Antenas ubb

CURSO MODERNO EN TEORÍA Y DISEÑOS DE ANTENAS

Washington Alfonso Fernández Ravanales

UNIVERSIDAD DEL BÍO BÍO

Curso Moderno en Teoría y Diseños de Antenas, Autor: Washington Fernández R.

CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN Y MARCO DE REFERENCIA

1.0 INTRODUCCIÓN

La historia de las antenas de radio comienza al final del año 1887, con el primer

diseño que toma la forma de un lazo. Y es en el año 1901, que Marconi usa un

arreglo de 150 alambres de cobre y realiza la primera transmisión transoceánica.

El mayor avance en la teoría y diseño de antena, se realiza en la Segunda Guerra

Mundial con la introducción de las antenas para microondas, toma la forma de:

reflector, apertura y arreglos. La mayoría de este trabajo más tarde se incluye en

el libro clásico editado por S. Silver, “Microwave Antenna Theory and Design”

M.I.T, Radiation Laboratorios Series, año 1949, vol. 12. Un gran aporte en la teoría

de antena de alambre lineal, la realiza R. W. King y sus asociados en el Gordon

Mckay Laboratory of Harvard University, este trabajo se incluye en el libro:

“Theory of linear Antennas”, Harvard University Press, año 1956, J. D. Krauss de

Ohio University, introduce la antena helicoidal y mucho más en su libro clásico

“Antennas”, que se edita en el año 1950. S. K. Schelkunoff de Bell Laboratorios

provee la formulación matemática del mecanismo de radiación de muchas

antenas, el brinda el puente entre la teoría y el experimento para entender mejor

las antenas, mucho de sus trabajos se incorporan en el libro: “Antennas: Theory

and practice”, año 1952.

La incorporación de los computadores, permite resolver muchos problemas

matemáticos de antenas, utilizando técnicas de cálculo numérico, la resolución se


realiza por medio de 2 métodos: la teoría geométrica de difracción, que la

introduce J. B. Séller y sus asociados en la University New York en el año 1950 y

el método de los momentos, realizada por R. F. Harrington, University Syracuse

en el año 1960.

La palabra “antena”, proviene del hecho que los insectos poseen un órgano

que se denomina antena, el cual les permite comunicarse. La “antena de radio”

se define como: “la parte de un sistema de transmisión o recepción, el cual se

diseña para radiar o recibir ondas electromagnéticas ” (IEEE Std. 145-1983).

Algunos autores la definen como “una estructura asociada con una región de

transición entre una onda guiada y el espacio libre o viceversa”.

De acuerdo al objetivo a cumplir la antena: lleva el campo eléctrico lo más

lejos posible (transmisión) o aumenta la amplitud del campo eléctrico que se

recibe al máximo (recepción).

La figura 1.1 muestra la antena como un dispositivo de transmisión.

Figura 1.1 La antena como un dispositivo de transmisión.


Las antenas se clasifican de acuerdo a su forma en:

Alambre.

Apertura.

Arreglo de antena.

Reflector.

1.1 ANTENA DE ALAMBRE

Las antenas de alambres son muy familiares ellas se ven en cualquier parte,

como ser: en automóviles, edificios, barcos, aviones, satélites. Hay varias formas

de antenas de alambres tales como: dipolo, lazo y helicoidal.

1.2 ANTENA DE APERTURA

Las antenas de apertura, son más familiares hoy en día que en el pasado,

porque se ha incrementado la demanda de formas más sofisticada de antena y su

utilización para frecuencias más altas. Las antenas de este tipo se utilizan en

aviones y satélites, porque son muy convenientes para ser colocadas al exterior

de estas naves. Ejemplo de antenas de apertura son: corneta del tipo rectangular,

piramidal y cilíndrica.

1.3 ARREGLOS DE ANTENAS

En muchas aplicaciones se requieren características que no se obtienen con un

simple elemento, sin embargo es posible ir agregando elementos radiantes en un


arreglo geométrico, de esta forma es posible obtener la característica de radiación

que se desea, por ejemplo radiación máxima en una dirección particular o en

direcciones distintas. Ejemplos de arreglo de antenas son: antena Yagi-Uda,

antena log periódica, etc.

1.4 ANTENA REFLECTOR

El éxito en la exploración espacial provoca un avance en la teoría de antena.

Porque la necesidad de comunicarse desde grandes distancias, hace que

sofisticadas formas de antenas se usen para transmitir y recibir señales que viajan

miles de millones de kilómetros. La antena más exitosa es la antena reflector, que

obtiene una gran ganancia, la más común es la antena parabólica aunque menos

conocida es la antena esquina reflector.

Las antenas se pueden clasificar también de acuerdo a la forma de radiar o

recepcionar el campo electromagnético:

Direccionales.

Omnidireccionales.

1.5.1 ANTENAS DIRECCIONALES

Son aquellas que tienen la propiedad de radiar o recibir la onda

electromagnética más eficientemente en una dirección que en otra (IEEE std

145-1983).


1.5.2 ANTENAS OMNIDIRECCIONALES

Son aquellas las cuales tienen la propiedad de radiar o recibir la onda

electromagnética desde cualquier ángulo. La IEEE std 145-1983, la define como:

tiene un patrón no direccional en el plano de la antena y un plano direccional

en cualquier otro plano ortogonal.

Otra forma de clasificar las antenas es de acuerdo a como transmite o recibe el

campo eléctrico, según esto se tiene el siguiente tipo de polarización:

Horizontal.

Vertical.

Circular.

1.6.1 POLARIZACIÓN HORIZONTAL

El campo eléctrico se propaga paralelo a la superficie terrestre. Se tienen dos

tipos polarizaciones horizontales.

Polarización horizontal positiva.

Polarización horizontal negativa.

La figura 1.2 muestra los dos tipos de polarizaciones horizontales.

Polarización

horizontal

+-

Figura 1.2 La polarización horizontal positiva (+) y negativa (-).


1.6.2 POLARIZACIÓN VERTICAL

El campo eléctrico se propaga perpendicular a la superficie terrestre. Se

tienen dos tipos de polarizaciones verticales:

Polarización vertical positiva.

Polarización vertical negativa.

La figura 1.3 muestra los dos tipos de polarización vertical.

+

-

Polarización

vertical

Figura 1.3 Los dos tipos de polarización vertical positiva (+) y negativa (-).

1.6.3 POLARIZACIÓN CIRCULAR

En este caso el campo eléctrico va rotando, por lo tanto, describe “una

circunferencia o una elipse”, se tiene: polarización circular y polarización

elíptica respectivamente.

Si el campo eléctrico se mueve en el sentido de las manecillas del reloj (sentido

horario), se denomina “polarización circular mano derecha”, si es en el otro

sentido se denomina “polarización circular mano izquierda”. La figura 1.4

muestra las polarizaciones circular y elíptica mano derecha.


E E

Circular mano derecha Elíptica mano derecha

Figura 1.4 Polarización circular y elíptica mano derecha.

1.7 MECANISMOS DE RADIACIÓN

Una pregunta es: ¿Como se realiza la “radiación”?, es decir, como la antena

“expulsa” la onda electromagnética al espacio libre. Para explicar esto considere:

Una fuente (en este caso particular: una fuente de

voltaje).

Una línea de transmisión (por ejemplo: 2 alambres,

guía de onda, etc.).

La antena.

Esquemáticamente se muestra en la figura 1.5.

Figura 1.5 Mecanismo para explicar el mecanismo de radiación.


Cuando se aplica un voltaje a la línea de transmisión, se crea un “campo

eléctrico entre los conductores”. El campo eléctrico asociado con las líneas de

fuerza eléctricas son tangentes al campo eléctrico en cada punto y su fuerza es

proporcional a la intensidad del campo eléctrico en cada punto. Las líneas de

fuerzas tienden actuar en los electrones libres, provocando que los electrones

libres de los átomos de cada uno de los conductores se desplacen, este

desplazamiento de electrones “es una corriente eléctrica”, como resultado de

esta corriente eléctrica, se crea un “un campo de intensidad magnética”. Los

campos eléctricos y magnéticos son “perpendiculares entre sí”.

La figura 1.6 muestra la creación del campo eléctrico.

Figura. 1.6 La creación del campo eléctrico.

Para visualizar mejor el mecanismo de radiación es interesante asociarlo con las

ondas que se forman en el agua, si se produce una “perturbación” (empujar el

agua), se genera una onda, la cual si se saca la perturbación “la onda igual

sigue propagándose”, por lo tanto, no es necesario que la creación de carga

eléctrica permanezca para que la onda electromagnética siga propagándose.


Si se mantiene la fuente perturbadora (creación de carga) se crea “una onda

electromagnética continua”.

1.8 TEOREMA DE RECIPROCIDAD

El teorema de reciprocidad tiene una importancia fundamental en la

determinación de muchas de las propiedades de un sistema de antena. El teorema

se establece de la siguiente forma:

La posición de un generador de voltaje sin impedancia y un amperímetro sin

impedancia, en un circuito pasivo se puede intercambiar, sin afectar la corriente a

través del amperímetro ya sea en su fase y magnitud relativo al generador del

voltaje.

La posición de un generador de corriente constante y un voltímetro de

impedancia infinita en un circuito pasivo se puede intercambiar sin afectar el

voltaje a través del voltímetro ya sea en su fase y magnitud relativo al generador

de corriente.

La validez del teorema de reciprocidad permite la determinación de la mayoría

de las propiedades de la antena desde las mediciones realizadas en el sistema ya

sea para la condición de transmisión o recepción.


1.9 ATENUACIÓN DE PROPAGACIÓN DE LA ONDA ELECTROMAGNÉTICA

EN EL ESPACIO LIBRE

Considere un radiador isotrópico el cual emite una potencia tP , la densidad de

potencia por unidad de superficie en un punto a la distancia “d”; el frente de onda

del radiador isotrópico es una esfera y se determina por:

24 d

PP t

(1.1)

La figura 1.8 muestra un frente de onda de un radiador isotrópico.

P

Pt

d

Figura 1.8 Frente de onda de un radiador isotrópico.

Si en el punto a la distancia “d” del radiador isotrópico, se coloca una antena

receptora de área efectiva “S”, la potencia que se recibe es:

SPP tr (1.2)

El área efectiva de una fuente isotrópica se considera como:

4

2 gS (1.3)

Donde:

S: Área efectiva de una fuente isotrópica.


: Longitud de onda.

g: Ganancia de la antena.

La potencia que se recibe es:

gd

PP t

r

44

2

2 (1.4)

Si la antena receptora es isotrópica, se tiene que g = 1, por lo tanto,

44

2

2d

PP t

r (1.5)

O bien:

24

d

P

P

r

t (1.6)

Se define como atenuación teórica de propagación en espacio libre 0A , al

cuociente entre la potencia radiada y la potencia recibida por las antenas

isotrópicas, es decir:

24

dAo (1.7)

En forma logarítmica se tiene:

logdloglogdBAo 2020420 (1.8)

La velocidad se define como:

t

sV (1.9)

Donde:


V: Velocidad en metros por segundo.

s: Distancia que se recorre en metros.

t: Tiempo en segundo.

La longitud que recorre la onda en un periodo T, es una longitud de onda ,

luego la (1.9) se expresa como:

T

V

(1.10)

El período se relaciona con la frecuencia por:

T

f1

(1.11)

Se reemplaza la (1.11) en (1.10), se tiene:

fV (1.12)

Como la onda electromagnética viaja por el espacio libre la (1.12) es:

fc (1.13)

Donde:

c: Velocidad de la luz en metros por segundo.

f: Frecuencia en Hertz.

: Longitud de onda en metros.

Despejando de (1.13) y se reemplaza este valor en la (1.8) se tiene:

2

4

c

fdAo

(1.14)

En forma logarítmica:


flogdlogc

logdBAo

20204

20

(1.15)

De (1,15) se infiere que la atenuación teórica de propagación en espacio libre

depende directamente tanto de la frecuencia como de la distancia, es decir:

2

22

11

2

1

fd

fd

A

A

o

o (1.16)

En la figura 1.9 se tiene un normograma para la atenuación teórica de espacio

libre en función tanto de la frecuencia como la distancia:


Figura 1.9 Normograma de la atenuación teórica de propagación en espacio

libre entre dos antenas isotrópicas.

Si “d” y “ ” se expresan en metros, se tiene que la (1.15) es:


logdlogAo 202022 (1.17)

Si “d” se expresa en km y en metros:

logdlogAo 202082 (1.18)

Si “d” se expresa en km y f en MHz:

flogdlog.Ao 2020532 (1.19)

Un concepto que se emplea en telecomunicaciones es la potencia efectiva

radiada isotropicamente (EIRP), la cual se define como: la ganancia de potencia

de una antena transmisora en una dirección dada multiplicada por la

potencia neta aceptada por una antena desde el transmisor.

txi GPEIRP (1.20)

Donde:

iP : Potencia de entrada.

txG : Ganancia antena transmisora.

1.10 SÍMBOLOS, UNIDADES Y FRECUENCIA DE OPERACIÓN

1.10.1 SÍMBOLOS Y UNIDADES

Los símbolos y unidades en el estándar IEEE Std. 145-1983 son:

R: Resistencia en Ohms

C: Capacitancia en Faradios

d: Distancia desde el transmisor al receptor


D: Diámetro del conductor (metro)

E: Intensidad del campo eléctrico (V / m)

f: Frecuencia en Hertz

g: Ganancia de la antena

H: Intensidad del campo magnético (A / m)

h: Altura sobre la tierra de la antena (m)

I: Corriente en Amperes

Ld: Longitud física del dipolo (m)

ld: Longitud efectiva del dipolo (m)

P: Potencia en Watts

V: Voltaje en Volts

: Longitud de onda en metros

c: Velocidad de propagación de la luz

c: Velocidad de propagación de la onda electromagnética en el vacío 300 x

106 (m / seg)

Z : Impedancia en el espacio libre (valor de 377 Ohms)

[I]: Corriente retardada.

[V]: Voltaje retardado.

1.10.2 ALGUNOS VALORES DE PREFIJOS SON:

pico: 1x 10-12, nano: 1x 10-9, micro: 1x 10-6, mili 1x 10-3, centi: 1x 10-2


Deca: 10, Hecto: 1x 102, Kilo: 1x 103, Mega: 1x 106, Giga: 1x 109, Tera:

1x1012

Permeabilidad espacio libre: 4x107 [Henry Metro]

1.10.3 FRECUENCIA DE OPERACIÓN

El espectro electromagnético se divide en las frecuencias de operación que se

dan dada en la tabla 1.1, de acuerdo a la IEEE (Instituto de Ingeniero Eléctrico y

Electrónico).

Tabla 1.1 Espectro de frecuencia de acuerdo al IEEE.

Rango de frecuencia Designación

3 – 30 kHz VLF: Muy Baja Frecuencia

30 – 300 kHz LF: Baja Frecuencia

300 – 3000 kHz MF: Frecuencia Media

3 – 30 MHz HF: Alta Frecuencia

30 – 300 MHz VHF: Muy Alta Frecuencia

300 – 3000 MHz UHF: Ultra Alta Frecuencia

Se subdivide en:

1.0 – 2.0 GHz Banda L

2.0 – 3.0 – GHz Banda S

3 – 30 GHz SHF: Super Alta Frecuencia


Se subdivide en:

4.0 – 8.0 GHz Banda C

8.0 – 12.0 GHz Banda X

12.0 – 18.0 GHz Banda Ku

18.0 – 27.0 GHz Banda K

27.0 – 30.0 GHz Banda Ka

30 – 300 GHz EHF: Extremadamente Alta

frecuencia


1.11 PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Un enlace de microondas, tiene un rango de cobertura de 50 Km, la

temperatura de ruido del sistema es de 1000º K. El ancho de banda del sistema es

de 1x108 Hz y la longitud de onda es de 3 cm. Las ganancias de la antena

transmisora y antena receptora es de 10 dB.

Encuentre la potencia transmitida que se requiere si se desea tener un SNR de

40 dB.

