Algebre relationelle

Le modèle relationnel

8Les structures de données8Les règles d’intégrité structurelle8L’algèbre relationnelle

Le modèle relationnel

� Inventé par E. F. Codd en 1970

� Fondé sur la théorie mathématique des

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� Fondé sur la théorie mathématique des ensembles et sur la notion de base qui lui est rattachée : la relation.

Objectifs d’un modèle relationnel:Rappel

� Proposer une indépendance des données et des traitements.

� Permettre de gérer les problèmes de cohérence et de redondance des données.

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cohérence et de redondance des données.� Utiliser des structures de données simples

et issues de la vie courante (tables).� Proposer des langages de manipulation de

données non procéduraux� Permettre des vues utilisateurs différentes

des relations implantées

Le modèle relationnel :Les 10 concepts clés (1/2)

� La définition du domaine d’un attribut

� Le concept de relation

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� Les attributs

� Les tuples

� Le schéma d’une relation

Le modèle relationnel :Les 10 concepts clés (2/2)

� La clé

� La contrainte référentielle

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� Les valeurs nulles

� La contrainte d’entité

� La contrainte de domaine

Les structures de données : Domaine d’un attribut

� Définition : ensemble des valeurs prises par un attribut

� Un domaine se définit soit :

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� Un domaine se définit soit :• en extension

8ex. : couleur_yeux = {bleu, vert, marron, noir}

• en compréhension8ex. : âge_enfants = {0, 15}

Définition du produit cartésien:Rappel

Soient deux ensembles O et P, on appelle Produit cartésiende O et P, l'ensemble noté O×P , des couples (x,y) où x∈O et

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noté O×P , des couples (x,y) où x∈O et y∈P.

Étudiants={ A , T , M }

Professeurs = { L , Y }

Étudiants ×Professeurs={ (A,L) , (A,Y) , (T,L) , (T,Y) , (M,L) , (M,Y) }

Les structures de données : la relation

Nom de la relation

PRODUIT

Attributs , champs

N um _prod N om _prod Q té_stock

Définition : Sous-ensemble du produit cartésien d’un ensemble d’attributs

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Occurrences , Tuples, Enregistrements

♦ Cardinalité de la relation (nombre de lignes)♦ Unicité du nom des attributs♦ Indifférence de l’ordre des lignes et des colonnes♦ Nombre de colonnes = degré

N um _prod N om _prod Q té_stock

2414167

C haiseTab leL it

632712

Caractérisée par :

Les structures de données : Schéma de relations

4 Le schéma de relation représente la structure invariante d’une relation.

4Il est constitué du nom de la relation suivi de la liste des attributs et de leurs domaines associés

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attributs et de leurs domaines associés

PRODUIT (N°PRODUIT : entier, NOM : chaîne, QTE EN STOCK : entier>0)

Nom

relation

Attributs (clé)

(souligné)Attributs non clé

Règles d’intégrité structurelle

� Assertions qui doivent être vérifiées par les données contenues dans la base.

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• Règles inhérentes au modèle relationnel

Règles d’intégrité structurelle du modèle relationnel

�Unicité de clé

�Contrainte de référence

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�Contrainte de référence

�Contrainte d’entité

�Contrainte de domaine

Clé d’une relation

� Une relation étant un ensemble de tuples, il ne peut y avoir deux tuples identiques dans une relation.

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� Clé : ensemble minimal d’attributs dont la connaissance des valeurs permet d’identifier un tuple unique

Contrainte référentielle(1/2)

� Contrainte d’intégrité portant sur une relation R1, consistant à imposer que la valeur d’un groupe d’attributs apparaisse comme valeur de clé dans une autre relation R2.

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8Elles définissent des liens obligatoires entre relations.

8Garantissent le succès des opérations de mise à jour.

Contrainte référentielle(2/2)� Les contraintes de référence sont liées à la notion de clés

étrangères :

8Lors de l’insertion d’un tuple dans une relation soumise à une contrainte référentielle («relations référençantes») , il faut vérifier que les valeurs de clés étrangères existent dans les relations référencées.

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clés étrangères existent dans les relations référencées.

8Lors de la suppression d’un tuple dans une relation référencée, il faut vérifier qu’aucun tuple de la relation référençante ne fasse référence au tuple que l’on souhaite supprimer.

– soit le SGBD refuse la suppression

– soit il la répercute en cascade.

Contrainte d’entité

� Lorsque la valeur d’un attribut est inconnue,on utilise une valeur conventionnelle appeléevaleur nulle

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� La contrainte d’entité impose que touterelation possède une clé primaire et que toutattribut participant à cette clé primaire soitnon null.

Contrainte de domaine

� Les valeurs d’un attribut doivent vérifier une assertion logique

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une assertion logique

Algèbre relationnelle :Définition

� Collection d’opérations formelles qui

agissent sur des relations et produisent une

relationenrésultat.

