Upload
yushilatu-felayati-aziiza
View
9.510
Download
0
Tags:
Embed Size (px)
Citation preview
ALJABAR LINEARELIMINASI GAUSSIAN
A. BENTUK ESELON BARIS TEREDUKSI
• Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka angka tak nol pertama dalam baris tersebut adalah sebuah angka 1. (Kita sebut ini utama 1)
• Jika ada sembarang baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini dikelompokkan bersama di bagian bawah matriks.
• Jika sembarang dua baris yang berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, utama 1 dalam baris yang lebih bawah terletak di sebelah kanan utama 1 dalam baris yang lebih atas.
• Masing-masing kolom yang berisi sebuah utama 1 mempunyai nol di tempat lainnya.
Sebuah matriks harus mempunyai sifat-sifat berikut ini:
Suatu matriks yang mempunyai sifat 1, 2, dan 3 (tetapi tidak perlu 4) disebut matriks berbentuk eselon baris.
• Contoh 1. Matriks-matriks berikut ini berada dalam bentuk eselon baris tereduksi.
100
010
001
1100
7010
4001
00
00,
00000
00000
31000
10210
Matriks-matriks berikut ini berada dalam bentuk eselon baris, tetapi bukan dalam bentuk eselon baris tereduksi
000
010
011
5100
2610
7341
10000
01100
06210
• Contoh 2. Anggap bahwa matriks yang diperbesar untuk suatu sistem persamaan linear telah direduksi oleh operasi baris menjadi bentuk eselon baris tereduksi yang diberikan. Selesaikan sistem tersebut.
4100
2010
5001
a
23100
62010
14001
b
000000
251000
130100
240061
c
1000
0210
0001
d
Penyelesaian (a). Sistem persamaan yang berpadanan adalah
4
2
5
3
2
1
x
x
x
Penyelesaian (a). Sistem persamaan yang berpadanan adalah
4,2,5 321 xxx
Penyelesaian (b). Sistem persamaan yang berpadanan adalahPenyelesaian (b). Sistem persamaan yang berpadanan adalah
Penyelesaian (b).Sistem persamaan yang berpadanan adalah
Penyelesaian (b). Sistem persamaan yang berpadanan adalah
23
62
14
43
42
41
xx
xx
xx
• Karena x1, x2, dan x3 berpadanan dengan utama 1 dalam matriks yang diperbesar, kita menyebutnya peubah utama. Peubah nonutama (dalam kasus ini x4) disebut peubah bebas. Penyelesaian untuk peubah-peubah utama dalam bentuk peubah bebas memberikan
43
42
41
32
26
41
xx
xx
xx
Dari bentuk persamaan ini kita lihat bahwa peubah bebas x4 dapat diberi sembarang niai, katakanlah t, yang kemudian menentukan nilai peubah utama x1, x2, dan x3. Jadi, terdapat tak hingga banyaknya penyelesaian, dan penyelesaian umumny diberikan oleh rumus
txtxtxtx 4321 ,32,26,41
Penyelesaian (c). Sistem persamaan yang berpadanan adalah
25
13
246
54
53
521
xx
xx
xxx
Di sini peubah-peubah utamanya adalah x1, x3, dan x4, dan peubah-peubah bebasnya adalah x2 dan x5. Penyelesaian untuk peubah-peubah utama dalam bentuk peubah bebas memberikan
54
53
521
52
31
462
xx
xx
xxx
Karena x2 dapat diberi sembarang nilai, t, dan x5 dapat diberi sembarang nilai s, maka ada tak hingga banyaknya penyelesaian. Penyelesaian umumnya diberikan oleh rumus
txtxtxsxtsx 54321 ,52,31,,462
Penyelesaian (d). Persamaan terakhir dalam sistem persamaan yang berpadanan adalah
1000 321 xxx
Karena persamaan ini tidak dapat dipenuhi, maka tidak ada penyelesaian untuk sistem tersebut.
B. Eliminasi Gaussian• Kami akan mengilustrasikan gagasan dengan mereduksi matriks
berikut ini menjadi bentuk eselon baris tereduksi
156542
281210642
1270200
Langkah 1. Tempatkan kolom paling kiri yang tidak seluruhnya terdiri dari nol.
156542
281261042
1270200
Kolom tak nol paling kiri
Langkah 2. Pertukarkan baris teratas dengan baris lainnya, jika perlu, untuk membawa salah satu entri tak nol ke posisi paling atas dari kolom yang didapatkan dalam Langkah 1
156542
1270200
281261042Baris pertama dan baris kedua pada matriks sebelumnya dipertukarkan
Langkah 3. Jika entri yang sekarang berada di posisi paling atas pada kolom yang ditemukan dalam Langkah 1 adalah a, kalikan baris pertama dengan 1/a untuk mendapatkan utama 1
156542
1270200
1463521
Baris pertama matriks sebelumnya dikalikan 1/2
Langkah 4. Tambahkan hasil kali yang sesuai dari baris teratas ke baris-baris di bawahnya sedemikian sehingga semua entri di bawah utama 1 menjadi nol.
