4.respuesta de un_circuito_de_segundo_orden

Circuitos Eléctricos

Gustavo Mesones Málaga 1

Capítulo 8

Respuesta Completa de Circuitos con dos elementos de almacenamiento de

energía En este capítulo cuando planteamos ecuaciones diferenciales ahora debemos tener en cuenta que se va agregar un elemento de almacenamiento de energía, provocando que la ecuación diferencial sea de segundo orden. La solución de una ecuación diferencial de segundo orden implica respetar estrictamente el método matemático, puesto que parte de la solución implica encontrar dos condiciones iniciales para la variable a estudiar, sea de voltaje o de corriente. Nosotros vamos a proponer el planteamiento matemático de dos formas, tal como se vio en el capítulo anterior. Uno es el planteamiento en el dominio del tiempo y otro en el dominio de la frecuencia. Ambas formas nos deben de llevar a la misma solución, luego para que ello se cumpla, es muy importante saber plantear la ecuación diferencial de segundo orden Se proponen varios métodos, pero en cualquiera de los casos tiene que esta bien hecho. No necesariamente hay que usar todos, sino que el alumno decide según la característica del circuito eléctrico para establecer el planteamiento apropiado. Hay modelos circuitales, el cual uno se limita a escribir la solución sin plantear nada, pero implica un relativo dominio de la teoría para que ahorre tiempo. Además la solución de una ecuación diferencial puede tener sólo respuesta natural cuando el circuito eléctrico no tiene fuentes externas independientes; y respuesta completa cuando los haya. Insistimos: para encontrar los coeficientes de la solución natural hay que aplicar el concepto de condición inicial. En algunos casos es simple de encontrar pero en otros puede tomar tiempo. Dado el siguiente modelo circuital: Vamos a encontrar la ecuación diferencial para la variable de voltaje en el condensador C.

R L C

i

if



Sabemos que:

Esto es por la aplicación de la LKC en el nodo correspondiente, y derivando con respecto del tiempo para eliminar la integral obtenemos:

Es la forma típica de una ecuación diferencial (ED) de segundo orden. Note que el miembro derecho de la ED contiene la derivada de la función de la fuente externa if. Al dividir por C ambos miembros, obtenemos estrictamente la ecuación diferencial para el voltaje V en el capacitor.

Las unidades es voltios por segundo al cuadrado (V / s2) 7.1 Métodos para la obtención de la ecuación diferencial de segundo orden Tenemos tres modelos: Método de sustitución Método del operador y el Método de la variable de estado. Antes de comentar cada método podemos adelantar que para nuestro nivel usaremos cualquiera de los dos primeros métodos, el método de la variable de estado se usa en cursos más avanzados como la Ingeniería de Control, puesto que la solución se usa software porque usa mucho el concepto de matrices. 7.1.1 Método de sustitución Pasos del método de sustitución: 1.- Identificamos la variable x1 para la cual se desea la solución. 2.- Escribimos la ecuación diferencial en términos de la variable utilizada x1 y de

una segunda variable x2.

fidtdVCiVdt

LRV

=+++ ∫ ])0(1[

dtdi

LV

dtdV

RdtVdC f=++

12

2

dtdi

CLCV

dtdV

RCdtVd f112

2

=++



3.- Obtenemos una segunda ecuación adicional para la segunda variable en términos de la variable deseada x1 como x2=f(x1).

4.- Sustituimos x2=f(x1) en la ecuación según el paso 2. 5.- Si se incluye el término integral que proviene del paso 4, derivamos la ecuación

para obtener una ecuación diferencial de segundo orden. Ejemplo 7.1 Considerando un circuito RLC en serie, encuentre la ecuación diferencial para la variable i: Solución: Usamos x1 = V x2 = i La relación entre V e i está dado por:

Se cumple que x2 = f(x1) Aplicando la LKV en la malla correspondiente podemos escribir la siguiente ecuación de Kirchhoff:

Pero las variables de voltaje y corrientes están mezcladas, entonces hacemos la siguiente por sustitución:

RL C

i

Vf

+ V -

+

-

dtdVCi =

fVRiVdtdiL =++

fVRiidtCdt

diL =++ ∫1



Ordenando:

Esta es la ecuación diferencial para la variable i del circuito. Note que las unidades están en amperio por segundo cuadrado (A / s2) También se pudo haber escrito la ecuación diferencial en función del voltaje en el capacitor para este circuito RLC serie:

7.1.2 Método del operador (s) Pasos del método del operador:

1.- Identificamos la variable x1 para la cual se desea la solución. 2.- Escribimos la ecuación diferencial en términos de la variable utilizada x1 y de

una segunda variable x2. 3.- Obtenemos una segunda ecuación adicional en términos de la segunda

variable y primera variable.

4.- Usamos el operador dtds = y ∫= dt

s1

para obtener dos ecuaciones

algebraicas en términos de s y de las variables x1 y x2. 5.- Usamos la regla de Cramer, despejamos la variable deseada de forma que

x = f(s, fuentes) = )()(sQsP

donde P(s) y Q(s) son polinomios en s.

6.- Reordenamos la ecuación del paso 5 para que Q(s)x1=P(s). 7.- Convertimos los operadores de nuevo en derivadas en la ecuación del paso 6

para obtener la ecuación diferencial de 2do orden.

dtdV

dtdiRi

CdtidL f=++

12

2

dtdV

Li

LCdtdi

LR

dtid f112

2

=++

fVVdtdVRC

dtVdLC =++2

2

fVLCV

LCdtdV

LR

dtVd 112

2

=++



Ejemplo 7.2 Para el circuito mostrado halle la ecuación diferencial para la corriente i2 Para el modelo L1 = 1H L2 = 2H R = 1Ω Solución Obtenemos la ecuación diferencial para i1 e i2. Las ecuaciones de malla son: Ordenando las ecuaciones tenemos y usando s: Tenga en cuenta que al momento de usar s las ecuaciones son polinomios más simples de manipular. factorizando las ecuaciones:

R L2iVf

L1

+

-i1 i2

fViiRdtdiL =−+ )( 21

11

0)( 2212 =+−dtdiLiiR

fViidtdi

=−+ )( 211

02)( 212 =+−

dtdiii

fViidtdi

=−+ 211

02 221 =++−

dtdiii

fViisi =−+ 211

02 221 =++− siii



De la ecuación (2), se tiene que: i1= (2s+1)i2 En la Ecuación (1):

La ecuación diferencial para la corriente i2 finalmente es:

7.2 Solución de la Ecuación Diferencial de 2do orden - Respuesta Natural Dado la forma de la ecuación:

donde a2, a1 y a0 se conocen y f(t) es una función forzada. La respuesta completa es x(t): x = xn + xfo Donde x es de la forma Aest reemplazando en la ecuación (a) se tiene:

La solución natural xn será:

fViisi =−+ 211

02 221 =++− siii

fViis =−+ 21)1(

0)12( 21 =++− isi

(1)

(2)

fViss =−++ 2]1)12)(1[(

fViss =+ 22 )32(

fVdtdi

dtid

=+ 222

2

32

)(12

2

2 tfxadtdxa

dtxda o =++ (α)

)(012

2 tfAeaAseaeAsa ststst =++

0012

2 =++ nnn xasxaxsa



Es necesario que:

Esta ecuación última se le llama ECUACIÓN CARACTERÍSTICA La ecuación característica se obtiene de la ecuación diferencial dominante de un circuito, asignando a todas las fuentes independientes el valor CERO y suponiendo una solución exponencial. Al ser una ecuación de segundo grado puesto que es un polinomio, la solución es esta ecuación está dado por:

La solución natural es:

Note que como existen dos raíces, luego en la solución xn aparecen dos exponenciales. Estos valores de las raíces de la ecuación característica contienen toda la información necesaria para determinar el carácter de la respuesta natural. Como en las raíces s1 y s2 puede contener cualquier naturaleza en su valor real, es decir puede ser real o complejo y dependiendo de sus valores numéricos existen sólo tres posibilidades como respuesta natural. Esto lo abarcaremos debidamente. Si la ecuación diferencial fuera de orden 3 por ejemplo entonces la forma general de la solución sería:

Y así por el estilo. Lo complicado será encontrar los valores de A1, A2, A3, ...

