TRIGONOMETRI DAN RUMUS-RUMUS PADA SEGITIGA

Cynthia Barbara Simanjuntak

(SMA Negeri 1 Medan)

A. TRIGONOMETRI

Trigonometri berasal dari bahasa Yunani (dari kata trigonon= tiga sudut dan metro= mengukur).

Trigonometri merupakan cabang dari ilmu Matematika yang mempelajari sudut tentang segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen.

1. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

Pada segitiga siku-siku, berlaku rumus phytagoras:

a2 +b2=c2

Perbandingan trigonometri dapat dirumuskan dengan:

αb

ca

ca

miringstegaks

..sin

ab

1tancot

cb

miringsdatars

..cos

ac

1sincsc

bc

1cossec

ba

datarstegaks

..tan

Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa

2. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT-SUDUT BERELASI

sin (90-α) = cos αcos (90-α) = sin αtan (90-α) = cot αcot (90-α) = tan α

sin (90+α) = cos αcos (90+α) = -sin αtan (90+α) = -cot αcot (90+α) = -tan α

sin (180-α) = sin αcos (180-α) = -cos αtan (180-α) = -tan αcot (180-α) = -cot α

sin (180+α) = -sin αcos (180+α) = -cos αtan (180+α) = tan αcot (180+α) = cot α

sin (270-α) = -cos αcos (270-α) = -sin αtan (270-α) = cot αcot (270-α) = tan α

sin (270+α) = -cos αcos (270+α) = sin αtan (270+α) = -cot αcot (270+α) = -tan α

sin (360-α) = -sin αcos (360-α) = cos αtan (360-α) = -tan αcot (360-α) = -cot α

sin (360+α) = sin αcos (360+α) = cos αtan (360+α) = tan αcot (360+α) = cot α

Kuadran I

Kuadran III

Kuadran II

Kuadran I

Kuadran IV

Kuadran IIIKuadran II

Kuadran IV

•Jika α ± 90ᵒ atau α ± 270ᵒ maka akan ‘berubah’. Berubah dalam arti sin menjadi cos, tan menjadi cot, dan seterusnya;•Jika α ± 180ᵒ atau α ± 360ᵒ maka akan ‘tetap’. Tetap dalam arti sin tetap menjadi sin, tan tetap menjadi tan, dan seterusnya.

Perbandingan Trigonometri Sudut (90o - αo)

• sin (90o - αo) = cos αo

• cos (90o - αo) = sin αo

• tan (90o - αo) = cot αo

• cot (90o - αo) = tan αo

• sec (90o - αo) = cosec αo

• cosec (90o - αo) = sec αo

Perbandingan Trigonometri Sudut (90o + αo)

• sin (90o + αo) = cos αo

• cot (90o + αo) = -tan αo

• cos (90o + αo) = -sin αo

• sec (90o + αo) = -cosec αo

• tan (90o + αo) = -cot αo

• cosec (90o + αo) = sec αo

Perbandingan Trigonometri Sudut (180o - αo)

• sin (180o - αo) = sin αo • cot (180o - αo) = -cot αo

• cos (180o - αo) = -cos αo

• sec (180o - αo) = -sec αo

• tan (180o - αo) = -tan αo

• cosec (180o - αo) = cosec αo

Perbandingan Trigonometri Sudut (180o + αo)

• sin (180o + αo) = -sin αo

• cot (180o + αo) = cot αo

• cos (180o + αo) = -cos αo

• sec (180o + αo) = -sec αo

• tan (180o + αo) = tan αo

• cosec (180o + αo) = -cosec αo

Perbandingan Trigonometri Sudut (270o - αo)

• sin (270o - αo) = -cos αo

• cot (270o - αo) = tan αo

• cos (270o - αo) = -sin αo

• sec (270o - αo) = -cosec αo

• tan (270o - αo) = cot αo

• cosec (270o - αo) = -sec αo

Perbandingan Trigonometri Sudut (270o + αo)

• sin (270o + αo) = -cos αo • cot (270o + αo) = -tan αo

• cos (270o + αo) = sin αo • sec (270o + αo) = cosec αo

• tan (270o + αo) = -cot αo

• cosec (270o + αo) = -sec αo

Perbandingan Trigonometri Sudut (-αo)

