Embed Size (px)
Citation preview
HANDOUT KULIAH
OPTIK NONLINIER
Oleh:
DR. Ayi Bahtiar, M.Si.
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PADJADJARAN BANDUNG
2005
BAB 1. PENDAHULUAN
Y.R. Shen. Principles of Nonlinear Optics.
Physics would be dull and life most unfulfilling if all physical phenomena around us were linear. Fortunately, we are living in nonlinear world. While linearization beautifies physics, nonlinearly provides excitement in physics.
Observasi pertama efek optik nonlinier
Frequency doubling pada laser Ruby (λ = 694,3 nm), menghasilkan panjang
gelombang baru (λ = 347,2 nm)
P.A. Franken, A.E. Hill, C.W. Peters and G. Weinreich, Phys. Rev. Lett. 7 (1961) 118
OPTIK LINIER
Polarisasi dalam medium : P = - N e∆X
Awanelektron
∆X
E
Atom paling sederhana:
N = jumlah elektron
E = muatan elektron (1,6. 10-19 C)
P = ε0 χ(1)E
Polarisasi dalam medium dielektrik
ε0 : permitivitas udara
χ(1) : suseptibiltas listrik
Hubungan sifat optik bahan dan suseptibilitas:
n0 = 1 + 4πχπχπχπχ(1)
n0 : indeks bias linier dari bahan
OPTIK NONLINIER
{ }EEEEEEP )3()2()1(0
rrrrrrr⊗⊗χ+⊗χ+χε=
Polarisasi dalam medium optik nonlinier
χ(2) : Suseptibilitas listrik/optik orde kedua
χ(3) : Suseptibilitas listrik/optik orde ketiga
Suseptibilitas χ(n) adalah kompleks, yang terdiri bagian riil Re[χ(n)] dan imajinerIm[χ(n)]
]Im[i]Re[ )n()n()n( χ+χ=χ
Pandang suatu medan listrik untuk suatu gelombang bidang yang menjalar padasumbu-z dan mempunyai frekuensi ω dan vektor gelombang k = 2π/λ
( ) )kztcos(EE 0 −ω=ω
{ }...EEEEEEP )3()2()1(0 +⊗⊗χ+⊗χ+χε=
rrrrrrr
( ) ( )...E),,;(KE),;(KE);(P 3)3()3(2)2()2()1(0 +ωω−ωω−χ+ωωω−χ+ωω−χε=ω
rrrr
[ ] −ω+ωωω−χ+−ωωωχε= )kz2t2cos(1
2
1E),;(K)kztcos(E);(P 2
0)2()2(
0)1(
0
−ω+−ωωωωω−χ+ )kz3t3cos(4
1)kztcos(
4
3E),,;(K 3
0)3()3(
K(n) adalah faktor numerik yang berkaitan dengan proses optik nonlinier danjumlah permutasi frekuensi yang dapat dibedakan [Butcher’92]
Tampak bahwa ada tiga buah frekuensi yakni ω, 2ωω, 2ωω, 2ωω, 2ω dan 3ω3ω3ω3ω
)kztcos(EE),,;(4
3K);()(P 0
20
)3()3()1(0 −ω
ωωωω−χ+ωω−χε=ω
[ ])kz2t2cos(1E),;(K2
1)2(P 2
0)2()2(
0 −ω+ωωω−χε=ω
)kz3t3cos(E),,;(K4
1)3(P 3
0)3()3(
0 −ωωωωω−χε=ω
� Suku pertama dalam P(ωωωω) berkaitan dengan indeks bias linier dan suku keduamenghasilkan indeks bias yang bergantung pada intensitas cahaya n(I).
� P(2ω2ω2ω2ω) menghasilkan beberapa efek penting a.l: frequency doubling/second-harmonic generation (SHG), dan sum- and difference-frequency generation.
� Bagian yang tak bergantung pada frekuensi dalam P(2ω2ω2ω2ω) disebut optical rectification.
� P(3ωωωω) berhubungan dengan third-harmonic generation (THG).
SIMETRI INVERSI
Suatu medium mempunyai simetri inversi, jika memenuhi:
( )rA)r(Arrrr
−=−
A. Polarisasi orde kedua: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rErErE)r(P 2222 rrrrrrrχ≈⊗χ=
Untuk medium yang mempunyai simetri inversi harus berlaku:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )rErErErP 2222222 rrrrrχ=−χ=−χ=− …..(1)
( )( ) ( ) ( )rErP 222 rrrχ−=− …..(2)
Dengan demikian, maka: ( )( ) ( )( )rPrP 22 rrrr−=−
( )( ) ( )( )rPrP 22 rrrr−=−
jika nilai χ(2) = 0
Medium yang mempunyai simetri inversi, tidak memiliki suseptibilitas orde keduaatau χ(2) = 0. Medium tersebut dinamakan medium/bahan centro-symmetric.
SIMETRI INVERSI (LANJ.)
• Contoh bahan centro-symmetric: NaCl, Polimer PPV dll.
n
Polimer PPV
AD
Noncentro-symmetric, karena antaraakseptor (A) dan donor (D) merupakanmolekul yang berbeda, sehingga χ(2) ≠ 0.
B. Polarisasi orde ketiga:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rErErErE)r(P 3233 rrrrrrrrrrχ≈⊗⊗χ=
Medium centro-symmetric (memiliki simetri inversi).