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relationenrésultat.

� Dans la plupart des systèmes relationnels,

la réponse à une requête s’obtient par

l’utilisation d’un ou plusieurs opérateurs

relationnels.

Algèbre relationnelle : Opérateurs relationnels

• Opérateurs unaires:8Sélection8Projection8Complément

• Opérateurs binaires :

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• Opérateurs binaires :8Union8Intersection8Différence8Les produits et Jointures

8Division

Théorie des ensembles

Algèbre relationnelle : Sélection (ou restriction) (1/3)

Elimination des occurrences de la relation qui ne satisfont pas à une condition donnée.Ex. : Considérons la relation Commande

N° COMMANDE DATE MONTANT

28 Octobre 1986

19

28293052

OctobreOctobreNovembreDécembre

198620241610512

La sélection permet de répondre à la question : Donnez lescommandes passées après le mois d’octobre

N° COMMANDE DATE MONTANT

3052

NovembreDécembre

1610512

La condition peut contenir plusieurs critères


� Opération sur une relation R1produisant une relation R2de même schéma, mais comportant les seuls tuples qui vérifient la condition précisée en argument.

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� Notation : σcondition (R1)

R2=selection (R1,condition)


� Opérateurs de comparaison=, ≠, <, >, ≤, ≥, BETWEEN, IN, LIKE

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� Combinaison de plusieurs conditions reliées par des opérateurs logiques :

AND, OR, NOT

� Valeurs NULL

Algèbre relationnelle : Projection (1/2)

Consiste à supprimer des attributs d’une relation

Soit la relation ETUDIANT :

Num_étu Nom_étu Nom_départ Adr_départ

521632

Nom1Nom2

InformatiqueMathématique

FesMeknes

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632569451

Nom2Nom3Nom1

MathématiqueInformatiqueInformatique

MeknesRabatRabat

La projection sur nom_étu, nom_départdonne :

Nom_étu Nom_départ

Nom1Nom2Nom3

InformatiqueMathématiqueInformatique

La projection sur nom_départ, adr_départdonne :

Nom_départ Adr_départ

InformatiqueMathématiqueInformatique

FesMeknesRabat

Algèbre relationnelle : Projection (2/2)

� Opération sur une relation R1consistant à composer une relation R2 en enlevant à la relation initiale tous les attributs non mentionnés en opérandes.

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mentionnés en opérandes.

� Notation: π A1, A2, …, An (R1)

R2=projection(R1;A1,A2,…,An)

Algèbre relationnelle : Complément (1/2)

Consiste à construire la relation qui contient toutes les occurrencesqui n’existent pas (c’est la relation qui exprime le FAUX)

Soit la relation R :

Professeur Elève

Prof1 Nom2Le complément de R sera :

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Prof1Prof2Prof2Prof2Prof3Prof3

Nom2Nom1Nom2Nom1Nom4Nom1Nom4

Professeur Elève

Prof1Prof3

Nom4Nom2

Algèbre relationnelle : Complément (2/2)

� Ensemble des tuples du produit cartésien des domaines des attributs d’une relation n’appartenant pas à cette relation

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n’appartenant pas à cette relation

� Notation: Not (R1)

R2=Comp (R1)

Algèbre relationnelle : Union (1/2)

Permet de fusionner deux relations en une seule.Cette opération n’est possible que sur des relations ayant lesmêmes attributs.

Soit la relation OUVRIERNum_empl Nom_empl Num_empl Nom_empl

Soit la relation CADRE

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Num_empl Nom_empl

151756

Nom1Nom3Nom2

Num_empl Nom_empl

321

Nom5Nom6

L’union permet de construire la relation EMPLOYE

Num_empl Nom_empl

321151756

Nom5Nom6Nom1Nom3Nom2

Algèbre relationnelle : Union (2/2)

� Opération portant sur deux relations de même schéma R1et R2, consistant à construire une relation de même schéma

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construire une relation de même schéma R3ayant pour tuples ceux appartenant à R1ou (inclusif) R2.

� Notation: R1∪R2

R3=Union (R1,R2)

Algèbre relationnelle : Intersection (1/2)

Permet de fournir des occurrences présentes dans l’une et l’autre des relations. Cette opération n’est possible que sur des relations ayant les mêmes attributs.Soit la relation INGENIEUR

Num_empl Nom_empl

Soit la relation CHEF DE SERVICENum_empl Nom_empl

3 Nom5

28

Num_empl Nom_empl

31528

Nom5Nom1Nom4

Num_empl Nom_empl

315

Nom5Nom1

L’intersection permet de construire la relation suivante

3211556

Nom5Nom6Nom1Nom2

Algèbre relationnelle : Intersection (2/2)

� Opération portant sur deux relations de même schémaR1etR2consistant à construire une relation de même schéma R3 ayant pour tuples ceux appartenant à la

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R3 ayant pour tuples ceux appartenant à la fois à R1et R2.

