Upload
thanuphong-ngoapm
View
88
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
เรขาคณต
วเคตร
าะห
ระบบ
แกนพ
กดฉาก
ระยะทางระห
วางจด
2 จด
การห
าจดแ
บงระหว
าง
จด 2
จด
• จด
กงกล
าง
• จด
แบงเป
นอต
ราสว
น
เสนต
รง
• คว
ามชน
•
ระยะตด
แกน
• สม
การเส
นตรง
•
เสนข
นานแ
ละเสน
ตงฉาก
• ระยะทางจากจด
ไปยงเสนต
รง
• ระยะทางระห
วาง
เสนข
นาน
ภาคต
ดกรวย
วงกล
ม
• นย
าม
• จด
ศนยกลาง,ร
ศม
• สม
การวงกลม
พาราโบลา
• นย
าม
• จด
โฟกส
,จดยอด,
ไดเรก
ตรก
• สม
การพ
าราโบล
า •
เลตส
เรกตม
วงร
• นย
าม
• จด
ศนยกลาง,จ
ดโฟก
ส,แก
นเอก
,แกนโ
ท,คว
ามเยอ
งศนย
กลา
• สม
การวงร
• เลตส
เรกตม
ไฮเปอรโบลา
• นย
าม
• จด
ศนยกลาง,จ
ดจดโฟก
ส,จด
ยอด,แ
กนตามข
วาง,
แกนส
งยค,เ
สนกากบ
•
สมการไฮเป
อรโบ
ลา
• เลตส
เรกตม
โจทย
ปญหา
2
เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย
1.ระบบแกนพกดฉาก
ประกอบไปดวยแกน 2 แกน คอ แกนนอน และ แกนตง โดยแกนนอนคอ แกน x และแกนตงคอแกน y โดยทง 2 แกนตดกนเปนมมฉาก และเรยกจดตดดงกลาววาเปน จดกาเนด เราใชสญลกษณ (x,y) แสดงตาแหนงของจดบนแกนพกดฉาก xy โดยเรยก x วา “พกดแรก” และเรยก y วา “พกดหลง” โดยแกน x และ y จะแบงระนาบพกดออกเปน 4 สวน คอ Q1 เรยกวา ควอดรนตท 1 Q2 เรยกวา ควอดรนตท 2 Q3 เรยกวา ควอดรนตท 3 และ Q4 เรยกวา ควอดรนตท 4 2.การหาระยะระหวางจด 2 จด
ถา P(x1,y1) และ Q(x2,y2) เปนจด 2 จดในระนาบ ระยะทางระหวางจด P และ จด Q สามารถหาไดโดยใชสตรดงน
Q1 Q2
Q3 Q4
3
2 2
2 1 2 1( ) ( )PQ x x y y= − + −
1 1( , )P x y ตวอยาง เชน
1. ระยะทางระหวางจด (2,7) และ (3,5) คอเทาใด วธทา คอ 2 2(3 2) (5 7)− + −
2 21 ( 2)
5
= + −
=
2. ระยะทางระหวางจด (0,0) และ (3,4) คอเทาใด วธทา คอ 2 2(0 3) (0 4)− + −
2 2( 3) ( 4)
9 16
255
= − + −
= +
==
3.การหาจดแบงระหวางจด 2 จด
3.1 จดกงกลาง ถากาหนดให P(x1,y1) และ Q(x2,y2) เปนจด 2 จด จดกงกลางระหวางจด 2 จด คอ
1 2 1 2( , )2 2
x x y y+ +
•
•2 2( , )Q x y
2 22 1 2 1( ) ( )PQ x x y y= − + −
4
ตวอยาง เชน 1. จงหาจดกงกลางของ (3,6) กบ (5,12)
วธทา จดกงกลาง = 3 5 6 12( , )
2 2+ +
(4,9)= 2. จงหาจดกงกลางของ (4,4) และ (5,5)
วธทา จดกงกลาง = 4 5 4 5( , )
2 2+ +
9 9( , )2 2
=
3.2 จดแบงระหวางเสนตรงทไมแบงครง เชน ถากาหนดใหจด P(x1,y1) และ Q(x2,y2) จดแบงเสนตรง PQ ออกเปนอตราสวน m:n จะมพกด (x,y) ดงน
1 2
1 2
x m x nxm n
