Ageo sxol 2016-2017_papagrigorakis

Α Λυκείου

Γεωμετρία

2016-2017

Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά

Γεωμετρία

Ταξη: Α Γενικού Λυκείου Γεωμετρία Έκδοση 17.08

Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση

αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της

Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός M.Ed. Χανιά 2016

Ιστοσελίδα: http://users.sch.gr/mipapagr

mail : [email protected]

ΑΑ Λυκείου - Γ

1 ΕΙΣ

1.01 Αν Μ

σημείο της ημ

Α) Το Ο δεν α

Β) Το Ο ανήκ

1.02 Σε μ

ευθύγραμμα τ

μέσα των ΑΒ

ΑΔ ΒΜΝ

2

1.03 Σε μ

τμήματα ΑΒ

τμημάτων ΑΓ

ΑΔ ΒΜΝ

2

1.04 Σε μ

τμήματα ΑΒ

ΒΓ, ΓΑ αντίσ

κοινό μέσο.

1.05 Στο π

2AB=3AM .

1.06 Σε μ

K,A,M και B

7KM 3KA

1.07 Οι η

τις διαδοχικές

που έχουν μέτ

Να υπολογίσε

ημιευθείες ΟΒ

O Α

Γεωμετρία

ΣΑΓΩΓΗ

Μ είναι το μέσ

μιευθείας ΜΑ

ανήκει στο ΑΜ

κει στο ΑΜ τ

ια ευθεία ε πα

τμήματα ΑΒ ,

Β και ΓΔ αντίσ

ΒΓ


, ΒΓ, ΓΔ. Αν

Γ και ΒΔ αντί

ΒΓ


, ΒΓ. Αν Δ, Ε

στοιχα, να δειχ

παρακάτω σχ

Να δείξετε ότ

ια ευθεία παίρ

B ώστε 3AM

4KB

μιευθείες ΟΑ

ς γωνίες Α Ο Β

τρα ανάλογα μ

ετε τις γωνίες

Β και ΟΔ είνα

Μ

Η 2 ΒΑΣ

σο τμήματος Α

Α, να αποδείξετ

Μ τότε 2ΟΜ

ότε 2ΟΜ Ο

αίρνουμε τα δ

, ΒΓ, ΓΔ. Αν Μ

στοιχα, να δεί

αίρνουμε τα δ

Μ, Ν είναι τα

ίστοιχα, να δε

αίρνουμε τα δι

Ε, Ζ είναι τα μ

χθεί ότι τα ΔΕ

χήμα τα σημεί

τι: 3ΟΜ=ΟΑ+

ρνουμε διαδοχ

M 4MB Να δ

, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ

Β, Β Ο Γ, Γ Ο

με τους αριθμ

αυτές και να

αι αντικείμενε

Β

ΣΙΚΕΣ Ε

ΑΒ και Ο

τε ότι αν:

ΟΑ ΟΒ

ΟB ΟA

διαδοχικά

Μ, Ν είναι τα

ίξετε ότι

διαδοχικά

α μέσα των

είξετε ότι:

ιαδοχικά

έσα των ΑΒ ,

Ε, ΒΖ έχουν

ία είναι

+2ΟΒ

χικά τα σημεία

δειχθεί ότι:

Δ σχηματίζουν

Ο Δ, Δ Ο Α

μούς 1, 2, 3, 4.

δείξετε ότι οι

ς.

ΕΝΟΙΕΣ

,

α

ν

.

ι

1.K

7K

1.ίδ

γω

είν

Ο

1.

ημ

Γ

τω

Ο

1.

ημ

πε

κα

πα

1.

Ο

Ο

αν

1.

γν

συ

τη

γω

.08 Σε μια

K,B,M και A

KM 3KA 4

.09 Από ση

ιο μέρος της

ωνίες Α Ο Γ, Γ

ναι οι διχοτόμ

Ο Ζ)=1000, να

.10 Δίνετα

μιευθεία της Ο

και Α Ο Β να

ων γωνιών Α Ο

Ο Ζ)=45ο.

.11 Θεωρο

μιευθείες ΟΑ,

εριέχονται στη

αι Α Ο Β έχου

αραπληρωματ

.12 Δίνοντ

Ο Δ με άθροισμ

x,Oy είναι οι

ντίστοιχα, να δ

.13 Να βρ

νωρίζουμε ότι

υμπληρωματικ

ης φ είναι ίσο

ωνίας φ .

ευθεία παίρν

ώστε 4BM

4KB

ημείο Ο ευθεί

ΑΒ ημιευθείε

Γ Ο Δ, Δ Ο Β ν

μοι των Α Ο Γ

υπολογιστεί η

αι κυρτή γωνία

ΟΒ τέτοια, ώσ

είναι 900. Αν

Ο Β, Α Ο Γ αν

ούμε αμβλεία

ΟΒ με ΟΑΟ

η x Ο y. Να δ

υν την ίδια διχ

τικές.

ται οι διαδοχικ

μα μέτρων μικ

διχοτόμοι των

δείξετε ότι: x

είτε το μέτρο

το άθροισμα

κής και της πα

ο με το εφταπλ

νουμε διαδοχικ

3MA . Να δε

ίας ΑΒ φέρνο

ες ΟΓ, ΟΔ τέτ

να είναι εφεξή

Γ, Δ Ο Β αντίσ

η γωνία Γ Ο Δ

α Α Ο Γ και εσ

στε η διαφορά

ν ΟΕ, ΟΖ είνα

ντίστοιχα, να δ

γωνία x Ο y κ

Οx και ΟΒΟ

δειχτεί ότι οι γ

χοτόμο και είν

κές γωνίες ΑΟ

κρότερο των 1

ν γωνιών Α Ο

ˆΑΟΔ ΒˆxOy2

μιας γωνίας φ

των μέτρων τ


λάσιο του μέτ

3

2016-1

κά τα σημεία

ειχθεί ότι:

ουμε προς το

τοιες, ώστε οι

ής. Αν ΟΕ, ΟΖ

τοιχα και (Ε

Δ.

σωτερική

γωνιών Α Ο

αι οι διχοτόμοι

δειχτεί ότι (Ε

και τις

Οy που

ωνίες x Ο y

ναι

Ο Β, Β Ο Γ, Γ

180ο. Αν

Β, Γ Ο Δ

ˆΒΟΓ

φ αν

της

τικής γωνίας

τρου της

7

Ζ

ι

4 ΤΡΙΓΩΝΑ

http://users.sch.gr/mipapagr

2 ΤΡΙΓΩΝΑ

2.01 Δύο ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒ΄Γ΄ με

κορυφή το Α έχουν τις γωνίες ΒΑΓ και Β΄ΑΓ΄ ίσες. Να

δειχτεί ότι ΒΒ΄=ΓΓ΄ ή ΒΓ΄=Β΄Γ.

2.02 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και η ημιευθεία Αx

διχοτόμος της γωνίας Α. Στην Αx παίρνουμε σημεία Κ

και Λ ώστε να είναι ΑΚ=ΑΒ και ΑΛ=ΑΓ αντίστοιχα.

Να αποδειχτεί ότι οι γωνίες ΑΓΚ και ΑΛΒ είναι ίσες

και ότι ΓΚ=ΒΛ

2.03 Έστω ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ . Στις

προεκτάσεις των πλευρών του ΑΒ , ΒΓ, ΓΑ προς τα Β,

Γ, Α αντίστοιχα παίρνουμε σημεία Δ,Ε,Ζ ώστε

ΒΔ=ΓΕ=ΑΖ. Δείξτε ότι το ΔΕΖ είναι ισόπλευρο

2.04 Δίνεται η οξεία γωνία ΧΟΨ. Κατασκευάζουμε

τις ορθές γωνίες ΧΟΖ και ΨΟΤ ώστε η κάθε μία από

αυτές να περιέχει την γωνία ΧΟΨ. Επί των ΟΧ και ΟΖ

παίρνουμε δυο ίσα τμήματα ΟΜ και ΟΝ και επί των

ΟΨ και ΟΤ παίρνουμε δυο ίσα τμήματα ΟΡ και ΟΣ.

Να αποδειχτεί ότι οι γωνίες ΟΡΝ και ΟΣΜ είναι ίσες.

2.05 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και δύο ίσες γωνίες

ΒΑΧ και ΓΑΨ που κάθε μία τους είναι εφεξής με την

γωνία Α. Στις ημιευθείες ΑΧ και ΑΨ παίρνουμε τα

σημεία Β΄ και Γ΄ ώστε να είναι ΑΒ΄=ΑΒ και ΑΓ΄=ΑΓ

αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΒΓ΄=ΓΒ΄.

2.06 Στις πλευρές ΑΒ , ΒΓ, ΓΑ ενός ισοπλεύρου

τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Δ, Ε, Ζ

ώστε να είναι ΑΔ=ΒΕ=ΓΖ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο

ΔΕΖ είναι ισόπλευρο.

2.07 Δύο ίσα ευθ. τμήματα ΑΒ και ΓΔ τέμνονται

στο Κ ώστε να είναι ΚΑ ΚΒ και ΚΓ ΚΔ. Αν

είναι ΑΔ=ΒΓ να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΚ και

ΒΓΚ είναι ίσα.

2.08 Στις πλευρές ΟΧ, ΟΨ γωνίας ΧΟΨ παίρνουμε

τα σημεία Α , Α΄ και Β , Β΄ αντίστοιχα ώστε να είναι

ΟΑ ΟΒ και ΟΑ΄=ΟΒ΄. Αν Μ είναι σημείο της

διχοτόμου της τότε οι γωνίες ΑΜΑ΄ και ΒΜΒ΄ είναι

ίσες.

2.09 Έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο στο οποίο η

βάση ΒΓ είναι μικρότερη από την πλευρά ΑΒ . Στην

προέκταση της πλευρά ΑΒ προς το Β παίρνουμε τμήμα

ΒΔ=ΑΒ-ΒΓ και στην προέκταση της πλευράς ΒΓ προς

το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΕ=ΒΔ. Να αποδείξετε ότι

Α) Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές.

Β) η γωνία ΑΔΕ ισούται με το ημιάθροισμα των

γωνιών ΒΑΓ και ΑΕΔ.

2.10 Δίνονται δυο ίσες οξείες γωνίες ΒΑΓ και ΔΑΕ

οι οποίες έχουν κοινή την κορυφή Α και κοινή την

γωνία ΔΑΓ. Επί των ΑΔ και ΑΓ παίρνουμε ίσα ευθ.

τμήματα ΑΜ=ΑΝ και επί των ΑΒ και ΑΕ παίρνομε

δυο ίσα ευθ. τμήματα ΑΡ=ΑΣ Να αποδειχτεί ότι

ΜΡ=ΝΣ.

2.11 Να αποδειχτεί ότι δύο οξυγώνια τρίγωνα ΑΒΓ

και Α΄Β΄Γ΄ που έχουν β=β΄, γ=γ΄ και μβ=μβ΄ είναι ίσα.

2.12 Στις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός

ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε αντίστοιχα δύο

σημεία Δ και Ε ώστε να είναι ΑΔ=ΑΕ. Τα ευθ.

τμήματα ΒΕ και ΓΔ τέμνονται στο Μ. Να δείξετε.ότι

Α) Τα τρίγωνα ΒΓΜ και ΔΕΜ είναι ισοσκελή

Β) Η ημιευθεία ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας Α.

2.13 Δίνεται μια γωνία ΧΟΨ. Στην πλευρά ΟΧ

παίρνουμε τα τμήματα ΟΑ , ΟΒ και στην πλευρά ΟΨ

παίρνουμε τμήματα ΟΑ΄=ΟΑ και ΟΒ΄=ΟΒ. Οι ευθείες

ΒΑ΄ και Β΄Α τέμνονται στο Γ. Να αποδειχτεί ότι η ΟΓ

είναι διχοτόμος της γωνίας ΧΟΨ.


2.14 Έστω

και oι διχοτόμ

Μ. Αν Δ και Ε

αντίστοιχα, δε

2.15 Έστω

προέκταση τη

σημείο Γ΄ ώσ

πλευράς ΓΑ π

ευθείες Β΄Γ΄ κ

Α) Το τ

Β) Η διχ

2.16 Έστω

ίδιο ημιεπίπεδ

του ΑΒ παίρ

ΑΚ=ΒΛ και

ΑΒΚ και ΒΑΛ

2.17 Έστω

ΟΧ παίρνουμ

ΟΨ δύο σημε

ΟΒ=ΟΒ΄. Αν

ΒΑ΄ να αποδε

ίσα και ότι οι

2.18 Στις

τριγώνου ΑΒ

τμήματα ΑΒ΄

ότι ο φορέας τ

διέρχεται από

2.19 Θεω

Η διάμεσος Α

τέμνονται στο

η αντίστοιχη

στο Θ΄. Να απ

2.20 Να α

και Α΄Β΄Γ΄ π

Α και Α΄ ίσες

Γεωμετρία

ω ισοσκελές τ

μοι των γωνιώ

Ε είναι τα μέσ

είξτε ότι ΜΔ=

ω ένα τρίγωνο

ης πλευράς ΒΑ

στε ΑΓ΄=ΑΓ κ

προς το Α σημ

και ΒΓ τέμνον

ρίγωνο ΔΓΓ΄

χοτόμος της γ

ω Μ το μέσο ε

δο ως προς τη

ρνουμε τα σημ

ΜΚ=ΜΛ . Ν

Λ είναι ίσες.

ω μία κυρτή γ

με δύο σημεία

εία Α΄ και Β΄ ώ

ν είναι Γ το ση

ειχτεί ότι τα τρ

ι γωνίες ΟΓΑ

προεκτάσεις τ

ΒΓ προς το μέ

΄=ΑΒ και ΑΓ΄

της διάμεσους

ό το μέσον του

ρούμε δύο ίσα

ΑΜ και η διχο

ο Θ, ενώ η αντ

διχοτόμος Β΄Δ

ποδείξετε ότι

αποδεχτεί ότι δ

που έχουν β=β

ς, είναι ίσα.

τρίγωνο ΑΒΓ

ών Β και Γ που

σα των ΑΒ κα

=ΜΕ.

ο ΑΒΓ με ΑΒ

Α προς το Α π

και στην προέκ

μείο Β΄ ώστε Α

νται στο Δ. Ν

είναι ισοσκελ

γωνίας Δ διέρχ

ενός ευθ. τμήμ

ην ευθεία που

μεία Κ και Λ ώ

α αποδειχτεί ό

γωνία ΧΟΨ. Σ

Α και Β και σ

ώστε να είναι

ημείο τομής τ

ρίγωνα ΓΑΒ κ

και ΟΓΑ΄ ε

των πλευρών

ρος του Α παί

΄=ΑΓ αντιστοί

ς ΑΜ του τριγ

υ Β΄Γ΄

α τρίγωνα ΑΒ

τόμος ΒΔ του

τίστοιχη διάμε

Δ΄ του τριγΑ

ι ΘΔ=Θ΄Δ΄ κα

δύο οξυγώνια

β΄, δα=δα΄ και

, ΑΒ ΑΓ ,

υ τέμνονται στ

αι ΑΓ

Β>ΑΓ. Στην

παίρνουμε

κταση της

ΑΒ΄=ΑΒ . Οι

α δειχτεί ότι:

λές.

χεται από το Α

ματος ΑΒ . Στ

είναι φορέας

ώστε να είναι

ότι οι γωνίες

Στην πλευρά τη

στην πλευρά τ

ΟΑ=ΟΑ΄ και

ων ΑΒ΄ και

και ΓΑ΄Β είνα

είναι ίσες.

ΑΒ ,ΑΓ

ίρνουμε

ίχως. Να δειχτ

γώνου ΑΒΓ

ΒΓ και Α΄Β΄Γ

υ τριγΑΒΓ

εσος Α΄Μ΄ κα

΄Β΄Γ΄ τέμνοντ

αι ΘΜ=Θ΄Μ΄.

α τρίγωνα ΑΒΓ

τις γωνίες του

το

Α

το

ης

της

ι

αι

τεί

Γ΄ .

αι

ται

Γ

υς

2.ίσ

έτ

ση

Ε)

στ

ΒΗ

2.τι

κα

2.πα

εσ

Ο

Χ

μι

Ο

κα

Α

Β)

Χ

2.κά

ΒΑ

πα

αν

δε

2.

