Árboles Rojo - Negro

Tecnológico de Costa Rica

Jeffrey CamarenoSergio Sánchez

Xavier Vega

2013

Descripción • Un árbol rojo-negro es un tipo abstracto de datos.

Concretamente, es un árbol binario de búsqueda equilibrado, una estructura de datos utilizada en informática y ciencias de la computación. • Es complejo, pero tiene un buen peor caso

de tiempo de ejecución para sus operaciones y es eficiente en la práctica. Puede buscar, insertar y

borrar en un tiempo O(log n), donde n es el número de elementos del árbol.

Historia• La estructura original fue creada por Rudolf

Bayer en 1972, que le dio el nombre de “árboles-B binarios simétricos”, pero tomó su nombre

moderno en un trabajo de Leo J. Guibas y Robert Sedgewick realizado en 1978.

Ventajas• Los árboles rojo-negro ofrecen un peor

caso con tiempo garantizado para la inserción, el borrado y la búsqueda. No es

esto únicamente lo que los hace valiosos en aplicaciones sensibles al tiempo como

las aplicaciones en tiempo real, sino que además son apreciados para la construcción

de bloques en otras estructuras de datos que garantizan un peor caso. Por ejemplo,

muchas estructuras de datos usadas en geometría computacional pueden

basarse en árboles rojo-negro.

• Los árboles rojo-negro son particularmente valiosos

en programación funcional, donde son una de las estructuras de

datos persistentes más comúnmente utilizadas en la

construcción de arrays asociativos y conjuntos que

pueden retener versiones previas tras mutaciones. La versión

persistente del árbol rojo-negro requiere un espacio O(log n) para cada inserción o borrado, además

del tiempo.

Estructura general del árbol

• Un árbol rojo-negro es un árbol binario de búsqueda en el que cada nodo tiene un atributo de color cuyo valor es rojo o negro. En adelante, se dice que un nodo es rojo o negro haciendo referencia a dicho atributo.

• Además de los requisitos impuestos a los árboles binarios de búsqueda convencionales, se deben satisfacer las siguientes reglas para tener un árbol rojo-negro válido:

• Todo nodo es o bien rojo o bien negro.• La raíz es negra.• Todas las hojas (NIL) son negras.• Todo nodo rojo debe tener dos nodos hijos negros.• Cada camino desde un nodo dado a sus hojas

descendientes contiene el mismo número de nodos negros.

• Estas reglas producen una características producen una regla crucial para los árboles rojo-negro: el camino más largo desde la raíz hasta una hoja no es más largo que dos veces el camino más corto desde la raíz a una hoja. El resultado es que dicho árbol está aproximadamente equilibrado.

Repaso de Características

• Todo nodo es o bien rojo o bien negro.• La raíz es negra.• Todas las hojas son negras.• Todo nodo rojo debe tener dos nodos

hijos negros.• Cada camino desde un nodo dado a

sus hojas descendientes contiene el mismo número de nodos negros

Ejemplo de un Árbol Rojo-Negro:

Operaciones en Árboles Rojo-Negros

•Rotación•Búsqueda• Inserción• Eliminación

Rotación• Para conservar las propiedades que debe

cumplir todo árbol rojo-negro, en ciertos casos de la inserción y la eliminación será necesario reestructurar el árbol, si bien no debe perderse la ordenación relativa de los nodos. Para ello, se llevan a cabo una o varias rotaciones, que no son más que reestructuraciones en las relaciones padre-hijo-tío-nieto.

• Las rotaciones que se consideran a continuación son simples; sin embargo, también se dan las rotaciones dobles.

• En las imágenes pueden verse de forma simplificada cómo se llevan a cabo las rotaciones simples hacia la izquierda y hacia la derecha en cualquier árbol binario de búsqueda, en particular en cualquier árbol rojo-negro. Podemos ver también la implementación en C de dichas operaciones.

Ejemplo Rotación izquierda

Código rotación izquierdavoid rotar_izda(struct node *p) {

struct node **aux=&raiz; if(p->padre!=NULL && p->padre->dcho==p) aux=&(p-

>padre->dcho); else if(p->padre!=NULL && p->padre->izdo==p) aux=&(p-

>padre->izdo);

*aux=p->dcho; (*aux)->padre=p->padre; p->padre=*aux; p->dcho=(*aux)->izdo; (*aux)->izdo=p; if(p->dcho!=NULL) p->dcho->padre=p; }

Ejemplo Rotación derecha

Código rotación Derecha void rotar_dcha(struct node *p) { struct node **aux=&raiz; if(p->padre!=NULL && p->padre->dcho==p) aux=&(p->padre->dcho); else if(p->padre!=NULL && p->padre->izdo==p) aux=&(p->padre->izdo); *aux=p->izdo; (*aux)->padre=p->padre; p->padre=*aux; p->izdo=(*aux)->dcho; (*aux)->dcho=p; if(p->izdo!=NULL) p->izdo->padre=p; }