� Notation: R1∩ R2

R3=Intersection (R1,R2)

Algèbre relationnelle : Différence (1/2)

Permet d’obtenir les occurrences de la relation 1 qui n’appartiennentpas à la relation 2. Les deux relations doivent avoir les mêmesattributs. Cette opération n’est pas commutative.

Soit la relation INSCRITS Soit la relation RECUS

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Nom_étu Nom_UV

Nom2Nom5Nom2

MathsMathsChimie

Nom_étu Nom_UV

Nom2Nom5

PhysiqueChimie

La différence permet de construire la relation suivante

Nom_étu Nom_UV

Nom2Nom5Nom2Nom2Nom5

MathsMathsPhysiqueChimieChimie

Algèbre relationnelle : Différence (2/2)

� Opération portant sur deux relations de même schéma R1et R2, consistant à construire une relation de même schéma R3 ayant pour tuples ceux appartenant à R1

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R3 ayant pour tuples ceux appartenant à R1et n’appartenant pas à R2.

� Notation : R1– R2

R3=Difference(R1,R2)

Algèbre relationnelle : Produit cartésien (1/2)

Le produit cartésien se construit en combinant toutes les possibilités.

Couleur Edition

RougeBlanc

LuxeBroché

Titre Auteur

XY

Nom2Nom1

Soit la relation LIVRE Soit la relation EDITION

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BlancVert Cartonné

Le produit cartésien permet de construire la relation suivante

Y

Titre Auteur Couleur Edition

XXXYYY

Nom2Nom2Nom2Nom1Nom1Nom1

RougeBlancVertRougeBlancVert

LuxeBrochéCartonnéLuxeBrochéCartonné

Algèbre relationnelle : Produit cartésien (2/2)

� Opération portant sur deux relationR1et R2, consistant à construire une relation R3 ayant pour schéma la concaténation de ceux des relations opérandes et pour tuples

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ceux des relations opérandes et pour tuples toutes les combinaisons des tuples des relations opérandes

� Notation:R1× R2

R3=Produit (R1,R2)

Algèbre relationnelle : Thêta-produit (thêta-jointure) (1/4)

Le thêta-produit consiste en un produit cartésien doublé d’une sélection.On ne retient que les occurrences qui vérifient une condition logique.Thêta prend les valeurs : <, <=, >, >=, != ou <>

Nom_chef Salaire_chef

Nom2 25000

Nom_emp Salaire_emp

E1 20000

Soit la relation EMPLOYE Soit la relation CHEF

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Nom2Nom1

2500012000

E1E2E3

20000100006000

Le thêta-produit permet de répondre à la question : Donnez le nomdes employés qui gagnent plus qu’un chef de service

On effectue d’abord un produit cartésien puis une sélection dontla condition est salaire_emp > salaire_chef


E1E1E2E2

Nom2Nom1Nom2Nom1

25000120002500012000

Produit cartésien

Nom_emp Salaire_emp Nom_chef Salaire_chef

20000200001000010000

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E3E3

Nom1Nom2Nom1

120002500012000

1000060006000

Sélection

E1 Nom1 12000

Nom_emp Salaire_emp Nom_chef Salaire_chef

20000


� Opérande consistant à rapprocher selon une condition les tuples de deux relations R1et R2afin de former une relation R3qui contient l’ensemble de tous les tuples

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contient l’ensemble de tous les tuples obtenus en concaténant un tuple de R1et un de R2vérifiant la condition de rapprochement.


� Notation: R1 θθθθ condition R2

R3= θ-jointure(R1,R2; condition)

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Algèbre relationnelle : Jointure naturelle (équijointure) (1/4)

La jointure naturelle permet de réaliser une liaison logique entre deux tables. La condition de sélection est l’égalité entre les deux clés des deux relations. C’est un thêta-produit qui prend la valeur "= " entre des attributs identiques.

38

02107262

S1S8S6S1

Num_emp Nom_emp Num_service

Nom2Nom1Nom2Nom4

Soit la relation EMPLOYE Soit la relation SERVICE

Num_service Nom_service

S1S6S8S4

InformatiqueMathématiquesSociologieAnglais


La jointure naturelle permet de répondre à la question : Donnez lenom des employés et le nom de leur service.

021072

S1S8

InformatiqueSociologie

Num_emp Nom_emp Num_service Nom_service

Nom2Nom1

39

7262

S6S1

SociologieMathématiquesInformatique

Nom2Nom4

Rq : Le service S4 Anglais qui n’a pas « d’associé », n’est pasprésent dans la jointure.