πρ

είν

2.τρ

αν

ΓΔ

είν

.21 Θεωρο

σες πλευρές Α

τσι ώστε ΑΔ=

ημείο της διχο

) και οι ευθείε

τα Ζ και Η αντ

Η=ΓΖ].

.22 Έστω

ς γωνίες Δ κα

αι οι γωνίες Α

.23 Στις πλ

αίρνουμε δυο

σωτερικό της γ

Ζ και ΟΤ έτσ

ΧΟΖ και ΨΟΤ

ικρότερη από

Τ παίρνουμε δ

αι ΒΜ τέμνον

Α) τα τρίγ

) Το P

ΧΟΨ

.24 Σε τρίγ

άθετες στις Α

ΑΧ να περιέχ

αίρνουμε σημε

ντίστοιχα. Αν

ειχτεί ότι ΕΒ=

.25 Σε ισο

ροεκτείνουμε

ναι τα μέσα τω

.26 Στις πλ

ριγώνου ΑΒΓ

ντίστοιχα. Αν

Δ, ΒΖ ανά δύο

ναι ισόπλευρο

ούμε ισοσκελέ

ΑΒ και ΑΓ τα

ΑΕ. Αν Ο είν

οτόμου ΑΔ (ό

ες ΔΟ και ΕΟ

τίστοιχα , Να

ένα τετράπλευ

ι Γ ίσες. Να α

Α και Β.

λευρές ΟΧ κα

ίσα ευθ. τμήμ

γωνίας ΧΟΨ φ

ι ώστε να σχη

που η κάθε μι

το ήμισυ της

δυο ίσα ευθ. τ

ται στο Ρ. Να

γωνα ΡΑΜ κα

βρίσκεται στη

γωνο ΑΒΓ φέ

Β , ΑΓ αντίστ

χουν την γωνία

εία Δ,Ε ώστε

Θ,Ζ είναι τα μ

=ΓΔ και ΑΖ=Α

σκελές τρίγων

την ΒΓ κατά τ

ων ΑΒ , ΑΓ ,

λευρές ΑΒ , Β

παίρνουμε τα

Κ, Λ, Μ είνα

ο ν΄ αποδειχτε

ο

ές τρίγωνο ΑΒ

α σημεία Δ κα

ίναι τυχαίο εσ

όχι συνευθειακ

τέμνουν την

αποδείξετε ότ

υρο ΑΒΓΔ μ

αποδειχτεί ότι

αι ΟΨ μιας γω

ματα ΟΑ=ΟΒ.

φέρνουμε τις

ηματίζονται δύ

ια από αυτές ν

γωνίας ΧΟΨ.

τμήματα ΟΜ=

α αποδειχτεί ό

αι ΡΒΝ είναι ί

η διχοτόμο τη

έρνουμε τις Α

στοιχα ώστε ο

α Α. Στις ΑΧ,

ΑΔ=ΑΒ, ΑΕ=

μέσα των ΒΕ,

ΑΘ

νο ΑΒΓ , ΑΒ

τμήματα ΒΔ=

, ν΄ αποδειχτε

ΒΓ, ΓΑ ισοπλ

α τμήματα ΑΔ

αι τα σημεία το

εί ότι το τρίγω

5

2016-1

ΒΓ και στις

αι Ε αντίστοιχα

ωτερικό

κό με τα Δ κα

ευθεία ΒΓ

τι ΒΖ=ΓΗ [ή

με ΑΔ=ΒΓ κα

θα είναι ίσες

ωνίας ΧΟΨ

. Στο

ημιευθείες

ύο ίσες γωνίες

να είναι

. Στις ΟΖ και

=ΟΝ. ΟΙ ΑΝ

ότι

ίσα και

ς γωνίας

ΑΧ ,ΑΨ

οι γωνίες ΓΑΨ

ΑΨ

=ΑΓ

, ΓΔ να

Β ΑΓ

=ΓΕ. Αν Μ, Ν

εί ότι ΔΝ=ΕΜ

λεύρου

Δ=ΒΕ=ΓΖ

ομής των ΑΕ,

ωνο ΚΛΜ

7

α

αι

ι

ς

ς

Ψ,

Ν

Μ.

6 ΤΡΙΓΩΝΑ


ΙΣΟΤΗΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

2.27 Στο παρακάτω σχήμα ισχύει ΔΒ=ΑΒ=ΑΓ=ΓΕ.

Να αποδειχθούν:

Α) ΑΔ=ΑΕ.

Β) Τα σημεία Δ και Ε ισαπέχουν από τις ευθείες

ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Γ) Αν οι κάθετες από τα Δ και Ε προς τις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα τέμνονται στο Μ να αποδείξετε ότι η ΑΜ διχοτομεί

τη γωνία ΔΑΕ

2.28 Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ , Δ το μέσο της βάσης ΒΓ . Από το Δ φέρνουμε τη ΔΕ ΑΒ

και ΔΖ ΑΓ . Να αποδείξετε ότι:

A. ΔΖ ΔΕ

B. ΑΖ ΑΕ

Γ. ΒΖΔ ΔΕΓ

Δ ΑΔ ΕΖ

2.29 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ , ΑΒ ΑΓ . Αν Μ τυχαίο σημείο της

διχοτόμου ΑΔ της γωνίας Α και Ε, Ζ τα σημεία τομής των ΒΜ και ΓΜ με τις

πλευρές ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα , να δείξετε ότι

Α) ΓΖ = ΒΕ

Β) ΑΖ = ΑΕ και ΒΖ = ΓΕ

Γ) η ΑΜ διέρχεται από το μέσο του τμήματος ΖΕ

2.30 Στις ίσες πλευρές ΑΒ , ΑΓ ισοσκελούς τριγώνου θεωρούμε τα σημεία Δ, Ε ώστε να είναι ΑΔ=ΑΕ. Να δειχτεί

ότι τα Δ, Ε ισαπέχουν από τη ΒΓ και από τα άκρα της.

2.31 Να αποδειχτεί ότι στις ίσες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσα ύψη.

2.32 Ν΄ αποδειχτεί ότι δύο οξυγώνια τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα όταν έχουν α α΄ , β β΄υ υ , γ γ΄υ υ

2.33 Ν΄ αποδειχτεί ότι δύο οξυγώνια τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα όταν έχουν α α΄ , α α΄υ υ , α α΄μ μ

2.34 Στην ημιευθεία ΑΔ της διχοτόμου τριγώνου ΑΒΓ Παίρνουμε τα σημεία Ε και Ζ , έτσι ώστε ΑΒ=ΑΕ και ΑΓ

=ΑΖ. Να αποδείξετε ότι ΒΖ=ΓΕ .

2.35 Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και από το μέσο του Μ φέρνουμε τυχαία ευθεία (ε). Αν ΑΚ (ε) και ΒΛ (ε)

να αποδείξετε ότι ΑΛ=ΒΚ

Α

Β Γ

Δ

ΕΖ

Μ

Δ

Α

Β Γ Ε


2.36 Δίνε

Αν Κ , Λ οι π

2.37 Έσ

ΒΓ θεωρούμ

ΒΑ το σημε

Α) Τα

Β) Το

Γ) ˆΒΑ

2.38 Δίν

φέρουμε ΔΕ

ΒΓΖ είναι ις

2.39 Έστω

Στις ΒΓ και Δ

Να αποδείξετ

Α) ΑΖ=

Β) οι γω

Γ) Η απ

απόσταση του

2.40 Στο

και Ο το κέντ


Α) Τα σ

Β) Οι χο

2.41 Στο

γωνίας ΑΚΒ

το κέντρο του

Α) ΠΑ=

Β) ΜΠ=

Γ) ΜΑ=

Γεωμετρία

εται ισοςκελές

προβολές των

στω τρίγωνο Α

με το σημείο Δ

ίο Ε τέτοιο ώσ

Τρίγωνα ΒΕΔ

Τρίγωνο ΑΔΕ

ˆ ˆΑΔ ΓΑΔ ΑΔ

νεται ορθογών

Ε κάθετη στη Β

ςοσκελές.

ω κύκλος κέντ

ΔΕ παίρνουμε

τε ότι:

=ΑΗ

ωνίες ΑΖΒ κα

πόσταση του σ

υ σημείου Δ α

σχήμα οι ΑΒ

τρο του.

τε ότι:

σημεία Α και Β

ορδές ΑΓ και

σχήμα η ΚΧ

και η ΜΝ είν

υ κύκλου. Να

=ΡΒ

=ΡΝ

=ΝΒ

ς τρίγωνο ΑΒ

Β , Γ στις ΑΜ

ΑΒΓ με ΑΒ

Δ τέτοιο ώστε

στε ΒΕ=ΓΔ. Α

Δ και ΑΔΓ είν

Ε είναι ισοσκε

ΔΕ

νιο τρίγωνο Α

ΒΓ, που τέμνε

τρου Α και δύ

σημεία Ζ και

αι ΑΗΕ είναι ίσ

σημείου Γ από

από την ΑΗ

και ΓΔ είναι

Β ισαπέχουν α

ΒΔ έχουν ίσα

είναι διχοτόμ

ναι κάθετη στη


ΒΓ και τα εσω

Μ , ΑΝ αντίστο

ΑΓ ΒΓ . Στη

ε ΒΔ=ΒΑ και σ

Αποδείξτε ότι:

ναι ίσα

ελές.

ΑΒΓ , ΟΑ 90

ει την ΑΒ στο

ύο ίσες χορδές

ι Η ώστε ΒΖ=Ε

σες

ό την ΑΖ είνα

διάμετροι του

από την ΓΔ

α αποστήματα

μος της

ην KΧ. Το K

τι:

ωτερικά σημεί

οιχα να δείξετ

ην ημιευθεία

στην ημιευθεί

:

Ο και η διχοτ

ο Ζ. Να αποδε

ς του ΒΓ και Δ

ΕΗ αντίστοιχ

αι ίση με την

υ κύκλου

α

είναι

ία του Μ , Ν τ

τε ότι το ΑΚΛ

ία

τόμος του ΒΔ.

είξετε ότι το Τ

ΔΕ.

χα.

Β

της ΒΓ τέτοια

Λ είναι ισοσκε

Από το Δ

Τρίγωνο

Ε

ώστε ΒΜ=ΓΝ

ελές

Α

Δ

1 2

Β

Δ

Ζ

Α

7

2016-1

Ν.

Γ

Γ

Ε

7

8

http://users.s

2.42 Δίνετ

το Γ παίρνουμ

και Ζ σημείο

Α ΝαΒ Αντρίγωνο ΗΖΕ

Γ Αν

Στο διπλανό σχ

όπου τα σημεία

τέμνει την πλευ στο σημείο Η

Α Να

Β ΝαΓ Να

τριγώνων

Δ Να

2.43 Έστω

Προεκτείνουμ

Το τμήμα ΓΔ

κατά τμήμα Α

Α) ΓΕΒ) ΤοΓ) ΜΓ

2.44 Δίνετ

ύψος . Πρ

παίρνουμε τμ

την πλευρά

Α)

Β) Το

sch.gr/mipapa

ται ισόπλευρο

με τμήμα ΓΔ=

της προέκτασ

α αποδειχτεί όν η προέκτασηΕ είναι ισοσκελ

ν ˆ 20 να υ

χήμα δίνονται τ

α Β, Γ και Δ είν

υρά στο ση.

α αποδείξετε ότι

α αποδείξετε ότια γράψετε τα συ

και

.

α αποδείξετε ό

ω ένα ισοσκελ

με την πλευρά

τέμνει την Α

ΑΕ = ΒΜ. Να

Ε = ΜΔ και τρίγωνο ΓΜΕΓ = ΜΔ.

ται οξυγώνιο

ροεκτείνουμε τ

μήμα

στο Μ. Να

2

είναι μέσο τ

agr

ο τρίγωνο ΑΒ

=ΑΓ. Έστω Ε

σης της ΓΒ πρ

τι ΔΕ=ΑΖ . η του ΔΕ τέμνλές.

υπολογιστεί η

τα ισόπλευρα τρ

ναι συνευθειακά

ημείο Ζ και το τ

ι η γωνία

ι τα τρίγωνα υμπεράσματα πο

ότι .

λές τρίγωνο Ο

ά ΟΒ κατά τμή

Β στο Μ. Προ


ˆ ˆ Ε είναι ισοσκε

τρίγωνο

την ΑΒ προς τ

. Προεκτείνο


της .

Γ . Στην προέ

τυχαίο σημείο

ος το Β ώστε

ει τηνΑΖ στο

η γωνία ˆ

ρίγωνα

κ

ά . Αν το τμήμα

τμήμα τέμν

060 .

και

ου προκύπτουν

.

ΟΑΒ (ΟΑ = ΟΒ

ήμα ΒΔ = ΑΓ

οεκτείνουμε κ

τι:

ελές

όπου 2

το Β και στην

υμε το τμήμα

ότι:

έκταση της ΑΓ

ο της πλευράς

ΒΖ=ΓΕ.

Η , να δειχτεί

.

και

α

νει την πλευρά

είναι ίσα . ν από την ισότητ

Β) και Γ ένα σ

Γ.

και την ΒΑ

. Φέρνουμε τ

ν προέκταση

α που τέμν

B

Ε

Γ προς

ς ΒΓ

ί ότι το

τα των

σημείο της πλ

το

νει

E

B

Α

A

Γ

λευράς ΟΑ.

A

Δ

Ζ

Α

Γ

O

Μ

ΤΡΙΓΩΝΑ

Η

Ε

Μ B

Γ

Δ

B

Δ

Γ

Α

Α

Α Λυκείου - Γ

ΑΝΙΣΟΤ

2.45 Σε τ

Α) AΔ

Γ) Αν

2.46 Δίν

προβολές το

Α) ΜΔ

2.47 Στο π

2.48 Δίδετ

Α) ˆMA

2.49 Σε ορ

αποδειχθεί ότ

2.50 Στις


2.51 Δίδετ

Α) Να σ

Β) Ποια

2.52 Δίνετ

δείξετε ότι:

2.53 Έστω


2.54 Στο π

Α. Να δ

Β. Αν Μ

Γ. Αν τ

τρίγωνο ΚΔΕ

Γεωμετρία

ΤΙΚΕΣ Σ


1ΔΓ Α

2

επιπλέον είνα

νεται τρίγωνο

ου Μ στις πλευ

Δ<ΒΜ και Μ

παρακάτω σχή

ται τρίγωνο Α

ˆB MAΓ

ρθογώνειο τρί

τι ΑΔ<ΔΒ.

κάθετες πλευ

τι: Α)

ται τμήμα ΑΒ

συγκρίνετε τις

α πρέπει να είν


Α)

ω Μ, σημείο τ

τε ότι ΜΑ<ΜΒ


δείξετε ότι τα

Μ είναι το μέσ

τα τμήματα ΔΜ

Ε είναι ισοσκελ

ΣΧΕΣΕΙΣ

Γ φέρνουμε τη

Β) AΓ>

αι ΑΒ ΑΓ τό

ΑΒΓ και τυχ

υρές ΑΒ και

ΜΕ<ΜΓ Β)

ήμα να αποδε

ΑΒΓ με ΑΒ

ίγωνο ΑΒΓ

ρές ΑΒ , ΑΓ

ΔΕ<ΕΒ

Β ,σημείο Ρ τη

ς αποστάσεις τ

ναι η θέση της

ΑΒΓ με ΑΒ

ΔΕ<ΒΓ

της διχοτόμου

Β

ήμα τα τρίγων

τρίγωνα ΑΔΒ

σο της ΑΓ και

Μ και ΕΝ τέμν

λές.

Σ

η διχοτόμο ΑΔ

>ΔΓ

ότε ΒΔ ΔΓ

χαίο σημείο Μ

ΑΓ αντίστοιχ

ΔΕ<ΒΓ

ίξετε ότι ˆBA

ΑΓ και η διά

Β) β γ

2

0ˆ(A 90 ) Η δ

ορθογώνιου τ

Β) ΔΕ<

ης μεσοκαθέτο

του Ρ από την

ς ευθείας ε , ώ

ΑΓ .Θεωρούμ

υ μιας γωνίας x

να ΑΒΓ και Α

Β και ΑΓΕ είνα

Ν το μέσο τη

νονται στο ση

Δ. Να αποδείξ

Μ της πλευράς

χα, να αποδεί

Γ) ΜΔ

ˆ ÂΓ Δ

άμεσος του ΑΜ

α

γ β γμ

2

διχοτόμος της


<ΒΓ.

