Banco de problemas

2

I N D I C E

TEMA PAGINA PRESENTACION 3 ALGEBRA 5 RAZONAMIENTO LOGICO 93 MISCELANEA DE RAZONAMIENTO LOGICO 121 FISICA 153 GEOMETRIA 209 TRIGONOMETRIA 251 GEOMETRIA ANALITICA 277 ANEXO 1 294

3

PRESENTACION La Facultad de Ingeniería de la Universidad de Cuenca, una de las más prestigiosa del País, por su elevado nivel académico, a través del presente documento hace llegar un cordial saludo a todos los señores bachilleres, y al mismo tiempo invitarles a que sean parte de nuestra Facultad, participando en el examen de admisión a una de las carreras que ofrecemos, y cuyos perfiles brevemente nos permitimos describir: INGENIERÍA CIVIL: Formar profesionales de excelencia, líderes emprendedores con sólidos valores morales y éticos. Preparados en el campo científico y tecnológico con miras a obtener un ingeniero generalista con conocimientos en las áreas de vialidad, construcciones, hidráulica y sanitaria en el que se incluyen aspectos relacionados con la conservación del medio ambiente, que contribuyan al desarrollo del país, para mejorarlo en lo social, económico, ambiental y político. INGENIERÍA ELÉCTRICA: Formar Ingenieros Eléctricos, altamente competitivos, con bases sólidas en el campo tecnológico y humanístico; con habilidades y conocimientos en las áreas de gestión y administración, de manera que apliquen la Tecnología en las áreas de Potencia, Electrónica y Control, a fin de plantear soluciones adecuadas a problemas de la sociedad. INGENIERÍA DE SISTEMAS: Formar Ingenieros de Sistemas, altamente competitivos, con bases sólidas en el campo tecnológico y humanístico, de manera que apliquen las Tecnologías de Información y Comunicación para proponer soluciones adecuadas para el desarrollo de las empresas e instituciones tanto privadas como públicas. INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES: Proporcionar a la región y al país profesionales altamente capacitados e íntegros en el área de las telecomunicaciones, quienes a través de su aporte creativo permitan una mayor y mejor participación de los ecuatorianos en la sociedad de la información y la comunicación. Considerando la creciente demanda de aspirantes que tiene nuestra Facultad y la limitada disponibilidad de espacios en aulas y laboratorios, nos obliga a fijar los siguientes cupos para los nuevos estudiantes que aspiran a ingresar: Ingeniería Civil: 120 Ingeniería Eléctrica: 70 Ingeniería Informática: 100 Ingeniería Electrónica y Telecomunicaciones: 90 Para cubrir estos cupos, se tomará un examen de admisión a los aspirantes a la carrera que previamente se hayan inscrito.

4

Con la finalidad de que los aspirantes tengan una orientación sobre el nivel mínimo de conocimientos requeridos para su ingreso a nuestra Facultad, se pone a consideración el documento adjunto que lo hemos llamado BANCO DE PROBLEMAS, que cubre las áreas de: Algebra, Razonamiento Lógico, Geometría, Trigonometría, Geometría Analítica, y Física. Todos los aspirantes, previo al examen de admisión, en forma obligatoria, deberán inscribirse a través del portal web de la Universidad de Cuenca www.ucuenca.edu.ec , en la opción INSCRIPCIONES a partir del 16 de MAYO 2011 hasta el 17 DE JUNIO DE 2011. El examen de admisión se receptará el día miércoles 03 de agosto de 2011 a partir de las 8 horas, y sus resultados serán expuestos como máximo hasta el día jueves 04 de agosto de 2011. TODOS LOS ASPIRANTES PARA RENDIR EL EXAMEN DE ADMISIÓN DEBERÁN PORTAR SU CÉDULA DE IDENTIDAD O SU PASAPORTE. Se recomienda a los aspirantes revisar el Anexo 1: Instructivo Básico para rendir el Examen de Admisión.

El Decano

5

R E S U M E N T E O R I C O

El concepto de conjunto es aceptado en matemáticas como primitivo, pues es imposible dar una

definición en términos de conceptos más elementales. Es un término no definido. Intuitivamente, un

conjunto es una reunión, colección o agrupación bien definida de objetos, llamados elementos.

NOTACION.- Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas, mientras que los elementos con letras

minúsculas, encerrados entre llaves y separados por comas. Ejemplo: El conjunto A, formado por los

números impares positivos menores que 9, entonces: A = { 1, 3, 5, 7 } .

Si un objeto x es elemento de un conjunto A se escribe: x � A ; lo que se lee: “ x pertenece al

conjunto A. En caso contrario escribiremos: x ∉∉∉∉ A.

DETERMINACION DE UN CONJUNTO.-

1. POR EXTENSION O TABULACION: Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se

nombra a todos y cada uno de los elementos.

Ejemplo: B = { 2, 4, 6, 8 }

C = { a, b, c, d, e, f }

2. POR COMPRENSION O CONSTRUCCION: Un conjunto queda determinado por comprensión

o construcción, cuando se nombra una propiedad común que caracteriza a todos los elementos del

conjunto, se emplea generalmente x / x : “ x tal que x ”

Ejemplo: B = { x / x es par positivo menor que 10 }

C = { x / x es una de las primeras seis letras del alfabeto }

CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO.- La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos

de dicho conjunto y se denota como n( … ). En los … se coloca el nombre del conjunto; así:

Ejemplo: n( B ) = 4

n( C ) = 6

CLASES DE CONJUNTOS.-

1. CONJUNTO FINITO.- Tiene una cantidad de elementos contables.

2. CONJUNTO INFINITO.- Tiene una cantidad ilimitada de elementos, imposible de contar.

3. CONJUNTO VACIO.- Llamado también conjunto NULO; es aquel conjunto que carece de

elementos. Se denota como: { } = ∅ .

Al conjunto vacío se le considera incluido en cualquier otro conjunto.

El conjunto vacío no tiene ningún subconjunto propio y su cardinalidad es n(∅∅∅∅ )))) = 0000

6

4. CONJUNTO UNIVERSO.- Es el que contiene a todos los conjuntos, se le denota como U.

5. CONJUNTO UNITARIO.- Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplos:

A = { x � I / 2 < x < 4 }

D = { ∅ }

6. 6. 6. 6. CONJUNTO DE CONJUNTOS.- Es aquel conjunto, cuyos integrantes, o elementos son a su vez

conjuntos. También se les llama Familia de conjuntos.

Ejemplos:

A = { { 2, 3 }, {2}, {4, 5 } }

B = { ∅, { ∅}, {1, 2} }

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS.-

1. RELACION DE COORDINABILIDAD O DE EQUIVALENCIA.- Dos conjuntos A y B

son coordinables, o son equivalentes cuando entre sus elementos pueden establecerse una

correspondencia biunívoca.

Cuando dos conjuntos finitos son coordinables, estos tienen en mismo número de elementos.

2. RELACION DE INCLUSION O SUBCONJUNTO.- Se dice que el conjunto A está incluido

en el conjunto B , si todos los elementos de A están en B. Se denota como: A ⊆⊆⊆⊆ B “ A

incluido en B; o A es subconjunto de B ”.

Ejemplo:

A = { 3, 5, m } ; n( A ) = 3

B = { 4, m, 6, 3, 5, p } n( B ) = 6

Se observa que todos los elementos de A son también elementos de B, luego A ⊆⊆⊆⊆ B .

En caso de que A ⊆⊆⊆⊆ B y por lo menos un elemento de B no es de A, entonces A es un

subconjunto propio de B. Y se denota así: A ⊂⊂⊂⊂ B .

Si A ⊆⊆⊆⊆ B , o A ⊂⊂⊂⊂ B se dice que A y B son comparables.

3. RELACION DE IGUALDAD.- Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos

elementos.

Si: A = B → A ⊆⊆⊆⊆ B y B ⊆⊆⊆⊆ A

Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si, A es subconjunto de B y B es subconjunto de

A.

Cuando se repiten los elementos en el conjunto como: A = { 2, 2, 3, 3, 4, 5 }, solo se debe

considerar uno de ellos así: A = { 2, 3, 4, 5 } ; n( A ) = 4.

4. CONJUNTO POTENCIA.- Se llama conjunto potencia de A , al conjunto formado por todos

los subconjuntos de A y se denota como 2 ... . En los … irá el nombre del conjunto.

7

Ejemplo:

Dado A = { 1, 3 } ; su conjunto potencia será: 2 A = { ∅, {1}, {3}, {1, 3} } ; n( 2 A ) = 4

El número de elementos de 2 A o número de subconjuntos de A , está dado por: n( 2A ) = 2m

donde “ m” representa en número de elementos del conjunto A.

Número de subconjuntos propios.- Dado el conjunto A, su número de subconjuntos propios

será: 2 m - 1 . No se considera el mismo conjunto A.

Propiedades del conjunto Potencia.-

1. ∅ � 2 A , puesto que ∅ ⊆⊆⊆⊆ A.

2. A � 2 A , puesto que A ⊆⊆⊆⊆ A.

3. 2 ∅ = { ∅ }.

4. Si A ⊆⊆⊆⊆ B → 2 A ⊆⊆⊆⊆ 2 B .

5. Si A = B → 2 A = = = = 2 B .

6. 2 A ∪∪∪∪ 2 B = 2 ) B A ( ∪ .

7. 2 A ∩∩∩∩ 2 B = 2 ) B A ( ∩ .

5. CONJUNTOS INTERSECANTES.- Dos conjuntos A y B son intersecantes, cuando tienen

elementos comunes; suficiente que haya un elemento común para que sean considerados como

tales.

Si dos conjuntos son intersecantes, entonces pueden o no ser comparables.

6. CONJUNTOS DISJUNTOS.- Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando no tienen

integrantes o elementos comunes.

Si dos conjuntos son disjuntos, entonces no son comparables.

Si dos conjuntos no son comparables, no necesariamente serán disjuntos.

DIAGRAMAS.-

Los conjuntos se pueden representar de dos maneras; gráficamente mediante diagramas llamados de Venn

Euler, y linealmente mediante diagramas llamados lineales.

1. DIAGRAMAS DE VENN – EULER.- Para representar los conjuntos se emplean diversas

figuras geométricas, como círculos, cuadrados, triángulos, rombos, etc. Dejando generalmente el

rectángulo para el conjunto universo.

Los símbolos que representan los conjuntos pueden colocarse dentro o fuera del gráfico.

Dentro de la representación gráfica pueden colocarse pequeñas marcas y las notaciones que

representan a los elementos siempre que sea necesario.

2. DIAGRAMAS LINEALES.- Emplea líneas en lugar de figuras geométricas, y se utilizan para

representar subconjuntos únicamente. En estos diagramas, la representación sagital como: B ➟➟➟➟ A

significa que B está incluido en A.

8

A continuación se indican varios Observemos los siguientes diagramas lineales que

diagramas de Venn – Euler. representan las mismas relaciones dadas en los

diagramas de Venn – Euler.

Diagramas de Venn – Euler Diagramas Lineales

1. 1.

A ⊂ B A ⊂ B 2. 2. C

B

A ⊂ B ⊂ C A ⊂ B y B ⊂ C

3. 3.

A ⊂ C y B ⊂ C A ⊂ C y B ⊂ C

4. 4.

B A

B A

C B A

C C A B A B

A C B A B D C

D ⊂ C y

⊂⊂

B C

A C D ⊂ C y

⊂⊂

B C

A C

9

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.-

1. UNION.- La unión de los conjuntos A y B , es el conjunto formado por los elementos que

pertenecen a A , a B o a ambos. Se denota como A ∪ B.

A ∪ B = { x / x � A o/y x � B } U

PROPIEDADES.-

1.- A ∪∪∪∪ A = A Idempotencia

2.- A ∪∪∪∪ B = B ∪∪∪∪ A Conmutativa

3.- (A ∪∪∪∪ B )∪∪∪∪ C =A ∪∪∪∪ ( B ∪∪∪∪ C ) Asociativa

4. A ∪∪∪∪ U = U Identidad

5.- A ∪∪∪∪ ∅∅∅∅ = A Identidad

6.- A ⊂ (A ∪∪∪∪ B ) y B ⊂ (A ∪∪∪∪ B )

7.- Si: A ⊂ B → A ∪∪∪∪ B = B

8.- Si A y B son disjuntos: n (A ∪∪∪∪ B ) = n( A ) + n( B )

9.- Si A y B son intersecantes: n (A ∪∪∪∪ B ) = n( A ) + n( B ) – n( A ∩∩∩∩ B )

2. INTERSECCION.- La intersección de dos conjuntos A y B , es el conjunto formado por

todosaquellos elementos que pertenecen a A y a B a la vez ( elementos comunes ). Se

denota como A ∩∩∩∩ B .

A ∩∩∩∩ B = { x / x � A y x � B }

A B

A B

10

PROPIEDADES.-

1.- A ∩∩∩∩ A = A Idempotencia

2.- A ∩∩∩∩ B = B ∩∩∩∩ A Conmutativa

3.- (A ∩∩∩∩ B)∩∩∩∩C=A∩∩∩∩(B∩∩∩∩C) Asociativa

4.- A ∩∩∩∩ ∅∅∅∅ = ∅∅∅∅ Identidad

5. –A ∩∩∩∩ U = A Identidad

6.- A ⊃ (A ∩∩∩∩ B ) y B ⊃⊃⊃⊃ (A ∩∩∩∩ B )

7.- Si: A ⊂ B → A ∩∩∩∩ B = A

8.- Si A ∩∩∩∩ B = ∅∅∅∅ →→→→ A yyyy B son disjuntos

9.- A ∪∪∪∪ (((( A ∩∩∩∩ B) = A Absorción

10.- A ∩∩∩∩ (((( A ∪∪∪∪ B ) = A Absorción

11.- A ∩∩∩∩ ( ( ( ( B ∪∪∪∪ C ) = ( A ∩∩∩∩ B ) B ) B ) B ) ∪∪∪∪ ( ( ( ( A ∩∩∩∩ C ) ) ) )

Distributiva

12.- A ∪∪∪∪ ( ( ( ( B ∩∩∩∩ C ) = ( A ∪∪∪∪ B ) B ) B ) B ) ∩∩∩∩ ( ( ( ( A ∪∪∪∪ C ) ) ) )

Distributiva

3. DIFERENCIA.- La diferencia de A con B es el conjunto formado por todos los elementos de

A que no son elementos de B. Se denota por A – B .

A – B = { x / x � A y x ∉∉∉∉ B }

U

PROPIEDADES.-

1.- A ---- A = ∅∅∅∅

2.- ∅∅∅∅ ---- A = ∅∅∅∅

3.- A ---- B ≠≠≠≠ B ---- A

4.- ( A – B ) ∪∪∪∪ (A ∩∩∩∩ B ) B ) B ) B ) = A

A B

11

A

5.- ( B – A ) ∪∪∪∪ (((( A ∩∩∩∩ B ) B ) B ) B ) = B

6.- A ---- B ⊂ A y A ---- B ⊂ B

7.- Si: A ⊂ B → A ---- B = ∅∅∅∅

8.- Si A y B son disjuntos: A – B = A

4.- COMPLEMENTO.- El complemento de un conjunto A es el conjunto que tiene como

elementos los del conjunto Universo ( U ) y no los del conjunto A. Se denota por A'''' = U – A

A'''' = { x / x � U y x ∉∉∉∉ A }

U

PROPIEDADES.-

1. –A '''' = U – A

2.- U'''' = ∅∅∅∅

3.- ∅∅∅∅'''' = = = = U

4.- A ∪∪∪∪ A '''' = U

5.- A ∩∩∩∩ A '''' = ∅∅∅∅

6.- ( A'''' ) '''' = = = = A

7.- ( A ∪∪∪∪ B ) '''' = A'''' ∩∩∩∩ B '''' De Morgan

8.- ( A ∩∩∩∩ B ) '''' = A'''' ∪∪∪∪ B '''' De Morgan

12

E J E R C I C I O S :

1.1.1.1. Sea A = { a, 1, +, b, 2, x } y B = { b, +, a } , ¿Cuál de las siguientes relaciones es falsa?

a) b ⊆ A b) 2 ∈ B' c) { a, b } ⊆ B d) ∅ ⊆ B e) { b } ∉ B

2.2.2.2. Siendo A = { {1}, {2}, {1,2} }, ¿ Cuál de las siguientes expresiones es verdadera ?

a) {1} ∉ A b) {1} ⊂ A c) 2 ∈ A d) {1} ⋂ {2} ⊄ A e) {1} ⋃ {2} ∈ A

3.3.3.3. Dado el conjunto: A = { 0, 1, 2, ∅, { 0 } , { 1, 2 }, 3 } ; determine la verdad o falsedad de:

I) 0 � A II) ∅ ⊂ A III) ∅ � A IV) { ∅ } ⊂ A

V) { ∅ } � A VI) { 1,2,3} � A VII) {1,2,3} ⊂ A VIII) {0,2} ⊂ A

El número de verdaderas es:

a) 7 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2

4.4.4.4. En un avión viajan 120 personas, de las cuales: Los 2/3 de ellas no beben. Los 4/5 de ellas no fuman. 72 no fuman ni beben. ¿Cuántas personas fuman y beben ?

a) 17 b) 16 c) 19 d) 18 e) 10

5.5.5.5. El número de subconjuntos propios de A = { 3, {4,8}, 9, 7 } es:

a) 13 b) 15 c) 17 d) 19 e) 21

6.6.6.6. En una población: 50% toma leche, el 40% come carne, además sólo los que comen carne o sólo

los que toman leche son el 54%. ¿Cuál es el porcentaje de los que no toman leche ni comen carne?

a) 18% b) 44% c) 28% d) 36% e) 20%

7.7.7.7. En una oficina hay 16 personas de las cuales el 25% son mujeres. Si se desea que el 60% del personal sean hombres; ¿ Cuántas mujeres se deben contratar ?

a) 10 b) 8 c) 6 d) 9 e) 4

13

8.8.8.8. Si A = { a, b, c } , B = { a, b } ; se afirma que:

I) 2 ) B -A ( tiene un sólo elemento. II) ∅ � 2 ) B A ( ∩ III) BBA 2 2 2 =∩

Son falsas:

a) Sólo I b) Sólo II y III c) Todas son falsas d) Ninguna es falsa

e) Ninguna de las anteriores.

9.9.9.9. ¿ Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I) ∅ ≠ { 0 } II) { ∅ } = { 0 } III) 0 � { ∅ }

IV) ∅ ⊄ { ∅ } V) ∅ � { { ∅ } }

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10.10.10.10. Si A y B son dos conjuntos no vacíos y además A ⊂ B , entonces la expresión

verdadera es:

a) A ⋃ B = B b) A ⋂ B = ∅ c) A ⋂ B = B d) B ⊂ A e) Ninguno de los anteriores.