Solución:

Se tienen los siguientes datos: rango = 50 Km, temperatura del sistema

KºTsist 1000 , ancho de banda del sistema HzxB 8101 , la longitud de onda

cm3 , ganancias de las antenas transmisora y receptora dBGG rxtx 10 y la

razón de señal a ruido de dBSNR 40 .

La potencia de ruido es:

BTkPn

Donde:

k: Constante de Bolzmant.

K/Jx.k 2310381 .

KºTT sist 1000 .

HzxB 8101 .

Reemplazando se tiene:


Wx.)Hz(x)K(º)K/J(x.Pn12823 10381101100010381

dBW.Pn 60118

La razón de señal a ruido se define en dB, como:

nsdB PPSNR

Donde:

Ps: Potencia señal (recibida).

Pn: Potencia de ruido.

Despejando la potencia de la señal de la recibida, se tiene:

ndBrx PSNRP

dBW).(Prx 6011840

dBW.Prx 678

La potencia transmitida es igual a la potencia recibida más la atenuación de

espacio libre menos las ganancias de las antenas transmisoras y receptoras:

orxtxrxtx AGGPP

Las pérdidas en el espacio libre son:

MHzKmo flogDlog.A 1010532

1000105010532 loglog.Ao

dB...Ao 4089409916532

La potencia que se transmite es:

dBW.dB.dB)(dBW.Ptx 11949891010678


W.Ptx 12270

2.- ¿Cuál es la máxima potencia que se recibe a una distancia de 0.5 Km en el

espacio libre de un sistema que transmite a 1 GHz con una antena transmisora de

25 dB de ganancia y una antena receptora con 20 dB de ganancia?. La potencia de

entrada a la antena transmisora es de 150 W.

Solución:

Se tiene:

mt.x

x

f

c30

101

1039

8

logdlogAo 202022

Reemplazando los valores numéricos se tiene:

dB...mt).log(mt)log(Ao 2213255223069922230205002022

Se tiene:

orxtxtxrx AGGPP

dBW....)log(Prx 539741221325202576121671724202515010

W.Prx 6032

3.- Dos espacio nave están separadas por 1x104 m, cada una tiene una antena con

una ganancia de 20 dB. Las espacios naves requieren como mínimo una potencia

de 1 pW para recepcionar la señal transmitida. ¿Qué potencia se necesita en el

transmisor, si se transmite a 2.5 GHz?.


Solución:

La atenuación es:

flogdlog.Ao 2020532

dB...x.logKm)xlog(.Ao 4618096678053210522010120532 34

orxtxtxrx AGGPP

Despejando Pt, se tiene:

orxtxrxtx AGGPP

Donde:

WxPrx12101 , dBWPrx 220

dBGG rxtx 20

dBW.dB.dBdBdBWPtx 460461802020220

W.Ptx 1111

4.- Se requiere tener un enlace con Marte, para transmitir imágenes y datos del

suelo Marciano, el transmisor opera a 2.5 GHz con un ancho de banda de 5 MHz, el

receptor en la tierra requiere una potencia de Hz

Wx 19101 y el receptor en Marte

requiere una potencia de Hz

Wx 17101 , la antena receptora en Marte tiene una

ganancia de 10 dB y la antena receptora en la tierra de 100 dB. Si la distancia tierra


a Marte requiere 6 minutos de la velocidad de la luz, especifique la potencia que

se transmite desde Marte a la tierra y desde la tierra a Marte.

Solución:

Se determina la distancia que se encuentra Marte de la Tierra:

)mt(tvd

Como se tiene la velocidad de la luz, entonces:

mtxx)s

mt(xd 98 10108606103

Caso de la recepción en la tierra:

La potencia que requiere el receptor terrestre es de Hz

Wx 19101 , el ancho de

banda es de: 5 MHz, por lo tanto, la potencia es de:

WxxxxPrxt13619 105105101

Las ganancias de las antenas son: 100 dB antena de la Tierra y 10 dB antena de

Marte.

Se determinan las pérdidas debido al espacio libre

flogdlog.Ao 2020532

2500201010820532 6 logxlog.Ao

dB....Ao 12626195967667160532

La potencia que se requiere en la tierra es de: WxPrxt13105 , que equivale a:

-123.010 dBW. La potencia del transmisor de Marte es de:


orxtxrxtxM AGGPP

dBW...PtxM 11624812626110100010123

Wx.Prx2410486

Caso recepción en Marte:

La potencia que requiere el receptor en Marte es: Hz

Wx 17101 , por lo tanto, se

tiene:

WxxxxPrxM11617 105105101

dBW.PrxM 010103

La potencia del transmisor terrestre es de:

orxtxrxMtxT AGGPP

dBW...PtxM 11626812626110100010103

Wx.PtxM26104816

5.- Determine la ganancia de la antena receptora que se requiere para recibir

imágenes del formato WEFAX, desde el satélite geo-estacionario GOES, el cual

transmite a la frecuencia de 1691 MHz, se encuentra a una distancia de 35000 Km,

el ancho de banda es de 25 KHz. Para recibir una imagen de buena calidad se

requiere tener una razón de señal a ruido como mínimo de 13 dB. El satélite

transmite una potencia efectiva radiada de 56.1 dBm.


Solución:

Los datos que se tienen son:

dBm.EIRP 156

HzB 25

KºT 350

2310381 x.K

dBSNR 13

Se determina la potencia de ruido:

kTBPn

Wx.))()(x.(Pn1923 10207512535010381

dBW.Pn 68189

Se determina la potencia recibida a la entrada de la antena:

otxrx APP

Se calcula la atenuación de espacio libre:

flogdlog.Ao 2020532

1691203500020532 loglog.Ao

dB....Ao 9441875636488190532

dB.Ao 944187

La potencia que se recibe a la entrada de la antena es:

otxrxa APP


dBm...Prxa 744131844187156

Se determina la potencia de la señal que requiere el receptor:

nsdB PPSNR

ndBs PSNRP

dBW..Ps 681766818913

mWx.Ps151014782

dBm.Ps 68176

Se tiene a la entrada de la antena la potencia:

dBm...Prxa 744131844187156

La ganancia de la antena es:

srxarx PPG

dB...Grx 9361468146744131

dBGrx 15

7.- Determine la ganancia de la antena en la estación receptora para recibir el

formato HRPT (transmisión de cuadro de alta resolución), que se transmite desde

los satélites NOAA. Las características son las siguientes:

Frecuencia de transmisión: 1698 MHz, 1707.5 MHz, 1702.5 MHz, 1707.0 MHz.

Potencia de transmisión: 6.35 W (+ 38.02 dBm).


Polarización 170.2 MHz circular mano izquierda, 1698 MHz, 1707.0 MHz, circular

mano derecha.

Pérdidas totales: 2.8 dB.

Si la antena tiene un ángulo de elevación de 0 a 40 grados, la ganancia de la

antena del satélite es de 2 dBi.

Considere perdidas por lluvia y desvanecimiento: 0.4 dB.

La órbita del satélite es de 833 Km. El receptor requiere una potencia de – 25

dBm.

Solución:

Se determina la atenuación por el espacio libre:

flogdlog.Ao 2020532

17072083320532 loglog.Ao

dB....Ao 5615565644158532

La potencia que se recibe a la entrada de la antena es:

LAGPP otxtxrxa

Donde:

L: Pérdidas misceláneas.

dBm.)..(.dBdBm.Prxa 7411840825615520238

Como se necesita en el receptor una potencia de – 98.74 dBm, la ganancia de la

antena es:

rxarxrx PPG


Donde:

Prx: Potencia que requiere el receptor.

20741187488 ).(.Grx

dBGrx 20

8.- Los satélites que transmiten televisión usan la frecuencia de 12.2 a 12.7 GHz,

con 120 W de potencia y un EIRP de 55 dBW, en cada transponder de 24 MHz,

mantienen varios canales de video digital comprimido. El receptor tiene un antena

parabólica de 0.4 m de diámetro. Encuentre la potencia que se recibe en el

receptor.

Solución:

La frecuencia es:

GHz...

f 45122

712212

La potencia de entrada es:

WdBW.Pi 120820

txi GPEIRP

it PEIRP)dB(G

dB..)dB(Gt 23482055

La distancia a la que se encuentra el satélite es de 38.000 Km.

Las pérdidas en el espacio libre es:


flogdlog.Ao 2020532

12450200003820532 log.log.Ao

dB...Ao 206981691532

La ganancia de la antena receptora, si se considera un 70 % de eficiencia se

tiene:

efrx AG

2

4

Donde:

efA : Área efectiva.

: Eficiencia.

cm.m. 42024012450

300

704

460

0240

42

2.

).(

.Grx

152538 .Grx

dB.Grx 0534

La potencia que se recibe en el receptor es:

orxtxirx AGGPP

2060534234820 ...Prx

dBW.Prx 95116

Wx.Prx1210012



34

1.12 REFERENCIAS

[1] John D. Krauss, “Antennas”, Primera edición, McGraw Hill, año: 1950.

[2] John D. Krauss, “Antennas”, Segunda edición, McGraw Hill, año: 1988.

[3] John D. Krauss, Daniel Fleisch, “Electromagnetics with Applications”, Quinta

Edición, Editorial WCB, McGraw Hill, año: 1999.

[4] David K. Cheng, “Fundamentals Engineering Electromagnetics”, Editorial:

Addison Wesley Publishing Company, año: 1993.

[5] Constantine Balanis, “Antenna Theory and Design”, Primera Edición, John

Wiley & Sons, año: 1982.

[6] Constantine Balanis, “Antenna Theory and Design”,Tercera Edición, John Wiley

& Sons, año: 2005.

[7] Edmund Laport, “Radio Antenna Engineering”, Editorial: McGraw Hill, año:

1952.

[8] Constantine Balanis, Editor, “Modern Antenna Handbook”, John Wiley & Sons,


35

CAPÍTULO II

PARÁMETROS FUNDAMENTALES DE UNA ANTENA

2.1 INTRODUCCIÓN

Para describir el “desempeño” de una antena es necesario definir varios

parámetros, algunos de estos están interrelacionados y no todos ellos son

necesarios para especificar totalmente el desempeño de la antena.

Estos parámetros permiten al diseñador escoger el tipo de antena o arreglo de

antenas que mejor se desempeñan a la frecuencia o rango de frecuencias en la

que se va a operar.

2.2 PATRÓN DE RADIACIÓN

El patrón de radiación se define como: “una representación gráfica de las

propiedades de radiación de una antena en función de las coordenadas

espaciales”. El estándar de definiciones IEEE 145-1983, la define como: “la

distribución espacial de una cantidad, la cual caracteriza el campo

electromagnético generado por una antena”, el patrón de radiación se

determina en la región de campo lejano y se representa en función de las

coordenadas direccionales las propiedades de la radiación incluye:

Densidad de flujo de potencia.

Intensidad de radiación.

Directividad.


36

Fase.

Polarización.

Intensidad de campo.

La distribución se expresa como una función matemática o una

representación gráfica. Cuando la amplitud o la amplitud relativa de una

componente específica del vector de campo eléctrico se grafica, se denomina

patrón de amplitud, patrón de campo de voltaje. Cuando el cuadrado de la

amplitud (o amplitud relativa) se grafica, se denomina patrón de potencia.

Las propiedades de la radiación se refieren a la distribución espacial en tres

dimensiones de la energía radiada como una función de la posición del observador

a lo largo de un radio constante.

Se tienen gráficas de la variación espacial del campo eléctrico o campo

magnético, a lo largo de un radio constante, lo cual se denomina patrón de

campo eléctrico o patrón de campo magnético.

2.2.1 PATRONES OMNIDIRECCIONALES, DIRECCIONALES E ISOTRÓPICOS

Un “radiador isotrópico”, se define en el estándar IEEE 145-1983, como: “una

antena hipotética sin pérdidas que tiene igual radiación en todas las

direcciones”. Una fuente puntual es un ejemplo de un radiador isotrópico. Se

dice que éste es un “radiador ideal”, que físicamente no es realizable pero por

consideraciones prácticas se toma como “referencia”.


37

Una antena “direccional” es aquella que tiene la propiedad de radiar o recibir

ondas electromagnéticas más efectivamente en una dirección que en otra, por

lo tanto, una antena omnidireccional es aquella que tiene un “patrón

esencialmente no direccional en azimuth y elevación”. La figura 2.1 muestra el

patrón omnidireccional de una antena.

Figura 2.1 El patrón omnidireccional de una antena.

2.3 PATRÓN DE RADIACIÓN PRINCIPAL

El desempeño de una antena se refiere en términos de sus patrones del campo

eléctrico y campo magnético (plano E y H respectivamente).

Para una antena polarizada linealmente, el patrón del plano E se define como

“el plano que contiene al vector del campo eléctrico en la dirección de

máxima radiación y el plano H, como el plano que contiene el vector del

campo magnético en la dirección de máxima radiación”.

La figura 2.2 muestra el campo eléctrico y el campo magnético de una antena.


38

Figura 2.2 Plano E y H de una antena.

2.3.1 PATRONES DE LÓBULOS DE RADIACIONES

El esquema de un patrón de radiación se denomina como “lóbulo”, el cual se

clasifica en:

Lóbulo mayor.

Lóbulo menor.

Lóbulo lateral.

Lóbulo de atrás.

Un “lóbulo de radiación” es “una porción del patrón de radiación”, acotado

por regiones relativamente debilitadas en el patrón general de radiación.

La figura 2.3 muestra los lóbulos mayor, menor y de atrás.


39

Figura 2.3 Patrón de radiación donde se muestra el lóbulo mayor, lóbulos

laterales, lóbulos menores y lóbulos de atrás.

El “lóbulo mayor” (principal) se define como: “el lóbulo que está en la

dirección de máxima radiación”, (en algunas antenas puede existir “más de un

lóbulo mayor”).

Un lóbulo “menor” es cualquier lóbulo que no sea el principal, por lo tanto, todos

los lóbulos con excepción del lóbulo mayor se clasifican como lóbulos menores.

Un lóbulo “lateral” es un lóbulo en cualquier dirección pero adyacente al

lóbulo principal y ocupa el hemisferio del lóbulo principal.

Un lóbulo “de atrás” se refiere a los lóbulos menores que ocupan los

hemisferios en la dirección opuesta al del lóbulo mayor.

Los lóbulos menores representan radiación en la dirección que no desea y

debe ser minimizada, los lóbulos laterales son los mayores de todos los lóbulos

menores.


40

El nivel de los lóbulos menores se expresa como la razón de la densidad de

potencia del lóbulo principal a los lóbulos menores, un valor típico está en el

orden de -20 dB.

El ancho del haz del lóbulo de radiación se considera cuando se encuentra el

primer cero y se denomina ancho del haz del primer cero o también donde la

potencia cae a la mitad, como se muestra en la figura 2.4.

Figura 2.4 Patrón asociado con los lóbulos, y ancho del haz.

La figura 2.5 muestra el patrón de radiación de una antena del tipo corneta,

además se muestran el campo eléctrico y el campo magnético.


41

Figura 2.5 El patrón de radiación de la antena corneta, mostrando los campos

eléctrico y magnético.

2.4 REGIONES DE CAMPO

El espacio que rodea a una antena se subdivide en 3 regiones:

Campo cercano reactivo.

Campo cercano radiante (Fresnel).

Campo lejano (Fraunhofer).

Estas regiones se designan para identificar la estructura de cada campo de la

antena.


42

2.4.1 CAMPO CERCANO REACTIVO

Este campo se define como: “la región de campo alrededor de la antena

donde el campo reactivo es predominante”. El estándar IEEE std 145-1983, lo

define como: ”campo eléctrico y campo magnético que rodea a una antena

cuyo resultado es almacenar la energía electromagnética en lugar de la

radiación electromagnética”.

Para la mayoría de las antenas, la región de borde externo se toma a una

distancia R, determinada:

3

620D

.R (m) (2.0)

Donde

R: Radio del círculo máximo de la región campo cercano reactivo (m).

D: Dimensión del dipolo (m).

Longitud de onda (m).

2.4.2 CAMPO CERCANO RADIANTE (FRESNEL)

Esta región la IEEE std 145-1983, la define como: “la región del campo de una

antena que se encuentra entre el campo reactivo cercano y el campo lejano”

y cuya región predominante es la radiación y la distribución del campo angular es

dependiente de la distancia a la antena”.

