1. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERA Y CIENCIAS

2. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERA Y CIENCIAS Juan Carlos Del Valle Sotelo Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de Mxico 3. Director General Mxico: Miguel ngel Toledo Castellanos Editor sponsor: Pablo Eduardo Roig Vzquez Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha Martnez Supervisor de produccin: Zeferino Garca GarcaLGEBRA LINEAL PARA ESTUDIANTES DE INGENIERA Y CIENCIAS Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.DERECHOS RESERVADOS 2011 respecto a la primera edicin por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Edificio Punta Santa Fe Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D. F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736 ISBN: 978-970-10-6885-412345678901098765432101Impreso en MxicoPrinted in MexicoPage (PS/TeX): 1 / 4, COMPOSITE 4. A la memoria de Esther, mi amada madre; a mi hermano Manuel; a mis hijas Miriam y SamanthaEn un universo quiz innito a inconcebiblemente antiguo es una dicha saber que tengo mi origen en una amorosa madre y en un hermano que me cuid como a un hijo o y por eso es mi padre y percibir una innit sima parte de m e en la mirada de dos peque os seres n que en momentos difciles han sido tan grandes.Page (PS/TeX): 5 / 5, COMPOSITE 5. Page (PS/TeX): 6 / 6, COMPOSITE 6. ContenidoAgradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XIII XVPARTE I MATRICES, SISTEMAS Y DETERMINANTES CAPTULO 1 Matrices y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.2 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.3 1.1 1.11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 2.2 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 2.3 1.1 1.1Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Deniciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Matrices especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Propiedades de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Matrices con n meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Deniciones, soluciones y forma matricial de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Matrices escalonadas y sistemas escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Operaciones de rengl n para matrices, equivalencia por las y soluciones o 1.2.3 de sistemas escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 M todo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.5 M todo de Gauss-Jordan y sistemas con soluci n unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e o 1.2.6 Sistemas homog neos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.7 Estructura de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.8 Sistemas lineales con n meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .CAPTULO 2 Matrices invertibles y determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices invertibles y sus inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Denici n y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.1.2 Matrices invertibles y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 M todo de Gauss-Jordan para hallar la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.4 Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Inversas de matrices con componentes complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Desarrollo por cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 M todo de la adjunta para hallar la inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2.4 Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Determinantes de matrices con componentes complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 3 3 4 7 9 12 14 15 20 22 24 28 31 32 34 35 35 5563 63 63 65 68 71 74 75 75 80 83 84 85 86 86 102 VIIPage (PS/TeX): 7 / 7, COMPOSITE 7. VIII CONTENIDOPARTE II ESPACIOS VECTORIALES, PRODUCTO INTERIOR, NORMAS, VALORES Y VECTORES PROPIOS CAPTULO 3 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..1131 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13.1 1.1 1.1 1.1 1.1 3.2 1.1 1.1 1.1 1.1 3.3 1.1 3.4 1.1 1.1 1.1 3.5 3.6 1.1 1.1113 113 117 119 123 131 131 138 139 143 151 156 158 158 160 169 173 175 175 207CAPTULO 4 Espacios con producto interior y espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..2351 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 4.2 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 4.3 1.1 1.1235 236 247 252 263 283 303 303 309 317 324 334 337 341 347 347 383CAPTULO 5 Transformaciones lineales, valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4151 1 1 1 1 1 1 15.1 1.1 1.1 5.2 1.1 1.1 1.1 1.1415 416 422 433 433 441 447 452Geometra de los espacios Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 El plano cartesiano R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Interpretaci n geom trica del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 3.1.3 El espacio vectorial Rn , geometra y propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 La desigualdad de Schwarz, angulos entre vectores y ortogonalidad . . . . . . . . . . . . Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Deniciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Propiedades elementales de los espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Combinaciones lineales y subespacios generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Criterios de independencia lineal en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bases y dimensi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.4.1 Deniciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Dimensi n, extracci n de bases y compleci n de un conjunto L.I. a una base . . . . o o o 3.4.3 Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espacios vectoriales sobre los n meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Espacios con producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Deniciones, ejemplos y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Ortogonalidad y norma inducida por el producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Desigualdad de Schwarz y angulo entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Proyecciones, proceso de ortogonalizaci n, factorizaci n QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 4.1.5 Aproximaci n optima de un vector por elementos de un subespacio . . . . . . . . . . . . o Espacios vectoriales normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Deniciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Distancia en espacios vectoriales normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Normas que provienen de productos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Normas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Construcci n de normas en espacios de dimensi n nita a partir de normas en Rn o o 4.2.6 Aproximaciones optimas en espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.7 Qu norma utilizar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. e Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Denici n, ejemplos y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.1.2 N cleo e imagen de una transformaci n lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u o Representaciones matriciales de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Vectores de coordenadas, cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Representaciones matriciales de un operador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Representaciones matriciales de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Isomorsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Page (PS/TeX): 8 / 8, COMPOSITE 8. CONTENIDO1 1 1 1 1 1 1 15.3 1.1 1.1 1.1 1.1 5.4 1.1 1.1Valores y vectores propios, diagonalizaci n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.3.1 Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Diagonalizaci n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.3.3 Valores propios complejos y diagonalizaci n sobre C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.3.4 Operadores autoadjuntos y matrices sim tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .IX457 457 471 482 491 497 497 539PARTE III APLICACIONES, USO DE TECNOLOGA, MTODOS NUMRICOS CAPTULO 6 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15816.1 6.2 1.1 1.1 1.1 6.3 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 6.4 1.1 1.1 1.1 1.1 6.5 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 6.6 6.7 6.8 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 6.9581 589 590 591 595 596 596 602 604Page (PS/TeX): 9 / 9, COMPOSITEMatrices de incidencia y teora de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Redes de conducci n y principios de conservaci n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 6.2.1 Flujo vehicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Circuitos el ctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.2.3 Balance qumico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . An lisis insumo-producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 6.3.1 Modelo para economa abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Modelo para economa cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Singularidad de la matriz de Leontief para el modelo de economa cerrada . . . . . . 