ου του και μία

ν ευθεία ε και

ώστε οι αποστ

με τα σημεία Δ

Β) ΒΕ<

xOy. Φέρνουμ

ΑΔΕ είναι ισοσ

αι ίσα.

ης ΑΒ, να δείξ

ημείο Κ, να δε

ξετε ότι:

ΒΓ. Αν Δ και

ξετε ότι:

Δ+ΜΕ<ΑΒ+Α

Μ . Να αποδεί

γωνίας Γ τέμ

Γ θεωρούμε τ

α ευθεία ε που

το σημείο Β.

άσεις αυτές να

Δ,Ε στις ΑΒ ,

<ΓΔ.

με ΜΑ κάθετη

σκελή

ξετε ότι: ΔΜ =

είξετε ότι το

ι Ε είναι οι

ΑΓ

ίξετε ότι

μνει την πλευρ

τα σημεία Δ,Ε

διέρχεται απ

α είναι ίσες;

ΑΓ αντίστοι

η στην Οx, η ο

= ΕΝ.

ρά ΑΒ στο Δ

Ε αντίστοιχα .Ν

πό το Α .

ιχα έτσι ώστε

οποία τέμνει τ

Α

Β Δ

Α

Β

Δ

9

2016-1

. Να

Να

ε: ΒΔ=ΓΕ. Να

την Οy στο Β

Γ

ΓΜ

Ε

Α

Β

Δ

7

α

.

Γ

10 ΤΡΙΓΩΝΑ


ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ

2.55 Nα προσδιορίσετε γεωμετρικά το σημείο που έχει την ιδιότητα που περιγράφεται σε κάθε μια από τις

περιπτπωσεις:

Α) Ισαπέχει από τα σημεία Γ και Δ και βρίσκεται στην ευθεία ε Β) Ισαπέχει από τα σημεία Α και Β και βρίσκεται στον κύκλο κέντρου Κ Γ) Ισαπέχει από τις τεμνόμενες ευθείες Οx και Oy και βρίσκεται στην ευθεία ε Δ) Ισαπέχει από τις τεμνόμενες ευθείες Οx και Oy και βρίσκεται στον κύκλο

Ε) Ισαπέχει από τις κορυφές Β και Γ και ανήκει στην ΑΓ ΣΤ) Ισαπέχει από τις τεμνόμενες ευθείες Οx και Oy και απέχει από το K 1cm Ζ) Ισαπέχει από το σημείο Κ της Οx και την ευθεία Οy και ανήκει στην ευθεία Οx

ε

Γ

Δ

A

B C

y

O

xK

y

O

x

K

y

O

x

ey

O

x

A B

K


2.56

Δίνονται δύο

εξωτερικά σ

ΒΓ. Η κοινή

Δ. Αποδείξτ

Α) ΔΒ

Β) Γων

Γ) Ο κ

2.57 Σε κ

σημεία Γ και

αποδειχθούν:

A) ΟΑΓ

Β) ΟΓ=

Γ) Τα σ

αντίστοιχα

2.58 Σε τρ

Αν η ΒΗ ΑΚ

ˆ ˆΒΚΑ ΑΚΘ

2.59 Να α

τριγώνου ισαπ

τρίγωνο είναι

2.60 Σε κ

ΑΒ ΓΔ ΕΖ

ΑΚ ΓΛ ΕΜ

κύκλο με κέντ

2.61 Δίνο

και ακτίνες R

τέμνει και του

και στα Β, Γ τ

Γεωμετρία

ο κύκλοι Κ κα

στο Α και η κο

ή εφαπτομένη

τε ότι:

=ΔΓ

νία ΚΔΛ=90ο

κύκλος διαμέτ

κύκλο (Ο,ρ) θε

Δ αυτής τέτοι

Γ=ΟΒΔ

=ΟΔ

σημεία Γ,Δ ισα

ρίγωνο ΑΒΓ

Κ τέμνει την

αποδείξετε ότι

πέχει από τις

ι ισοσκελές.

κύκλο Ο,R

Ζ και τα σημε

Μ . Δείξτε ότι

τρο το Ο .

ονται δύο ομόκ

R και r με R>r

υς δύο κύκλου

τον άλλο. Να

αι Λ που εφάπ

οινή εξωτερική

η στο Α τέμνει

ο

τρου ΒΓ εφάπτ

εωρούμε χορδ

ια ώστε ΑΓ=Β

απέχουν από τ

φέρνουμε τη

ΑΓ στο Θ να

ι αν το μέσο μ

άλλες πλευρέ

θεωρούμε τρε

εία τους Κ,Λ,

ι τα Κ,Λ,Μ α

κεντροι κύκλο

αντίστοιχα. Μ

υς στα σημεία


ΤΡΙΓΩ

πτονται


ι την ΒΓ στο

τεται στην ΚΛ

δή ΑΒ δύο

ΒΔ. Να

τις ΟΑ,ΟΒ

διχοτόμο ΑΚ

α δείξετε ότι

μιας πλευράς

ς του , τότε το

εις χορδές

Μ έτσι ώστε

ανήκουν σε

οι με κέντρο Ο

Μια ευθεία

α A,Δ τον ένα

τι ΑΒ=ΓΔ

ΩΝΑ - ΚΥ

η

Λ

Κ.

ο

Ο

2.κα

χο

στ

2.κα

τέ

κα

2.κύ

2.τέ

Ο

2.εσ

τέ

το

Ο

2.πρ

πα

πα

δι

τη

αν

ση

Α

ισ

Β)

(Β

ΥΚΛΟΣ

.62 Δίνοντ

αι ακτίνες R κ

ορδές του μεγα

τον μικρότερο

.63 Θεωρο

αι ευθεία ε που

έμνει τους κύκ

αι Γ,Δ αντίστο

.64 Αν δύο

ύκλου στο Κ,

.65 Αν δύο

έμνονται σε έν

ˆ ˆΟΕΑ ΟΕΓ , ν

.66 Δίνετα

σωτερικά του

έμνουν τον κύ

ου τόξου ΚΛ κ

Ν ΑΜ

.67 Σε ισο

ροεκτείνουμε

αίρνοντας τμή

αίρνοντας τμή

ιχοτόμους ΒΚ

ης ΑΕ) των εξ

ντίστοιχα του

ημείο Μ.

Α) Να απ

σοσκελές

) Να απ

Β,ΒΔ) τέμνοντ

ται δύο ομόκεν

και r με R>r αν

αλύτερου κύκ

ο. Να αποδείξε

ούμε τους ίσου

υ διέρχεται απ

κλους (Ο,ρ) κα

οιχα. Να αποδ

ο ίσες χορδές

να αποδείξετε

ο χορδές ΑΒ

να εσωτερικό

να αποδείξετε

αι κύκλος (Ο,ρ

έτσι ώστε ΟΒ

κλο στα Λ, Κ

και Μ μέσο το

σκελές τρίγων

τη βάση ΒΓ π

ήμα ΒΔ=ΑΒ κ

ήμα ΓΕ=ΑΓ. Σ

Κ (Κ σημείο τη

ωτερικών γων

τριγώνου, οι ο

οδείξετε ότι τ

οδείξετε ότι ο

ται

εντροι κύκλοι

ντίστοιχα. Φέ

κλου, οι οποίε

ετε ότι οι χορ

υς κύκλους (Ο

πό το μέσο Μ

αι (Ο΄,ρ) στα

δείξετε ότι ΑΒ

ΑΒ , ΓΔ τέμν

ε ότι ΚΒ=ΚΔ

και ΓΔ ενός κ

σημείο Ε και

ότι ΑΒ=ΓΔ

ρ) και σημεία

Β=2ΟΑ. Οι ΟΒ

Κ αντίστοιχα. Α

ου ΟΒ να απο

νο ΑΒΓ (ΑΒ=

προς το μέρος

και προς το μέ

Στη συνέχεια φ

ης ΑΔ) και ΓΛ

νιών ΑΒΔ και

οποίες τέμνον

το τρίγωνο ΔΜ

οι κύκλοι (Α,Α

11

2016-1

με κέντρο Ο

ρουμε δύο

ς εφάπτονται

δές είναι ίσες

Ο,ρ) και (Ο΄,ρ

Μ του ΟΟ΄ κα

σημεία Α,Β

Β = ΓΔ

νονται εκτός

και ΚΑ=ΚΓ

κύκλου (Ο,ρ)

είναι

Α,Β

Β, ΟΑ

Αν Ν μέσο

οδείξετε ότι

=ΑΓ)

ς του Β

έρος του Γ


Λ (Λ σημείο

ι ΑΓΕ

νται στο

ΜΕ είναι

ΑΒ) και

7

ρ)

αι

12 ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ


3 ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

3.01 Στα σημεία Α και Β ευθείας ε φέρνουμε τις Αx

, Βy παράλληλες μεταξύ τους και προς το ίδιο

ημιεπίπεδο ως προς την ε. Αν Μ τυχαίο σημείο

«μεταξύ « των Αx, Βy να αποδειχτεί ότι η γωνία ΑΜΒ

ισούται με το άθροισμα των γωνιών xΑΜ και yΒΜ.

3.02 Από τα άκρα ευθ. Τμήματος ΑΒ φέρνουμε

προς το ίδιο ημιεπίπεδο τις παράλληλες Αx και Βy. Στο

ΑΒ παίρνουμε σημείο Γ , στην Αχ τμήμα ΑΔ=ΑΓ και

στην ΒΨ τμήμα ΒΕ=ΓΒ. Ν΄ αποδειχτεί ότι η γωνία

ΔΓΕ είναι ορθή.

3.03 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τις διαμέσους ΒΜ

και ΓΝ. Προεκτείνουμε τη ΒΜ κατά τμήμα ΜΔ, ώστε

ΒΜ=ΜΔ και τη ΓΝ κατά τμήμα ΝΕ ώστε ΓΝ=ΝΕ. Να

αποδείξετε ότι :

Α) ΑΔ//ΒΓ Β) ΕΑ//ΒΓ

Γ) Τα σημεία Ε, Α και Δ είναι συνευθειακά.

3.04 Nα αποδείξετε ότι αν η διχοτόμος εξωτερικής

γωνίας τριγώνου είναι παράλληλη προς την τρίτη

πλευρά του τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές και

αντίστροφα.

3.05 Από την κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ φέρνουμε

την ευθεία ε παράλληλη στην ΒΓ που τέμνει τις

διχοτόμους των γωνιών Β,Γ στα σημεία Δ και Ε. Ν΄

αποδειχτεί ότι ΔΕ=ΑΒ+ΑΓ.

3.06 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ.

Από σημείο Ε της ευθείας ΒΓ, διαφορετικό από το Δ

φέρνουμε την παράλληλη προς την ΑΔ η οποία τέμνει

την ευθεία ΑΒ στο Ζ και την ΑΓ στο Η. Ν αποδειχτεί

ότι το τρίγωνο ΑΖΗ είναι ισοσκελές.

3.07 Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τις

διάμεσους ΒΒ΄ και ΓΓ΄ και μια ευθεία ε παράλληλη στη

βάση ΒΓ. Να δειχτεί ότι τα τμήματα της ευθείας ε που

βρίσκονται μεταξύ των ίσων πλευρών και των

αντίστοιχων διαμέσων είναι ίσα.

3.08 Έστω Ο το σημείο τομής των διχοτόμων των

γωνιών Β και Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ . Από το Ο

φέρνουμε παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ η οποία

τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα Δ και Ε αντίστοιχα. να

δειχτεί ότι ΔΕ=ΒΔ+ΓΕ.

3.09 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ , ΑΒ BΓ , η διάμεσος ΑΜ και ένα σημείο Η της διαμέσου. Στο Η

φέρνουμε κάθετη προς την ΑΜ που τέμνει την ΑΒ στο Ε και την ΑΓ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕΖ

είναι ισοσκελές.

3.10 Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ AΓ φέρνουμε την εσωτερική διχοτόμο Αδ και

τη διχοτόμο Αε της εξωτερικής γωνίας Α. Από το Β φέρνουμε ευθείες

παράλληλες προς τις Αδ και Αε αντίστοιχα οι οποίες τέμνουν την ευθεία ΑΓ στα

σημεία Δ και Ε. Να δείξετε ότι:

Α) τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΒΕ είναι ισοσκελή

Β) ΑΔ=ΑΒ=ΑΕ Γ) Αε ΒΔ , Αδ ΒΕ και Αε Αδ δ

ε 1

4

23

A

B Γ

Ε

Δ


3.11 Στο δ

ΑΒΓ .

3.14 Να υ

αριθμούς 2, 3

3.15 Να δ

3.16 A)

Β) Υπάρ

3.17 Η γω

ΒΔ=ΑΒ και Γ

3.18 Έστω

Α) από τις δι

Β) από τις διχ

Γ) απο τις διχ

3.19 Στο

A+B+Γ +Δ +

70

o45

Α

Β

Η Ε

Γεωμετρία

διπλανό σχήμ

υπολογιστούν

3 και 4

δείξετε ότι ένα

Πόσες πλευρ

ρχει κυρτό πο

ωνία Α ενός ισ

ΓΕ=ΓΑ αντίστ

ω τρίγωνο ΑΒ

ιχοτόμους των

χοτόμους των

χοτόμους της

σχήμα να υπ

+E+Z+H+Θ

o130

o0

x y

Δ

Γ

ΑΘΡ

μα να υπολογισ

3.12

3.13είναι

τα μέτρα των

α κυρτό ν-γων

ρές έχει ένα κυ

ολύγωνο που έ

σοσκελούς τρι

τοιχα . Να υπο

ΒΓ. Να αποδεί

ν γωνιών Β κα

ν εξωτερικών

γωνίας Β και

πολογίσετε το

3.20 Δίνε

αποδείξετε ό

ΡΟΙΣΜΑ

στούν οι γωνίε

2 Στο διπλα

3 Να υπολο

ι ίση με τα 2/3

ν γωνιών ενός

νο δεν μπορεί ν

υρτό πολύγων

έχει άθροισμα

ιγώνου ΑΒΓ ε

ολογιστούν οι

ίξετε ότι η γων

αι Γ είναι ίση μ

γωνιών Β και

της εξωτερική

άθροισμα των

εται τρίγωνο Α

ότι ΑΗ=ΒΓ

ΓΩΝΙΩΝ

ίες Α, Β και Γ

ανό σχήμα να

ογιστούν οι γω

3 μιας άλλης γ

τριγώνου αν

να έχει περισό

νο του οποίου

α των γωνιών

είναι 78 . Στι

ι γωνίες των τ

νία που σχημα

με A

902

αι Γ ισούται μ

κής γωνίας Γ ισ

ν γωνιών

ΑΒΓ με Α 4

Ν ΤΡΙΓΩΝ

του τριγώνου

υπολογίσετε

ωνίες ενός ορθ

γωνίας του.

οι εξωτερικές

ότερες από 3

το άθροισμα

13 ορθές;

ις προεκτάσει

ριγώνων ΑΒΓ

ατίζεται

με A

902

στούται με A2

45 .Αν τα ύψη

Γ

Δ

ΝΟΥ

υ

τις γωνίες x κ

θογωνίου τριγ

ς του γωνίες εί

εσωτερικές οξ

των γωνιών ε

ις της βάσης τ

Γ και ΑΔΕ.

η ΒΔ και ΓΕ τ

Β

Γ Κ Λ

Μ

Ε

και y

γώνου του οπο

ίναι ανάλογες

ξείες γωνίες.

είναι 1080ο;

του παίρνουμε

τέμνονται στο

13

2016-1

Α

Θ

Ν

ΗΖ

οίου μια γωνία

ς προς τους

ε τμήματα

ο Η να

7

α

14 ΑΘΡΟΙΔΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ


3.21 Να υπολογίσετε το άθροισμα των γωνιών Α+Β+Γ+Δ+Ε του διπλανού

σχήματος

3.22 Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ >ΑΒ φέρουμε το ύψος του ΑΔ και τη διχοτόμο ΑΕ της γωνίας Να αποδείξετε ότι :

Α) Λ Λ

Λ 180 Γ ΒΔΕΑ

2

Β) Λ Λ

Λ Β ΓΔΑΕ

2

3.23 Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ και τη διχοτόμο του ΑΔ. Σ την ημιευθεία ΑΒ παίρνουμε τμήμα

ΑΓ΄=ΑΓ και στην πλευρά ΑΓ τμήμα ΑΒ΄=ΑΒ. Να αποδειχτεί ότι τα σημεία Β΄, Δ, Γ΄ είναι συνευθειακά.

