BAHAN AJAR MATERI TRANSFORMASI GEOMETRI KELAS XI

Bahan Ajar Matematika Materi Transformasi Geometri Kelas XI/2 MIPA-Wajib


Kata Pengantar

Bismillaahirrohmaanirrohiim

Puji syukur hanya milik Allah semata, Tuhan semesta alam. Atas

berkah, rahmat, dan karunia-Nya penyusunan Bahan Ajar Matematika Materi

Transformasi Geometri untuk Kelas XI Semester 2 MIPA-Wajib ini dapat

terselesaikan. Sholawat beserta salam semoga terlimpahkan ke baginda Nabi

Muhammad SAW, keluarga, dan para sahabatnya, sampai kepada kita selaku

umatnya. Aamiin.

Bahan ajar ini disusun sebagai salah satu sumber belajar dalam

pelaksanaan belajar mengajar matematika materi Transformasi Geometri.

Dalam bahan ajar ini, penyajian materi menggunakan model Treffinger guna

meningkatkan kemampuan komunikasi matematis siswa SMA. Simbol, tabel,

grafik, dan gambar lainnya disajikan untuk mempermudah peserta didik

memahami materi yang sedang dipelajari. Bahan ajar ini juga dilengkapi

dengan contoh-contoh soal, latihan, dan evaluasi.

Sesuai dengan tujuan penyusunan bahan ajar ini, peserta didik

diharapkan mampu (1) menyatakan suatu situasi, gambar, diagram, atau

benda nyata ke dalam bahasa, simbol, ide, atau model matematik; (2)

menjelaskan ide, situasi, dan relasi matematik secara lisan atau tulisan; (3)

mendengarkan, berdiskusi, dan menulis tentang matematika; (4) membaca

tentang pemahaman suatu representasi matematika; (5) memperkirakan

konjektur, menyusun argumen, merumuskan definisi, dan generalisasi; serta

(6) mengungkapkan kembali suatu uraian matematika dalam bahasa sendiri.

Selain mampu mengomunikasikan matematika sebagaimana indikator yang

telah diurai, peserta didik juga diharapkan mampu mengomunikasikan ide

dan gagasannya dengan berbagai perangkat matematika serta memiliki sikap

menghargai matematika dalam aktivitas sehari-hari.

Dengan segala kerendahan hati, kami memohon kepada siapa saja

yang membaca dan menggunakan bahan ajar ini agar sudi kiranya

memperbaiki kesalahan-kesalahan yang ditemukan. Akhirnya, kami

menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan

kontribusinya terhadap penyusunan bahan ajar ini. Semoga segala amal

kebaikan yang telah diberikan mendapat balasan yang sesuai dari-Nya.

Aamiin.

Bandung, Mei 2017

Penyusun

i


Daftar Isi

Kata Pengantar ............................................................................................................... i

Daftar Isi .............................................................................................................................. ii

Petunjuk Penggunaan .................................................................................................. iii

Kompetensi yang Harus Dicapai ........................................................................... iv

Peta Konsep ........................................................................................................................ vi

Materi Pembelajaran ........................................................................................................ 1

1. Memahami dan Menemukan Konsep Translasi .................................. 1

a. Sifat-sifat Translasi ............................................................................. 2

b. Latihan ..................................................................................................... 2

2. Memahami dan Menemukan Konsep Refleksi ..................................... 4

a. Sifat-sifat Refleksi ............................................................................... 5

b. Latihan ...................................................................................................... 6

Uji Kompetensi I ................................................................................................................. 9

3. Memahami dan Menemukan Konsep Rotasi ......................................... 10

a. Sifat-sifat Rotasi .................................................................................... 10

b. Latihan ...................................................................................................... 11

4. Memahami dan Menemukan Konsep Dilatasi ....................................... 13

a. Sifat-sifat Rotasi .................................................................................... 15

b. Latihan ....................................................................................................... 15

Uji Kompetensi II ............................................................................................................... 17

Rangkuman .................................................................................................... 18

Glosarium ....................................................................................................... 21

Kunci Jawaban ............................................................................................... 23

Daftar Pustaka

ii


Petunjuk Penggunaan

Penyajian materi dalam bahan ajar ini disusun dengan menggunakan

model Treffinger sehingga peserta didik dituntun untuk menemukan konsep

dan aktif dengan kemampuan dan mental yang dimilikinya. Sistematika

bahan ajar ini adalah sebagai berikut:

1. Uraian materi merupakan materi pokok/materi pembelajaran dalam

bahan ajar. Materi disajikan dengan bahasa yang sederhana sehingga

mudah dipahami.