0)( 012

2 =++ nxasasa

0)( 012

2 =++ asasa

2

02211

1 24

aaaaa

s−+−

=

2

02211

2 24

aaaaa

s−−−

=

tstsn eAeAx 21

21 +=

tststsn eAeAeAx 321

321 ++=



Ejemplo 7.3 Hallar la respuesta natural de la corriente i2. Use operadores s. Solución Aplicando LKV Por mallas

Usando operadores: dtds =

Tenemos que por la ecuación (2):

Reemplazando en (1)

De esta ecuación, obtenemos la ecuación característica:

4Ω 1HiVf

+

-i1 i2

8Ω 2H

fVidtdii =−+ 2

11 4212

0144 221 =++−

dtdiii

fVisii =−+ 211 4212

044 221 =++− siii

fViis =−+ 21 4)212(

0)4(4 21 =++− isi

(1)

(2)

21 )4(41 isi +=

fViss=−

++2]4

4)4)(212([ fViss 2]8)4)(6[( 2 =−++

fViss 2)1610( 22 =++



La ecuación característica es:

Las raíces son: s1 = -2 s2= -8 La solución natural será:

Esta es la característica de respuesta natural, esto es de acuerdo a los resultados de la obtención de las raíces de la ecuación característica. Observación: Las constantes de tiempo valen 1/2 y 1/8 s. 7.3 Respuesta Natural del circuito RLC en paralelo no forzado Tomaremos el circuito RLC paralelo puesto que los planteamientos en la ecuación diferencial y cálculo de las condiciones iniciales son simples. Tenemos que: Aplicando la LKC en el nodo V

Un circuito de segundo orden tiene una ecuación diferencial homogénea que contiene un término de segundo grado, debido a la presencia de dos elementos independientes de almacenamiento de energía.

016102 =++ ss

ttn eAeAx 8

22

1−− +=

R L C

i

v

0)0(10

=+++ ∫ dtdVCiVdt

LRV t

0112

2

=++ VLdt

dVRdt

VdC



Usando el operador s, se tiene la ecuación característica:

Las raíces son:

De acuerdo a las expresiones de las raíces, definimos:

Donde ωo se le denomina frecuencia natural de oscilación o frecuencia resonante. Reemplazando α y ωO

Note la característica algebraica de las raíces, luego se definen tres situaciones: 1. α > ωo Respuesta sobre amortiguada 2. α = ωo Respuesta críticamente amortiguada 3. α < ωo Respuesta sub-amortiguada Analizaremos cada una de las respuestas para saber sobretodo cómo son las gráficas típicas y cómo se interpretan. Luego la respuesta natural:

adicionalmente,

0112 =++LC

sRC

s

LCRCRCs 1)

21(

21 2

1 −+−=LCRCRC

s 1)2

1(2

1 22 −−−=

RC21

=αLC12

0 =ωy

20

21 ωαα −+−=s 2

02

2 ωαα −−−=s

tstsn eAeAV 21

21 += (1)

tstsn esAesAdtdV

212211 += (2)



La razón de la ecuación (2) es porque por el método matemático para la solución de la ecuación diferencial, es necesario evaluar la derivada de la función V en este caso. No se puede obviar estas ecuaciones porque sirven para encontrar las constantes A1 y A2. 7.3.1 Analizando la Respuesta Natural de un Circuito RLC no forzado en paralelo Sobre amortiguado. Para t = 0

Como la variable es V debemos encontrar V(0 y V’(0) Por lo general i(0) y V(0) son conocidos. Por la ecuación (4) despejamos la derivada de V con respecto al tiempo:

Por (2) sabemos que:

De (3), (α) y (β) obtenemos las dos ecuaciones para obtener A1 y A2 Ejemplo 7.4 Para el circuito RLC paralelo mostrado en la figura, halle la respuesta natural v(t) para t > 0.