y m y nym n
+=
++
=+
ตวอยาง เชน
1. กาหนดจด P(1,2) และ Q(5,4) จงหาจดแบงเสนตรง PQ ทแบงเสนตรง PQ ออกเปนอตราสวน 1:3 ดงรป
•
••
2 2( , )Q x y
1 1( , )P x y m n
5 วธทา จากรปจด R(x,y) เปนจดแบงเสนตรง PQ ออกเปนอตราสวน 1:3
จากสตร (1)(3) (5)(1)
1 3x +=
+
4 5
4x +=
94
x∴ =
และ (2)(3) (4)(1)
1 3y +=
+
6 44
104
52
y
y
y
+=
=
∴ =
2. ให C(x,y) เปนจดซงแบงสวนของเสนตรงทมจดปลายท P(3,7) กบ Q(-3,4)
ออกเปนอตราสวน 23
PCPQ
= จงหาจด C
วธทา 1) วาดรป
•1 3
•
•
(1, 2)P
(5, 4)Q
( , )R x y
2
( 3, 4)Q −
(3,7)P
( , )C x y
••
•
3
••
•( 3, 4)Q −
( , )C x y
(3,7)P
1 2
6
2) ใชสตร
( 3)(2) (3)(1)1 2
6 33
33
1
x
x
x
x
− +=
+− +
=
−=
∴ = −
(4)(2) (7)(1)1 2
8 73
153
5
y
y
y
y
+=
++
=
=
∴ =
3) ∴ จด C เทากบ (-1,5) 4.เสนตรง
4.1) ความชน ความชน คอความเอยงของเสนตรงในระนาบพกดฉาก มคาอยในชวงของจานวนจรงทมคาเปนบวก ศนย และลบ สตรทใชในการหาคาความชน เราใชสญลกษณ m=ความชน , เราตองทราบจด 2 จด เราถงจะรคาความชนของเสนตรงทเชอมจด 2 จดนน ดงรป
θ θ
θ = มมแหลม θ = 0 องศา θ = มมปาน
2 2( , )Q x y
1 1( , )P x y •
•2 1
2 1
y ymx x−
=−
7
4.2) ระยะตดแกน เสนตรงในระบบพกดฉาก จะมระยะตดแกน คอ ระยะตดแกน x และระยะตดแกน y
ยกเวน เสนตรงในแนวนอนและแนวตง ตวอยางดงรป 4.3) สมการเสนตรง
เราสามารถเขยนสมการเสนตรงโดยมความสมพนธกบ ความชน(m) และระยะตดแกน y ไดดงนคอ เชน y=3x+4 สามารถวาดสมการสนตรงในระบบพกดฉากไดคอเปนเสนตรงทมความชนเทากบ 3(เปนบวก→ มมแหลม) และมระยะตดแกน y เทากบ 4 นอกจากจะเขยนสมการเสนตรงในรป y=mx+c แลว ยงสามารถเขยนสมการเสนตรงไดในรปแบบ Ax+By+C=0 เมอ A,B และ C เปนจานวนจรง เชน 3x+4y+5=0 วธการวาดกราฟกแทน x=0 แลวหาคา y 3(0)+4y+5=0 4y+5=0
ระยะตดแกน y
ระยะตดแกน x
y mx c= +
ระยะตดแกน y = 4
3 4y x= +
54
y −=
8
หลงจากนนแทน y=0 และหาคา x 3x+4(0)+5=0 3x+5=0
นาจดทง 2 จด คอ 5(0, )
4−
และ 5( ,0)
3−
มาเขยนกราฟเสนตรงไดดงน
หรอจะแปลง 3x+4y+5=0 ใหอยในรป y=mx+c คอ
3x+4y+5=0 3 5
4 4y x−= −
วาดกราฟไดเหมอนกน ดงรป 4.4) เสนขนานและเสนตงฉาก เสนขนาน คอ เสนตรง 2 เสนจะขนานกน กตอเมอ มความชนเทากน
53
x −=
3 4 5 0x y+ + =
3 4 5 0x y+ + =
9
เสนตงฉาก คอ เสนตรง 2 เสน จะตงฉากกน กตอเมอ ความชนคณกนได -1
ตวอยาง เชน
1. จงพจารณาวา เสนตรง y=3x+5 และ y=3x-1 ขนานกนหรอไม วธทา
1) หาความชนของเสนตรงทง 2 เสน