11.11.11.11. Dados los conjuntos A = { a, b, c } , B = { b, c, d } y C = { a, c, d, e } el conjunto

( A – C ) ⋃ ( C – B ) ⋃ ( A ⋂ B ⋂ C ) es:

a) { a, b, c, e } b) { b, d, e } c) { a, c, e } d) A e) { b, c, d, e }

12.12.12.12. Dado el conjunto A = { 0 }, sólo uno de los siguientes enunciados es verdadero:

a) 0 ⊂ A b) A = ∅ c) { 0 } ⊆ A d) { 0 } ∈ A e) Ninguno de los anteriores.

13.13.13.13. Si D = { azul, rojo, verde, amarillo } y A = { colores cuyo nombre empieza por la letra a }; entonces el enunciado verdadero es:

a) D ⋂ A = A b) D ⋂ A = { azul } c) D ⋂ A = { azul, amarillo }

d) D ⋂ A = { amarillo } e) Ninguno de los anteriores.

14

14.14.14.14. Dados los conjuntos:

A = { Todas las universidades } ; B = { Los países de Latinoamérica } ;

C = { Brasil, Perú, Bolivia, Venezuela }. El conjunto: { Universidades de Guayaquil } es un

subconjunto de :

a) A b) B c) C d) B ⋂ C e) B ⋃ C

15.15.15.15. Considerando los conjuntos A = { 0, 2, 4 } , B = { 0, 4, 0, 2 } se puede afirmar que :

a) A es subconjunto propio de B. b) Los conjuntos son iguales .

c) Los conjuntos son diferentes. d) Los conjuntos son disjuntos.


16.16.16.16. De los conjuntos A = { a, b, c, d } , B = { c, b, a, d } se hacen las siguientes afirmaciones:

1.- Los conjuntos son diferentes. 2.- Los conjuntos son iguales.

3.- A es subconjunto de B. 4.- Su intersección es vacía.

Lo anterior es cierto para:

a) 1 y 3 solamente. b) solamente 2. c) 2 y 3 solamente.

d) 2 y 4 solamente. e) Ninguna de las anteriores.

17.17.17.17. Consideremos la siguiente igualdad: ( B ⋂ B )’ = ( A ⋂ A )’

Podemos afirmar que esta igualdad es:

a) Siempre verdadera para B ⊂ A b) Siempre falsa para B ⊆ A

c) Verdadera apenas para A = B = ∅ d) Verdadera siempre que A = B


15

18.18.18.18. Dados los conjuntos A={ -1, -2, 0, 1, 2 } y B={ -1, 2, 3, 4, 5 } el conjunto (B–A) ⋃ (A–B) es :

a) { -7, -5, -1, 1, 5, 7 } b) { -7, -1, 1, 5, 7, 3 } c) Ø

d) { -7, 1, 0, 7, 4, 2 } e) { -2, 0, 1, 3, 4, 5 }

19.19.19.19. De los conjuntos P = { 1, 5, 3 }, Q = { 1, 2, 3 } , R = { 1, 3 }, se afirma que:

1.- P ⋂ Q = R 2.- R ⊂ Q 3.- P ⋃ R = P 4.- Q ⋂ R = R

Lo anterior es cierto para:

a) 1 y 4 solamente. b) 2 y 3 solamente. c) 3 y 4 solamente.

d) Todas son verdaderas. e) Ninguna de las anteriores.

20.20.20.20. Dados los conjuntos A = { -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { -1, 4, 2, 0, 5, 7 } y siendo Ø el

conjunto vacío, señalar el enunciado verdadero:

a) A ⋃ B = { 0, 1, 2, 4 } b) A ⋂ ( B – A ) = Ø c) A ⋂ B = { -1, 0, 2, 3, 4, 5, 7 }

d) ( A ⋃ B ) ⋂ A = { -1,0 } e) Ninguno de los anteriores.

21.21.21.21. Dos conjuntos A y B se dice que son iguales si y sólo si:

a) Todo elemento de A es también elemento de B. b) Tienen la misma medida.

c) Tienen los mismos elementos. d) Cuando son subconjuntos de conjuntos iguales.

e) Ninguno de los anteriores.

22.22.22.22. Durante el mes de febrero de 2008. Julver salió a pasear con Mercy, Maribel o con ambas. Si 16 días paseó con Mercy y 22 con Maribel. ¿ Cuántos días paseó con ambas sabiendo que el día de los enamorados salió sólo con Marcia.?

a) 12 b) 10 c) 6 d) 9 e) 8

23.23.23.23. En una clase se hizo una encuesta sobre los diversos espectáculos preferidos por los estudiantes. Hubo 3 estudiantes que preferían el teatro y el cine al mismo tiempo. En total había 9 estudiantes que tenían al teatro como una de sus distracciones preferidas, y 10 estudiantes que elegían el cine entre ellas, mientras que eran 14 los estudiantes que preferían otras diversiones distintas del cine y el teatro. El número de estudiantes que fueron encuestados es:

16

a) 28 b) 30 c) 33 d) 26 e) Ninguno de los anteriores.

24.24.24.24. Los socios de los clubes A y B constituyen un total de 140. ¿ Cuál es el número de los socios de A , si en B existen 60 y hay 40 que pertenecen a los dos clubes ?.

a) 40 b) 80 c) 60 d) 120 e) 100

25.25.25.25. ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso?:

a) A ⋃ B = Ø ⇒ A = Ø ⋀ B = Ø b) A = Ø ⋀ B = Ø ⇒A ⋃ B = Ø

c) A ⋂ B = Ø ⇒A = Ø ⋀ B = Ø d) A = Ø ⋀ B = Ø ⇒ A ⋂ B = Ø


26.26.26.26. En un examen fueron propuestos dos problemas y se sabe que: 413 alumnos acertaron el primer problema. 199 alumnos erraron el segundo problema. 230 alumnos acertaron los dos problemas. 485 alumnos acertaron apenas un problema. ¿Cuál es el número de alumnos que dieron el examen ?

a) El problema tiene muchas soluciones. b) 230 alumnos presentaron el examen.

c) 485 alumnos presentaron el examen. d) 731 alumnos presentaron el examen.

e) El problema no se puede resolver.

27.27.27.27. El conjunto A contiene 10 elementos y el conjunto B tres elementos. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera ?

a) A ⋂ B contiene exactamente cinco elementos.

b) A ⋃ B contiene al menos un elemento.

c) A ⋃ B contiene exactamente cuatro elementos.

d) A ⋃ B no puede contener más de ocho elementos.

e) Si A ⋂ B contiene tres elementos, entonces B ⊂ A .

28.28.28.28. Sean A y B dos conjuntos disjuntos. Entonces A – B es necesariamente igual a :

a) B = A b) A ⋃ B c) ∅ d) A e) Ninguno de los anteriores.

17

29.29.29.29. Si A = { r, s, t, u, v } y B = { t, e, v } ; de los siguientes enunciados, el verdadero es:

a) A – B = {r, s, u } b) A – B = B – A

c) No se puede hablar de A – B, porque B no es subconjunto de A.

d) No se puede hablar de B – A, porque A no es subconjunto de B.


30.30.30.30. Dados los conjuntos A = { 2, 4, 6 } y B = { 1, 2, 3, 4, 5 } podemos afirmar que:

a) A y B no son disjuntos b) A y B son disjuntos c) A ⋂ B = ∅ d) A ⋃ B = ∅


31.31.31.31. El conjunto F = { rosa, clavel }

a) Está definido por extensión. b) Está definido por comprensión.

c) Está definido por construcción. d) No está definido.


32.32.32.32. El producto cartesiano A x B de los conjuntos: A = { 3, 4, 5 } y B = { 4 } es:

a) { (4,3 ),(4,4),(4,5) } b) A c) B

d) { (3,4),(4,4),(5,4) } e) { 12, 16, 20 }

33.33.33.33. ¿ Cuál de los siguientes enunciados es verdadero? :

a) A x B = B x A ; para todos los conjuntos A y B. b) A ⋂ B = ∅ ⇒ A x B = ∅

c) A x B = ∅ ⇒ A = ∅ y B = ∅ d) A ⋃ B = ∅ ⇒ A x B = ∅ e) Ninguno de los anteriores.

34.34.34.34. Se tiene los siguientes conjuntos:

18

A = { Polígonos regulares }

B = { Cuadriláteros } C = { Triángulos equiláteros }

¿ Cuáles de las regiones enumeradas en el diagrama son conjuntos vacíos ?

a) 3; 5; 7 b) 3; 6; 7 c) 4; 5; 6 d) 5; 6; 7 e) 2; 5; 7

35.35.35.35. La expresión ( A - B' ) ∪ ( A' ∪ B' ) ' es igual a:

a) A ⋃ B' b) A ⋂ B' c) A ⋂ B d) A ⋃ B e) A' – B

36.36.36.36. Si los conjuntos M y N son unitarios M = { ( a² + 1 ) , ( 4a – 3 ) } ;

N = { ( y+3x ) , ( x + 8 – y ) } . Entonces la suma de x + a + y es:

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

37.37.37.37. Si: n(A ∪ B ) = 14 , n(A ∩ B ) = 6. Entonces n( A ) + n( B ) es:

a) 24 b) 10 c) 20 d) 15 e) 25

38.38.38.38. Dos conjuntos de 4 números positivos consecutivos tienen exactamente un número en común. La suma de los enteros en el conjunto con números más grandes es cuánto más grande que la suma de los enteros en el otro conjunto.

a) 4 b) 7 c) 8 d) 12 e) Ninguna de las anteriores.

39.39.39.39. De los 504 primeros números naturales, ¿ Cuántos no son múltiplos de 3 ni de 7?

a) 168 b) 240 c) 284 d) 288 e) 216

B A 3 2 1 5 4 6 7 C

19

40.40.40.40. En una clase de 78 estudiantes; 41 están tomando francés, 22 están tomando alemán y 9 estudiantes están tomando francés y alemán, ¿ Cuántos estudiantes no están enrolados en ningún curso?

a) 6 b) 15 c) 24 d) 33 e) 42

41.41.41.41. En una clase de 24 estudiantes; 9 estudiantes tienen en el examen entre 80% y 90%, 4 obtienen sobre el 90% y 5 obtienen entre 70% y 80%. ¿ Qué porcentaje de estudiantes obtuvieron en la prueba por debajo del 70% ?

a) 63% b) 83% c) 79% d) 75% e) 25%

42.42.42.42. La expresión ( B - A )' ∩ ( A' ∩ B ) ' es igual a:

a) A ⋃ B' b) A ⋂ B' c) A ⋂ B d) A ⋃ B e) A' ∪ B

43.43.43.43. Dado el conjunto: A = { 0, 1, 2, ∅, { 0 } , { 1, 2 }, 3 } ; el número de elementos del conjunto es:


44.44.44.44. Si A ⋃ B = {1,2,3,4} ; A ⋂ B = {1,3} ; y A – B = {2}; entonces B – A es:

a) {2,4} b) {4} c) {3} d) {1} e) {3,4}

45.45.45.45. Sean A y B dos conjuntos tales que; n(A ⋃ B) = 24 , n(A – B) = 10 , n(B – A) = 6 ; entonces 5 n(A) – 4 n(B) es:


46. 46. 46. 46. Los valores de verdad de las proposiciones siguientes , son:

1. Para cada a ∈ I y para cada b ∈ N , a – b ∈ ( I – N ).

2. Existe a ∈ ( I – { 0 } ) tal que a⁴ ∉ N.

3. Para cada n ∈ N , existe e ∈ I tal que ( n + e ) ∈ N.

a) FFF b) FFV c) FVV d) VVV e) VFF

47. 47. 47. 47. Sean los conjuntos: M = { x² / 1 < x < 7 ; x es primo } ; L = { n + 1 / n ∈ [ 1 , 7 ] ; n ∈ I } ;

¿ Cuántos elementos tiene M ∪ L ?


20

48. 48. 48. 48. Sean los conjuntos: A = { a / a es divisor de 18 } ; B = { b / b es divisor de 12 } ; se

puede afirmar:

I.- A ∩ B = { 1, 2, 3, 6 } II.- { x / x es divisor de 6 } ⊂ A

III.- { x / x es divisor de 6 } ⊂ B IV.- B – A = ∅

a) I y II b) II y III c) I , II y III d) I , II y IV e) Todas

49.49.49.49. Sean los conjuntos: T = { x ∈ N / - 3 < x < 4 } ; S = { x/2 ∈ I / x ∈ N , x ≤ 5 } ;

M = { x ∈ Q / ( x³ - x² )( x – 1 ) = 0 } . ¿ Cuántos subconjuntos propios tiene T ∪ S ∪ M ?

a) 31 b) 15 c) 7 d) 63 e) 3

50. 50. 50. 50. Sean los conjuntos: A = { x ∈ I / ( 60 / x ) = n ; n ∈ N } ; B = { x ∈ R / x = 5m ; m ∈ N } .

El número de elementos de A ∩ B es:


51. 51. 51. 51. El número de elementos del conjunto ( A ∩ B ) es: Si A = { x ∈ I / 4 < x + 3 < 8 } y

B = { x ∈ I / x² - 3x + 2 < 0 }


52.52.52.52. Dados los conjuntos: B = { x ∈ I / x² - 3x + 2 < 0 } y C = { x ∈ I / x = k + 2 ; 3 < k < 7 } ;

el número de elementos de ( B ∩ C ) es:


53. 53. 53. 53. En un aula de 35 alumnos, 7 hombres aprobaron Matemática, 6 hombres aprobaron Química, 5

hombres y 8 mujeres no aprobaron ningún curso, hay 16 hombres en total, 5 aprobaron los dos cursos, 11 aprobaron sólo Matemática. ¿ Cuántas mujeres aprobaron sólo Química ?


21

54. 54. 54. 54. De un total de 100 alumnos, 51 están matriculados en el curso de Física y 47 en Matemática. Si 27 alumnos no registran matrícula en Física ni Matemática; ¿ El número de matriculados en ambos cursos será ? :


55. 55. 55. 55. Si: A ⊂ B y A ∩ D = ∅ ; El siguiente conjunto [( A ∩ D' ) ∩ B' ] ∪ [ B ∪ ( A – D ) ]

simplificado será:

a) A ∩ B b) A c) ∅ d) B e) D ∩ B

56.56.56.56. Del siguiente conjunto A = { 1, 2, { 2, a }, { 2, 1, b } } , la proposición verdadera es:

a) 1∈ { 2, 1, b } b) b ∈ { 2, 1, b } c) { 2 } ∈ A d) { 2, a } ∈ A e) { 2, a } ∈ { 2, 1, b }

57. 57. 57. 57. De una muestra recogida a 200 turistas se determinó: 64 eran norteamericanos. 86 eran europeos. 90 eran economistas. De estos últimos, 30 eran norteamericanos y 36 europeos. ¿ Cuántos de los que no eran europeos tampoco eran norteamericanos ni economistas ?


58.58.58.58. Si: n( A ∪ B ) = 30 , n( B – A ) = 8 y n( A – B ) = 10 . El valor de n( A ) + n( B ) es:

a) 8 b) 10 c) 13 d) 12 e) 11

59.59.59.59. Si A = { ∅, { ∅ } } , ¿ Cuántas son verdadera ?:

I.- ∅ ∈ A ; II.- ∅ ⊂ A ; III.- { ∅ } ∈ A ; IV.- { ∅ } ⊂ A ; V.- {{ ∅ }} ∈ A

VI.- {{ ∅ }} ⊂ A

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

60. 60. 60. 60. Si U = { x ∕ x ∈ N } ; A = { 2x ∕ x ∈ N y x < 6 } ; B = { ( x + 4 ) / 2 ∕ x ∈ A } ;

C= { ( 2y + 1 ) / 3 ∕ y ∈ B } . ¿ El número de elementos de C es? :

a) 6 b) 1 c) 4 d) 3 e) 2

61. 61. 61. 61. Sabiendo que el conjunto: A = { a + b , a + 2b – 2 , 10 } es unitario. El valor de a .b es:

a) 10 b) 15 c) 18 d) 16 e) 20

22

62. 62. 62. 62. Si: A' , B' , ( A – B ) y ( A ∪ B ) tienen respectivamente 128, 32, 2 y 64 subconjuntos; ¿ El número de elementos del conjunto potencia de A ∩ B , es?:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

63. 63. 63. 63. Si: A = ( - 3 , 3 ] ; B = [ 1 , 5 ) ; C = ( - 1 , 4 ) ; el conjunto A – ( B ∪ C ) es:

a) ( - 3 , - 1 ] b) ( - 3 , - 1 ) c) [ - 3 , - 1 ] d) [ - 3 , - 1 ) e) Ninguno de los anteriores.

64.64.64.64. La suma de los elementos del conjunto A =

<<∈ 9 x 2y N / x 3 -x

9 - x

2

son:

a) 40 b) 45 c) 35 d) 36 e) 48

65. 65. 65. 65. Si T es el conjunto solución de la ecuación 2 x 2 -x −= ; el conjunto T es:

a) [ 0 , ∞ ) b) ( - ∞ , 10 ) c) { 0 } d) ( - ∞ , 0 ] e) ( 0 , ∞ )

23


PROPOSICION CERRADA.- Es toda expresión coherente que se caracteriza por el hecho de poseer un valor de

verdad sin ambigüedad en un determinado contexto. Es decir puede ser verdadera ( V ) o falsa ( F ). Por lo general las

proposiciones se denotan con cualquier letra minúscula, pero preferentemente con: p, q, r, s, t, etc.

Ejemplo: p: Quito es la capital del Ecuador ⇒ (V)

q: 5+7 = 8 ⇒ (F)

Las preguntas, mandatos, deseos, exclamaciones, no son proposiciones lógicas ya que no se pueden clasificar como

verdaderas o falsas.

Ejemplo: + ¿ Cómo te llamas ?

+ Que pases bien

+ ¡ Cállate!

VARIABLE.- Es aquella palabra, letra o símbolo que representa apersonas, entes u objetos, susceptibles a tomar

valores diferentes.

PROPOSICION ABIERTA.- Es toda expresión en la que interviene una variable, que admite la posibilidad de

convertirse en una proposición cerrada cuando cada variable asume un valor determinado.

Ejemplo: El es un cantante ecuatoriano. “ Si te das cuenta, aún no se puede decir si es verdadera o falsa, donde la

variable es El. Vamos a darle valores a la variable y observemos que sucede:

Juanes es un cantante ecuatoriano …………………… (F)

José Luis del Hierro es un cantante ecuatoriano …….. (V)

Se observa que la proposición abierta se convirtió en una cerrada al darle un valor a la variable.