21)0( AAVn += (3) Por la ecuación (1)

0)0()0()0(=++

dtdVCi

RV nn

(4) Por la LKC en el circuito

)0()0()0( iR

Vdt

dVC nn −−=Ci

RCV

dtdV nn )0()0()0(

−−=

2211)0( sAsA

dtdVn += (β)

(α)

R = 2/3Ω L = 1H C = 0.5F V(0) = 10V i(0) = 2A

R L C

i

v

Ecuación típica RLC //



Solución: La ecuación característica es:

Reemplazamos en la ecuación característica y resulta lo siguiente:

Resolviendo el polinomio, tenemos: s1 = -1 y s2 = -2 La respuesta natural:

como en t = 0

Usamos la condición de la derivada de Vn para encontrar la otra ecuación para A1 y A2.

Si derivamos la ecuación (1) y lo evaluamos en cero

Las ecuaciones (α) y (β) son permiten encontrar las constantes A1 y A2

Luego:

Graficando esta señal se observa l siguiente.

0112 =++LC

sRC

s

Con RC = y LC = 31

21

0232 =++ ss

ttn eAeAtV 2

21)( −− +=

2110)0( AAVn +==

344302

12

3110)0()0()0(' 2211 −=−−=−−=−−=+=

Ci

RCVAsAsVn

342)0(' 21 −=−−= AAVn

(1)

(α)

(β)

1021 =+ AA

342 21 −=−− AA141 −=A 242 =A

VeetV ttn )2414()( 2−− +−=



7.3.2 Analizando la Respuesta Natural de un Circuito RLC no forzado en paralelo Críticamente amortiguado. Un detalle particular es que la parte del radicar se anula, es decir

Luego las raíces s1 = s2 Supuestamente la solución sería:

Sin embargo la solución propuesta no cumple las expectativas desde el punto de vista matemático. Entonces proponemos una solución para este caso: Asumamos que la forma de la función Vn(t) es:

donde g(t) es un polinomio en t es: B2 + B1t. Y s es la raíz de la ecuación característica.

La forma de solución ya es conocida. Como comentario, una solución propuesta para una ecuación diferencial debe cumplir a dicha ecuación, si no es así debe de proponerse otra opción. En nuestro estudio particular no hay mucha complicación al adoptar una forma de solución u otra por las condiciones circuitales.

Vn(t)

t1 2 3

10

oωα =

LCRC1

21

=

tststsn eAeAeAtV 1

321

21)( =+=

213 AAA +=

tsn etgtV 1)()( =

tsn eBtBtV 1)()( 21 +=



Ejemplo 7.5 Para el circuito RLC paralelo mostrado en la figura, halle la respuesta natural v(t) para t > 0. Solución: La ecuación característica es:

Al tener raíces iguales, entonces la solución natural es:

En t = 0 Sabemos por la condición inicial que Vn(0) = 5. Y por la ecuación (1), se deduce que B2 = 5 Fíjese que para encontrar B2 no fue necesario sacar primero el par ecuaciones con las constante B1 y B2, sino que se obtuvo directamente. Para este tipo de respuesta siempre será así. Para hallar la otra constante B1, determinamos Función derivada en t =0:

Para ello, hay que hallar la función Vn(t) a partir de la ecuación (1) porque es la forma encontrada a partir del valor de las raíces en la ecuación característica.

R = 1Ω L = 1H C = ¼ F V(0) = 5V i(0) = -6A

R L C

i

v

0112 =++LC

sRC

s

Con RC = y LC = 41

41

0442 =++ ss 221 −== ss

tn eBtBtV 2

21 )()( −+= (1)

dtdVn )0(



En t = 0:

Resolviendo:

Y finalmente

La gráfica para esta solución natural para Vn(t) se da: 7.3.3 Analizando la Respuesta Natural de un Circuito RLC no forzado en paralelo Subamortiguado. Sabemos que Oωβ < , es decir

o también: L < 4R2C

tttn eBeBteBdtdV 2

22

12

1 22 −−− −+−=

44

16

415)0()0(2)0(

21 =−

−=−−=−=Ci

RCVBB

dtdV nn

42 21 =− BB

141 =B

VtetV tn )514()( 2 += −

Vn(t)

t

5

2.