Búsqueda• La búsqueda consiste acceder a la raíz del árbol y

comparar su valor con el valor buscado. Si el elemento a localizar coincide con el de la raíz, la búsqueda ha concluido con éxito. Si el elemento es menor, se busca en el subárbol izquierdo; si es mayor, en el derecho. Si se alcanza un nodo hoja y el elemento no ha sido encontrado se supone que no existe en el árbol. Cabe destacar que la búsqueda en este tipo de árboles es muy eficiente y representa una función logarítmica. La búsqueda de un elemento en un ABB (Árbol Binario de Búsqueda) en general, y en un árbol rojo-negro en particular, se puede realizar de dos formas: iterativa y recursiva.

Código Búsqueda

• TipoDato buscar_abb_iterativo(Abb a, TipoValor buscado){

• TipoDato e = NULL; Abb p = a; • while (!estaVacio(p) && (p->valor != buscado) ){ • if (buscado < p->valor) p = p->izquierda; • if (p->valor < buscado) p = p->derecha; }• if (!estaVacio(p)) e = copiaDato(p->dato); return

e; }

Inserción• La inserción comienza añadiendo el nodo como lo

haríamos en un árbol binario de búsqueda convencional y pintándolo de rojo. Lo que sucede después depende del color de otros nodos cercanos. El término tío nodo será usado para referenciar al hermano del padre de un nodo, como en los árboles familiares humanos. Conviene notar que:

• La propiedad 3 (Todas las hojas, incluyendo las nulas, son negras) siempre se cumple.

• La propiedad 4 (Ambos hijos de cada nodo rojo son negros) está amenazada solo por añadir un nodo rojo, por repintar un nodo negro de color rojo o por una rotación.

• La propiedad 5 (Todos los caminos desde un nodo dado hasta sus nodos hojas contiene el mismo número de nodos negros) está amenazada solo por repintar un nodo negro de color rojo o por una rotación.

• Al contrario de lo que sucede en otros árboles como puede ser el Árbol AVL, en cada inserción se realiza un máximo de una rotación, ya sea simple o doble. Por otra parte, se asegura un tiempo de re-coloración máximo de  por cada inserción.

• Nota: En los esquemas que acompañan a los algoritmos, la etiqueta N será utilizada por el nodo que está siendo insertado, P para los padres del nodo N, G para los abuelos del nodo N, y Upara los tíos del nodo N. Notamos que los roles y etiquetas de los nodos están intercambiados entre algunos casos, pero en cada caso, toda etiqueta continúa representando el mismo nodo que representaba al comienzo del caso. Cualquier color mostrado en el diagrama está o bien supuesto en el caso o implicado por dichas suposiciones.Los nodos tío y abuelo pueden ser encontrados por las siguientes funciones:

Código inserción

Eliminación• En un árbol binario de búsqueda normal, cuando se borra un nodo con dos

nodos internos como hijos, tomamos el máximo elemento del subárbol izquierdo o el mínimo del subárbol derecho, y movemos su valor al nodo que es borrado. Borramos entonces el nodo del que copiábamos el valor que debe tener menos de dos nodos no hojas por hijos. Copiar un valor no viola ninguna de las propiedades rojo-negro y reduce el problema de borrar en general al de borrar un nodo con como mucho un hijo no hoja. No importa si este nodo es el nodo que queríamos originalmente borrar o el nodo del que copiamos el valor.

• Resumiendo, podemos asumir que borramos un nodo con como mucho un hijo no hoja (si solo tiene nodos hojas por hijos, tomaremos uno de ellos como su hijo). Si borramos un nodo rojo, podemos simplemente reemplazarlo con su hijo, que debe ser negro. Todos los caminos hasta el nodo borrado simplemente pasarán a través de un nodo rojo menos, y ambos nodos, el padre del borrado y el hijo, han de ser negros, así que las propiedades 3 (todas las hojas, incluyendo las nulas, son negras) y 4 (los dos hijos de cada nodo rojo son negros) se mantienen. Otro caso simple es cuando el nodo borrado es negro y su hijo es rojo. Simplemente eliminar un nodo negro podría romper las propiedades 4 (los dos hijos de cada nodo rojo son negros) y 5 (todos los caminos desde un nodo dado hasta sus hojas contienen el mismo número de nodos negros), pero si repintamos su hijo de negro, ambas propiedades quedan preservadas.