( )( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )rErErP 33323 rrrrrχ−=−χ=− …..(1)
( )( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )rErErP 33333 rrrrrχ−=χ−=− …..(2)
Jelas dari pers. (1) dan (2), maka: ( )( ) ( )( )rPrP 33 rrrr−=−
Medium centro-symmetric memiliki suseptibilitas orde ketiga, χ(3) ≠ 0.
Medium noncentro-symmetric (tidak memiliki simetri inversi), memilikisuseptibilitas orde ketiga.
Semua medium mempunyai suseptibilitasorde ketiga, bahkan udara sekalipun.
BAB 2. SUSEPTIBILITAS LISTRIK/OPTIK
(MODEL LORENTZ)
Dalam model ini, elektron-elektron dalam suatu medium dipengaruhi oleh gaya luar yang menyebabkan elektron-elektron berpindah. Gerakan elektron-elektron diimbangioleh gaya ikat. Akibatnya terjadi gerakan harmonik darielektron yang dapat diilustrasikan dengan osilator harmonikteredam.
e-
Fr
Er
x
e-
OPTIK LINIER
Persamaan gerak dari osilator teredam (konstanta redaman γ) dalam satu dimensidapat diperoleh dari Hukum Newton II.
)ee(Em
ex
dt
dx2
dt
xd titi0
202
2ω−ω +−=ω+γ+
x = perpindahan elektron dari keadaan kesetimbangan.ω0 = frekuensi intrinsik osilatorγ = koefisien redaman (berkaitan dengan kerugian/loss optik linier)e dan m adalah muatan dan massa elektron.
)ee(E)t(E titi0
ω−ω +=Dimana : adalah medan listrik
]i)([m2
eE
]i2)[(m
eEx
Em
exi2x)(
0022
0
0
022
0
ωγ+ω−ωω−≈
ωγ+ω−ω−=
−=ωγ+ω−ω
Dengan aproksimasi di dekat resonansi ω=ω0
)(2))(()( 000022
0 ω−ωω≈ω−ωω+ω=ω−ω
Polarisasi dalam medium dengan jumlah elektron N diberikan oleh:
E)(E]i)([m2
NeNex)(P 0
00
2
ωχε=ωγ+ω−ωω
=−=ω
Suseptibilitas optik linier dalam medium:
)(i)(')( " ωχ−ωχ=ωχ
]/)(1[
1
m2
Ne)("
]/)(1[
/)(
m2
Ne)(
22000
2
220
0
00
2'
γω−ω+γεω=ωχ
γω−ω+γω−ω
γεω=ωχ
Bagian riil dari suseptibilitas berkaitan dengan dispersi indeks bias n(ω) dari medium, sedangkan bagian imajinernya berkaitan dengan dispersikoefisien absorpsi α(ω), melalui:
)(' ωχ)(" ωχ
)(")(n2
)(
)('41)(n
ωχω
π=ωα
ωπχ+=ω
α(ω)
[a.u
.]
ω [a.u.]n(
ω)ω [a.u.]
Model osilator harmonik menawarkan model klasik yang baik untukmenjelaskan asal suseptibilitas optik linier. Namun, model ini tidak dapatdigunakan untuk kasus optik nonlinier.
Dalam optik linier, gaya penyeimbang (restoring force) sebanding denganperpindahan elektron dari keadaan setimbang.Jika medan listrik cukup kuat, maka perpindahan akan menjadi besar, sehingga restoring force tidak lagi sebanding dengan perpindahan, tetapiakan sebanding dengan pangkat dua, pangkat 3 dari perpindahan dst.
Dalam kasus ini, model osilator harmonik harus diperluas menjadi model tak-harmonik (anharmonic), sehingga suseptibilitas optik nonlinier dapatditunkan.In
OPTIK NONLINIER
SUSEPTIBILITAS ORDE KEDUA
Persamaan geraknya dapat digambarkan oleh:
)ee(Em
eBxx
dt
dx2
dt
xd titi0
2202
2ω−ω +−=−ω+γ+
dimana Bx2 adalah anharmonic restoring force. Kita gunakan solusi yang mengandung bagian harmonik kedua:
)2()1(t2i*)2(t2i)2(ti*)1(ti)1( xxeAeAeAeAx +=+++= ω−ωω−ω
)ee(Em
ex
dt
dx2
dt
xd titi0
)1(20
)1(
2
)1(2ω−ω +−=ω+γ+
Substitusi kedalam pers. gerak diatas menghasilkan:
0)x(Bxdt
dx2
dt
xd 2)1()2(20
)2(
2
)2(2
=−ω+γ+
Karena polarisasi dan perpindahan dalam kasus nonlinier adalah:
)2(NexP −=
.c.ce.Ax t2i)2()2( += ω
Maka: )cce.(i44
B
]i2)[(
1
m
ENe)2(P t2i
220
2220
2
20
3
+ωγ+ω−ωωγ+ω−ω
=ω ω
Dari hubungan polarisasi dan suseptibilitas:
20
t2i)2( E)cce)(,;2()2(P +ωωω−χ=ω ω
Maka diperoleh:ωγ+ω−ωωγ+ω−ω
=ωωω−χi44
B
]i2)[(
1
m
Ne),;2(
220
2220
2
3)2(
suseptibilitas diatas berkaitan dengan pembangkitan harmonik kedua (2ω = ω + ω).
♠ Model anharmonik ini dapat juga untuk menunjukkan kasus sum frequency generation (SFG) (ω1 + ω2) and the difference frequency generation (DFG) (ω1− ω2).