6.3.4 Inversa de la matriz de Leontief para el modelo de economa abierta y m todo de e 6.3.4 aproximaci n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Programaci n lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 6.4.1 Enfoque geom trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.4.2 M todo simplex para el problema est ndar de programaci n lineal . . . . . . . . . . . . . e a o 6.4.3 Restricciones generales y m todo simplex de dos fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.4.4 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teora de juegos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Juegos estrictamente determinados y puntos silla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Estrategias y pagos esperados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Estrategias optimas y valor esperado para juegos matriciales con matriz de pagos 6.3.4 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.4 Estrategias optimas y valor esperado con programaci n lineal para juegos o 6.3.4 matriciales con matriz de pagos m n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.5 Filas y columnas recesivas o dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cadenas de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Optimizaci n de funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 6.8.1 Problemas fsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.2 C lculo diferencial en espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 6.8.3 C lculo diferencial para funcionales en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 6.8.4 Extremos locales de funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.5 Extremos locales y valores propios de la matriz hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.6 Condiciones necesarias para que cierto tipo de funcionales en espacios de 6.3.4 dimensi n innita alcancen valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 6.8.7 Din mica de un monopolista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 6.8.8 Eplogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .605 613 613 620 631 641 644 645 646 648 652 657 658 666 671 672 679 698 706 709 716 725 727 728 9. X CONTENIDOCAPTULO 7 Uso de tecnologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .761 La calculadora HP 50g y algebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.1 Teclado y sus funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.2 La pantalla y comandos de decisi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 17.1.3 Modos de operaci n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 17.1.4 C lculo simb lico vs num rico y almacenamiento de objetos algebraicos . . . . . . a o e 17.1.5 Escritura de vectores y matrices en la Hp 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.6 Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.7 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.8 Factorizaci n QR y ortogonalizaci n, factorizaci n LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. o o o 17.1.9 Forma escalonada y forma escalonada reducida con la HP 50g, sistemas lineales 7.1.10 M todos de Gauss y Gauss-Jordan paso a paso en forma autom tica con la e a 7.1.10 HP 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.11 Inversa de una matriz paso a paso de manera autom tica con la calculadora a 7.1.10 HP 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.12 M todos de Gauss y Gauss-Jordan con operaciones de rengl n ejecutadas por el e o 7.1.10 usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.13 Inversa de una matriz por el m todo de Gauss-Jordan con operaciones de rengl n e o 7.1.10 ejecutadas por el usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.14 Transformaciones lineales, n cleo e imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 7.1.15 Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.16 N meros complejos con la HP 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u M ATLAB y algebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2.1 Interacci n con M ATLAB y almacenamiento de informaci n . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 17.2.2 Escritura de matrices y operaciones b sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 17.2.3 Formatos y modo simb lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 17.2.4 Matrices especiales, informaci n b sica y edici n de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . o a o 17.2.5 Operaciones de rengl n con M ATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 17.2.6 Funciones programadas por el usuario, programaci n en M ATLAB y operaciones o 7.1.10 de rengl n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 17.2.7 Traza, determinante, rango, inversa y transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2.8 Forma escalonada reducida, soluci n de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 17.2.9 Valores y vectores propios, polinomio caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.10 Factorizaci n QR y factorizaci n LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o Excel, la herramienta Solver y programaci n lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 17.3.1 Activaci n de Solver en Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 17.3.2 La funci n SUMAPRODUCTO de Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 17.3.3 Resoluci n de problemas de programaci n lineal con Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . o o Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .761 761 763 764 765 766 768 771 772 7731 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 17.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 7.2 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 7.3 1.1 1.1 1.1 7.4CAPTULO 8 lgebra lineal numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8191 1 1 1 1 1 1 1 1 18.1 8.2 1.1 1.1 1.1 1.1 8.3 1.1 1.1 1.1819 822 822 827 829 838 848 848 862 877Aritm tica de la computadora y errores de redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e M todos directos para resolver sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 18.2.1 M todo de Gauss para sistemas lineales de orden n con sustituci n regresiva . . . e o 18.2.2 M todo de Gauss para hallar la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 18.2.3 Factorizaci n LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 18.2.4 Estrategias para pivotar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M todos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 18.3.1 La teora de punto jo y normas matriciales naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.2 M todo iterativo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 18.3.3 Planteamiento general para un m todo iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ePage (PS/TeX): 10 / 10, COMPOSITE774 775 775 777 779 780 780 781 781 783 785 786 789 790 797 798 800 802 803 803 805 806 813 10. CONTENIDO1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 18.3.4 M todo iterativo de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 8.3.5 M todo iterativo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 8.3.6 Series de Neumann y m todo iterativo para aproximar la inversa de una matriz . . e Transformaciones de Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Deniciones y transformaciones b sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 8.4.2 Factorizaci n QR de Householder y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 8.4.3 Reducci n de Householder-Hessenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 8.4.4 Rotaciones y reexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aproximaci n de valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 8.5.1 M todo de la potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 8.5.2 Deaci n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 8.5.3 Iteraci n inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 8.5.4 M todo QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 8.5.5 M todo QR con reducci n de Hessenberg y desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . e o 8.5.6 M todo de Jacobi para aproximar valores y vectores propios de matrices sim tricas e e Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .880 887 896 901 902 908 913 917 923 923 931 937 939 946 950 956A Conjuntos, demostraciones e induccin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 1 1 1 A 1 1 1 A1.1 1.1 1.1 8.4 1.1 1.1 1.1 1.1 8.5 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 8.6XI985A.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985 1.1 A.1.1 Conjuntos, elementos y subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985 1.1 A.1.2 Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988 1.1 A.1.3 Reuniones e intersecciones de familias de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992 A.2 Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993 1.1 A.2.1 El m todo deductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993 e 1.1 A.2.2 M todos de demostraci n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995 e o 1.1 A.2.3 Bicondicional y deniciones, lemas y corolarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999 A.3 Inducci n matem tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002 o aB Nmeros complejos, campos y espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011 B B B 1 1 B BB.1 N meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. u B.2 Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3 Polinomios sobre campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 B.3.