2. Sebelum menginjak pada pembahasan, bahan ajar ini diawali dengan

paparan kompetensi yang harus dicapai oleh peserta didik.

3. Setiap pembahasan sub materi dilengkapi dengan contoh soal untuk

memperjelas konsep yang dipelajari.

4. Latihan berisi soal-soal untuk menguji kemampuan peserta didik

dalam memahami materi yang dipelajari. Latihan yang disajikan

sudah disesuaikan dengan indikator-indikator komunikasi matematis.

5. Rangkuman berisi pokok-pokok pembicaraan materi yang telah

selesai dipelajari.

6. Evaluasi berisi soal-soal untuk melihat kemampuan komunikasi

matematis siswa dalam materi Transformasi Geometri

Berikut adalah langkah-langkah yang disarankan bagi peserta didik

dalam menggunakan bahan ajar ini.

1. Bacalah terlebih dahulu kompetensi yang harus dicapai yang terletak

sebelum pembahasan.

2. Pahami uraian materi dengan seksama dan perhatikan contoh soal

yang diberikan dengan sebaik-baiknya.

3. Kerjakan latihan soal yang ada dalam setiap sub-materi.

4. Bacalah kembali rangkuman yang ada di akhir bab.

5. Kerjakan soal-soal evaluasi yang ada di akhir bab.

6. Mintalah bimbingan guru ketika menemukan permaslahan yang

dirasa rumit.

iii


Kompetensi yang Harus Dicapai

Kompetensi Inti

KI 1 : Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

KI 2 : Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab,

peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun,

responsif, dan pro aktif dan menunjukan sikap sebagai bagian dari solusi

atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan

lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai

cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.

KI 3 : Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual,

konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin

tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan

humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan,

dan peradaban terkait penyebab penomena dan kejadian, serta

menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik

sesuia dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

KI 4 : Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak

terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara

mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu

menggunakan metode sesuai kadiah keilmuan.

Kompetensi Dasar

1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap

disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi

berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.

2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi

masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.

2.3 Menunjukkan sikap bertanggungjawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku

peduli lingkungan.

3.20 Menganalisis sifat-sifat transformasi geometri (translasi, refleksi,dilatasi, dan

rotasi) dengan pendekatan koordinat dan menerapkannya dalam

menyelesaikan masalah.

4.15 Menyajikan objek kontekstual, menganalisis informasi terkaitsifat-sifat objek

dan menerapkan aturan transformasi geometri (translasi,refleksi, dilatasi,

dan rotasi) dalam memecahkan masalah.

iv


Indikator Pencapaian Kompetensi

1. Mampu mengidentifikasi sifat-sifat transformasi geometri (translasi, refleksi,

rotasi, dilatasi) dengan pendekatan koordinat

2. Mampu menerapkan sifat-sifat transformasi geometri (translasi, refleksi,

rotasi, dilatasi) dengan pendekatan koordinat dalam menyelesaikan masalah

3. Mampu menyajikan objek kontekstual terkait sifat-sifat objek transformasi

geometri (translasi, refleksi, rotasi, dilatasi)

4. Mampu menganalis informasi terkait sifat-sifat objek transformasi geometri

(translasi, refleksi, rotasi, dilatasi)

5. Mampu menerapkan aturan transformasi geometri (translasi, refleksi, rotasi,

dilatasi) dalam memecahkan masalah

v


Peta Konsep

vi


Materi Pembelajaran

Kamu masih ingat pelajaran transformasi di kelas VII, bukan? Nah,

kita akan melanjutkan pelajaran transformasi tersebut kebentuk analitik atau

dengan pendekatan koordinat. Sebagai langkah awal, kita akan mengingat

kembali sifat-sifat transformasi dengan menggunakan media atau obyek

nyata dalam kehidupan sehari-hari dan objek (titik, bidang dan kurva) dalam

bidang koordinat kartesius. Menemukan kembali konsep transformasi

translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan

dilatasi (perkalian) dengan pendekatan koordinat.