OPERTADOR LOGICO.- Es la palabra que cambia el valor veritativo de una proposición. Si la proposición es p ,

el operador lógico cambia a la proposición en ~ p que es no p o también negación de p. Las palabras: no, no es

verdad que, es falso que, no ocurre que, no es el caso que, etc. equivalen al operador lógico ~ .

CONECTORES LOGICOS.- Se llaman así a las palabras que sirven para enlazar proposiciones. Sean las

proposiciones p , q :

24

Símbolo Operación

Lógica Esquema Significado ^ conjunción p ^ q p y q ν disyunción p ν q p o q

⊻ disyunción exclusiva p ⊻ q o p o q

→ condicional p → q si p,

entonces q

↔ bicondicional p ↔ q p, si y sólo

si q

CONJUNCIÓN.-

Ejemplo: { 4444 34444 2144 344 21

qp

stabasqueboli esCarmen y futbolista es Tito∧

p q p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F La conjunción es verdadera solo si sus componentes son verdaderos, en otros casos será falsa.

Las palabras : pero, sin embargo, además, no obstante, aunque, a la vez, también, etc. Equivalen al conector ̂ .

DISYUNCIÓN.-

Ejemplo: { 444 3444 21444 3444 21

qp

arquitecto es Carlos o Ingeniero es Carlos∨

p q p ν q

V V V

V F V

F V V

F F F La disyunción es falsa sólo si sus componentes son falsas, en otros casos será verdadera.

DISYUNCION EXCLUSIVA.-

Ejemplo: 32132143421

qp

estudia bien o juega Borisbien O∨

p q p ⊻ q

V V F

V F V

F V V

F F F La disyunción exclusiva es verdadera sólo si sus componentes tienen valores de verdad diferentes, caso contrario será

falsa.

CONDICIONAL.- Ejemplo:

25

uenteconeantecedent sec

iaconsecuenc causa

ingresará entonces ,esfuerza se Isabel Siqp

44 844 76876

4342143421444 3444 21

↑↑

→

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V El condicional es falso sólo si su antecedente es verdadero y su consecuente es falso, en otros casos será

verdadero.

Las palabras: porque, puesto que, cuando, si, cada vez que, etc. Equivalen al conector → .

BICONDICIONAL.- Ejemplo:

443442143421444 3444 21

qp

amigas tiene si sóloy si fiesta, la a iráKaty ↔

p q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V El bicondicional es verdadero sólo si los valores de sus componentes son iguales, en caso contrario es falso.

Las palabras: Cuando y sólo cuando, entonces y solamente entonces, etc. Equivalen al conector ↔ .

LEYES LOGICAS.- Consideremos la proposición: [ ( p → q ) ̂ p ] → q ; cuya tabla de verdad es:

p q p→ q (p→q) ^ p [(p→q)^p]→q V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V

La proposición compuesta es V, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones componentes. Se

dice entonces que tal proposición es una tautología o ley lógica.

La proposición p → p es V cualquiera sea el valor de verdad de p, es otro ejemplo de una ley lógica. En cambio p

^ ~ p es F cualquiera sea el valor de verdad de p. Se dice que es una contradicción.

En el cálculo proposicional se utilizan las siguientes leyes o tautologías cuya demostración se reduce a la

confección de la correspondiente tabla de valores de verdad.

1. INVOLUCION: ~ ( ~ p ) ⇔⇔⇔⇔ p

2. IDEMPOTENCIA: a.- ( p ν p ) ⇔⇔⇔⇔ p

b.- ( p ̂ p ) ⇔⇔⇔⇔ p

3. CONMUTATIVA: a.- ( p ν q ) ⇔⇔⇔⇔ ( q ν p )

b.- ( p ^ q ) ⇔⇔⇔⇔ ( q ^ p )

26

4. ASOCIATIVA: a.- ( p ν q ) ν r ⇔⇔⇔⇔ p ν ( q ν r )

b.- ( p ^ q ) ^ r ⇔⇔⇔⇔ p ^ ( q ^ r )

5. DISTRIBUTIVA: a.- p ν ( q ^ r ) ⇔⇔⇔⇔ ( p ν q ) ^ ( p ν r )

b.- p ^ ( q ν r ) ⇔⇔⇔⇔ ( p ^ q ) ν ( p ^ r )

6. DE MORGAN: a.- ~ ( p ν q ) ⇔⇔⇔⇔ ~ p ^ ~ q

b.- ~ ( p ^ q ) ⇔⇔⇔⇔ ~ p ν ~ q

7. ABSORCION: a.- p ν ( p ^ q ) ⇔⇔⇔⇔ p

b.- p ^ ( p ν q ) ⇔⇔⇔⇔ p

8. CONDICIONAL: p → q ⇔⇔⇔⇔ ~ p ν q

9. BICONDICIONAL: p ↔ q ⇔⇔⇔⇔ ( ~ p ν q ) ^ (~ q ν p )

27


1.1.1.1. Señale la proposición compuesta conjuntiva::::

a) a) a) a) Navegaremos siempre que tengamos brújula. b) b) b) b) Si es un caballo veloz y fuerte, ganará la carrera. c)c)c)c) Es un creyente musulmán; sin embargo, no ora cinco veces al día. d) d) d) d) Los fuegos artificiales se encienden porque lo ordena el mayordomo. e) e) e) e) Pedro y Pablo viven juntos, luego comparten los gastos.

2.2.2.2. La simbolización de: “ El jabalí es un mamífero y el murciélago también, por lo tanto ambos son

cuadrúpedos “. Es: a) ( q ^ p ) ^ p ) ^ p ) ^ p ) →→→→ r b) ( p ^ q ) →^ q ) →^ q ) →^ q ) → ( r ^ s )^ s )^ s )^ s ) c) c) c) c) q ^ p ) →q ^ p ) →q ^ p ) →q ^ p ) → ( r →→→→ s )

d) ( p ^ q ) →^ q ) →^ q ) →^ q ) → r e) ( p ^ q ) →^ q ) →^ q ) →^ q ) → ( s ν r )ν r )ν r )ν r )

3.3.3.3. “Quito es la capital del Ecuador y los lunes son festivos”. Es una proposición de la cual se afirma que :

a) Es falsa y verdadera b) Ni verdadera ni falsa. c) Es verdadera. d) Es falsa.


4.4.4.4. La simbolización correcta de la proposición: “ El agua es un mineral y 6 no es múltiplo de 3 “ es:

a) ~ ( r ⋀ s ) b) ~ r ⋀ ~ s c) r ⋀ ~ s d) r ⋁ ~ s e) Ninguna de las anteriores.

5.5.5.5. La gráfica muestra la relación “ser hijo de” en un conjunto de personas, mediante las flechas. Por tanto, cccc y g g g g son respectivamente:

a) Hermanos. b) Padre – hijo. c) Sobrino – tío. d) Hijo – padre. e) Tío – sobrino.

6.6.6.6. Cuál será el esquema equivalente a la proposición: “ Puesto que es agosto, soleará todos los días “

a) ~ ( p ^ ~ q ) b) ~ p → q c) q → p

d) ~ q ν p e) p ^ ~ q

a b d c e f g

28

7.7.7.7. ¿ Cuáles de las siguientes proposiciones son leyes lógicas?

I. ( p ^ q ) → q II. [( p → q ) ^ ( q → r )] → ( p → r )

III. p → ( p ^ q ) IV. p → ( p ν q )

a) I – II – III b) Todas son leyes lógicas c) I – II – IV

d) II – III – IV e) I – III – IV

8.8.8.8. De las siguientes proposiciones, ¿ Cuáles son equivalentes entre sí ?

I. Es necesario que Juan no vaya al cine para que termine su tarea.

II. No es cierto que Juan termine su tarea y vaya al cine.

III. Juan no terminará su tarea y no irá al cine.

a) I y III b) II y III c) Ninguna

d) I y II e) Todas

9.9.9.9. Si: “ Ningún insecto es vertebrado “ ; entonces::::

a) Todo insecto es vertebrado b) Algún insecto es vertebrado c) Algunos vertebrados son insectos d) Es falso que algún insecto es vertebrado e) Todo vertebrado es insecto.

10.10.10.10. Si: “ Todo matemático es hábil “ ; entonces:

a) Algunos hábiles no son matemáticos b) Algunos matemáticos no son hábiles c) Ningún matemático es no hábil d) Ningún matemático es hábil e) Todo matemático es no hábil.

11.11.11.11. Si: ( p ^ ~ q ) → ( r → ~ s ) es falsa. Entonces los valores de verdad de: p, q, r, s p, q, r, s p, q, r, s p, q, r, s son:

a) V F V V b) F V F F c) V V V F

d) F F V V e) F V V V

12.12.12.12. No es verdad que no sea estudiante, es equivalente a:

a) Soy estudiante. b) No soy estudiante. c) Tal vez sea estudiante.

29

d) No me gusta el estudio. e) ) ) ) Nunca fui estudiante.

13.13.13.13. La negación de : “ Todos los hombres son honestos “ es:

a) Los hombres no son honestos. b) Algunos hombres son deshonestos. c) Algunos hombres son honestos. d) Todos los hombres son deshonestos. e) Ningún hombre es deshonesto.

14.14.14.14. No es ejemplo de proposición:

a) Soy ángel. b) El hombre es inteligente. c) No me mires.

d) Tengo sed. e) Los mares resucitaron.

15.15.15.15. El enunciado recíproco del condicional “ Si un número entero es divisible por 6, entonces es múltiplo de 3”; es:

a) Si un número entero no es divisible por 6, entonces no es múltiplo de 3.

b) Si un número es múltiplo de 3, entonces es divisible por 6.

c) Si un número no es múltiplo de 3, entonces no es divisible por 6.

d) Si un número no es divisible por 6, entonces es múltiplo de 3.


16. 16. 16. 16. Una alternativa equivalente a la proposición lógica: “Todas las películas de ciencia ficción son irreales” es:

a) Ninguna película de ciencia ficción es real.

b) Algunas películas de ciencia ficción son reales.

c) Algunas películas de ciencia ficción son irreales.

d) No todas las películas de ciencia ficción son irreales.

e) Todas las películas de ciencia ficción no son reales.

30

17.17.17.17. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es equivalente a? : “Todos los diplomáticos no son católicos “

a) Ningún diplomático es católico.

b) Algunos diplomáticos son católicos.

c) No todos los católicos son diplomáticos.

d) Algunos diplomáticos no son católicos.

e) Algunos católicos no son diplomáticos.

18.18.18.18. El equivalente a: “ Es falso que si usted ve un gato negro entonces tendrá mala suerte” es:

a) Ve un gato negro y tiene mala suerte.

b) No tiene mala suerte si ve un gato negro.

c) Ve un gato negro y no tiene mala suerte.

d) Ve un gato negro si tiene mala suerte.

e) No tiene mala suerte dado que no ve un gato negro.

19.19.19.19. La proposición: ∼ { ( p ∧ q ) ∨ [ p ∧ ( ∼ p ∨ q ) ] } es equivalente a :

a) p ∧ q b) ∼p ∨ ∼ q c) p ∨ ∼ p d) p ∨ q e) ∼ p ∧ ∼ q

20. 20. 20. 20. “ No es cierto que, si no tengo novia no me casaré “. Decir la verdad o falsedad:

I.- No se da el caso que tenga novia no me casé.

II.- No tengo novia pero me casaré.

III.- si tengo novia me casaré.

a) VVV b) FFF c) VVF d) FVF e) FVV

21.21.21.21. La tabla de verdad de: ( ∼ p ∨ q ) ↔ ( p ∨ ∼ q ) es:

a) VFVF b) VVVV c) FFFF d) VFFV e) FFFV

31

22.22.22.22. Formalizar: “ Si luchas por triunfar, entonces triunfarás, sin embargo no luchas por triunfar ”

a) p → ( q ∧ r ) b) p → ( q ∧ ∼ r ) c) ( p → q ) ∧ ∼ p d) ( p → q ) ∧ ( p ∨ q ) e) ( p → q ) ∨ ∼ q

23. 23. 23. 23. Al simplificar: ∼ ( q ∧ ∼ r ) → ( p ∧ ∼ p ) se obtiene:

a) p b) q c) p ∧ q d) F e) V

24.24.24.24. Si: ( p ∧ ∼ q ) → r es falsa ; los valores de verdad de p , q y r son:

a) VVV b) VFF c) FFF d) FVV e) FVF

25. 25. 25. 25. Ningún mentiroso es confiable; luego se puede afirmar:

a) Algunos no confiables son mentirosos.

b) Todo confiable es mentiroso.

c) Algunos mentirosos son confiables.

d) Algunos confiables son mentirosos.

e) Ningún mentiroso es no confiable.

32


1. NUMEROS NATURALES ( N ): Son los enteros positivos. Se representan así:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6………}

2. NUMEROS ENTEROS ( I ) : Resultan de la reunión de los números naturales y las diferencias de dichos

números, es decir lo números negativos. Se pueden representar así:

I = { ……-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ……. }

Los números naturales están incluidos en los enteros.

3. NUMEROS RACIONALES ( Q ): Está dado como el cociente de dos números enteros.

Ejemplo: 2 � Q; porque: 2 = 0 a donde ; a

2a ..........

20-

40-

2

4

1

2 ≠====

Son de la forma: Q = { x / x = q

p , p ,q � I }

Todo número entero es racional, pero no todo racional es entero.

Los números racionales se pueden representar como fracciones decimales periódicas puras o mixtas.

Ejemplo: 1. 0.333333333…. = 3

1

9

3 30. ==

)

2. 0.32222222….. = 90

29

90

3 - 32 20.3 ==

)

3. NUMEROS IRRACIONALES ( Q ' ).- Resultan de extraer raíces de índice par a cantidades naturales inexactas.

Ejemplo: ....1.7321.... 3 ; .....1.4142.... 2 ==

A las constantes numéricas se les considera también números irracionales.

Ejemplo: e = 2.7182818…………. ; .............3.14159266 =π

4. NUMEROS REALES ( R ) .- Resultan de la unión de los números racionales e irracionales; de la forma Q ∪ Q'

.

AXIOMAS DE LOS NUMEROS REALES:

1. AXIOMAS DE LA ADICION.-

1.1 CLAUSURA O EXISTENCIA: Si a, b � R → a + b � R

1.2 CONMUTATIVA: Si a, b � R → a + b = b + a

1.3 ASOCIATIVA: Si a, b y c � R → ( a + b ) + c = a + ( b + c )

1.4 EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO ADITIVO: Existe el elemento 0 � R, para

todo a � R → a + 0 = a

1.5 EXISTENCIA DEL INVERSO ADITIVO U OPUESTO: Para todo a � R , existe el

elemento ( - a ) � R , tal que a + ( - a ) = 0

33

2. AXIOMAS DE LA MULTIPLICACION.-

2.1 CLAUSURA O EXISTENCIA: Si a, b � R → a . b � R

2.2 CONMUTATIVA: Si a, b � R → a . b = b . a

2.3 ASOCIATIVA: Si a, b y c � R → ( a . b ) . c = a . ( b . c )

2.4 EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO MULTIPLICATIVO: Existe el elemento

1 � R, para todo a � R → a .1 = 1.a = a

2.5 EXISTENCIA DEL INVERSO MULTIPLICATIVO O RECIPROCO: Para todo a � R

– { 0 } , existe el elemento ( 1/ a ) � R , tal que a . ( 1/ a ) = 1

2.6 AXIOMA DE DISTRIBUCION DE LA MULTIPLICACION RESPECT O A LA

ADICION: Si a, b, c � R → a. ( b + c ) = a . b + a . c


PRODUCTOS NOTABLES.- Reciben el nombre de productos notables aquellos productos que se pueden determinar

directamente sin necesidad de efectuar la operación de la multiplicación algebraica.

PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES:

1. BINOMIO AL CUADRADO.-

1.1 BINOMIO SUMA AL CUADRADO:

( a + b )² = a² + 2 ab + b²

1.2 BINOMIO DIFERENCIA AL CUADRADO:

( a – b )² = a² - 2 ab + b²

OBSERVACION:

443442143421

perfecto cuadrado Trinomio

22

cuadrado al suma Binomio

2 b 2ab a ) b a ( ++=+

RECONOCIMIENTO DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:

1. Se saca raíz cuadrada a los extremos.

2. El doble producto de los resultados debe coincidir con el término central.

2. SUMA DIFERENCIAL.- ( DIFERENCIA DE CUADRADOS )

( a + b ) . ( a – b ) = a² - b²

3. IDENTIDADES DE LEGENDRE.-

1.- ( a + b ) ² + ( a – b ) ² = 2( a² + b² )

2. ( a + b ) ² - ( a – b ) ² = 4ab

34

3. ( a + b )⁴⁴⁴⁴ - ( a – b )⁴⁴⁴⁴ = 8ab ( a² + b² )

4. BINOMIO AL CUBO.-

4.1 BINOMIO SUMA AL CUBO:

( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

4.2 BINOMIO DIFERENCIA AL CUBO:

( a – b )³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

5. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS.-

a³ + b³ = ( a + b ) ( a² - ab + b² )

a³ - b³ = ( a - b ) ( a² + ab + b² )

GENERAL:

) b ba a )( b a ( b a 2nnm2mnm3n3m +±=± m

6. TRINOMIO AL CUADRADO.-

( a + b + c )² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

7. TRINOMIO AL CUBO.-

( a + b + c ) ³³³³ = a³³³³+ b³³³³ + c³³³³ + 3(a+b)(a+c)(b+c)

35


1.1.1.1. ¿ 21 de que número es el 7% ?

a) 300 b) 120 c) 25 d) 310 e) 147

2.2.2.2. Si x es 5% de r y r es 20% de s, ¿Qué porcentaje de s es x?

a) 1 % b) 4% c) 10 % d) 40% e) 100%

3.3.3.3. El por ciento de es:

a) 0.05 b) 0.25 c) 0.5 d) 2.5 e) 25

4.4.4.4. Dos descuentos sucesivos de 20% y 10%, equivalen a uno del:

a) 72% b) 82% c) 28% d) 18% e) 30%

5.5.5.5. Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a uno del:

a) 50% b) 10% c) 56% d) 25% e) 75%

6.6.6.6. A una reunión bailable asistieron 120 personas, si todos bailan a excepción de 26 mujeres. ¿ Cuántas mujeres hay en total ?

a) 26 b) 37 c) 83 d) 91 e) 73

7.7.7.7. ¿Cuál es el promedio de todos los múltiplos de 10 desde 10 hasta 190 incluyendo los extremos?