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 B.3.2 Races y teorema fundamental del algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4 Espacios vectoriales sobre otros campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.5 Aplicaci n a la teora de detecci n y correcci n de errores en c digos . . . . . . . . . . . . . . . o o o o1011 1017 1021 1021 1025 1026 1030C Demostraciones que fueron diferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037 D Formas cannicas de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055 E Respuestas a ejercicios seleccionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073 Lista de smbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105 Alfabeto griego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108 Lista de aplicaciones adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109 Lista de programas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111 ndice analtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113Page (PS/TeX): 11 / 11, COMPOSITE 11. Page (PS/TeX): 12 / 12, COMPOSITE 12. Agradecimientos Deseo primeramente agradecer a Miguel Angel Toledo y a Ram n Ordu a, quienes me invitaron a reao n lizar este proyecto con McGraw-Hill, por el gran apoyo y paciencia que tuvieron desde el inicio hasta la culminaci n de la obra, sin ellos hubiera sido imposible terminarla. Este libro lo escrib en el procesador o A X y el trabajo editorial para su formaci n fue considerable; deseo de texto matem tico y cientco LTE a o dar las gracias a Marcela Rocha y a Pablo Roig por todo el esfuerzo que hicieron para que el proyecto pudiera editarse en ese formato y por toda la ayuda que me brindaron en el transcurso de su elaboraci n. o La mayora de la las guras las constru utilizando los programas LaTeXPiX, TeXCad, GNUPLOT, TeXCad32 o LaTeX-CAD; deseo dar cr dito y reconocimiento a los autores de estos paquetes de e distribuci n gratuita por la magnca tarea que han realizado en esas herramientas de dibujo en el o A ambiente LTEX, las cuales facilitaron enormemente el trabajo gr co en este libro. Tambi n quiero a e reconocer la excelente labor de maquetaci n por parte de Merc` Aicart Martnez. o e Las im genes 3D la m quina de la p gina 416 y los dep sitos interconectados de la gura a a a o 6-20, fueron dise adas por Ernesto Byas Lizardo y Ram n Nu ez Serrania. Todos los dibujos de n o n los circuitos el ctricos y los digrafos del captulo 6 los realizaron Miriam Del Valle y Samantha Del e Valle. Los planos en tres dimensiones de la gura 1-2 los construy Eli n Rodrguez Del Valle. Ernesto o e y Miriam hicieron la revisi n, en computadora, de las respuestas num ricas de muchos de los ejercicios o e propuestos y Miriam ley el texto en su totalidad para localizar erratas. Mi m s sincero agradecimiento o a a todos ellos por la desinteresada ayuda que me brindaron. Doy gracias a las autoridades del campus Estado de M xico, del Instituto Tecnol gico y de Estudios e o Superiores de Monterrey, por las facilidades que me dieron para la realizaci n de esta obra; y a Enrique o Ortiz, de HP Calculators Latin America, por el soporte otorgado para la realizaci n de la secci n 7.1. o o El doctor Francisco Delgado Cepeda, profesor del campus Estado de M xico, ley por completo el e o primer captulo; le agradezco mucho su colaboraci n y valiosos comentarios. o El doctor Fermn Acosta Magallanes, profesor del campus Estado de M xico y de la UPIITA del e IPN, sacric mucho de su tiempo al leer casi en su totalidad el libro. Sus comentarios, observaciones y o correcciones fueron de un enorme valor. Obviamente cualquier error t cnico en el texto es absolutamente e mi responsabilidad. El inter s constante que mantuvo Fermn en la realizaci n de esta obra fue un gran e o estmulo para su culminaci n y estar siempre agradecido con el. o e Cuando estaba escribiendo este trabajo, se presentaron algunos problemas serios en mi salud, y gracias a los cuidados y apoyo de mis hermanas Rosa Mara y Gabriela, mi hermano Manuel, mi cu ado n Jos Manuel Lara, mi doctora de cabecera Daniela Lara Del Valle, mis sobrinos Emmanuel Lara, Etzel e Rodrguez, Rosa Mara Lara, Noem Del Valle, Alejandro Urban, y mis hijas Samantha y Miriam, ahora estoy escribiendo estas ultimas lneas. Espero que ellos sepan que pueden contar siempre conmigo como yo cont con ellos. eXIIIPage (PS/TeX): 13 / 13, COMPOSITE 13. XIV AGRADECIMIENTOS Escribir un libro, especialmente uno como este, es una labor en la que hay gran sacricio no s lo o del autor, sino tambi n de los que son m s cercanos a el: su familia; en este caso mis hijas Samantha e a y Miriam. Su paciencia, amor y comprensi n fueron el principal incentivo para llegar al nal de este o proyecto. Finalmente quiero agradecer a Rub n Dario Santiago Acosta, director del Departamento de Mae tem ticas y Fsica del campus Estado de M xico, por su valiosa cooperaci n para la realizaci n de este a e o o libro. En la vida de todo ser humano existen periodos en que los avatares son m s intensos y frecuentes; a el lapso para realizar esta obra fue una de esas etapas para m. Rub n fue en todo momento un apoyo y, e aunque la suerte no siempre est de mi lado, soy muy afortunado por tener a un gran amigo como el. aPage (PS/TeX): 14 / 14, COMPOSITE 14. Prlogo Este libro tiene su germen en las notas del curso semestral de algebra lineal que he impartido a lo largo de varios a os en el Instituto Tecnol gico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de n o M xico, las cuales son el esqueleto de lo que ahora pretendo mostrar como un cuerpo ya con piel y e completo, que se desarroll gracias a la experiencia adquirida a trav s de todos esos a os. o e n El objetivo principal es presentar a detalle y profundidad los principales temas del algebra lineal, mostrando la utilidad de esta materia por medio de una gran variedad de aplicaciones a otros campos y a las propias matem ticas. Integrando la teora, la pr ctica, el uso de tecnologa y los m todos n mericos a a e u de esta disciplina. El libro est dise ado de tal manera que se puede usar para un curso de uno o dos semestres, depena n diendo de los programas de estudio de cada instituci n y de la profundidad con la que se desee tratar o cada tema. En el primer caso conviene cubrir las partes I y II, exceptuando los apartados 4.2, 5.3.3 y 5.3.4. Para el segundo caso, se recomiendan todos los temas de las partes I y II, las formas can nicas o de Jordan del ap ndice D y el material adicional que se incluye en el sitio web del libro. En ambas e modalidades se pueden incluir las secciones que se consideren adecuadas de la parte III, especialmente las aplicaciones del captulo 6. Como su nombre lo indica, Algebra lineal para estudiantes de ingeniera y ciencias est orientado a para ser utilizado tanto en escuelas de ingeniera como en escuelas de ciencias, ya sea a nivel licenciatura o posgrado. Los requisitos acad micos para la comprensi n del material son las matem ticas elementae o a les que se cubren a nivel medio superior ( lgebra, geometra analtica y c lculo diferencial e integral). a a La mayora de los estudiantes que toman un curso de algebra lineal, salvo los que cursan la ca rrera de matem ticas, se enfrentan por primera vez a una materia en la que se tienen que hacer dea mostraciones de teoremas y proposiciones matem ticas utilizando el m todo l gico-deductivo; es la a e o principal dicultad que entra a un curso de esta naturaleza para el lector profano en el campo del n rigor matem tico. Sin embargo, en algebra lineal la mayora de las demostraciones son constructia vas; es decir, la prueba de un teorema es en s un algoritmo para resolver una serie de importan tes problemas; lo cual representa una ventaja did ctica para poder iniciarse en el rigor l gico de las a o matem ticas. Aun tomando en consideraci n esa ventaja, aprender en qu consiste probar rigurosaa o e mente proposiciones matem ticas no es f cil. Para apoyar al estudiante en esta tarea, el ap ndice A.2 a a e contiene una breve introducci n al m todo deductivo y a los m todos de demostraci n en matem tio e e o a cas dise ada para que el lector pueda estudiarla por cuenta propia o con un poco de ayuda de n su profesor, a trav s de casos concretos y con un mnimo de conocimientos previos que segurae mente todo estudiante, a este nivel, posee. En estos tiempos, donde la credulidad y las pseudociencias son estimuladas medi ticamente como instrumentos de mercadotecnia para vender productos que a curan todos los males incluyendo los polticos y sociales, el escepticismo, como una cultu ra de lo que se arma se demuestra, debera ser cultivado por el Homo sapiens moderno y el alge bra lineal es una excelente oportunidad para iniciarse, al menos en la parte matem tica, en esa cultura. a XVPage (PS/TeX): 15 / 15, COMPOSITE 15. XVI PROLOGO He dividido el libro en tres partes que, desde mi punto de vista, conforman lo que es el algebra lineal. Las primeras dos contienen el n cleo te rico de la materia. La parte I matrices, sistemas lineales, deu o terminantes e inversas de matrices es la m s elemental y es la columna vertebral en la que se apoya el a resto del libro; mientras que la II espacios vectoriales, producto interior, normas, valores y vectores propios es el corpus de ese n cleo que incluye los temas m s relevantes del algebra lineal. Estos dos u a segmentos constituyen los primeros cinco captulos de la obra, y en ellos he intentado exponer el signi cado matem tico del algebra lineal. En la parte III que contiene los ultimos tres captulos del texto, a a trav s de diversas aplicaciones en el captulo 6, he tratado de hacer patente la utilidad pr ctica que e a tiene esta importante materia. Los c lculos num ricos en algebra lineal pueden llegar a ser muy coma e plejos aritm ticamente y tomar demasiado tiempo realizarlos; afortunadamente en esta epoca contamos e con tecnologa para apoyarnos en