Upload
phe-phe
View
365
Download
18
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Analisis Vektor Persamaan Bidang Bidang Normal Bidang Sejajar Bidang Tegak Lurus
Citation preview
BIDANG
Persamaan Bidang
Bidang Normal
Bidang Sejajar
Bidang Tegak Lurus
Diberikan titik P0 ( x0, y0,z0 ), P (x, y, z) dan vektor tak nol n = ( a, b, c ) sedemikian hingga
tegak lurus terhadap n
Sehingga dapat ditulis
n = 0
Persamaan Bidang
P0P
n
P0 = r0 dan P = r, maka = ( r - r0 ) maka persamaan diatas menjadi :
n ( r - r0 ) = 0
Persamaan Bidang
P0P
n
( r - r0 )Persamaan ini disebut dengan vektor persamaan bidang dan n disebut vektor normal
r0 = ( x0, y0,z0 ) dan r = ( x, y, z ) dan n ( a, b, c ) maka ( r - r0 ) = ( x - x0, y - y0, z - z0 ) sehingga persamaan diatas menjadi :
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Persamaan Bidang
P0P
n
( r - r0 )Persamaan ini merupakan bentuk umum persamaan bidang
Contoh Soal
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (3, -1, 4) dan memiliki normal vektor (2, 5, -3)!
2(x – 3) + 5(y + 1) – 3(z – 4) = 0
Bentuk sederhananya: 2x + 5y - 3z + 11 = 0
Dari bentuk umum persamaan bidang dan bentuk sederhana yang didapatkan dari contoh diatas, didapatkan persamaan baru:ax + by + cz + d = 0
Dengan d = - (ax0 + by0 + cz0)
Contoh :Carilah persamaan bidang yang terdiri dari titik P (1, 0, -3),Q (2, -5, -6) dan R (6, 3, -4)
Vektor Normal
R
Q
Vektor normal tidak selalu diberikan secara jelas tetapi dapat ditemukan dari informasi yang diberikan. Caranya dengan menggunakan cross product
P
Pembahasan
Vektor dan terletak pada bidang, sehingga vektor normalnya dapat dicari dengan cross product
= (1, -5, -3)= (5, 3, -1)
R
Q
P
karena setiap vektor tak nol yang tegak lurus terhadap bidang adalah vektor normal, maka kita bisa menentukan vektor n agar lebih mudah pengerjaannya:
n =
Dengan menggunakan titik P, didapatkan persamaanbidang sebagai berikut :( x - 1 ) - ( y – 0 ) + 2 ( z + 3 ) = 0x – y + 2z + 5 = 0
Bidang Sejajar
Dua buah bidang dikatakan sejajar ( // ) jika n1 = n2atau berkelipatan, sehingga:(a1, b1, c1) = λ (a2, b2, c2) dengan λ ≠ 0
Contoh Soal
Tentukan persamaan bidang V2 yang sejajar dengan bidang V1 = x + y + 5z = 9 dan bidang V2 melalui titik (0,2,1) !
Pembahasan
V1 = x + y + 5z = 9, karena V1 sejajar V2 maka :n1 = n2n1 = (1, 1, 5) maka V2 = x + y + 5z + d = 0Karena V2 melalui titik ( 0, 2, 1 ), maka :V2 = x + y + 5z + d = 0 0 + 2 + 5(1) + d = 0
7 + d = 0 d = -7Sehingga persamaan bidang V2 = x + y + 5z – 7 = 0
Bidang Tegak Lurus
Dua buah bidang dikatakan tegak lurus ( ) ketika n1.n2 = 0 sehingga (a1 a2 + b1 b2 + c1 c2) = 0
Contoh :Tentukanlah apakah bidang – bidang x – y – 3z = 5 dan 2x – y + z = 1 tegak lurus.
Pembahasan
Jawab :V1 = x – y – 3z = 5, maka n1 = ( 1, -1, -3 )V2 = 2x – y + z = 1, maka n2 = ( 2, -1, 1 ).Kedua normal bidang merupakan vector – vector orthogonal, n1.n2 = 0Maka : (1) (2) + (-1)(-1) + (-3) (1) = 0.Jadi bidang V1 dan bidang V2 saling tegak lurus.
Latihan Soal1. Tentukan vektor normal dan persamaan bidang yang
melalui garis r= (2 – t , 3 + 4t , - 1 - 2t ) dan titik (5, -2, 7)!
2. Tentukan persamaan bidang V2 yang tegak lurus pada bidang V1 = x + y + z = 1 serta melalui titik (0,0,0) dan (1,1,0) !
3. Cari persamaan bidang melalui ( -2, 1, 5 ) yang tegak lurus bidang 4x – 2y + 2z +1 = 0 dan 3x + 3y – 6z = 5
4. Tentukanlah apakah bidang – bidang x + 2y – 2z = 5 dan 6x -3y + 2z = 8 sejajar.