a) 90 b) 95 c) 100 d) 105 e) 110

8.8.8.8. El promedio de 3 enteros positivos diferentes es 12. si el primero de estos enteros es 9 veces el segundo entero, ¿Cuál es el menor valor posible para el tercer entero?

a) 6 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

9.9.9.9. El promedio de (0.2) x y (0.3) x es 0.001. El valor de xxxx es:

a) 0.4 b) 0.1 c) 0.002 d) 0.004 e) 0.008 T

10.10.10.10. El promedio de 100 números consecutivos es 69.5 . El número menor es:

a) 20 b) 18 c) 16 d) 24 e) 30

36

11.11.11.11. El promedio de 50 números es 62.1; se retiran 5 números cuyo promedio es 18. ¿ En cuanto varía el promedio ?

a) 4.9 b) 4.8 c) 4.6 d) 4.3 e) 4.2

12.12.12.12. El promedio de edad de 18 hombres es 16 años y la edad promedio de 12 mujeres es 14 años. El promedio del salón será:

a) 15.2 b) 15.1 c) 18 d) 17.2 e) 16.8

13.13.13.13. La suma de los n primeros múltiplos positivos de 6 es:

a) 6n(n+1) b) 3n(n+1) c) 4n(n+1) d) 2n(n+1) e) n(n+1)

14.14.14.14. ¿ Cuántos números pares de tres cifras existen ?

a) 300 b) 350 c) 400 d) 450 e) 500

15.15.15.15. ¿ Cuántos números de tres cifras no tienen ninguna cifra impar en su escritura ?

a) 300 b) 250 c) 200 d) 150 e) 100

16.16.16.16. ¿ Cuántos números de tres cifras tienen, por lo menos una cifra par y otra impar ?. Considere el cero como cifra par.

a) 675 b) 375 c) 475 d) 575 e) 275

17.17.17.17. ¿ Cuántos números entre 200 y 400 comienzan o terminan con 3 ?

a) 20 b) 60 c) 109 d) 110 e) 120

18.18.18.18. Si n es un entero positivo, ¿cuál de los siguientes NO puede ser el dígito de las unidades de n3 ?

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

19.19.19.19. El número de cifras del producto 3² . 4⁹ . 5¹⁷ . 7 es:

a) 18 b) 18 c) 20 d) 21 e) 22

20.20.20.20. Si zxyz= , ¿Cuál de las siguientes afirmaciones debe ser verdad?

a) y=0 b) z=0 c) xy=1 d) y=1 e) z=1

37

21.21.21.21. Si P.Q.R=1, R.S.T=0 y S.P.R=0, ¿Cuál de los siguientes factores debe ser cero?

a) P b) Q c) R d) S e) T

22.22.22.22. En la suma siguiente, A, B, C y D representan dígitos diferentes, ¿ La suma de A, B, C y D es? 5A + BC D43

a) 23 b) 22 c) 18 d) 16 e) 14

23.23.23.23. Si el producto de 6 enteros es negativo, ¿Cómo máximo cuántos de los enteros pueden ser negativos?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

24.24.24.24. Si n es par, ¿cuál de los siguientes literales no puede ser impar? i.- n+3 j.- 3n k.- n2-1

a) solamente i b) solamente j c) solamente k d) solamente i y j e) i, j y k

25.25.25.25. ¿Cuál de los siguientes números puede ser usado para mostrar que no todos los números primos son impares?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

26.26.26.26. ¿ El número 0.127 es que tanto más grande que 1/8 ?

a) 1/2 b) 2/10 c) 1/50 d) 1/500 e) 2/500

27.27.27.27. ¿Cuál es el mayor de 3 enteros consecutivos cuya suma es 24?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

28.28.28.28. Un triángulo tiene un perímetro de 13. Los dos lados más cortos tienen longitudes enteras iguales a x y 1+x . ¿Cuál de los siguientes puede ser la longitud del otro lado?

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

29.29.29.29. Un bloque cúbico de metal pesa 6 libras, ¿Cuánto pesará un cubo del mismo metal si sus lados son el doble de largos?

a) 48 b) 32 c) 24 d) 18 e) 12

38

30.30.30.30. Cuando x se divide para 9, el residuo es 6 y cuando x se divide para 6 el residuo es 0. ¿Cuál de los siguientes números puede ser x?

a) 36 b) 100 c) 106 d) 108 e) 114

31.31.31.31. Si x/y es un entero, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) x e y son enteros b) x es un entero c) ya sea x o y es negativo d) y/x es un entero e) x=ny donde n es un entero

32.32.32.32. Con referencia a la tabla, ¿cuál de los siguientes describe la relación entre A y B?

A B 2 5

3 10

4 17

5 26

a) 4+= AB b) 12 += AB c) 13 −= AB d) 12 += AB e) 12 −= AB

33.33.33.33. La suma de 3 enteros positivos consecutivos es x. ¿Cuál es el valor del más pequeño de los enteros?

a) (x-6)/3 b) (x+6)/3 c) (x/3)-1 d) (x/3)+6 e) 3x-6

34.34.34.34. De los siguientes números: 17, 24, 41, 61, 63, 76 ; ¿ Cuánto suman los números primos ?

a) 141 b) 119 c) 121 d) 145 e) 58

35.35.35.35. La distancia desde el pueblo A al pueblo B es 5 kilómetros. C está a 6 kilómetros desde B.

Si se afirma que la distancia desde A a C puede ser:

i) 11 j) 1 k) 7 Lo anterior es vedad para:

a) solo i b) solo j c) solo i y j d) solo j y k e) i, j y k

36.36.36.36. Si yx =2 ¿Cuál de los siguientes literales debe ser igual a 12 +x ?

a) y+1 b) y+2 c) 2y d) 4y e) 2

2y

39

37.37.37.37. Un cubo perfecto es un entero cuya raíz cúbica es un entero. Por ejemplo: 27, 64 y 125 son cubos perfectos. Si p y q son cubos perfectos, ¿Cuál de los siguientes no es necesariamente un cubo perfecto?

a) 8p b) pq c) pq+27 d) -p e) (pq)⁶

38.38.38.38. El resultado de (65÷64)/5 es:

a) 1/5 b) 6/5 c) 63 d) 64/5 e) 64

39.39.39.39. -20, -16, -12, -8… En la secuencia anterior, cada término luego del primero es 4 más grande que el término anterior. ¿Cuál de los siguientes no puede ser un término de la secuencia?

a) 0 b) 200 c) 440 d) 668 e) 762

40.40.40.40. De los siguientes cinco números, ¿cuál es mayor que 1/2?

a) 2/5 b) 4/7 c) 4/9 d) 5/11 e) 6/13

41.41.41.41. Luego de que una pelota es soltada ésta siempre rebota 2/5 de la altura anterior. Después de su

primer rebote la pelota alcanza una altura de 125cm. ¿Qué tan alto (en cm.) llegará la pelota luego de su cuarto rebote?

a) 20 b) 15 c) 8 d) 5 e) 3.2

42.42.42.42. Un vestido que se encuentra de realización en una tienda está marcado en $D. Durante este tiempo

su precio fue rebajado 15%, los empleados pueden comprar las prendas bajo descuento con un 10% adicional del precio ya descontado. Si uno de los empleados compra el vestido ¿cuánto pagará por el vestido en términos de D?

a) 0.75D b) 0.76D c) 0.765D d) 0.775D e) 0.805D

43.43.43.43. El resultado de ( ) ( ) ( )104102103 24 ×+×+× es:

a) 302400 b) 32400 c) 30240 d) 3240 e) 324

44.44.44.44. Si x/y es un entero, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) x y y son enteros b) x es un entero c) ya sea x o y es negativo d) y/x es un entero e) nyx = donde n es un entero

40

45.45.45.45. Si x, y, z son números reales, ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

a) x (y – z) = xy – xz b) x (y – z) = x (z – y) c) x (y + z) = (y + z) x d) x (y + z) = x (z + y) e) x (y + z) = xy + xz

46.46.46.46. En el conjunto de los números reales.¿Cuál es la factorización completa de la expresión x² - 4?

a) x⁴ - 4 b) (x² - 2) (x² + 2) c) (x² - 2) (x² + 8)

d) (x - 2 ) (x + 2 ) (x² + 2) e) (x - 2 ) (x + 2 ) (x + 4)

47. Al simplificar ba

ba

+− 22

se tiene:

a) 122 ++ ba b) ba + c) ba − d) ab

e) No se puede simplificar más.

48.48.48.48. Si ( )RrR

V+

= 12 entonces R es:

a) V

Vr

−12 b)

12

VVr + c) 12−Vr d) 12−

r

V e)

( )12

1+rV

49.49.49.49. ¿ Cuál de los siguientes términos no pertenecen al producto de los polinomios ( x² + 2x –1 ) y (x² - 4x + 3 ) ?

a) x⁴ b) 2x² c) -6x³ d) 10x e) -3

50.50.50.50. En el conjunto de los números reales.¿Cuál es la factorización completa de la expresión x⁴ - 4 ?

a) x⁴ - 4 b) ( x² - 2 ) (x² + 2 ) c) ( x² - 2 ) (x² + 8 )

d) (x - 2 ) (x + 2 ) (x² + 2 ) e) (x - 2 ) (x + 2 ) (x + 4 )

51.51.51.51. ¿ Para qué valores de x y y se cumple la siguiente relación ?

x – y + i = 3 + ( x + y ) i , si i = 1−

a) ( 4, -1 ) b) ( 1, 3 ) c) ( 3, -1 ) d) ( 2, -1 ) e) ( 2, 4 )

41

52.52.52.52. Dados dos polinomios P( x ) y Q( x ), donde los grados de los polinomios

{ [ P(x)] ². Q(x) ] } y { [ P(x) ] ³ ÷ Q(x) ] son 27 y 23 respectivamente, entonces el grado de P( x ) es:

a) 2 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12

53.53.53.53. Dado el siguiente enunciado. El sistema de los números enteros tiene para la adición, un elemento identidad, y cada número entero tiene un inverso aditivo, es válido solamente para:

a) Los números naturales. b) Los números enteros.

c) Los números enteros negativos. d) Los números naturales y los números enteros.


54.54.54.54. Si n es un entero, ¿ Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera ?

1. Si n es impar, ( n + 1 )² es par. 2. Si n es par, ( n – 1 )² es impar.

3. Si n es par, 1 -n es irracional.

a) Unicamente 2. b) Unicamente 1. c) 1. y 2. d) 1. , 2. y 3. e) 1. y 3.

55.55.55.55. En una división de dos polinomios de una sola variable, se sabe que el grado del dividendo es 9 y el residuo es de tercer grado. ¿ Cuál es el máximo grado que puede tomar el cociente ?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

56.56.56.56. Al simplificar la siguiente expresión, 44

3333

b - a

) b a ( ) b - a ( ) b - a ( ) b a ( +++

se obtiene:

a) 2 b) 4 c) 1 d) 3 e) 5

57.57.57.57. Si a y x son enteros positivos, ¿ Cuál de los siguientes números es siempre un entero ?

a) ax

1 b) a-x

1 c) ax

2 d) -

ax

1 e) 2( −) x a

42

58.58.58.58. La expresión a³ - a⁻³ es igual a:

a) ( a – 1/a ) ( a² + 1 + 1/ a² ) b) ( 1/a – a ) (a² - 1 + 1/ a² )

c) ( a – 1/a ) ( a² - 1 + 1/ a² ) d) ( 1/a – a ) (1/ a² + 1 + a² )

e) Ninguna de estas respuestas.

59.59.59.59. Si ( x + 5 )² = ( y + 1 )³, ¿ Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera ?

1. Cuando x = 3 , y es igual a x. 2. Si x = 1 , y = 5. 3. Si x = 0 , y = 0.

a) Unicamente 3. b) Unicamante 2. c) Unicamente 1. d) 1. y 2. e) 1. y 3.

60.60.60.60. Si los polinomios P(x) = 2( x + 7) y, Q(x) = m( x + 2) + n( x – 3) son idénticos. Entonces m.n es:

a) -2 b) -8 c) -4 d) 2 e) 1

61.61.61.61. La forma simplificada de [( x² - 3x + 2 ) / ( x² - 2x – 3 )] . [( x² - x – 6 ) / ( x² - 4 )] es:

a) ( x – 1 ) / ( x + 1 ) b) - 1 c) x² - 1 d) 1 e) x

62.62.62.62. Si x es un número positivo, ¿ Cuál de las siguientes expresiones es la mayor ?

a) x / ( x + 2 ) b) ( x + 1 ) / x c) x / ( x + 1 )

d) ( x + 1 ) / ( x – 1 ) e) ( x + 2 ) / ( x + 3 )

63.63.63.63. 36x² y 4y²z² , son el primero y último término de un trinomio que es cuadrado perfecto.

¿ Cuál de los siguientes es el término medio ?

a) ± 24xyz b) ± 2xyz c) ± 12x²y²z² d) ± 12xyz e) ± 24x²y²z²

64.64.64.64. Si k + 1 representa un entero impar, ¿ Cuál de los siguientes es un entero impar ?

a) 2 ( k + 1 ) b) k ( k + 1 ) c) ( k + 1 )² - 1

d) ( k + 1 ) ( k – 1 ) e) ( k + 1 ) ( k + 2 )

65.65.65.65. La suma de los coeficientes numéricos en el desarrollo del binomio ( a + b )⁶ es:

a) 32 b) 16 c) 64 d) 48 e) 7

43

66.66.66.66. Si x⁻¹ - 1 se divide por x – 1 el cociente es :

a) 1 b) 1 / ( x – 1 ) c) - 1 / ( x – 1 ) d) 1 / x e) - 1 / x

67.67.67.67. Una prueba tiene 40 preguntas. Cada pregunta correcta vale un punto, y se quitan dos puntos por cada pregunta que contesta mal. No se quitan ni se aumentan puntos por las preguntas que deje de contestar. Si a un estudiante se le da una nota de 25, y tiene 5 respuestas malas, ¿ Qué parte de las preguntas del test contestó ?

a) 1 / 3 b) 4 / 5 c) 7 / 8 d) 3 / 4 e) 3 / 5

68.68.68.68. Si de 100 huevos se rompe el 4 % , y el 25 % salen defectuosos ¿Cuántos huevos se pueden vender?

a) 96 b) 62 c) 71 d) 77 e) 72

69.69.69.69. Si x se incrementa en 25 %, x² se aumenta en (?) % :

a) 25.5 % b) 50.25 % c) 56.25 % d) 156.25 % e) 6.5 %

70.70.70.70. ¿ Cuál de las siguientes fracciones es la más cercana a 1 / 4 ?:

a) 1 / 5 b) 3 / 10 c) 3 / 200 d) 7 / 20 e) 4 / 15

71.71.71.71. Una mezcla de 17 partes de la sustancia A, 3 partes de la sustancia B y 4 partes de la sustancia C pesan 72 gramos. ¿ Cuántos gramos de sustancia B hay en la mezcla ?

a) 3.4 b) 9 c) 12 d) 17 e) 51

72.72.72.72. Una colección filatélica contiene estampillas de correo Alemanas, Americanas e Indias. Si la razón de estampillas Americanas a Indias es 5 a 2 y la razón de estampillas Alemanas a Indias es 5 a 1; ¿ Cuál es la razón de estampillas Americanas a Alemanas ?

a) 1:5 b) 5:10 c) 2:15 d) 2:20 e) 2:12

73.73.73.73. Una pintura debe ser preparada con 2 partes de pintura pura y 1.5 partes de agua. El pintor por error ha preparado 6 litros de pintura la cual es mitad agua y mitad pintura pura. ¿Qué debe ser adicionado para hacer las proporciones de la mezcla correctas?

a) 1 litro de pintura b) 1 litro de agua c) ½ litro de agua y 1 litro de pintura

d) ½ de pintura y 1 litro de agua e) ½ de pintura

44

74.74.74.74. Si con x = -1, la expresión ax⁵ + bx³ - 4 es igual a 0 ; ¿ Cuál es su valor cuando x = 1 ?

a) - 4 b) - 8 c) 0 d) 6 e) 1

75.75.75.75. Si 2xy 4y y4x 2422 =+ x , entonces xy² = ?:

a) 1 b) 2xy c) x = y d) 0 e) 2

76.76.76.76. Al racionalizar el numerador en la expresión 2 a

a - ax

+ se tiene:

a) ) 2 a ( ) 2 a(

) a - x ( a

++ b)

a2 xa

a -ax 2

+

c) 2a ax2 aa xa

a -ax 2

+++ d)

a2 - xa

a ax 2+


77.77.77.77. Si i = 1− , el resultado de i 2 1

i 3 2

++

es :

a)3

6 2 +− b) i

3

6 2 + c) i

3

2 - 3

d) i 3

2 - 3

3

6 2 ++ e) i

3

6 2

3

2 - 3 ++

78.78.78.78. Al factorizar x² - 2xy + y² - z² se obtiene :

a) ( x + y ) ( x + y ) b) ( x – y + z ) ( x – y – z ) c) ( x + y ) ( x + z ) d) ( x + y ) ( x + y – z ) e) ( x – z ) ( x + y – z )

79.79.79.79. Un padre cumple 71 años y su hijo 34 años el mismo día. El padre tendrá el doble de la edad de su hijo dentro de:

a) 2 años. b) 3 años. c) 4 años. d) 5 años. e) Ninguno de los anteriores.

80.80.80.80. Un ciclista en una hora de competencia gasta 8 calorías por cada kilogramo de peso. El número de calorías que gastará en una competencia de 4 horas si su peso es 55 kilogramos, es:

a) 440 calorías. b) 880 calorías. c) 1760 calorías. d) 3520 calorías.

45


81.81.81.81. En una caja de cubos de azúcar los cubos están empacados por capas. Una capa contiene 18 cubos y la caja 126 cubos. El número de capas de cubos de azúcar que hay en la caja es:


82.82.82.82. La expresión algebraica 2 - x

x tiene valor numérico real:

a) Para todos los valores reales de x. b) Para todo valor real de x mayor que 2.

c) Para todo valor real de x menor que 2. d) Para todo valor real de x distinto de 2.


83.83.83.83. El grado de una suma de polinomios es:

a) La suma de los grados de los polinomios que se suman.

b) El grado del polinomio sumando los de menor grado.

c) El grado de los polinomios sumandos de menor grado.

d) Igual o menor que el grado de los sumandos de mayor grado.


84.84.84.84. De las siguientes fracciones: 15

11 ;

30

19 ;

20

11 ;

5

3 ;

12

7 . La suma de los términos de la mayor

de ellas, es:

a) 19 b) 8 c) 31 d) 49 e) 26

85.85.85.85. El valor de n.( nn ) + n , cuando n = 2 es:


86.86.86.86. El valor de x que cumple la igualdad 1 x 4 169 3 += es:


87.87.87.87. Si { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } son los divisores de 12. ¿Cuántos divisores tiene 24?