esta tarea. En el captulo 7, inclu el uso de la tecnologa en el algebra lineal, especcamente con M ATLAB y la calculadora HP 50g; y EXCEL, para programaci n lineal. Sin o embargo, una exposici n del algebra lineal que no muestra las dicultades inherentes que se presentan o al hacer c lculos num ricos en esta materia y c mo resolverlas matem ticamente, es incompleta. Por a e o a esta raz n, el captulo nal contiene una introducci n relativamente profunda de los principales m todos o o e num ricos que se utilizan en algebra lineal; con m s de 32 programas en M ATLAB de esos algoritmos e a para ser utilizados o modicados, en este u otro lenguaje, por el estudiante a su conveniencia. Al escribir esta obra intent tener siempre presentes los obst culos a los que se enfrentan la mayora e a de los estudiantes de algebra lineal, el principal es el alto nivel de abstracci n de la materia. Para soslayar o esta dicultad, el libro contiene m s de 200 guras con el prop sito de crear im genes que puedan a o a ayudar al lector a visualizar fsica y geom tricamente entes abstractos y convertirlos en conceptos m s e a concretos. Adem s, a lo largo de sus 8 captulos y 5 ap ndices, inclu m s de 450 ejemplos para apoyarlo a e a a comprender la materia. Sin embargo, pens que esto no era suciente, pues el estudiante necesita e ver c mo se resuelven ejercicios en algebra lineal, sobre todo aquellos que tienen contenidos altos de o abstracci n; por esta raz n incorpor , en la ultima secci n de cada uno de los primeros cinco captulos o o e o que conforman el n cleo principal del libro un grupo de ejercicios resueltos con detalle; en total u forman un conjunto de m s de 230 ejercicios de c lculos directos, demostraciones, etc., que junto con a a los ejemplos del texto suman un total de m s de 680 problemas completamente resueltos que el lector a puede consultar seg n lo necesite. Naturalmente, no basta con ver, se necesita hacer y, para ello, u el libro contiene al nal de cada captulo una secci n de ejercicios propuestos al estudiante con o respuestas a los ejercicios seleccionados en el ap ndice E para que practique a discreci n o de acuerdo e o con las instrucciones de su profesor; en total el libro cuenta con m s de 2300 ejercicios propuestos. a Con el prop sito de no interrumpir la exposici n de la teora en el texto y para facilitar su consulta, o o coloqu aparte, en el captulo 6, las aplicaciones. Al principio de cada una de ellas se hacen explcitos e los requisitos del material del texto y de otras disciplinas que se necesitan para su estudio. El nivel de las aplicaciones aumenta gradualmente desde el muy elemental hasta un nivel que demanda mucho m s esfuerzo para su comprensi n; sin embargo, confo que la utilidad nal que el estudiante encuentre a o en ellas bien valdr la pena el tiempo invertido para su estudio. De hecho, este captulo se puede abordar a inmediatamente despu s de que se cumplan los requisitos que se ala la aplicaci n correspondiente; por e n o ejemplo, las aplicaciones de las secciones 6.1, 6.2, 6.4, 6.5 y 6.6, se pueden tratar en seguida que se ha cubierto el material de matrices y sistemas lineales (o en forma simult nea). Sin embargo, en el a texto hay algunas aplicaciones que en realidad est n concatenadas a la teora por ejemplo, el tema de a aproximaci n optima en espacios normados, o la interesante teora de detecci n y correcci n de errores o o o en c digos binarios que est al nal del ap ndice B, esas no las inclu en el captulo 6 y se encuentran o a e dispersas a lo largo del libro; en la p gina 1109 hay una lista de ellas con referencias al lugar donde se aPage (PS/TeX): 16 / 16, COMPOSITE 16. PROLOGOXVIIlocalizan en el texto. Una funci n semejante cumple el listado de la p gina 1110, que es una descripci n o a o de los principales programas en M ATLAB que contiene el libro y se ala su ubicaci n. n o Adem s, esta obra cuenta con una p gina donde el estudiante tendr acceso a diversos recursos: a a a www.mhhe.com/uni/delvalleag1e. Espero que Algebra lineal para estudiantes de ingeniera y ciencias cumpla con los prop sitos para o los que fue creado, sirva de apoyo a la labor docente de los profesores que trabajan educando en esta materia y que vosotros, estudiantes, encuentren en el no s lo d nde aprender algebra lineal, sino que o o tambi n disfruten de ese proceso como yo lo hice al escribir cada una de las lneas de este libro (tambi n e e sufr, ojal ustedes no). a M xico D.F., primavera de 2011 e J UAN C ARLOS D EL VALLE S OTELOPage (PS/TeX): 17 / 17, COMPOSITE 17. Page (PS/TeX): 18 / 18, COMPOSITE 18. I Matrices, sistemas y determinantesPage (PS/TeX): 1 / 1, COMPOSITE 19. Page (PS/TeX): 2 / 2, COMPOSITE 20. 1Matrices y sistemas lineales En este captulo se introducen los conceptos b sicos que se requieren para estudiar algebra lineal. Co a menzamos en la primera secci n con el tema fundamental de matrices. Las matrices se crearon para o operar ciertos arreglos num ricos que aparecen tanto en aplicaciones como en las propias matem tie a cas. Continuamos en la segunda secci n con el estudio general de sistemas de ecuaciones lineales. Los o sistemas de ecuaciones lineales tienen una gran variedad de aplicaciones en ciencias e ingeniera y se guramente el lector ya tuvo alg n contacto con ellos en forma elemental en secundaria y bachillerato; u aqu nos abocamos a un estudio general y profundo de este importante tema. La tercera secci n con o tiene un compendio de ejercicios resueltos de las dos secciones precedentes para que el lector consulte el mayor n mero de ejemplos resueltos y un conjunto de ejercicios propuestos para que los resuelva el u estudiante.1.1 Matrices 1.1.1 Deniciones y ejemplos Denici n 1.1 Una matriz A es un arreglo de o reales: a11 a21 A= . . . am1m-renglones o las y n-columnas de m n n meros u a12 a1n a22 a2n . . .. . . . . . am2 amn . Se dice entonces que A es una matriz de tama o m n y simb licamente se escribe n o A = [ai j ] , u i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n. Esto es, ai j representa el n mero que se encuentra en la la i y en la columna j. A los elementos ai j se les llaman las componentes (entradas) de la matriz A. Nota 1.1 1. Los par ntesis rectangulares se pueden suplir por par ntesis circulares en notaciones matriciales. e e En este libro emplearemos par ntesis rectangulares. e 3Page (PS/TeX): 3 / 3, COMPOSITE 21. 4 CAPITULO 1Matrices y sistemas lineales2. En el caso particular de que una matriz tenga tama o 1 1 escribiremos simplemente a en lugar n de [a]; es decir, identicaremos toda matriz [a] con el n mero real a. u Ejemplo 1.1 Si A=2 3 5 4 2 1,A es una matriz 2 3 y, para este caso, a11 = 2, a12 = 3, a13 = 5, a21 = 4, a22 = 2, a23 = 1. Nota 1.2 Al conjunto de matrices de tama o m n lo denotaremos, en este libro, por Mmn . nDenici n 1.2 Dos matrices A = [ai j ], B = [bi j ] son iguales (A = B) si y s lo si: o o A y B tienen el mismo tama o y n ai j = bi j i , j.Ejemplo 1.2 De acuerdo con la denici n precedente o1 3 9 5 7 2Ejemplo 1.3 Determinar el valor de a para que las matrices A = sean iguales.=1 3 9 5 6 2a 1 1 2a.yB=2 1 1 4 Solucion Dado que ambas matrices tienen el mismo tama o ellas ser n iguales si y s lo si coinciden n a o componente a componente; para lo cual es suciente que a = 2 y 2a = 4; esto es, para a = 2.Ejemplo 1.4 Resolver el ejemplo anterior si A =a 0 3 3ayB=1 0 3 4.Para que las matrices sean iguales se requiere, en este caso, que a = 1 y 3a = 4, luego se debe tener simult neamente a = 1 y a = 4/3; lo cual es imposible. Por tanto A = B para cualquier valor a de a. Solucion1.1.2 Operaciones con matrices 1. Multiplicaci n de un escalar1 con una matriz. Si R y A = [ai j ] Mmn se dene A = o [ai j ]. Es decir, el resultado de multiplicar una matriz con un escalar es la matriz que tiene como componentes cada una de las entradas de la matriz original multiplicada por dicho escalar. 2. Suma de matrices. Si A , B Mmn , A = [ai j ], B = [bi j ]; se dene la suma de A con B como A + B = [ci j ], con ci j = ai j + bi j i , j. As, la suma de dos matrices s lo se puede realizar cuando o estas tienen el mismo tama o y el resultado es tambi n una matriz m n. n e 1 1Diremos que todo n mero real es un escalar. uPage (PS/TeX): 4 / 4, COMPOSITE 22. SECCION 1.1Matrices 53. Multiplicaci n de una matriz la por matriz columna.2 o a11a12a1n b11 b21 bn1 = a11 b11 + a12 b21 + a1n bn1 . De acuerdo con esta denici n, el producto de una matriz la con una matriz columna s lo se pueo o de llevar a cabo cuando la primera tiene tama o 1 n y la segunda n 1 (las dos tienen el mismo n n mero de componentes) y el resultado de la operaci n ser una matriz 1 1 (un n mero real). u o a u 4. Producto de una matriz m n con una matriz n p. Si A = [ai j ] Mmn y B = [bi j ] Mnp , el producto de A con B se dene como AB = [ci j ] donde ci j =n aik bk j ,k=1para i = 1, 2, . . . , m y j = 1, 2, . . . , p. Es decir, la componente ci j del producto AB es el resultado de multiplicar la i- sima la de A con la j- sima columna de B. Adem s, para poder efectuar el e e a producto, la primera matriz debe tener el mismo n mero de columnas que de las la segunda y la u matriz AB tiene entonces tama o m p. En forma equivalente, si Fi , i = 1, . . . , m, son las las de A n y C j , j = 1, . . . , p, son las columnas de B, entonces Ejemplo 1.5 Hola 1 0 1 1 2 2 4 2 4 0 Si A =2 4 5 21 0 24 .. .F1Cp F1Cp . . .F2C2FmCp (1.1) 2 2 0 2 2 2 3 = 2 2 4 2 2 32 5 0 5 2 2 4 2 1 0y F1C2 F2C2 . . .FmC1 AB = F1C1 F2C1 . . .5 2 1 0 0 4B=4 15 2 0 1, entonces A + B =6 49 21 1. = (1)(2) + (0)(1) + (2)(0) + (4)(0) + (5)(4) = 22.Note que en este caso la matriz la tiene tama o 1 5 y la columna 5 1 (las dos tienen el mismo n n mero de componentes). u 2 1Una matriz la es una matriz que tiene solamente un rengl n y una matriz columna es una matriz que tiene una sola columna o (cfr. inciso 3 de la p g. 8). aPage (PS/TeX): 5 / 5, COMPOSITE 23. 