• El caso complejo es cuando el nodo que va a ser borrado y su hijo son negros. Empezamos por reemplazar el nodo que va a ser borrado con su hijo. Llamaremos a este hijo (en su nueva posición) N, y su hermano (el otro hijo de su nuevo padre) S. En los diagramas de debajo, usaremos P para el nuevo padre de N, SL para el hijo izquierdo de S, y SR para el nuevo hijo derecho de S (se puede mostrar que S no puede ser una hoja).

• Nota: Entre algunos casos cambiamos roles y etiquetas de los nodos, pero en cada caso, toda etiqueta sigue representando al mismo nodo que representaba al comienzo del caso. Cualquier color mostrado en el diagrama es o bien supuesto en su caso o bien implicado por dichas suposiciones. El blanco representa un color desconocido (o bien rojo o bien negro).El cumplimiento de estas reglas en un árbol con n nodos, asegura un máximo de tres rotaciones y hasta  recoloraciones.

Casos de eliminación • Caso 1: N es la nueva raíz. En este caso, hemos

acabado. Borramos un nodo negro de cada camino y la nueva raíz es negra, así las propiedades se cumplen. Una posible implementación en el lenguaje de programación C sería la siguiente:

void eliminar_caso1(struct node *n) { if (n->padre!= NULL) eliminar_caso2(n); }

• Caso 2: S es rojo. En este caso invertimos los colores de P y S, por lo que rotamos a la izquierda P, pasando S a ser el abuelo de N. Nótese que P tiene que ser negro al tener un hijo rojo. Aunque todos los caminos tienen todavía el mismo número de nodos negros, ahoraN tiene un hermano negro y un padre rojo, así que podemos proceder a al paso 4, 5 o 6 (este nuevo hermano es negro porque éste era uno de los hijos de S, que es rojo). En casos posteriores, reetiquetaremos el nuevo hermano de N como S. Aquí podemos ver una implementación:

void eliminar_caso2(struct node *n) { struct node *hm = hermano(n);

if (hm->color == ROJO) { n->padre->color = ROJO; hm->color = NEGRO; if (n == n->padre->izdo) rotar_izda(n->padre); else rotar_dcha(n->padre); } eliminar_caso3(n); }

• Caso 3: P, S y los hijos de S son negros. En este caso, simplemente cambiamos S a rojo. El resultado es que todos los caminos a través de S, precisamente aquellos que no pasan por N, tienen un nodo negro menos. El hecho de borrar el padre original de N haciendo que todos los caminos que pasan por N tengan un nodo negro menos nivela el árbol. Sin embargo, todos los caminos a través de P tienen ahora un nodo negro menos que los caminos que no pasan por P, así que la propiedad 5 aún no se cumple (todos los caminos desde cualquier nodo a su nodo hijo contienen el mismo número de nodos negros). Para corregir esto, hacemos el proceso de reequilibrio en P, empezando en el caso 1. Su implementación en C:

• void eliminar_caso3(struct node *n) { struct node *hm = hermano_menor(n); if ((n->padre->color == NEGRO) && (hm->color == NEGRO) && (hm->izdo->color == NEGRO) && (hm->dcho->color == NEGRO)) { hm->color = ROJO; eliminar_caso1(n->padre); } else eliminar_caso4(n); }

• Caso 4: S y los hijos de éste son negros, pero P es rojo. En este caso, simplemente intercambiamos los colores de S y P. Esto no afecta al número de nodos negros en los caminos que no van a través de S, pero añade uno al número de nodos negros a los caminos que van a través de N, compensando así el borrado del nodo negro en dichos caminos. Si lo implementamos en C, quedaría:

void eliminar_caso4(struct node *n) { struct node *hm = hermano_menor(n); if ((n->padre->color == ROJO) && (hm->color ==

NEGRO) && (hm->izdo->color == NEGRO) && (hm->dcho->color == NEGRO)) {

hm->color = ROJO; n->padre->color = NEGRO; } else eliminar_caso5(n); }

• Caso 5: S es negro, su hijo izquierdo es rojo, el derecho es negro, y N es el hijo izquierdo de su padre. En este caso rotamos a la derecha S, así su hijo izquierdo se convierte en su padre y en el hermano de N. Entonces intercambiamos los colores de S y su nuevo padre. Todos los caminos tienen aún el mismo número de nodos negros, pero ahora N tiene un hermano negro cuyo hijo derecho es rojo, así que caemos en el caso 6. Ni Nni su padre son afectados por esta transformación (de nuevo, por el caso 6, reetiquetamos el nuevo hermano de N como S). He aquí la implementación en C:

void eliminar_caso5(struct node *n) { struct node *hm = hermano(n); if ((n == n->padre->izdo) && (hm->color == NEGRO) && (hm->izdo->color == ROJO) && (hm->dcho->color == NEGRO)) { hm->color = ROJO; hm->izdo->color = NEGRO; rotar_dcha(hm); } else if ((n == n->padre->dcho) && (hm->color == NEGRO) && (hm->dcho->color == ROJO) && (hm->izdo->color == NEGRO)) { hm->color = ROJO; hm->dcho->color = NEGRO; rotar_izda(hm); } eliminar_caso6(n); }