46


88.88.88.88. Cuatro veces la cuarta parte de la edad de una persona es 32 años. La edad de la persona es:

a) 2 años. b) 16 años. c) 32 años. d) 64 años. e) Ninguno de los anteriores.

89.89.89.89. Si un número se multiplica por 16.0 el resultado es 40, entonces dicho número es:

a) 10 b) 100 c) 1 / 10 d) 1 / 100 e) Ninguno de los anteriores.

90.90.90.90. En un colegio mixto hay p estudiantes en total, distribuidos en c cursos. Si hay r hombres por curso, ¿Cuántas mujeres hay en el colegio?

a) p – r – c b) p – ( r – c ) c) c r – p d) p – r c e) Ninguno de los anteriores.

91.91.91.91. Uno de los siguientes números no es racional:

a) 28 b) 13.6666…. c) 12.807978777675… d) 3

27

191− e) 12 / 5

92.92.92.92. Un obrero gasta 28 días para realizar una obra completamente. ¿Qué parte de la obra realiza en cuatro días y medio?

a) 1 / 7 b) 6 / 56 c) 14 / 56 d) 8 / 56 e) Ninguno de los anteriores.

93.93.93.93. El resultado de multiplicar los polinomios ( a + b ) y ( a – b ) es el polinomio:

a) a² + b² + 2ab b) 2a + b² c) a² - b² d) a² + b² e) Ninguno de los anteriores.

94.94.94.94. El polinomio 2x³ - 3x² descompuesto en factores es:

a) x² ( 2 – 3x ) b) 2x ( x – 3 ) c) 3x ( 2 – x ) d) x² ( 2x – 3 ) e) Ninguno de los anteriores.

95.95.95.95. La siguiente expresión 3x ( a + b ) – 2y ( a + b ) en factores, es:

a) ( 3x – 2y ) ( a + b ) b) x ( a + b ) ( 3 – 2y ) c) 3x [ ( a + b ) – 2y ]

d) y ( a + b ) ( 3x – 2 ) e) Ninguno de los anteriores.

96.96.96.96. Al factorizar la expresión a⁴ - 80 - a⁰ se obtiene:

a) ( a + 3 ) ( a – 3 ) ( a² - 9 ) b) ( a² - 10 ) ( a² + 8 )

c) ( a + 3 ) ( a – 3 ) ( a² + 9 ) d) ( a + 4 ) ( a – 3 ) ( a² + 9 )

47


97.97.97.97. Si la expresión x⁸ + ax² + b , es divisible por ( x² - 1 ) ( x – 1 ) , el valor de a + b es:

a) -6 b) -4 c) -12 d) 6 e) -1

98.98.98.98. La simplificación de la fracción: b - a

ab2ba22

22 ++ es:

a) ( a + b ) / ( a² - b² ) b) 2ab / ab c) ( a + b ) / ( a – b )

d) ( a – b ) / ( a + b ) e) Ninguno de los anteriores.

99.99.99.99. El resultado de ( )232 − es:

a) 625 − b) 65 − c) 621− d) 25 − e) 1

100.100.100.100. La suma 30303030 2222 +++ es:

a) 1208 b) 308 c) 322 d) 302 e) 262

101. 101. 101. 101. Si: T = 22

2

110

1.......

40

1

30

1

20

1

12

1 ++++++ ; su valor es:

a) 4 / 3 b) 2 / 3 c) 5 / 3 d) 1 / 3 e) 5 / 2

102. 102. 102. 102. Si: S = 0.1 + 0.3 + 0.5 + …….. + 1.9 ; el valor de S es:

a) 100 b) 10 c) 190 / 10 d) 15 e) 19

103.103.103.103. Si: R = 0.01 + 0.04 + 0.09 + ……. + 1.44 , entonces su valor es:

a) 6 b) 13 / 2 c) 7 d) 15 / 2 e) 9

104.104.104.104. Si: nn 1 n 10

3 r r +=+ ; el valor de r 10 - r 8 es:

a) 3.3 x 10 8 - b) 2.3 x 10 8 - c) 1.3 x 10 8 - d) 4.3 x 10 8 - e) Ninguna de las anteriores.

48

105. 105. 105. 105. Una toalla cuadrada de 0.4m de lado cuesta $ 4. ¿Cuánto costaría si tuviera 0.2m más de lado?

a) 6 b) 13 c) 7 d) 15 e) 9

106. 106. 106. 106. Dado que 187.011

b

5

a =+ ; entonces a + b es:

a) 6 b) 2 c) 7 d) 5 e) 9

107. 107. 107. 107. Al simplificar: )2n ( ! ) 1 -2n (

! )2n ( se obtiene:

a) 2 b) 0 c) 1 d) n e) –n

108. 108. 108. 108. El valor de E = 2 - 1 - 2

1

1 - 2

) 3 () 4 (

) 3 . 2 ( es:

a) 3 b) -3 c) 1 d) -1 e) 2

109. 109. 109. 109. El resultado de: E = 3)2233)(223 3 ( −−+ es:

a) 6 b) 4 c) 7 d) 3 e) 9

110. 110. 110. 110. Al resolver: E = 8

22 -3 - 223

+ se obtiene:


111. 111. 111. 111. Al calcular: E = ( a + b + 3 ) ( a + b – 3 ) – ( a – b )² + 9 se obtiene:

a) a + b b) a – b c) 3 ab d) a / b e) Ninguno de los anteriores.

112. 112. 112. 112. Luego de simplificar: M = 1xx

1x

1x x

1x2

3

2

3

++−+

+−+

, se obtiene:

a) 2x b) x³ c) x + 1 d) x – 1 e) Ninguno de los anteriores.

113.113.113.113. Si: A = ( x + 8)( x + 9)–( x + 7)( x +10); B = ( x – 5) ( x – 4) – ( x – 6) ( x – 3), el producto A . B es:


49

114.114.114.114. Para hallar el valor de la siguiente expresión: F = x² - 5x + y² - 2xy + 5y + 1 ; la información brindada: I.- x + y = 41 ; II.- x – y = 17 , será:

a) La información I.- es suficiente. b) La información II.- es suficiente.

c) Es necesario utilizar ambas informaciones.

d) Cada una de las informaciones por separado, es suficiente

e) Las informaciones dadas son insuficientes.

115.115.115.115. Al factorizar el polinomio x² + 2xy + y² - 81 en los enteros, la suma de los coeficientes del factor primo con mayor término independiente, es:

a) – 8 b) 9 c) 10 d) – 9 e) 11

116.116.116.116. Si a² + b² = 30 y a + b = 6 ; el valor de ( a – b )² es:

a) 46 b) 54 c) 30 d) 16 e) 60

117.117.117.117. Si a²b³c³ es un número negativo, ¿Cuál de los siguientes productos resulta siempre negativo?

a) bc b) b²c c) ac d) ab e) bc²

118.118.118.118. El cuadrado de : 3232 −++ , es:


119. 119. 119. 119. Si: 2a

1 a

2

=

+ , luego ;

+ 33

a

1 a , es igual a:

a) 3 b) 2 c) - 2 d) – 3 e) 3

120.120.120.120. El recíproco de 75108− es:

a) 2

2 b)

7

7 c)

5

5 d)

3

3 e)

6

6

50


DEFINICION.- Se llama así a la igualdad entre dos expresiones matemáticas donde a las variables que aparecen en la igualdad se les denomina incógnitas y a los valores que verifican la igualdad se les llama soluciones de la ecuación, las cuales forman el conjunto solución ( C S ).

Ejemplo: Sea la ecuación: x(x-1) = x + 3 ; Si x = 3 → 3(3-1) = 3+3 → 6 = 6

Si x = -1 → -1(-1-1) = -1+3 → 2 = 2

Como 3 y -1 verifican la igualdad, son las soluciones de la ecuación, entonces el CS = { -1,3}

No se debe confundir con la identidad algebraica , pues ésta cumple para todos los valores de sus letras.

Ejemplos: 1. ( a + b )² = a² + 2ab + b²

2. a² - b² = ( a + b ) ( a – b )

Resolver una ecuación es hallar los valores de sus incógnitas que hacen cumplir la ecuación, llamándose las soluciones.

CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES.- Se clasifican de acuerdo a los siguientes aspectos:

1. Atendiendo a :

1.1 AL GRADO.- Pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer grado, etc.

1.2 A LOS COEFICIENTES.- Pueden ser numéricas o literales.

1.3 A LAS INCOGNITAS.- Pueden ser de una, dos, tres incógnitas, etc.

2. De acuerdo al tipo de solución pueden ser compatibles e incompatibles.

2.1 ECUACIONES COMPATIBLES.- Cuando admiten soluciones, y estas se dividen en:

2.1.1 Ecuaciones determinadas.- Cuando tienen un número limitado de soluciones.

Ejemplo: Si (x-2)(x+3)(x-1) = 0 → CS = { -3, 1, 2 }

2.1.2 Ecuaciones indeterminadas.- Cuando tienen un número ilimitado de soluciones.

Ejemplo: Si ( x+1 )² +4 = x² + 2x + 5 , se verifica para cualquier valore de x .

2.2 ECUACIONES INCOMPATIBLES O ABSURDAS.- Cuando no admiten solución, el

conjunto solución es el conjunto vacío.

Ejemplo: absurdoun es 6 1- 6 3x 1 -3x 2 x 3

1 -3x =→+=→+= .

51

Luego el CS = { }

ECUACIONES EQUIVALENTES.- Dos o más ecuaciones; se dice que son equivalentes si tienen las mismas soluciones; es decir que las soluciones de la una, son también soluciones de las otras.

Ejemplo: 1. x² - 6x + 9 = 0 → C S = { 3 }

2. 6x + 3 = 4x + 9 → C S = { 3 } ; son ecuaciones equivalentes ya que tienen el mismo conjunto solución.

Si dos ecuaciones son equivalentes, no necesariamente deben ser ellas del mismo grado.

E C U A C I O N E S L I N E A L E S

Son aquellas ecuaciones polinomiales, que pueden reducirse a la forma general:

ax + b = 0 ;∀ a ≠ 0 cuya solución es: x = -b / a

DISCUSIÓN DE LA SOLUCION.-

1. Si a ≠ 0 y b ≠ 0 , se tendrá: x = a

b− ; valor real.

2. Si a ≠ 0 y b = 0 , se tendrá: x = 0 ; valor real.

3. Si a = 0 y b = 0 , se tendrá: x = indeterminado.

4. Si a = 0 y b ≠ 0 , se tendrá que no hay solución, o es una ecuación incompatible o absurda.

E C U A C I O N E S C U A D R A T I C A S

FORMA GENERAL.-

Una ecuación cuadrática o de segundo grado con una incógnita es de la forma:

ax² + bx + c = 0 ; ∀ a ≠ 0

Esta forma se denomina completa, cuando a, b, c son diferentes de cero, pero cuando b ó c, ó ambas son cero, se denomina incompleta.

RESOLUCION DE UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA.-

Se resuelve mediante dos formas:

a.- Factorizando mediante el aspa simple.

b.- Aplicando la fórmula general.

Ejemplo: Resolver la ecuación: 2 13 2x - x

5 3x - 4x2

2

=+

+

52

a.- Operando e igualando a cero, se tiene:

4x² - 3x + 5 = 2x² - 4x + 26 ; 2x² + x – 21 = 0 ; ahora factorizando: ( 2x + 7 ) ( x – 3 ) = 0

Igualando cada factor a cero:

Si: 2x + 7 = 0 → x1= - 7 / 2

Si: x – 3 = 0 → x2 = 3

b.- Cuando la factorización no es inmediata, se aplica la fórmula.

DEDUCCION DE LA FORMULA GENERAL.-

De la ecuación: ax² + bx + c = 0 ; multiplicando ambos miembros por 4a se tiene:

4a²x² + 4abx + 4ac = 0 ; ahora si sumamos -4ac + b² a los dos miembros se tiene:

4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac ; de aquí se tiene : ( 2ax + b )² = b² - 4ac ; que luego de

operar: 2ax + b = 4ac - b2±

2ax = - b 4ac - b2± ; y finalmente: 2a

4ac - b b - x

2±=

De donde se obtienen las soluciones:

2a

4ac - b b - x

2

1

+=

2a

4ac - b b - x

2

2

−=

Ejemplo: Resolver la ecuación: 2x² - 3x – 2 = 0

Para resolver la ecuación dada por la fórmula, se observa que: a=2 , b= -3 , c= -2 , entonces se tiene:

4

53

4

253

4

1693

2x2

x2x(-2)433x

2 ±=±=+±=−±

= , de donde:

DISCUSIÓN DE LAS RAICES DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO:

Las raíces de la ecuación de segundo grado dependen de la cantidad subradical que se denomina DISCRIMINANTE

2

1-

4

2-

4

5-3 x

2 4

8

4

53 x

2

1

===

==+=

53

“ D “ D = b² - 4ac

Debido a esto, los casos que se presentan son:

a.- Si D>0 ; las dos raíces son reales y desiguales.

b.- Si D=0 ; las dos raíces son reales e iguales.

c.- Si D<0 ; las dos raíces son complejas y conjugadas.

PROPIEDADES DE LAS RAICES DE UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO:

De la ecuación ax² + bx + c

= 0 se tiene que sus raíces son 21 y x x como se dedujo más arriba .

1. Si sumamos las raíces se tiene: 21 x x + = a

b−

2. Si multiplicamos las raíces se tiene: 21 x. x = a

c

FORMACION DE UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO CONOCIEN DO SUS RAICES:

Si 21 y x x son las raíces de la ecuación que quiere formarse, de acuerdo a las propiedades anteriores, la ecuación

se formará así: x² - ( x1+ 2x )x + ( 21 x. x ) = 0

54


1.1.1.1. La igualdad 1 / ( x – 1 ) = 2 / ( x – 2 ) se satisface para :

a) Ningún valor real de x. b) x = 1 ó x = 2 c) Solamente para x = 1 d) Solamente para x = 2 e) Solamente para x = 0

2.2.2.2. ¿ Para que valor de x la igualdad 1 / x = 1 / ( x – 2 ) es una proposición verdadera ?

a) 0 b) 1 c) - 2 d) 2 e) Ningún valor es posible.

3.3.3.3. ¿ En cuántos doceavos es 1 / 3 de 3 / 4 mayor que 1 / 4 de 2 / 3 ?

a) 12 b) 6 c) 5 d) 1 e) 2

4.4.4.4. y

yx50−= donde x y y son ambos mayor a cero. Si el valor de y es doblado en la ecuación

anterior, el valor de x:

a) decrecerá b) se mantendrá igual c) se incrementará 4 veces d) se doblará e) se incrementará más del doble

5.5.5.5. Si x y y son enteros y 1323 =+ yx , ¿Cuál de los siguientes puede ser el valor de y?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

6.6.6.6. En una fábrica la tercera parte de los trabajadores son mujeres, de las cuales la mitad son casadas, y la mitad de las mujeres casadas tienen niños. Si los 3 / 4 del total de hombres son casados y los 2/3 de los hombres casados tienen niños, ¿ Qué parte de los trabajadores no tienen niños ?

a) 2 / 3 b) 7 / 12 c) 4 / 9 d) 17 / 36 e) 5 / 18

7.7.7.7. La razón de asistencia a un partido de fútbol en un colegio fue de 14 estudiantes por cada profesor. Si estuvieron 3000 personas en el partido, ¿Cuántos de ellos fueron profesores?

a) 1 b) 14 c) 200 d) 256 e) 2800

8.8.8.8. Los valores de x que satisfacen la ecuación 1 + x4

x2 =8 son:

a) 2 + 2i , 2 – 2i b) 4 , 0 c) 2 , - 2 d) 2 + 4i , 2 – 4i e) Ninguno de los anteriores.

55

9.9.9.9. La solución de la ecuación ( 2x – 3 )² + x ( x – 1 ) = 9 es:

a) 13 / 5 , 0 b) -1 , 1 c) 1 / 2 , 7 / 6 d) 3 / 2 , 2 e) Ninguna de las anteriores.

10.10.10.10. Las raíces de una ecuación cuadrática x² + bx + c = 0 son 2 y - 3; la ecuación es :

a) x² - x + 6 = 0 b) x² + x + 2 = 0 c) x² + x – 6 = 0

d) x² - x – 3 = 0 e) Ninguna de las anteriores.

11.11.11.11. Diariamente cada niño de un orfanato recibía 30 caramelos, pero como llegaron 6 niños adicionales, ahora sólo reciben 28 caramelos. Si llegaran 15 niños más, ¿ Cuántos caramelos recibiría cada uno diariamente ?

a) 26 b) 25 c) 24 d) 23 e) 22

12.12.12.12. Un tonel lleno de vino vale $ 7000. Si se sacan de él 80 litros, entonces valen solamente $ 1400. ¿ Cuál es la capacidad del tonel ?


13.13.13.13. Si en 80 lts. de agua de mar hay 2 lbs. de sal. ¿ Cuánta agua pura hay que agregar a estos 80 lts. para que en cada 10 lts. de la mezcla haya 1 / 6 lb. de sal ?

a) 30 lts. b) 50 lts. c) 20 lts. d) 40 lts. e) Ninguna de las anteriores.

14.14.14.14. Diez obreros pueden hacer un trabajo en 24 días; ¿ Cuántos obreros de igual rendimiento se necesitarán para hacer un trabajo 7 veces más considerable en un tiempo 5 veces menor ?

a) 350 b) 370 c) 390 d) 410 e) 340

15.15.15.15. ¿ Dentro de cuántos años la relación de las edades de dos personas será igual a 7 / 6, si sus edades actualmente son de 40 y 30 años ?

a) 40 b) 20 c) 35 d) 30 e) 25

16.16.16.16. En la capilla los alumnos de la escuela están agrupados en bancos de a 9 en cada uno, si se le coloca en bancos de a 8, entonces ocupan 2 bancos más. Entonces el número de alumnos que están presentes serán:


56

17.17.17.17. La diferencia entre el cubo de un número entero y el mismo número es 210. ¿ Cuál es dicho número ?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

18.18.18.18. La suma de dos números es 270 y la raíz cuadrada de uno de ellos es igual a la raíz cuadrada del otro, aumentado en 18. Señale la suma de cifras de uno de los números.

a) 9 b) 8 c) 10 d) 12 e) 7

19.19.19.19. Dos personas trabajando solas pueden terminar una obra en 8 y 10 días respectivamente. ¿ En cuántos días terminarán la obra si trabajan juntas ?

a) 4 días b) 595 días c) 4

95 días d) 5

9

4 días e) Ninguno de los anteriores.