2) เสนตรงทง 2 เสนขนานกน
2. จงพจารณาวาเสนตรง 3x+4y=5 และ 6x+8y=7 ขนานกนหรอไม วธทา 1) หาคาความชนของเสนตรงทง 2 เสน
2) เสนตรงทง 2 เสนขนานกน
3 5y x= + 3m =
3 1y x= − 3m =
ความชนเทากน
3 4 5x y+ = 3 54 4
y x−= +
34
m −=
6 8 7x y+ = 6 78 8
y x−= +
6 78 8
y x−= +
34
m −=
ความชนเทากน
10
3. จงพจารณาวา เสนตรง 3x+4y=2 และ 4x-3y=2 ตงฉากกนหรอไม วธทา 1) หาคาความชนของเสนตรงทง 2 เสน
2) เสนตรงทง 2 เสนตงฉากกน 4.5) ระยะทางจากจดไปยงเสนตรง
1 1
2 2
Ax By Cd
A B
+ +=
+
เมอ d = ระยะทางจากจด (x1,y1) ไปยงเสนตรง Ax+By+C=0 ตวอยาง เชน
1. จงหาระยะทางจากจด (1,1) ไปยงเสนตรง 2x+3y-1=0 วธทา
1) เทยบ 2x+3y-1=0 กบ Ax+By+C=0
3 4 2x y+ = 3 24 4
y x−= +
34
m −=
4 3 2x y− = 4 23 3
y x= + 43
m =
3 4 14 3−⎛ ⎞⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
0Ax By C+ + =
1 1( , )x y •d
11
2) ทราบคา A,B และ C หมดทกตว รวมทงคา (x1,y1) ใชสตร
2 2
2(1) 3(1) 1
2 3413
413
d
d
d
+ −=
+
=
∴ =
4.6) ระยะทางระหวางเสนขนาน
1 2
2 2
C Cd
A B
−=
+
เมอ d = ระยะหางระหวางเสนตรง Ax+By+C1=0 และ Ax+By+C2=0 ตวอยาง เชน
1. จงหาระยะทางระหวางเสนขนาน 3x+4y-5=0 และ 3x+4y-4=0 วธทา
1) 1 2
2 2
C Cd
A B
−=
+
2) A=3 , B=4 ,C1=-5 และ C2=-4
3) แทนคา 2 2
5 ( 4)
3 4d
− − −=
+
1 1
525d
−∴ = =
2, 3A B= = และ 1C = −
12
แบบฝกหด
1. จงหาระยะหางระหวางจด 2 จด ตอไปน 1.1) 1 2(2, 4), (2, 5)P P − 1.2) 1 2(3,7), (6,7)P P 1.3) 1 2(4, 1), (7, 3)P P− − 1.4) 1 2(4,5), (1,1)P P
13
2. ถาระยะหางระหวางจด (2,3) และ ( ,0)k เปน 5 หนวย จงหาคา k
3. จงหาระยะหางระหวางจด (5,9) กบแกน x , แกน y และจดกาเนด
4. จงหาคา y ถา (4, )y อยหางจากจด ( 5, 2)− และ (13, 6)− เปนระยะเทากน
14
5. ใหหาจด P บนแกน x ซงอยหางจากจด 1(1, 2)P − และ 2 (3,5)P เปนระยะทางเทากน
6. จงพจารณาขอความตอไปนถกหรอไม 6.1) จด (1, 2), ( 3,10)D E − และ (4, 4)F − อยบนเสนตรงเดยวกน 6.2) จด ( 2,3), ( 6,1)A B− − และ ( 10, 1)C − − อยบนเสนตรงเดยวกน
15
6.3) จด (10,5), (3, 2)A B และ (6, 5)C − เปนจดมมของสามเหลยมมมฉาก
7. จงหาจดกงกลางระหวางจด ( 4,6)− และ (5, 2)−
8. จด M เปนจดกงกลางของสวนของเสนตรง PQ จงหาพกดของ P ถา 8.1) M มพกดเปน (1, 2) และ Q มพกดเปน (3, 4)
16
8.2) M มพกดเปน (5,6) และ Q มพกดเปน (15, 4)−