3.24 Σε ευθεία θεωρούμε τα σημεία Α,Β και Γ έτσι ώστε

ΑΒ=2ΒΓ και στο ίδιο ημιεπίπεδο κατασκευάζουμε τα

ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΕ. Αν Ζ είναι το μέςο του ΑΒ ,

να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΖΕ είναι ισόπλευρο.

3.25 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ , στο οποίο ΒΓ=2ΑΒ και Β 2Γ .

Φέρνουμε τη διχοτόμο της γωνίας Β που τέμνει την ΑΓ στο Δ.

Αν Μ το μέσο της ΒΓ, να δείξετε ότι:

A) Το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ισοσκελές.

Β) H γωνία Α είναι ορθή.

Γ) ΑΔ<ΔΓ

3.26 Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές,

ΑΒ ΑΓ και τα σημεία Δ και Β βρίσκονται στην προέκταση

της ΒΓ έτσι ώστε ΒΔ=ΓΖ. Αν ΔΕ ΑΒ και ΖΗ ΑΓ να

αποδείξετε ότι:

Α) ΔΕ ΖΗ και Β) ΓΗ ΑΒ ΑΔ .

3.27 Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούμε μια ακτίνα ΟΑ, μια

χορδή ΒΓ που είναι μεσοκάθετος της ακτίνας αυτής, και μια

ακόμη χορδή ΑΔ που σχηματίζει με την ΟΑ γωνία 30ο . Δείξτε

ότι ΑΔ=ΒΓ.

3.28 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι

ˆ ˆB Γ 90 . Να αποδείξετε ότι η διχοτόμος ΑΔ της

γωνίας Α σχηματίζει με την ΒΓ μια γωνία 45 .

3.29 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και εξωτερικά της ΑΒ

κατασκευάζουμε ΑΔΒ ισόπλευρο. Αν η διχοτόμος ΑΝ

είναι κάθετη και ίση με την ΑΔ να βρεθούν οι γωνίες

του ΑΒΓ

Α ΓΒ

Δ

Ε

Ζ

1

2

A

B Γ

Δ

Μ

Β ΓΔ Ζ

Α

Ε Η

30

ΟΑ

ΔΓ

Β

Α

Γ

Β

Δ

Ε


3.30 Έστω

Από τυχαίο σ

που τέμνει τη

ΜΔ, ΑΒ στα

ισοσκελές τρί

3.31 Έστω

είναι ˆ ˆΓ 2Β .

μία ευθεία κά

σημείο Δ. Να

είναι ίσα

3.32 Από

ορθογώνιου τ

φέρνουμε κάθ

πλευρά ΑΒ σ

ΔΑΓ είναι ίσα

3.33 Να α

Α) Οι δι

πλευρές τους

Β) Οι δι

πλευρές τους

3.36 Δίνετ

Στην προέκτα

3.37 Στο

ευθείες 1ε ,ε

είναι εφαπτο

είναι η διακε


Α) ο τρ

Β) ΔΟ

Γεωμετρία

ω ορθογώνιο τ

σημείο Μ του Β

ην ΒΑ στο Δ. Α

Κ, Λ αντίστοι

ίγωνο


Στο μέσο της

άθετη στην ΒΓ


το μέσο Μ τη

τρίγωνου ΑΒΓ

θετη προς την

στο σημείο Δ.

α, να βρείτε τι


ιχοτόμοι δύο γ

παράλληλες ε

ιχοτόμοι δύο γ

κάθετες είνα


αση της ΑΓ , π

ο διπλανό σχή

2 είναι οι εφα

ομένη σε σημε

εντρική ευθεία

ότι:

ρίγωνο ΔΖΕ ε

Ο ΖΕ


ΒΓ υψώνω κά

Αν η διχοτός τ

ιχα να αποδεί


ς υποτείνουσα

Γ που τέμνει τ

ότι τα τρίγωνα

ης υποτείνουσ

Γ ( A 90 ) κα

ν ΒΓ, η οποία

Αν τα τρίγων

ις γωνίες του τ

ι:

γωνιών που έχ

είναι παράλλη

γωνιών που έχ

αι παράλληλες


προς το Γ, παί

ήμα δίνεται κύ

απτόμενες του

είο Γ που τέμν

α του σημείου

είναι ισοσκελέ

( Α 90 ).

άθετη στη ΒΓ

της Γ τέμνει

ξετε ότι ΚΛΔ

( A 90 ) κα

ας ΒΓ φέρνουμ

ην ΑΒ στο

α ΑΔΓ και ΔΒΚ

σας ΒΓ

αι ΑΒ>ΑΓ

τέμνει την

να ΔΜΒ και


χουν τις

ηλες ή κάθετες

χουν τις

ς ή κάθετες.

ΒΓ και σημείο

ίρνουμε τμήμα

κλος (Ο,R) κα

κύκλου στα σ

νει την 1ε στο

υ Ε που τέμνει

ές.

τις

Δ

αι

με

Κ

Γ

ς.

3.εν

δύ

3.Α

δύ

ημ

Β)

τε

πα

Γ)

σχ

γω

Δ)

απ

δύ

Ε)

δι

με

γω

ο Δ της πλευρά

α ΓΕ=ΒΔ. Να

αι μια διάμετρ

σημεία Α και

ο Δ και την 2ε

ι την 1ε στο Ζ

.34 Να απ

νός τετραπλεύ

ύο άλλων γων

.35 Σε τετρ

Α) η γωνί

ύο διαδοχικών

μιάθροισμα τω

) οι διχο

ετράπλευρο το


) οι διχο

χηματίζουν τε

ωνίες είναι πα

) η γωνί

πέναντι γωνιώ

ύο άλλων γων

) η γωνί

ιαδοχικών εξω

ε το ημιάθροισ

ωνιών

άς ΒΓ.


ρός του ΑΒ. Ο

Β και η ε

2 στο Ε. Η ΕΟ

Ζ. Να

οδείξετε ότι ό

ύρου είναι ορθ

ιών του είναι

ράπλευρο να α

ία που σχηματ

ν γωνών του, ε

ων δύο άλλων

οτόμοι των γω

ου οποίου οι α

τικές.

οτόμοι των εξω

ετράπλευρο το

ραπληρωματι


ών του είναι ίσ

ιών του.


ωτερικών γωνι

σμα των δύο α

ότι ΔΑ=ΔΕ

Οι

Ο ε

ε

Ζ

Β Δ

όταν δύο απέν

θές τότε οι διχ

παράλληλες.


τίζεται από τις

είναι ίση με το

ν γωνιών του.

ωνιών του, σχη

απέναντι γωνίε

ωτερικών γων

ου οποίου οι α

ικές.

τίζουν οι διχοτ

ση με την ημιδ

τίζουν οι διχοτ

ιών τετραπλεύ

αυτών (εσωτε

ε1

OA

Γ

Δ

Ζ

15

2016-1

Α

Γ

Ε

αντι γωνίες

χοτόμοι των

τι

ς διχοτόμους

ο

ηματίζουν

ες είναι

νιών του,

απέναντι

τόμοι δύο

διαφορά των

τόμοι δύο

ύρου είναι ίση

ρικών)

ε2

B

Ε

7

η

16 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ


Δ Γ

A B

Ε

Ζ


4.01 Στο Παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος να

υπολογίσετε τις γωνίες x και y.

4.02 Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Ε το μέσο της ΑΔ. Στο Ε φέρουμε μια ευθεία κάθετη

στη ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο Ζ, και την ευθεία ΒΑ στο Ν. Να αποδείξετε ότι :

Α) ΕΝ = ΕΖ

Β) ΒΖ = ΔΖ + ΔΓ

4.03 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και φέρνουμε ΓΔ το ύψος. Έστω Μ μέσο του ΓΔ και η κάθετη Από το Γ στη ΔΓ

τέμνει την ΑΜ στο Ε. Να αποδείξετε ότι ΔΕ=ΑΓ

4.04 Δίνεται ιςοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ , ΑΒ ΑΓ και Σ τυχαίο σημείο της ΑΓ.

Προεκτείνουμε την ΑΒ προς το μέρος του Β κατά τμήμα ΒΡ=ΣΓ. Αν ΣΚ//ΑΒ, να


Α) τρίγωνο ΣΚΓ είναι ισοσκελές.

Β) Τα τρίγωνα ΒΡΜ και ΜΚΣ είναι ίσα

Γ) Η ΒΓ διχοτομεί την ΡΣ.

4.05 Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και στις προεκτάσεις των διαμέσων του ΑΜ , ΒΝ τα σημεία Δ, Ε τέτοια ώστε

ΜΔ=ΜΑ και ΝΕ=ΝΒ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΓΔ=ΓΕ και ότι τα σημεία Γ, Δ και Ε είναι συνευθειακά.

4.06 Δίνετε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ ΑΓ ) και σημείο Μ στην προέκταση της βάσης ΒΓ προς το μέρος

του Β. Από το Μ φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ , οι οποίες τέμνουν τις ημιευθείες ΓΑ, ΑΒ

στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι ΜΔ ΜΕ ΑΒ .

4.07 Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ από τις κορυφές Α και Γ φέρνουμε

και . Να αποδείξετε ότι το ΑΖΓΕ είναι

παραλληλόγραμμο.

Β Γ

Α

Σ

Ρ

Μ Κ


4.08 Δίνετ

τέμνει την ΒΓ


A) Τα τρ

B) Τα τμ

Γ) Τα τε

4.09 Δίνε

συνέχεια την

στα σημεία Κ

A)

B) Το τ

Γ) Η Κ

4.11 Δίνε

Αx και Βy , ό

Γ1. Να αποδε

Γ2. Να βρεθο

Γεωμετρία

ται παραλληλ

Γ στο Ε και η δ

ται ότι :

ρίγωνα ΑΒΕ κ

μήματα ΑΕ κα

ετράπλευρα Α

εται παραλλη

ν κάθετη στη

Κ και Λ αντί

και

τρίγωνο ΚΒΛ

ΚΛ είναι διχο

εται κύκλος μ

όχι προς το ί

είξετε ότι το Α

ούν οι γωνίες

λόγραμμο ΑΒΓ


και ΑΖΒ είναι

αι ΒΖ τέμνοντ

ΑΒΕΖ και ΔΓΖΕ

ηλόγραμμο Α

ην ΕΒ στο Ε π

ίστοιχα. Να α

Λ είναι ισοσκ

οτόμος της γω

με διάμετρο Α

ίδιο μέρος τη

ΑΓΒΔ είναι πα

του παραλλη

ΓΔ Αν η διχοτ

ς γωνίας τέ

ισοσκελή

ται κάθετα

Ε είναι παραλλ

ΑΒΓΔ και έστ

που τέμνει τις


κελές

ωνίας ΔΚΒ.

4.10 Δίνε

Από το Δ φ

και από το

Ζ.

Α) Να δ

Β) Να α

Γ) Να α

Δ) Αν ε

να υπολογί

ΑΒ. Στα σημ

ης ΑΒ και παί

αραλληλόγραμ

λογράμμου Α

4.12 Απ'

ημιευθείε

τέμνει τη

σημείο Δ

ΑΒ που τ

Γ1. ΑΒ=

τόμος της γων

έμνει την ΑΔ σ

ληλόγραμμα.

τω Ε το μέσο

ς πλευρές ΓΔ

τι:

εται τυχαίο τ

φέρνουμε πα

ο Ε φέρνουμε

δικαιολογήσε



επιπλέον η γω

ίσετε τις γωνί

μεία Α και Β φ

ίρνουμε πάν

μμο.

ΑΓΒΔ.

τα άκρα ενό

ες Αx και Βy

ην By στο Γ ,

Δ, τέτοιο ώστε

τέμνει την Βy

=ΒΓ Γ2.

νίας

στο Ζ

Ζ

ο της πλευράς

Δ και ΑΒ του


αράλληλη πρ

ε παράλληλη

τε οτι το τετρ

τι το τρίγωνο Α

τι τα τμήματα

ωνία ΒΑΓ είναι

ες του τριγών


νω σε αυτές τ

ός ευθύγραμ

y έτσι ώστε Ax

, στην προέκ

ε ΓΒ=ΓΔ και

y στο Ε και τ

φ=2ω

A

Δ

ς ΑΔ. Φέρνου

παρ/μου (ή

Γ και η διχοτό

ρος την ΑΒ π

η προς την ΒΓ

άπλευρο ΒΔΕ

ΑΕΔ είναι ισοσ

ΑΕ και ΒΖ είν

ίση με 860 ,

νου ΑΕΔ.

ς εφαπτόμενε

μήματα ΑΓ=

μμου τμήματο

x//By. Αν η δ

ταση της ΑΓ

από το Δ φέρ

ην Αx στο Ζ,

Λ

Κ

E

A

Δ

Ε

υμε την ΕΒ κ

ή τις προεκτά

όμος του ΑΔ


Γ που τέμνει

ΕΖ είναι παραλ

σκελές

ναι ίσα

ες

=ΒΔ=ΑΒ.

ος ΑΒ φέρνο

διχοτόμος τη

Γ προς το Γ πά

ρουμε παράλ

Ζ, να αποδείξ

Γ3.

A

17

2016-1

B

Γ

και στη

άσεις τους)

Δ.

ν ΑΓ στο Ε

ι την ΑΒ στο

λληλόγραμμο

ουμε τις

ης ˆBAx

άρουμε

λληλη στην

ξετε ότι:

ΖΔ=ΒΕ

Γ

B

7

ο.

B



ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ – ΡΟΜΒΟΣ

4.13 Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ και το συμμετρικο Ε του Α ως προς την ΒΔ. Η ευθεία ΒΕ τέμνει την ΓΔ στο

Μ. Αν Ν είναι η προβολή του Μ στην ΒΔ, να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α,Ν,Γ είναι συνευθεικά

4.14 Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος είναι ρόμβος. Αν α 3x 2 και

β 2x 7

, τότε να υπολογίσετε το x

4.15 Σε κύκλο (Ο , ρ) φέρνουμε χορδή ΑΒ = ρ και παίρνουμε τυχαίο σημείο Μ του κυρτογώνιου τόξου AB

.Αν Γ , Δ , Ε , Ζ είναι τα μέσα των ΟΑ , ΟΒ , ΜΒ , ΜΑ , αντίστοιχα , να αποδείξετε ότι :

Α. Η γωνία 0AOB 60

Β. Το τετράπλευρο ΓΔΕΖ είναι ρόμβος.

4.16 Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση την ΒΓ και .

Α) Αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ισοσκελές .

Β) Να δείξετε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι ίσα .

Γ) Αν προεκτείνουμε την ΑΔ να αποδείξετε ότι διέρχεται από το μέσο της ΒΓ .

Δ) Αν ΔΜ = ΜΕ , αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΔΓΕ είναι ρόμβος .

4.17 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Ε, Ζ, Κ , Λ τα μέσα των ΒΓ , ΑΔ , ΑΓ , ΒΔ αντίστοιχα.

Α. Δείξτε ότι το τετράπλευρο ΚΕΛΖ είναι παραλληλόγραμμο.

Β Αν επιπλέον ΑΒ ΓΔ , να δείξετε ότι το ΚΕΛΖ είναι ρόμβος.


4.18 Πάν

ΔΓΕ

.