A. TRANSLASI (pergeseran)

Ilustraisi

Coba kamu perhatikan dan amati bentuk dan ukuran setiap benda

yang bergerak (bergeser) atau berpindah tempat yang ada di sekitarmu.

Sebagai contoh, kendaraan yang bergerak di jalan raya, orang yang sedang

berjalan ataupun berlari, bola yang memantul ataupun menggelinding, dan

lainlain. Menurutmu, apakah bentuk objektersebut berubah? atau apakah

ukuran objek tersebut berubah oleh karena perpindahan tersebut? Tentu

tidak, bukan? Jika demikian, pada sistem koordinat Kartesius, apakah kurva

berubah bentuk dan ukuran bila digeser? Perhatikan pergeseran objek (titik,

bidang dan kurva) pada sistem koordinat kartesius berikut.

Pergeseran titik, bidang dan kurva pada bidang koordinat Kartesius

1


Secara analitik, titik, bidang dan kurva (garis) pada gambar di atas

tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran oleh pergeseran, bukan?

Tetapi letak mereka pasti berubah; artinya, koordinat benda setelah

mengalami pergeseran akan berubah dari koordinat semula. Dengan

demikan, kita akan mempelajari lebih lanjut tentang koordinat pergeseran

suatu titik pada sistem koordinat.

Diskusi

Menemukan Sifat-Sifat Translasi

Essien merancang sebuah rumah di atas bidang kartesius seperti

gambar berikut.

Ternyata Essien merasa letak rumah tersebut tidak strategis.

Kemudian, Essien memindahkan rumahnya di dekat lapangan bola

(Keterangan: Jarak dari suatu bangunan di samping bangunan sama dengan

jarak bangunan tersebut ke seberangnya.

Maka, koordinat titik-titik rumah berpindah dari titik:

.............................................................................................................................................................

Ke titik:

.............................................................................................................................................................

2


Dalam matematika, ilustrasi di atas dinamakan dengan Translasi

Jadi dapat disimpulkan, yang dimaksud Translasi adalah:

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

Kemudian, setelah rumah Essien dipindahkan, apakah terdapat perubahan

bentuk, ukuran atau posisi?

Jika ya, mengapa? _________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Jika tidak, mengapa? ______________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Maka, terdapat beberapa sifat dari translasi, antara lain:

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

-Perjalanan seribu mil dimulai dari satu langkah- Pepatah

3


Pencerminan titik, bidang dan kurva pada sistem koordinat kartesius

Pada sistem koordinat Kartesius di atas, objek (titik, bidang, kurva

lingkaran) mempunyai bayangan dengan bentuk dan ukuran yang sama

tetapi letak berubah bila dicerminkan (dengan garis).

B. REFLEKSI (pencerminan)

Ilustraisi

Pada saat kamu berdiri di depan cermin (cermin datar), kemudian

kamu berjalan mendekati cermin dan mundur menjauhi cermin, bagaimana

dengan gerakan bayanganmu? Tentu saja bayanganmu mengikuti gerakanmu

bukan? Bagaimana dengan jarak dirimu dan bayanganmu dengan cermin?

Jarak dirimu dengan cermin sama dengan jarak bayanganmu dengan cermin.

Mari kita lihat dan amati bentuk, ukuran dan posisi suatu objek bila

dicerminkan pada sistem koordinat. Perhatikan gambar berikut.

4


Diskusi

Menemukan Sifat-Sifat Refleksi

Sebuah bangunan masjid terlihat cerminannya di atas permukaan air

seperti pada gambar berikut!

Berdasarkan gambar di atas, dapatkah kalian menjelaskan sifat-sifat

pencerminan:

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

5


Permasalahan I

Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2,1) B(7,3) dan C(4,5).

