Noteiktais integrālis

LĪKLĪNIJU TRAPEČU LAUKUMS

Līklīnijas trapece• Līklīnijas trapece – plaknes figūra, kuru ierobežo trīs

taisnes nogriežņi un līknes loks.

Laukuma aprēķināšana• Sadalot figūru daļās, līklīnijas trapeces laukums

sastāv no līklīnijas trapeces daļu laukumu summas• Katras daļas laukums tiek risināts kā taisnstūra

laukums – pamats reiz augstuma reizinājums.

• Lai izmantotu risināšanas kārtulu Ox, intervālu (a; b) ar punktiem sadala n daļās

a = x0 < x1< … <xn = b

Funkcijas f(x) integrālsumma intervālā (a; b)

• S ≈ f(ξ1)x1 + f(ξ2)x2 + … + f(ξn)xn

n

iii xfS

1

Noteiktais integrālis• Ja apzīmē un meklē

integrālsummas robežu, kad x 0, un eksistē robeža

• Kura nav atkarīga no intervāla (a; b) sadalījuma veida un no punktu ξi (i = 1, 2, 3, … , n) izvēles, tad šo robežu sauc par funkcijas f(x) noteikto integrāli intervālā (a; b) un apzīmē

ini

xx

max1

ii

n

ix

xf

10

lim

b

a

dxxf

ii

n

ix

b

a

xfdxxf

10

lim

x – integrācijas mainīgaisf(x) – zemintegrāļa funkcijaf(x)dx – zemintegrāļa izteiksmea – integrācijas apakšējā robežab – integrācijas augšējā robeža(a; b) – integrācijas intervāls

Noteiktā integrāļa īpašības• Integrālis no divu vai vairāku funkciju summas ir

vienāds ar šo funkciju integrāļu summu.

b

a

b

a

b

a

n

b

a

n

dxxfdxxfdxxf

dxxfxfxf

...

...

21

21

• Konstantu reizinātāju var iznest pirms integrāļa zīmes

• Mainot vietām integrācijas robežas , mainās tikai integrāļa zīme

b

a

b

a

dxxfcdxxcf

a

b

b

a

dxxfdxxf

• Ja (a, b) = (a; c) (c; b), tad

• Ja visiem x (a; b) (a < b) ir spēkā nevienādība f(x)≥0, tad arī

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf

b

a

dxxf 0

• Ja f(x) = 1, tad

•

b

a

b

a

abdxdxxf

tadbaunxfMxfmJa

baxbax

,, maxmin;;

b

a

abMdxxfabm

• Ja visiem x (a; b) (a < b) ir spēkā nevienādība f1(x)f2(x), tad

• Vidējās vērtības teorēma. Ja f(x) ir intervālā (a; b) (a<b) nepārtraukta funkcija, tad eksistē tāds punkts c (a; b), ka

b

a

b

a

dxxfdxxf 21

bacfdxxfb

a

NOTEIKTĀ INTEGRĀĻA APRĒĶINĀŠANAS PAŅĒMIENI

Integrālrēķinu pamatteorēma

• Ja funkcija f(x) ir integrējama intervālā [a; b] un F(x) ir funkcijas f(x) primitīvā funkcija intervālā (a; b), tad spēkā ir sakarība

b

a

aFbFdxxf

Ņūtona – Leibnica formula

122

111

2

1

0coscos2

102cos

22cos

2

1

2cos2

12sin 2

0

2

0

xxdx

Parciālā integrēšana• Ja ir dotas nepārtrauktas un diferencējamas funkcijas

u=u(x) un v=v(x) intervālā [a; b], tad

d(uv)=udv+vdu

b

a

b

a

b

a

vduudvuvd

b

a

b

a

b

avduuvudv

0

sin xdxx

xxdxvdxdv

dxduxu

cossinsin

00sincoscoscos xdxxxx

Substitūcijas metode• Izmanto mainīgo t ar formulu x = (t)• A= () un b = ()• Funkcija (t) ir nepārtraukta intervālā [; ]• Funkcijas (t)vērtības pieder intervālam [a; b], ja t [;