6 CAPITULO 1Matrices y sistemas linealesEjemplo 1.6 Si A=1 2 0 24 1y1 B= 0 1 2 4 5 1 0 2 , 0 0 1A M23 , B M34 ; el producto AB est denido (el n mero de columnas de A es igual al n mero de a u u las de B, en este caso 3) y el producto AB ser una matriz 2 4, dos las y cuatro columnas (tantas las a como A y tantas columnas como B). Para obtener las componentes ci j de las las de la matriz producto AB procedemos de la manera siguiente. La primera la de AB: Los elementos de la primera la de AB se obtienen multiplicando, sucesivamente, la primera la de A con la primera, segunda, tercera y cuarta columas de B: 1 0 = 5, 1 2 1 = 4, 0 4 0 = 4, 0 5 2 = 5. 1 c11 =12 4c12 =12 4c13 =12 4c14 =12 4La segunda la de AB: Los elementos de la segunda la de AB se obtienen multiplicando, sucesivamente, la segunda la de A con la primera, segunda, tercera y cuarta columas de B: 1 0 = 1, 1 2 1 = 2, 0 4 0 = 0, 0 5 2 = 5. 1 c21 =021c22 =021c23 =021c24 =021Luego,AB =Page (PS/TeX): 6 / 6, COMPOSITE5 14 24 5 0 5. 24. SECCION 1.1Matrices 7En realidad, la notaci n matricial est dise ada para ejecutar mec nica y mentalmente los c lculos o a n a a cuando el tama o de las matrices no es muy grande; por eso el lector debe procurar, en la medida de n lo posible, aprovechar esta ventaja para efectuar las operaciones de esta manera. De hecho, a partir de aqu, el lector ya no encontrar un producto de matrices realizado con el detalle con el que se hizo en el a ejemplo precedente; pues utilizaremos sistem ticamente (1.1) para producto de matrices y haremos los a c lculos sin hacer explcitas las operaciones. a Ejemplo 1.7 1 2 3 0 1 1 0 1 1 1 = 1 1 1 0 1 2 2 0F1C1 F1C2 F2C1 F2C2 F3C1 F3C2 0 2 1 0 3 = 1 2 5 5 F1C3 F2C3 F3C3 .1.1.3 Matrices especiales 1. Matriz cero. La matriz cero de tama o m n se dene como aquella que tiene las m n compon nentes nulas; esto es, O = [ai j ] donde ai j = 0 i , j. As, por ejemplo, O=0 0 0 0 0 0es la matriz cero 2 3. 2. Matriz identidad n n: In = 1 0 . . . 00 1 . .. . . . 0 0 0 . . . 1es decir, In = [ai j ], donde ai j =1, si i = j; 0, si i = j.As, por ejemplo, 1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1 es la matriz identidad 3 3.Page (PS/TeX): 7 / 7, COMPOSITE ; 25. 8 CAPITULO 1Matrices y sistemas lineales3. Como mencionamos en el inciso 3 de la subsecci n 1.1.2, a las matrices que tienen s lo una la o o o s lo una columna les llamaremos, respectivamente, matrices la y matrices columna. Adem s, o a en este libro utilizaremos una notaci n especial en el caso de las matrices columna (cuando tengan o m s de un elemento) an loga a la notaci n vectorial a a o b= a11 a21 . . . . an1 La raz n de esta notaci n se ver m s adelante cuando se estudie el espacio vectorial Rn en el o o a a captulo 3. A las matrices de tama o n n les llamaremos matrices cuadradas de orden n y al conjunto forn mado por estas lo denotaremos por Mn . Si A = [ai j ] es una matriz cuadrada de orden n se dice que los elementos a11 , a22 , a33 ,..., ann forman o est n en la diagonal de la matriz A. Y si A = [ai j ] Mmn , a diremos que los elementos ai j con i = j forman la diagonal principal de la matriz A. Ejemplo 1.8 Si 1 7 M= 3 1 5 0 2 3 1 1 0 4 2 5 9 7entonces m11 = 1, m22 = 3, m33 = 4, m44 = 7 son los elementos de la diagonal de la matriz cuadrada M. Denici n 1.3 Una matriz cuadrada A de orden n es triangular superior si las componentes que o est n por debajo de la diagonal son todas nulas. La matriz es triangular inferior si las componentes a que est n por arriba de la diagonal son todas iguales a cero. aEjemplo 1.9 Si 1 0 A= 0 0 5 0 2 3 1 1 0 4 2 0 0 7y1 5 B= 2 60 3 0 00 0 4 4 0 0 , 0 0entonces A es una matriz triangular superior y B es una matriz triangular inferior. Denici n 1.4 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A es una matriz diagonal si todas o las componentes fuera de su diagonal son nulas. Si aii = i , i = 1, 2, . . . , n, son las componentes de la diagonal de esta matriz se escribe A = diag(1 , 2 , . . . , n ) para representar a la matriz diagonal A.Page (PS/TeX): 8 / 8, COMPOSITE 26. SECCION 1.1Matrices 9 4 0 0 Ejemplo 1.10 La matriz cuadrada 0 3 0 es diagonal. Esto es, 0 0 8 A = diag(4, 3, 8).Denici n 1.5 Si A = [ai j ] Mmn se dene la matriz transpuesta de A como At = [bi j ], donde o bi j = a ji para i = 1, 2, ..., n y j = 1, 2, ..., m. De la denici n 1.5 se desprende que At tiene tama o n m y que en la matriz transpuesta la primera o n columna es la primera la de A, la segunda columna es la segunda la de A, etc tera. e Denici n 1.6 Una matriz A es sim trica cuando At = A. o e La denici n 1.6 entra a que una matriz sim trica es necesariamente cuadrada; pues si A Mmn y o n e A es sim trica, entonces A = At Mnm , de donde m = n; ya que dos matrices que son iguales deben e tener el mismo tama o. n Ejemplo 1.11 Si A=1 2 3 4 , 5 6 7 8 1 2 At = 3 4 5 6 . 7 8Ejemplo 1.12 La matriz A=1 22 3es sim trica pues claramente A = At . e1.1.4 Propiedades de las operaciones A continuaci n enunciamos las principales propiedades de las operaciones con matrices, las cuales son, o en general, f ciles de probar y su comprobaci n se deja como ejercicio al lector. a o 1. Si A , B ,C Mmn y , R: (a) A + B Mmn . (b) A + (B +C) = (A + B) +C.Page (PS/TeX): 9 / 9, COMPOSITE 27. 10 CAPITULO 1Matrices y sistemas lineales(c) A + B = B + A. (d) A + O = A, donde O es la matriz cero m n. (e) Existe una matriz A Mmn tal que A + (A) = O. De hecho, si A = [ai j ], A = [ai j ]. (f) A Mmn . (g) (A) = ()A. (h) ( + )A = A + A. (i) (A + B) = A + B. (j)3 1A = A. 2. (a) Si A, B, C son matrices tales que los productos A(BC) y (AB)C est n denidos, entonces a A(BC) = (AB)C. (b) Si AB est denido se tiene: (AB) = (A)B = A(B). a (c) Si A Mmn , AIn = Im A = A. (d) En general AB = BA. (e) Si A Mmn y B,C Mnp , entonces A(B +C) = AB + AC. 3. (a) Si A y B son matrices del mismo tama o (A + B)t = At + B t . n (b) Si A, B son matrices tales que el producto AB est denido, entonces (AB)t = B t At . a (c) (At )t = A A Mmn . Es conveniente que el lector tenga siempre presente la propiedad 2(d); es decir, la no conmutatividad del producto de matrices. Pues es claro que en principio el hecho de que el producto AB est denido, e no garantiza que ni siquiera el producto BA est denido; por ejemplo, si A es una matriz 2 3 y B es e una matriz 3 4, el producto AB est denido y el producto BA no. M s a n, aunque los productos AB a a u y BA est n denidos estos, en general, ser n distintos como ilustramos en el siguiente ejemplo. e a Ejemplo 1.13 1 1 3 2 1 0 2 41 0 2 4 1 1 3 23 4 7 8==1 1 14 10,;esto es, 1 1 3 21 0 2 4=1 0 2 41 1 3 2Finalizamos este apartado con las demostraciones, en los siguientes dos ejemplos, de un par de propiedades simples del producto de matrices que ser n utilizadas m s adelante. a a 3 1M s adelante, en el tema de espacios vectoriales, se ver la importancia de esta aparentemente inocua propiedad. a aPage (PS/TeX): 10 / 10, COMPOSITE 28. SECCION 1.1 Ejemplo 1.14 Sean A = [ai j ] Mmn y C = [bi j ] Mnp . Si ck = b1k b2k . . .Matrices 11 es la columna k de C y bnk dk es la columna k de AC, k = 1, 2, . . . , p, demostrar que dk = Ack Esto es, DEMOSTRACIONAC =Ac2Ac1k. Ac p(1.2)Sean i j las componentes del producto AC, entonces, para cada k = 1, 2, . . . , p, 1k 2k dk = . ; . . mk peroai1 ai2 ainik = b1k b2k . . . bnk=n ai j b jk ; j=1por tanto, n a1 j b jk j=1 n a b 2 j jk dk = j=1 . . . n am j b jk . (1.3)j=1Por otra parte, a11 a12 a1n b1k a21 a22 a2n b2k Ack = . . .. . . . . . . . . . . . am1 am2 amn bnk n a1 j b jk j=1 n a b 2 j jk . = j=1 . . . n am j b jk j=1De (1.3) y (1.4) se tiene Ack = dk k.Page (PS/TeX): 11 / 11, COMPOSITE(1.4) 29. 12 CAPITULO 1Matrices y sistemas lineales Ejemplo 1.15 Supongamos ahora que A = [ai j ] Mmn y c = x1 x2 . . . , entonces, xn x1 a11 a21 . . . + x2 am1a12 a22 . . . + + xn am2a1n a2n . . .amna12 a22 . . . .. .a1n a2n . . .am1 = a11 a21 . . .am2amn x1 x2 . . . . (1.5)xnEn efecto: a11 a21 x1 . . . am1a12 a22 + x2 . . . am2 x1 a11 x2 a12 xn a1n x1 a21 x2 a22 xn a2n = . + . ++ . . . . . . . amn x1 am1 x2 am2 xn amna1n a2n + + xn . . . = a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn . . . am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = Ac. 1.1.5 Matrices con numeros complejos En este apartado se introduce, por primera vez en este libro, el uso de n meros complejos en algebra u lineal; especcamente en el tema de matrices con componentes complejas. El apendice B contiene un breve estudio de este importante campo num rico y de sus principales propiedades, y el lector que e no est habituado a trabajar con n meros complejos, o necesite repasar este tema, debera consultar la e u secci n B.1 de este ap ndice cuanto antes. A lo largo de este texto se incluyen apartados que contienen el o e uso de n meros complejos en temas que ya se han tratado con n meros reales. En general, la transici n u u o en cada caso ser muy sencilla, pues una vez que se dominan los temas de algebra lineal con n meros a u reales los cambios para tratar estos con n meros complejos son mnimos y, en realidad, las dicultades u tienen que ver m s con la familiaridad que tenga el lector con el uso de n meros complejos que con a u aspectos aridos de generalizaci n. De hecho, el uso de este campo num rico en algebra lineal se va o e haciendo cada vez m s necesario en la medida que se