Gambarlah bayangan segitiga ABC jika dicerminkan terhadap :

a. Titik O(0,0) d. Garis y = x

b. Sumbu x e. Garis y = -x

c. Sumbu y

Dari beberapa gambar yang dibuat, maka dapat disimpulkan terdapat

beberapa jenis pencerminan. Antara lain:

a. Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap sumbu O(0,0) maka

bayangan A´(...,.)

b. Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap sumbu x, maka bayangan A´(..., ....)

c. Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap sumbu y, maka bayangan A´(..., ....)

d. Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y = x maka bayangan A´(..., ....)

e. Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y = -x maka bayangan A´(..., ...)

7


Permasalahan II

Cobalah buat kembali ilustrasi dari jenis pencerminan pada koordinat

kartesius dan gambarkan pada kertas origami yang terlah disediakan sebagai

media. Kemudian tempelkan hasilnya pada kertas karton!

Jadi dapat disimpulkan, yang dimaksud Reflekasi adalah:

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

Esensi dari matematika adalah kebebasannya (George Cantor)

8


Uji Kompetensi I

Seteleh memahai konsep translasi (pergeseran) dan refleksi

(pencerminan) dapatkah kalian menentukan soal-soal dibawah ini!

Tranlasi (pergeseran)

1. Tentukanlah titik akhir dari pergeseran berikut

a. Titik A(2,-3) bila di translasikan dengan T =

b. Titik B(2,-3) bila di tanslasikan dengan dengan T = dilanjutkan

dengan T =

2. Tentukan persamaan kurva oleh translasi T berikut

a. Garis lurus 2x – 3x + 4 = 0 dengan T =

b. Parabola y = x2 + x – 6 terhadap garis T =

3. Buatlah suatu pergeseran dari suatu titik sebarang dengan T Sebarang!

Refleksi (pencerminan)

4. Tentukanlah hasil pencerminan dari beberapa titik berikut

a. Titik A(2,-3) bila di dicerminkan terhadap sumbu x

b. Titik B(2,-3) bila dicerminkan terhadap sumbu y dilanjut terhadap

garis x = 2

5. Tentukan persamaan kurva oleh pencerminan C berikut

a. Garis lurus 2x – 3x + 4 = 0 dicerminkan terhadap sumbu x

b. Parabola y = x2 + x – 6 terhadap garis y = 3

6. Buatlah suatu pencerminan dari suatu titik sebarang terhadap sumbu

koordinat kartesius x atau y

------[[ Selamat Berekspresi! ]]------

9


C. ROTASI (perputaran)

Ilustrasi

Coba kamu perhatikan benda-benda yang berputar di sekelilingmu.

Contohnya, jarum jam dinding, kincir angin, dan lain-lain. Menurutmu apakah

bentuk dan ukuran benda tersebut berubah oleh perputaran tersebut? Tentu

tidak, bukan. Bagaimana dengan objek yang diputar pada sistem koordinat,

apakah bentuk dan ukurannya berubah juga? Perhatikan gambar berikut!

Coba kamu amati perputaran objek (titik, bidang dan kurva) pada

sistem koordinat di atas. Titik, bidang dan kurva bila diputar tidak berubah

bentuk dan ukuran tetapi mengalami perubahan posisi atau letak. Jadi,

bentuk dan ukuran objek tidak berubah karena rotasi tersebut tetapi

posisinya berubah.

1. Koordinat Kartesius 3. Persamaan Garis Lurus

2. Operasi pada Matriks 4. Trigonometri

Materi awal yang harus dikuasai:

10


Diskusi

Permasalahan I

Diketahui Segitiga ABC dengan titik A(2,1) B(7,3) dan C(4,5) !

Sketsalah letak kedudukan segitiga ABC diatas jika berotasi dengan

pusat di titik O(0,0) dan pilihlah besar sudut rotasinya adalah sudut-sudut

istimewa yang pernah kalian pelajari (90°, -90°, 180°, -180°, 270°, -270°)

Rotasi sejauh ...... dengan Pusat Rotasi ......

Titik Objek Titik Bayangan Pola

A( , ) A’( , ) =

B( , ) B’( , ) =

C( , ) C’( , ) =

Dengan demikian, rotasi ....... dengan pusat ......