9. จงหาพกดของจดปลายเสนมธยฐานของรปสามเหลยมทมจดยอดท (9,0), (2, 4)A B − และ ( 3,1)C −
17
10. (5,7), ( 3,9), (9, 4)A B C− − เปนจดยอดของสามเหลยมรปหนง จงหาความยาวของเสนมธยฐานจากจด B ไปยงดาน AC
11. กาหนดจด ( 1,0)A − และ (2, 4)B จงหาพกดของจด P เมอ P อยบนสวนของเสนตรง AB ททาให : 2 :1AP PB =
18
12. จงหาพกดของจด M เมอ M อยบนสวนของเสนตรง AB ซง (2,5)A และ (6,3)B และทาให : 3 : 4AM MB =
13. จงหาจดทอยหางจากจด (3,5) เปน 2 เทาของระยะหางจากจด (2, 4) และจดนอยบนเสนเชอมจดทงสอง
19
14. จงหาความชนของเสนตรงทผานจด ( 2,3)− และ ( 1,5)−
15. จงหาคา x ททาใหเสนตรงทผานจด (4, )A x และจด ( 1, 2)B − − มความชน
เทากบ 13
−
16. จงหาคา x ททาใหเสนตรงทผานจด ( 2, 2)C x− + และจด (1 3 ,3)D x− มความชนเทากบ 4−
20
17. เสนตรงเสนหนงมความเอยงเปน 60 จะมความชนเทากบเทาใด
18. เสนตรงทผานจด ( ,7)K และ ( 3, 2)− − ขนานกบเสนตรงทผานจด (3, 2)และ (1, 4)− จงหาคา K
19. เสนตรงทผานจด ( ,7)K และ ( 3, 2)− − ตงฉากกบเสนตรงทผานจด (3, 2)และ (1, 4)− จงหาคา K
21
20. จงหาความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงทผานจด (3,1) และมความชนเทากบ 12
21. จงหาความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงทผานจด ( 1, 2)− และ (3, 4)
22. จงหาความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงทผานจด ( 1,0)− และขนานกบเสนตรงทผานจด (1, 2) และ (3, 4)
22
23. จงหาความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงทผานจด ( 1, 4)− − และตงฉากกบเสนตรงทผานจด ( 1,3)− และ ( 2, 2)− −
24. จงหาความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงเมอกาหนดความชนเปน 32 และระยะตดแกน
y เปน -5
25. จากสมการเสนตรงตอไปน เสนตรงมความชนเทาใด และมระยะตดแกน y ใด 25.1) 4 6y x= +
25.2) 3 42
y x= −
25.3) 4 8 4y x= −
23
26. จงแสดงวาเสนตรง 3 2 6y x= − ขนานกบเสนตรง 2 13
y x= +
27. จงแสดงวาเสนตรง 2 8x y+ = ตงฉากกบเสนตรง 1 52
y x= −
28. จงบอกความชนของเสนตรงตอไปน พรอมทงบอกจดตดแกน x และแกน y 28.1) 2 3 6x y− = 28.2) 4 8x y− = 28.3) 2 4 0y + =
24
29. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (7,5) และขนานกบเสนตรง 2 12 0x y+ + =
30. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (3, 2) และตงฉากกบเสนตรง 2 12 0x y+ + =