• sin (-αo) = -sin αo • cot (-αo) = -cot αo

• cos (-αo) = cos αo • sec (-αo) = sec αo

• tan (-αo) = -tan αo • cosec (-αo) = -cosec αo

Perbandingan Trigonometri Sudut (n . 360o - αo)

• sin (n . 360o - αo) = -sin αo

• cot (n . 360o - αo) = -cot αo

• cos (n . 360o - αo) = cos αo

• sec (n . 360o - αo) = sec αo

• tan (n . 360o - αo) = -tan αo

• cosec (n . 360o - αo) = -cosec αo

Perbandingan Trigonometri Sudut (n . 360o + αo)

• sin (n . 360o + αo) = sin αo

• cot (n . 360o + αo) = cot αo

• cos (n . 360o + αo) = cos αo

• sec (n . 360o + αo) = sec αo

• tan (n . 360o + αo) = tan αo

• cosec (n . 360o + αo) = cosec αo

Persamaan Identitas Trigonometri

A. Jika masing-masing dibagi dengan x2

Rumus: x2 + y2 = r2

• B. Jika masing-masing dibagi dengan y2

• B. Jika masing-masing dibagi dengan r2

Rumus jumlah dan selisih sudut

Rumus perkalian trigonometri

Rumus sudut rangkap dua

Contoh Soal1. Nilai dari cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75° adalah…

Penyelesaian:Soal dengan bentuk seperti ini dapat dikerjakan dengan rumus Kuadran I. Dimana sin α = cos (90-α) atau cos α = sin (90-α).Penyelesaiannya juga bisa menggunakan identitas trigonometri. Dimana:sin²α + cos²α = 1Jadi,cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75°= cos²15° + cos²75° + cos²35° + cos²55°= cos²(90-75)° + cos²75° + cos²(90-55)° + cos²55°= sin²75° + cos²75° + sin²55° + cos²55°= 1 + 1 = 2 ——-> (identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1)

2. Diketahui sinx + cosx = -1/5. Maka nilai dari sin2x adalah…

Penyelesaian:

sinx + cosx = -1/5(sinx + cosx)² = (-1/5)² —–> (Kuadratkan kedua ruas.)

sin²x + 2sinxcosx + cos²x = 1/25sin²x + cos²x + 2sinxcosx = 1/251 + 2sinxcosx = 1/25 —–> (Identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1)2sinxcosx = 1/25 – 12sinxcosx = 1/25 – 25/252sinxcosx = -24/25sin2x = -24/25(aturan sudut rangkap sin2x = 2sinxcosx).

B. RUMUS-RUMUS PADA SEGITIGA

a. ATURAN SINUS

sinsinsinCBA

Untuk membuktikan aturan sinus pada segitiga tersebut, dapat dengan cara:Buat segitiga lancip ABC dilakukan dengan AP, BQ, dan CR masing-masing adalah garis

tinggi dari sisi a, b, dan c.

bAP

ACAPC

aBQ

BCBQC

cAP

ABAPB

aCR

BCCRB

cBQ

ABBQA

bCR

ACCRA

sin

sin

sin

sin

sin

sin

CR= b.sinA CR= a.sinB AP= b.sinCBQ= c.sinA AP= c.sinB BQ= a.sinC

Cc

Aa

Cc

Bb

Bb

Aa

sinsin c.sinAa.sinC BQ3.)

sinsin b.sinCc.sinB AP 2.)

sinsin a.sinBb.sinA CR 1.)

Cc

Bb

Aa

sinsinsinMAKA

Contoh Soal

264115sinsin

2641

426

22.

22)13(

15sin

21

2.15sin

)13(30sin15sin

sinsin

sinsinsin

A

hACBCBb

Aa

Cc

Bb

Aa

b. Aturan Cosinus  

Dalam menentukan besar sudut α,β,ϒ dipakai formula:

A B

C

ᵞ

α ᵝc

ab

abcba

acbca

bcacb

2cos

2cos

2cos

222

222

222

cos2

cos2

cos2

222

222

222

abbac

accab

bccba

Untuk membuktikan bahwa perhatikanlah gambar disamping:

siku-siku di D

Jadi, koordinat C adalah (b cos α). Penentuan α berdasarkan jarak titik B(c,0) dan (b cos α) yaitu:

,cos2222 bccba

sinsin

coscos

;

bvbv

bubu

ADC

)(cos2

cos2)sin(cos

sincos2cos

)sin()cos(

)0sin()cos(

222

22222

222222

222

22

terbuktibccba

cbcba

bcbcba

bcba

ataubcba

Y

XD

C(u,v)

A B(c,0)

a

c

b

u

v

Contoh soal

Jawab:

75105180

180

6021

)13)(2(26)13(4

2cos

45cos

)1800(

221

21

)13)(6(24)13(6cos

22cos

)13(

6

2)13(:6:2::

222222

1

2222

222222

C

CBA

Bkkkkk

acbcaB

AA

A

kkkkkA

acacb

bcacbA

kc

kb

kakkkcba

c. Penentuan Luas SegitigaBerdasarkan rumus luas segitiga yang sederhana, yaitu ½ x alas x tinggi (dengan sisi alas tegak lurus sisi tinggi, kita dapat mengembangkan berbagai rumus luas segitiga dalam berbagai keadaan.

BCABABCLuas ..21

A

C

B

(1) Penentuan luas segitiga bila dua sisi dan satu sudut yang diapit kedua sisi diketahui

Perhatikan berikut. Penentuan luas:Tarik garis tinggi dari puncak C hingga memotong

tegak lurus garis AB. CD menjadi garis tinggi dan AB sebagai alas.

Luas = ½ .AB.CDCD/b = sinA CD = b sinAAB = CLuas = ½ bc sinA

C

BA Dc

ab

½ bc sinA

Luas ½ ac sinB

½ ab sinC

PENTING DIINGAT!!!

(2)Penentuan luas segitiga apabila dua sudut dan satu sisi diketahui

Berdasarkan rumus luas =1/2 bc sinA dan aturan sinus diperoleh: luas

Pada berlaku A+B+C= 180, berarti A=180-(B+C), maka sin A =sin[180-(B+C)] ATAU sinA=sin(B+C)Shg, Luas =

Dengan cara yang sama diperoleh luas dengan dua sudut dan satu sisi diketahui.

D

Ab

.sin.sin

sin.21

sin.sinsin.

sinsin.

21

2 CABa

AACa

ABa

)sin(2sin.sin.2

CBCBa

PERLU DIINGAT!!!

Luas

)sin(2sin.sin.2

BABAc

)sin(2sin.sin.2

CACAb

)sin(2sin.sin.2

CBCBa

(3) Penentuan luas segitiga apabila ketiga sisinya diketahui

Luas = ½ .b.sinA Berdasarkan aturan cosinus,dan

Diperoleh:

Karena 0 A 180 dan sin A 0.

bcacbA

2cos

222 AA 22 cos1sin

))()(.(.16)sin2(

)(2)(2

),(222)(,2)())()()(()sin2(

)2)(2()sin2(

)2()(()2(

4)(sin

2

2

2222222

2

22222

22

22222

csbsassAbc

bsbacasacb

cscscbamakascbaJikacbacbacbacbaAbc

abbbcacbbcAbc

bcacbbc

cbacbA

a

Luas dengan ketiga sisinya diketahui ditentukan oleh formula Heron berikut.

Luas =Dimana s= ½ Keliling segitiga, yaitu ½(a+b+c)

c)-b)(s-a)(s-s(sLuas

c)-b)(s-a)(s-s(s sinA) bc (½

c)-b)(s-a)(s-s(s 4.sinA) bc (22

2

ABC

c)-b)(s-a)(s-s(s

1. Segitiga sama sisi ABC dengan panjang sisi 12 cm diperlihatkan gambar berikut! 

Pembahasan:Cari setengah dari keliling segitiga terlebih dahulu 

Masuk rumus nomor tiga 

2. Segitiga samasisi ABC dengan ukuran diperlihatkan gambar berikut!

Tentukan luas segitiga!

PembahasanSatu sudut diketahui beserta dua sisi pengapitnya, gunakan rumus (1).

3.

Panjang PQ adalah 10 cm dan QR adalah 8 cm. Sudut PQR = 60°. Tentukan luas jajargenjang PQRS!

Jajar genjang tersusun dari dua buah segitiga, yaitu segitiga PQR dan segitiga PSR yang luasnya sama. 

Sehingga luas jajargenjang sama dengan dua kali luas salah satu segitiga.