avanza en la materia, tanto en la teora como en a las aplicaciones. Se han incluido este tipo de subsecciones para ir acostumbrando al lector al uso de los n meros complejos en algebra lineal. Obviamente, el lector que no desee en este momento abordar estos u temas puede omitirlos y regresar a ellos cuando lo juzgue pertinente. Recordemos (cfr. ap ndice B) que los n meros complejos tienen la forma e u a + biPage (PS/TeX): 12 / 12, COMPOSITE 30. SECCION 1.1Matrices 13donde a, b son n meros reales e i es la unidad imaginaria. Al conjunto de estos n meros se les representa u u por C y este campo incluye de manera natural a los n meros reales mediante la identicaci n del n mero u o u real a con el n mero complejo a + 0i. Estos n meros se operan algebraicamente de manera an loga a u u a los n meros reales, utilizando todas las propiedades de estos y conviniendo en que la unidad imaginaria u en este sistema satisface4 i2 = 1. De esta manera, operar algebraicamente matrices con componentes complejas es un proceso com pletamente an logo al que se utiliza cuando estas tienen entradas que son n meros reales. Es decir, se a u suman, restan, multiplican, etc., en la misma forma que las matrices reales, pero operando sus componentes con las reglas algebraicas de los n meros complejos. Al conjunto de matrices de tama o u n m n con componentes complejas lo denotaremos por Mmn (C). Todas las propiedades acerca de matrices con componentes reales que vimos en esta secci n siguen siendo v lidas para las matrices con o a entradas complejas. Ejemplo 1.16 Sean A, B M23 (C) las matrices denidas por A=1 2i 3 5i4i 4 + 6i2 9iyB=3 7i 5i5 4i 2 9i 7 6i 1 + iEntonces A+B =1.=3 7i 5 4i 2 9i 1 2i 4i 2 + 5i 7 6i 1 + i 3 5i 4 + 6i 9i 4 9i 5 8i 4 9i . 3 11 1 8i 1 2i 4i 2 3 5i 4 + 6i 9i5A = 52.5 10i 20i 10 . 15 25i 20 + 30i 45i=(3 + 2i)B = (3 + 2i)3.=1 2i 4i 2 3 5i 4 + 6i 9i7 4i 8 12i 6 + 4i . 19 9i 26i 18 27iAqu hemos realizado las operaciones (3 + 2i)(1 2i) = 3 6i + 2i 4i2 = 3 4i 4(1) = 3 4i + 4 = 7 4i,4 1En la secci n B.1 del ap ndice B se hace un estudio m s detallado y formal de los n meros complejos. o e a uPage (PS/TeX): 13 / 13, COMPOSITE. 31. 14 CAPITULO 1Matrices y sistemas linealespara obtener la componente c11 de (3 + 2i)B; (3 + 2i)(4i) = 12i 8i2 = 12i 8(1) = 8 12i, para obtener la componente c12 de (3 + 2i)B; etc tera. e Ejemplo 1.17 Sean A=1+i i2 2 3iyB=i 2i3 1i2 + 5i 0,entonces AB =1+i 2 i 2 3ii 3 2 + 5i 2i 1 i 0=(1 + i)(i) + 2(2i) (1 + i)(3) + 2(1 i) (1 + i)(2 + 5i) + 2(0) (i)(i) + (2 3i)(2i) (i)(3) + (2 3i)(1 i) (i)(2 + 5i) + (2 3i)(0)=1 + 3i 5 + i 3 + 7i . 5 + 4i 1 8i 5 2i1.2 Sistemas lineales y xy = 1x x+y = 3Page (PS/TeX): 14 / 14, COMPOSITESeguramente el lector est familiarizado, por cursos a m s elementales, con sistemas simult neos de dos o a a tres ecuaciones lineales con dos o tres inc gnitas. Se o les llama sistemas lineales porque, para el caso de dos inc gnitas, digamos x, y, las ecuaciones tienen la foro ma ax +by = c, cuyos lugares geom tricos correspone den a lneas rectas en el plano. Cuando se resuelve un sistema lineal de dos ecuaciones con dos inc gnio tas, se busca el punto de intersecci n de dos lneas o rectas (si es que estas no son paralelas). Aqu estu diaremos sistemas lineales generales de m ecuaciones con n inc gnitas siendo m y n cualquier par de o n meros enteros no negativos. Los sistemas lineales u tienen una gran variedad de aplicaciones en ingeniera y ciencias; veremos algunas de estas aplicaciones en el captulo seis. 32. SECCION 1.2Sistemas lineales 151.2.1 Deniciones, soluciones y forma matricial de sistemas lineales Denici n 1.7 Un sistema de m-ecuaciones con n-inc gnitas que tiene la forma o o a11 x1 a21 x1 am1 x1+ + ++ + + a12 x2 a22 x2 am2 x2+ + +a1n xn a2n xn amn xn= = =b1 b2 bm(1.6)donde los ai j , bi R, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n, est n dados, es lineal. Una soluci n de este a o sistema de ecuaciones es una n-ada ordenada (1 , 2 , . . . , n ) de n meros reales, tales que al hacer u las sustituciones x1 = 1 x2 = 2 . . . xn = n en cada una de las m-ecuaciones las convierte en identidades.Ejemplo 1.18 El sistema de dos ecuaciones con tres inc gnitas o 2x1 3x2 x3 = 4(1.7)x1 + x2 + x3 = 3(1.8)es lineal y (1, 2, 4) es una soluci n del mismo. En efecto, al sustituir x1 = 1, x2 = 2 y x3 = 4 en o la primera ecuaci n (1.7) se tiene o 2(1) 3(2) (4) = 4 y al hacer las mismas sustituciones en la segunda ecuaci n (1.8), o (1) + (2) + (4) = 3. Ejemplo 1.19 El sistema de dos ecuaciones con dos inc gnitas o 2 x1 3x2 = 1 1/2x1+ x2 = no es lineal (por qu ?). e Si se tiene el sistema lineal (1.6) aPage (PS/TeX): 15 / 15, COMPOSITEa12 a22 . . . .. .a1n a2n . . .am1 A= a11 a21 . . .am2amn 33. 16 CAPITULO 1Matrices y sistemas linealesse le llama la matriz de coecientes del sistema. En tal caso, si ponemos x= x1 x2 xn yb= b1 b2 bm , entonces el sistema lineal se puede escribir en forma matricial como Ax = b , pues al hacer el producto se obtiene a11 x1 a21 x1 am1 x1+ + +a12 x2 a22 x2 am2 x2+ + + + + +a1n xn a2n xn amn xn = b1 b2 bm que equivale, por denici n de igualdad de matrices, al sistema (1.6). o Ejemplo 1.20 Para el sistema 3 3 x1 2x1 3x1+ + +x2 4x2 6x2+ 2x3 3x3 5x3= = =9 1 0la matriz de coecientes es 1 1 2 A = 2 4 3 3 6 5 y la ecuaci n matricial correspondiente es o x1 1 1 2 9 2 4 3 x2 = 1 . 3 6 5 0 x3 Denici n 1.8 El sistema m n Ax = b es: o Consistente: si tiene al menos una soluci n. o Inconsistente: si no tiene soluciones.En la gura 1-1 se ilustran los lugares geom tricos de cuatro sistemas lineales en el plano: con soluci n e o unica (a), inconsistentes (b) y (c) y con una innidad de soluciones (d).Page (PS/TeX): 16 / 16, COMPOSITE 34. SECCION 1.2(a)(b)(c)Sistemas lineales 17(d)Figura 1-1 (a) dos lneas que se intersecan en un solo punto, (b) dos lneas paralelas que no se intersecan, (c) tres lneas que no se intersecan simult neamente y (d) dos lneas que coinciden. a De manera an loga, una ecuaci n lineal con tres inc gnitas, ax + by + cz = d, corresponde al lua o o gar geom trico de puntos que est n en un plano en el espacio tridimensional. Tambi n en este caso, e a e cuando se resuelven sistemas lineales con tres inc gnitas, se buscan intersecciones de los correspono dientes planos. Nuevamente los planos pueden no intersecarse, intersecarse en una innidad de puntos o intersecarse en un unico punto. La gura 1-2 ilustra estas posibilidades. Figura 1-2 Planos que se intersecan, respectivamente, en una lnea recta, en un unico punto y que no tienen intersecci n simult nea. o aDenici n 1.9 Dos sistemas lineales del mismo tama o, Ax = b, Hx = c, son equivalentes si tienen o n el mismo conjunto de soluciones.En el siguiente ejemplo resolveremos un sistema lineal de manera an loga a como el lector, segua ramente, ya lo ha hecho en cursos de bachillerato; sin embargo, lo haremos con un m todo que introe ducir el importante algoritmo de Gauss; el cual consiste, esencialmente, en ir haciendo pivotes para a eliminar variables (inc gnitas) y obtener un sistema equivalente en forma escalonada y nalmente o resolverlo por sustituci n regresiva. oPage (PS/TeX): 17 / 17, COMPOSITE 35. 18 CAPITULO 1Matrices y sistemas linealesEjemplo 1.21 Resolvamos el sistema lineal x1 + x2 + 2x3 = 9(1.9)2x1 + 4x2 3x3 = 1(1.10)3x1 + 6x2 5x3 = 0(1.11)Para ello, con la ecuaci n (1.9), eliminemos la variable x1 de las ecuaciones (1.10) y (1.11) multio 5 plicando (1.9) por 2 y sumando con (1.10); luego multiplicando (1.9) por 3 y sumando con (1.11); obteniendo el sistema equivalente: x1 + x2 + 2x3 = 19 2x2 7x3 = 17(1.12)3x2 11x3 = 27(1.13)De manera an loga, multiplicando (1.12) por 3, (1.13) por 2 y sumando los resultados, habremos a hecho un pivote con la variable x2 de la ecuaci n (1.12) para eliminar la variable x2 de la ecuaci n o o (1.13), produciendo el sistema equivalente escalonado x1+x2 2x2+ x3 7x3 x3= = =9 17 27Finalmente, haciendo sustituci n regresiva, es decir, despejando y sustituyendo variables de este o ultimo sistema de abajo hacia arriba, tenemos x3 = 3; 17 + 7(x3 ) x2 = 2 17 + 7(3) = 2 = 2; x1 = 9 x2 2x3 = 9 (2) 2(3) = 1. As, el sistema es consistente con soluci n unica o 1 x=2. 3 Podemos sintetizar el m todo del ejemplo precedente de la siguiente manera. Denotemos por Ri e la i- sima ecuaci n de un sistema lineal; la notaci n Ri Ri + R j signica que la ecuaci n Ri se e o o o sustituye por la ecuaci n que se obtiene de sumar veces la ecuaci n Ri con veces la ecuaci n R j . o o o Las operaciones algebraicas que hicimos en el ejemplo anterior se resumen en el siguiente esquema. 