♠ Pers. Diatas menunjukkan bahwa resonansi tidak hanya terjadi pada frekuensifundamental ω = ω0, tetapi juga pada 2ω = ω0 (two-photon resonance)
ATURAN MILLER
Miller [1] menemukan aturan empirik bahwa:
)()()2(
)2()1(
kk)1(
jj)1(
ii
)2(ijk)2(
ijk ωχωχωχωχ
=δ ω
[1] Miller, R.C., Optical second harmonic generation in piezoelectric crystals, Appl.Phys.Lett. 5(1964), p.17.
2)1(j
)1(
)2()2(
)]()[2(
)2(
ωχωχ
ωχ=δ ω
Persamaan diatas dapat direduksi kedalam 1-dimensi:
δ(2ω) disebut dengan delta Miller.
SUSEPTIBILITAS ORDE KETIGA
)ee(Em
eCxx
dt
dx2
dt
xd titi0
3202
2ω−ω +−=−ω+γ+
Sama halnya seperti dalam orde kedua, persamaan gerak untuk orde ketiga adalah:
)3()1(t3i)3(3
ti)3(ti)1( xx)cceA()cceA()cceA(x +=+++++= ωω
ωω
ωω
Pandang solusi coba-coba (trial):
)ee(Em
ex
dt
dx2
dt
xd titi0
)1(20
)1(
2
)1(2ω−ω +−=ω+γ+
0)x(Cxdt
dx2
dt
xd 3)1()3(20
)3(
2
)3(2
=−ω+γ+
Diperoleh:
Dengan menggunakan hubungan antara polarisasi dan suseptibilitas orde ketiga:
]cceE),,;([]cceE),,;3([P ti30
)3(t3i30
)3( +ωω−ωω−χ++ωωωω−χ= ωω
akan menghasilkan suseptibilitas harmonik ketiga:
]i3)3([]i)[(
C
m
e
4
N),,;3( 22
0322
03
4)3(
ωγ+ω−ωωγ+ω−ω
=ωωωω−χ
])()[(2]i)[(
C
m
e
4
N3),,;(
22220
220
3
4)3(
ωγ+ω−ωωγ+ω−ω
=ωω−ωω−χ
Persamaan (*) menyatakan bahwa memiliki resonansi padafrekuensi fundamental ω=ω0 dan harmonik ketiga 3ω = ω0.
Ungkapan untuk dapat ditulis ditulis dengan bantuan delta Miller dengan mengeliminasi faktor sehingga:
),,;3()3( ωωωω−χ
……….(*)
……….(**)
),,;3()3( ωωωω−χωγ+ω−ω i)( 22
0
3)1()1(43
)3( )]()[3(CeN4
m),,;3( ωχωχ=ωωωω−χ
Untuk memperoleh nilai koefisien C, kita dapat berasumsi bahwa jikaperpindahan x dan jarak atom s adalah sama besarnya, maka restoring force untuk harmonik dan tak-harmonik mempunyai nilai yang sama, sehingga:
320 Css =ω
ω=
ω
=ωωωω−χ
3
4
60
280
3
4)3(
m
e
s4
NC
m
e
4
N),,;3(
Persamaan (*) menjadi:
Dengan nilai s = 0.3 nm, ω0 = 1016 rad/s dan N = 6 x 1022 /cm3, diperoleh
esu10x1),,;3( 150
)3( −→ω =ωωωω−χ
yaitu rentang nilai suseptibilitas orde ketiga yang reasonable suatu material.
Persamaan(**) berkaitan dengan proses degenerate four-wave mixing (DFWM) dimana dua foton yang merambat secara berlawanan menghasilkan suatu polagrating dalam medium dan foton ketiga akan terhambur keluar dari grating.
Bagian riil dan imajiner bertanggungjawab dalam proses self-focusing dan two-photon absorption.
Walaupun model klasik osilator harmonik dan tak-harmonik dapat
memperkirakan beberapa perilaku respon optik linier dan nonlinier
dari suatu medium, model tersebut masih jauh dari cukup untuk
menjelaskan secara lengkap tentang fenomena-fenomena
eksperimen yang teramati.
Salah satu masalah dalam model klasik adalah bahwa model ini
hanya memiliki frekuensi karakteristik (fundamental) ω0 , sedangkan
dalam sitem riil terdiri dari molekul-molekul dengan jumlah keadaan
tereksitasi yang besar. Karenanya perlu untum memperlakukan teori
mekanika kuantum dan menyelesaikan persamaan Schrödinger
dengan Hamiltonian khusus.