Diwakili dengan matriks =

Sketsa gambarnya adalah

11


Permasalahan II

Diketahui Segitiga ABC dengan titik A(2,1) B(7,1) dan C(7,5)! Jika

segitiga tersebut berotasi dengan pusat P(3,4) dan pilihlah salah satu besar

sudut rotasinya yang pernah kalian pelajari (90°, -90°, 180°, -180°, 270°, -

270°)

Rotasi sejauh ...... dengan Pusat Rotasi P(3,4)

Titik

Objek

Translasi T(-3,-

4)

Rotasi .....

Pusat O(0,0)

Translasi P(3,4)= Titik

Bayangan

A( 2 , 1 ) ( -1 ,-3 ) ( , ) ( , ) + ( , ) = ( , )

B( , ) ( , ) ( , ) ( , ) + ( , ) = ( , )

C( , ) ( , ) ( , ) ( , ) + ( , ) = ( , )

Sketsalah letak kedudukan segitiga ABC diatas pada kertas origami

dan tempelkan hasilnya pada kertas karton yang telah disediakan !

Dari permasalahan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:

Definisi dari rotasi:

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Sifat dari rotasi:

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Hal-hal kecil membentuk kesempurnaan, tetapi kesempurnaan bukanlah hal yang kecil

(Michael Angello)

12


D. DILATASI (perkalian)

Ilustrasi

Kamu pernah mengamati sebuah balon yang dihembus atau diisi

dengan udara, bukan? Makin banyak udara yang dipompa ke balon balon

makin membesar. Pembesaran tersebut merupakan dilatasi sebuah benda.

Perhatikan dilatasi beberapa objek pada gambar berikut.

Berdasarkan gambar di atas, bentuk suatu objek bila dilatasi tidak

akan berubah, bukan? Tetapi bagaimana dengan ukurannya? Ukuran objek

yang didilatasi akan berubah.

1. Koordinat Kartesius

2. Operasi pada Matriks

3. Persamaan Garis Lurus

Materi awal yang harus dikuasai:

13


Diskusi

Permasalahan I

Diketahui beberapa segitiga dengan titik-titiknya sebagai berikut !

Nama Segitiga Titik Objek Titik Objek Titik Objek

ABC A(2,2) B(6,2) C(6,5)

DEF D(-2,2) E(-2,5) F(-6,2)

GHI G(2,-2) H(2,-5) I(6,-5)

JKL J(-6,2) K(-6,-5) L(-2,-5)

MNO M(1,0) N(1,4) O(0,-3)

Sketsalah salah satu segitiga diatas. Kemudian, jarak titik sudutnya

terhadap O(0,0) diperbesar menjadi 2 kali lipat dan

.

Titik Objek Titik Bayangan

Faktor skala 2 Faktor skala

...( , ) ...( , ) ...( , )

...( , ) ...( , ) ...( , )

...( , ) ...( , ) ...( , )

Sketsa segitiga nya adalah

14


Proses di atas dinamakan DILATASI atau perbesaran dengan notasi D.

Skala atau faktor perbesaran dinotasikan dengan k dan k tidak harus

bilangan bulat.

Dari permasalahan di atas, dapat disimpulkan bahwa:

Definisi dilatasi:

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Sifat dari dilatasi:

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

15


Permasalahan II

Diketahui beberapa segitiga dengan keterangan dibawah ini:

Nama

Segitiga

Titik

Objek

Titik

Objek

Titik

Objek Titik Pusat

Faktor Skala

ABC A(2,2) B(6,2) C(6,5) P(2,2)

k = 3

DEF D(-2,2) E(-2,5) F(-6,2) P(1,1)

GHI G(2,-2) H(2,-5) I(6,-5) P(-2,-2)

JKL J(-6,2) K(-6,-5) L(-2,-5) P(2,-2)

MNO M(1,0) N(1,4) O(0,-3) P(2,-1)

Pilihlah salah satu segitiga di atas dan tentukan titik bayangannya

dengan faktor skala k = 3

Titik Objek Titik Bayangan Faktor skala 3

...( , ) ...( , )

...( , ) ...( , )

...( , ) ...( , )

Sketsalah pada kertas origami dan tempelkan hasilnya pada kertas karton

yang telah disediakan!