5 1Cuando se multiplica una ecuaci n por un n mero, signica que ambos lados de la igualdad en dicha ecuaci n se multiplican o u o por ese n mero; y cuando se suman dos ecuaciones, quiere decir que se suman miembro a miembro los correspondientes lados de u la igualdad.Page (PS/TeX): 18 / 18, COMPOSITE 36. SECCION 1.2Sistemas lineales 19x1 + x2 + 2x3 = 9 x1 + x2 + 2x3 = 9 2x1 + 4x2 3x3 = 1 2R1 R2 2x2 7x3 = 17 R2 + 3x1 + 6x2 5x3 = 0 R3 3R1 + R3 3x2 11x3 = 27 x1 + x2 + 2x3 = 9 2x2 7x3 = 17 x3 = 3 R3 3R2 + 2R3En cada paso del proceso anterior se obtiene un sistema equivalente; es decir, con las mismas solu ciones pero m s sencillo, hasta que el ultimo sistema equivalente est escalonado y se puede resolver a a haciendo sustituci n regresiva. o Es claro que en el ejemplo 1.21 y en la discusi n anterior s lo se trabaj con los coecientes, y que o o o de las variables x1 , x2 y x3 unicamente se utiliza la posici n que tienen en el arreglo. Se ve entonces o que para resolver un sistema lineal Ax = b, basta trabajar con la matriz de coecientes A y el t rmino e independiente b.6 Para ello, a continuaci n damos el siguiente concepto. o Denici n 1.10 Para el sistema lineal o a11 x1 a21 x1 am1 x1+ + +a12 x2 a22 x2 am2 x2o, en forma matricial, Ax = b con x= x1 x2 xn+ + + a1n xn a2n xn amn xn y + + + b= b1 b2 bm= = =b1 b2 bm , se dene la matriz aumentada (tambi n se le llama matriz ampliada) del mismo como e [A|b] = a11 a21 am1a12 a22 am2 a1n a2n amnb1 b2 bm El lado izquierdo en la partici n [ A | b ] contiene la matriz de coecientes [ai j ] y el lado derecho cono tiene los t rminos independientes bi del sistema lineal. La denici n anterior provee una notaci n muy e o o simple para evitar, en un sistema lineal, escribir las variables y unicamente trabajar con los coecientes. La primera la de la matriz ampliada equivale a la ecuaci n a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 , la segunda o6 1Llamaremos t rmino independiente en un sistema lineal Ax = b, a la matriz columna b y t rminos independientes del mismo e e sistema a las respectivas componentes de este vector.Page (PS/TeX): 19 / 19, COMPOSITE 37. 20 CAPITULO 1Matrices y sistemas lineales la equivale a la ecuaci n a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 , etc., y la ultima la equivale a la ecuaci n o o am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm . La lnea vertical en la partici n [ A | b ] unicamente sirve para hacer o notoria la columna que contiene los t rminos independientes bi del sistema lineal; y de hecho se puede e omitir, si as se desea, cuando se conviene en que la ultima columna de la matriz aumentada contenga el t rmino independiente b del sistema. e Resolveremos ahora, en el siguiente ejercicio, el ejemplo 1.21 utilizando la matriz aumentada. Ejemplo 1.22 Para este caso, haciendo las mismas operaciones que en la discusi n posterior al ejemo plo 1.21, pero esta vez a los renglones de la matriz ampliada se tiene: 1 1 2 2 4 3 3 6 5 9 1 01 1 0 2 0 3 1 1 0 2 0 0 R2 2R1 + R2 R3 3R1 + R3 R3 3R2 + 2R3 9 17 27 9 17 32 7 11 2 7 1y, al hacer sustituci n regresiva como se hizo en ese ejemplo (cfr. p g. 18), o a x1 1 x2 = 2 . 3 x3 Hasta aqu, aunque se ha utilizado en forma intuitiva el signicado de sistema escalonado, no se ha precisado con exactitud. En la siguiente subsecci n nos abocamos a ello. o1.2.2 Matrices escalonadas y sistemas escalonados Denici n 1.11 La matriz A Mmn est en forma escalonada si se cumplen las siguientes dos o a condiciones. a Las las nulas (si existen)7 est n por debajo de las las no nulas. El primer elemento distinto de cero de cada la no nula est a la derecha del primer elemento a diferente de cero de las las precedentes.8Ejemplo 1.23 Si A= 0 1 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 5 3 0 2 4 0 0 1 0 0 0 0 0 0 y B= 1 0 0 0 02 1 0 0 0 4 0 3 2 3 4 1 0 2 , 2 3 0 0 0 0A est en forma escalonada pero B no. a 7 1Una la es nula si todas sus entradas son ceros; una la es no nula si por lo menos una de sus componentes es distinta de cero. 8 e o 1En el caso que el primer elemento distinto de cero est en la primera la, se sobreentiende que la condici n se cumple por vacuidad.Page (PS/TeX): 20 / 20, COMPOSITE 38. SECCION 1.2Sistemas lineales 21Denici n 1.12 Al primer elemento distinto de cero de cada la no nula, de una matriz en forma o escalonada, se le llama pivote.Denici n 1.13 Un sistema Hx = c est escalonado si la matriz ampliada [ H | c ] es una matriz o a escalonada. A las variables que correspondan a pivotes en un sistema escalonado se les llamar n a variables ligadas (o principales o b sicas) y a las restantes variables libres (o no b sicas). a aEjemplo 1.24 En el sistema escalonado 4 6 1 0 0 00 0 0 03 5 0 02 0 0 01 1 7 05 1 6 5 2 3 , 7 0hay pivotes en las columnas 1, 3, 5 y 6; que corresponden, respectivamente, a las variables x1 , x3 , x5 y x6 . As que estas variables son ligadas y x2 , x4 son variables libres. Entonces, para resolver un sistema escalonado al hacer sustituci n regresiva, se despejan las variao bles ligadas dej ndolas en funci n de las variables libres procediendo de abajo hacia arriba, en a o el caso que el sistema tenga variables libres; en caso contrario, simplemente se despejan las variables ligadas actuando tambi n de abajo hacia arriba. e Ejemplo 1.25 Resolver los siguientes sistemas lineales escalonados. 3 5 1 3 8 3 5 1. 0 4 0 0 2 4 1 3 0 5 0 0 7 0 1 2 0 2. 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3 1 3 5 2 1 2 3. 0 1 0 0 0 Solucion 1. En este caso, x1 , x2 y x3 son todas variables ligadas, el sistema no tiene variables libres y 2 3x x3 = 4/2 = 2; x2 = 85x2 = 6; x1 = 3+x5 3 = 3. Es decir, 3 x1 3 x2 = 6 2 x3 es la unica soluci n. oPage (PS/TeX): 21 / 21, COMPOSITE 39. 22 CAPITULO 1Matrices y sistemas lineales2. Para este sistema escalonado x1 , x3 y x5 son las variables ligadas; mientras que x2 y x4 son las variables libres. Entonces x5 = 1, x3 = 7 2x4 , x1 = 4 + 3x2 5x4 ; lo cual indica que al dar valores concretos arbitrarios a las variables libres x2 y x4 se obtiene una soluci n. As, el conjunto de soluo ciones de este sistema es innito y est dado por: a {(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) | x5 = 1, x3 = 7 2x4 , x1 = 4 + 3x2 5x4 ; x2 , x4 R} . Una manera m s compacta de expresar las soluciones es: a 4 + 3s 5r x1 x2 s x3 = 7 2r ; x4 r 1 x5r, s R.Al dar valores concretos a r y s se obtendr una soluci n particular; por ejemplo, si r = 0 y s = 0, es a o f cil darse cuenta que a x1 4 x2 0 x3 = 7 x4 0 1 x5 resuelve el sistema de ecuaciones. 3. Para este sistema no pueden existir n meros reales x1 , x2 , x3 tales que 0x1 + 0x2 + 0x3 = 1; es decir, u el sistema no tiene soluci n, es inconsistente. o 1.2.3 Operaciones de renglon para matrices, equivalencia por las y soluciones 1.2.3 de sistemas escalonados Motivados en los m todos de la subsecci n precedente para resolver sistemas lineales, denimos las e o siguientes operaciones de rengl n (la) para matrices. o Operaciones elementales de renglon para matrices 1. Intercambio de las: Ri R j . 2. Cambio de escala: Ri Ri ( = 0). 3. Suma de las: Ri Ri + R j ( = 0). Las cuales signican, respectivamente: La la i se intercambia con la la j. La la i se cambia por la misma la multiplicada por . La la i se cambia por la suma de -veces la la i con -veces la la j.Page (PS/TeX): 22 / 22, COMPOSITE 40. SECCION 1.2Sistemas lineales 23Matrices equivalentesDenici n 1.14 Sean A , B Mmn . B es equivalente por las a la matriz A (o simplemente equio valente a A), si B se puede obtener de la matriz A al aplicarle una sucesi n nita de operaciones o elementales de rengl n. Si B es equivalente a A escribiremos B A o B A. oEjemplo 1.26 Si 1 2A=2 33 14 5 0 1y 1 0B=2 3 7 74 85 9,B A; pues B se obtiene de A mediante la operaci n de rengl n o o R2 2R1 + R2 No es difcil probar el siguiente teorema. Teorema 1.1 Si A, B Mmn , entonces 1. A A. (Reexividad) 2. A B B A. (Simetra) 3. A B y B C A C. (Transitividad)Del teorema precedente inciso 2, se ve que ya no es necesario decir que B es equivalente a A, pues en tal caso simplemente podremos enunciar que A y B son equivalentes. Al aplicar operaciones de rengl n a un sistema se obtiene un sistema equivalente. Es decir: oTeorema 1.2 Si [ A | b ] [ H | c ], entonces los sistemas Ax = b y Hx = c tienen las mismas soluciones.Es claro que siempre se pueden aplicar operaciones de la a una matriz A, de manera adecuada, para obtener una matriz escalonada equivalente a ella. Lo cual hacemos patente en la siguiente proposici n. oTeorema 1.3 Toda matriz es equivalente por las al menos a una matriz en forma escalonada.Soluciones de sistemas escalonados Del ejemplo 1.25 (cfr. p g. 21) se conjetura el siguiente teorema, cuya demostraci n es sencilla y se a o deja como ejercicio al lector.Page (PS/TeX): 23 / 23, COMPOSITE 41. 24 CAPITULO 1Matrices y sistemas linealesTeorema 1.4 Sea un sistema Ax = b y supongamos que [ H | c ] es un sistema (cualquier sistema) escalonado equivalente; es decir, [A | b ] [ H | c ], entonces 1. Ax = b es inconsistente si y s lo si [ H | c ] tiene una la de ceros en el lado izquierdo y un o elemento no nulo en el lado derecho de la partici n (ejemplo 1.25 inciso 3). o 2. Ax = b tiene soluci n unica si y s lo si es consistente y [ H | c ] tiene pivote en todas las o o columnas en el lado izquierdo de la partici n (ejemplo 1.25 inciso 1). o 3. Ax = b tiene innidad de soluciones si y s lo si es consistente y [ H | c ] no tiene pivote en o alguna columna en el lado izquierdo de la partici n (ejemplo 1.25 inciso 2). oNota 1.3 Es claro, del teorema anterior, que un sistema consistente tiene soluci n unica cuando una forma escalonada equivalente no tiene o variables libres. un sistema consistente tiene una innidad de soluciones cuando una forma escalonada equivalente tiene variables libres. 1.2.4 Metodo de Gauss El m todo de Gauss sirve para llevar una matriz a una forma escalonada equivalente aplicando operae ciones de rengl n. Bosquejamos el m todo por medio del siguiente algoritmo: o e Supongamos que A es una matriz m n no nula (si A es la matriz cero, A est en forma escalonada). a G1: Se busca una la en A que tenga su primer elemento distinto de cero y se intercambia (si es necesario) con la primera la de la matriz A; si no existe una la de A que tenga su primer elemento no nulo, entonces se busca una la de la matriz A que tenga el segundo elemento distinto de cero y se intercambia (si es necesario) con la primera la de la matriz A; de no suceder as, se busca una la de A que tenga el tercer elemento distinto de cero y se intercambia (si es necesario) con la primera la de A, etc.; obteniendo nalmente una matriz B1 A con un primer elemento no nulo en la primera la que llamaremos pivote (en este caso de la primera la). Por ejemplo, si 0 4 1 3 4 0 7 , A= 3 1 1 3 5 entonces una operaci n de rengl n para llevar a cabo este paso puede ser R1 R3 , resultando la o o equivalencia de matrices A0 4 1 3 4 0 1 1 3 3 1 7 3 5 0B11 4 4El pivote de la primera la de la matriz B1 es b1 = 1. 