BAB 3. PERSAMAAN MAXWELL DALAM MEDIUM OPTIK
NONLINIER
PERSAMAAN MAXWELL DALAM MEDIUM OPTIK NONLINIER
Untuk memahami efek optik nonlinier, kita mulai dari persamaan Maxwell yang menggambarkan interaksi gelombang EM dengan medium:
0H
E
t
DjH
t
H
t
BE
0
=•∇
ερ=•∇
∂∂+=×∇
∂∂µ−=
∂∂−=×∇
rr
rr
rrrr
rrrr
( )Ej
EPED
HB
rr
rrvr
rr
σ=
χ+ε=+ε=
µ=
Polarisasi dalam medium akibat adanya medan listrik digambarkan oleh:
{ }
NLLIN
NL)1(0
)3()2()1(0
PP
PE
...EEEEEEP
rr
rr
rrrrrrr
+=
+χε=
+⊗⊗χ+⊗χ+χε=
( ) ( ) ( )
( )[ ]NL102
2
2
2
0
2
2
2
2
0
0
PEtt
E
t
E
t
P
t
E
t
E
PEt
Et
Ht
E
rrrr
rrr
rrvrrrrr
+χε∂∂µ−
∂∂µε−
∂∂µσ−=
∂∂µ−
∂∂µε−
∂∂µσ−=
+ε∂∂+σ
∂∂µ−=×∇
∂∂µ−=×∇×∇
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]2
NL2
2
21
02
2
NL2
2
21
0
t
P
t
E1
t
EEE
t
P
t
E1
t
EE
∂∂µ−
∂∂χ+µε−
∂∂µσ−=∇−•∇∇
∂∂µ−
∂∂χ+µε−
∂∂µσ−=×∇×∇
rrrrrrr
rrrrrr
Jika bahan/medium tidak mempunyai sumber muatan bebas ρ = 0, maka:
2
NL2
2
22
t
P
t
E
t
EE
∂∂µ−
∂∂µε−
∂∂µσ−=∇
rrrr
Pers. diatas adalah persamaan gelombang EM dalam medium optiknonlinier, dimana permitivitas bahan didefinisikan sebagai:
( )[ ]10 1 χ+ε=ε
SATUAN DARI SUSEPTIBILITAS
Suseptibilitas listrik mempunyai satuan dalam SI
1n)n(
V
m−
⇒χ
Maka:
( )2)3(
)2(
)1(
V/m
V/m
?
⇒χ
⇒χ
⇒χ
Dalam sistem cgs:
( )[ ] ( )( )[ ]
28
n1n4
n
s/m10x3c
u.s.ec10
4SI
=
χπ=χ −− [ ] [ ]u.s.e10x4.1V/m )3(822)3( χ=χ −
Persamaan gelombang EM dalam medium NLO:
2
NL2
2
22
t
P
t
E
t
EE
∂∂µ−
∂∂µε−
∂∂µσ−=∇
rrrr
Asumsikan ada dua buah gelombang bidang yang merambat sepanjang sumbu-z, melewati bahan NLO, maka:
ωωωω1
ωωωω2
ωωωω3 = ωωωω1 + ωωωω2NLO
ωωωω1111
ωωωω2222
ωωωω3333
ωωωω3 = ωωωω1 - ωωωω2
Sum-Frequency Generation (SFG)
Difference-Frequency Generation (DFG)
SFG DFG
ωωωω1111
ωωωω2222
ωωωω3333
Secara umum medan listrik menjadi:
( ) ( ) ( )[ ]t2i2
t1i1 eEeERetE ωω ω+ω=
rrr
Polarisasi dalam medium diberikan oleh: EP ijk
rrχ=
(a). Sum-Frequency Generation:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }t21i2k1j21ijk21i e.EEReP ω+ωωωω+ω=ωχ=ω+ω
(b). Difference-Frequency Generation:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( )2k2
*k
t21i2
*k1j21ijk21i
EE
e.EEReP
ω−=ω
ωωω−ω=ωχ=ω−ω ω−ω
Dengan demikian, maka:
( ) ( ) ( )
( ) ( )z2k1kit21i21
z2k1kit21i21
)2(ijk
NL
e.e).z(E)z(E.d
e.e).z(E)z(E2
1t,zP
+−ω+ω
+−ω+ω
=
χ=r
)2(ijk2
1d χ=
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]zktiexp)z(Et,zE
zktiexp)z(Et,zE
2222
1111
−ω=−ω=
Gelombang-gelombang bidang tersebut adalah:
Asumsikan suatu medan listrik baru dengan frekuensi ω3 = ω1 + ω2 (SFG):
( ) ( )[ ]zktiexp)z(Et,zE 3333 −ω=
Dengan subsitusikan kedalam pers. gelombang, maka:
2
NL2
323333
23
332
32
t
PEEiEk
dz
dEik2
dz
Ed
∂∂µ=µεω+µσω−−−r
Bila variasi amplitudo E3 terhadap jarak z kecil atau disebut slowly varying amplitude (SVA) approximation:
( )dz
)t,z(dEik2
dz
t,zEd 332
32
<<
dan: 0212
k22
23
23 =
λπ−
µε
λπµε=−µεω
2
NL2
333
3t
PEi
dz
dEik2
∂∂µ−=µσω+r
……………………….(1)
Suku di ruas kanan dalam pers. (1) dapat diuraikan menjadi:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )z2k1kit3i21
23
z2k1kit21i21
2212
NL2
e.ezEzE.d
e.ezEzE.dt
P
+−ω
+−ω+ω
µω−=
ω+ωµ−=∂
∂µr
……………….(2)
Dari pers. (1) dan (2), diperoleh:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )z2k1ki21
23
z3ik33
z3ik33 ezEzE.dezEie
dz
zdEik2 +−−− µω=µσω+
Dengan menggunakan hubungan: ( )
33
3
ii
ii
k
k
εµ=µω
ωµε=ω
Maka akan diperoleh tiga buah persamaan:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )z3k2k1ki*31
3
3*2
2
*2
z1k2k3ki*23
1
11
1
1
z3k2k1ki21
3
33
3
3
ezEzE.d2
izE2dz
zdE
ezEzE.d2
izE2dz
zdE
ezEzE.d2
izE2dz
zdE
−+−
−−−
−+−
εµω+
εµσ−=
εµω−
εµσ−=
εµω−
εµσ−=
Secara umum ki adalah vektor perambatan cahaya, dan besaran ∆k = k3 –k1-k2disebut vektor gelombang mismatch (wave vector mismatch).