29170500
1270200
1463521-2 kali pertama matriks sebelumnya ditambahkan pada baris ketiga
Langkah 5. Sekarang tutup baris teratas matriks tersebut dan mulai lagi dengan Langkah 1 yang diterapkan pada submatriks yang tersisa. Lanjutkan cara ini sampai semua matriks berada dalam bentuk eselon baris
29170500
1270200
1463521
Kolom tak nol paling kiri dalam submatriks
29170500
1770200
1463521Baris pertama pada submatriks dikalikan -1/2 untuk dibuat menjadi suatu utama 1
12
10000
62
70100
1463521
Kolom tak nol paling kiri dalam sub matriks yangg baru
Baris teratas dalam submatriks ditutup dan kita kembali lagi ke langkah 1
210000
62
70100
1463521
Baris pertama dan satu-satunya baris dalam submatriks yang baru dikalikan dengan 2 untuk mendapatkan suatu utama 1
Langkah 6. Mulai dengan baris tak nol terakhir dan kerjakan ke atas, tambahkan perkalian yang sesuai dari masing-masing baris ke baris di atasnya untuk mendapatkan nol di atas utama 1
210000
100100
14635217/2 kali baris ketiga matriks yang sebelumnya ditambahkan kebaris ke2
210000
100100
203521-6 kali ditambahkan pada baris ketiga ditambahkan pada baris pertama
210000
100100
7030215 kali baris kedua ditambahkan ke baris pertama
Matriks terakhir berbentuk eselon baris tereduksi.Prosedur di atas untuk mereduksi suatu matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi disebut eliminasi Gauss-Jordan*. Jika kita hanya menggunakan lima langkah pertama, prosedur tersebut menghasilkan bentuk eselon baris yang disebut eliminasi Gauss.
515105 643 xxx
Contoh 3. Selesaikan dengan eliminasi Gauss-Jordan
0223 5321 xxxx1342562 654321 xxxxxx
6184862 65421 xxxxx
Matriks yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah
61848062
1342562
0020231
Menambahkan -2 kali baris pertama ke baris kedua dan keempat menghasilkan
61808400
1302100
0020231
Mengalikan baris kedua dengan -1 dan kemudian menambahkan -5 kali baris kedua yang baru ke baris ke tiga dan -4 kali baris kedua yang baru ke baris keempat menghasilkan
2600000
1302100
0020231
• Mempertukarkan baris ketiga dan keempat dan kemudian mengalikan baris ketiga dari matriks yang dihasilkan dengan menghasilkan bentuk eselon baris.
00000003
1100000
1302100
0020231
Menambahkan -3 kali baris ketiga ke baris kedua dan kemudian menambahkan 2 kali baris kedua dari matriks yang dihasilkan ke baris pertama menghasilkan bentuk eselon baris tereduksi
00000003
1100000
0002100
0024031
Sistem persamaan yang berpadanan adalah
3
1
02
0243
6
43
5421
x
xx
xxxx
(Kami telah menghilangkan persamaan terakhir, karena persamaan ini secara otomatis akan terpenuhi oleh penyelesaian dari persamaan yang masih tersisa). Dengan menyelesaikan untuk peubah utama, kita peroleh
3
1
2
243
6
43
5421
x
xx
xxxx
• Jika kita memberi sembarang nilai r, s, dan t masing-masing kepada peubah bebas x2, x4, dan x5, penyelesaian umumnya diberikan oleh rumus
3
1
,,2,,243
6
54321
x
txsxsxrxtsrx
C. SUBTITUSI BALIK• Contoh 4. Kadang-kadang kita lebih suka menyelesaikan suatu sistem
persamaan linear mengguankan eliminasi Gauss untuk membawa matriks yang diperbesar menjadi berbentuk eselon baris tanpa melanjutkan semua cara menuju bentuk eselon baris tereduksi. Jika ini dilakukan, sistem persamaan yang berpadanan dapat diselesaikan dengan suatu teknik yang disebut substitusi balik. Kami akan mengilustrasikan metode ini menggunakan sistem persamaan dalam Contoh 3
• Dari perhitungan pada Contoh 3, bentuk eselon baris dari matriks yang diperbesar adalah
00000003
1100000
1302100
0020231
Untuk menyelesaikan sistem persamaan yang berpadanan