11Page (PS/TeX): 24 / 24, COMPOSITE 3 5 0 7 . 1 3 42. SECCION 1.2Sistemas lineales 25G2: Con el pivote de la primera la de B1 se transforman en ceros los elementos que est n por debajo a de el mediante la operaci n suma de las, obteniendo una matriz B2 B1 A, que tendr todas o a las componentes nulas debajo del pivote de la primera la. Por ejemplo, con el caso particular ilustrado en el paso anterior podemos hacer ceros los elementos debajo del pivote 1 de la primera la de la matriz B1 mediante la operaci n R2 3R1 +R2 o para obtener la matriz B2 ; es decir,1 3 0B11 4 4 1 3 5 0 0 7 0 1 3B2 1 3 5 1 9 8 4 1 3G3: Ahora se repiten los pasos G1 y G2 con la segunda la de la matriz B2 , produciendo una matriz B3 B2 B1 A cuyas componentes ser n nulas debajo del pivote de su segunda la. a Para el caso particular ilustrado, el pivote de la segunda la de la matriz9 B2 es b2 = 1. Se 22 pueden hacer ceros los elementos debajo del mismo mediante la operaci n R3 4R2 + R3 , esto es o 1 0 0B2B3 1 3 5 1 1 3 5 1 9 8 0 1 9 8 0 0 37 29 4 1 3 G4: Se repiten los pasos G1, G2 y G3 con las las subsecuentes de las matrices equivalentes que resulten, hasta obtener una matriz H en forma escalonada de acuerdo a la denici n 1.11. o Para el caso ilustrado previamente, la matriz B3 ya est en forma escalonada; con lo que a A B3 =H 0 4 1 3 1 1 3 5 3 4 0 7 0 1 9 8 1 1 3 5 0 0 37 29 terminara el proceso para este ejemplo particular. Nota 1.4 1. El lector debe tener en mente que el prop sito fundamental del m todo de Gauss es obtener una o e matriz en forma escalonada equivalente a una matriz dada, mediante el uso de las operaciones elementales de rengl n en cualquier combinaci n. As que el algoritmo anterior s lo es una gua o o o para este prop sito. Cualquier modicaci n es v lida siempre y cuando se empleen unicamente o o a las operaciones de rengl n para matrices y se alcance el objetivo de obtener una matriz en forma o escalonada equivalente por las a la matriz inicial. 2. A lo largo de este texto haremos uso de oraciones informales como llevar la matriz A a forma escalonada. Este tipo de oraciones en realidad deben interpretarse como obtener una forma 9 1El n mero 2 en b2 de esta notaci n juega el papel de un suprandice, haciendo referencia a la matriz B2 y no de un exponente. u o 22Page (PS/TeX): 25 / 25, COMPOSITE 43. 26 CAPITULO 1Matrices y sistemas linealesescalonada equivalente a la matriz A, que sera la manera apropiada de expresar este tipo de ins trucciones; pero, ya que esa forma escalonada equivalente se obtiene a partir de la matriz A, nos permitiremos ese tipo de frases sacricando rigor en aras de brevedad en el lenguaje. Sin embargo, es conveniente que el lector tenga siempre presente el signicado preciso de esas oraciones coloquiales. Ejemplo 1.27 Obtener una matriz equivalente por las a la matriz 2 4 2 2 2 4 3 4 A= 4 8 3 2 0 0 1 2 que est en forma escalonada.10 e 2 4 2 2 2 4 3 4 A= 4 8 3 2 0 0 1 2 Solucion 1 2 1 1 2 4 3 4 4 8 3 2 0 0 1 2 R1 (1/2)R1 1 2 1 1 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 R2 2R1 + R2 R3 4R1 + R3 1 2 1 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 00 0 R3 R2 + R3 R4 R2 + R4=HLa matriz resultante, H, est en forma escalonada y es equivalente a la matriz A. a Metodo de Gauss para resolver sistemas lineales Ejemplo 1.28 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el m todo de Gauss. e x1 2x1 3x1 x1 +2x2 3x2 5x2 x2+ + + x3 2x3 3x3 x3 +x4 3x4 4x4 2x4= = = =4 1 3 5 Solucion Para resolver el problema llevaremos la matriz aumentada a una forma escalonada y haremos sustituci n regresiva.11 o1Hemos marcado en color rojo los pivotes en cada paso para que el lector recuerde que el prop sito es ir haciendo ceros, mediante o las operaciones de rengl n indicadas, los elementos debajo de ellos. o 11 o 1De aqu en adelante, salvo algunas excepciones, ya no indicaremos las operaciones de rengl n que se requieren para obtener una forma escalonada equivalente a una matriz, pues el objetivo es utilizar la notaci n matricial para auxiliarse y hacer todos los o c lculos mec nica y mentalmente. a a 10Page (PS/TeX): 26 / 26, COMPOSITE 44. SECCION 1.2 1 4 0 1 0 3 0 5 1 0 0 01 2 1 1 2 3 2 3 3 5 3 4 1 1 1 22 1 1 11 1 0 1 0 1 0 12 1 0 01 1 0 1 0 0 0 0Sistemas lineales 27 4 9 9 9 4 9 . 0 0As, las variables ligadas son x1 , x2 y las libres x3 , x4 . Y x2 = 9 + x4 ; x1 = 4 + 2x2 x3 + x4 = 14 + 3x4 x3 . La soluci n est dada entonces por: o a 14 + 3r s x1 x2 9 + r ; r, s R. = x3 s r x4Sistemas con la misma matriz de coecientes Es frecuente en la pr ctica tener que resolver sistemas con la misma matriz de coecientes pero con a distintos t rminos independientes; por ejemplo, los sistemas e x 2y + 3z x + 4y + 5z= =2 7(1.14)r 2s + 3t r + 4s + 5t= 1 = 4(1.15)y1 2 3 2 1 , y t rminos independientes e y , 1 4 5 7 4 respectivamente. En lugar de resolverlos cada uno por separado, podemos solucionarlos simult neamena te colocando en el lado derecho de la partici n de la matriz ampliada las dos columnas que contienen o los dos t rminos independientes, llevar a forma escalonada y resolver por sustituci n regresiva para la e o primera columna y despu s para la segunda: etienen la misma matriz de coecientes,1 2 3 1 4 52 71 41 02 3 2 81 2 5 3.(1.16)Resolviendo para la primera columna tenemos y = 5 4z, x = 2 + 2y 3z = 3 11z; as que 2 3 11 x y = 5 4 , 2 z R, es la soluci n para el sistema (1.14). Resolviendo ahora para la segunda columna de (1.16) o 3 obtenemos s = 2 4t, r = 1 + 2s 3t = 2 11t; es decir, 2 11 r s = 3 4 , 2 t R, es la soluci n del sistema (1.15). oPage (PS/TeX): 27 / 27, COMPOSITE 45. 28 CAPITULO 1Matrices y sistemas lineales 1.2.5 Metodo de Gauss-Jordan y sistemas con solucion unica Denici n 1.15 Una matriz est en forma escalonada reducida si: o a 1. Est en forma escalonada. a 2. Arriba de cada pivote las componentes (si hay) son nulas. 3. Todos los pivotes son unos.1 0 Ejemplo 1.29 La matriz 0 00 1 0 02 8 0 0 0 0 est en forma escalonada reducida. a 1 0 Metodo de Gauss-Jordan Para llevar una matriz a forma escalonada reducida se procede de la manera siguiente: 1. Se lleva la matriz a forma escalonada mediante el m todo de Gauss. e 2. Se hacen ceros todos los elementos arriba de cada pivote utilizando el m todo de Gauss de abajo e hacia arriba. 3. Se convierten en unos todos los pivotes mediante la operaci n de rengl n cambio de escala. o o Empleando el m todo de Gauss-Jordan se puede probar el teorema que enunciamos a continuaci n. e o Teorema 1.5 Toda matriz es equivalente por las a una y s lo una matriz en forma escalonada o reducida.12 Ejemplo 1.30 Obtener la forma escalonada reducida equivalente a la matriz A por el m todo de e Gauss-Jordan si 2 1 0 3 4 0 3 . A = 3 1 2 5 4 0 1 2 Solucion 2 1 0 3 4 2 1 0 3 4 (1) 3 1 2 0 3 0 5 4 9 6 0 13 0 13 16 5 4 0 1 2 2 1 0 3 4 (2) 4 9 6 0 5 0 0 52 52 2 1Compare con el teorema 1.3, p gina 23. a12Page (PS/TeX): 28 / 28, COMPOSITE 46. SECCION 1.2Sistemas lineales 29 2 1 0 3 4 4 9 6 0 5 0 0 26 26 1 (3) 2 1 0 3 4 0 65 80 0 65 0 0 26 26 1 (4) 2 1 0 3 4 0 13 16 0 13 0 0 26 26 1 (5) 26 0 0 26 36 0 13 16 0 13 0 0 26 26 1 (6) 1 0 0 1 18/13 0 1 0 1 16/13 . 0 0 1 1 1/26 (7)Donde, para facilitar su comprensi n, esta vez hemos indicado las operaciones de rengl n en cada o o paso del (1) al (7), se alando los pivotes en azul m s claro cuando se hacen ceros los elementos por n a debajo de los mismos y en rojo cuando se hacen ceros los elementos por encima de los pivotes. (1): R2 3R1 + 2R2 , R3 5R1 + 2R3 ; (2): R3 13R2 + 5R3 ; (3): R3 (1/2)R3 ; (4): R2 2R3 + 13R2 ; (5): R2 (1/5)R2 ; (6): R1 13R1 R2 ; (7): R1 (1/26)R1 , R2 (1/13)R2 , R3 (1/26)R3 . Nota 1.5 A diferencia de la forma escalonada reducida de una matriz, que es unica, es claro que al hacer operaciones de rengl n a una matriz A para obtener una matriz en forma escalonada equivalente, o se pueden obtener diferentes matrices. Sin embargo, para cualquier par de matrices en forma escalonada equivalentes a la matriz A se cumple: 1. Las dos matrices tienen el mismo n mero de pivotes. u 2. Los pivotes se encuentran en las mismas posiciones en ambas matrices; es decir, si una matriz tiene un pivote en la componente i j la otra tambi n tiene un pivote en esta componente. e Ilustramos la nota 1.5 en el siguiente ejemplo. 2 Ejemplo 1.31 Sea A = 4 1 2 4 1Page (PS/TeX): 29 / 29, COMPOSITE3 1 21 0 3 3 1 1 5 1 0 1 2 , entonces 2 3 1 1 1 1 1 5 2 12 0 0 2 0 0 3 1 1 5 5 2 1 8 1 5 1 3 3 1 1 5 5 2 1 8 = H1 0 23 4 23 47. 30 CAPITULO 1Matrices y sistemas linealesy 2 3 1 1 5 4 1 0 1 2 1 2 3 1 11 4 2 1 2 3 1 1 2 3 1 1 7 12 3 2 1 0 1 2 0 0 1 5 1 3 3 1 1 5 1 3 2 1 2 3 1 0 1 5 1 0 7 12 3 1 0 02 3 1 1 5 1 0 23 4 1 3 = H2 . 23a As A H1 , A H2 ; H1 y H2 est n en forma escalonada, H1 = H2 ; ambas matrices tienen el mismo n mero de pivotes y se encuentran en las mismas posiciones en las dos matrices. u Sistemas lineales y metodo de Gauss-Jordan Los sistemas lineales tambi n se pueden resolver utilizando el m todo de Gauss-Jordan para llevar la e e matriz ampliada a forma escalonada reducida y realizar sustituci n regresiva, como hacemos patente en o el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.32 Resolver el siguiente sistema mediante el m todo de Gauss-Jordan e x1 x1 2x1 Solucion + 2x2 x2 x2+x3+x3+ + +3x4 2x4 5x4= = =1 2 1Llevem