]

dtttfdxxfb

a

7

0 1 x

xdx tx 1

21 tx

12 tx

tdtdx 2

1

01

t

t

22

71

t

t

22

1

2 21

t

tdtt

22

1

2 12

t

dtt

22

1

12 dt

tt

22

1

22

1

222

1

ln21

2 ttdtt

t

1ln22ln1222ln2 2222

1

22

1

2 tt

22ln12622ln182 2

Tuvinātā aprēķināšana

b

a

n

i

x

x

i

i

dxxfdxxf1

1

hyy

dxxf ii

x

x

i

i

21

1

nn

n

i

iib

a

yyyyyyh

hyy

dxxf

12110

1

1

...2

2

1210

1

1 ...22 n

nn

i

iib

a

yyyyy

hhyy

dxxf

NOTEIKTĀ INTEGRĀĻA PIELIETOJUMI

Plaknes figūru laukumu pielietošana

• Ir dota plaknes figūra, kuru no augšas ierobežo intervālā  nepārtrauktas funkcijas  grafiks y = g(x), no apakšas - šajā intervālā nepārtrauktas funkcijas  grafiks y = f(x), pie tam abiem grafikiem no sāniem ir taisnes x = a un x = b.

• Meklējamais laukums S ir divu līklīnijas trapeču laukumu starpība.

Līknes garuma aprēķināšana

Līknes garuma aprēķināšana

• Līknes loka garums sastāv no līknes lokā ievilktās lauztās līnijas nogriežņu garumiem

Pārveidojums pēc Lagranža formulas

Rotācijas ķermeņa tilpums• Rotācijas ķermeni, šķeļot ar jebkuru abscisu asij

perpendikulāru plakni, iegūst riņķi, kura rādiuss ir . • Iegūtā šķērsgriezuma laukums

NEĪSTAIS INTEGRĀLIS

• Integrāļus ar galīgu integrēšanas intervālu [a; b] no šajā intervālā nepārtrauktas funkcijas f(x) sauc par īstajiem integrāļiem.

• Noteiktais integrālis zaudē jēgu, ja integrēšanas intervāls ir bezgalīgs vai zemintegrāļa funkcija integrēšanas intervālā nav ierobežota.

• Integrāļus ar bezgalīgu integrēšanas intervālu sauc par neīstajiem integrāļiem.

• Pirmā veida neīstie integrāļi - integrāļi, kuriem vismaz viena no integrēšanas robežām ir bezgalīga, bet zemintegrāļa funkcija ir ierobežota integrēšanas intervālā.

• Otrā veida neīstie integrāļi - integrāļi, kuriem zemintegrāļa funkcija nav ierobežota integrēšanas intervālā .

• Trešā veida neīstie integrāļi - integrāļi, kuriem vismaz viena no integrēšanas robežām ir bezgalīga un zemintegrāļa funkcija nav ierobežota integrēšanas intervālā.

Pirmā veida neīstie integrāļi

21

121

1

1

2

121

limlim 1

lnln1

11

II

bxIbx

I

x

dxI

x

dxI

bb

bb

bb

• Lielumam I1(b) ir noteikta robeža I.

• Neīstais integrālis eksistē jeb konverģē.

• Lielumam I2(b) nav noteikta robeža I.

• Neīstais integrālis neeksistē jeb diverģē.

• Integrāļa I1 (b) robežu sauc par neīsto integrāli ar bezgalīgu augšējo integrācijas robežu jeb par pirmā veida neīsto integrāli.

b

aa b

dxxfdxxf lim

• Funkcija y = f(x) ir nepārtraukta intervālā [a; c). Punktā x = c tai ir bezgalīgs pārtraukums.

• Pēc būtības integrālis nav definēts, bet ar pietiekami mazu integrālis ir definēts.

• Ja 0 – lielumam I() ir noteikta

robeža;– lielumam I() nav robežas.

• Ja I() noteikta robeža ir, tad to sauc par otrā veida neīsto integrāli no funkcijas ar bezgalīgu pārtraukumu intervāla galapunktā c.

• Ja robeža eksistē, tad neīstais integrālis eksistē vai konverģē.

• Ja robeža neeksistē, tad neīstais integrālis neeksistē jeb diverģē.

b

a

b

a

dxxfdxxf

lim

0