Upload
adhy-mulyadi
View
85
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
FISIKA STATISTIK
PERHITUNGAN FUNGSI PARTISI
Agar supaya energi-dalam dapat di hitung, perlu menghitung lebih dahulu fungsi partisi
π§π = β πβπ€πππ
~
π=1
Dengan π€π = (π β 1
2)hf, maka
π§π = π β1
2 βπ
ππ + πβ11
2 βπ
ππ + β¦ β¦ . πβ(πβ
12
) βπ
ππ + β¦ . . πβ(πβ
12
) βπ
ππ .... (2.61)
Persamaan ini disederhanakan dengan mengeluarkan πββπ
2ππ dari tanda kurung, didapat
π§π = πββπππ (1 + πβ
βπππ + πβ
2βπππ + β― )
Suku-suku dalam kurung disederhanakan, misalnya π₯ = πββπ
ππ, maka suku-suku dalam kurung
= 1 + π₯ + π₯2 + π₯3 + β― . π₯π
Untuk x kecil, persamaan tersebut dapat disedrhanakan menjadi = 1
1βπ₯
Maka π§π = π
ββπ
2ππ
1β πβ
βπ2ππ
ln π§π = ββπ
2ππβ ln (1 β πβ
βπ
ππ)...... (2.62)
Dideferensialkan terhadap T :
π
ππln π§π = β
βπ
2ππ2 β π (1 β πβ
βπππ)
1 β πββπππ
π (ββπ
2ππ)
= ββπ
2π(π πβ1)
= ββπ
2πβ 1 πβ2
= βπ
2ππ2
ln (1 β πββπππ)
Misal :
(1 β πββπ
ππ) = π’
πββπππ = π£
ββπ
ππ= π€
π (π₯, π¦) = ππ
ππ’.ππ
ππ£.ππ
ππ€
= 1
π’ . π£ β². π€ β²
= (1
1 β π ββπππ
) . πββπππ .
βπ
ππ2
= πβ
βπππ
1 β πββπππ
.βπ
ππ2
Maka
π
ππln π§π = +
βπ
2ππ2 β π (1 β π β
βπππ)
1 β πββπππ
=βπ
2ππ2 + βπ
ππ2 πβ
βπππ
1 β πββπππ
Energi dalam ππ = πππ2 π ln ππ
ππ
= ππ ππ2 {βπ
2ππ2 + βπ
ππ2 πβ
βπππ
1 β πββπππ
}
ππ2 dimasukkan diantara suku-suku dalam kurung didapat
ππ = ππ (βπ
2+
βπ
π+βπππ β 1
) β¦ . . (2.63)
Persamaan (2.63) menyatakan :
Energi-dalam ππ osilator yang frekuensinya masing-masing f, sama untuk seluruh osilator.
Kristal telah dimodelkan sebagai osilator sederhana bebas terbedakan. Masalahnya berapakah
benyaknya osilator yang dapat memerikan kristal tersebut ?
Untuk menjawab pertanyaan ini, kita tinjau kristal yang titik kisinya berjumlah N, dalam ruang titik
kisi mempunyai 3 koordinat (x,y,z). Jika setiap titik kisi mengalami pergeseran sangat kecil, maka
koordinat yang terlibat pada pergeseran sel sejumlah 3 N. Energi potensial sebanding dengan
koordinat kuadrat, energi kinetik sebanding dengan momentum kuadrat, sedang momentum
merupakan perkalian massa dengan kecepatan, untuk setiap koordinat bertaut dangan 1 kecepatan.
Jadi untuk memodelkan kristal yang terbangun oleh N titik kisi diperlukan 3N osilator harmonis
sederhana bebas terbedakan.
Selanjutnya, kita tinjau osilator-osilator yang frekuensinya tak sama, yang distribusinya dapat
diperkirakan oleh persamaan.
πππ = ππππ .............(2.64)
Dengan ππ fungsi frekuensi, ditulis ππ = ππ (π£), menyatakan jumlah osilator ...... persatuan rentang
frekuensi.
Jika diintegralkan untuk seluruh frekuensi, maka didapatkan harga sejumlah osilator yang memerikan
watak kristal tersebut.
β« πππ = β« ππππ = 3π ................(2.65)
Energi isolator yang freuensinya antara f dan d =df adalah
π€π = ππ
ππ= (
1
2 βπ +
βπ
πβπππ β 1
)
Jika diintegralkan untuk seluruh osilator didapatkan
π = β« π€ππππ = β« (1
2βπ +
βπ
πβπππβ1
) ππππ ...................... (2.66)
Jika 3N osilator memberikan kristal dengan N titik kisi, sedang kristal yang mempunyai N titik kisi
tersebut sebanyak 1 βmoleβ, maka seluruh energi yang diberikan oleh persamaan 2.66 adalah energi
per βmoleβ, sedang N adalah jumlah titik kisi untuk 1 βmoleβ, kristal = ππ΄ (ππ΄ =
ππππππππ π΄π£ππππππ).
Pendekatan yang dilakukan Einstein adalah 3N osilatoryang memberikan watak getaran kristal
masing-masing mempunyai frekuensi = fE = frekuensi osilator Einstein
π = β« π€ππππ
= β« {1
2 βππΈ +
βππΈ
πβππΈππ β 1
} πππ
π = {1
2βππΈ +
βππΈ
πβππΈππ β 1
} 3π
Kapasitas panas pada colume tetap Cv
πΆπ£ = (ππ
ππ)
π£=
π
ππ {
1
2 βππΈ . 3π +
βππΈ . 3π
πβππΈππ β 1
}
= ββππΈ .3π.{π
βππΈππ (β
βππΈ
ππ2)}
πβππΈππ β 1
πΆπ£ = β1
π (
βππΈππ
) 2.3π πβππΈππ
πβππΈππ β1
= π(
βππΈππ
)2
.3π πβππΈππ
πβππΈππ β1
..................(2.68)
ππ πππππππ ππππ βππΈ
π= ππΈ .................(2.69)
ππΈ = temperatur karakteristik Einstein
Maka πΆπ£ = π (
ππΈπ
)2
πππΈπ .3π
πππΈπ β1
Untuk βmoleβ N menjadi ππ΄, πΆπ£ menjadi πΆπ£ dan ππ΄π = R = tetapan gas alam
πΆπ£β =
3π ππ΄ (ππΈ
π)
2
πππΈπ
πππΈπ β 1
πΆπ£β =
3π (ππΈπ
)2
πππΈπ
πππΈπ β1
.........................(2.70)
Atau πΆπ£
β
3π =
(ππΈ)2 πππΈπ
πππΈπ β1
Jika digambarkan πΆπ£
β
3π sebagai sangsi T, maka untuk T harga
πΆπ£β
3π = 1, sesuai kaedah Dulong Petit,
sedang untuk T 0 harga πΆπ£
β
3π 0 mendekati hasil percobaan,tetapi mendekati nol, terlalu cepat jika
dibandingkan hasil percobaan.