La condición borde interior se toma como:


43

3

620D

.R (m) (2.1)

y la condición de borde exterior se toma como:

2

2D

Rc (m) (2.2)

Donde

Rc: Distancia campo lejano radiante.

2.4.3 CAMPO LEJANO (FRAUNHOFER)

Esta región la IEEE std 145-1983, la define como “la región del campo de una

antena donde el campo angular de distribución es esencialmente

independiente de la distancia desde la antena”.

Se debe cumplir que: D > λ, luego la distancia Rc es:

2

2D

Rc (m) (2.3)

Donde:

Rc: Distancia interior de borde de campo lejano (m).

La región de borde exterior se da hasta el infinito. En esta región las

componentes de campos son esencialmente transversales y la distribución

angular es independiente de la distancia radial cuando se realizan las mediciones.

La figura 2.6 muestra las tres regiones de la antena.


44

Figura 2.6 Regiones de campo lejano, cercano y reactivo de una antena.

2.5 DENSIDAD DE POTENCIA DE RADIACION

Las ondas electromagnéticas se usan para transportar información a través del

espacio libre, en las guías de ondas, etc. desde un punto a otro. A la onda

electromagnética se le asocia potencia o energía. Para determinar la potencia

electromagnética se utiliza el vector de Poynting, el cual se define como:

HEW x (2.4)

Donde:

W : Vector de Poynting instantaneo (W/m2).

E : Intensidad de campo eléctrico instantáneo (V/m).

H : Intensidad de campo magnético instantáneo (A/m).

x: Producto cruz.

Como el vector de Poynting es una “densidad de potencia”, por lo tanto, la

potencia total que cruza una superficie cerrada, se calcula integrando la

componente normal del vector de Poynting sobre la superficie completa”


45

S S

dˆdP anWsW (2.5)

Donde:

P: Potencia total instantánea (W).

n : Vector unitario normal.

da: Área infinitesimal de la superficie cerrada (m2).

Para campos variantes en el tiempo es más deseable que se encuentre la

densidad de potencia promedio, la cual se obtiene integrando el vector de

Poynting instantáneo sobre un período y luego se divide por el período.

La unidad de un ángulo plano es el radian. Un radian se define como un ángulo

plano con su vértice en el centro de un circulo de radio r, que está subentendido

por un arco cuya longitud es r. La figura 2.7 muestra la ilustración gráfica de un

ángulo plano.

r

r1 rad

Figura 2.7 Ilustración de un ángulo plano.

La circunferencia de un circulo de radio r es rC 2 , existen 2π radianes en

un circulo total. La unidad de un ángulo sólido es el esteradian. Un esteradian


46

se define como el ángulo sólido con su vértice en el centro de la esfera de radio r,

subentendida por una superficie esférica de área igual que el cuadrado con lado

de longitud r. La ilustración gráfica del esteradian se muestra en la figura 2.8.

Como el área de una esfera de radio r es 24 rA , hay 4π esteradian en una

esfera cerrada.

Área

equivalente

r

r

Área = r2

r

Un esteradian

Figura 2.8 Ilustración de un ángulo sólido

El área infinitesimal dA de la superficie de una esfera de radio r como se

muestra en la figura 2.9 es:

ddsenrdA 2 (m2) (2.6)

Por lo tanto, el elemento de ángulo sólido d de una esfera se escribe como:

ddsenr

dAd

2 (2.7)


47

Plano de

elevación

Plano de

azimuth

X

Y

Z

ra

a

a

d

dr

dsenr

Área achurada

es:

ddsenrdA2

r

r

r

Figura 2.9 Sistema coordenado para el análisis de una antena.

Para campos eléctrico y magnético variante en el tiempo de la forma tje ,

que definen campos eléctricos (E) y campos magnéticos (H) complejos, se

relacionan por sus contrapartes instantáneos E y H por:

E(x,y,z;t) = Re [E(x,y,z) ejωt

] (2.8)

H(x,y,z;t) = Re [H(x,y,z) ejωt

] (2.9)

Utilizando las definiciones (2.8) y (2.9) y la identidad Re [Eejωt

] = ½[Eejωt

+ E*ejωt

],

la (2.4) se escribe como:

W = E x H = ½ Re [E x H*] + ½ Re [E x H ej2ωt

] (2.10)

DEMOSTRACIÓN:

Sea f(t) una función de la forma: tsenjtcos)t(f . La parte real de esta

función es: tcos)t(f y la parte imaginaria es: tsen)t(fm . Se tiene


48

la relación de Euler: tsenjtcose tj , la parte real es: tcosee tj y la

parte imaginaria es: tsenem tj , el número complejo de la forma: tje E , su

conjugado es: tj*e E . Si un número complejo tiene la expresión: BjAC , su

conjugado es: BjAC* , por lo tanto, la parte real se escribe como: *CC2

1A

y la parte imaginaria es: *CCB 2

1. Aplicando la relación de la parte real se

tiene:

tj*tj eEEe 2

1E (2.11)

tjtj HeHe 2

1H (2.12)

El vector de Poynting, se rescribe ahora como:

tjtjtj*tj HeHeeEEeW 2

1

2

1 (2.13)

tj*tj*tj*tjtjtj*tjtj eHxeEeHxEeHexeEHexEeW 4

1

(2.14)

Reordenando se tiene:

tj****tj eHxEHxEHxEeHxEW 22

4

1 (2.15)

Se tiene que:

HxEHxE *** (2.16)


49

*** HxEHxE (2.17)

Aplicando (2.16) y (2.17) en (2.15), se tiene:

***tj*tj HxEHxEeHxEeHxEW 22

4

1 (2.18)

Un número complejo se escribe como la suma del número complejo y su

conjugado:

tj*tj*** eHxEeHxEHxEHxEW 22

2

1

2

1

2

1

2

1 (2.19)

Tomando la parte real se tiene:

tj* eHxEeHxEeW 2

2

1

2

1 (2.20)

El primer término de (2.20) no está en la función del tiempo y el segundo término

si está en función del tiempo pero tiene el doble de la frecuencia inicial.

El vector de Poynting promedio en el tiempo (densidad de potencia promedio)

se escribe como:

Wav(x,y,z) = [W(x,y,z;t) ]av = ½ Re [E x H*] (W/m2) (2.21)

La pregunta que nace desde (2.21), si la parte ½(E x H*), representa la densidad

de potencia promedio que corresponde a la parte real, entonces que representa la

parte imaginaria, es natural que se asuma que la parte imaginaria representa la

densidad de potencia reactiva (guardada) asociada con los campos

electromagnéticos.


50

Basado en la definición de (2.21) la potencia promedio radiada por una antena

(potencia radiada) se escribe como:

SS

avS

radpromrad d*)x(Red.d.PP sHEsWsW2

1 (2.22)

Ejemplo:

La componente radial de la densidad de potencia radiada por una antena es:

2r

senAˆˆ orrrrad

aWaW (W/mt

2)

Donde:

Ao: Valor peak de la densidad de potencia.

θ: Coordenada esférica.

âr : Vector unitario radial

Determine la potencia radiada total:

Solución:

Se escoge una esfera de radio r para la superficie cerrada. Para encontrar la

potencia radiada total la componente radial de la densidad de potencia se integra

sobre la superficie. Esto es:

ororS

radrad Addsenrar

senAad.n.P 22

02

2

0

aW (W)


51

2.6 INTENSIDAD DE RADIACION

La intensidad de radiación en una dirección dada se define como: “la potencia

radiada por una antena por unidad de ángulo sólido”. La intensidad de

radiación es un parámetro de campo lejano y se obtiene multiplicando

simplemente “la densidad de radiación por el cuadrado de la distancia”.

Se expresa matemáticamente como:

radrU W2 (2.23)

Donde:

U: Intensidad de radiación (W/unidad de ángulo sólido)

Wrad: Densidad de radiación (W/m2)

El patrón de potencia es también una medida de la intensidad de radiación. La

potencia total se obtiene integrando la intensidad de radiación, es decir, la (2.23)

sobre el ángulo sólido total. Esto es:

0

2

0

ddsenUdUPrad (2.24)

Donde

d: Elemento del ángulo sólido = ddsen .

Ejemplo:

Para el ejemplo anterior. Encuentre la potencia total radiada utilizando la (2.24).

Solución:

De (2.23) se tiene:


52

senArU orad W2

De (2.24):

0

222

00

2

0oorad AddsenAddsenUP

El resultado es el mismo que se obtiene en el ejemplo anterior.

Para una fuente puntual, la intensidad de radiación U es independiente de

los ángulos, por lo tanto, la ecuación se escribe como:

oorad UdUdUP 4 (2.25)

De (2.25) se deduce que la intensidad de radiación de una fuente isotrópica es:

4rad

oP

U (2.26)

2.7 DIRECTIVIDAD

Es necesario que se defina previamente el concepto de ganancia directiva, la

ganancia directiva en una dirección dada se define como: “la razón de la

intensidad de radiación a la intensidad de radiación de una antena de

referencia”, la antena de referencia se considera la antena isotrópica.

La directividad es el valor de la ganancia directiva en la dirección del

máximo valor. Se establece en una forma más simple considerando que la

directividad de una fuente no isotrópica es igual a la razón de intensidad de

máxima radiación sobre la fuente isotrópica. La IEEE std 145-1983, la define


53

como: La razón de la intensidad de radiación en una dirección dada desde la

antena a la intensidad de radiación promedio sobre todas las direcciones ( la

intensidad de radiación promedio es igual a la potencia radiada total por la antena

dividida por 4π.

En forma matemática se tiene:

radog

P

U

U

UD

4 (2.27)

rad

max

o

maxo

P

U

U

UD

4 (2.28)

Donde:

Dg: Ganancia directiva (adimensional).

Do: Directividad (adimensional).

U: Intensidad de radiación (W/ángulo sólido unitario).

Umax: Intensidad de radiación máxima (W/ángulo sólido unitario).

Uo: Intensidad de radiación de una fuente isotrópica (W/ángulo sólido unitario).

Prad: Potencia total radiada (W).

Para una fuente isotrópica es fácil deducir desde (2.27) y (2.28) que la ganancia

directiva y la directividad es la unidad, porque U, Umax y Uo tienen el mismo valor.

Ejemplo:

Encuentre la directividad de una antena cuya intensidad de radiación es:

senArU orad W2


54

Solución:

Se tiene que la intensidad de radiación es Ao sen θ. La máxima radiación está

dirigida en la dirección de 2

. La máxima radiación es Umax = Ao. En el ejemplo

anterior se encuentra que la potencia total radiada es : orad AP 2 . Utilizando la

(2.18) la directividad es igual a:

271444

2.

A

A

P

UD

o

o

rad

maxo

Ejemplo

La componente radial de la densidad de potencia radiada de un dipolo lineal

infinitesimal de longitud l << es:

2

2

r

senAˆˆ orrrrad

aWaW (W/m

2)

Donde:

Ao: Valor peak de la densidad de potencia.

θ: Coordenada esférica.

ra : Vector radial unitario.

Determine la directividad de la antena.

Solución:

La intensidad de radiación es:

2

2

222 senA

r

senArrU oor W


55

La máxima radiación está dada en 2

:

omax AU

La potencia radiada es:

3

8

0

22

0

ooS

rad Addsensen

Ad.UP

Utilizando (2.28):

5012

3

3

8

44.

A

A

P

UD

o

o

rad

maxo

Se tiene que la directividad es mayor que el valor 1.27, que se calcula en el

ejemplo anterior.

Para entender la directividad se grafican las dos intensidades de radiación:

senAU o1 y 22 senAU o . Con Ao = 1, en la figura 2.10.


56

Figura 2.10 Patrón de radiación de intensidad en tres dimensiones (Gentileza L.

Lorrain y D.R. Corson, Electromagnetic Fields and Waves, 1970).

La directividad de una fuente isotrópica es la unidad, porque la potencia radiada

es igual en todas las direcciones, “para todas las otras fuentes la directividad

debe ser siempre mayor que la unidad” y es una “figura de merito relativa”, la

cual da una indicación de la propiedad direccional de la antena comparada con la

fuente isotrópica. La ganancia directiva puede ser menor que la unidad y en el

peor de los casos tener valor cero.

Una expresión más general para la ganancia directiva y directividad se

desarrolla para incluir fuentes con patrones de radiación que son funciones de

ambas coordenadas esféricas (, θ). Para formular la expresión más general: sea

la intensidad de radiación de una antena de la forma

22

2

1),(E),(E),(FBU o

(2.29)

Donde:

Bo: Constante.

E, Eθ: Campo eléctrico y campo magnético en la zona lejana de la antena.

: Impedancia intrínseca (valor en el espacio libre 277 Ohms).

El valor máximo de la ecuación (2.29) es:

),(FB),(FBU maxomaxomax | (2.30)


57

La potencia total radiada se encuentra aplicando:

ddsen),(FBd),(UP orad 0

2

0

(2.31)

Se escribe la expresión general para determinar la ganancia y directividad

utilizando (2.27) y (2.28):

ddsen),(F

),(F),(Dg

0

2

0

4 (2.31)

ddsen),(F

),(F),(Do

0

2

0

max|4 (2.32)

La (2.32) se rescribe como:

Ao

),(F

ddsen),(F

),(D

4

|

4

max

0

2

0

(2.33)

Donde:

A: Haz de ángulo sólido.

El cual es:

max

0

2

0

|),(F

ddsen),(F

A

(2.34)

El haz de ángulo sólido A se define como: “el ángulo sólido a través del cual

toda la potencia de la antena debe fluir, si la intensidad de radiación es


58

constante (e igual al valor máximo de U) para todos los ángulos dentro de

A”.

2.8 GANANCIA

Otra medida útil que describe el desempeño de una antena es la ganancia.

Aunque la ganancia de una antena esta íntimamente relacionada con la

directividad, se debe recordar que la directividad es una medida que describe sólo

la propiedad direccional de la antena y se controla sólo por su patrón de radiación.

La ganancia de potencia de una antena en una dirección dada se define de

acuerdo al estándar IEEE std-145-1983 como: “4 π veces la razón de la

intensidad de radiación en la dirección de la máxima potencia que es

aceptada por la antena desde el transmisor”. Cuando la dirección no se

establece, la ganancia de potencia usualmente se toma en la dirección de máxima

radiación. En general se tiene:

inP

),(U

entradadetotalPotencia

radiacióndeIntensidadG

44 (2.35)

En la mayoría de los casos se trabaja con la ganancia relativa, la cual se define

como: “la razón de la ganancia de potencia en una dirección dada, a la

ganancia de potencia de una antena de referencia”. La potencia de entrada

debe ser la misma para ambas antenas. La antena de referencia puede ser: una


59

fuente isotrópica, un dipolo, o cualquier otra antena. En la mayoría de los

casos la antena de referencia es una fuente isotrópica sin pérdidas. Se tiene:

)pérdidassinisotrópicaFuente(P

),(UG

ini

4 (2.36)

2.9 EFICIENCIA TOTAL

La eficiencia total (et) de una antena se utiliza para considerar el aporte de las

pérdidas en la entrada de los terminales y dentro de la estructura de la antena.

Tales pérdidas se deben a:

Reflexiones, porque existe desacoplamiento entre la línea

de transmisión y la antena.

Pérdidas por conducción y dieléctrico )Ri,Ri( dc22

En general la eficiencia total se escribe como:

dcrt eeee (2.37)

Donde:

et: Eficiencia total (adimensional).

er: Eficiencia de reflexión = )( 21 (adimensional).

Ec: Eficiencia de conducción (adimensional).

Ed: Eficiencia del dieléctrico (adimensional).

: Coeficiente de reflexión de voltaje a la entrada de los terminales de la antena.

Se tiene:


60

oin

oin

ZZ

ZZ

(2.38)

Donde:

Zin: Impedancia de entrada a la antena.

Zo: Impedancia característica de la línea de transmisión.

La figura 2.11 muestra los terminales de referencia y las pérdidas de la antena.

