtxiag
n1 e,,eD
tX
tX
tX
tX
n
3
2
1
e000
0e00
00e0
000e
เมอใชเงอนไขคำเรมตน Djy(0) = yj ; j =
0,1,2,…,n-1 จะแทนดวย
Y(0) = Y0 ….(21)
ทำำใหไดวำ
Y0 = VIC = VC หรอ C = V-1Y0
สดทำยจะไดผลเฉลยหนงเดยวของสมกำร (19) และ (21) จะอยในรป
….(22)
[ ] 01txtx
iag YVe,,eVD(t)Y n1 −=
สงเกตวำ ถำ [ ]
=
n
3
2
1
n1iag
x000
0x00
00x0
000x
x,,xD
แลว [ ]n1iag
nn
n2
n1
2n
22
21
n21
x,,xDV
xxx
xxx
xxx
AV
=
=
ดงนน ….(23)
[ ] 1n1iag Vx,,xVDA −=
ในทำำนองเดยวกน จำก (22 ) กำำหนดเมทรกซ exponential
ดงนน ผลเฉลยของปญหำคำเรมตนของ
สมกำรเชงอนพนธ คอ ….(24)
[ ] 1txtxiag
At Ve,,eVDe n1 −=
0At YeY =
ตวอยำงตวอยำง จงหำผลเฉลยของสมกำร
1(0)y1,y(0) ; 06yy5y −=′==+′−′′
วธทำำ
พหนำมลกษณะเฉพำะของสมกำรคอ
3)2)(D(D
65DDp(D) 2
−−=+−=
ดงนน
กำำหนดให และ
[ ]
=
=
32
11V,
e0
0ee,eD
3t
2t3t2t
iag
′
=y
yY
=
1-
1Y 0
ผลเฉลยของสมกำรคอ [ ] 0
13t2tiag YVe,eVD Y −=
−
−
−
=
1
1
12
13
e0
0e
32
11
3t
2t
−
−=
3t2t
3t2t
9e8e
3e4e
นนคอ และ #
3t2t 3e4ey −=3t2t 9e8ey −=′
พจำรณำสมกำรเชงผลตำง (17)Ln{yj}+an-1L
n-1{yj}+….+a1L{yj}+a0{yj}= {0}
จะเปลยนรปเปนระบบสมกำรในวธทำำนองเดยวกน โดยเรำจะพจำรณำลำำดบของเวกเตอร{yj}
สมกำร (17) จะกลำยเปนL{Yj} = {AYj} ….(25)
เมอ A คอ เมทรกซทเคยกลำวถงเมอ L{Yj} = {Yj+1} แลวสมกำร (25) จะสมมล
กบ Yj+1 = AYj ….(26)
ในทำำนองเดยวกน เมอใชเงอนไขคำเรมตน (0) = 0 สดทำยผลเฉลยหนงเดยวของสมกำร (26) จะอยในรปประยกตใช (23) ไดวำผลเฉลยของปญหำคำเรมตนของสมกำรเชงผลตำงคอ
เมอ
Y Y
0j
j YAY =
[ ] 1jn
j1iag
j Vx,,xDVA −=
ตวอยำง พจำรณำสมกำรผลตำงสบเนอง yn+2 - 5yn+1
+ 6 yn = 0 ; y0 = 9 , y1 = 2
วธทำำ พหนำมลกษณะเฉพำะของสมกำร คอ
p(L) = L2 + 5L+6= (L-2)(L-3)
ดงนน กำำหนดให และ
[ ]
=
=
32
11V,
30
02,32D
n
nnn
iag
=
+1n
n
y
yY
=
23
9Y 0
ผลเฉลยของสมกำรคอ [ ]
⋅+⋅⋅+⋅
=
−
−
=
= −
nn
nn
n
n
01nn
iag
31528
3524
23
9
12
13
30
02
32
11
YV,32VDY
นนคอ yn = และ yn+1 =
#
nn 3524 ⋅+⋅nn 31528 ⋅+⋅