1 2

2)2( RCLC <



La solución Vn(t) es de la forma:

Tal como se escribe en forma general Donde el valor de las raíces s1 y s2 son respectivamente:

Podemos escribirlo en forma conjunta las raíces como:

Donde α representa el coeficiente de amortiguamiento, que determinará qué tan rápido declinan las oscilaciones. Veremos oportunamente el por qué de esta afirmación. Llamamos:

Y se le llama ωa frecuencia resonante de amortiguamiento, rescribiendo las raíces tenemos:

Reemplazando s1 y s2 en la expresión de Vn(t)

Por la identidad de Euler:

Luego, reemplazando en la ecuación (a):

Ordenando las funciones seno y coseno se tiene lo siguiente:

tsts eAeA 2121 +

221 os ωαα −+−= y

222 os ωαα −−−=

222,1 αωα −±−= ojs donde j = 1−

22 αωω −= oa

ajs ωα +−=2,1

tjttjtn

aa eeAeeAtV ωαωα −−− += 21)(

)()( 21tjtjt

naa eAeAetV ωωα −− +=

tjte tj ωωω sencos ±=±

(a)

]sencossencos[)( 2211 tjAtAtjAtAetV aaaat

n ωωωωα −++= −



Llamaremos B1 = A1 + A2 B2 = j (A1 - A2)

Esta expresión es general para este tipo de respuesta subamortiguada, note la componente exponencial negativa te α− que nos indica la duración de las oscilaciones expresadas con los términos (B1cosωat + B2senωat). Ahora bien para encontrar los coeficientes B1 y B2 recuerde el procedimiento general matemático, tal como se explica a continuación. Para t = 0 Al evaluar Vn(t) resulta que:

Encontramos la derivada de Vn(t) con respecto al tiempo, encontraremos necesariamente la otra ecuación que nos permite encontrar B2. Entonces al derivar la función Vn(t)

y al evaluar en t = 0:

]sen)(cos)[()( 2121 tAAjtAAetV aat

n ωωα −++= −

)sencos()( 21 tBtBetV aat

n ωωα += −

1)0( BVn =

]sen)(cos)[()(2112 tBBtBBe

dttdV

aaaatn ωαωωαωα −−−= −

Ci

RCVBB

dtdV n

an )0()0()0(

12 −−=−= αω

Debido al modelo RLC paralelo debidamente demostrado



Ejemplo 7.6 Considere el circuito RLC en paralelo Hallar la respuesta natural Vn(t), t > 0 Solución . Tenemos que:

Observación: la unidad de α y ωa es también radianes por segundo (rad/s) Como ωO < α, la respuesta es subamortiguada. Luego:

Entonces las raíces s1 y s2 son numéricamente

Ahora nos toca evaluar las condiciones iniciales en t = 0: En t = 0

Para obtener B2, tenemos que:

R = 25/3 Ω L = 0.1H C = 1m F V(0) = 10V i(0) = -0.6A

R L C

i

v

6050

31000101)3/25(2

12

13 ==== −

xxxxRC

α

42 101==

LCoω segrado /100102 ==ω

segradoa /8060100 2222 =−=−= αωω

80601 jjs a +−=+−= ωα 80602 jjs a −−=−−= ωα

teBteBtV ttn 80sen80cos)( 60

260

1−− +=

110)0( BVn ==



Al reemplazar el resto de datos conocidos ya se obtiene que:

Finalmente la solución

El período de la oscilación amortiguada

y la frecuencia fa:

Observación general. Para encontrar los coeficientes A1 y A2 o B1 y B2 según el tipo de respuesta natural, siempre se calculan al final de la solución total. 7.4 Respuesta Forzada de un circuito RLC La ecuación diferencial para el circuito RLC está dado por:

Donde xfo es la respuesta forzada y debe de satisfacer la ecuación (1). La ecuación diferencial de la ecuación (1) interviene el término f(t) que es la función que representa una o más fuentes independientes externas, esto quiere decir que la solución forzada xfo es de la misma naturaleza que f(t). Dada la función forzada f(t), la solución supuesta xfo(t) será:

Ci

RCVBBa

)0()0(12 −−=−αω

Ci

RCVBB

aaa ωωωα )0()0(

12 −−=

05.7155.71080

6.0)3000/25(80

1080

106032 =+−=

−−−= −xx

xB

tetV tn 80cos10)( 60−=

msTa

a 798022

===π

ωπ

HzT

f a

aa 73.12

280

21

====ππ

ω

)(1

2

2tfxa

dtdxa

dtxd

o =++ (1)



f(t) xfo(t)

1) K A 2) Kt At + B 3) Kt2 At2 + Bt + C 4) Ksenωt Asenωt + Bcosωt 5) Ke-at Ae-at Como se puede observar, las cantidad de formas de onda son concretos y suficientes para analizar en los circuitos eléctricos correspondientes. Ejemplo 7.7 Dado el circuito mostrado, determinar la ifo(t) si: Solución. En el nodo V aplicamos la LKV

Donde:

- Note que estamos planteando la LKC en el dominio del tiempo, queda para el alumno resolver este ejercicio por el método de los operadores s Como la variable es ifo, luego debemos de despejar V en función de i, por la ecuación (2):

Y lo reemplazamos en (1)

If = 8e-2t R = 6 Ω L = 7 H C = 1/42 F

v

R L C

i

ifu(t)

dtdVC

RVii f ++=

dtdiLV =

(1)

(2)

2

2

dtidL

dtdV

=



Reemplazando valores diversos R, L y C: Entonces:

La respuesta forzada ifo(t) será de la forma: ifo = Be-2t y reemplazando en (α)

como observamos, se eliminan las exponenciales en la ecuación (β)

Ejemplo 7.8 Dado la ecuación diferencial para t > 0

Determine la respuesta forzada Vfo para t > 0 si a) Vf = 8V b) Vf = 3e-4t c) Vf = 2e-2t Solución: a) para Vf = 8V (es una DC o señal constante) las derivadas correspondientes valen cero:

fiLCi

LCdtdi

RCdtid 1112

2

=++ Ecuación diferencial para i en el dominio del tiempo

71=

RC 61=

LC)7

)42/1(61( =

xy )6

)42/1(71( =

x

teidtdi

dtid 22

2

4867 −=++ (α)

tttt eBeBeBe 2222 486)2(74 −−−− =+−+ (β)

tt eBe 22 484 −− =− 12−=B

Aeti tfo

212)( −−=Luego

fVVdtdV

dtVd

=++ 652

2



La ecuación diferencial queda reducida a:

b) Para Vf =3e-4t, se tiene que Vfo = Be-4t como no es una señal constante, entonces encontraremos las respectivas derivadas:

Reemplazando las derivadas en la ecuación diferencial resulta que:

La respuesta forzada es:

c) para Vf= 2e-2t, se asume que Vfo = Ae-2t las derivadas correspondientes son:

Reemplazando las derivadas en la ecuación diferencial, resulta:

Se anula la parte izquierda de la igualdad, y resulta una inconsistencia.

02

2

==dtVd

dtdV

86 =foV VVfo 68

=

tfo BedtdV 44 −−= tfo Be

dtVd 4

2

2

16 −=y

tttt eBeBeBe 4444 36)4(516 −−−− =+−+tt eBe 44 32 −− =

23

=B

tfo eV 4

23 −= V

tfo AedtdV 22 −−= tfo Ae

dtVd 2

2

2

4 −=y

tttt eAeAeAe 2222 26)2(54 −−−− =+−+



La solución propuesta no cumple la ecuación diferencial. Luego tomamos Vfo = Ate-2t Las derivadas en este caso no son tan triviales:

Reemplazando las derivadas en la ecuación diferencial:

Finalmente la respuesta forzada Vfo resulta:

7.5 Respuesta Completa de un circuito RLC La respuesta completa es la suma de las respuestas natural y la forzada, es decir:

Nada más que el procedimiento es más extenso en los circuitos de segundo orden que en los sistemas de primer orden. Como casa procedimiento ya es conocido, pasamos a completar este tópico con un ejemplo completo. Las condiciones iniciales para este tipo de respuestas completas siempre de aplican al final de la solución total de x(t), recuerde que las constantes de la

)21()2( 222 tAeetAAedtdV ttt −=−= −−−

)44()2(22 22222

2

teteeAAedtVd tttt +−=−−−= −−−−

tttt eAtetAetAe 2222 26)21(5)44( −−−− =+−++−

tt etttAe 22 2)610544( −− =+−++−

2=A

tfo teV 22 −=

fon xxx +=



solución natural no se conocen cuando se hallan las respuestas naturales y forzadas. Ejemplo 7.9 Dado un circuito RLC en paralelo y su ecuación diferencial está dado por:

Con las siguientes condiciones:

Determinar V(t) Solución: a) encontramos la solución natural:

b) La solución forzada Vfo = Be-t Tenemos que las derivadas de Vfo son:

reemplazando las derivadas en la ecuación diferencial, resulta:

Luego la solución forzada es:

fVVdtdV

dtVd

=++ 652

2

sV

dtdV 2)0(

−=

VV 10)0( =t

f eV −= 4

0652 =++ ss0)3)(2( =++ ss

ttn eAeAtV 3

22

1)( −− +=

tfo BedtdV −−= tfo Be

dtVd −=2

2

y

tttt eBeBeBe −−−− =+−+ 46)(5

tt eBe −− = 42 2=B



c) la respuesta completa es:

d) Aplicación de las condiciones iniciales en t = 0 en t = 0 V(0) se tiene la siguiente relación: Para V’(0) tenemos lo siguiente: De (α) y (β): A1 = -16 y A2 = 24 Finalmente:

7.6 Método de la Variable de Estado en el Análisis de Circuitos para encontrar la solución a una variable x(t) existe un método alternativo que se denomina Variable de Estado. Las Variables de Estado de un circuito son el conjunto de variables asociadas con la energía de los elementos de almacenamiento de energía del circuito. La palabra estado significa condición. El método de la variable de estado utiliza una ecuación diferencial de primer orden por cada variable de estado, para determinar la respuesta completa del circuito.

tfo eV −= 2

fon VVV +=ttt eeAeAtV −−− ++= 2)( 3

22

1

210 21 ++= AA

2232)0(21 −=−−−= AA

dtdV

821 =+ AA (α)

032 21 =+ AA (β)

ttt eeetV −−− +−= 21624)( 32



7.6.1 Método de la Variable de Estado en el Análisis de Circuitos. 1. Identificamos las variables de estado como los voltajes del capacitor y las

corrientes del inductor. 2. Determinamos las condiciones iniciales en t = 0 de los voltajes del capacitor y

las corrientes del inductor. 3. Obtenemos una ecuación diferencial de primer orden para cada variable de

estado por medio de la LKC o LKV.

4. Usamos los operadores para sustituir dtd

5. Obtenemos la ecuación característica del circuito, observando que puede hacerse igualando a cero el determinante de la regla de Cramer.

6. Determinamos las raíces de la ecuación característica, que a su vez determi-nan la forma de la respuesta natural.

7. Obtenemos la ecuación diferencial de segundo orden (o mayor) para la variable x seleccionada por la regla de Cramer.

8. Determinamos la respuesta forzada Xfo suponiendo una forma apropiada de la misma y hallando la constante sustituyendo la solución supuesta en la ecuación diferencial de segundo orden.