Antena

Terminales

de entrada

(Ganancia

referencia)

Terminales

de salida

(Directividad

referencia)

Terminales

de referencia

ic

id

ic

Pérdidas de

conducción,

reflexión y

dieléctrico

Figura 2.11 Los terminales de referencia y las pérdidas de la antena.

Ejemplo:

Una antena dipolo resonante a media longitud de onda sin pérdidas con una

impedancia de entrada de 73 Ohm, se conecta a una línea de transmisión, cuya

impedancia característica es de 50 Ohm. Se asume que el patrón de radiación de

la antena es:


61

3senBU o

Encuentre la ganancia total de la antena.

Solución:

Primero se determina la directividad de la antena:

omax BUU max

Se determina la potencia radiada:

4

32

2

0

4

0

2

0

oorad BdsenBddsen),(UP

69713

164 .

P

UD

rad

maxo

Ahora se encuentra la eficiencia. Esto es:

96505073

507311

22

.er

Como se considera una antena sin pérdidas, luego se tiene que ec ed = 1, por lo

tanto:

9650.eeee dcrt

La máxima ganancia es:

64169719650 ..x.DeG oto

Para expresarlo en dB, se tiene:

1426411010 ..logGlog)dB(G oo


62

2.10 EFICIENCIA DEL HAZ

Otro parámetro que se usa frecuentemente para juzgar la calidad de una antena

transmisora y receptora es la eficiencia del haz. Para una antena con el lóbulo

mayor dirigido a lo largo del eje z (θ = 0), la eficiencia del haz se define como:

antenalaporatransmitidPotencia

conoundedentro)recibidao(atransmitidPotenciaEH 1 (2.39)

Donde:

EH: Eficiencia del haz (adimensional).

θ1: Es la mitad del ángulo del cono dentro del cual el porcentaje total de la potencia

se encuentra (grados o radianes).


2

0

2

0

1

0

2

0

ddsen),(U

ddsen),(U

EH (2.40)

Si θ1 se escoge como el ángulo donde el primer cero ocurre, entonces la

eficiencia del haz indica el aporte de potencia en el lóbulo mayor comparado a la

potencia total.

2.11 ANCHO DE BANDA DE LA ANTENA

El ancho de banda de una antena se define de acuerdo a la IEEE std 145-1983

como: “el rango de frecuencia dentro del cual el desempeño de la antena con


63

respecto alguna característica cumple con el estándar especificado”. El

ancho de banda se considera en el rango de frecuencia a ambos lados de la

frecuencia central, donde la característica de la antena (parámetros) tales como:

Impedancia de entrada.

Patrón de radiación.

Ancho del haz.

Polarización.

Nivel de los lóbulos laterales.

Ganancia.

Dirección del Haz.

Eficiencia de radiación.

Están dentro de un valor aceptable. Las antenas se clasifican de acuerdo al

ancho de banda en:

Banda angosta.

Banda ancha.

En las antenas de banda ancha, el ancho de banda se expresa como la razón

de la frecuencia superior a la frecuencia inferior. Por ejemplo: un ancho de

banda de 10:1, indica que la frecuencia superior es 10 veces mayor que la menor.

Para las antenas de banda angosta, el ancho de banda se expresa como un

porcentaje de la diferencia de frecuencia (la frecuencia superior menos la

frecuencia inferior). Por ejemplo un 5 % de ancho de banda indica que la


64

diferencia de frecuencia de operación aceptable es el 5 % de la frecuencia central

del ancho de banda.

2.12 DETERMINACION DE LA TEMPERATURA DE RUIDO DE LA ANTENA

2.12.1 CONCEPTOS GENERALES

El mejor trabajo de investigación realizado según el autor de este texto hasta la

fecha con relación al cálculo de la temperatura de ruido es: ANTENNA AND

RECEIVING-SYSTEM NOISE TEMPERATURE CALCULATION, autor es L. V.

Blake, éste trabajo se realizó para U.S NAVAL RESEARCH LABORATORY, el 19

de Septiembre de 1961, cuyo contenido se resume a continuación:

El ruido que recibe un receptor de comunicación tiene su origen en fuentes de

radiación externas, naturales y hechas por el hombre, adquiere mucha

importancia a partir de los años sesenta. El ruido externo limita el desempeño de

los sistemas de comunicación.

A partir del descubrimiento del ruido cósmico por Jansky en el año 1932, se

han efectuado muchos estudios de ruidos externos. Los ingenieros para realizar

un estudio del desempeño de un sistema de comunicación hacen sus cálculos

tomando el "ruido de la antena" y se obvian la investigación detallada del sistema

y todo el ruido lo asocian a la antena. La figura 2.12 muestra una curva para

determinar la temperatura de ruido, el cálculo se realiza en forma rápida, eso sí, se

debe tener en cuenta que para muchas aplicaciones esta curva da seguridad, pero


65

para otras no, por lo tanto, para éstas últimas aplicaciones se deben hacer los

cálculos analíticos que se dan más adelante.

La curva de la figura 2.12 asume una superficie base de la antena, es decir, que

está dentro de unos pocos miles de pies de la superficie de la tierra, el principal

efecto de este argumento es que supone que la atmósfera entera es interpuesta

entre la antena y la fuente de ruido extraterrestre. A frecuencia bajo (los 100

MHz), la ionosfera juega un papel muy importante porque absorbe ruido cósmico y

es un generador de ruido. La gran variabilidad de la característica de la ionosfera

especialmente en el día, es poco recomendable el uso de una sola curva. Por otro

lado, sobre los 10000 MHz, el contenido de vapor de agua en la capa baja de la

troposfera y su variabilidad son fuertemente dependientes en la generación de

ruido y tampoco se puede usar una simple curva para realizar los cálculos.

2.12.2 TEMPERATURA DE RUIDO DE LA ANTENA

Es una práctica aceptada representar la potencia de ruido recibida por una

antena desde una fuente externa permanente, como una temperatura efectiva

de ruido de la antena (Ta). El ruido de ésta fuente permanente es similar en

características al ruido termal y si se combina con el ruido termal del receptor se

puede representar de una manera simple. La temperatura de ruido de la antena es

una temperatura ficticia (en grados Kelvin), tal que la potencia de ruido que se

recibe por unidad de ancho de banda (densidad espectral de potencia) es:


66

aa TkS (2.41)

Donde:

Sa: Potencia de ruido de la antena. Densidad de potencia disponible en Watt.

k: Cte. de Bolztmann (1.38 x 10-23

Watt por segundos por grados).

Ta: Temperatura de ruido de la antena en grados Kelvin.

La densidad de potencia para un ancho de banda B es:

BTkS aa (2.42)

Donde:

B: Ancho de banda de la antena en Hertz.

2.12.3 TEMPERATURA DE RUIDO DE UN SISTEMA DE RECEPCION

La potencia de ruido en un sistema de recepción se representa como una

temperatura de ruido del sistema (Tn), tal que la potencia de ruido total disponible

referida a la entrada en los terminales del receptor es:

nnr BTkS (2.33)

Donde:

Sr: Potencia de ruido a la entrada al receptor.

Bn: Ancho de banda del ruido del receptor en Hertz.

Tn: Temperatura de ruido del sistema en grados Kelvin.


67

La temperatura de ruido del sistema se considera en cualquier punto del sistema

de recepción, con gran utilidad para el cálculo de la razón señal a ruido (SNR) de

salida.

Generalmente Tn, se considera como la suma de tres componentes:

La contribución de la antena debido a la recepción de

ruido desde fuentes externas.

El ruido térmico generado debido a las pérdidas

disipativas en las líneas de transmisión.

El ruido desde fuentes internas del mismo receptor.

Cada una de las dos últimas contribuciones se asignan como un ruido de

temperatura efectiva, llamado respectivamente: temperatura de ruido de la

línea de transmisión (Tl) y temperatura de ruido efectiva a la entrada del

receptor (Te).

Las pérdidas de potencia en una línea de transmisión (Ll) es una figura de

mérito importante en el cálculo de la temperatura de ruido del sistema. Primero

las pérdidas actúan para reducir el aporte de potencia de ruido de la antena en los

terminales de entrada al receptor, por ser aditiva la contribución de la temperatura

de ruido de la antena a la temperatura de ruido del sistema se tiene a l

a

L

T, más que

Ta directamente. La magnitud de las pérdidas en la línea de transmisión afecta

directamente la temperatura de ruido de la línea (Tl). La fórmula para la

determinación de la temperatura de ruido del sistema Tn es:


68

esl

an TT

L

TT (2.44)

La ecuación para la determinación de la temperatura de ruido de la línea de

transmisión es:

)L

(TTl

tl1

1 (2.45)

Donde:

Tt: Temperatura termodinámica (térmico) de las pérdidas de la línea.

La temperatura de ruido efectiva a la entrada del receptor Ts, se define en

términos de la figura de ruido del receptor (NF) como:

os T)NF(T 1 (2.46)

Donde:

To = 290 grados Kelvin.

2.12.4 CONCEPTOS DE LA CURVA ANTENA Y TEMPERATURA

La temperatura de ruido efectiva de la antena Ta se determina para una antena y

un medio ambiente en particular. Si una antena tiene un patrón unidireccional que

no es extremadamente ancho, el ancho del haz y la ganancia tienen un efecto

pequeño, o no afectan a la temperatura de ruido (promedio en toda dirección

galáctica). Por lo tanto, es posible calcular la temperatura de ruido de la antena en

función de la frecuencia. En la región U.H.F y sobre ella es necesario introducir

una interdependencia adicional que es el ángulo de elevación del haz de la


69

antena. En esta región de frecuencia, la temperatura de la antena se debe al ruido

térmico generado por los gases que se absorben en la atmósfera. La potencia del

ruido es dependiente del grosor de la capa de la atmósfera, la ruta que atraviesa el

haz de la antena y el ángulo de elevación.

La temperatura de ruido efectiva de la antena, se debe al resultado de todas las

fuentes naturales que radian ruido estas son: el cosmo, el sol, la ionosfera, la

troposfera y la tierra, la cual incluye el mar como también sólidos tales

como: estructuras de edificio y barcos, etc.; cada una de estas fuentes tienen

su temperatura de ruido.

Generalmente la fuente cósmica, (la gran profundidad del espacio) se trata

como si fuera una superficie radiante que se caracteriza por una temperatura de

ruido T. En general T varia de un punto a otro sobre esta superficie y desde el

punto en que está localizada la antena. La temperatura T está en función de la

dirección angular, como también en función de la ganancia y las pérdidas del

medio de propagación (L).

Si la fuente ocupa un ángulo sólido i dentro del patrón de potencia de la

antena, la contribución total a la temperatura dentro de este ángulo i es:

dTLL

Tg)i(T

i

ta

11

4

1 (2.47)

Donde:

Tt: Temperatura térmica (290 grados kelvin).


70

L: Pérdidas del medio.

g: Ganancia de la antena.

T: En función de la dirección angular de la antena.

El primer término dentro del paréntesis de (2.47) representa la contribución de la

fuente cósmica y el segundo término la contribución del ruido y las pérdidas de

propagación que se deben al medio y la temperatura térmica Tt.

La principal aproximación que se hace es asumir que T y L son constantes en

todo el ángulo sólido i. Aplicando el teorema del valor medio se tiene:

t

ia T

LL

Tg)i(T

11

4

(2.48)

Donde:

<g>: Ganancia promedio de la antena en el ángulo i.

La (2.48) se reescribe como:

mii

a TaL

Ta)i(T (2.49)

Luego se tiene: si

4

ga i

i en términos de una antena transmisora es la

fracción de la potencia total radiada en el ángulo sólido i, y Tm es la temperatura

efectiva de ruido del medio de propagación. Considerando todas las fuentes de

ruido se tiene:

ggttt

ii

ti

ss

ti

cca TT

L

T

LL

T

LL

TT

(2.50)


71

Donde:

: Se define para cada fuente.

Tc: Temperatura efectiva de ruido del espacio (cosmos, galaxia).

Ti: Temperatura de ruido de la ionosfera.

Ts: Temperatura de ruido del sol.

Tt: Temperatura de ruido de la troposfera.

Tg: Temperatura de ruido de la tierra.

Li: Pérdidas de potencia a través de la ionosfera.

Lt: Pérdidas de potencia a través de la troposfera.

2.12.4.1 RUIDO COSMICO

La radiación desde fuera del espacio llamado ruido cósmico y algunas veces

como: ruido de fondo galáctico, es radiado por gases calientes y estrellas, se

distribuyen por el espacio interestelar; en algunas partes del cielo es muy bajo, por

esta razón, se habla de cielo frío o si es alta se denomina cielo caliente. El ruido

cósmico está en función de la frecuencia, a mayor frecuencia el ruido se

decrementa, contribuye en mayor parte en la región V.H.F (bajo los 300 MHz) y

usualmente es baja en la región de la microondas (sobre los 1000 MHz).

Como no es posible predecir la parte exacta donde apunta la antena hacia el

cosmos, por lo tanto, son de interés el valor promedio y mínimo. La fórmula para

determinar el valor promedio es:


72

2

72 1062

290f

x.T )promedio(c (2.51)

Donde:

f: Frecuencia en MHz.

Tc: Temperatura en grados Kelvin.

: Longitud de onda en metros.

2.12.4.2 RUIDO SOLAR

Generalmente no es necesario apuntar la antena al sol directamente, pero

durante una gran actividad solar puede contribuir apreciablemente en el ruido que

reciba la antena. Durante los días de gran actividad solar los valores dados en la

tabla 2.1, sus niveles aumentan de 102 a 10

4.

Tabla 2.1 Ruido de temperatura durante la quietud solar (valores dados por

Matt y Jacomini)

Frecuencia (Mhz) Temperatura de ruido (° K)

100 1 x 106

200 9 x 105

300 7 x 105

600 4.6 x 105


73

1000 3.6 x 105

3000 6.5 x 104

10000 1.1 x 104

2.12.4.3 RUIDO EN EL MEDIO DE PROPAGACION

El medio de propagación contribuye al ruido de la antena a la frecuencia a la

cual el medio es absorbente. Para la frecuencia de interés sólo la troposfera tiene

una apreciable absorción, aunque a bajas frecuencias la ionosfera es absorbente y

la troposfera no, en la región V.H.F, la contribución de ruido desde la ionosfera es

pequeña y la contribución del medio del ruido es Tt.

2.12.4.4 RUIDO DE TIERRA

Si el haz de la antena apunta hacia la tierra ésta contribuye con una temperatura

de ruido, esta fuente se llama radiación de cuerpo negro. La contribución de

temperatura es cercana a los 290 grados Kelvin.

La curva de temperatura de ruido de la antena versus frecuencia se puede

obtener de la siguiente relación:

36109010754950

5

tt

sq

t

ca Tsen..

L

Tx.

L

T.T (2.52)


74

Donde:

Tsq: Temperatura efectiva de ruido sol (tabla 2.1).

: Ángulo de elevación.


75

Figura 2.12 Temperatura de ruido de la antena versus frecuencia, gentileza de

Laboratorio Naval de Investigación (U.S.A).


76

2.13 EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Calcule la directividad y ganancia directiva para las fuentes que tienen los

siguientes patrones de potencia:

i.- 21 sensenUU m

ii.- 32 sensenUU m

iii.- 323 sensenUU m

U tiene valor sólo para 0 y 0 , siendo cero de otra manera.

Solución:

La ganancia directiva es igual a:

rado

gP

U

U

UD

4

La directividad es:

rad

max

o

maxo

P

U

U

UD

4

La intensidad de radiación es:

radrU W2

La potencia radiada total:

0

2

0

ddsenUdUPrad

Para el caso i) se tiene:


77

21 sensenUU m

La potencia radiada total se calcula aplicando:

0

2

0

ddsenUdUPrad

Reemplazando el valor de U1:

0

2

0

ddsensensenUdUP mrad

Donde:

20

24

1

20

2

sendsen

20

24

1

20

2

sendsen

La potencia radiada total es:

422

2mrad UP

Como la ganancia directiva es:

2

2

2 16

4

44 sensen

U

sensenU

P

U

U

UD

m

m

radog

La directividad se obtiene cuando:

rad

max

o

maxo

P

U

U

UD

4


78

09516

4

2

4.