4.19 Προ

και ΒΖ αντίσ

Α) ΑΖ =

4.20 Δίνε

εξωτερικά το

4.21 Θεω

τρίγωνο ΒΓΖ

4.22 Σε τε

την πλευρά Β

σημείο Θ κα

Α Το τ

Β ΔΕ=

Γ Τα τ

Δ ΑΕ=

4.23 Θεω

Στις ίσες πλε

έτσι ώστε

Αν τα Ζ και

στην ΒΓ, τότ

Α Να α

Β Να α

Γ Να α

4.24 Δίνε

Έστω Ζ το μ

Α

Β ΓΖ=

Γ ΓΖ κ

Γεωμετρία

νω στη διαγώ

οεκτείνουμε τ

στοιχα ώστε Α

= ΔΕ

εται τρίγωνο

ου τριγώνου

ωρούμε ένα τε

Ζ εκτός του τ

ετράγωνο ΑΒ

ΒΓ στο σημέι

αι την ΑΕ στο

τρίγωνο ΑΙΘ

=ΙΕ

τρίγωνα ΑΒΖ

=ΔΕ+ΒΖ

ωρούμε ισοσκ

ευρές του ΑΒ

13

κα

Η είναι τα ίχ

τε:




εται τετράγω

έσο της ΑΔ κ

12

ΑΗ.

κάθετη στην Α

ώνιο ΒΔ ενός

τις πλευρές Β

ΑΕ=ΒΖ. Να

Β) AZ

ABΓ ορθογ

ΑΒΗΚ και

ετράγωνο Α

τετραγώνου.

ΒΓΔ παίρνου

ιο Ζ. Από το

ο σημέιο Ι. Ν

είναι ισοσκε

Ζ και ΑΔΘ εί

κελές ορθογώ

Β και ΑΓ παίρ

αι 13

χνη των κάθ

ότι το ΔΕΗΖ ε

ότι το ΔΕΗΖ ε

ότι

ωνο ΑΒΓΔ. Πρ

και Η το σημ

ΑΕ.

ΤΕ

τετραγώνου

ΒΑ και ΓΒ τετ


ΔΕ

γώνιο στο Β κ

ΒΓΡΘ , να δ

ΒΓΔ , το ισόπ

Να αποδείξε

υμε τυχαίο ση

σημείο Δ φέ

α αποδείξετε

ελές

ίναι ίσα

ώνιο τρίγωνο

ρνουμε σημε

ετων τμημάτ

είναι ορθογώ

είναι τετράγω

.

ροεκτείνουμ

μείο τομής τω

ΕΤΡΑΓΩΝ

υ ΑΒΓΔ παίρ

τραγώνου Α

ότι :

και έστω ΒΜ

δείξετε ότι Η

πλευρο τρίγω

ετε ότι τα σημ

σημείο Ε στην

έρουμε

ε ότι:

ο ΑΒΓ με A

εία Δ και Ε α

των από τα Δ

ώνιο παραλλ

γωνο.

ε τη διαγώνι

ων ευθειών Α

ΝΟ

ρνουμε τμήμ

ΒΓΔ κατά Α

Μ η διάμεσος

ΗΘ 2 ΒΜ

ωνο ΑΒΕ εντ

μεία Δ, Ε και

ν πλευρά ΓΔ.

(Η σημ

o90 και ΑΒ

ντίστοιχα,

Δ και Ε

ληλόγραμμο.

ιο ΒΔ προς το

ΑΕ και ΓΔ. Να

α ΒΕ = ΒΓ. Ν

Ε

ς του. Σχηματ

τός του τετρα

ι Ζ είναι συν

. Η διχοτόμο

μείο της ΑΖ) π

Β=ΑΓ.

ο μέρος του Δ

α αποδείξετε

Να υπολογίσε

τίζουμε δύο

αγώνου και τ

νευθειακά.

ος της γωνίας


Δ κατά τμήμ

ε ότι:

19

2016-1

ετε τη γωνία

τετράγωνα

το ισόπλευρο

ς EAB τέμνε

ην ΑΒ στο

μα ΔΕ=ΒΔ.

7

ο

ι

220

http://users.s

4.25 Σε τε

Α Να υ

Β Να δ

Γ Να υ

4.26 Δίνε

στην ΑΔ τέτο

Α) α απ

Β) Να α

Γ) Να α

Δ) Να π

αντίστοιχα .

4.27 Δίνε


Α) Η γω

Β) Το τ

Γ) Το τε

Δ) Αν Ο

στο , ν

sch.gr/mipapa



δείξετε ότι το



οιο ώστε ZO

ποδείξεις ότι

αποδείξεις ότ

αποδείξεις ότ

προεκτείνεις



ετε ότι:

ωνία είν

τρίγωνο

ετράπλευρο Α

Ο το κέντρο το

να δείξετε ότι

agr

ΒΓΔ κατασκε

τις γωνίες το

ο τρίγωνο ΒΕ

την γωνία

ωνο ΑΒΓΔ με

oOE 90 . Έστ

τρίγωνο ΟΖ

τι το τρίγωνο

τι ΑΖ = ΔΕ

ς τις ΕΟ και Ζ

εις ότι το ΕΖΝ

ωνο . Π

ναι 45

είναι ορθογ

ΑΒΕΓ είναι παρ

υ τετραγώνου

το Κ είναι το

ευάζουμε τα

ου τριγώνου

ΕΖ είναι ορθο

Ο το κέντρο

τω Κ και Μ τ

ΖΜ = τρίγωνο

ο ΕΟΖ είναι

ΖΟ προς το Ο

ΝΛ είναι επί

Προεκτείνουμ

γώνιο και ισο

ραλληλόγραμ

υ και

βαρύκεντρο τ

ισόπλευρα Α

ΑΔΕ

ογώνιο και ισ

ο του. Έστω τυ

τα μέσα των Α

ο ΟΕΚ

ισοσκελές

Ο οι οποίες τέ

ίσης τετράγω

με την πλευρ

οσκελές .

μμο.

η τέμνει

του τριγώνου

ΑΒΕ εσωτερικ

σοσκελές,

υχαίο σημείο

ΑΔ και ΑΒ α

και να υ

έμνουν την Β

ωνο

ρά ΔΓ προς το

τη

.

Δ

A

κά και ΒΓΖ ε

ο Ζ πάνω στη

αντίστοιχα

υπολογίσεις τ

ΒΓ στο Ν και

ο μέρος του Γ

Ο

ΠΑΡΑΛΛΗ

εξωτερικά.

ην ΑΒ και ση

τις γωνίες το

ι την ΓΔ στο

Γ κατά τμήμ

κ

Γ

B

ΗΛΟΓΡΑΜΜΑ

ημείο Ε πάνω

ου

Λ

α .

E

ω

Α

Ε


ΕΦΑΡΜ

4.28 Σε

φέρνουμε Μ

4.29 Στο

σημεία Δ κα

ΑΔ=ΔΕ=ΕΓ

ΔΜΕ είναι ο

4.30 Δίν

Φέρουμε ΔΖ

ΓΔ αντίστοι

4.31 Σε τ

μέσο της ΒΔ

Α) To

Β) ΑΓ

Γ) ΜΝ

4.32 Σε

θεωρούμε το

αντίστοιχα.

Α) Είναι ο

Β) Έχει π

Γ) Έχει δι

Δ) Αν επι

4.33 Δύο

σημείο Α. Α


Γεωμετρία

ΜΟΓΕΣ Τ

ισόπλευρο τρί

ΜΔ ΑΓ. Να α


αι Ε βρίσκοντα

Γ. Αν Μ είναι

ορθή.


Ζ ΑΒ και Δ

ιχα δείξτε ότι:

τετράπλευρο

Δ και Ν το μέσ

τρίγωνο ΜΑΓ

Γ ΒΔ

Ν ΑΓ

ορθογώνιο τρ

ο ύψος ΑΔ κα

Αποδείξτε ότι

ορθογώνιο.

περίμετρο την

ιάμεσο ΔΜ ίσ

ι πλέον Γ=30ο

ο κύκλοι (Κ,R

Αν ΒΓ είναι κο

ότι η γωνία ΒΚ

ΤΩΝ ΠΑ

ίγωνο ΑΒΓ α


ήμα δίνεται τρί

αι στην πλευρ

το μέσο του Β

ΑΒΓ και Δ τυ

ΔΕ ΑΓ . Αν Η

2(ΖΗ ΕΘ)

ΑΒΓΔ είναι

σο της ΑΓ να

Γ είναι ισοσκε

ρίγωνο ΑΒΓ μ

αι τα μέσα Ε κ

ι το ΖΔΕ:

ημιπερίμετρο

ση με 1ΒΓ

4

ο να αποδείξε

R) και (Λ,3R)

οινή εξωτερική

ΚΛ είναι 120ο

ΑΡΑΛ/ΜΩ

από το μέσον Μ

ι ΑΔ 3 ΓΔ .

ίγωνο ΑΒΓ μ

ρά ΑΓ έτσι, ώ

ΒΓ, να αποδείξ

υχαίο σημείο

Η και Θ τα μέ

ΒΓ

οA Γ 90 . Α


ελές.

με υποτείνουσ

και Ζ των ΑΒ

ο του ΑΒΓ .

ετε ότι 1

ΔΕ4

εφάπτονται εξ


ο .

ΜΩΝ –ΘΕ

Μ της ΒΓ

.

με ΑΓ=3ΑΒ. Τ

ώστε

ξετε ότι γωνί

της ΒΓ.

έσα των ΒΔ κα

Αν Μ είναι το

ότι:

σα ΒΓ

και ΑΓ

1ΒΓ

4

ξωτερικά στο

η τους να

ΕΜΑΤΑ Ε

Τα

ία

αι

ο

Α

Β

Β

Δ

ΕΞΕΤΑΣ

Β

Δ

Α

ΒΔ

Z

Η

Γ

Γ

Α

Ζ

Μ

Λ

ΣΕΩΝ

Α

ΓΜ

Δ

Μ

Δ Ε

Δ

E

Θ

Μ

Ν

Β

Δ

Ε

Α

Γ

21

2016-1

Γ

Γ

Γ

A

B

Κ

Β

7



4.34 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε ΑΔ ΒΓ και σημείο Η στην

ΑΔ ώστε η γωνία 0ΑΒΗ 20 , γωνία 0ΗΒΓ 40 και γωνία

0ΗΓΒ 30

Α) Να αποδείξετε ότι ΓΗ ΑΒ .

Β) Να υπολογίσετε τη γωνία ΑΓΗ .

4.35 Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ προεκτείνουμε την πλευρά

ΑΔ κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ. Αν η ΒΕ τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ζ και

τη ΔΓ στο σημείο Η, να αποδείξετε ότι:

Α) Το τ ΒΔΕΓ είναι παραλληλόγραμμο.

Β) ΔΗ=ΗΓ

γ) Η ΔΖ Περνάει από το μέσο της ΒΓ.

4.36 Σε τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Β είναι 45ο . Αν ΑΔ και ΓΕ τα

δύο ύψη του τριγώνου και Μ το μέσο της ΑΓ να αποδείξετε ότι

ME MΔ

4.37 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α=45ο, τα ύψη ΒΔ και ΓΕ

που τέμνονται στο Η, το μέσο Μ του ΑΗ και το μέσο Ν του ΒΓ.

Να αποδείξετε ότι:

Α) EN=ΔΝ

Β) ΕΜ=ΜΔ

Γ) Τα τρίγωνα ΑΗΔ και ΒΔΓ είναι ίσα.

Δ) Το τετράπλευρο ΔΜΕΝ είναι τετράγωνο

4.38 Έστω Θ το βαρύκεντρο τριγώνου ΑΒΓ . Αν ΑΘ=ΒΓ, να

αποδείξετε ότι ΒΘ ΓΘ .

4.39 Σε κύκλο (Ο,R) προεκτείνουμε τη διάμετρο ΑΒ κατά

τμήμα ΒΓ=R και φέρνουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΓΔ. Να

αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές

20

40 30

x

Α

Β ΓΔ

H

A B

Δ Γ

Ε

Ζ

Η

45

Α

Β ΓΔ

Ε

Μ

Δ

Ε

45

A Γ

B

Ν

Μ

Η

Α

Β ΓΜ

Ν Ξ

Θ

OA B Γ

Δ


4.40 Δίν

στο Γ και η

Ε. Να αποδε

Α) ΔΑ

Β) ΓΑ

4.41 Δίν

τέμνονται στ

ΒΓ.Να αποδ

α) ΕΝ

β) ΕΜ

γ) ΜΝ

4.42 Έστω

Η διχοτόμος τ

την ΑΒ στο μ

A) Δείξτ

B) Δείξτ

Γ) Αν Λ

4.43 Δίνε


Α) Η γω

Β) Το τ

Γ) Το τ

Δ) Αν Ο

να δείξετε ότ

4.44 Ένα

ΑΔ=2ΑΓ. Να

Από ένα εξωτετμήματα ΡΑ, (προς το μέροςΑν η ευθεία ΟΑ) γωνία Β) ΡΜ=2RΓ) Το τετρ

Γεωμετρία

νεται παραλλη

κάθετη από το


Α ΕΓ.

Α ΔΕ.

νεται οξυγώνι

το Η, το μέσο


Ν=ΔΝ

Μ=ΔΜ

Ν ΔΕ

ω παρ/μο ΑΒΓ

της γωνίας Δ

μέσο της Ε.

τε ότι: ΑΔ

τε ότι: ΚΔ

Λ , Μ είναι τα

εται τετράγων

τε ότι:

ωνία ΒΕΓ είνα

ρίγωνο ΔΒΕ ε

τετράπλευρο Α

Ο το κέντρο το

τι το Κ είναι τ



ερικό σημείο Ρ ΡΒ, ‘οπου ΑΡΒ

ς του Β) κατά τΟΡ τέμνει τον κΒΡΜ=300

R ράπλευρο ΟΑΚ

ηλόγραμμο ΑΒ

ο Α προς την

ιο τρίγωνο ΑΒ

ο Μ του ΗΑ κα

ΓΔ με A 12

τέμνει

ΑΒ2

ΔΕ2

α μέσα των τμη

νο ΑΒΓΔ . Πρ

αι 450.

είναι ορθογών

ΑΒΕΓ είναι π

ου τετραγώνου

ο βαρύκεντρο

Γ έχει Γ=45ο κ

ότι ΑΔΒ=75ο

Ρ , κύκλου (Ο, Β=600. Προεκττμήμα ΒΜ=ΟΒκύκλο στο Κ, ν

ΚΒ είναι ρόμβος

ΒΓΔ . Η κάθετ

ΑΒ τέμνοντα

ΒΓ , τα ύψη Β

αι το μέσο Ν τ

o20 .

ημάτων ΑΔ κα

ροεκτείνουμε τ

νιο και ισοσκε

αραλληλόγρα

υ ΑΒΓΔ και η

ο του τριγώνο

και Β=15ο . Στ

.

R) φέρουμε ταείνουμε το ΟΒΒ. να αποδείξετε ό

ς

τη προς τη ΒΓ

αι στο σημείο

Δ και ΓΕ που

της πλευράς

αι ΖΕ αντίστο

την πλευρά ΔΓ

ελές .

αμμο.

η ΕΟ τέμνει τη

ου ΒΔΕ.

την προέκτασ

α εφαπτόμενα Β

ότι:

Δ

Κ

Λ

Γ

οιχα δείξτε ότι

Γ προς το μέρ

ην ΒΓ στο Κ ,

η της πλευράς

Δ

Β

Α

Ζ

ι: ΑΔ

ΛΜ2

ρος του Γ κατά

,

ς ΓΑ προς το Α

Α

Ε

Β

Α

ΕΗ

Μ

Μ

Δ

A

ΖΛ2

ά τμήμα ΓΕ =

Α παίρνουμε

Γ

Δ

Ν

Γ

Ε

κ

Γ

Ο

B

23

2016-1

ΔΓ.

τμήμα

Β

Γ

Γ

7

Β

E



Γ

A B

Μ

Δ

30

4.45 Δίνεται κύκλος (Ο,R), μια διάμετρος ΑΒ και χορδή ΑΓ=R. Φέρνουμε ΟΚ

κάθετη στη ΒΓ που η προέκταση της τέμνει τον κύκλο στο Δ.

Α. Να δείξετε ότι ΑΓ = 2.ΟΚ

Β. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΟΔΓ είναι ρόμβος.

4.46 Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και μία διάμετρος του ΑΒ. Φέρουμε τη

μεσοκάθετο του ΟΑ που τέμνει την ΟΑ στο Μ και τον κύκλο στο Γ. Να


Α) Το τρίγωνο ΑΟΓ είναι ισόπλευρο

Β) Η ΟΓ είναι διχοτόμος της γωνίας ΜΓΒ

Γ) ΓΒ = 2ΓΜ.