BAB 4. SECOND HARMONIC GENERATION (SHG)
Second-Harmonic Generation dan Phase-Matching
ωωωω
ωωωω2ω2ω2ω2ω
ωωωω3333=ω=ω=ω=ω1111+ω+ω+ω+ω2222
ωωωω1111
χχχχ(2)ωωωω2222
ω=ωω=ω=ω
23
21 ( )( )ωωω−χ ;;22
Bentuk umum:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )z3k1k2i21
3
33
3
z3k2k1ki21
3
33
3
3
ezE.d2
izE2
ezEzE.d2
izE2dz
zdE
−−
−+−
εµω−
εµσ−=
εµω−
εµσ−=
Dimana: ( )( )ω=ω=2kk
kk
3
1
Dengan asumsi bahwa:1. Amplitudo tak dipengaruhi oleh proses konversi2. Medium tak mempunyai absorpsi (σ = 0)
Maka persamaannya menjadi:
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )k
1eE.dLE
dzeE.dizE
kLi2
22
L
o
kzi22
2
∆−ω
εµω−=
ωε
µω−=
∆
ωω
∆ω
ω∫
Dimana L adalah panjang medium, dan ∆k = k(2ω) – 2k(ω) adalah vektorgelom-bang mismatch.
Intensitas keluaran/output dari second harmonic adalah:
( ) ( ) ( )
( )
∆ωεµω=
∆
∆
ωεµω=ε=ω ω
2
kLcsinLEd
n
2kL
2kL
sinLEd
nEnc
2
12I
2242
02
2
2
2
242
02
2220
Intensitas sebagai fungsi dari ∆kL/2 dari medium SHG
I(2ω)
∆kL/2
( ) ( )
∆ωεµω=ω
2
kLcsinLEd
n2I 2242
02
2
Efisiensi konversi untuk SHG:
( )( )
( )( )
( )A
P
2
kLcsinLd~
P
2P
I
2I 22222 ω
∆ωωω=
ωω=η
Persamaan diatas menunjukkan bahwa:
1. Efisiensi konversi sebanding dengan P2(ω), sehingga disebut efek NLO
2. Efisiensi sebanding ~d2 ~χ(2)2
3. Efisiensi ~ L2, sehingga medium yang panjang akan menghasilkanefisiensi konversi yang tinggi (akan dibuktikan ternyata tidak benar)
4. Efisiensi optimal bila ∆k = 0 (disebut kondisi phase-matching sempurna). Namun keadaan ini umumnya tidak terpenuhi dalammedium biasa (ordinary) karena adanya efek dispersi (indeks bias medium bergantung pada panjang gelombang).
L
B
A
Intensitas SHG vs. Panjang medium
A: Kondisi non-phase-matching (∆k ≠ 0). Ternyata semakin panjang mediumintensitas SHG tidak semakin besar.
B. Kondisi phase matching sempurna (∆k = 0)⇒ I(2ω) ~ L2.
Intensitas SHG vs. Panjang medium(Hasil eksperimen)
Kondisi non-phase matching Kondisi hampir phase matching ∆k ~ 0
Efek dispersi material
• Dispersi adalah indeks bias medium bergantung pada panjang gelombangatau frekuensi, sehingga n(ω) ≠ n(2ω).
ω
n
n(ω) n(2ω)Sehingga:
( ) ( )( ) ( )
0
n22n
k22kk
≠ω−ω=ω−ω=∆
Konsekuensi fisis dari dispersi adalah bahwa dua gelombang:
( ) ( ){ }
( ) ( ){ }z2kt2i22
zkti
eEt,zE
eEt,zEω−ω
ωω
ω−ωωω
=
=
Akan berbeda fasa sehingga proses generasi dari SHG akan terhenti (sepertiinterferensi destruktif). Pada jarak tertentu, amplitudo mencapai maksimum:
π=∆ lk
Pada panjang tertentu=panjang koheren , panjang medium/kristal, dimana proses SHG berlangsung efektif.
l2Lc =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )]n22n[2
n22n2
c2
k22k
2
k
2Lc
ω−ωλ=
ωω−ωωπ=
ω−ωπ=
∆π=
Contoh: jika l = 1.0 µm
n(2ω)-n(ω) = 10-2
maka diperoleh panjang koheren Lc ≈ 50 mm.
Bukti efek panjang koheren pada intensitas SHGMaker et al, Phys. Rev. Lett. 8 (1992), p.19
Mengukur intensitas SHG suatu kristal sebagai fungsi dari sudut θ
PDω ω 2ω
2ωP(2ω)
S F
S : sampel
F : filter
Bila ∆k ≠ 0;
1. Pada Lc pertama → P(2ω)
2. Pada Lc kedua → P(2ω), namun intensitasnya berkurang, dst…
L = 2n Lc → P(2ω) = 0
L = (2n+1) Lc → P(2ω) = optimum
Dimana L = d cos θ, dimana d adalah tebal kristal/medium.