U

U

U

UD

m

m

o

maxo

Para el caso ii) se tiene:

32 sensenUU m

0

3

0


Donde:

20

24

1

20

2

sendsen

3

4

02

4

1

20

3

sendsen


323232

64

24

3

4

2

44sensen

sensen

U

sensenU

P

U

U

UD

m

m

radog


rad

max

o

maxo

P

U

U

UD

4

64

24

3

4

2

4

m

m

o

maxo

U

U

U

UD

Para el caso iii) se tiene:


79

323 sensenUU m

0

32

0


Donde:

3

4

02

4

1

20

3

sendsen

3

4

02

4

1

20

3

sendsen


32

3333

4

9

16

36

3

4

3

4

44sensen

sensen

U

sensenU

P

U

U

UD

m

m

radog


rad

max

o

maxo

P

U

U

UD

4

2524

9

3

4

3

4

4.

U

U

U

UD

m

m

o

maxo

2.- Demuestre que la directividad para una fuente con un patrón de potencia

unidireccional dada por: nm cosUU , se expresa como: )n(Do 12 . U tiene

valor en 2

0

y 20 y cero de otra manera.


80

Solución:

Si:

nm cosUU

La directividad se expresa como:

rad

max

o

maxo

P

U

U

UD

4

La potencia radiada total es:

2

0

2

0

ddsencosUdUP nmrad

)n(

U

n

cosUdsencosUP m

n

mn

mrad1

2

0

21

2212

0

)n(

)n(

U

U

U

UD

m

m

o

maxo 12

1

2

4

3.- Muestre que hay 4 esteradian en una esfera.

Solución:

41122 0

2

0

2

0

)()(cosddsendddsen


81

4.- Un patrón de potencia es:

20

Paracosn

2cero

i.- Calcule la potencia radiada para n = 1, 2 y 3.

ii.- Encuentre la directividad.

iii.- Grafique en un gráfico polar.

iv. Explique la directividad para el caso de n = 0.

Solución:

i.- La potencia radiada es:

2

0

2

0

2

0

2

dsencosddsencosP nn

rad

Para n = 1 se tiene:

01

0

22

122

2

0

2sendsencosPrad


3

2

0

23

222

0

32

cosdsencosPrad


2

0

24

222

0

43

cosdsencosPrad


82

ii.- La directividad es:

rad

max

o

maxo

P

U

U

UD

4

ncosU , la intensidad de radiación máxima es 1.

Se tiene que:

n

rad

max

P

UD

4

1 4

4

D

2 6

3

2

4

D

3 8

2

4

D

iii.- El patrón es:

n =1

n =2

n =3

0.5

iv.- Para n = 0 la potencia radiada es:


83

2

0

2

0

02

0

12

dsenddsencosPrad

2

0

22122

0

cosdsenPrad

La directividad es:

rad

max

o

maxo

P

U

U

UD

4

22

4

o

maxo

U

UD

La directividad es 2 veces la de una antena isotrópica.

5.- Una antena tiene una intensidad de radiación en el campo lejano que es

independiente de , pero varía con como se indica a continuación:

ºParaUrad 3001

ºPara.Urad 1206050

ºPara.Urad 1801507070

ºyºParaUrad 15012060300

Encuentre la directividad.

Solución:

La gráfica de la intensidad de radiación se muestra a continuación:


84

30 60 90 120 150 180 Grados

1

0.5


dsenUºddsenUdddsenUPº

radradradrad 180

00

2

00

2

0

360

º

º

º

º

º

rad dsen.dsen.dsenP180

150

120

60

30

0

7070502

)ºcos(.)ºcosº(cos.)ºcos(Prad 150170706060501302

833245102 .).(Prad

La directividad es:

rad

max

o

maxo

P

U

U

UD

4

La intensidad de radiación máxima es 1.

Por lo tanto, se tiene:

43544510

2

45102

44.

.).(P

UD

rad

maxo


85

6.- Una antena tiene un patrón de intensidad de radiación uniforme en una región

angular y cero en el resto de la región, de la forma que se indica a continuación:

maneraotraDe

Urad

0

221

Derive una expresión para la directividad.

Solución:


2

2

2

2

2

00

2

0

2 dsenddsenUdddsenUP radradrad

2

22 cos)(Prad

)cos()cos(Prad

222

sen)(sensenPrad 42

La directividad es:

rad

max

o

maxo

P

U

U

UD

4

eccos

sensenP

UD

rad

maxo

1

2

44


86

7.- Determine la ganancia de una antena que tiene una eficiencia del 90 % y una

directividad de 20.

Solución:

La ganancia de la antena es:

or DeG

Reemplazando los valores se tiene:

1820900 x.G

5512.GdB

8.- Determine la ganancia de una antena la cual tiene una eficiencia del 95 % y la

intensidad de radiación que se indica a continuación:

º

º.

º

Urad

1801200

120207070

2001

Solución:

Se determina la directividad de la antena:

º

º

º

º

º

ºrad dsen.dsendP

20

0

120

20

360

0

70701

)..(º

ºcos

º

ºcosºPrad 72000602

20

120

0

20360

).(Prad 7802


87

562780

2

7802

4.

.).(Do

La ganancia es:

or DeG

4352562950 ..x.G

8653.GdB


89

2.14 REFERENCIAS

[1] John Krauss, “Antennas”, Primera edición, McGraw Hill, año:1950.

[2] John Krauss, “Antennas”, Segunda edición, McGraw Hill, año:1988.

[3] Thereza Macnamara, “Handbook of Antennas for EMC”, Editorial: Artech House,

año: 1995.

[4] Julius A. Stratton, “Electromagnetic Theory”, Editorial: McGraw Hill, año: 1941.

[5] John Krauss, Daniel Fleisch, “Electromagnetics with Applications”, Editorial: McGraw

Hill, año: 1999.

[6]. Warren L. Stutzman, Gary A. Thiele, “Antenna Theory and Design”, Editorial: John


[7]. Warren L. Stutzman, Gary A. Thiele, “Antenna Theory and Design”, Editorial: John

Wiley & Sons, Segunda Edición, año: 1998.

[8] Constantine A. Balanis,”Antenna Theory and Design”, Tercera Edición, Editorial:

John Wiley & Sons, año: 2005.

[9] Constantine A. Balanis,”Modern Antenna Handbook”, Editorial: John Wiley & Sons,

año: 2008.

[10] L. V. Blake, “Antenna and Receiving System Noise Temperature Calculation”, U.S.

Naval Research Laboratory, 19 September 1961.


90

CAPÍTULO III

ANTENAS Y POLARIZACION

3.1 INTRODUCCION

La polarización de la onda que se transmite por la antena, es de la mayor importancia

porque permite determinar el tipo de antena que se requiere en la recepción. En

general se debe tener el mismo tipo de polarización en la transmisión como en la

recepción, por ejemplo: polarización lineal vertical en la antena de transmisión como

en la recepción para obtener la mayor eficiencia posible.

3.2 POLARIZACIÓN DE LA ONDA ELECTROMAGNÉTICA

La polarización se determina en función de los ángulos espaciales θ, , es decir, de la

posición angular.

La polarización de una antena usualmente se define con respecto al campo eléctrico

en la dirección de máxima radiación, se definen entonces las polarizaciones

siguientes:

VERTICAL

HORIZONTAL

ELIPTICA

CIRCULAR

La figura 3.1 muestra los distintos tipos de polarización


91

X

Y

Z

E2

Dirección de

propagación

Polarización lineal

verticalY

XZ

Y

X

Z

E1

Dirección de

propagación

Polarización lineal

Horizontal

Y

X

E1Z

E2

Y

E1

X

Z

E2

Dirección de

propagación

Polarización circular E2

E1

E

Y

XZ

Figura 3.1 Los distintos tipos de polarización: horizontal, vertical y circular.

De la figura 3.1 se observa que para la polarización horizontal, el campo eléctrico

puede existir sólo en el eje X y la onda electromagnética se desplaza por el eje Z. En la

polarización vertical, el campo eléctrico sólo existe en el eje Y y la onda

electromagnética se desplaza por el eje Z. En la polarización circular y elíptica el campo

eléctrico existe tanto en el eje X como en el eje Y y la onda electromagnética se

desplaza por el eje Z.

Sea el campo eléctrico instantáneo de la onda horizontalmente polarizada que se

designa por xE y el campo eléctrico instantáneo de la onda polarizada verticalmente

yE , en función de la distancia y del tiempo la onda se expresa como:


92

)zt(senEx 1E (3.1)

)zt(senEy 2E (3.2)

Donde:

E1: Amplitud de la onda polarizada horizontalmente.

E2: Amplitud de la onda polarizada verticalmente.

: Angulo de fase entre xE y yE , se toma como referencia la onda polarizada

horizontalmente.

2 (3.3)

Donde:

: Longitud de onda.

La componente de campo eléctrico para cualquier instante de tiempo en el eje Z es

0zE .

Los valores instantáneos de los campos eléctricos se expresan considerando la parte

imaginaria de una función compleja, esto es:

)zt(senE)e(ImE)(Im )zt(jxx

11EE (3.4)

Y

)zt(senE)e(ImE)(Im )zt(jyy

22EE (3.5)

El valor instantáneo total del campo E resultante de dos ondas polarizadas

linealmente es:

)zt(senEj)zt(senEiE 21 (3.6)

Si z = 0, (3.1) y (3.2) se expresan como:


93

)t(senEx 1E (3.8)

)t(senEy 2E (3.9)

Donde:

tft 2 .

La (3.6) se reduce a:

)t(senEj)t(senEi 21E (3.10)

Evaluando (3.10) como una función del tiempo y graficando los valores del campo

total E la variación de E , en el plano X e Y se obtiene la forma de la onda

electromagnética.

Expresando (3.9) como un producto de funciones seno y coseno se tiene:

sentcoscostsenEy 2E (3.11)

Despejando de (3.8) el valor de tsen se obtiene:

1Etsen xE (3.12)

El valor de tcos es igual a:

2

1

2 11

Etsentcos xE

(3.13)

Remplazando (3.13), (3.12) en (3.11) se tiene:

sen

E

Ecos

EE xx

y

2

112 1

EE (3.14)


94

sen

Ecos

EExxy

2

112

1EEE

(3.15)

senE

cosEE

xxy2

112

1

EEE (3.16)

Elevando al cuadrado (3.16):

22

1

222

112

2

2

2sen

Esencos

Ecos

EEExxxyy

EEEEE (3.17)

2222

112

2

2

2sencossen

Ecos

EEExxyy

EEEE (3.18)

Si se divide (3.18) por 2sen se obtiene:

122 yyxx cba EEEE (3.19)

Donde:

221

1

senEa (3.20)

2

21

2

senEE

cosb (3.21)

222

1

senEc (3.22

La (3.19) corresponde a la ecuación de una elipse de la forma más general, la figura

3.2, muestra los semiejes mayor y menor de la elipse, siendo la línea de segmento OA

el semieje mayor y la línea de segmento OB el semieje menor. La razón axial de una

elipse es:


95

OB

OARA (3.23)

O

A

B

X

Y

Figura 3.2 Los ejes mayores y menores de la elipse.

La razón axial de un círculo es igual a uno. Retornando a (3.19) se tienen tres casos

de estudio:

Caso 1:

Considere cuando yE está en fase o fuera de fase en 180 grados con relación a xE ,

se tiene que: k , y ,.....,,k 321 y (3.18) se reduce a:

02

22

2

2121

2

EEE

cos

E

yyxxEEEE

(3.24)

En (3.24) se reemplaza cos por 1 , se rescribe como:

0

2

21

EE

yxEE

(3.25)

Es equivalente a:

xyE

EEE

1

2 (3.26)


96

La (3.26) corresponde a la ecuación de la recta que tiene la forma:

xy mEE (3.27)

Donde:

1

2

E

EPendientem

Si k es par (0, 2π , 4 π, 6 π , etc.), la pendiente es positiva y cuando k es impar (1π, 3π,

5π, etc.), la pendiente es negativa.

Cuando dos ondas polarizada linealmente si están en fase o desfasada en 180

grado, la onda resultante está linealmente polarizada. Sin embargo si E2 es cero, E

se desplaza en el eje Z y esta polarizada horizontalmente. Si E1 es cero, E se desplaza

en el eje Z y esta polarizada verticalmente. Si 12 EE y 0 , entonces 1m y E,

está con un ángulo de 45º con respecto al eje positivo X, ver figura 3.3a y si 12 EE y

, entonces 1m , E es negativo con un ángulo de 45º con respecto al eje X, ver

figura 3.2b. El ángulo de la figura 3.3a y 3.3b, se relaciona con la pendiente por:

marctan (3.28)

Y

X

E2

E1

0

º45

Y

X

E2

-E1

º45

Figura 3.3 a) Onda polarizada linealmente con 0 ; b) Onda polarizada linealmente

con .


97

Caso 2:

Se considera el caso cuando xE y yE están en cuadratura de fase esto es:

2

21 k (3.29)

Donde:

k = 0, 1, 2, 3, ….

En (3.24) el producto 022

21

EE

cosyx

EE

, por lo tanto, se tiene:

122

2

21

2

EE

yxEE

(3.30)

La (3.30) es la forma estándar de una elipse, con los ejes coordenados en el origen

es un caso especial de polarización elíptica. Por ejemplo: si 122

1EE la polarización es

como se muestra en la figura 3.4a.

Caso 3:

Es un caso especial del caso 2 cuando 12 EE , la (3.27) se expresa como:

21

22 Eyx EE (3.31)

La (3.31) corresponde a la ecuación del circulo, ver figura 3.4b. Cuando dos ondas

con componentes polarizadas linealmente están en cuadratura de fase y tienen

igual amplitud, la onda resultante tiene polarización circular.


98

E2

E1

X

Y

a

E2

E1

X

Y

b

Figura 3.4 a) Onda polarizada en forma elíptica; b) onda polarizada en forma circular.

Se estudia la forma de obtener polarización circular en los sentidos horarios y anti-

horario. De acuerdo a (3.27) se tiene la ecuación para obtener polarización circular,

pero esta ecuación no da información en la dirección a la cual E rota. Para determinar

la dirección de rotación se rescriben (3.8) y (3.9). Para el caso especial que se está

estudiando:

2

21 k y 12 EE (3.32)

Donde

k= 0,1,2,3 ……

Cuando k es par se tiene:

tsenEx 1E (3.33)

)t(cosE)t(senEy

112

E (3.34)

Cuando k es impar se tiene:

tsenEx 1E (3.35)

)t(cosE)t(senEy

112

3E (3.36)


99

Se considera el caso cuando k es par, se tiene 2

9

2

5

2

,, y t = 0, de (3.33) y

(3.34) se tiene que 0xE y 1Ey E , así que E esta en la dirección del eje Y positivo.

Un cuarto de ciclo

4

T más tarde 1Ex E y 0yE , así que E está en la dirección

del eje X positivo. En una posición fija en el eje Z el vector de campo eléctrico

resultante E rota en la dirección horaria como se muestra en la figura 3.5a.

Ahora se considera el caso para k impar ( .etc,,2

7

2

3 ) cuando t = 0, de (3.35) y

(3.36) 0xE , y 1Ey E , así que E, está en la dirección del eje Y negativo. Un cuarto

de ciclo más tarde 1Ex E y 0yE , por lo tanto, E está en la dirección del eje X

positivo. Se tiene que en un punto fijo del eje Z el vector de campo eléctrico resultante

E rota en la dirección anti horario como se muestra en la figura 3.5b. La onda viaja en

la dirección positiva del eje Z (saliendo de la página) en ambos casos, como se muestra

en las figuras 3.5a y 3.5b.


100

Y

XZ

E

t = 0

Y

XZ

E

4

Tt

a

Y

XZ

E t = 0

Y

XZ

E

4

Tt

b

Figura 3.4 a) Ejemplo de rotación del campo eléctrico en sentido horario y b) rotación

del campo eléctrico en sentido anti horario

3.2 MÉTODO PARA OBTENER POLARIZACIÓN CIRCULAR

Como se concluye en la sección anterior que para que se logre polarización circular

a partir de dos ondas polarizadas linealmente (horizontal y vertical), una de ella

debe estar atrasada y/o adelantada con respecto a la otra en 90 grados.