4.47 Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ όπου Β = 2Γ. Φέρνουμε το ύψος

ΑΔ. Προεκτείνουμε την ΑΒ προς το Β και στην προέκταση παίρνουμε τμήμα

ΒΕ = ΒΔ. Προεκτείνουμε το τμήμα ΕΔ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο Μ. Να

αποδείξετε ότι :

Α) ΑΒΔ = 2 ΒΔΕ Β) Το Μ είναι μέσο της ΑΓ.

4.48 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ( Α=90ο) με Γ=30ο.Αν η μεσοκάθετη της ΒΓ

στο μέσο της Μ , τέμνει την ΑΓ στο Δ , να αποδείξετε ότι

Α) Η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΒΓ

Β) AΓ

ΑΔ=3

4.49 Δίνεται κύκλος (Ο,R) και η διάμετρός του ΑΒ. Προεκτείνουμε την

διάμετρο ΑΒ προς το μέρος του Β κατά τμήμα ΒΓ = R. Από το Γ φέρνουμε

την εφαπτομένη ΓΔ του κύκλου . Να αποδεί-ξετε ότι:

Α. Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΟΔΓ είναι ορθογώνια.

Β. Το τρίγωνο ΟΔΒ είναι ισόπλευρο.

Γ. Τα τρίγωνα ΟΑΔ και ΒΓΔ είναι ίσα.

Ο ΒΑ

Γ Δ

Κ

Γ

Μ OΑΒ

Γ

Μ

Δ

E

B

A

ΟΑ Γ

Δ

Β


4.50 Σε τε

Α. Να υ

Β. Να δ

Γ. Να υ

4.51 Στο π

ΑΒΓ ορθογώ

τα Δ και Ε εί

ΔΖ = ΕΔ.


Α. ΑΕ =

Β. ΕΖ //

Γ. ΑΕΒ

4.52 Σε τε

διαγωνίων ΑΓ

Α) Τα τ

Β) Οι ευ

4.53 Δείξτ

σχηματίζουν τ

4.54 Α)

ΑΓ τριγώνου

Β) Θεω

ΓΕ , ΒΖ και

4.55 Δίνετ

1ΔΖ ΓΔ

3 , α

4.56 Δίνετ

ΓΔ ΑΕ ΑΒ

4.57 Σε τρ

Γεωμετρία


υπολογίσετε τι

δείξετε ότι το τ

υπολογίσετε τη


ώνιο τρίγωνο μ

ίναι τα μέσα τ

τε ότι :

=ΕΖ = 2

/ ΑΓ Μονά

ΒΖ είναι ρόμβο


Γ και ΒΔ αντί

ετράπλευρα Ε

υθείες ΕΗ, ΖΘ

τε ότι τα μέσα

τετράγωνο.


υ ΑΒΓ διχοτο

ρούμε τετράπ

ΔΕ αντίστοιχ


αντίστοιχα. Αν


Β . Αν Ζ το σ

ρίγωνο ΑΒΓ

ΓΔ κατασκευ

ις γωνίες του

τρίγωνο ΒΕΖ

ην γωνία

ήμα είναι:

με = 1∟ κ

των ΒΓ και ΑΒ

Μονάδες 9

άδες 9

ος Μονά

ΑΒΓΔ ονομάζο

ίστοιχα. Να απ

ΕΚΗΛ και ΖΚ

Θ και ΚΛ διέρ

α των πλευρών

τε ότι η διάμε

ομούνται.

πλευρο ΑΒΓΔ

χα, να αποδείξ

λόγραμμο ΑΒ

ν Η το σημείο


σημείο τομής τ

είναι B 2Γ

άζουμε τα ισό

τριγώνου ΑΔΕ


και = 30ο,

Β αντίστοιχα,

άδες 7

ουμε Ε, Ζ, Η,


ΚΘΛ είναι παρ

ρχονται από το

ν ορθογωνίου

εσος ΑΜ και

. Αν Ε, Ζ τα

ξετε ότι το τετ

ΓΔ και στις π

ο τομής των ευ

ΒΓ και στι ημι

των ευθειών Α

ο90 . Αν ΑΔ

όπλευρα ΑΒΕ

Ε

ώνιο και ισοσκ

Θ τα μέσα τω

:

ραλληλόγραμμ

ο ίδιο σημείο.

υ σχηματίζουν

το ευθύγραμμ

α μέσα των ΑΒ

τράπλευρο ΚΛ

πλευρές του Α

ευθειών ΑΔ κ

ιευθείες ΒΓ , Γ

ΑΒ και ΔΕ ν

το ύψος του Α

Ε εσωτερικά κα

κελές,

ων πλευρών Α

μα.

ν ρόμβο, ενώ τ

μο τμήμα ΔΕ

Β , ΓΔ αντίστο

ΛΜΝ είναι π

ΑΒ , ΓΔ τα ση

και ΕΖ να απ

ΓΑ τα σημεία

να αποδειχθεί

ΑΒΓκαι Μ το

Γ

Α

αι ΒΓΖ εξωτε

ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ

τα μέσα πλευρ

που ενώνει τ

οιχα και Κ , Λ

παραλληλόγρα

ημεία Ε, Ζ ετ

οδειχθεί ότι Δ

Δ , Ε αντίστο

ότι ΑΒ 3ΑΖ

μέσο της ΒΓ

Δ

ερικά.

Α και Κ, Λ τα

ρών τετραγών

τα μέσα των π

Λ, Μ , Ν τα μέσ

αμμο.

τσι ώστε ΒΕ

ΔΑ ΔΗ και

οιχα ετσι ώστε

Ζ .

, δείξτε ότι Α

Ζ

Ε

Δ

25

2016-1

α μέσα των

νου

πλευρών ΑΒ ,

σα των ΑΖ ,

1ΑΒ

3 και

ΖΗ ΖΕ .

ε

ΑΒ=2ΜΔ

B

7

2

Έ

26

http://users.s

4.58 Δίνετ

συμμετρικό τ

αποδειχθεί ότ

4.59 Θεω

αντίστοιχα. Ν

4.60 Δίνετ

ότι α) ΑΒ =

4.61 Δίνετ

4.62 Σε έν

ΑΝ=ΝΡ=ΡΓ.

Δίνεται παραλστην ευθεία Βτην προέκτασΑ) τα Β) το Γ) το

Δ) 4.63 Δίνετ

τμημάτων ΑΒ

Α Τα τ

Β Τα σ

4.64 Δίνετ

Οι ευθείες ΑΔ

Έστω Κ, και Λ

Α. B=9

Β Τα τ

Γ ΑΓ

Δ Η ΚΛ

sch.gr/mipapa

ται ισοσκελές

ου Ε ως προς

τι οΖΕΛ 90

ρούμε τρίγων

Να αποδειχθεί

τε παρ/μο ΑΒ

=2ΑΔ β)

ται τριγωνο Α

να τρίγωνο ΑΒ

Να αποδειχθε

λληλόγραμμοΒΓ, Μ το μέσοση της ΑΔ. Νατρίγωνα ΔΜΖτρίγωνο ΑΕΖτρίγωνο ΑΜΖ


Β, ΓΗ και ΔΕ

ρίγωνα ΚΔΕ κ

σημεία Ι, Κ ,Λ

ται τετράπλευ

Δ και ΒΓ τέμν

Λ τα μέσα τω

90

ρίγωνα ΚΔΒ κ

ΕΖ.

Λ μεσοκάθετο

agr

ς τρίγωνο ΑΒΓ

το μέσο Μ τη

νο ΑΒΓ , τις δι

ότι α) τα Δ,

ΒΓΔ με Α=12

ΔΕ=2ΑΖ οπ

ΑΒΓ με B 45

ΒΓ είναι ΒΓ =

εί ότι το τρίγω

ο ΑΒΓΔ με ΑΒο της ΓΔ και Ζα αποδείξετε όΖ και ΓΜΕ είνΖ είναι ορθογώΖ είναι ισοσκε

ΑΒΓ . Έστω Η

αντίστοιχα. Ν

και ΙΔΕ είναι

Λ είναι συνευθ

υρο ΑΒΓΔ με

νονται στο Ε κ

ων ΑΓ και ΕΖ

και ΛΒΔ είνα

ος του ΒΔ

Γ (ΑΒ ΑΓ )

ης ΑΓ και η π

ιαμέσους ΑΜ

, Γ, Ε είναι συ

0ο.και η διχοτ

που ΑΖ είναι η

o5 και < Γ 3

= 2ΑΒ. Έστω

ωνο ΑΜΡ είνα

Β=2ΒΓ. ΈστωΖ το σημείο στότι: ναι ίσα ώνιο ελές

Η το ορθόκεντρ

Να δείξετε ότι:

ι ισοσκελή.

ειακά (βρίσκο

ˆ Â, παραπλ

και οι ΑΒ και

αντί-στοιχα. Ν

αι ισοσκελή.

και η μεσοκά

παρράλληλη α

Μ , ΒΝ και τα

υνευθειακά


η απόσταση το

o30 .Αν Δ είνα

Μ το μέσο τη

αι ορθογώνιο.

ω Ε η προβολήστο οποίο η ευ

ρό του, Ι, Κ, Λ

:

ονται στην ίδι

ληρωματικές

ΔΓ τέμνονται

Να δείξετε ότι

άθετη της ΑΓ

από το Ζ προς

συμμετρικά Δ

νίας Δ τέμνει τ

ου Α από τη Γ

αι το μέσο της

ης ΒΓ και σημ

ή του Α πάνω θεία ΕΜ τέμν

Λ τα μέσα των

α ευθεία).

και =90ο.

ι στο Ζ.

ι:

Α

τέμνει το ύψο

την ΑΒ τέμν

Δ, Ε των Α, Β

β)

την ΑΒ στο μ

ΓΔ γ)

ς ΑΓ να δειχθ

μεία Ν,Ρ στην

νει

ν

Ι

H

Δ Β

Α

K

Δ Γ

Β

E

ΠΑΡΑΛΛΗ

ψος ΑΔ στο Ε.

νει την ΒΓ στ

ως προς τα Μ

ΓΔ=ΓΕ

μέσο της Ε. Ν

Η γωνία

θεί ότι ΔBΓ 1

πλευρά ΑΓ ώ

Κ

Λ

Ε

Γ

ΗΛΟΓΡΑΜΜΑ

Αν Ζ το

το Λ , να

Μ, Ν

Να αποδείξετε

ΔΑΓ=90ο

o15 .

ώστε

Λ

Γ

Ζ


4.65 Στο τ

Α Να δ

Β Να δ

Γ Αν Κ

Δίνεται κύκλοςμεσοκάθετο τοΝα αποδείξετε Α) Το Β) Η ΟΓ) ΓΒ

4.66 Δίνετ

Οι προεκτάσε

Α) Τα τ

Β) Το τε

Γ) Αν η

α) Το

β)

4.67 Δίνετ

Ε και ΑΖ , ΕΗ

Δείξτε ότι :

Α) ΑΒ=

Β) ΑΖ=

Γ) ΔΕ=

Δ) το τρ

Γεωμετρία


δείξετε ότι

δείξετε ότι το

Κ το σημείο το

ς με κέντρο Ο κου ΟΑ που τέμν

ότι: τρίγωνο ΑΟΓ ε

ΟΓ είναι διχοτό = 2ΓΜ.


εις των τμημά

ρίγωνα ΕΒΜ


η ΑΖ τέμνει τη

ο Θ είναι βαρύ

3


Η τα κάθετα τ

=2ΑΔ

=ΕΗ

2ΑΖ

ρίγωνο ΑΔΓ ε

είναι 2

//

ΔΛΜΝ είναι

ομής των ΑΝ

και μία διάμετρονει την ΟΑ στο

είναι ισόπλευροόμος της γωνίας


άτων ΕΜ και Δ

και ΓΜΖ είνα

ΑΕΖΓ είναι πα

η ΒΓ στο Θ τό

ύκεντρο του τ


τμήματα από τ


. Αν ,

ρόμβος.

και ΒΔ ,να δι

ος του ΑΒ. ΦέρΜ και τον κύκλ

ο. ς ΜΓΒ .

ΓΔ και έστω Ε

ΔΓ τέμνονται

αι ίσα


ότε:

τριγώνου ΕΓΖ

ΓΔ με γωνία Α

τα σημεία Α,Ε

ιο

, , είναι τ

ικαιολογήσετε

ρουμε τη λο στο Γ.

Ε, Μ τα μέσα

στο Ζ. Να απ

μμο.

Ζ.

Α = 120ο και η

Ε προς την πλε

Δ

Α

Δ

τα μέσα των

ε ότι ΒΚ=2 Κ

των πλευρών

οδείξετε ότι:

η διχοτόμος τη

ευρά ΔΓ.

Α

Ζ

Α

Ζ

Α

, , ,

ΚΔ.

ΑΒ, ΒΓ αντίσ

ης γωνίας Δ τέ

Ε

Η

Γ

Μ O

, αντίστο

στοιχα .

έμνει την ΑΒ

Ε

Η

Γ

27

2016-1

O Β

οιχα, τότε

στο μέσο της

Β

Γ

Β

7

ς

Β

228

http://users.s

ΤΡΑΠΕΖ

4.68 Σε


Α) το τ

Β) AB

4.69 Στο

διέρχεται απ

κάθετες στη

ΑΚ. Να δείξ

Α) MN

Σε ορθογώνιο αποδείξετε ότι:Α) ΤΒ) Τ

4.70 Στο

Ζ,Μ,Η είναι

Α) ΔΖ=ΜΗ

Β) Οι γωνίες

4.71 Δίν

γωνίας Β. Η


είναι κορυφέ

4.72 Δίνετ

αντίστοιχα ,να

4.73 Σε τρ

ημιευθείες ΑΗ

ΗΔ=ΗΑ και Μ

Α το τρ

Β Η ΒΓ

Γ Το τε

sch.gr/mipapa

ΕΖΙΑ – Θ

πεντάγωνο Α

ότι:

τετράπλευρο Β

B+BΓ=ΕΔ


πό την κορυφή

ην (ε), το Μ είν

ξετε ότι:

AKN

2

ΑΒΓΔ κέντρο: ο τρίγωνο ΟΕΖο τετράπλευρο


ι τα μέσα των

ς ΔΖΗ και Μ


Η διχοτόμος τη

ότι τα μέσα Κ

ές ρόμβου.

ται τραπέζιο ι


ρίγωνο ΑΒΓ φ

Η και ΑΜ παί

ΜΕ=ΜΑ. Να

ρίγωνο ΑΒΔ ε

Γ// ΔΕ

ετράπλευρο μ

agr

ΘΕΜΑΤΑ

ΑΒΓΔΕ είναι Α

ΒΓΔΖ είναι ισ

ήμα η ευθεία (

ή Α του τριγώ

ναι μέσο του

Β) ΚΔ

ου Ο φέρνουμε

Ζ είναι ισοσκελέΓΔΕΖ είναι ισο

ήμα το ΑΔ είνα

ΑΒ , ΒΓ και

ΜΗΖ είναι ίσες


ης γωνίας Α τέ

Κ,Λ,Μ και Ν τω

ισοσκελές με τ

ότι το τετράπλ

φέρνουμε το ύ

ίρνουμε τα ση



με κορυφές Β,

Α ΕΞΕΤΑ

Α=Β=Γ=Δ=12

σοσκελές τραπ

(ε) είναι τυχαί

νου ΑΒΓ. Οι

ΔΕ και το Ν

Δ ΚΕ

AE BΔ και

ές. οσκελές τραπέζ

αι ύψος του τρ

ι ΑΓ αντίστοι

ς.

ΒΓΔ με γωνία

έμνει την πλευ

ων τμημάτων

τη βάση ΑΒ

λευρο ΕΖΓΔ ε

ύψος ΑΗ και τ

ημεία Δ, Ε, αν

ές

Δ,Ε,και Γ είνα

ΑΣΕΩΝ

20ο . Αν ΒΖ//

πέζιο.

ία ευθεία που

ΒΔ και ΓΕ είν

μέσο της διαμ

ι ΒΖ ΑΓ . Να

ζιο.