31. จงหาสมการเสนตรงทตงฉากกบเสนตรง 7 11 0x y− − = และผานจดทเสนตรง7 11 0x y− − = ตดกบเสนตรง 3 5 7 0x y+ − =
25
32. จงหาระยะระหวางเสนตรง 6 8 4 0x y− + = กบจด (2, 3)−
33. จงหาสมการเสนตรงทขนานกบเสนตรง 3 4 7 0x y− + = และอยหางจากจด (5, 2)− เปนระยะ 4 หนวย
34. จงหาสมการเสนตรงทขนานกบเสนตรง 4 3 26 0x y− + = และอยหางจากจด (8,8) เปนระยะ 2 หนวย
26
35. จงหาสมการเสนตรงทตงฉากกบเสนตรง 12 5 7y x= − และอยหางจากจด ( 1, 2)− เปนระยะ 3 หนวย
36. จงหาระยะระหวางเสนคขนานตอไปน 36.1) 3 4 7 0x y+ − = และ 3 4 3 0x y+ + = 36.2) 3 4 7 0x y− − = และ 6 8 16 0x y− + =
27
37. ถาเสนตรง 12 5 10 0x y− − = เปนเสนตรงทอยกงกลางระหวางเสนขนานคหนง ซงอยหางกน 8 หนวย จงหาสมการของเสนขนานคน
38. กาหนดเสนตรง 1 : 2 3 24 0L x y+ − = ใหหาสมการเสนตรงทหางจาก 1L เปนระยะทาง 2 13 หนวย
28
5.ภาคตดกรวย
5.1) วงกลม กราฟวงกลม คอ กราฟทมทางเดนของจดหางจากจดคงท จดหนง เปนระยะทางคงท เราเรยกจดคงทนวา “จดศนยกลางของวงกลม” และเรยกระยะทางคงทนวา “รศมของวงกลม” สมการของวงกลม คอ 2 2 2( ) ( )x h y k r− + − = โดยท (h,k) = จดศนยกลางของวงกลม r = รศมของวงกลม
( , )h k •
r 2 2 2( ) ( )x h y k r− + − =
29
แบบฝกหด
1. จากความสมพนธทใหกราฟเปนรปวงกลมตอไปน จงหาจดศนยกลางและรศมวงกลม 1.1) 2 2{( , ) | 6 4 3 0}x y x y x y+ − + − = 1.2) 2 2{( , ) | 4 0}x y x y y+ + = 1.3) 2 2{( , ) | 4 4 24 32 }x y x y x y+ + =
30
1.4) 2 2{( , ) | 2 4 10 0}x y x y x y+ + − − = 2. ใหหาสมการเสนสมผสกบวงกลม 2 2 6 4 12 0x y x y+ − + − = ทจด (6, 2)
31
3. จงหาสมการของวงกลมทมจดศนยกลางอยท (2, 1)− และรศมเทากบ 3 4. จงหาสมการของวงกลมทมจดศนยกลางอยท (5, 1)− และ เสนรอบวงยาว 14π หนวย 5. จงหาสมการวงกลมทมจดศนยกลางเปน (3, 4) และสมผสกบเสนตรง
2 5 0x y− + =
32
6. ใหหาความยาวของเสนสมผสทลากจากจด (0,1) ไปยงจดสมผสบนวงกลม 2 23 3 11 15 9x y x y+ + + = −
7. ใหหาคา k ททาให 2 2 6 8 0x y x y k+ − + + = เปนวงกลม
33
8. จงหาจดตดของวงกลม 2 2 3 0x y x y+ − − = และเสนตรง 1x y+ = 9. ใหหาสมการวงกลมทมรศม 2หนวย และสมผสกบวงกลมสองวงนคอ
2 2( 2) ( 1) 1x y− + + = และ 2 2( 6) ( 2) 4x y− + − = โดยมจดศนยกลางอยในควอดรนตท 1
34
10. หาสมการวงกลมทมรศม 1หนวย และสมผสกบเสนตรง 2y x= + และสมผสกบวงกลม 2 2 4 2 1 0x y x y+ − + + =
11. หาสมการวงกลมทแนบในสามเหลยมทเกดจากเสนตรงสามเสนนตดกนคอ