16


Uji Kompetensi II

Seteleh memahai konsep rotasi (perputaran) dan dilatasi (perkalian)

dapatkah kalian menentukan soal-soal dibawah ini!

Rotasi (perputaran)

1. Tentukanlah titik akhir dari perputaran berikut

a. Titik A(2,-3) bila dirotasikan sebesar 90° dengan pusat O(0,0)

b. Titik B(4,5) bila dirotasi sebesar -90° dengan pusat O(0,0) dilanjutkan

rotasi sebesar 180° dengan pusat (1,1)

2. Tentukan persamaan kurva oleh rotasi R berikut

a. Garis lurus 2x – 3y + 4 = 0 dirotasi sebesar 90° dengan pusat O(0,0)

b. Parabola y = x2 + x – 6 dirotasi sebesar -180° dengan pusat O(0,0)

Dilatasi (perkalian)

3. Tentukanlah dilatasi dari beberapa soal berikut

a. Titik A(2,-3) bila didilatasi dengan skala 2 dan pusat O(0,0)

b. Titik B(-3,4) bila didilatasi dengan skala 3 dan pusat P(1,1)

dilanjutkan dilatasi dengan skala

dengan pusat P(0,0)

4. Tentukan persamaan kurva oleh dilatasi D berikut

a. Garis lurus 2x – 3y + 4 = 0 didilatasi faktor skala 2 dengan pusat

O(0,0)

b. Parabola y = x2 + x – 6 didilatasi dengan faktor skala 2 dengan pusat

O(0,0)

------[[ Selamat Berekspresi! ]]------

17


Rangkuman

A. Definisi Translasi

Translasi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik

pada sebuah bidang berdasarkan jarak dan arah tertentu. Misalkan x, y, a dan

b adalah bilangan real, translasi titik A(x,y) dengan T(a,b) menggeser absis x

sejauh a dan bergeser ordinat y sejauh b, sehingga diperoleh titik A’(x + a, y

+ b), secara notasi ditulis:

Sifat-sifat dari translasi

a. Bangun yang digeser (ditranslasikan) tidak mengalami perubahan

bentuk dan ukuran

b. Bagung yang digeser (ditranslasikan) mengalami perubahan posisi

B. Definisi Refleksi

Refleksi adalah suatu jenis transformasi yang memindahkan setiap

titik pada suatu bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari

titik-titik yang dipindahkan. Jika terdapat sebarang titik P(a,b), akan terdapat

beberapa definisi pencerminan yaitu sebagai berikut.

Jenis Pencerminan Notasi Bentuk Matriks

Terhadap titik (0,0) A A´

=

Terhadap sumbu x A A´

=

Terhadap sumbu y A A´

=

Terhadap garis y = x A A´

=

18


Sifat-sifat dari refleksi

a. Bangun (objek) yang dicerminkan (refleksi) tidak mengalami

perubahan bentuk dan ukuran

b. Jarak bangun (objek) dari cermin (cermin datar) adalah sama dengan

jarak bayangan dengan cermin tersebut.

C. Definisi Rotasi

Rotasi adalah transformasi yang memindahkan suatu titik ke titik lain

dengan perputaran terhadap titik pusat tertentu. Jika titik A(a,b) dirotasikan

dengan matriks rotasi MR dan pusat P(p,q) adalah A´ (b,a) dituliskan:

= Mr

+

Sifat-sifat dari rotasi

a. Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan

ukuran

b. Bangun yang diputar (rotasi) mengalami perubahan posisi

D. Definisi Dilatasi

Dilatasi adalah suatu transfortasi yang memperbesar atau

memperkecil bangun tetapi tidak mengubah bentuk. Dilatasi dengan pusat

P(p,q) dari faktor skala k A(a,b) A´

dengan

= k

+

Sifat-sifat dari dilatasi

a. Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k

dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah

bentuk. Jika k ˃ 1 maka bangun akar diperbesar dan terletak searah

terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

b. Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k

dapat mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k ˃ 1

maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak

c. Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k

dapat mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk. Jika 0 k 1

19


maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat

dilatasi dengan bangun semula

d. Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k


bentuk. Jika -1 k 0 – 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak

berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

e. Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k


bentuk. Jika k – 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak

berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

20


Glosarium

Translasi : adalah Transformasi yang memindahkan setiap

titik pada bidang menurut jarak dan arah

tertentu.