ριγώνου ΑΒΓ

ιχα. Να αποδε

α Α διπλάσια

υρά ΓΔ στο Ε

ΑΒ , ΒΓ,ΓΕ κ

τριπλάσια απ


τη διάμεσο ΑΜ

ντίστοιχα , έτσ

αι ισοσκελές τ

/ΓΔ να

ναι

μέσου

α

Γ και


της

. Να

και ΑΕ

πό τη βάση ΓΔ

νιο

Μ. Στις

σι ώστε

τραπέζιο.

Α

ΒΔ

Z

Δ. Αν Ε,Ζ είν

120

Α

Β

Β

Δ

Α

Δ

Ε

12

Α

Δ

Ν

H

M


120

120 120

Γ Δ

Ε

Κ

Ν

Μ

Α

Ο

Ε Ζ

2

Ε

Κ

Μ

ΤΡΑΠΕΖΙΑ

Γ

ων ΑΓ , ΒΔ

Ε

Ζ

ε

Γ

Ε

Γ

Β

Β

Γ

Λ


4.74 Δίνετ

των ΒΓ,ΒΔ κ

Α. Το Μ

Β. ΑΡ =

Γ. Το Μ

4.75 Σε ο

Ζ, Η, Ε, είναι

Α. Να αποδει

α) Tο Α

β) Tο Δ

Β. Αν επιπλέο

A

4.76 Δίνε

τραπεζίου πο

Γ1.

Γ2. ΚΛ=

Γ3. Το Α

4.77 Δίνε

ΒΔ και ΑΓ αν

Α) ΚΛ

Β) ΒΛ

Γ) Β

4.78 Σε τρ

Λ. Αν Κ το

Α) τρίγωνο ΒΒ) γωνΓ) ΓΚ

4.79 Δίνετ

του ΑΒ και Η

Γεωμετρία

ται ορθογώνιο

αι ΓΔ αντίστο

ΜΝΔΡ είναι πα

= ΡΔ

ΜΝΑΡ είναι

οξυγώνιο τρίγω

ι τα μέσα των

ιχθεί ότι

ΑΖΔ είναι ισο

ΔΕΗΖ ισοσκε

ον η γωνία

2

.

εται ισοσκελέ

ου τέμνει τις δ

6

=ΑΒ.

ΑΒΛΚ είναι ο

εται τραπέζιο

ντίστοιχα , να

AB =

2

ΔΓ

3Γ

ραπέζιο ΑΒΓ

σημείο τομής

ΒΚΖ ισοσκελνία ΛΚΓ=900

Κ διχοτόμος της


Η μέσον του Α


οιχα . Να αποδ

αραλληλόγρα

ισοσκελές τ

ωνο ΑΒΓ με

πλευρών ΑΒ,

οσκελές τρίγω

ελές τραπέζιο.

060 να απ

ές τραπέζιο Α

διαγώνιες ΒΔ

ορθογώνιο

ΑΒΓΔ με ΑΒ


ΓΔ (AB//ΓΔ) φ

ς της διχοτόμο

λές και ΛΓ=2

ς γωνίας Γ


ΑΜ. Προεκτείν

ΒΓ 0( 90A δείξετε ότι:

αμμο.

τραπέζιο.

φέρνου

, ΒΓ, και ΑΓ α

νο.


ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ

και ΑΓ στα σ

Β//ΔΓ , A Δ

τι

φέρουμε τη διχ

ου ΒΛ με τη

2ΒΖ

ΒΓ με o90Α

νουμε το ΖΕ κ

0) και Δ τυχα

υμε το ύψος B

αντίστοιχα, τό

Δ και ΑΔ=ΒΓ

σημεία Κ και

ο90 , ΑΒ=Α

χοτόμο της γω

διάμεσο ΕΖ

o και 30Γ

κατά ίσο τμήμ

αίο σημείο της

BΔ. Αν

ότε

Γ) , με ΓΔ=3Α

ι Λ αντίστοιχ

ΑΔ=ΔΓ2

.Αν

ωνίας Β , η ο

του τραπεζίο

o . Έστω Μ μέ

μα ΕΚ. Να απο

Δ

Ε

ς πλευράς ΑΓ.

ΑΒ. Αν η ΕΖ

χα , να αποδε

Κ και Λ είναι

ποία τέμνει τη

υ, να αποδείξ

έσον του ΒΓ,


Α

Κ

. Αν Μ,Ρ,Ν εί

Ζ είναι η διάμε

είξετε ότι :

αι τα μέσα των

ην πλευρά ΓΔ

ξετε ότι:

Ε μέσον του Β

Β

Λ

29

2016-1

ίναι τα μέσα

εσος του

ν διαγωνίων

Δ στο σημείο

ΒΜ, Ζ μέσον

Γ

Ζ

7

Γ

30 ΤΡΑΠΕΖΙΑ


Α Β

ΕΓ

Δ

α) Το τετράπλευρο ΖΒΚΜ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. β) Το τετράπλευρο ΖΒΜΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

4.80 Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με 090ˆˆ A , ΓΔ = 2ΑΒ και 045ˆ . Από την κορυφή Β φέρουμε τη ΒΕ

κάθετη στη ΔΓ .

Α) Να αποδειχθεί ότι το ΑΒΓΕ είναι παραλληλόγραμμο.

Β) Το ΑΒΕΔ είναι τετράγωνο

Γ) Αν Ν το μέσο του ΑΕ και Μ το μέσο του ΒΕ να δειχθεί ότι

ΝΜ = 4

4.81 Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ θεωρούμε την διάμεσο ΕΖ. Η διχοτόμος της τέμνει την διάμεσο στο Μ και διέρχεται από

την κορυφή Β και η ΑΜ τέμνει την ΓΔ στο Η.

Να αποδείξετε ότι

Α. το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές

Β. το σημείο Μ είναι μέσο του ΒΔ και το τρίγωνο ΑΜΔ

είναι ορθογώνιο

Γ. το τετράπλευρο ΑΒΗΔ είναι ρόμβος

4.82 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ . Έστω Η το ορθόκεντρό του, Ι, Κ, Λ τα

μέσα των τμημάτων ΑΒ, ΓΗ και ΔΕ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:

Α. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΕ είναι ορθογώνια

Β. Τα τρίγωνα ΚΔΕ και ΙΔΕ είναι ισοσκελή.

Γ. Τα σημεία Ι, Κ ,Λ είναι συνευθειακά

4.83 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε τη πλευρά ΑΔ και προς τα δύο μέρη και

παίρνουμε τα σημεία Ε και Ζ έτσι ώστε

ΑΕ = ΔΖ = ΑΔ.

Α. Να αποδείξετε ότι τα τετράπλευρα ΑΓΒΕ και ΒΓΖΔ είναι παραλληλόγραμμα

Β. Αν τα Κ και Λ είναι τα κέντρα των ΑΓΒΕ και ΒΓΖΔ αντίστοιχα να δείξετε ότι το ΒΓΛΚ είναι ρόμβος

Γ. Να δείξετε ότι ΒΖ ΓΕ

M ZE

Β

Δ Γ

Α

Η

Κ

Ι

ΛH

Ε

ΔΒ

Α

Γ


4.84 Δίνετ

και οι ΑΒ και

α. B =

β. Τα τ

γ. ΑΓ

δ. Η ΚΛ

4.85 Σε τε

Α Να υ

Β Να δ

Γ Να υ

4.86 Σε τρ

Λ. Αν Κ το ση

Α) τρίγω

Β) γωνί

Γ) ΓΚ δ

4.87 Δίνετ


Α) ΚΝ=

Β) το τε

Γ) αν επ

4.88 Δίνετ

ΒΚ κάθετη στ

Α Το Α

Β Το τ

Γ Το τε

4.89 Δίνετ

Η διχοτόμος τ


Α Το τ

Β ΔΓ=Β

Γ Το Ε

Γεωμετρία

ται τετράπλευ

ι ΔΓ τέμνοντα

=90ο

ρίγωνα ΚΔΒ κ

ΕΖ.

Λ μεσοκάθετο


υπολογίσετε τι

δείξετε ότι το τ

υπολογίσετε τη

ραπέζιο

ημείο τομής τ

ωνο ΒΚΖ ισοσ

ία ΛΚΓ=900


ται το ισοσκελ

τι:

=ΚΛ

ετράπλευρο Κ

πιπλέον ΓΔ=3

ται το ορθογώ

την ΑΕ η οπο

ΑΕΓΖ είναι πα

ρίγωνο ΒΛΓ ε

ετράπλετρο Α

ται τραπέζιο Α

της γωνίας Δ τ

τε τα επόμενα

ρίγωνο ΑΔΖ ε

ΒΖ

Ε είναι το μέσο

υρο ΑΒΓΔ με

αι στο Ζ. Έστω

και ΛΒΔ είνα

ος του ΒΔ

ΓΔ κατασκευ

ις γωνίες του

τρίγωνο ΒΕΖ

ην γωνία

(AB //

της διχοτόμου

σκελές και ΛΓ

γωνίας Γ

λές τραπέζιο Α

ΚΛΜΝ είναι ρ

3ΑΒ τότε το τε

ώνιο παραλληλ

οία τέμνει την



ΑΕΛΖ είναι ισ

ΑΒΓΔ με ΑΒ

τέμνει την ΒΓ

.


ο της ΒΓ.

ˆ Â, παρα

ω Κ, και Λ τα

αι ισοσκελή.

άζουμε τα ισό

τριγώνου ΑΔΕ


) φέρουμε τη

ΒΛ με τη διά

Γ=2ΒΖ

ΑΒΓΔ (ΑΒ//Γ

όμβος


λόγραμμο ΑΒ

ΓΖ στο Λ . Ν

μμο

νιο

οσκελές τραπ

// ΓΔ και ΑΔ

Γ στο Ε και τη

ές .

απληρωματικέ

α μέσα των ΑΓ

όπλευρα ΑΒΕ

Ε

ώνιο και ισοσκ

η διχοτόμο τη

άμεσο ΕΖ του

ΓΔ). Αν Κ, Λ

ΑΒΛΝ είναι ο

ΒΓΔ και Ε,Ζ τ

Να δείξετε ότι

πέζιο.

= ΑΒ + ΓΔ.

ην προέκταση

ές και =90ο

Γ και ΕΖ αντί

Ε εσωτερικά κα

κελές,

ς γωνίας Β , η

τραπεζίου, να

,Μ, Ν μέσα τω

ρθογώνιο.

α μέσα των πλ

της ΑΒ στο Ζ

. Οι ευθείες Α

ί-στοιχα. Να

αι ΒΓΖ εξωτε

η οποία τέμνει


ων ΑΒ, ΑΓ, Γ

λευρών ΒΓ , Α

Ζ.

K

Δ

Α

ΑΔ και ΒΓ τέ-


ερικά.

ι την πλευρά Γ

ότι:

ΓΔ, ΒΔ αντίστ

ΑΔ αντίστοιχα

Γ

Β

E

31

2016-1

μνονται στο Ε

ΓΔ στο σημείο

τοιχα, να

α . Φέρνουμε

Λ

7

Ε

ο

Ζ

32

http://users.s

Στο τραπέζιο ΑΑν Μ το μέσο Δ1 ΜΝΔ2 Η γΔ3 Αν Δ4 . Η Α

4.90 Δίνετ


Α) Το ευ

Β) Το Κ

Γ) Το Κ

4.91 Δίνετ

του ΑΒ και Η

Α) Το τε

Β) Το τε

4.92 Δίνετ

ΒΔ και ΑΓ αν

Α) ΚΛ

Β)

Γ)

4.93 Σε τρ

την κορυφή Β


Α το τρ

Β το ση

ΑΜΔ είναι ορ

Γ το τε

sch.gr/mipapa

ΑΒΓΔ (ΑΒ// ΓΔτου ΒΓ και Ν τ

Ν=ΑΝ. γωνία ΑΜΔ είνη ΑΜ τέμνει τ

ΑΜ είναι διχοτό

ται τυχαίο τρί

υθύγραμμο τμ

ΚΔΛΜ είναι τ

ΚΔΛΜ είναι ισ


Η μέσον του Α

ετράπλευρο Ζ

ετράπλευρο Ζ

ται τραπέζιο Α

ντίστοιχα , να

ABΛ =

2

ΔΓ 3Γ

ραπέζιο ΑΒΓΔ

Β και η ΑΜ τέ

τε ότι

ρίγωνο ΑΒΔ ε

ημείο Μ είναι

ρθογώνιο


agr

Δ) ,έχουμε ΑΔ=το μέσο του ΑΔ

ναι ορθή. την ΔΓ στο Κ,ναόμος της γωνία

ίγωνο ΑΒΓ . Α

μήμα ΛΜ είνα

ραπέζιο.



ΑΜ. Προεκτείν

ΖΒΚΜ είναι ο

ΖΒΜΗ είναι ισ

ΑΒΓΔ με ΑΒ/


Δ θεωρούμε τ

έμνει την ΓΔ σ


ι μέσο του ΒΔ

ΑΒΗΔ είναι ρό

= ΑΒ+ΓΔ. Δ, να αποδείξετε

α δείξετε ότι ΑΔας Α.

Αν ΑΔ το ύψο

αι ίσο με το μι

πέζιο.

ΒΓ με o90

νουμε το ΖΕ κ

ρθογώνιο παρ


//ΔΓ , A

τι

ην διάμεσο ΕΖ

στο Η.

ές

Δ και το τρίγων

όμβος

ε ότι:

ΔΚ ισοσκελές

ος του και Κ,Λ

ισό της πλευρ

o και o30

κατά ίσο τμήμ

ραλληλόγραμμ

πέζιο.

90 ,

Ζ. Η διχοτόμο

νο

τρίγωνο.

Λ,Μ τα μέσα τ

ράς ΑΒ

. Έστω Μ μέ

μα ΕΚ. Να απο

μο.

2

.Α

ος της τέμν

E

Δ

Α

των ΑΒ ,ΒΓ κ

σον του ΒΓ, Ε


Αν Κ και Λ είν

νει την διάμεσ

M

Α

Η

και ΓΑ αντίστο

Ε μέσον του Β


σο στο Μ και δ

Β

ΤΡΑΠΕΖΙΑ

οιχα ,να

ΒΜ, Ζ μέσον

ων διαγωνίων

διέρχεται από

Z

Γ

Α

Γ


ΓΕΝΙΚΕ

4.94 Δί

Κατασκευάζ

ΑΓΗΘ. Φέρ

την ΑΔ κάθε

ότι:

Α) Τα

Β) Τα

Γ) Τα

Δ) ΚΒ

Ε) ΕΚ

Στ) Η γ

Ζ) Το

4.95 Δίν

τμήμα ΓΔ

βρίσκονται σ

Α) Απο

Β) Αν


Γ) Το

Δ) ΜΓ

4.96 Δίν

του Α ως πρ

ισοσκελές τρ

4.97 Έστω

τμήματα ΣΑ κ

α) 0AΣΒ 90

β) AB//xz

Γεωμετρία

ΕΣ 5ΟΥ Κ

ίνεται ορθογώ

ζουμε εξωτερι

ρουμε την ΕΚ

ετη στη ΒΓ. Α

σημεία Ε, Α κ

τρίγωνα ΑΔΒ

τρίγωνα ΑΔΓ

Β=ΛΓ

Κ+ΗΛ=BΓ

γωνία ΒΜΓ είν

τρίγωνο ΒΜΓ


ΑΓ και ίσο μ

σε διαφορετικ

οδείξτε ότι η Β

Ν είναι το μέ

ότι ΜΝ ΑΓ.

τρίγωνο ΜΓΑ

ΓΔ+ΒΑΜ=180


ρος τη διαγώνι

ραπέζιο.

ω οι εφεξής κα

και ΣΒ κάθετα

ΚΕΦΑΛΑ

ώνιο τρίγωνο Α

ικά του τριγών

κάθετη στη Β

Αν Μ είναι το

και Η είναι συ

Β και ΕΚΒ είν

Γ και ΗΛΓ είν

ίναι ορθή.

Γ είναι ισοσκε


με ΒΓ έτσι ώστ

κά ημιεπίπεδο

ΒΔ είναι διχο

έσον του ΑΓ κ

Α είναι ισοσκε

0ο .


ιο ΒΔ. Να δει

αι παραπληρω

α προς τις διχο

ΑΙΟΥ

ΑΒΓ , Α 90

νου τα τετράγ

ΒΓ, την ΗΛ κά

μέσο της ΕΗ,

υνευθειακά.