2 3 21 0,3 2 6 0x y x y− + = − − = และ 2 3 9 0x y+ + =
35
12. เสนตรงเสนหนงมความชนเทากบ 43
− และผานจดศนยกลางของวงกลม2 2 4 2 4x y x y+ − + = ถาเสนตรงเสนนตดกบวงกลมวงนทจด A กบ B และ
กาหนดจด ( 1, 2)D − − แลวพนทของสามเหลยม ABD เทากบเทาใด
36
5.2) พาราโบลา กราฟพาราโบลา คอ กราฟของทางเดนของจดซงมระยะหางจากจดคงทจดหนงเทากบระยะหางจากเสนตรงคงทเสนหนง เรยกจดคงทนวา “ จดโฟกสของพาราโบลา” และเรยกเสนตรงคงทเสนนวา “เสนไดเรกตรกซของพาราโบลา”
5.2.1) พาราโบลาตะแคงขวา เมอ (h,k) = จดยอดของพาราโบลา c = ระยะจากจดยอดถงจดโฟกส
สมการพาราโบลา
พาราโบลาตะแคงขวา พาราโบลาตะแคงซาย พาราโบลาควา พาราโบลาหงาย
2( ) 4 ( ), 0y k c x h c− = − >
•
c c
•( , )h k
จดโฟกส
37
5.2.2) พาราโบลาตะแคงซาย เมอ (h,k) = จดยอดของพาราโบลา c = ระยะจากจดยอดถงจดโฟกส
5.2.3) พาราโบลาควา เมอ (h,k) = จดยอดของพาราโบลา c = ระยะจากจดยอดถงจดโฟกส
2( ) 4 ( ), 0y k c x h c− = − <
•
c c
( , )h k •
2( ) 4 ( ), 0x h c y k c− = − <
c
c
( , )h k •
•
38
5.2.4) พาราโบลาหงาย เมอ (h,k) = จดยอดของพาราโบลา c = ระยะจากจดยอดถงจดโฟกส
แบบฝกหด
1. จงหาจดยอด จดโฟกส สมการไดเรกตรก และความยาวเลตสเรกตม ของสมการพาราโบลาตอไปน
1.1) 2( 7) 12( 5)x y− = −
2( ) 4 ( ), 0x h c y k c− = − >
c
c
( , )h k •
•
39
1.2) 2 6( 4)y x= + 1.3) 2 8x y= 1.4) 2 6 4 3 0y y x− − − = 1.5) 22 12 16 66 0x x y− − + =
40
1.6) 23 12 12 0x x y− − + =
2. พาราโบลา 2
4xy x A= + + มกราฟผานจด (2,0) จงหาจดโฟกสของพาราโบลา
น
41
3. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (1,6) และผานจดโฟกสของพาราโบลา 2 4 4 8y y x− − =
4. จงหาสมการของพาราโบลา ทมจดยอด (3, 4) และโฟกส (1, 4)
42
5. จงหาสมการของพาราโบลา ทมไดเรกตรกคอเสนตรง 4y = − และโฟกสอยท (2, 2)−
6. จงหาสมการพาราโบลาทมเสนตรง 5y = คอเสนไดเรกตรก และมโฟกสอยทจด
ศนยกลางของวงกลม 2 2 6 2 6 0x y x y+ − + − =
43
7. จงหาสมการพาราโบลาทมจดยอดอยทจดศนยกลางของวงกลม2 2 4 2 4 0x y x y+ − + + = และโฟกสอยท (2,1)
8. ใหหาสวนประกอบตางๆของพาราโบลา ทมสมการเปน 2 2 2 3 0x x y− − − =
44
9. จงหาสมการพาราโบลาทมจดยอดอยท (1, 2)− และผานจด (2,1) โดยมแกนสมมาตรแนวตง
10. จงหาสมการพาราโบลาทผานจด ( 2,3), (3,18)− และ (0,3)
45