Bila kondisi phase-matching terpenuhi, intensitas SHG bisa meningkat dengan faktor 1,6.105 kali. Kondisi dapatdipenuhi oleh kristal khusus, yaitu birefringence crystals,
Sum Frequency Generation (SFG)
This process combined with SHG is used in practices for generation of third harmonic
ωωωω1
ωωωω2
ωωωω3 = ωωωω1 + ωωωω2χχχχ(2)ωωωω1111
ωωωω2222
ωωωω3333
532
10641064
KDP
1064
532
355KDP
You can see all these nice colors with your own eyes (through the safety goggles) in Nonlinear Optics Lab 0.501 (MPIP-Mainz)
Lab. NLO-MPIP Mainz
BAB 5. PERAMBATAN GELOMBANG DALAM MEDIUM
ANISOTROPIK
Dalam suatu medium anisotropik, polarisasi tidak selalu sejajar dengan medanlistrik. Suseptibilitas yang merupakan respon medium pada gelombang EM bukan besaran skalar tetapi tensor. Secara fisis, hal ini dipahami bahwa atom-atom dalam kristal tidak identik sepanjang arah-arah yang berbeda. Polarisasitelah didefinisikan sebagai:
P = ε0 χ(1)E
( )( )( )33323213103
32322212102
31321211101
EEEP
EEEP
EEEP
χ+χ+χε=χ+χ+χε=χ+χ+χε=
Ke-sembilan (9) elemen tensor χ bergantung pada pemilihan koordinat. Sebagaikonsekuensinya, maka vektor perpindahan listrik menjadi:
( )E
E1PED
ij
ij00r
rrrr
ε=
χ+ε=+ε=
Dimana tensor suseptibilitas χij diganti dengan tentor permitivitas dielektrik εij.
Refraksi pada suatu batas medium anisotropik
Pandang suatu gelombang bidang yang datang pada suatu permukaan kristalanisotropik.
221100 sinksinksink θ=θ=θ
Indek 0 = gelombang datang
Indeks 1,2 = gelombang-gelombang refraksi
Efek fisis dari medium anisotropik adalah bahwa gelombang datang denganpolarisasi D0 terpisah menjadi dua gelombang dengan polarisasi yang salingortogonal dan menjalar di dalam kristal dengan sudut yang berbeda.
Rapat energi dalam suatu medium:
( )DE2
1U
rr•= iii ED ε= z,y,xi =
U2DDD
z
2z
y
2y
x
2x =
ε+
ε+
ε
Definisikan:
U2Dx
n
U2Dr
x
2ii
=
=ε
=rrr
Maka diperoleh: 1n
z
n
y
n
x2z
2
2y
2
2x
2
=++ Persamaan ellips
Kristal Uniaxial
- mempunyai satu sumbu kristal.
- dua indeks bias adalah identik, sehingga bidang perpotongan dengansumbu optik merupakan suatulingkaran.
-jika z adalah sumbu simetri (sumbukristal, maka ada dua indeks bias:
0
z2e
0
y
0
x20
n
n
εε=
εε
=εε=
n0 = indeks bias ordinary
ne = indeks bias ekstraordinary
Maka persamaan ellips menjadi:
1n
z
n
y
n
x2e
2
20
2
20
2
=++
Bidang yang diarsir membentuk ellips dengan dua sumbu utama, sehingga adadua arah polarisasi yang sejajar dengan sumbu ellips, yaitu:
1. Polarisasi sepanjang sumbu-x, yang tegak lurus sumbu optik sehinggadisebut gelombang ordinary dengan indeks bias n0.
2. Polarisasi dalam bidang x-y yang terletak sebidang dengan sumbu optikdisebut gelombang ekstraordinary.
BAB 6. PHASE MATCHING PADA MEDIUM BIREFRINGENCE
• Kondisi phase-matching ∆k = 0 tidak mungkin diperoleh pada medium isotropik, karena adanya efek dispersi, n(λ).
• Dalam media anisotropik, gelombang ordinary dan extraordinary dapatdicampur, sehingga diperoleh kondisi phase-matching.
• Dilakukan dengan merubah indeks bias gelombang extraordinary yang ditransmisikan melalui perubahan sudut θ antara vektor-k dan sumbuoptik medium.
( )θ+θ
=θ22
e22
o
oee
cosnsinn
nnn
• Dalam median anisotropik, efek dispersi tetap ada, akibatnya no, ne
dan ne(θ) juga sebagai fungsi dari panjang gelombang/frekuensi.
Dispersi pada kristal KDPIn
deks
bias
ne < no
Kondisi phase-matching (∆k=0) untuk kasus SHG dapat dipenuhi denganmemilih:
ωω = 2nn
Karena efek dispersi kondisiini tidak mungkin dicapai, karena:
( ) ( )θ≠θ
≠ωω
ωω
2oe
2oo
nn
nn
Dalam kristal uniaxial negatif (ne < no), seperti KDP, pada nilai sudut tertentu θm, berlaku:
( ) ωω =θ om2e nn
Kondisi ini disebut phase-matching angle.
Sebelum menyelesaikan persamaan secara aljabar untuk mencari suduttertentu, dimana kondisi phase-matching terpenuhi (phase matching angle), kita bahas secara geometri untuk mengklarifikasi masalah. Masalahnya adalah suatu kristal bersifat birefringent dan dispersive padasaat yang sama.
Indeks-indeks permukaan untuk berkas ordinary dab extraordinary dapat
digambarkan dalam dua frekuensi ω dan 2ω. Sehingga kita memiliki 4 (empat) indeks permukaan yang berbeda (lihat gambar untuk kristalbirefringent negatif)
( ) ωω =θ 2o
2o nn
Indeks permukaan untuk no
pada frekuensi 2ω dan ne
pada frekuensi ω ditunjukkanoleh garis putus-putus, karena
tidak penting untuk phase-matching.