En forma práctica se obtiene este retardo o adelantamiento a partir de una línea de

transmisión de longitud igual a 4

radian lo que equivale a 90 grados, pero como la

onda electromagnética en la línea de transmisión no viaja a la velocidad de la luz se

debe hacer una corrección.

vp)corregido( 44

(3.37)

Donde:


101

vp: Factor de propagación (lo dan los fabricantes).

La tabla 3.1 da algunos valores de vp para diferentes tipos de cable coaxial.

Tabla 3.1 Valor del factor de propagación para diferentes tipos de cables coaxial.

Tipo de cable Valor de vp Impedancia (Ohm)

RG 5 0.66 50

RG 11 0.66 75

RG 58 0.66 50

RG 59 0.66 75

RG 142 0.69 50

RG 188 0.69 50

Ejemplo:

Encuentre la longitud real de un cable del tipo RG 58, para obtener un retraso de 90

grados, si se quiere obtener polarización circular con dos antenas Yagi-Uda iguales

para recepcionar el satélite NOAA 17 y recibir el formato APT que se transmite a una

frecuencia de 137.5 MHz.

Solución:

Datos:

Frecuencia de transmisión 137.5 MHz.

Cable RG 58

De la tabla 3.1 se tiene vp = 0.66 la longitud de onda es:


102

m..

1825137

300

Se aplica (3.37):

m.).(.

vp)corregido(

3606604

182

44

Para obtener un retardo de 90 grados, la longitud del cable RG 58, es de 36 cm.

Para obtener polarización circular, a partir de polarización lineal, se necesitan dos

antenas, una para polarización lineal horizontal y otra para polarización lineal vertical, la

figura 3.6 muestra el esquema para obtener polarización circular.

Polarización

lineal horizontal

Polarización

lineal vertical

Antena

Yagi

Antena

lazo Yagi

Antena

horizontal

Antena

vertical

vp4

LL

Polarización

circular

Figura 3.3 Esquema para obtener polarización circular a partir de polarización lineal.


103

La tabla 3.2 da la eficiencia de transmisión con varios tipos de polarizaciones entre la

antena de transmisión y la antena de recepción.

Tabla 3.2 Eficiencia de transmisión con varios tipos de polarización entre la

antena de transmisión y la antena de recepción

Antena transmisora Antena receptora Eficiencia

Vertical Vertical 1

Vertical Horizontal 0

Horizontal Horizontal 1

Horizontal Vertical 0

Vertical Circular ½

Horizontal Circular ½

Circular Vertical ½

Circular Horizontal ½

Circular (Horario) Circular (Horario) 1

Circular (Horario) Circular (Anti horario) 0

Circular (Anti horario) Circular (Horario) 0

Circular (Anti horario) Circular (Anti horario) 1


104

3.3 EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Una onda plana viaja por el eje z positivo tiene un campo eléctrico peak Eo = 15

(V/m). Si el medio es sin pérdidas con 1r , 12r .

i.- Encuentre la velocidad de la onda.

ii.- El vector de Poynting peak.

iii.- La impedancia del medio.

iv.- Encuentre el valor del campo magnético.

Solución:

i.- La velocidad de la onda es:

seg

mt.

.

x

x

xcv

rr

768660258046413

103

121

1031 88

ii.- El vector de Poynting Peak:

Ohm..

Zr

r

r

ro 83108

46413

377

12

1377377

2

22 0672

83108

151

mt

Watt.

.ZEW

o

iii. La impedancia del medio es:

Ohm..

Zr

r

r

ro 83108

46413

377

12

1377377

iv.- El valor del campo magnético es:

mt

V.

.Z

EH

o

1782083108

15

2.- El planeta Mercurio recibe aproximadamente 12.5 gcal/minutos/cm2 de luz solar.


105

i.- ¿Cuál es el vector de Poynting en Watt por metro cuadrado?.

ii.- ¿Cuál es la potencia de salida del sol en luz solar suponiendo que el sol irradia

isotrópicamente?.

iii.- ¿Cuál es el campo eléctrico rms en Mercurio suponiendo que toda la luz solar está

a una sola frecuencia?.

iv.- ¿Cuánto demora la luz solar en llegar a Mercurio?.

Considere: 1 Watt = 14.3 gcal/minuto.

La distancia es de 60 Gm.

Solución:

i.- El vector de Poynting es:

22

2 7488740314

1512

m

kWatt.

cm

Watt.

gcal.

Watt)cmmin//gcal.(W

ii.- La potencia solar es:

24 )ciatandis(WPsolar

Wx.)x()x.(Psolar26293 109531060410748

iii. El campo eléctrico es:

oZEW

12 , despejando E se tiene:

m

V.xx.ZWE o 21815329498037710748 3

iv.- La luz demora en llegar a mercurio:

segx

x

v

dt 200

103

10608

9


106

3.- Una onda viajando en la dirección z positiva tiene dos componentes dadas por:

m

mV)zt(cosiE rms161

m

mV)zt(senjE rms162

i.- Para la onda resultante encuentre la razón axial.

ii.- El campo eléctrico resultante.

iii.- El campo magnético resultante.

iv.- El vector de Poynting.

v.- En que sentido viaja la onda ¿mano derecha o izquierda?.

Solución:

i.- La razón axial para la onda resultante es:

116

16

OB

OARA

ii.- El campo eléctrico resultante:

m

mVEr 16

iii.- El campo magnético resultante:

m

A.

Z

EH

o

rr 42440

377

16

iv. La onda viaja en el sentido mano izquierda.

4.- Una onda polarizada elípticamente en la dirección del eje positivo, tiene

componentes:


107

m

V)zt(senEx 3

m

A)ºzt(senEy 756

Encuentre la potencia promedio que lleva la onda por unidad de área.

Solución:

La potencia promedio es:

oprom

Z

EEW

22

21

2

1

OhmZo 377120

2059680119360

2

1

377

369

2

1

m

W.).(Wprom

2059680

m

W.Wprom

5.- Demuestre que para una onda polarizada elípticamente la potencia promedio por

unidad de área es:

o

opromZ

EEkZHHkHEHEkW

21

212

2212211

2

1

2

1

2

1

Zo: Impedancia intrínseca.

Solución:

Se tiene del vector de Poynting que:

*prom HxEW

2

1 (1)

Tomando la parte real de (1) se tiene:


108

*prom HxEeW

2

1

Para una onda polarizada elípticamente se tiene:

)zt(jx eEE 1

)zt(jx eEE 1

Para z = 0:

)t(jx eEE

1

)t(jx eEE 1

El campo eléctrico resultante general es:

zyx EkEjEiE

En este caso particular Ez = 0

)t(jtjyx eEeEEjEiE 21

Para una onda viajando por el eje z positivo la componente del campo magnético H

asociado con Ex es:

)zt(jy eHH 1

Ex

Hy

La componente de campo H asociado con Ey es:


109

)zt(jx eHH 2

Ey

Hx

Con z = 0:

)t(jy eHH

1

)t(jx eHH 2

El campo magnético total es:

]eH[j]eH[iH )t(j)t(j 12

El conjugado de H es:

]eH[j]eH[iH )t(j)t(j* 12

)HxE(W *prom

2

1

0

0

yx

yx*

HH

EE

kji

HxE

Reemplazando por los valores respectivos se tiene:

0

0

12

11

)t(j)t(j

)t(j)t(j*

eHeH

eEeE

kji

HxE


110

El producto es:

]EHHE[k)]EH(HE[k 22112211

]EHHE[kWprom 22112

1

Se tiene que: oZHE 11

oZ

EH 1

1

Aplicando:

oooprom Z)HH(k]ZHHHZH[kW 22

212211

2

1

2

1

]Z

EE[k]E

Z

E

Z

EE[kW

oooprom

22

21

221

12

1

2

1

6.- Dos ondas polarizadas linealmente tienen componentes:

tcosEx 2

)ºtcos(Ey 903

i.- Determine la razón axial de la onda resultante.

ii.- ¿Cuál es el ángulo de inclinación del eje mayor de la polarización elíptica?

iii.- ¿En que sentido rota el campo eléctrico?

Solución:

i.- La razón axial es:

512

3.

OB

OARA

ii.- Como:


111

)ºtcos(Ey 903

El ángulo es de 90º.

iii. Para t = 0, E = Ex, para 4

Tt , E = -Ey rota en sentido anti horario.

7.- Las componentes instantáneas del campo eléctrico de una onda polarizada

elípticamente es:

)ztcos(EEx 1

)ztcos(EEy 2

Determine E1, E2 y , para los siguientes casos:

i.- Polarización lineal con E1, y E2 distinto de cero.

ii.- Polarización circular mano derecha.

iii.- Polarización circular mano izquierda.

iv.- Polarización elíptica con E1, = E2.

v.- Polarización elíptica con º90 .

Solución:

i.- El ángulo que describe los valores de E1, E2 es:

1

2

E

Earctan

El ángulo de la elipse es el ángulo entre el eje x horizontal y el eje mayor de la

elipse. Se define como:

)RAtan(arccon

Si no se conocen los valores de E1, E2, el ángulo se calcula:


112

)cos(cosarc 222

1

El ángulo de fase se determina como:

2

2

sen

tanarctan

i.- Para el caso de polarización lineal se tiene que:

A.R

)RAtan(arccon

0 )tan(arccon)RAtan(arccon

02

0

2

2

senarctan

sen

tanarctan

0

ii.- Para la polarización circular mano derecha se tiene: 1RA y el signo es +1

º)tan(arccon)RAtan(arccon 451

ºarctansen

ºarctan

sen

tanarctan 90

2

90

2

2

º90

)cos(cosarc 222

1

ºº

)(arc)cosº(cosarc)coscos(cosar 452

900

2

1290

2

122

2

1

º45

1

2

E

Earctan


113

1451

2 )ºtan(tanE

E

12 EE y º90

iii.- Para circular mano izquierda:

1RA y el signo es -1

º)tan(arccon)RAtan(arccon 451

ºarctansen

ºarctan

sen

tanarctan 90

2

90

2

2

º90

)cos(cosarc 222

1

ºº

)(arc)cosº(cosarc)coscos(cosar 452

900

2

1290

2

122

2

1

º45

1

2

E

Earctan

1451

2 )ºtan(tanE

E

12 EE y º90

iv.- Para polarización elíptica con 12 EE

º90 , ºyº 1800

v.- Con º90 se tiene: 12 EE


114

3.4 REFERENCIAS

[1] John krauss, “Antenna”, Primera edición, año: 1950, Editorial McGraw Hill.

[2] John krauss, “Antenna”, Segunda edición, año: 1988, Editorial McGraw Hill.

[3] David Cheng, “Fundamentals of Engineering Electromagnetics”, Editorial:

Addison Wesley Publishing, año: 1993.

[4] John Krauss, Daniel Fleisch y Samuel Russ, “Electromagnetics with

Applications”, Quinta edición, año: 1999, editorial: McGraw Hill.

[5] Robert Collin, “Antennas and Radiowave Propagation”, Editorial: McGraw Hill,

año: 1985.

[6] W, Sichak, S. Milazzo, “Antenna for Circular Polarization”, Proceedings of the

IRE, August 1948, pp. 997-1001.

[7] S. A. Schelkunoff and H. T. Friis, “Antennas: Theory and Practice”, Editorial:


[8]. Warren L. Stutzman, Gary A. Thiele, “Antenna Theory and Design”, Editorial:



John Wiley & Sons, Segunda Edición, año: 1998.

[10] Constantine Balanis, “Antenna Theory and Design”, Tercera Edición, John



año: 2008.


115

CAPÍTULO IV

ANÁLISIS DE SISTEMAS RADIANTES SIMPLES

4.1 INTRODUCCIÓN

En el análisis del problema de radiación de las antenas, el procedimiento común

es especificar la fuente y entonces se determina el campo radiado por la fuente.

Además es una práctica muy común en el procedimiento de análisis introducir

funciones auxiliares, que se conocen como vector potencial, el cual ayuda en la

solución del problema. Las funciones de vector potencial más comunes son el A,

vector potencial magnético y F vector potencial eléctrico. La introducción de estos

potenciales frecuentemente simplifica la solución del problema, aunque requiere la

determinación de funciones adicionales. Mientras que es posible determinar los

campos E y H directamente desde la fuente de densidad de corriente J y M, como

se muestra en la figura 4.1, a veces resulta más simple determinar la función

auxiliar de potencial primero y luego determinar E y H, este procedimiento de dos

pasos se muestra en la figura 4.1.

El procedimiento de un paso a través de la ruta 1, relaciona los campos E y H

con J y M por las relaciones de la integral. El procedimiento de dos pasos se

realiza a través de la ruta 2, relaciona los potenciales A y F con J y M por la

relaciones de integral, los campos E y H son entonces determinados simplemente

por la derivadas de A y F. Aunque el procedimiento de dos pasos requiere

integración y derivación este procedimiento siempre es más simple.


116

Fuente J, MCampos

radiados E y H

Integral

Ruta 1

Vector potencial

A y F

Integral

Ruta 2

Derivada

Ruta 2

Figura 4.1 Diagrama de bloque para calcular los campos eléctricos y magnéticos

radiado desde la fuente eléctrica y magnética.

4.2 VECTOR POTENCIAL A PARA UNA FUENTE DE CORRIENTE

ELÉCTRICA J

El vector potencial A es útil para resolver problemas de campos

electromagnéticos generados por una corriente eléctrica armónica J. El flujo

magnético B es también senoidal, esto es 0B . Se tiene además:

0 Ax (4.1)

Donde:

A: Vector arbitrario.

x: Producto cruz.

Se define:

AHB AA x (4.2)

AH A x

1 (4.3)

Donde:

Subíndice A: Campo se debe al potencial A.


117

Sustituyendo (4.3) en la ecuación del rotor de Maxwell se tiene:

AA HE jx (4.4)

Se reduce a:

AHE AA xjjx (4.5)


0 AEA jx (4.6)

Del vector de identidad se tiene:

0 ex (4.7)

La (4.6) es:

ej AEA (4.8)

AEA je (4.9)

Donde:

e: Arbitrario potencial escalar eléctrico, el cual está en función de la posición.

Tomando el rotor en ambos lados de (4.2) y usando el vector identidad:

AAA2 )(xx (4.10)

Lo cual se reduce a:

AAH A

2 )()(x (4.11)


118

4.3 DIPOLO ELÉCTRICO PEQUEÑO

La mayoría de las antenas lineales se consideran conformadas por un gran

número de conductores pequeños conectados en serie, por esta razón se examina

primero las propiedades de radiación de conductores pequeños.

Un conductor lineal pequeño se denomina dipolo pequeño, el cual se muestra

en la figura 4.2.

d

I L

Línea de

transmisión

a

+ q

- q

L I

b

Figura 4.2 a) Antena de dipolo pequeño; b) El esquema equivalente.

De acuerdo a la figura 4.2 el dipolo pequeño tiene una longitud L y es muy

pequeño comparado con su longitud de onda, es decir, L << , las placas al final

del dipolo dan una carga capacitiva. El dipolo pequeño y las placas se pueden

energizar con una línea de transmisión equilibrada, se considera que tanto la línea

de transmisión como las placas no radian, por lo tanto, estas no se consideran

como una perturbación a la radiación del dipolo pequeño. El diámetro (d) del dipolo

es muy pequeño comparado con su longitud d << L. Para el análisis se considera

al dipolo pequeño como se muestra en la figura 4.2b, que es simplemente de un


119

conductor delgado de longitud L, con una corriente uniforme I, la corriente con la

carga q se relaciona por la derivada de la carga con respecto al tiempo, es decir:

Idt

dq (4.14)

4.3.1 LOS CAMPOS ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO EN UN DIPOLO PEQUEÑO

Se encuentran los campos alrededor de un dipolo pequeño. Sea un dipolo de

longitud L el cual se coloca en el origen de los ejes coordenados (x, y, z), como se

muestra en la figura 4.3. La relación del campo eléctrico rE , E y E es como se

muestra en la figura 4.3, se asume que el medio que rodea al dipolo es el aire o el

vacío.