11. ใหหาสมการทางเดนของจด P(x,y) ซง 11.1) อยหางจากเสนตรง 4y = − เทากบระยะหางจากจด ( 2,8)− 11.2) อยหางจากเสนตรง 4x = − มากกวาระยะหางจากจด (3,1) อย 5 หนวย
46
12. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (1,6) และจดโฟกสของ 2 4 4 8y x y− − = 13. ใหหาสมการพาราโบลาทมเสนตรง 5y = เปนไดเรกตรกซ และมจดโฟกสอยทจด
ศนยกลางของกราฟ 2 26 6 2x x y y− = − −
47
5.3) วงร กราฟวงร คอ กราฟของทางเดนของจดทผลบวกของระยะจากจดคงท 2 จดมคาคงท เรยก จดคงท 2 จด นวา “จดโฟกสของวงร” สมการวงร เมอ (h,k) = จดศนยกลางของวงร a = ครงหนงของระยะแกนตามแกน x b = ครงหนงของระยะแกนตามแกน y
•
2 2
2 2
( ) ( ) 1,x h y k a ba b− −
+ = >
( , )h k
b
a ••
c
2 2 2c a b= −
48
เมอ (h,k) = จดศนยกลางของวงร a = ครงหนงของระยะแกนตามแกน x b = ครงหนงของระยะแกนตามแกน y
•( , )h k
b
a
2 2
2 2
( ) ( ) 1,x h y k a ba b− −
+ = <
•
•
c
2 2 2c a b= −
49
แบบฝกหด
1. จากสมการวงรตอไปน จงหาจดศนยกลาง จดโฟกส จดยอด ความยาวของแกนเอก ความยาวของแกนโท ผลบวกคงตวของระยะจากจดใดๆไปยงโฟกสทงสอง และความเยองศนยกลาง
1.1) 2 2
2 2
( 3) ( 5) 18 10
x y− −+ =
1.2) 2 2( 7) 1
25 16x y +
+ =
50
1.3) 2 29 18 6 9 0x y x y+ − − + = 1.4) 2 24 9 48 72 144 0x y x y+ − − + =
51
2. จงหาสมการวงรตอไปน 2.1) โฟกสหนง ( 8,1)− แกนโทยาว 4 หนวย จดศนยกลางคอ (0,1) 2.2) โฟกสอยท (0,2) และ (0, 2)− ผลบวกคงตวเทากบ 6 2.3) จดยอดคอ ( 5,0)− และ (5,0) และโฟกสหนง (2,0)
52
2.4) กราฟตดแกน x ทจด ( 4,0)− และ (4,0) และตดแกน y ทจด (0,2) และ (0, 2)−
2.5) มจดศนยกลางอยท (2,1) มจดโฟกสอยท (2,4) และจดยอดอยท (2, 4)−
53
2.6) จดศนยกลางอยท (3, 1)− แกนเอกขนานกบแกน y และยาว 8 หนวย โดยแกนโทยาว 6 หนวย
2.7) จดยอดอยท ( 4,2)− และ (2,2) โดยแกนโทยาว 4 หนวย 2.8) จดศนยกลางอยท ( 2,1)− มจดโฟกสท ( 2,4)− และผานจด ( 6,1)−
54
3. ใหหาสวนประกอบตางๆของวงร 2 27 16 28 96 60 0x y x y+ + − + = 4. ใหหาสวนประกอบตางๆของวงร 2 29 5 54 50 26 0x y x y+ − − + =
55
5. ใหหาสมการเสนตรงทผานจดศนยกลางของวงร
2 24 9 48 72 144 0x y x y+ − + + = และตงฉากกบเสนตรง 3 4 5x y+ = 6. นายแดงปนขนไปบนสะพานโคงทมลกษณะเปนครงวงร ปลายทงสองหางกน 4 เมตร และ
มระยะสงสด 1 เมตร ถาเขาอยบนสะพานในตาแหนงทหางจากปลายขางหนง เปนระยะตามแนวราบ 80 ซ.ม. เขาจะอยสงจากพนกเซนตเมตร
56