20.20.20.20. Un equipo de baloncesto profesional anotó el 25 % de sus tantos en el primer cuarto del partido, el 15 % en el segundo cuarto y el 40 % en el tercer cuarto. Si el equipo obtuvo 21 puntos en el cuarto final del partido, ¿ Cuántos puntos el equipo obtuvo durante el partido ?

a) 84 b) 96 c) 100 d) 105 e) No se da suficiente información.

21.21.21.21. Las dimensiones interiores de un envase de almacenaje de forma rectangular son de 10 pies de longitud, 6 pies de anchura y 8 pies de alto. Cuando el envase se llena hasta una profundidad de 3 pies, ¿ Cuántos paquetes de trigo caben, si un paquete de trigo ocupa 2 pies cúbicos ?

a) 90 b) 240 c) 360 d) 480 e) 960

22.22.22.22. El último día del año A un padre y su hijo cumplen 30 y 5 años respectivamente. ¿En qué año la edad del hijo será la mitad de la edad del padre?

a) A + 30 b) A + 20 c) A + 15 d) A + 10 e) Ninguno de los anteriores.

23.23.23.23. En la ecuación x + 1 / b = ( 1 + ab ) / b , la solución es cero si:

a) a = 1 b) a = 0 c) b = 0 d) a.b ≠ 0 e) Ninguno de los anteriores.

24.24.24.24. Si x es elemento de los números enteros, la solución de la ecuación 24x + 15 = 60x – 10 es:

a) 25 b) 36 / 5 c) 36 / 25 d) 25 / 36 e) Ninguno de los anteriores.

25.25.25.25. La solución de la ecuación ( x + 2 ) ² - ( x – 2 ) ² = 4x es:

a) 1 b) 0 c) - 2 d) - 1 e) Ninguno de los anteriores.

57

26.26.26.26. La solución de la ecuación 18632

=++ xxx es:


27.27.27.27. En toda ecuación de la forma a x² + bx = 0, una de las soluciones siempre es:

a) x = a b) x = - b c) x = - a / b d) x = 0 e) Ninguno de los anteriores.

28.28.28.28. Si la suma de las raíces de una ecuación es 4 y el producto es 5, la ecuación será:

a) x² - 4x + 5 = 0 b) x² + 4x + 4 = 0 c) 4x² + 5x + 1 = 0

d) 4x² - 5x + 1 = 0 e) Ninguno de los anteriores.

29.29.29.29. El producto de las raíces de la ecuación x² - 5x + 6 = 0 es:

a) 8 b) - 5 c) 6 d) 30 e) Ninguno de los anteriores.

30.30.30.30. La suma de las raíces de la ecuación x² - 5x + 6 = 0 es:

a) - 5 b) 5 c) 5 / 6 d) 11 e) Ninguno de los anteriores.

31.31.31.31. Una persona compró con $ 5550 un cierto número de calculadoras y computadoras, si cada calculadora le costó $ 160 y cada computadora $ 230, ¿ Cuántos artículos compró en total ?

a) 26 b) 29 c) 24 d) 30 e) 21

32.32.32.32. Tres docenas de limones cuestan tantos centavos como limones dan por 1600 centavos. ¿ La docena de limones valdrá ?

a) 80 centavos b) 70 centavos c) 120 centavos d) 90 centavos


33.33.33.33. Cuando se posa una paloma en cada poste hay 3 palomas volando, pero cuando en cada poste se posan 2 palomas, quedan 3 postes libres. ¿ Cuántas palomas hay ?


34.34.34.34. La edad de un niño será dentro de 4 años un cuadrado perfecto. Hace 8 años la edad era la raíz cuadrada de este cuadrado. Qué edad tendrá dentro de 8 años ?

a) 28 b) 26 c) 24 d) 12 e) 20

58

35.35.35.35. Hoy Carlos es 5 años mayor que lo que Juan fue hace 2 años. Juan tiene ahora j años. En términos de j ¿Cuál es la edad de Carlos ahora?

a) j-5 b) j-3 c) j-2 d) j+2 e) j+3

36.36.36.36. Los tres hijos de Pepe tienen ( 2x + 9 ) , ( x + 1 ) y ( x + 2 ) años respectivamente. ¿ Cuántos años tendrán que transcurrir para que la suma de las edades de los últimos sea igual a la del primero ?

a) 5 b) 8 c) 6 d) 9 e) 10

37.37.37.37. La suma de las edades de dos hombres dentro de 9 años será 98 años. Si el mayor tiene 30 años más que el menor. La edad del menor es:

a) 20 b) 24 c) 26 d) 30 e) 25

38.38.38.38. Seis años atrás Anita fue P veces más vieja que Benjamín. Si Anita tiene ahora 17 años, ¿cuántos años tiene Benjamín en términos de P?

a) (11/P)+6 b) (P/11)+6 c) 17-(P/6) d) 17/P e) 11.5P

39.39.39.39. Luis ha comprado 5 esferos y 4 reglas por 70 pesetas. Carlos ha pagado 46 pesetas por 3 esferos y 4 reglas. El valor de cada esfero es:

a) 12 b) 2.5 c) 10 d) 5.5 e) Ninguno de los anteriores.

40.40.40.40. Un pastel grande cuesta lo mismo que tres pequeños. Siete grandes y cuatro pequeños cuestan $ 12 más que cuatro grandes y siete pequeños. Un pastel grande costará:


41.41.41.41. La solución de la ecuación aaaax2 + bbbbx + cccc = 0 ; donde a,b,ca,b,ca,b,ca,b,c son elementos de los números reales con aaaa diferente de cero, indicar cual de las siguientes proposiciones es verdadera.

a) Cuando b²- 4ac es positivo, las dos soluciones son reales e iguales

b) Cuando b²- 4ac es positivo, las dos soluciones son complejas

c) Cuando b²- 4ac es negativo, las dos soluciones son distintas y ninguna de ellas son reales

d) Cuando b²- 4ac es igual a cero, las dos soluciones son iguales y ninguna de ellas es real

59

42.42.42.42. La solución de la ecuación (2x-3)(x)(x+3) = 0 ; para x elemento de los números enteros es el conjunto formado por los elementos:

a) { 0, 2/3, -3} b) { -3, 0, -2/3 } c) { 3/2, 0, -3} d) { 3/2, -3} e) { 0, -3}

43.43.43.43. La solución de la ecuación (2x-3)(x)(x+3) = 0 ; para x elemento de los números racionales es el conjunto formado por los elementos:

a) { 0, 2/3, -3} b) { -3, 0, -2/3 } c) { 3/2, 0, -3} d) { 3/2, -3} e) { 0, -3}

44.44.44.44. La solución de la ecuación ( x² - 2 )( x² - 3 )( x – 2 )( x – 3 ) = 0 ; para x elemento de los números irracionales es el conjunto formado por los elementos:

a) {2,3,-2,-3} b) {2,3} c) { 2 , 3 , 2,3 } d) { -2,-3 } e) Ninguno de los anteriores

45.45.45.45. La solución de la ecuación ( x² + 2 )( x² - 9 ) = 0 ; para x elemento de los números reales es el conjunto formado por :

a) { 0,-2,3, -3} b) { 2,3 } c) { -2,-3 } d) { 2i,-2i,3,-3} e) Ninguno de los anteriores

46.46.46.46. La solución de la ecuación ( x² + 2 )( x² - 9 ) = 0 ; para x elemento de los números complejos es el conjunto formado por los elementos:

a) { 0,-2,3,-3} b) { 2,3 } c) { -2,-3 } d) { 2i, -2i,3,-3} e) Ninguno de los anteriores

47.47.47.47. La solución de la ecuación ( x² +5x +6 )( x – 2 )( x + 3 ) = 0 ; para x elemento de los números naturales es el conjunto formado por los elementos:

a) { -3, -2, 2 } b) { 2, -3 } c) { -3 } d) { -2 } e) { 2 }

48.48.48.48. El valor de K para que las soluciones de la ecuación 2x² -5x +K = 0 sean números complejos es:

a) 0 b) 2 c) -4 d) -25/8 e) >25/8

49.49.49.49. El valor de K para que las soluciones de la ecuación 2x² -kx + 5 = 0 sean iguales es:

a) 40 o -40 b) 40 0 - 40 c) -4 d) 4 e) > 40

50.50.50.50. El valor de K para que las soluciones de la ecuación kx² + 2x - 5 = 0 sean reales diferentes es:

a) > - 0.2 b) 2 c) -2 d) 4 e) > 0.2

60

51.51.51.51. La suma de los valores de k que hacen que la ecuación: (4-k)x² + 2kx +2 =0, tenga sus raíces iguales, es:

a) 2 b) -2 c) 3 d) -3 e) -4

52.52.52.52. La menor raíz de la ecuación (k-2)x² - (2k-1)x + (k-1) = 0 sabiendo que el discriminante es 25 es:

a) 3/4 b) 1/2 c) 4/5 d) 1/5 e) 5/3

53.53.53.53. Si la ecuación (a+4)x² - 1 = (2a+2)x – a presenta única solución, entonces el valor de a a a a es:

a) 5 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

54.54.54.54. Si una de las raíces de la ecuación 2x² - 4x +C² - 2C – 3 = 0 es cero, el valor de C (C<0) C (C<0) C (C<0) C (C<0) es:

a) -2 b) -3 c) -1 d) -4 e) -10

55.55.55.55. Dada la ecuación polinomial : 3x² - 2bx + b = 0 halle bbbb para que una de las raíces sea el triple de la otra.

a) 1 b) 4 c) 2/3 d) -2/3 e) -3/4

56.56.56.56. Si los cuadrados de las dos raíces reales de la ecuación: 2x² + cx + 2(c-1) = 0 suman 23, entonces el valor de cccc es:

a) -6 b) 6 c) 4 d) -4 e) 5

57. Si las raíces de la ecuación x² - 2 x + 1 = 0 son 21 y x x construir la ecuación cuadrática cuyas

raíces sean 22

21 y x x .

a) x² - 1 = 0 b) x² + 1 = 0 c) 2x² + 1 = 0 d) 3x² + 2 = 0 e) x² + 3 = 0

58.58.58.58. En el sistema: 3x + y = 19 y x + 3y = 1 . El valor de 2x + 2y es:

a) 20 b) 18 c) 11 d) 10 e) 5

59.59.59.59. Si 35 =+ pn y 2102 =− nm , ¿Cuál es el valor de pm + ?

a) 2 b) 4 c) 5 d) 7 e) 8

61

60.60.60.60. Si ba += 4 y ba 2123 −= ¿Cuál es el valor de a?

a) 24 b) 12 c) 8 d) 4 e) 3

61.61.61.61. El sistema: 3x + 4y + z = 5

4x + 5y + z = 7

x – y – 2z = 4

a) No admite soluciones. b) Admite tres y sólo tres soluciones. c) Admite una única solución.

d) Admite infinitas soluciones. e) Ninguna de las anteriores.

62.62.62.62. El sistema: x + 4y + 7z = - 6

2x + 3y + 6z = - 4

5x + y – z = 6

Tiene como solución el conjunto:

a) {( -4, 0, 1)} b) {(0, -1, -1)} c) {(1, 0, -1)} d) {(0, 4, -1)} e) Ninguno de los anteriores.

63.63.63.63. El determinante de la matriz:

− 213

052

131

es:

a) 19 b) 16 c) - 9 d) -11 e) Ninguno de los anteriores.

64.64.64.64. Si 5522 =− yx y 11=− yx entonces y es:

a) 8 b) 5 c) 3 d) -8 e) -3

65.65.65.65. Si 5522 =− yx y 11=− yx entonces x es:

a) 8 b) 5 c) 3 d) -3 e) -8

62

66. 66. 66. 66. Si: r

4

4

c

c

b

b

32 === ; el valor de ( r + c ) es:

a) 1 / 2 b) 10 c) 8 d) 14 e) 20

67. 67. 67. 67. Se da kd

c

c

a == , con 2b – d ≉ 0 . Además se sabe que:

6d

2c

3b

1a

++=

++

. Entonces k vale:

a) 1 / 5 b) 1 / 4 c) 1 d) 1 / 2 e) 1 / 3

68. 68. 68. 68. El aceite que contiene un tanque vale 5600 dólares. Si se sacan 40 litros vales solamente 2400 dólares. ¿ Cuántos litros contenía el tanque ?

a) 60 b) 70 c) 80 d) 100 e) 140

69. 69. 69. 69. Si a cada uno de mis sobrinos les doy $ 3 sobraría $ 19, pero si a cada uno les doy $ 5 me sobraría $ 5 . ¿ Cuánto tengo ?

a) $ 7 b) $ 21 c) $ 12 d) $ 42 e) $ 40

70. 70. 70. 70. En una fiesta los hombres y mujeres asistentes están en la relación de 3 a 1. Después de

transcurridas 6 horas se retiran 20 parejas y ocurre que la nueva relación de hombres a mujeres es de 5 a 1. Entonces el número original de asistentes a la fiesta fue de:

a) 160 b) 180 c) 200 d) 220 e) 240

71. 71. 71. 71. En una granja se observa que por cada 2 gallinas hay 3 patos y por cada 5 pavos hay 2 patos. Si se aumentaran 35 gallinas estas serían igual a la cantidad de pavos. El número de patos en el corral es:

a) 18 b) 12 c) 36 d) 20 e) 24

72. 72. 72. 72. En una reunión, el número de mujeres asistentes es al número de mujeres que no bailan como 10 es a 3 . Si todos los hombres estaban bailando y son 20 más que las mujeres que no bailan. ¿ Cuántas personas hay en la reunión ?

a) 70 b) 85 c) 90 d) 35 e) 100

73.73.73.73. Hallar tres cantidades, si éstas suman 690 y están en la relación a 5; 7 y 11. Determinar el doble de la cantidad mayor:


63

74.74.74.74. Dos números se diferencian en 45 unidades. Hallar estos números si se sabe que están en relación como 5 es a 2 .

a) 70 y 115 b) 75 y 30 c) 90 y 45 d) 35 y 80 e) Ninguna de las anteriores.

75.75.75.75. Se tienen 2 barriles con vino de diferente calidad. El primero contiene 20 litros y el otro 30 litros. Se saca de cada barril la misma cantidad y se hecha en el primero lo que se sacó del segundo y viceversa. ¿Qué cantidad de vino ha pasado de un barril a otro, si el contenido de los dos resultó de la misma calidad?

a) 20 b) 18 c) 14 d) 12 e) 10

76.76.76.76. Una florista por cada 5 rosas que vende regala 2. Si tenía 350 y al final no le queda ninguna, ¿ Cuántas rosas regaló ?

a) 50 b) 70 c) 100 d) 140 e) 150

77.77.77.77. Del centro de un circulo se trazan 29 rayos formando ángulos centrales que son proporcionales a los 29 primeros números enteros positivos; luego, el mayor ángulo mide:

a) 29° b) 28° c) 30° d) 26° e) 24°

78.78.78.78. Dos números son entre si como 5 es a 7. Si la suma de dichos números es 180, el número mayor es:

a) 70 b) 84 c) 90 d) 91 e) 105

79. 79. 79. 79. La razón de dos números es 13 / 8 . Si dichos números se diferencian en 45. El menor de dichos números es:

a) 48 b) 72 c) 80 d) 88 e) 93

80. 80. 80. 80. De un total de 320 hinchas del fútbol los que simpatizan con “ Liga “ y por el “ D. Cuenca “ están en la relación de 11 a 5 . ¿ Cuántos simpatizan por “ Liga “ ?

a) 300 b) 110 c) 220 d) 88 e) 55

81.81.81.81. Las edades de Andrea y Melisa están en la relación de 8 a 9 . Si dentro de 12 años sus edades sumarán 75, entonces la diferencia de sus edades es?:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6

64

82. 82. 82. 82. Si: 4 3

3 z

1 -y

8 2y

14 -x

7 x =+=+=+ ; entonces x + y + z es:

a) 30 b) 36 c) 32 d) 24 e) 40

83. 83. 83. 83. El promedio de las edades de 4 profesores es 30 años. Si ninguno de ellos es mayor de 35 años. ¿ Cuál será la mínima edad que uno de ellos puede tener ?

a) 30 b) 11 c) 22 d) 15 e) 25

84. 84. 84. 84. El promedio de 30 números es 41. Si el promedio de dos de ellos es 48. ¿ El promedio de los restantes es?:

a) 30.5 b) 30.8 c) 40.8 d) 40.5 e) 40.0

85. 85. 85. 85. El promedio de 77 números impares consecutivos es 97. La suma de las cifras del menor de ellos es:

a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6

86. 86. 86. 86. El promedio de 20 números es 40. Si agregamos 5 números, cuyo promedio es 20. El promedio final es:

a) 30 b) 36 c) 40 d) 46 e) 50

87.87.87.87. Pepe es el doble de rápido que Mario, y Mario es el triple de rápido que César. Si entre los tres pueden terminar una obra en 12 días; ¿ En cuántos días Mario junto con César harían la misma obra ?

a) 30 b) 29 c) 32 d) 31 e) 33

88. 88. 88. 88. Se quiere embotellar 111 lt. de aceite en 27 botellas; unas de 5 lt. y otras de 3 lt. ¿ Cuántas botellas más de 5 lt. hay que de 3 lt. ?

a) 3 b) 6 c) 4 d) 5 e) 7

89. 89. 89. 89. Katy al comprar 20 chaquetas, le sobra $ 480; pero al comprar 24 chaquetas; le faltarían $ 120. ¿ Cuánto cuesta cada chaqueta ?

a) 130 b) 145 c) 140 d) 150 e) 155

90. 90. 90. 90. Sabiendo que 6 varas de paño cuestan lo mismo que 5m y que 2m valen $30. ¿ Cuatro varas costarán?:

a) 30 b) 45 c) 40 d) 50 e) 55

65


SIGNOS.- Los signos que se utilizan para designar desigualdades, son:

> > > > que se lee: “ mayor que “

< que se lee: “ menor que “

≤ que se lee: “ menor o igual que “

≥ que se lee: “ mayor o igual que “

LEY DE TRICOTOMIA EN R .- Dados dos números reales a y b , ellos verifican una y solo una de las siguientes relaciones:

a = b “ a igual b “

a > b “ a mayor que b “

a b ∨∨∨∨ a b

2. a b si a – b > 0

2. Una cantidad a es menor que otra cantidad b , si la diferencia ( a – b ) es negativa, es decir:

a 0

2. a² + b² + 8 > 0

DESIGUALDAD RELATIVA.- Llamada inecuación, se verifica solo para un cierto

conjunto solución de sus incógnitas.