9. Obtenemos la solución completa x = xn + xfo. 10. Usamos las condiciones iniciales de las variables de estado junto con la serie

de ecuaciones diferenciales de primer orden (paso 3) para obtener. dtdx )0(

11.-Usando x(0) y dtdx )0( para cada variable de estado, hallamos las constantes

arbitrarias A1, A2,.. An para obtener la solución completa x(t) Ejemplo 7.10 para el modelo, y bajo las siguientes condiciones: Va = 10V Vb = 6V V1(0) = 5V V2(0) = 10V Además: R1C1 = 1, R2C1 = 1, C2R3 = 1 y C2R2 = 1/2 Halle V1(t) para t > 0

Vau(t) Vbu(t)

R1 R2 R3

C1 C2V1 V2

1 2

+ + + +

- - - -



Solución: Aplicando la LKC en el nodo 1 y en el nodo 2 tenemos el de ecuaciones:

Rescribiendo las ecuaciones, tenemos:

Reemplazando los productos R1C1, R2C1, R2C2, R3C2 en las ecuaciones:

Note que las ecuaciones diferenciales son de primer orden y según el método de variable de estado, es más apropiado dejarlos bajo esta forma, puesto que para el cálculo de las condiciones iniciales para la derivada del voltaje V1(t) o V2(t) en t = 0 es más simple de evaluar tal como se observan en las ecuaciones (1) y (2). Usando operadores matemáticos

Tenga en cuenta que los valores de Va y Vb son han sido reemplazados, para que cuando se obtenga la respuesta forzada, no cometamos error en calcular otro valor numérico para el voltaje V1fo o V2fo . tenga en cuenta que éstos voltajes son DC.

2

12

1

111 R

VVRVV

dtdVC a −

+−

=

2

21

3

222 R

VVRVV

dtdVC b −

+−

=

Nodo 1:

Nodo 2:

1121

2

21

1

11

11

RCV

RCV

RCV

RCV

dtdV a=−++

3222

1

22

2

32

22

RCV

RCV

RCV

RCV

dtdV b=−++

aVVVdtdV

=−+ 211 2

bVVdtdVV =++− 2

21 32

(1)

(2)

aVVVs =−+ 21)2(

bVVsV =++− 21 )3(2



Como vamos a encontrar el voltaje V1(t), escribimos la ecuación diferencial en s

También lo escribimos en el dominio del tiempo:

Teniendo definido la ecuación diferencial para V1(t), encontramos la ecuación característica para encontrar las raíces y escribir la solución natural para V1(t). La ecuación característica: s2+5s+4=0 La respuesta natural es:

Ahora encontraremos V2fo, note por la ecuación (5) ó (6) que las fuentes externas

Va y Vb son constantes, entonces la derivada para Va , dtdVa

valdrá CERO .

)3(21)2()3(

1

1

+−−+

+−

=

ss

sVV

V b

a

)3(21)2(

2)2(

2

+−−+

−+

=

ss

VVs

V b

a

45)3(

2 ++++

=ssVVs ba

452)2(

2 ++++

=ss

VVs ab

(3)

(4)

ba VVsVss ++=++ )3()45( 12

baa VVdtdVV

dtdV

dtVd

++=++ 345 11

21

2

41 −=s

12 −=s

ttn eAeAV 4

211−− +=

(5)

(6)



V2fo = K (constante) luego las derivadas dt

dVfo2

y 2

22

dt

Vdfo

valdrán CERO

Reemplazando en (6):

Luego:

Aplicamos condiciones iniciales para V1 Para t = 0

Además, por la ecuación (1):

Por la ecuación (7):

Comparando las expresiones de la derivada en t = 0 sale la otra expresión de la relación de los coeficientes A1 y A2 10 = -A1-4A2 (β) Resolviendo (α) y (β) A1 = -2 y A2 = -2 finalmente:

VVVK ba 36)6()10(303400 =++=+=++ VK 9=

9421111 ++=+= −− tt

fon eAeAVVV (7)

95)0( 211 ++== AAV 421 −=+ AA (α)

aVVVdtdV

=−+ 211 2 21

1 2 VVVdtdV

a +−=

VVVVdt

dVa 1010)5(210)0()0(2)0()0(

211 =+−=+−=

tt eAeAdttdV 4

211 4)( −− −−=

922)( 41 +−−= −− tt eetV

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4.respuesta de un_circuito_de_segundo_orden