ναι ίσα.

αι ίσα.

ελές

ΑΒΓ με Α 9

τε τα σημεία Β

σε σχέση με τ


και Μ το μέσο

ελές.

ΒΓΔ και το σ

χθεί ότι το ΒΓ

ωματικές γωνί

οτόμους των π

Ο0 .

γωνα ΑΒΕΖ κ

άθετη στη ΒΓ

, να αποδείξετ

Ο90 . Φέρνου

Β και Δ να

την ΑΓ.

νίας ΑΒΓ .

ον του ΒΔ να

συμμετρικό Ε

ΓΕΔ είναι

ίες xOy

και y

παραπάνω γω

και

και

τε

Ε

Κ

υμε

yOz

. Θεωρού

ωνιών. Να απο

Β

z

Β

Α

Ζ

Δ

ύμε τυχαίο ση


Γ

A

Ν

A

Δ

Ε

Σ

Α

z

Θ

Μ

ημείο Σ της Oy

A

Μ

Β

Σ y

O

33

2016-1

Γ

Η

Λ

y και τα

Δ

B

Γ

Β

x

7


5 ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ - ΕΓΓΡΑΨΙΜΑ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

5.01 Δύο κύκλοι Κ και Λ εφάπτονται στο Α. Δύο ευθείες που

περνούν από το Α τέμνουν τον κύκλο Κ στα Β και Δ και τον κύκλο Λ

στα Ε και Γ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΒΔ//ΓΕ.

5.02 Δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία A και B . Μια ευθεία

διέρχεται από το A και τέμνει τους κύκλους στα σημεία Γ και Δ .

Έστω Μ το μέσο του ΓΔ . Η ευθεία ΒΜ τέμνει τους κύκλους στα

σημεία Ε και Ζ . Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΓΜΖ και ΕΜΔ είναι

ίσα και ότι ΜΕ ΜΖ .

5.03 Εξωτερικά ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ , ΟΑ 90

θεωρούμε Τετράγωνο ΒΓΔΕ. Αν Ο είναι το κέντρο του τετραγώνου

αυτού, να αποδειχθεί ότι η ΑΟ διχοτομεί τη γωνία Α.

5.04 Οι κορυφές Α, Β και Δ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ είναι

σημεία του κύκλου με κέντρο Ο. Αν Ε είναι το αντιδιαμετρικό σημείο

του Α να αποδείξετε ότι:

Α) ΒΓ ΔΕ και ΔΓ ΒΕ .

Β) ΕΓ ΒΔ

5.05 Δύο ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΓΔ έχουν κοινή

υποτείνουσα ΒΓ και οι κορυφές Α και Δ βρίσκονται προς το ίδιο μέρος

της. Αν Ε και Ζ οι προβολές των Β και Γ στην ευθεία ΑΔ να δείξετε

ΑΕ=ΔΖ.

5.06 Δίνονται οι κύκλοι (Κ,R) και (Λ,ρ) που εφάπτονται εξωτερικά

στο σημείο Α. Ευθεία που διέρχεται από το Α τέμνει τους κύκλους στα

σημεία Β και Γ αντίστοιχα. Αν ε είναι η εφαπτομένη του κύκλου (Κ,R)

στο Β, να αποδείξετε ότι ΓΛ ε

Κ ΛΑ

Δ

Γ

Ε

Β

Β

ΑΓΔ

Μ

Ζ

Ε

Β

Α Γ

Ε

Δ

Ο

Ο

Α Β

Δ Γ

Ε

Ζ

Ε

Δ

Α

ΓΒ

ε

Λ ΚΑ

Β

Γ


5.07 Δίν

φέρουμε τυχ

του κύκλου

είναι εγγράψ

5.08 Δίν

τυχαίο σημε

ΜΒ και ΑΝ


A) TB) ΕΖ

5.09 Δίν

στην ΑΒ. Τυ

και τον κύκλ

προέκταση τ

τέμνει την Α

Τα τετράπλευρΗ γωνία ΔΒΖ ε

5.10 Δίν

διχοτόμο τη

φέρνουμε τη

ΔΗ είναι οι


Α) ΔΖ

Β) Το

Γ) ΔΒ

5.11 Έστ

Φέρνουμε Α

Α) Τα

Β) Το

Γ) ΒΖ

Γεωμετρία

νεται κύκλος (

χαίες χορδές Α

Β στα σημεία

ψιμο.


είο Μ του τόξο

τέμνονται στ

ότι:

o τετράπλευρο Ζ//ΒΓ

νεται κύκλος (

υχαία ευθεία π

λο στο Ε. Αν η

της ΑΒ στο σ

ΑΕ στο σημείο

ρα ΔΚΒΕ και ΕΒείναι ορθή.


ς γωνίας Α, η

ην κάθετη στη

αποστάσεις το

ότι:

=ΔΗ.


=ΔΕ.

τω Ε το μέσον

ΑΖ κάθετη στη

τρίγωνα ΑΒΕ


=ΒΑ

(Ο,R) και διά

ΑΓ και ΑΔ, ο

α Κ και Λ αντί

ΑΒΓ , ο περιγ

ου ΑΓ. Αν Ν ε

ο Ε και οι ΑΓ

ΑΜΖΕ είναι εγ

(Κ,R), διάμετρ

που διέρχεται

η εφαπτομένη

σημείο Μ και

ο Ζ, να αποδεί

ΒΜΖ είναι εγγρ


οποία τέμνει

ην ΒΓ η οποία

ου Δ από τις Α

ΑΒΔΕ είναι ε

ν της πλευράς

η ΔΕ. Να αποδ

Ε και ΔΓΕ είνα

ΑΖΕΒ είναι ε

μετρος ΑΒ. Ε

οι οποίες τέμνο

ίστοιχα. Να απ

γεγραμμένος κ

είναι το μέσο

Γ και ΜΝ τέμ

γγράψιμο.

ρος ΑΒ και η

από το Α τέμ

η του κύκλου σ

η κάθετη επί τ

ίξετε ότι:

ράψιμα.

ΑΒΓ , ΟΑ 90

τη ΒΓ στο Δ.

α τέμνει την Α

ΑΓ και ΑΒ α

εγγράψιμο.

ς ΒΓ ενός τετρ


αι ίσα.

εγγράψιμο.

Εκατέρωθεν τη

ουν την εφαπτ


κύκλος (Ο,R)

του τόξου ΒΓ

μνονται στο Ζ,

η ακτίνα ΚΓ κά

μνει την ΚΓ στ

στο Ε τέμνει τ

της ΑΒ στο Μ

Ο . Φέρνουμε

Στο σημείο Δ

ΑΓ στο Ε. Αν

αντίστοιχα, να

ραγώνου ΑΒΓ

ης ΑΒ

τομένη

ΚΛΔΓ

και

Γ, οι

, να

άθετη

το Δ

την

Μ

τη

Δ

ΔΖ και

α

ΓΔ .

Α

B

A

H

Α

Α

Β

Ε

Κ

Γ

Δ

Δ

Ε Z

A

Δ

Β

ΚΓ

Δ

Ν

Β

Ε

B

Γ

Ε

Ζ

35

2016-1

Β

Λ

Γ

Μ

Ζ

Μ

Ζ

Γ

B

Γ

Ε

7

http://use

5.12 Ένα

ημιευθεία Β


Α) Τα

Β) ΜΝ

5.13 Δίν

φέρνουμε ευ

σημείο Ε. Ν

5.14 Δίν

Έστω ΕΖ η

ευθεία παρά


Α) Το

Β) Αν

το τετράπλευ

5.15 Έστω

τέμνει την ΑΓ

5.16 Δίνετ

αποστάσεις το

5.17 Έστω

τέμνει την ΑΓ

5.18 Κύκλ

κύκλο Κ στο

ers.sch.gr/m

α τετράπλευρο

ΒΑ παίρνουμε

ότι:

σημεία Α,Μ,Ν

Ν//ΒΓ.


υθεία κάθετη σ

Να αποδείξετε

νεται ισοσκελέ

διάμεσος του

άλληλη στην π

ετε ότι:


Κ, Ι είναι τα

υρο ΙΚΗΕ είν


Γ στο Ζ και τ

ται κύκλος (Κ

ου Μ από τις


Γ στο Λ και τ

λος με κέντρο

σημείο Β. Αν

mipapagr

ο ΑΒΓΔ είνα

ε τμήμα ΒΜ=Β

Ν και Δ είναι

ΑΒΓ εγγεγρα

στην ΑΒ η οπ

ότι το τετράπ

ές τραπέζιο Α

και ΑΗ το ύψ

πλευρά ΑΔ πο

ΗΘΖΕ είναι ι

α μέσα των τμ

ναι εγγράψιμο


ην ΑΒ στο Ρ

Κ,ρ).Αν ΑΒ μ

ακτίνες ΚΑ κ


την ΑΒ στο Μ

ο Κ εφάπτεται

ν η ΒΑ τέμνει

αι εγγεγραμμέν

ΒΔ και στη ΓΔ

ομοκυκλικά.

αμμένο σε κύκ

ποία τέμνει τη

πλευρο ΒΓΕΚ

ΑΒΓΔ με γωνίε

ψος του. Από τ

ου τέμνει την π

ισοσκελές τρα

μημάτων ΔΗ,

ο.

( A 90 ) κα

. Να αποδείξε

μια χορδή του

και ΚΒ είναι ίσ

( A 90 ) κα

Μ, να αποδείξε

ι σε άλλον κύκ

ι τον κύκλο Λ

5.19ΑΔ τέμνε

Θεωρούμ

και ΕΗ ώ

Α)

Β)

Γ)

νο σε κύκλο.

Δ τμήμα ΓΝ=

κλο Κ. Από το

ην πλευρά ΑΓ

είναι εγγράψι

ες ˆ =60

το Ζ φέρνουμ

πλευρά ΓΔ στ

απέζιο.

ΔΕ αντίστοιχ

αι η διχοτόμος

ετε ότι ΔΖ=ΔΒ

κύκλου (Κ,ρ)

σες με το μισό

αι φέρνουμε τη

ετε ότι ΚΒ=Κ

κλο με κέντρο

Λ στο σημείο

Το τρίγωνο Α

ει τον κύκλο σ

με ακόμη τα ε

ώστε Αποδείξετε

Να δείξετε

Αποδείξετε

Στην

=ΓΑ. Να

ο Κ

Γ στο

ιμο.

00.

με

το Θ.

χα τότε

ΑΔ αυτού. Φ

Β και ΔΡ=ΔΓ

) και Μ το μέσ

ό του μήκους τ

η διχοτόμο ΑΚ

ΚΛ και ΚΜ=Κ

ο Λ στο σημεί

Γ, να αποδείξ

ΑΒΓ είναι εγγε

στο Ε.

ευθύγραμμα τμ

και ότι το τρίγων

την ισότητα ότι είναι

Φέρνουμε από

σο του τόξου

της χορδής

Κ. Αν η κάθετ

ΚΓ

ο Α. Μια ευθε

ξετε ότι ΓΛ

εγραμμένο σε

μήματα ΒΘ

.

νο είναι

.

.

Δ

ΑΜ

Ν

Β

Α

Δ

Κ

Ι

Ε

Δ

το Δ κάθετη σ

ΑΒ να αποδε

τη από το Κ πρ

εία (ε) εφάπτε

(ε).

ε κύκλο και η

ι ισοσκελές .

Γ

Κ

Ε

ΘΗ

BA

στη ΒΓ που

είξετε ότι οι

ρος τη ΒΓ

εται στον

διχοτόμος του

Β

Γ

Ζ

Γ

υ


Δ) Να

5.20 Στο δ

κύκλου. Να υ

α) τη β) τη γ) τη

5.22 Στο δ

ρ2>ρ1 , που τέμ

ΑΒ η κοινή χ

κύκλο (Λ, ρ2)

η προέκταση

Α) Να α

Β) Να α

5.23 Σε επ

βρίσκονται εκ

ΟΒ =

ˆ

Να δείξετε ότ

Α το Α

Β ΑB =

Γ αν Μ

Δ ˆ

A

Γεωμετρία

α δείξετε την ι


υπολογίσετε:

γωνία θ γωνία φ γωνία ω.


μνονται στα Α

χορδή. Οι χορδ

) στα Δ και Ε

της ΓΖ τέμνει



πίπεδο, θεωρο

κατέρωθεν της

= ΟΔ = 5cm

= 12

της ορθ

τι

ΑΒΓΔ είναι εγγ

= 5cm και ΑΔ

Μ το μέσο της

= ˆΑΟΜ =

B

M

O

ισότητα

μα ΒΓ, ΑΔ είν

5

Α

Β

Γ

μα δίνονται δύ

Α και Β. Έστω

δές ΓΑ και ΓΒ

αντίστοιχα, η

ι την ΔΕ στο Η

ι : A

ι το τετράπλευ

ούμε ευθ. τμήμ

ς ΑΓ ,

θής και ˆ B

γράψιμο.

Δ = ΔΓ

ΒΔ τότε ΟΜ

15ο.

E

2

αι διάμετροι κ

5.21 Από

, ΜΒ του κύκ

Α Να α

Β Να α

Γ Να α

ο κύκλοι (Κ, ρ

ω Γ τυχαίο σημ

Β προεκτεινόμ

ΔΒ τέμνει το

Η.

.

υρο ΖΒΕΗ είν

μα ΑΓ με μήκ

= 30ο.

ΒΔ

και ε εφαπτομ

σημείο Μ εξω

κλου. Προεκτε




ρ1) και (Λ, ρ2)

μείο του (Κ, ρ

μενες τέμνουν

ον (Κ, ρ1) στο

ναι εγγράψιμο

κος 10cm, Ο τ

μένη του

ωτερικό κύκλο

είνουμε το ΟΒ

ι το τρίγωνο Ο

ι: 3

ι το τετράπλευ

) με

ρ1) και

ν τον

Ζ και

ο.

το μέσο του Α

Γ

ου (Ο, R) φέρν

Β κατά τμήμα

ΟΜE είναι ισο

υρο ΑΟΒΜ είν

Γ και τα σημε

A

B

Κ

ρνουμε τις εφα

ΒΕ=ΟΒ.

οσκελές.

ίναι εγγράψιμο

εία Β και Δ έτ

Η

Δ

Ζ

37

2016-1

απτόμενες ΜΑ

ο.

τσι ώστε : να

Λ

Ε

7

Α


Γ

Α Β

Ζ

Ε

ΔΗ

Μ

Ο

5.24 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΒΓ = 2 ΑΒ. Έστω Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ . Στην πλευρά ΑΓ παίρνουμε τα

σημεία Ν και Ρ έτσι ώστε ΑΝ = ΝΡ = ΡΓ. Να αποδειχθεί ότι:

Α) ΜΡ // ΒΝ

Β) Η ευθεία ΒΝ διέρχεται από το μέσο του ΑΜ

Γ) Η ΒΝ είναι κάθετη στην ΑΜ.

Δ) Η γωνία ΑΜΡ είναι ορθή.

Ε) Αν η γωνία ΜΑΓ είναι ίση με 30ο , τότε ΒΝ = 2ΡΓ .

5.25 Έστω (Κ, ρ) κύκλος και σημείο Ρ, στο επίπεδό του, τέτοιο ώστε ΚΡ =2ρ. Φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ

και ΡΒ.

Να αποδείξετε ότι:

Α. ˆ = 30ο

Β. ˆ = 120ο

Γ. το ΡΑΒ είναι ισόπλευρο

5.26 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3 και 2

Α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου

Β) Αν ΑΔ το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΜ τότε :

i) Να αποδείξετε ότι = 30ο

ii) Να αποδείξετε ότι 4

5.27 Στο διπλανό σχήμα είναι (Ο,R) ο περιγεγραμμένος στο τρίγωνο ΑΒΓ, κύκλος, ΒΔ , ΓΕ τα ύψη του ΑΒΓ και

ΒΖΑΒ. Να δείξετε ότι:

Α η ΑΖ διάμετρος του κύκλου

Β το παραλληλόγραμμο,

Γ Το 12

, Μ το μέσο της ΑΒ

_Β

_Α

_K _Ρ

Education

Ageo sxol 2016-2017_papagrigorakis