Ejemplo: 1. 3x – 4 > 0

2. x² - 3x + 1 < 0

RECTA REAL.- Es la recta geométrica donde a cada uno de sus puntos se hace corresponder uno y solo un número real.

NUMEROS POSITIVOS.- Es aquel conjunto de números mayores que cero. ( x > 0 ).

NUMEROS NEGATIVOS.- Es aquel conjunto de números menores que cero. ( x < 0 ).

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES.-

1. El sentido de una desigualdad no se altera si se suma o resta una misma cantidad a ambos miembros.

a. Si: x > y → x + n > y + n

b. Si: x > y → x – n > y – n

2. Si a los dos miembros de una desigualdad se le multiplica o divide por una misma cantidad

positiva, el sentido de la desigualdad no cambia.

a. Dado x > y ; n > 0 → x . n > y . n

b. Dado x > y ; n > 0 → n

y

n

x >

3. Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por una misma cantidad

negativa, el sentido de la desigualdad cambia.

a. Dado x > y ; n < 0 → x . n < y . n

b. Dado x > y ; n < 0 → n

y

n

x <

4. a. Si a > b y b > c → a > c

b. Si a +

+

>>

b.

n b m a

_______

n m

b a

+<+

+

<<

6. Solo se podrán restar desigualdades de sentidos contrarios y el sentido de la desigualdad

resultante será el del minuendo.

a.

n - b m - a

-

________

n m

b a

<

><

b.

n - b m - a

-

_________

n m

b a

>

<>

7. Solo se podrán multiplicar desigualdades del mismo sentido y con números positivos y el

sentido de la desigualdad resultante no varía.

Para a , b , c , d > 0

d . b d . a

x

________

d c

b a

>

<>

8. Solo se podrán dividir desigualdades se sentidos contrarios y con números positivos y el

sentido de la desigualdad resultante será el mismo que el del dividendo.

Para a , b , c , d > 0

d

b

c

a

________

d c

b a

>

÷

<>

9. a. Si ) 0 b ( ; 0 b . a 0 b

a ≠>→>

b. Si 0 b . a 0 b

a <→<

10. Siendo a y b del mismo signo, entonces:

a. Si b a b

1

a

1 <→>

68

b. Si b a b

1

a

1 >→<

11. a. Para: b > 1; si: n m b b nm >→>

b. Para: 0 

12. Si: a b → a < - b ∧∧∧∧ a > b

14. Para: b ≥ 0 ; si: a² B b)b)b)b) Si B>A c)c)c)c) Si A=B d)d)d)d) No se puede establecer e)e)e)e) No será evaluado

1.1.1.1. 0=x

Columna A Columna B

11

−+

xx 0

2.2.2.2. El conjunto S consiste de todos los enteros de -50 a 0 incluyendo los extremos. El conjunto T consiste de todos los enteros de 0 a 50 incluyendo los extremos.

Columna A Columna B

El número de enteros en el conjunto S

El número de enteros en el conjunto T

3.

ox ox

Columna A Columna B

k 16

4.4.4.4. La suma de k y 7 es igual a la suma de m y 8

Columna A Columna B

k m

70

5.5.5.5. m y p son enteros de 3 dígitos más grandes que 100. El dígito de las decenas de m es 5 y el dígito de las decenas de p es 7

Columna A Columna B

m p

6.6.6.6. 30 =>ba

ya

Columna A Columna B

a b

7.7.7.7.

Columna A Columna B

yº 180-2xº

8.8.8.8. R, S y T son dígitos no cero de los números positivos: TRS. y RST0.0

Columna A Columna B

10000.10 TRS× RST0.0

9.9.9.9. x, y y z son números primos consecutivos en orden ascendente y 2=x

Columna A Columna B

zyx111 ++ 1

10.10.10.10. El volumen de una esfera con radio r es igual a 3

3

4rπ

Columna A Columna B

El volumen de una esfera de radio 6

El volumen total de 2

esferas cada una de radio 3

ox oxloy

71

11.11.11.11. Para todos los números positivos n y k, se define la operación kn ⊗ como: ( )kknkn −=⊗ .

Adicionalmente: sr <<0

Columna A Columna B

sr ⊗ rs ⊗

12.12.12.12.

Columna A Columna B

( ) fcba +− fcab +−

13.13.13.13. 8 elementos químicos diferentes representan más del 99% de la composición de la corteza terrestre

Columna A Columna B

El porcentaje de la corteza terrestre formada de todos los

elementos químicos excepto los 8 mencionados

1%

14.14.14.14.

Columna A Columna B

El área de un

rectángulo con perímetro 40

El área de un

rectángulo con perímetro 60

15.15.15.15. Si 52 << x y 83 << y ¿Cuál de los siguientes literales es verdad para yx + ?

a) 81 <+< yx b) 82 <+< yx c) 83 <+< yx

d) 133 <+< yx e) 135 <+< yx

16.16.16.16. Si n≠0, ¿Cuál de las siguientes opciones debe ser mayor que n?

i)2n j) n² k) 2-n

a) solo i b) solo j c) solo i y j d) solo j y k e) ninguno de ellos

72

17.17.17.17. Si x<x3<x2 ¿Cuál de los siguientes valores puede ser el de x?

a) 5/3 b) 3/5 c) -2/5 d) -5/2

e) ninguno de los anteriores

18.18.18.18. ¿ Cuántos números racionales de la forma a/16 hay entre ½ y 7/8 ?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

19.19.19.19. ¿ Cuántos números naturales tiene su raíz cúbica en el intervalo [ 15 , 16 ) ?

a) 721 b) 821 c) 421 d) 521 e) 621

20.20.20.20. El menor valor entero de aaaa que satisface la siguiente relación 3.5 > 0.2(1-4a) > 0.5 es:

a) 4 b) 3 c) -1 d) -4 e) -3

21.21.21.21. x e y son enteros 11<+ yx y 6>x . ¿Cuál es el valor más pequeño posible de yx − ?

a) 1 b) 2 c) 4 d) -2 e) -4

22.22.22.22. Si: -10 < a < -5 ; -2< b < -1 ; 2 < c < 5 ; entonces c

a.b es:

a) (1,10) b) (5,20) c) (1/5,1/2) d) (1/10,1) e) (1/20,1/5)

23.23.23.23. Si x pertenece al intervalo (2,4); entonces 32x

1

+ pertenece al intervalo:

a)

7

1 ,

11

1 b)

3

1 ,

5

1 c)

6

1 ,

2

1 d)

4

3 ,

12

1 e)

6

1 ,

13

1

24.24.24.24. ¿Para cuántos valores enteros de n el valor de la expresión 74 +n será un entero mayor que 1 y menor que 200?

a) 48 b) 49 c) 50 d) 51 e) 52

25.25.25.25. ¿ Cuál de los siguientes puntos pertenece a la intersección de: x² + y² < 6 y x – 3y < 2 ?

a) ( -2, -1 ) b) ( 2, -1 ) c) ( 0, -1 ) d) ( 1, 3 ) e) ( -1, -1 )

73

26.26.26.26. ¿ Cuál es el mayor entero x para el cual - 2x – 3 > 6 ?

a) - 4 b) 4 c) 3 d) - 5 e) - 2

27.27.27.27. Si 0 > x , entonces:

a) - x < 0 b) - x < x c) - x > 0 d) x < 0 e) x = x

28.28.28.28. Si se sabe que: 0 < m < n < 1, ¿ Cuál de las siguientes expresiones es la mayor ?

a) 2m/n b) 2n/m c) n/m d) n/(m+1) e) m/(n+1)

29.29.29.29. Si aaaa > 0 > 0 > 0 > 0 , bbbb < 0 , < 0 , < 0 , < 0 , indique lo falso:

a) ab < 0 b) a+b² > 0 c) a/b < 0 d) a-b > 0 e) a < b

30.30.30.30. Hallar un número entero positivo, sabiendo que su quíntuplo más 7 es mayor que 39 y que su cuádruple menos 4 es menor que 28.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

31.31.31.31. Lucio vende 100 libros, le quedan más de la mitad de lo que tenía, si luego vende 52 le quedan menos de 50. ¿ Cuántos libros tenía?

a) 201 b) 200 c) 203 d) 210 e) 199

32.32.32.32. Si a > b > c , a > b > c , a > b > c , a > b > c , en el conjunto N N N N se cumple que:

a) a+c < b+c b) a c > b c c) c

b

c

a > d) bb c a > e) Todas las anteriores.

33.33.33.33. Dar los valores de x para los cuales se verifica la siguiente desigualdad: x² - 1 > 0

a) x > 1 ⋁ x < - 1 b) x > 2 c) 1 > x > 0 d) - 1 < x < 0 e) x > 1 .

34.34.34.34. Si el perímetro de un rectángulo de 10 cm. de largo debe ser menor de 30 cm. , los valores que puede tomar la altura son:

a) < 10 cm. b) < 5 cm. c) < 2 cm. d) < 15 / 2 cm. e) Ninguna de las anteriores.

35.35.35.35. Si aaaa = 1/ b ⋀ b ≤ -1, ¿ Cuál es el valor mínimo que a a a a puede alcanzar ?

a) - 1 / 2 b) - 1 c) - 2 d) 0 e) No se puede determinar.

74

36.36.36.36. El mayor número entero cuyo triple sea menor que 63 es:


37.37.37.37. La base mayor de un trapecio tiene por medida 4x – 13 y la base menor 6x – 23 . ¿ Qué valores puede tomar x ?


38.38.38.38. La suma de un número real positivo y su triple no puede sobrepasar a 2. x puede tomar los valores:

a) 0＜x ≤ 1/2 b) 0＜x ≤ 2 c) 0＜x ≤ 3/2 d) 0＜x ≤ 3 e) Ninguno de los anteriores.

39.39.39.39. Una máquina impresora de papel puede imprimir 5000 hojas por hora como máximo. Si en la primera media hora ha impreso 2000 hojas, ¿En que rango imprime en la segunda hora?

a) 0≤ x ≤ 5000 b) 0≤ x ≤ 2000 c) 0≤ x ≤ 7000

d) 0≤ x ≤ 3000 e) Ninguno de los anteriores.

40.40.40.40. La longitud de un segmento es 3x – 12. ¿ Qué valores puede tomar x ?

a) x ≥ 12 b) x ≥ 3 c) x ≥ 4 d) x ≥ 9 e) Ninguno de los anteriores.

41.41.41.41. A Manuel le dieron a vender una cierta cantidad de patos, vendió 35 y le quedaron más de la mitad. Luego le devuelven 3 y vende después 18, con lo que le resta menos de 22 patos. ¿ Cuántos patos le dieron ?

a) 67 b) 68 c) 69 d) 70 e) 71

42.42.42.42. El precio de cierto tipo de fresa puede variar de $2.50 a $3.00 por cada libra y el precio de cierto tipo de cakes puede variar de $0.80 a $1.10 la docena. Para estar seguro de tener suficiente dinero para comprar c libras de fresas y r docenas de cakes, ¿una persona necesita al menos cuantos dólares en términos de c y r?

a) 1.13 ++ rc

b) 1.13rc +

c) rc 8.05.2 + d) rc 1.13 + e) ( )( )rc++ 1.13

43.43.43.43. La diferencia entre un número real positivo y su mitad no puede sobrepasar a 4.5. ¿ Qué valores tomará x ?

a) 0≤ x ≤ 4.5 b) 0≤ x ≤ 6 c) 0≤ x ≤ 7.5 d) 0≤ x ≤ 9 e) Ninguno de los anteriores.

75

44.44.44.44. Eduardo tiene un cierto número de canicas. Si este número es duplicado y se tira una canica, por lo menos tendría cinco canicas sobrantes. ¿ Cuantas canicas tenia Eduardo para empezar ?

a) Por lo menos 8 b) Por lo menos 7 c) Por lo menos 4

d) Por lo menos 3 e) Ninguno de los anteriores.

45.45.45.45. En un viaje en canoa remamos durante un día. Si remamos 7 millas al día siguiente, recorrimos por lo menos 18 millas durante los dos días. ¿ Cuántas millas remamos durante el primer día ?

a) Por lo menos 11 b) Por lo menos 9 c) Por lo menos 7

d) Por lo menos 5 e) Ninguno de los anteriores.

46.46.46.46. Si José pone $ 7 en el banco, tendrá como máximo $ 18. Como máximo, ¿ Cuántos dólares tenía para empezar ?

a) Tenía como máximo 7 b) Tenía como máximo 18 c) Tenía como máximo 11 d) Tenía como máximo 22 e) Ninguno de los anteriores.

47.47.47.47. Si: -5 < x – 3 < -2 ¿ Entre qué límites está M M M M ? . M = xM = xM = xM = x 3 +1+1+1+1

a) -3<M<4 b) -7<M<2 c) 1<M<4 d) -4<M<3 e) -1<M<5

48.48.48.48. Si a a a a y bbbb son números naturales, además a > b, ¿ a > b, ¿ a > b, ¿ a > b, ¿ Cuál es falsa????

a) 0a

b a >+ b) 0

a

b a >− c) 0

a

b a <− d) sólo a) y b) e)

b

a

b - a

b 2a 33

>+

49.49.49.49. Si aaaa es un número real positivo tal que aaaa²²²² < a. ¿ < a. ¿ < a. ¿ < a. ¿ Que alternativa es falsa?

a) a³ > a b) a – 1 < 0 c) a³ < a² d) a² > 0 e) 1/a > 1

50.50.50.50. Siendo: 4 < b < 7 y 9 < a < 15 . Entre que límites varía ( a – b ):

a) 5 y 8 b) 2 y 12 c) 5 y 9 d) 2 y 10 e) 2 y 11

51.51.51.51. Hallar n , n , n , n , si aaaa es un número real: n

1

a1

a4

2

≤+

a) 1 b) 3 c) 4 d) 8 e) 2

76

52.52.52.52. Dado: -12 < x – 14 < - 10 . Hallar ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) en: 2a < 3x + 4 < 2b

a) 11 b) 13 c) 12 d) 14 e) 10

53.53.53.53. Cinco sumado a un número x da como resultado un número que es mayor que el doble del número original. ¿ De qué conjunto podría haberse escogido el número original ?

a) x＜5 b) x＜6 c) x＜4 d) x＜2 e) Ninguno de los anteriores.

54.54.54.54. La suma del doble de cierto número y 12 es mayor que cinco veces el número. ¿ Qué números naturales satisfacen esta condición ?

a) 1, 2, 3, 4 b) 1, 2, 3 c) 4, 5, 6, 7 d) 1, 3, 4 e) Ninguno de los anteriores.

55.55.55.55. Para revelar una película, esta se mantiene entre 68 y 78 grados Fahrenheit ( F ). ¿ Cuál es la temperatura en grados centígrados ( C ) , si F = 9/5C + 32 ?

a) 30 ≤ C ≤ 35 b) 40 ≤ C ≤ 45 c) 20 ≤ C ≤ 25

d) 10 ≤ C ≤ 15 e) Ninguno de los anteriores.

56. 56. 56. 56. Si un kilo de naranjas contiene de 6 a 8 naranjas, ¿ El mayor peso que puede tener cuatro docenas de naranjas es? :

a) 4 kg. b) 3 kg. c) 7 kg. d) 8 kg. e) Ninguno de los anteriores.

57. 57. 57. 57. El valor de x en 8 8 -2x = es:

a) {0, 8} b) {1, 2} c) {1, 8} d) {3, 4} e) Ninguno de los anteriores.

58. 58. 58. 58. El valor de x en 8 6 x =+ es:

a) {2, 6} b) {-14, 2} c) {-8, 8} d) {3, 4} e) Ninguno de los anteriores.

59. 59. 59. 59. Al resolver 12 8 x <+ , el intervalo solución, es:

a) (-20,4) b) (-14, 2) c) (-8, 10) d) (3, 4) e) Ninguno de los anteriores.

60.60.60.60. Si: x ∈ (2, 4) , entonces 3 x 2

1

+∈ (

b

1,

a

1). El valor de a + b a + b a + b a + b es:


77

61. 61. 61. 61. Si: 3x – 2 ∈ [-3, 3] , entonces x ∈ [a , b] . El valor de b b b b –––– a a a a es:


62. 62. 62. 62. Si aaaa²²²²bbbb³³³³cccc⁵⁵⁵⁵ es negativo. ¿ Cuál de los siguientes productos es siempre negativo ?

a) bcbcbcbc b) bbbb²²²²cccc c) acacacac d) abababab e) bcbcbcbc²²²²

63. 63. 63. 63. ¿ Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas ?

I.- Si 1 x 2 > , entonces x > 1 II.- Si x < - 1, entonces x² < 1

III.- Si x > 1 , entonces x² > 1 IV.- Si x² < 1 , entonces x < 1

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) Ninguna

64.64.64.64. Si a a a a y bbbb son números reales tales que: -5 ≤ a ≤ 7 y 2 ≤ b ≤ 6.5 ; entonces 3

2b - a varía de:

a) -3 a -2 b) -15 a 2 c) -18 a 3 d) -16 a 6 e) -6 a 1

65. 65. 65. 65. El producto de dos números pares consecutivos es menor o igual que 440. La suma de las cifras del mayor de estos números, es:

a) 9 b) 2 c) 4 d) 6 e) 7

66. 66. 66. 66. Si a a a a varía entre 4 y 40 y bbbb varía entre 5 y 12, entonces a / b a / b a / b a / b varía entre:

a) 1/8 y 3 b) 2.4 y 10 c) 0.8 y 10/3 d) 3 y 8 e) 1/3 y 8

67. 67. 67. 67. Que valor de x hace que se verifique la desigualdad: ( 2x + 1 )² < 0

a) x = 1 / 2 b) x = - 1 / 2 c) x = -1 d) x = 1 e) Ninguno.

68. 68. 68. 68. La solución de: x² < 25 es:

a) ( -5, 5) b) (0, 5) c) (-5, 0) d) (1, 5) e) Ninguna de las anteriores.

69.69.69.69. Si a la edad de Ruthcita le disminuimos 5 años y luego lo multiplicamos por 7, el resultado no excede a 49. ¿ La mayor edad que puede tener Ruth, es?:


78

70.70.70.70. La cuarta parte de 12, más el doble de la edad de Juan es mayor o igual que 33. ¿ La mayor edad que puede tener Juan es?:


79


VARIABLE.- Es la expresión que cambia de valor y en los polinomios se escribe con las últimas letras del alfabeto: x, y, z, etc.

CONSTANTE.- Es una expresión que tiene un valor fijo o determinado, y se representa comúnmente con las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, etc.

REGLA DE CORRESPONDENCIA.- Es una ecuación de la forma: y = f(x).