Kurva untuk no(ω) dan ne(2ω) menentukan sudut phase matching, yaitu titik-titik pada
lingkaran no(ω) bertemudengan titik-titik pada
lingkaran ne(2ω).
( )( ) ( ) m
222em
222o
2o
2e
m2e
cosnsinn
nnn
θ+θ=θ
ωω
ωωω
Pada frekuensi 2ω, persamaan ellips:
Untuk memperoleh kondisi phase-matching, maka:
( ) ωω =θ om2e nn
Sehingga:
( ) ( )( ) ( ) 22
o
22e
22o
2
om
2
nn
nnsin −ω−ω
−ω−ω
−
−=θ
Arti fisis:Kondisi phase-matching, yaitu kondisi yang efektif untuk frekuensi doubling dicapai jika suatu berkas (beam) menjalar melalui kristal pada sudut tertentuθm antara vektor-k dan sumbu optik.
Karena adanya efek dispersif pada semua parameter diatas (n0ω, n0
2ω dan ne2ω),
maka sudut phase-matching akan berbeda untuk frekuensi doubling dari frekuensiyang berbeda. Ini diasumsikan bahwa berkas dengan frekuensi ω adalah berkasordinary (terpolarisasi tegak lurus terhadap sumbu optik), sedangkan harmonikkedua adalah berkas extra-ordinary (terpolarisasi dalam bidang sumbu optik). Sehingga dalam proses ini polarisasi harmonik kedua (2ω) tegak lurus terhadappolarisasi fundamental (ω).
Dalam contoh ini kita berasumsi bahwa kristal adalah birefringent negatif, sehingga kondisi phase matching diperoleh dengan ordinary fundamental danextraordinary second harmonic.
Untuk medium birefringent positif, kondisi phase-matching terpenuhi frekuensifundamental (ω) adalah extraordinary dan harmonik kedua (2ω) adalahordinary.
Kondisi phase-matching untuk sum-frequency mixing (ω3 = ω1+ω2):
213 kkkkrrrr
−−=∆
Proses frekuesi doubling atau pembangkitan harmoni kedua (second harmonic generation, SHG) dapat juga dipahami sebagai proses sum-frequency mixing darigelombang ordinary dan extraordinary pada frekuensi yang sama di dalam kristal. Dalam kasus ini, hubungan phase-matching ∆k=0 menjadi:
( ) ( )[ ]θ+=θ ωωωeo
2e nn
2
1n untuk kristal birefringent negatif
( )[ ]θ+= ωωωeo
2o nn
2
1n untuk kristal birefringent positif
Jelas bahwa sudut phase-matching θm akan berbeda untuk bahan birefringentnegatif dan positif, walaupun prosesnya sama yaitu frekuensi doubling.
Tipe-tipe Phase-Matching
BAB 7. OPENING ANGLE
Pandang phase-matching tipe-I dan kristal birefringence negatif.
Hubungan phase-matching: ( )[ ] 0nnc
2k o
2e =−θω=∆ ωω
Kondisi ini dapat dipenuhi untuk nilai sudut tertentu θm. EkspansiTaylor pada sekitar sudut phase-matching (θ−θm):
( )[ ]
{ } ( )
( ){ } ( ) θ−θω−=
θ−θ+θ
ω−=
θ+θθω=−θ
θω=
θ
ω
ωω
2sinnnnn
n
c
2sinnncosnsinn
nn
c
cosnsinn
nn
d
d
c
2nn
d
d
c
2
d
dk
2e
2o2
o2e
32e
2e
2o2/322
e22
o
oe
22e
22o
oeo
2e
Sehingga: ( ) m2
o2
e3o
m
2sinnnncd
dk θ−ω−=θ
−− Dimana: ( ) o2e nn =θω
Maka:
m2sinL
2k
θ∝β
θ∆β=∆
Daya untuk SHG menjadi: ( ) ( )[ ]( )[ ]2m
m2
2
2
2 sin
2kL
2kL
sinP
θ−θβθ−θβ∝
∆
∆
∝θω
Daya SHG untuk kristalKDP dengan tebal kristalL = 1,23 cm dan kondisiphase matching diperolehpada θ−θm = 0.10
Konsep opening angle dapat dipahami dengan dua cara:
1. Untuk panjang gelombang tertentu λ dan cahaya yang difokuskan, konvergensi sudut tidak boleh melebihi 0,10, jika tidak, maka efisiensiSHG akan berkurang.
2. Untuk kasus cahaya ko-linier, perbedaan panjang gelombang ∆λ:
λλ∆−=∆
k
k
Akibatnya hanya bandwidth tertentu yang menghasilkan proses SHG yang efisien.
BAB 8. TEMPERATURE TUNING
Dalam bahasan sebelumnya, diasumsikan bahwa indeks bias material bergantung pada vektor k dan polarisasi bahan. Dalam realita, indeksbias juga dipengaruhi oleh faktor-faktor eksternal yang akanmempengaruhi jarak kisi dalam tiga dimesi dari suatu kristal/bahan.
Pada prinsipnya, nilai ωωωω 20
2e0e n,n,n,n bergantung pada temperatur.
Sehingga kondisi phase-matching ∆k = 0 dapat diperoleh denganmerubah temperatur kristal. Tentu saja sudut qm masih menjadiparameter yang penting.
Ada suatu kelas dari kristal, mirip KDP, yang cocok untuk temperature tuning, dimana kondisi phase-matching dapat diperoleh untuk sudut θm = 900. Dengan mengatur temperatur, maka kondisi ∆k = 0 dan θm = 900
dapat dipenuhi untuk beberapa panjang gelombang tertentu.