3
1
032
0223
6
643
5321
x
xxx
xxxx
kita lakukan yang berikut iniLangkah 1. Selesaikan persamaan untuk peubah-peubah utama
3
1
321
223
6
643
5321
x
xxx
xxxx
Langkah 2. Mulai dengan persamaan yang paling bawah dan lanjutkan ke atas, secara berturut-turut substitusikan setiap persamaan ke semua persamaan di atasnya
Mensubstitusikan ke persamaan kedua menghasilkan3
16 x
3
1
2
223
6
43
5321
x
xx
xxxx
Mensubstitusikan ke persamaan pertama menghasilkan
3
1
2
243
6
43
5421
x
xx
xxxx
Langkah 3. Tetapkan sembarang nilai untuk peubah-peubah bebas, jika ada.Jika kita memberikan sembarang nilai r, s, dan t masing-masing ke x2, x4, dan x5, penyelesaian umumnya diberikan oleh rumus:
3
1
,,,2,,243
6
54321
x
txsxsxrxtsxrx
Ini sesuai dengan penyelesaian yang diperoleh dalam Contoh 3. Contoh 5. Selesaikan
0563
1342
92
zyx
zyx
zyx
Dengan eliminasi Gauss dan Subtitusi Balik
Penyelesaian. Ini adalah sistem dalam Contoh 3 Subbab 1.1. Dalam contoh itu kita mengubah matriks yang diperbesar
0563
1342
9211
menjadi bentuk eselon baris
0563
1342
9211
Sistem yang berpadanan dengan matriks ini adalah
32
17
2
7
92
z
zy
zyx
Menyelesaikan untuk peubah-peubah utama menghasilkan
32
7
2
17
29
z
zy
zyx
Mensubstitusikan persamaan yang di bawah ke persamaan di atasnya menghasilkan
3
2
3
z
y
yx
Dan mensubstitusikan persamaan kedua ke persamaan teratas menghasilkan
3
2
1
z
y
x
Penyelesaian ini sesuai dengan hasil yang ditemukan dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan pada Contoh 3 Subbab 1.1.
D. SISTEM LINEAR HOMOGEN• Suatu sistem persamaan linear dikatakan homogen jika
semua konstantanya adalah nol; yaitu jika sistem tersebut mempunyai bentuk
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
Setiap sistem persamaan linear homogen mempunyai sifat konsisten, karena semua sistem seperti itu mempunyai sebagai penyelesaiannya. Penyelesaian ini disebut penyelesaian trivial; jika ada penyelesaian yang lain, maka penyelesaiannya disebut penyelesaian tak trivial.
0,,0,0 21 nxxx
Karena sistem linear homogen selalu mempunyai penyelesaian trivial, hanya ada dua kemungkinan untuk penyelesaiannya.
1. Sistem tersebut hanya mempunyai satu penyelesaian trivial.2. Sistem tersebut mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian di samping penyelesaian trivial.
Dalam kasus khusus pada sistem linear homogen dari dua persamaan dengan dua peubah, katakanlah
0
0
22
11
ybxa
ybxa (a1, b1 keduanya tidak nol)
(a2, b2 keduanya tidak nol)
grafik persamaannya berupa garis-garis yang melalui titik asal, dan penyelesaian trivialnya berpadanan dengan
perpotongan di titik asal (Gambar 1).
y
x
y
x
a1x + b1ydana2x + b2y
011 ybxa
022 bxa
Gambar 1 Tak hingga banyaknya penyelesaianHanya satu penyelesaian trivial
Tak hingga banyaknya penyelesaian
Ada suatu kasus dimana suatu sistem homogeny dijamin mempunyai penyelesaian tak trivial, yaitu jika sistem tersebut mencakup jumlah peubah yang lebih banyak daripada jumlah persamaannya
Contoh 6. Selesaikan sistem persamaan linear homogeny berikut ini dengan eliminasi Gauss-Jordan.
0222 5321 xxxx
(1)
0
0
032
543
5321
54321
xxx
xxxx
xxxxx
Penyelesaian. Matriks yang diperbesar untuk sistem ini adalah
011100
010211
013211
010122
Dengan mereduksi matriks ini menjadi bentuk eselon baris tereduksi, kita peroleh
000000
001000
010100
010011
Sistem persamaan yang berpadanan adalah
0521 xxx(2)
053 xx
04 x
Menyelesaikan untuk peubah utama menghasilkan
04
53
521
x
xx
xxx
Jadi, penyelesaian umumnya adalah
txxtxsxtsx 54321 ,0,,,
Perhatikan bahwa penyelesaian trivial diperoleh jika 0ts