• Caso 6: S es negro, su hijo derecho es rojo, y N es el hijo izquierdo de P, su padre. En este caso rotamos a la izquierda P, así que S se convierte en el padre de P y éste en el hijo derecho de S. Entonces intercambiamos los colores de P y S, y ponemos el hijo derecho de Sen negro. El subárbol aún tiene el mismo color que su raíz, así que las propiedades 4 (los hijos de todo nodo rojo son negros) y 5 (todos los caminos desde cualquier nodo a sus nodos hoja contienen el mismo número de nodos negros) se verifican. Sin embargo, N tiene ahora un antecesor negro mas: o bien P se ha convertido en negro, o bien era negro y S se ha añadido como un abuelo negro. De este modo, los caminos que pasan por N pasan por un nodo negro mas. Mientras tanto, si un camino no pasa por N, entonces hay dos posibilidades:

• Éste pasa a través del nuevo hermano de N. Entonces, éste debe pasar por S y P, al igual que antes, y tienen sólo que intercambiar los colores. Así los caminos contienen el mismo número de nodos negros.

• Éste pasa por el nuevo tío de N, el hijo derecho de S. Éste anteriormente pasaba por S, su padre y su hijo derecho, pero ahora sólo pasa por S, el cual ha tomado el color de su anterior padre, y por su hijo derecho, el cual ha cambiado de rojo a negro. El efecto final es que este camino va por el mismo número de nodos negros.

• De cualquier forma, el número de nodos negros en dichos caminos no cambia. De este modo, hemos restablecido las propiedades 4 (los hijos de todo nodo rojo son negros) y 5 (todos los caminos desde cualquier nodo a sus nodos hoja contienen el mismo número de nodos negros). El nodo blanco en diagrama puede ser rojo o negro, pero debe tener el mismo color tanto antes como después de la transformación. Adjuntamos el último algoritmo:

• void eliminar_caso6(struct node *n) { • struct node *hm = hermano(n); • hm->color = n->padre->color; n->padre->color =

NEGRO;• if (n == n->padre->izdo) { • /* * Aquí, hm->dcho->color == ROJO. • */ hm->dcho->color = NEGRO; • rotar_izda(n->padre); } else {• /* * Aquí, hm->izdo->color == ROJO. • */ hm->izdo->color = NEGRO; • rotar_dcha(n->padre); • } }

Demostración de costos• Un árbol rojo-negro que contiene n nodos internos tiene una

altura de O(log(n)).• Hagamos los siguientes apuntes sobre notación:• H(v) = altura del árbol cuya raíz es el nodo v.• bh(v) = número de nodos negros (sin contar v si es negro)

desde v hasta cualquier hoja del subárbol (llamado altura-negra).

•Lema: Un subárbol enraizado al nodo v tiene al menos  nodos internos.

• Demostración del lema (por inducción sobre la altura):• Caso base: h(v)=0 Si v tiene altura cero entonces debe

ser árbol vacío, por tanto bh(v)=0. Luego:• Hipótesis de Inducción: si v es tal que h(v) = k y

contiene  nodos internos, veamos que esto implica que  tal que h() = k+1 contiene  nodos internos.

• Si  tiene h() > 0 entonces es un nodo interno. Como éste tiene dos hijos que tienen altura-negra, o bh() o bh()-1 (dependiendo si es rojo o negro). Por la hipótesis de inducción cada hijo tiene al menos  nodos internos, así que  tiene : nodos internos.

• Usando este lema podemos mostrar que la altura del árbol es algorítmica. Puesto que al menos la mitad de los nodos en cualquier camino desde la raíz hasta una hoja negra (propiedad 4 de un árbol rojo-negro), la altura-negra de la raíz es al menos h(raíz)/2. Por el lema tenemos que:

• Por tanto, la altura de la raíz es O(log(n)).

Ejemplos y Animación

http://www.ece.uc.edu/~franco/C321/html/RedBlack/

Ejemplos en Video

http://www.youtube.com/watch?v=vDHFF4wjWYU

Bibliografía• http://arbolescplusplus.wordpress.com/category/u

ncategorized/arboles-rojo-y-negro/

• http://www.infor.uva.es/~cvaca/asigs/doceda/rojonegro.pdf

• http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol_rojo-negro