Transformasi Geometri : adalah bagian dari geometri yang membicarakan

perubahan, baik perubahan letak maupun

bentuk penyajianya didasarkan dengan gambar

dan matriks.

Refleksi : adalah suatu transformasi yang memindahkan

tiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat

bayangan cermin dari titik-titik yang akan

dipindahkan.

Rotasi : adalah transformasi yang memetakan setiap titik

pada bidang ketitik lainnya dengan cara

memutar pada pusat titik tertentu.

Ditalasi : adalah transformasi yang mengubah ukuran atau

skala suatu bangun geometri

(pembesaran/pengecilan), tetapi tidak mengubah

bentuk bangunan tersebut.

Sumbu simetri : adalah sebuah sumbu yang membagi parabola

menjadi dua bagian yang simetris.

Sumbu (axis) : adalah suatu garis tetap terhadap mana setiap

letak dari setiap titik dapat diukur dengan jarak

sepanjang garis tersebut.

Simetri : merupakan sebuah karakteristik dari bidang

geometri, persamaan dan objek lainnya.

Transformasi : yaitu perubahan struktur gramatikal menjadi

struktur gramatikal lain dengan menambah,

mengurangi, atau menata kembali unsur-

unsurnya.

Matriks : adalah susunan sekelompok bilangan dalam

suatu jajaran berbentuk persegi panjang yang

diatur berdasarkan baris dan kolom dan

diletakkan antara dua tanda kurung.

21

https://id.wikipedia.org/wiki/Geometri


Skalar : adalah kuantitas yang bisa dijelaskan dengan

suatu angka (entah itu tanpa dimensi, atau dalam

suatu kuantitas fisika).

Sistem Koordinat Kartesius : digunakan untuk menentukan tiap titik

dalam bidang dengan menggunakan dua

bilangan yang biasa disebut koordinat x

(absis) dan koordinat y (ordinat) dari titik

tersebut.

22

https://id.wikipedia.org/wiki/Angka

https://id.wikipedia.org/wiki/Titik_%28geometri%29

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bidang_%28matematika%29&action=edit&redlink=1

https://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan

https://id.wikipedia.org/wiki/Koordinat

https://id.wikipedia.org/wiki/Absis

https://id.wikipedia.org/wiki/Ordinat


Kunci Jawaban

Uji Kompetensi I

1a. A(x, y) A´(x+p, y+q)

=

+

=

+

=

Jadi, titik akhir dari pergeserannya adalah (5, 1)

1b. A(x, y) A´(x+p, y+q)

=

+

=

+

=

= +

=

+

=

Jadi, titik akhir dari pergeserannya adalah (3, -5)

2a. A(x, y) A´(x+p, y+q)

=

+

= +

23


=

Dari hasil diatas, diperoleh hubungan sebagai berikut:

= dan =

Nilai x dan y diatas, substitusikan ke dalam fungsi awal y = 2x – 3x + 4

= 2 ) – 3 ) + 4 y’ = -x’ – 7

Jadi hasil translasinya adalah y’ = -x’ – 7

2b. A(x, y) A´(x+p, y+q)

=

+

= +

=


= dan =

Nilai x dan y diatas, substitusikan ke dalam fungsi awal y = x2 + x – 6

= ( )2 + ) – 6 y’ = x’2 -x’ – 7

Jadi hasil translasinya adalah y’ = x’2 -x’ – 7

3. Misalkan titik K(2,-1) yang digeserkan terhadap , maka

K(x, y) K´(x+p, y+q)

=

+

=

+

=

Jadi hasil translasinya adalah K’(4,2)

24


4a. A(x, y) A´(x, -y)

=

=

Jadi hasil pencerminannya adalah A’(2, 3)

4b. B(x, y) B´(x, -y)

=

=

B´ (x, y) B´´(2k-x, y)