Z

Y

X

r

rE

E

E

L

P

Dipolo

Figura 4.3 Relación del dipolo pequeño con el sistema coordenado.


120

En el estudio de las antenas o de sistemas radiantes, el tiempo de propagación

adquiere una gran importancia. Esto es si la corriente que fluye por el dipolo

pequeño de la figura 4.4, el efecto de la corriente no se refleja en forma

instantánea en el punto P, sólo después de un intervalo de tiempo la perturbación

se propaga a la distancia r.

P

Z

Y

s1

s

s2

rdz

zL

Dipolo

d

Figura 4.4 Geometría para el dipolo pequeño.

La corriente se escribe como: tjeII 0 , lo cual implica que el efecto de la

corriente se propaga en forma instantánea. Para considerar el efecto de retardo la

corriente se escribe como:

)

c

rt(j

eII

0 (4.15)

Donde:

I : Corriente retardada.

c: Velocidad de la luz.

r: Distancia al punto P.


121

La ecuación (4.15) es el argumento del hecho que la perturbación al tiempo t y a

la distancia r desde un elemento de corriente se debe a la corriente I , que ocurre

al tiempo

c

rt . La diferencia de tiempo

c

r es el intervalo que se requiere para

que la perturbación viaje la distancia r. Los campos eléctrico y magnético se

expresan en términos del vector escalar. Como solo interesa el campo lejano se

utilizan los potenciales retardados que implica usar

c

rt . Para un dipolo que se

localiza como se indican en la figura 4.3 o figura 4.4, el vector potencial retardado

de la corriente eléctrica tiene sólo una componente Az. Su valor es:

dz

s

I

L

Lz

2

2

0

4

A (4.16)

Donde

I : Corriente retardada.

La corriente retardada se expresa como:

)

c

st(j

eII

0 (4.17)

Donde:

z: Distancia en el conductor.

I0: Valor peak de la corriente en el tiempo (uniforme a lo largo del dipolo).

0 : Permeabilidad del espacio libre.

0 = 4πx10-7

m

H.


122

Si la distancia desde el dipolo es grande comparado a su longitud r >> L, y si la

longitud de onda es grande comparada a la longitud del dipolo >> L se hace s =

r, y se desprecia la diferencia de fase de las contribuciones de campo desde las

diferentes partes del alambre. El integrando (4.16) se ve entonces como una

constante, así que la ecuación (4.16) es:

r

eIL)

c

rt(j

z

4

00

A (4.18)

El potencial escalar retardado V de una distribución de carga es:

d

sV

V

04

1 (4.19)

Donde:

: Densidad de carga retardada:

d : Elemento infinitesimal de volumen.

0 : Permitividad o constante dieléctrica de espacio libre.

m

Fx. 12

0 10858 .

La densidad de carga retardada es:

)

c

st(j

e

0 (4.20)

Como la región de carga en el caso de un dipolo pequeño está confinado a un

punto como se muestra en la figura 4.2b, la (4.19) se reduce a:

2104

1

s

q

s

qV

(4.21)


123

Desde (4.14) y (4.16) se tiene:

j

eI

j

IdteIdtIq

c

rtj

)c

st(j

0

0 (4.22)

Sustituyendo (4.22) en (4.21):

2

2

1

1

0

0

4 s

e

s

e

j

IV

)c

st(j)

c

st(j

(4.23)

Mirando la figura 4.4 cuando r >> L, las líneas que conectan los puntos finales

del dipolo y el punto P se consideran paralelos, de acuerdo a la figura 4.4 se tiene:

s1

s2

rL

cosL

2

cosL

2Dipolo

Al punto P

Figura 4.4 Relaciones para un dipolo pequeño cuando r >> L.

cosL

rs2

1 (4.24)

cosL

rs2

1 (4.25)

Sustituyendo (4.24) y (4.25) en (4.23) se tiene:


124

2

22

0

0 22

4 r

cosL

recosL

re

j

eIV

cos)c

L(jcos)

c

L(j

)c

rt(j

(4.26)

El término 4

22 cosL en el denominador se desprecia en comparación con r

2,

asumiendo que r >> L, aplicando Euler a (4.26) se tiene:

cosL

rc

cosLsenj

c

cosLcos

cosL

rc

cosLsenj

c

cosLcos

rj

eIV

)c

rt(j

222

222

4 20

0 (4.27)

Si la longitud de onda es mucho mayor que la longitud del dipolo L se

tienen las siguientes aproximaciones:

12

cosLcos

c

cosLcos (4.28)

c

cosL

c

cosLsen

22

(4.29)

Introduciendo (4.29), (4.28) en (4.27) la expresión del potencial escalar se

reduce a:

20

0 1

4 rj

c

rc

ecosLIV

)c

rt(j

(4.30)

Las (4.18) y (4.30) expresan el vector potencial y escalar potencial

respectivamente, que se deben a un dipolo pequeño. Las restricciones son que r

>> L y >> L. Estas ecuaciones dan el vector potencial y potencial escalar en un


125

punto P en términos de la distancia r, el ángulo θ, la longitud del dipolo L, la

corriente en el dipolo y algunas constantes.

Conociendo el vector potencial A y el vector escalar V, los campos eléctrico y

magnético se obtienen de las siguientes relaciones:

VAE j (4.31)

AH x

1 (4.44)

Es deseable tener E y H en coordenadas polares. Las componentes de

coordenadas polares para el vector potencial son:

AAA φθrA r (4.45)

Como el vector potencial para el dipolo pequeño tiene sólo componentes z,

0A , rA y A se dan de acuerdo a la figura 4.4.

A

R

AZ

A

AZ

Figura 4.4 Relación del vector potencial en las componentes: rA y A .

coszr AA (4.46)

senzAA (4.47)

Donde:

Az: Dado por la ecuación (4.18).


126

En coordenadas polares el gradiente de V es:

V

senra

V

ra

r

VaV r

11 (4.48)

Se calcula ahora el campo eléctrico E desde (4.31), primero se expresa E en

términos de las componentes de las coordenadas polares:

EEEE aaa rr (4.49)

Desde (4.31), (4.45) y (4.48), las tres componentes de E son:

r

Vj rr

AE (4.50)

V

rj

1 AE (4.50)

V

senrj

1 AE (4.51)

En (4.51) se tiene 0A . El segundo término es también cero ya que V en

(4.30) es independiente de , así que 0

V, por lo tanto, 0E . Sustituyendo

(4.46) en (4.49) y (4.47) en (4.50) se tiene:

r

VcosAj zr

E (4.52)

V

rsenj z

1 AE (4.53)

Introduciendo ahora el valor de Az de (4.15), V de (4.30), (4.53) y realizando las

operaciones indicadas se obtiene:


127

320

0 11

2 rjrc

ecosLI)

c

rt(j

r

E (4.54)

3220

0 11

4 rjrcrc

jesenLI)

c

rt(j

E (4.55)

En (4.54) y (4.55) la relación que se usa es: 200

1

c .

El campo magnético se determina a partir de (4.44). En coordenadas polares el

rotor de A es:

rr

r

)r(

r

φ

r

)senr(

senr

θ)()sen(

senr

rx

AAAAAAA

(4.56)

Como 0A , el primero y el cuarto término de (4.56) son cero. Desde (4.16),

(4.46) y (4.47) se nota que rA y A son independientes de , así que el segundo

y tercer término de (4.56) son también cero, Por lo tanto, sólo los dos últimos

términos en (4.56) contribuyen en Ax , el campo magnético H tiene sólo

componentes en , introduciendo (4.46), (4.47) en (4.56) realizando las

operaciones indicadas y sustituyendo este resultado en (4.44) se tiene:

20 1

4 rrc

jesenLI)

c

rt(j

HH (4.57)

0 HHr (4.58)


128

Los campos desde un dipolo pequeño sólo tiene tres componentes rE , E y

H las otras componentes son cero.

Cuando r es muy grande, los términos: 2

1

r y

3

1

r en (4.54), (4.55) y (4.57) se

desprecian y se considera sólo r

1. En el campo lejano rE se desprecia y se tiene

sólo dos campos E y H dados por:

)c

rt(j

)c

rt(j

esenrc

LIj

rc

esenLIj

0

02

0

0

44E (4.59)

)c

rt(j

)c

rt(j

esenr

LIj

rc

esenLIj

0

0

0

0

44H (4.60)

La tabla 4.1 muestra las características de los campos eléctricos y magnéticos

de un dipolo pequeño.


129

Tabla 4.1 Las características de los campos eléctricos y magnéticos de un

dipolo pequeño.

Componente Expresión general Campo lejano

rE

32

11

2 rjrc

cosLIj

0

E

322

11

4 rjcrrc

jsenLIj

r

LsenIj

rc

senjLIj

60

4 2

H

3

1

4 rcr

jsenLIj

r

LsenIj

rc

senjLIj

24

4.3.2 RESISTENCIA DE RADIACIÓN DE UN DIPOLO PEQUEÑO

Se determina la resistencia de radiación para un dipolo pequeño. El vector de

Poynting para el campo lejano se integra sobre una gran esfera para obtener la

potencia radiada total. La potencia se iguala a RI 2 , donde I es la corriente rms en

el dipolo, R es la resistencia y se denominada resistencia de radiación del dipolo

pequeño.

El vector de Poynting promedio es

*xReP HE2

1 (4.71)

Las componentes de campo lejano son E y H así que la componente radial

del vector de Poynting es:


130

*r ReP HE

2

1 (4.72)

Las componentes de campos lejanos se relacionan por la impedancia intrínseca

del medio de propagación, por lo tanto, se tiene:

HHE Z (4.73)

La (4.72) se reduce a:

22

2

1

2

1

2

1HHHH ZRe)Z(ReP *

r (4.74)

La potencia total radiada es:

ddsenrHdsPW

Sr

22

0

2

02

1 (4.75)

De acuerdo a (4.60) el valor de H es:

rc

esenLIj)

c

rt(j

4

0

H (4.76)

Reemplazando el valor de (4.76) en (4.75) se tiene:

ddsenr

rc

esenLIjW

)c

rt(j

2

2

0

02

0 42

1

(4.77)

Se supone que )

c

rt(j

e

es independiente de y , por lo tanto, no influye en la

determinación de la integral de (4.77):


131

2

0 0

32

220

2

32

1dsend

LIW (4.78)

La integral doble de (4.78) tiene el valor de: 3

8, la (4.78) se reduce a:

12

220

2 LIW (4.79)

La potencia promedio o velocidad a la cual la energía sale desde la esfera que

rodea al dipolo es igual a la potencia radiada. Asumiendo que no existen perdidas,

es igual a la potencia liberada en el dipolo, por lo tanto, W es igual al cuadrado de

la corriente rms que fluye por el dipolo (por la resistencia R), la cual se denomina

resistencia de radiación del dipolo pequeño. Se tiene:

RILI

20

220

2

212

(4.80)

Despejando R se llega a:

6

22 LR (4.81)

Para el vacío o el aire se tiene que

120

0

0 Ohms, la (4.81) se simplifica y

queda:

2280

LR (4.81)


132

Por ejemplo: Suponga que 10

1

L, la resistencia de radiación tiene el valor de

7.9 Ohm, si 010100

1.

L

, la resistencia de radiación es de 0.08 Ohm, de estos

dos ejemplos se concluye que la resistencia de radiación es muy pequeña para un

dipolo pequeño.

4.4 ANTENA LINEAL DELGADA

Se asume que la antena se alimenta en su centro por una línea de transmisión

balanceada de dos alambres. La antena puede ser de cualquier longitud, se

asume también que la distribución de la corriente es senoidal.

De acuerdo a la figura 4.23 se desarrollan las ecuaciones para el campo lejano

de una antena lineal, simétrica, delgada, alimentada en el centro y de longitud L.

Z

Y

dz

L

z

I0

r

s

Figura 4.23 Relaciones para una antena lineal delgada, alimentada en su centro

y de longitud L.


133

El valor de la corriente retardada en cualquier punto z de la antena a un punto P,

de distancia s es:

)

c

rt(j

ezL

senII

2

20 (4.82)

z

Lsen

2

2

(4.83)

La (4.83) es la forma del factor de la corriente en la antena. La expresión

z

L

2

se usa cuando z < 0 y

z

L

2 cuando z > 0.

Mirando la antena como conformada por una serie de dipolos infinitesimales de

longitud dz, el campo de la antena completa se obtiene integrando los campos

desde todos los dipolos infinitesimales que conforman la antena. Los campos

lejanos Ed y Hd a la distancia s desde el dipolo infinitesimal dz es:

s

dzsenIjd

60E (4.84)

s

dzsenIjd

2H (4.85)

Como HHE 120 Z se obtiene (4.84). El valor del campo magnético H

completo en toda la longitud de la antena es:

2

2

L

L

d HH (4.86)


134

Introduciendo el valor de I desde (4.82) en (4.85) y sustituyendo en (4.86) se

tiene:

0

2

2

0 2

21

2

21

2 L

L

c

sj

c

sjtj

dzezL

sens

dzezL

sens

esenjI

H

(4.87)

En (4.87), s

1 afecta sólo la amplitud, así que a una gran distancia se ve como

una constante. También a una gran distancia la diferencia entre s y r se desprecia

el efecto de la amplitud, aunque el efecto de la fase debe ser considerado. De la

figura 4.23 se tiene.

coszrs (4.88)

Sustituyendo (4.88) en (4.87) y también r por s en el factor de amplitud

(denominador) de la ecuación (4.88) se tiene:

0

2

2

0 2

2

2

2

2 L

L

c

zcosj

c

zcosj)c

rt(j

dzezL

sendzezL

senr

esenjI

H

(4.89)

Como:

2

c (4.90)

Y:


135

2

1

4 (4.91)

Utilizando (4.91) y (4.90) en (4.89):

0

2

2

0 224 L

L

coszjcoszj

)c

rt(j

dzezL

sendzezL

senr

esenIj

H

(4.92)

La integral de la forma:

bxccosbbxcsenab

edx)bxc(sene

xx

22

(4.93)

Para la primera integral se tiene:

cosj

b

2

Lc

Para la segunda integral y c son los mismos como en la primera integral, pero

ahora b . Se realiza a través de dos integraciones, sumando los dos

resultados y simplificando se logra:

sen

Lcos

cosLcos

r

Ij 22

20H (4.94)

Multiplicando H por 120Z , da E como:


136

sen

Lcos

cosLcos

r

Ij 2260 0E (4.95)

Donde:

c

rtj

eII

00

Las (4.94) y (4.95) son las expresiones para los campos lejanos H y E de

una antena delgada lineal de longitud L y que se alimenta en el centro (simétrica).

La forma de patrón de los campos lejano se da por los factores del paréntesis

cuadrado de (4.94) y (4.95) los factores que preceden al paréntesis cuadrado de

(4.94) y (4.95) dan las magnitudes instantánea de los campos eléctrico y

magnético en función de la corriente en la antena a la distancia r.

4.4.1 ANTENA DELGADA DE LONGITUD 2

λ

Cuando 2

L y

2 , (4.94) y (4.95) ahora son:

sen

coscos

r

Ij 260E (4.96)

sen

coscos

r

Ij 2

2H (4.97)


137

De acuerdo a (4.96) el patrón de campo eléctrico lejano es:

sen

coscos

2E (4.98)

La figura 4.24 muestra la distribución de la corriente para una antena delgada de

longitud 2

L .

I02

Figura 4.24 Distribución de la corriente en una antena lineal delgada, de longitud

2

L .

El patrón del campo eléctrico se muestra en la figura 4.25, desde el cual se

observa que es más direccional que el del dipolo pequeño, el cual es sen . El

ancho del haz donde la potencia cae a la mitad es de 78º para la antena de

longitud 2

, comparado con el de 90º para la dipolo pequeño.


138

78º

Figura 4.25 El patrón de campo lejano de un dipolo de media onda.