5.4) ไฮเปอรโบลา กราฟไฮเปอรโบลา คอ กราฟของทางเดนของจดทผลตางของระยะจากจดคงท 2 จด คงท เรยกจดคงท 2 จดวา “จดโฟกสของไฮเปอรโบลา” สมการไฮเปอรโบลา เมอ (h,k) = จดศนยกลางของไฮเปอรโบลา a = ครงหนงของระยะตามแกน x b = ครงหนงของระยะตามแกน y
2 2
2 2
( ) ( ) 1x h y ka b− −
− =
a
b •• •c
2 2 2c a b= +
( , )h k
57
เมอ (h,k) = จดศนยกลางของไฮเปอรโบลา a = ครงหนงของระยะตามแกน x b = ครงหนงของระยะตามแกน y
2 2
2 2
( ) ( ) 1y k x ha b− −
− =
( , )h k •
•
•
a
b
c
58
แบบฝกหด
1. จากสมการไฮเปอรโบลาตอไปน จงหาจดศนยกลาง จดโฟกส จดยอด ความยาวแกนตามขวาง ความยาวแกนสงยค และผลตางคงตวของระยะจากจดใดๆไปยงโฟกสทงสอง
1.1) 2 2
2 2
( 3) ( 5) 18 10
x y− −− =
1.2) 2 2( 7) 1
25 16x y +
− =
59
1.3) 2 26 2 36 59y x y x− + + = 1.4) 2 22 3 20 24 4 0x y x y− − − − =
60
2. จงหาสมการไฮเปอรโบลาตามคณสมบตตอไปน 2.1) จดยอดท (3, 2) และ (3, 4)− โฟกสท (3, 6)− 2.2) จดศนยกลาง ( 7,0)− โฟกสหนงอยทจดกาเนดแกนตามขวางยาว 6 หนวย
61
2.3) จดศนยกลางอยบนเสนตรง 4y = จดยอดหนงคอ (0, 2) และโฟกสหนงคอ (0,1)
2.4) จดศนยกลาง (2,1) มจดโฟกสท (2, 4)− และจดยอดท (2, 4)
62
2.5) จดศนยกลางอยท ( 3,1)− มจดยอดท (2,1) และแกนสงยคยาว 6 หนวย 2.6) จดโฟกสอยท ( 1, 6)− − และ ( 1, 4)− โดยแกนตามขวางยาว 6 หนวย 2.7) จดโฟกสอยท (0, 4) และ (0, 4)− และมจดปลายแกนสงยคเปน (3,0)
63
3. ใหหาสวนประกอบของไฮเปอรโบลาตอไปน 3.1) 2 29 4 36x y− = 3.2) 2 29 16 18 64 199 0x y x y− − − − =
64
3.3) 2 26 36 2 59 0x y x y− − − + = 3.4) 2 26 10 12 40 94 0x y x y− − − − =
65
3.5) 2 29 18 16 64 199x x y y− = + + 3.6) 2 26 10 12 40 94 0x y x y− − − − =
66
4. กาหนดวงกลมรปหนงมจดปลายของเสนผานศนยกลางอยบนจดศนยกลางและจดโฟกสดาน
หนงของไฮเปอรโบลา 2 29 16 90 64 17 0x y x y− − + + = แลววงกลมดงกลาวมพนทเทากบเทาใด
5. จงหาสมการเสนกากบของไฮเปอรโบลา 2 216 9 32 36 164 0x y x y− + + − =
67
6. กาหนด E แทนวงร 2 26 5 12 20 4 0x y x y+ + − − = ใหหาสมการไฮเปอรโบลาทมจดศนยกลางรวมกบ E มจดยอดอยทเดยวกบจดโฟกสของ E และมความยาวแกนสงยคเทากบความยาวของแกนโทของ E พอด
68
7. ใหบอกวาสมการตอไปนเปนสมการภาคตดกรวยรปใด 7.1) 2 225 16 100 96 156 0x y x y+ − + − = 7.2) 2 24 4 4 1 0x y x+ − + = 7.3) 2 2 6 9 0y x y+ − + =
69
7.4) 2 222 7 6 0x y+ + = 7.5) 2 22 4 6 0x y− + = 7.6) 2 23 6 6 7 9 0y x x y− − + + =