Jadi hasil pencerminannya adalah B´´(2(2)-(-2), -3) = B´´(6, -3)

5a. A(x, y) A´(x, -y)

=

=


= dan =

Nilai x dan y diatas, substitusikan ke dalam fungsi awal y = 2x -3x + 4

= 2 -3 + 4 y = x - 4

Jadi persamaan kurva setelah dicerminkan adalah y = x – 4

5b. A´ (x, y) B´(x, 2k - y)

B´(x, 6 - y)


y = x2 + x – 6 (6 – y) = (x)2 + (x) – 6

25


y = -x2 – x + 12

Jadi persamaan parabola setelah dicerminkan adalah y = -x2 – x + 12

6. Misalkan titik K(4,-3) dicerminkan terhadap sumbu x, maka

K(x, y) K´(x, -y)

=

=

Jadi bayangannya titik setelah dicerminkan adalah K’(4,3)

Uji Kompetensi II

1a. A (x, y) A´(x´, y´)

=

=

=

=

=

Jadi, titik akhirnya adalah (3,2)

1b. A (x, y) A´(x´, y´)

=

=

=

26


=

=

A (x, y) A´(x´, y´)

=

=

=

=

=

=

=

Jadi, titik akhirnya adalah (3,6)

2a. =

=

=


= dan = -

Nilai x dan y diatas, substitusikan ke dalam fungsi awal 2x – 3y + 4 = 0

2( ) – 3( + 4 = 0

Jadi persamaan garis lurus akibat rotasi tersebut adalah 3x + 2y + 4 =

0

27


2b. =

=

=


= dan = -y


(-y = (-x )2 +(- x – 6

Jadi persamaan parabola akibat rotasi tersebut adalah -y = -x2 - x – 6

3a. A(x, y) A´(x´, y´)

=

=

=

Jadi, hasil dilatasinya adalah (4, -6)

3b. A(x, y) A´(x´, y´)

=

+

=

+

=

+

=

+

=

28


A(x, y) A´(x´, y´)

=

=

=

Jadi, hasil dilatasinya adalah (-11/2, 5)

4a. A(x, y) A´(x´, y´)

=

=

=

Dari hasil di atas diperoleh hubungan sebagai berikut:

=

dan =

Nilai x dan y diatas, substitusikan ke dalam fungsi awal 2x – 3y + 4 = 0

2

– 3(

+ 4 = 0 x –

+ 4 = 0

Jadi persamaan garis lurus akibat dilatasi tersebut adalah x –

+ 4 =

0

4b. A(x, y) A´(x´, y´)

=

=

=

Dari hasil di atas diperoleh hubungan sebagai berikut:

29


=

dan =


=(

2 +

– 6 y =

2 + x -12

Jadi persamaan parabola akibat dilatasi tersebut adalah y =

2 + x -

12

30


Daftar Pustaka

Hermawan, T. 2015. Materi Transformasi Geometri Kelas XI Semester 2.

Tersedia di http://tomyherawansman48jkt.blogspot.co.id/2015/06/bab-v-

transformasi.html. diakses pada 19 Mei 2017.

Kemendikbud. (2013). Buku Guru Matematika Kelas XI. Jakarta:

Kemendikbud.

.(2014). Buku Matematika Kelas XI Semester II Edisi Revisi. Jakarta:

Kemendikbud.

Syair, Z. 2016. Rangkuman Transformasi Geometri. Tersedia di

https://matematika216.blogspot.co.id/2016/10/rangkuman-transformasi-

geometri.html. diakses 19 Mei 2017.

http://tomyherawansman48jkt.blogspot.co.id/2015/06/bab-v-transformasi.html

http://tomyherawansman48jkt.blogspot.co.id/2015/06/bab-v-transformasi.html

https://matematika216.blogspot.co.id/2016/10/rangkuman-transformasi-geometri.html.%20diakses%2019%20Mei%202017

https://matematika216.blogspot.co.id/2016/10/rangkuman-transformasi-geometri.html.%20diakses%2019%20Mei%202017

Education

BAHAN AJAR MATERI TRANSFORMASI GEOMETRI KELAS XI