La jointure naturelle est l’une des opérations fondamentales del’algèbre relationnelle.


� Opérande consistant à rapprocher les tuples de deux relations R1et R2afin de former une troisième relation R3 dont les attributs

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une troisième relation R3 dont les attributs sont l’union des attributs de R1et R2, et dont les tuples sont obtenus en composant un tuple de R1et un tuple de R2ayant mêmes valeurs pour les attributs de même nom.


� Notation: R1 θ condition R2

R3=jointure(R1, R2; condition)

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Algèbre relationnelle : Jointure externe (1/3)

Il s’agit d’une jointure naturelle qui permet de faire figurer les occurrences qui n’ont pas « d’associé » dans l’autre relation. Onleur associe alors la valeur nulle (symbole ).



42

0210726225

S1S8S6S1S5


emp1emp2 emp1emp3emp4

Num_service Num_bâtiment

S1S6S8S4S2

B8B9B3B3B1


La jointure extérieure conduit à la relation :

021072

S1S8

B8B3

Num_emp Nom_emp Num_service Num_bâtiment

emp1emp2 emp1

43

726225

S6S1S5S4S2

B3B9B8

B3B1

emp1emp3emp4


� R3 contient les tuples issus de la jointure de R1 et R2 ainsi que ceux de R1 et R2 ne participant pas à la jointure, avec des valeurs nulles pour les attributs non

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valeurs nulles pour les attributs non renseignés.

Algèbre relationnelle : Jointure externe gauche (1/3)

Permet de faire apparaître en totalité les occurrences d’une des deux relations.On définira une semi-jointure gauche ou une semi-jointure droite.

Exemple de semi-jointure droite :

45

Exemple de semi-jointure droite :

0210726225

S1S8S6S1S5




Num_service Num_bâtiment

S1S6S8S4S2

B8B9B3B3B1


021072

S1S8

B8B3

Num_emp Nom_emp Num_service Num_bâtiment

emp1emp2 emp1

Le résultat de la semi-jointure gauche donne le résultat suivant :

46

726225

S6S1S5

B3B9B8_

emp1emp3emp4


� Opération portant sur R1 et R2 donnant en résultat les tuples de R1 qui participent à la jointure des deux relations

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Algèbre relationnelle : Auto-jointure (1/2)

� C’est une jointure naturelle dans laquelle les deux relations initiales sont R1et R1.

� Soit la relation Enseignant

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1256274351

AssistantMDCAssistantMDCMDC

9 50010 50011 50012 00012 500

Num_ens Nom_ens Grade Salaire


Algèbre relationnelle : Auto-jointure (2/2)

� L’auto-jointure permet de répondre à la question suivante : « Donnez le nom des assistants qui gagnent plus qu’un MDC ?»

49

assistants qui gagnent plus qu’un MDC ?»

� Relation résultat

Nom_ens

emp1

Algèbre relationnelle : Division (1/3)

� Permet d’obtenir les occurrences de R1 qui sont associées à toutes les occurrences de R2. Une relation est donc divisée par une autre relation contenant exclusivement des attributs de la première relation

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Nom_étu

Etu1Etu2

Nom_étu Nom_prof

Etu1Etu2Etu3Etu4Etu1Etu2Etu3

Prof3Prof1Prof3Prof4Prof1Prof3Prof4

Soit la relation suivante Soit la relation suivante


La division permet de répondre à la question suivante :Donnez le nom des profs qui enseignent conjointement auxélèves figurant dans la seconde relation.

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Nom_prof

Prof3Prof1

La relation résultat est :


� Notation R1 ÷ R2

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Fonctions de calcul (1/2)

� Expression arithmétique construite à partir d’attributs d’une relation, de constantes, d’opérateurs arithmétiques et de fonctions

8Opérateurs arithmétiques

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8Opérateurs arithmétiques+ - / *

8Fonctions» somme

» moyenne

» maximum, minimum

» compte

Fonctions de calcul (2/2)

� Ces fonctions sont liées à une opération• Par exemple, avec une projection on a :

π A1, A2*A 4-10 (R1)

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Les agrégats (1/2)

� Partitionnement horizontal d’une relation en fonction des valeurs d’un groupe d’attributs, suivi d’un regroupement des valeurs de chaque groupe par application

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valeurs de chaque groupe par application d’une fonction de calcul.

Les agrégats (2/2)

� Notation : Agrégat (R1 ; attribut de regroupement ; attribut de calcul)

• CumulR = cumul(relation, attribut de regroupement, attribut de calcul)

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R = cumul(relation, attribut de regroupement, attribut de calcul)

Ou

R=regrouper_calculer (relation,attribut de regroupement, cumul(attribut de calcul))

• CompteR = compte(relation, attribut de regroupement)

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