En la figura 4.26 se muestran los patrones de radiación de campo eléctrico y

campo magnético para un dipolo de media longitud de onda, una longitud de onda,

dos longitudes de onda y tres longitudes de onda:

Media longitud de onda Una longitud de onda


139

Dos longitudes de onda Tres longitudes de onda

Figura 4.26 Patrones de radiación de campo eléctrico y campo magnético para

diferentes longitudes de ondas.

4.4.1.1 RESISTENCIA DE RADIACIÓN DE UN DIPOLO DE MEDIA ONDA

Para encontrar la resistencia de radiación de un dipolo de media onda, el vector

de Poynting se integra en una gran esfera, la potencia radiada se iguala a

oRI

20

2

, donde Ro es la resistencia de radiación de un dipolo de media longitud

de onda. La potencia total radiada se obtiene al aplicar s

dsH2

2

1

:

ddsenr

sen

coscos

r

)I(W 2

02

22

022

20 2

42

1

(4.99)

dd

sen

coscos)I(

)(W

0

22

02

20 2

4120

2

1 (4.100)


140

dd

sen

coscos)I(

W

0

22

0

20 215

(4.101

d

sen

coscos

)()I(

W

0

22

0 22

15 (4.102)

d

sen

coscos

IW

0

2

20

230 (4.103)

La potencia radiada por la antena es igual a:

oRIW 20

2

1 (4.104)

Igualando (4.103) con (4.104) y despejando la resistencia de radiación:

0

2

260 d

sen

coscos

Ro (4.105)

Para realizar la integración de (4.105) se hace un cambio de variable.

Sea cosu y dsendu , si 110 uyu , además

21 usen , con estas transformaciones la (4.105) se expresa:

1

12

2

1

260 duu

ucosRo

(4.106)

La fracción 21

1

u se expresa como:

uu)u)(u( 1

1

1

1

2

1

11

1 (4.107)


141

Empleando (4.107) en (4.106):

1

1

22

12

1230 du

u

ucos

u

ucosRo

(4.108)

Se realiza un nuevo cambio de variable:

vu 1 y

dvdu (4.109)

vu 1 y

`dvdu (4.110)

vv

(4.111)

Con el nuevo cambio de variable la (4.108) se expresa:

dvv

vcos

Ro

2

0

2

260 (4.112

De trigonometría se tiene que: )xcos(x

cos 12

1

2

2 . La (4.112) queda:

1

1

1

1

130

130 dv

v

vcosdv

v

)vcos(Ro

(4.113)

La integral

1

1

130 dv

v

vcos se designa como Cin(x) y se define como:

)x(CixLndvv

vcos)x(Cin

x

0

1 (4.114)

Donde:

Ci(x): Integral coseno.


142

7811.ec

5770.cLn

)x(CixLn.)x(Cin 5770

El valor de la integral coseno es:

........!

x

!

x

!

xxLndv

v

vcos)x(Ci

x

664422

642

(4.115)

Cuando x es pequeño, es decir, x < 0.2:

xLn.)x(Ci 5770 (4.116)

Cuando x es grande, es decir, x >> 1:

x

xsen)x(Ci (4.117)

Se debe indicar que Ci(x) converge al valor cero, cuando el valor de x es muy

grande (x > 10). Reemplazando (4.116) y (4.115) se obtiene el valor de Cin(x)

como una serie de potencia infinita.

.........!

x

!

x

!

x)x(Cin

664422

642

(4.118)

La figura 4.27 muestra la gráfica de la integral coseno.


143

0 1 2 3 4 6 7 8 95-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.80.9

10

x

Ci(x)

Figura 4.27 La integral coseno.

Otra integral que se usa en el cálculo de la impedancia es la integral seno dada

por:

.......!

x

!

x

!

xxdv

v

vsen)x(Si

x

775533

753

0

(4.119)

Cuando x es pequeño, es decir, x < 0.5 se tiene:

x)x(Si (4.120)

Cuando x es grande, es decir, x >> 1 se tiene:

x

xcos)x(Si

2

(4.121)

La función Si(x) para valores muy grandes de x, es decir, x > 10 converge al valor

2

.


144

La figura 4.28 muestra la integral seno.

0 1 2 3 4 6 7 8 950

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

10

x

Si(x)

2

Figura 4.28 La integral seno.

Retornando a (4.113) se tiene:

Ohm.x)(CinRo 7344230230 (4.122)

De acuerdo a (4.122) la resistencia de radiación de un dipolo de media longitud

de onda es de 73 Ohm aproximadamente.

4.5 DIPOLO PLEGADO

Un dipolo plegado consiste de dos dipolos paralelos conectados en sus

extremos, como se muestra en la figura 4.30. Las consideraciones son que d << L,


145

la longitud L, dada en longitudes de onda, el punto de alimentación está en el

centro y en un solo dipolo.

d

L

Figura 4.30 Esquema de un dipolo plegado.

Los conductores de la línea de transmisión tipo cable coaxial son no

balanceados con respecto a tierra. En teoría de circuitos un sistema no

balanceado se define como: los dos conductores están a diferentes

potenciales respecto a tierra, por ejemplo: cuando uno de los conductores está a

potencial de tierra. La capacitancia con respecto a tierra de los conductores

individuales son diferentes y consecuentemente las corrientes en los dos

conductores son diferentes. En contraste los sistemas balanceados los dos

conductores están respectivamente sobre o bajo el potencial de tierra con

igual aporte.

En teoría de antena los términos “balanceados y no balanceados”: tienen un

significado parcialmente diferentes, se dice que un sistema es balanceado si

ellos llevan la misma corriente pero en sentido opuesto y no balanceado

cuando tienen corrientes diferentes.


146

Un dipolo plegado es una línea de transmisión no balanceada. El análisis

considera la corriente que esta compuesta con dos modos:

Modo línea de transmisión.

Modo antena.

La figura 4.31, muestra los tipos de corrientes.

a

Modo línea de transmisión

b

Modo antena

Figura 4.31 Los modos de corriente en un dipolo plegado: a) Modo línea de

transmisión; b) Modo antena.

Las corrientes en el modo línea de transmisión tienen campos que tienden a

cancelarse en el campo lejano porque d es muy pequeño.

La impedancia de entrada para este modo está dada por la ecuación de una

línea de transmisión con una carga en corto circuito:

2

LtanZjZ oT (4.123)

Donde:

ZT: Impedancia de entrada en modo línea de transmisión.

Zo: Impedancia de la línea de transmisión.

En el modo antena los campos desde la corriente en cada sección horizontal del

dipolo se refuerzan en el campo lejano, porque están similarmente direccionadas.

En este modo las cargas “giran alrededor de las esquinas en lugar de retornar


147

a la entrada como un dipolo lineal delgado”. Lo cual conduce a doblar la

corriente de entrada para la longitud a la cual es resonante. El resultado de esto

es que en el modo antena se tiene una corriente de entrada que es la mitad que

para el dipolo en la longitud resonante.

Suponga que un voltaje V, se aplica en los terminales de entrada. El

comportamiento total se determina por la superposición del circuito equivalente

para el modo que se da en la figura 4. 32. Note que si las figuras para cada modo

son sobre impuesta y los voltajes se suman, el voltaje total en el lado izquierdo

(modo línea de transmisión) es V y en el lado derecho es cero, tal como debe ser.

+

+

2

V

2

V

IT

IT

+

+

2

V

2

V

2

AI

2

AI

Modo línea de transmisión Modo antena

a b

Figura 4.32 Superposición de los modos dado para el modelo de un dipolo

plegado: a) Modo línea de transmisión; b) Modo antena.

La corriente en el modo línea de transmisión es:

TTT

Z

V

Z

V

I2

2 (4.124)

Para el modo antena la corriente total IA es la suma de cada lado. La excitación

para esta corriente es 2

V, la corriente en la antena es:


148

DDA

Z

V

Z

V

I2

2 (4.125)

Donde:

ZD: Impedancia de entrada para un dipolo delgado lineal.

La corriente total del lado izquierdo del modelo es: AT II2

1 y el voltaje total es

V, así que la impedancia de entrada de un dipolo plegado es:

AT

in

II

VZ

2

1

(4.126)

Sustituyendo las corrientes IT e IA de (4.124) y (4.125) en (4.126) se tiene:

DT

DTin

ZZ

ZZZ

2

4

(4.127)

Considere el caso cuando 2

L , reemplazando en (4.123):

24

2

tanZjtanZjZ ooT (4.128)

DD

t

D

T

T

Din Z

Z

Z

Z

Z

Z

ZZ 4

01

4

2

4

(4.129)

La impedancia de un dipolo plegado de media onda de acuerdo a (4.129) es

cuatro veces la impedancia de un dipolo delgado de media onda. Como un

dipolo de media onda resonante tiene una impedancia de entrada real. El dipolo

plegado la impedancia de entrada también lo es y su valor aproximado es:

OhmOhmxZin 300292734 (4.130)


149

La impedancia de un dipolo plegado tiene un valor muy cercano al de la

impedancia característica de un cable plano que se usa comúnmente en las

antenas del receptor de televisión, el cual tiene una impedancia de 300 Ohm.

Otra forma de construir el dipolo plegado es usar dos alambres (tubo de

aluminio) de diferentes diámetros, como se muestra en la figura 4.33.

d

2a1

2a2

a1, a

2 << d

Figura 4.33 Esquema de un dipolo plegado de diferentes diámetros del alambre.

La impedancia de entrada para el dipolo de la figura 4.33 es:

Din Z)c(Z 21 (4.131)

Donde:

2

1

a

dLn

a

dLn

c (4.132)

En la práctica los dipolos de media longitud de onda al fabricarse con tubos se

considera un factor que acorta la longitud del tubo de acuerdo a la razón a2

. La

tabla 4.2 da el factor de acortamiento.


150

Tabla 4.2 Factor de acortamiento

a2

λ

50 70 100 150 400 800 1000 4000 10000 30000

Factor 0.92 0.93 0.935 0.94 0.95 0.955 0.960 0.965 0.97 0.975

Por ejemplo: se tiene un tubo de 2 cm de radio, la frecuencia de operación es de

150 MHz, esto implica que 5022

200

2

xa

. De acuerdo a la tabla 4.4 el factor de

acortamiento es de 0.92, por lo tanto, el dipolo de media longitud de onda se debe

acortar a 0.92x 100 = 920 cm.


150

4.6 PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Demuestre que la resistencia Ohmica de un dipolo de media longitud de onda

es:

42

a

RR s

Ohmica

Solución:

La potencia Ohmica es:

dz)]z(I[a

RP

L

L

sOhmica

2

2

2

2

1

2

Para un dipolo de media onda se tiene:

]z([senI)z(I a 4

Así que:

dz]z([senI

L

La

42

1 22

2

2

dz]z([senIa 4

22

1 24

0

2

dz))z(cos(Ia

4

0

2

421

2

1


151

0

4

4

24

2

2

12

))z((senzIa

42

1

42

0

42

1 22

aa I

senI

La potencia Ohmica es:

42

1

2

2

a

sOhmica I

a

RP

La resistencia Ohmica es:

42

2

1 2

a

R

I

PR s

a

OhmicaOhmica

2.- Use el resultado del problema 1, para calcular la eficiencia de radiación de un

dipolo de media onda a 100 MHz, si el dipolo de media onda se hace con un

alambre de aluminio de 6.35 mm de diámetro. Asuma una resistencia de radiación

de 70 Ohm.

Solución:

La frecuencia es: Hzxf 8101

m

Hx 7

0 104 , m

mhox. 71053

mx.a 3103562


152

La resistencia Rs es:

2sR

Ohmx.)x.(

xxxRs

37

78

103585310532

1041012

La resistencia Ohmica es:

Ohm.x.

x.

a

RR s

Ohmica 12604

3

2

103562

1035853

42 3

3

La eficiencia es:

Ohmicar

r

RR

Re

%..

e 8299126070

70

3.- Un dipolo resonante a media longitud de onda para recepcionar el canal 7 de

televisión (177 MHz) se construye con un tubo de aluminio de 1.27 cm de radio.

¿De que largo es realmente el dipolo?

Solución:

La longitud de onda es:

m.6951177

300

7662712

5169

2.

.x

.

a


153

De la tabla 4.2 se tiene que el valor más cercano es 70, lo que da un factor de

0.93, luego el dipolo es de:

cm.).(.

Corregido978930

2

5169

2

4.- Encuentre la frecuencia resonante si el dipolo tiene un radio de 0.005 m y la

longitud de 0.5 m.

Solución:

5000502

50

2

.x

.

a

El factor es 0.92, por lo tanto, se tiene:

460920502

..x.fcL

m..

.L 0871

460

50

MHzx.

xf 27510275

0871

103 68

5.- Se desea tener una simple fórmula para un dipolo de media longitud de onda

que tenga una razón de 400. Además determine la longitud de los dipolos para

cada uno de los canales de televisión abierta. Considere: 57, 63, 69, 79, 85, 177,

183, 189, 195, 201, 207, 213 MHz y FM 100 MHz.


154

Solución:

)c.f(f

)c.f(f

)c.f(LMHzMHz

150

2

300

2

De acuerdo a la tabla 4.2 se tienen que para una razón de: 4002

a

, el factor

de corrección es de 0.95, luego se tiene:

MHzMHzMHz f

.

f

.x)c.f(

fL

5142950150150

La longitud del dipolo para los diferentes canales es:

Canal TV Frecuencia (MHz) Dipolo media onda (cm)

2 57 250

3 63 226.2

4 69 206.5

5 79 180.4

6 85 167.6

F.M 100 142.5

7 177 89.5

8 183 77.9

9 189 75.4

10 195 73.1

11 201 70.9

12 207 68.8


155

13 213 66.9

6.- Calcule la impedancia de un dipolo plegado de longitud 40.L , con un

alambre de diámetro de 0010. y distancia de separación a.d 512 . Considere

OhmjZd 17035

Solución:

Método 1:

Ohm.j.

tanjL

tanZjZt 39232

402300

20

DT

DTin

ZZ

ZZZ

2

4

Ohm.j.)j(.j

)j)(.j(

ZZ

ZZZ

DT

DTin 910348345

1703523923

703539234

2

4

Ohm.j.Zin 910348345

Metodo 2:

Din Z)c(Z 21

Donde:

2

1

a

dLn

a

dLn

c

Se tiene:


156

1

2

0010

2

0010512

2

0010

2

0010512

2

1

.

..

Ln

.

..

Ln

a

dLn

a

dLn

c

OhmjOhmj)(Z)c(Z Din 68014017035111 22

Con el método 2, se comete un error del 50 %, esto se debe al utilizar tubos del

mismo diámetro, la fórmula no es exacta.


157

4.7 REFERENCIAS

[1] John krauss, “Antenna”, Primera edición, Editorial McGraw Hill, año: 1950.

[2] John krauss, “Antenna”, Segunda edición, Editorial McGraw Hill, año: 1988.

[3] David Cheng, “Fundamentals of Engineering Electromagnetics”, Editorial:

Addison Wesley Publishing, año: 1993.

[4] John Krauss, Daniel Fleisch y Samuel Russ, “Electromagnetics with

Applications”, Quinta edición, editorial: McGraw Hill, año: 1999.

[5] Robert Collin, “Antennas and Radiowave Propagation”, Editorial: McGraw Hill,

año: 1985.

[6] S. A. Schelkunoff and H. T. Friis, “Antennas: Theory and Practice”, Editorial:





John Wiley & Sons, Segunda Edición, año: 1998.

[9] Constantine Balanis, “Antenna Theory and Design”, Tercera Edición, John



año: 2008.

[11] Ronold W. P. King, “The Linear Antenna – Eighty Years of Progress”,

Proceedings of the IEEE, Vol. 55, Nº 1, January 1967, pp. 2-16.


158

[12] Thomas A. Milligan, “Modern Antenna Design”, Segunda Edición, Editorial:


[13] Kazimierz Siwiak, “Radiowave Propagation and Antennas for Personal

Communications”, Editorial: Artech House, año: 1995.

[14] H. Jasik, Editor, “Antenna Engineering Handbook”, Editorial: McGraw Hill, año:

1961.

[15] W.L. Weeks, “Antenna Engineering”, Editorial: McGraw Hill, año: 1968.

Education

Antenas ubb