Kurva temperature-tuning untuk kristalKDP dan ADP
Beberapa keuntungan temperature-tuning:
� Sifat-sifat walk-off menjadi tidak penting, jika phase-matching diperoleh padasudut θm = 900. Kondisi ini disebut phase-matching non-kritis.
� Pada sudut tersebut, cahaya/gelombang menjalar sepanjang sumbu optikdan tidak ada efek indeks bias ganda (birefringence) dalam medium. Temperature tuning ini sangat cocok untuk aplikasi intracavity phase-matchingSHG (laser), karena efek-efek tadi akan menimbulkan kerugian (losses) dalamproses lasing.
� Pada sudut θm = 900 ekspansi orde pertama dalam deret Taylor untuk turunanopening angle yang mengandung faktor sin 2θm akan hilang sehingga diperolehuntuk kondisi phase-matching non-kritis:
( )2k θ∆∝∆sehingga opening angle yang lebih besar diperbolehkan.
� Pada θm = 900 , koefisien nonlinier deff = ½ χ(2) adalah maksimum.
sr
z
y
A
y
z
θ
θ
( )θen
Proyeksi ellipsoid ke dalam bidang x-y. Polarisasi gelombang ordinary tegak lurusbidang gambar.
( )( ) θθ=
θθ=cosny
sinnz
e
e
Maka pers. Ellips menjadi:
( ) 2e
20
2e n
sin
n
cos
n
1 θ+θ=θ
Indeks bias bergantung padaarah propagasi vektor
gelombang.
1. Untuk kasus khusus dimana θ = 0 yaitu vektor gelombang s sepanjang sumbu optik, maka tidak ada birefringence ( ne = n0).
2. Jika vektor gelombang s tegak lurus sumbu optik, maka duagelombang akan menjalar melalui medium dengan indeks bias n0
dan ne.
Untuk medium birefringence positif (ne > n0), sedangkan medium
birefringence negatif (ne < n0).
BAB 9. QUASI PHASE-MATCHING (QPM) TECHNIQUE
Kurva A : kondisi phase-matching sempurna di sepanjang kristal.
Kurva C : kasus phase-mismatch dengan panjang koheren lc.
Kurva B1: kasus dimana polarisasi dibalik setelah setiap panjang koheren.
Dalam mencapai phase-matching dengan opening angle, dalambeberapa nilai sudut, propagasi gelombang tidak memungkinkan, karenanya beberapa elemen pada tensor dij tidak dapat diakses. Problemnya adalah fasa dari SHG berbeda dengan fundamental karena adanya efek dispersi (kecepatan cahaya yang berbeda).
Dalam masing-masing panjang koheren, bahwa polarisasi nonlinierberbeda fasa 180o (π radian) dan fasa relatif slips π/2. Setelahpanjang koheren pertama, fasa bergeser ke dalam daerah dimanaenerginya hilang.
Ide dibalik caya untuk mencapai kondisi phase-matching adalahdengan mengatur fasa polarisasi nonlinier setelah masing-masingpanjang koheren. Pada kondisi demikian, intensitas nonliniermeningkat secara monoton, walaupun lebih landai daripada dalamphase-matching sempurna.
Kondisi ini disebut kondisi quasi phase-matching (QPM) yang dapatdiperoleh dengan periodically poled crystal.
Periodically Poled Crystal
Segmen-segmen material dengan sumbu optik yang berlawanan arah. Perambatan gelombang dalam segmen-segmen diputar 180o sehinggapergeseran fase dalam panjang koheren Lc pertama akan berkurangdalam panjang koheren berikutnya.
Hubungan fasa antara medan optik/listrik dengaqnpolarisasi nonlinier SHG
Persamaan gelombang terkopel:
( ) [ ]z'kiexpzdEdz
d2 ∆−Γ=
cn
Ei
2
21ω=Γ
Gelombang SHG pada ujung sampel L, diberikan oleh:
( ) ( ) [ ]dzz'kiexpzdLEL
0
2 ∆−Γ= ∫
Dalam kasus khusus: d(z) = deff dan ∆k’ = 0, maka gelombang SHG:
( ) LdLE eff2 Γ=
Dalam realita, fungsi d(z) dapat diasumsikan terdiri dari domain-domain dengan± deff yang berubah tanda pada posisi zj.
Asumsikan bahwa tanda diganti dengan gk dan lk adalah panjang domain ke-k, dan N adalah jumlah domain, maka:
( ) ( )[ ]1kk
N
1kk
eff2 z'kiexpz'kiexpg
'k
diE −
=
∆−−∆−∆
Γ= ∑
Tanda berubah dalam struktur yang sempurna pada posisi:
( )k0,k'0ki 1ze −=∆−
dimana ∆k0’ adalah vektor gelombang mismatch pada panjang gelombang input dan untuk QPM orde ke-m:
c0,k mkz l=
Untuk struktur yang sempurna (tanpa adanya kesalahan fasa pada daerahbatas), maka gelombang SHG diberikan oleh:
Lm
2dgiE eff1ideal,2 π
Γ≈
Karena kristal harus dibuat pada periodisitas tertentu L, maka kristal hanya akanmatch untuk panjang gelombang tertentu. SHG pada panjang gelombang yang lain akan memberikan suatu mismatch dan mengurangi intensitas SHG. Selain itustruktur domain tidak pernah sempurna yang akan mengakibatkan mismatch pada daerah batas.