IDEA DE FUNCION.- Es la relación de igualdad que existe entre dos variables: Dependiente e Independiente. De modo tal que para un valor de la variable independiente exista un único valor de la variable dependiente.

Ejemplo: En la función: y = x³ + 5

y : será la variable dependiente;

x: la variable independiente, y

5: constante.

DEFINICION DE FUNCION

Si a cada elemento de un conjunto A se le hace corresponder de alguna manera, un elemento único de un conjunto B ; se dice que esa correspondencia es una función.

Llamando a esta correspondencia por f , escribimos:

f: A → B que se lee: f es una función de A en B

DOMINIO DE f.- se representa por D f o D(f) , y es el conjunto A o también el conjunto de los primeros

elementos de los pares ordenados, en una función.

RECORRIDO DE f ( rango de f ).- Se representa por R f o R(f) , y es el conjunto B , o también el conjunto de

los segundos elementos de la función. Dada una función de un conjunto A en un conjunto B , al primer conjunto se le llama “ Conjunto de partida “ , y al segundo conjunto se le llama “ Conjunto de llegada “.

Ejemplos:

1. Sean los conjuntos: A = { a, b, c, d } y B = { x, y, z, v }

La relación entre ambos será: R = { ( a, x ), ( b, y ), ( c, z ), ( d, v ) }

Que es una función de A en B, ya que:

80

2. Dada la relación f: A → B

Se tiene entonces: Para cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.

Entonces: f: A → B donde: D f = A = { 2, 4, 6 } → Conjunto de partida.

Rf = B = {3, 7, 9 } → Conjunto de llegada.

FUNCION REAL.- f = { ( x, f(x) ) � RxR / x � D(f) }

Ejemplo: Sea la función: f : R → R definida por la regla f(x) = 3x – 1 , esta también se puede

escribir como: f = { (x, 3x-1 ) / x � R }

Si: x = 1 → f(1) = 3(1) – 1 = 2

x = 2 → f(2) = 3(2) – 1 = 5

x = 3 → f(3) = 3(3) – 1 = 8 ; etc.

Luego: f = { (1, 2 ), ( 2, 5 ), ( 3, 8 ). ……………… }

VALOR NUMERICO DE UNA FUNCION.- Es el valor que adquiere aquella, cuando se le atribuye determinados valores a sus variables.

Ejemplo: Si f(x) = x³ - 4x + 3 ; hallar f(5).

f(5) = 5³ - 4(5) + 3 = 125 – 20 + 3 = 108

81


1.1.1.1. Si f(x) = x² - 1 ; f(5) + f(3) es:

a) 30 b) 28 c) 24 d) 32 e) 34

2.2.2.2. Si f(x) = ax² - 5 ; y además f(x)+f(2x)+f(3x) = 140x² -15 , entonces el valor de aaaa es :

a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 4

3.3.3.3. Si P(x-2) = x² +3x + 2 , entonces P(6) + P(7) es:

a) 160 b) 180 c) 200 d) 220 e) 240

4.4.4.4. Si P(x) = x² - 4x + 2 , el resultado de P(a+6) – P(a+3) es:

a) 6a+15 b) 8a+14 c) 2a – 1 d) 10a+13 e) ninguno de los anteriores

5.5.5.5. Si f(x + 7) = x² - 6x + 2 ; entonces f(h+9) es:

a) h²-2h-6 b) h²+2h-6 c) h²+4h+4 d) h²+2h+6 e) ninguno de los anteriores

6.6.6.6. f ( x ) = 5x + 1 , g ( x ) = 3x – 2. ¿ Para qué valor de t es f ( t ) ≥ g ( t ) ?

a) t ≥ - 6 / 3 b) t = - 5 / 2 c) t < 3 / 2 d) t ≥ - 3 / 2 e) t ≥ 3 / 2

7.7.7.7. Si f ( x ) = 3x² + kx – 1 y f ( - 1 ) = 1 , ¿ El valor de k es ?

a) - 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) - 1

8.8.8.8. Si f ( x ) = 2x + 1 , ¿ Cuál de las siguientes expresiones es verdadera ?

a) f ( x + 3 ) = f ( x ) + 3 b) f ( x ) + a = f ( x ) + f ( a )

c) f ( ax ) = a f ( x ) d) f ( x + a ) = f ( x ) + 2a

e) f ( x + a ) = f ( x ) + f ( a )

9.9.9.9. Consideremos la siguiente función f : R → R , definida por f ( x ) = ax² + bx + c ; a, b, c ∊ R ; la gráfica cartesiana de esta función:

82

a) Es necesariamente una parábola. b) Es necesariamente una recta. c) Puede ser una recta paralela al eje x. d) Puede ser una recta paralela al eje y. e) Ninguna de las anteriores.

10.10.10.10. Si se define: f(x) = ax² - 5 y si f(x) + f(2x) - f(3x) = 40x² - 5 , entonces el valor de a a a a será:

a) -12 b) -15 c) -10 d) -14 e) Ninguno de los anteriores.

11.11.11.11. Dada P(x – 2) = x² + 3x + 2 el valor de E = P(6) - P(7) es:

a) -12 b) -20 c) -15 d) -22 e) Ninguno de los anteriores.

12.12.12.12. Si f(x) es una función lineal; además: f ( f ( x ) ) = 16x + 30 ; el valor de f ( 5 ) es:


13.13.13.13. Si f ( x ) = x² - x – 5 y g ( x ) = x² - 9 ; entonces ( f + g ) ( x ) es:

a) ( x – 3 )² ( x + 3 ) ( x + 2 ) b) ( x + 2 ) / ( x + 3 ) , x ≠ 3 c) 2x² - x – 14 d) x – 4 e) Ninguna de las anteriores.

14.14.14.14. ¿ Para cuáles de las siguientes expresiones se cumple que f ( 3 ) = f ( 1 / 3 ) ?

a) f ( x ) = x² b) f ( x ) = 1 / x + x + 1 / x + x c) f ( x ) = ( x + 2 ) x d) f ( x ) = 2 + 1 / x e) f ( x ) = 1 / x

15.15.15.15. Si: f(x) = f(x – 3) + f(x – 1) ; y además f(2) = 4 y f(-1) = 3 , entonces f(1 ) es:

a) 1 b) 5 c) 0 d) 4 e) 3

16.16.16.16. H = { (2, a-4) , (5, 6) , ( 2, 7) , ( 5, b-2) , (3 , 9) } es función siempre y cuando:

a) a = 11 y b = 8 b) a = 4 y b = 2 c) a = 11 y b = 6

d) a = 8 y b = 11 e) Ninguno de los anteriores.

17.17.17.17. F = { (2, 4) , (3, x+y) , (5, 6) , (3, 8) , (2, x-y) } los valores de x e y para que F represente una función, son:

a) x = 2 y y = 6 b) x = 3 y y = 5 c) x = 6 y y = 2

d) x = 5 y y = 3 e) Ninguno de los anteriores.

83

18.18.18.18. La regla de correspondencia de la función F = { (1, 3) , (2, 6) , (3, 11) , (4, 18) } es:

a) F(x) = x² + 1 b) F(x) = x² - 1 c) F(x) = x² - 2

d) F(x) = x² + 2 e) Ninguno de los anteriores.

19.19.19.19. Si f es una función real de variable real, tal que f( 2x – 5 ) = 5 x 1 2x +++ ;el valor de f( 3 ) es:


20.20.20.20. Si f: R → R es definida por f( x ) = -3x² - 4x + 16. ¿ Cuál de los siguientes pares ordenados pertenecen al gráfico de f ?

a) (2, 12) b) (3, -9) c) (3, 9) d) (-2,12) e) Ninguno de los anteriores.

21.21.21.21. Dada la función f: R → R cuya regla de correspondencia es f( x ) = 2x + 3, ¿ Cuál de los siguientes pares ordenados no pertenecen al gráfico de f ?

a) (1, 5) b) (3, 9) c) (-2, -1) d) (4, 11) e) (6, 12)

22.22.22.22. Si x es el lado de un cuadrado, entonces el área del cuadrado en función de su diagonal d es:

a) d2 b) x2 c) x2 /2 d) d2/2 e) Ninguna de las anteriores

23.23.23.23. Si el volumen V de una pirámide es igual al tercio de su altura multiplicado por el área de la base, y si la base es un hexágono regular cuyo lado mide 6 metros, entonces la altura de la pirámide en función del volumen esta dado por:

a) 3 V / 54 b) V / 2 c) 3V / 54 d) Ninguna de las anteriores

24.24.24.24. Si el volumen V del cilindro circular recto es igual al área del círculo de la base multiplicado por su altura que mide 4 metros, entonces el radio del círculo en función del volumen es:

a) -[ V / (4 π) ]1/2 b) 1/2[ V / π ]1/2 c) 16 π d) Ninguna de las anteriores

25.25.25.25. Si el volumen V de una esfera es cuatro tercios de π multiplicado por el cubo del radio, y si V = 36 m3 , entonces el radio es igual a:

a) 4 π /3 b) 3 π 3 c) 3/( π1/3) d) Ninguna de las anteriores

26. 26. 26. 26. El valor de a a a a en: f(a+1) – f(a-1) = 4 , si f(x) = x² - 2x + 3 es:


84

27. 27. 27. 27. Sea la función F definida asi: F = { (2, 5) , (3, a²), (2, a+b), (3, 4), (b, 5) }. El valor de a + b a + b a + b a + b es:


28. 28. 28. 28. Si F(x) = x² - 1 es una función, cuyo dominio es D(F) = [ -1 , 1 ] . El recorrido o rango de F es:

a) [ -1 , 0 ] b) [ 0 , 1 ] c) [ - 1 , 1 ] d) [ -1 , 0 ] e) Ninguno de los anteriores.

29. 29. 29. 29. Si la relación R = { (1, 2a), (2, 7), (5, 1), (1, 3a – 5), (7, 9) } es una función; la suma de los elementos del rango es:


30. 30. 30. 30. El dominio de G = { (x, y) / xy = 1 } es:

a) I b) I – { 1 } c) R d) R – { 0 } e) Ninguno de los anteriores.

31. 31. 31. 31. El rango de R = { (x, y) / x² + y² ≤ 25 } es:

a) [ -5 , 5 ] b) [ 5 , +∞ ) c) ( -∞ , 5 ] d) ( -5 , 5 ) e) Ninguno de los anteriores.

32. 32. 32. 32. Si el conjunto A = { 1, 2, 4 } y f es una función definida en A por: f = { (1, 3), (2, a), (a+1, 2), (1, b-1) } . El valor de f(1) – f(2) – f(4) es:

a) 0 b) -1 c) -2 d) 1 e) -3

33. 33. 33. 33. Si f(x) = 1 x

1 - x

+ , el valor de f(2).f(3).f(4) es:

a) 1 / 10 b) 2 / 10 c) 3 / 10 d) 4 / 10 e) Ninguno de los anteriores.

34. 34. 34. 34. Si F es la función F = { (3, a+1), (4, b-1), (2, 5), (3, 4), (4, 7) } ; el valor de a.ba.ba.ba.b es:


35. 35. 35. 35. El valor de mmmm , para que F = { (6, 5), (m+1, 4), (3, 8), (6, m²+1) } sea una función es:

a) +2 b) ±2 c) -2 d) 0 e) Ninguno de los anteriores.

36.36.36.36. El valor de nnnn en la función f = { (7, 9), (n, 2) ,(3, 4), (7, n²) } es:

a) 3 b) -3 c) ±3 d) 2 e) Ninguno de los anteriores.

85

37. 37. 37. 37. Si f es una función definida por f(x-2) = 2x – 5 ; entonces f(a) será:

a) a + 1 b) a – 1 c) 2a + 1 d) 2a – 1 e) Ninguno de los anteriores.

38. 38. 38. 38. Si f(x) = x + 1 y x ∈ [ 1, 4 ] , entonces la gráfica de f está en el cuadrante:

a) I b) II c) III d) IV e) Ninguno de los anteriores.

39. 39. 39. 39. Si para la función f(x) = ax² + b ; se tiene que f(1) = 8 y f(0) = 5 , entonces el producto de las constantes aaaa y bbbb es:


40. 40. 40. 40. Sea la función G = { (3, 5),(6, b), (3, a), (ab, a+b), (6, 1) } ; entonces el valor de G(5) es:

a) 5 b) 0 c) 6 d) -6 e) No exista.

86


E C U A C I O N E X P O N E N C I A L .-

Es una igualdad relativa, donde la incógnita se encuentra en el exponente. El valor de la incógnita al ser reemplazada en la ecuación original se transforma en una igualdad; se llama raíz o solución de la ecuación.

CASOS:

1. FORMA mx = n p Donde la incógnita es x se debe tratar de lograr bases iguales para

luego igualar los exponentes.

También se expresa así: b x = b a → x = a , donde b ≠ 0 y 1 .

2. FORMA x x = A Donde la incógnita es x se debe buscar formar una analogía o

semejanza utilizando la teoría de exponentes.

También se expresa así: x x = aa → x = a

n x n x nx =→= ; x ≠ 0

L O G A R I T M O S .-

DEFINICION.- El logaritmo de un número es el exponente al cual se debe elevar otro número real y positivo llamado base para obtener el número dado.

NOTACION LOGARITMICA.- y N Loga =

Donde: N = Número

a = base

y = Logaritmo ( exponente de la base ).

Es decir: N ay = Notación exponencial.

BASE DE UN SISTEMA DE LOGARITMOS.- Es cualquier número real y positivo. Luego:

a = 10 → Cuando la base es 10, se llama logaritmo decimal, vulgar o de Briggs.

87

a = e → Cuando la base es e = 2.7182818245…. ( un número irracional) se llama

logaritmo Neperiano.

PROPIEDADES GENERALES.-

1. En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es la unidad.

Si: a = a¹ → Log a a = 1

2. En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la unidad es el cero.

Si: Log a 1 = 0 → aº= 1

3. Los números mayores que 1, tendrán logaritmo positivo y los números menores de 1 , tendrán logaritmo negativo.

Ejemplos: 1. 10 = 10¹ → Log1010 = 1

100 = 10² → Log10100 = 2

2. 0.1 = 10 1− → Log100.1 = -1

0.01= 10 2− → Log100.01= -2

4. El logaritmo de un número aumenta cuando el número aumenta y disminuye cuando el número disminuye. 5. En el campo de los números reales, no existe el logaritmo de un número negativo. 6. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

Sean: A y B los factores.

Luego: A = ax → Loga A = x

B = ay → Loga B = y

Entonces: A . B = a y x + , de lo cual Loga (A . B) = LogaA + LogaB

7. En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador, menos el logaritmo del denominador.

De la propiedad anterior, considerando las dos primeras igualdades, tenemos entonces:

y - x B

A Log a

B

Aa

y -x =→=

Loga )B

A( = LogaA - LogaB

8. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo del número.

88

LogaA m = m LogaA

9. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad sub-radical dividido entre el índice del radical.

Logan A =

n

1 LogaA

CAMBIO DE BASE DE UN SISTEMA DE LOGARITMOS.- conociendo el logaritmo en base a del número N . Hallar el logaritmo en base b del mismo número.

Dato: LogaN ; incógnita Logb N = x → bx = N o LogaN = Loga b x

Entonces: LogaN = x Loga b = Logb N . Loga b

Luego: Logb N = bLog

NLog

a

a

IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE LOS LOGARITMOS.-

b NLogb = N

1. El producto de dos logaritmos recíprocos es igual a la unidad.

Como: b aLogb = a aquí tomamos logaritmos en base a luego:

Logab aLogb =Log aa → Log b a . Log . Loga b = 1

2. Si al número y a la base de un logaritmo se potencia o se extraen radicales de un mismo grado, el

logaritmo no se altera. b aLogb = a elevando a la potencia m se tendrá:

b m aLogb = am → Log mba m = Log b a y Logn b

n a = Log b a

LOGARITMOS NEPERIANOS.- Son aquellos cuya base es el número e , también se llaman logaritmos naturales.

NOTACION: Ln N = Loge N y para la conversión a logaritmos vulgares o viceversa, se emplea la siguiente

expresión:

Ln N = e Log

N Log

ECUACIONES LOGARITMICAS.- Se llaman ecuaciones logarítmicas a aquellas que contienen el logaritmo de la incógnita o de las incógnitas.

Ejemplos: 1. Log 5x = 2

2. Log(x+4) + Log(x-5) = 1

89


1.1.1.1. El valor de xxxx en: 27 x = 81 6 es:

a) 3 b) 5 c) 4 d) 6 e) 8

2.2.2.2. El valor de n n n n en la ecuación: 4n 2 n = , es:

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

3.3.3.3. Hallar a a a a si: a 2a = 43421 veces100

5......5.5.5.5

a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

4.4.4.4. El valor de xxxx en: 19202222 4321x =+++ ++++ xxx es:

a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2

5.5.5.5. Resolver para x: x: x: x: 16 x = 8 8

a) 5 b) 3 c) 2 d) 8 e) 6

6.6.6.6. Resolver: 9 3x =x

a) 27 b) 9 c) 3 d) 16 e) 1/3

7.7.7.7. Hallar xxxx en: (0.008) x

1 -

= 5

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

8.8.8.8. Si 3y x +

= 1 / 9 y 2y -x

= 4, ¿ Cuál de las siguientes parejas es ( x, y ) ?

a) ( 0, - 2 ) b) ( 0, 2 ) c) ( 2, 0 ) d) ( - 2, 1 ) e) ( - 1, - 1 )

9.9.9.9. Si 1 x x- 8 4 += , x = ?

a) 2 b) - 6 c) 4 d) – 3 / 5 e) 1

10.10.10.10. El valor de x , para 2 x + 2 1 -x + 2 2 -x + 2 3 -x + 2 4 -x = 992 , es:

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) Más de 10.

90

11.11.11.11. Hallar n , si 2 n + 2 n +2 n +2 n = 1024 :

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) Más de 10.

12.12.12.12. El valor de x en 13 1x+ - 13 x = 156 es:


13.13.13.13.Si a log15 =3 , entonces 15log 5 es igual a :

a) ( 1 – a ) b) ( 1 + a ) c) 1 / ( 1 + a ) d) 1 / ( 1 – a ) e) Ninguna de las anteriores.

14. 14. 14. 14. Halle el valor de x tal que log ( x + 4 ) + log ( x – 4 ) = 1 .

a) - 6 b) 16 c) 5 d) 26 e) No se puede determinar.

15. 15. 15. 15. Si 6 k 3 =2log , ¿ A qué es igual k ?

a) 2 b) 4 c) 6 d) 0 e) 3

16.16.16.16. Si y = 5 2log , entonces:

a) y = 5 / 2 b) y = 2 c) y = 5² d) 5 y =2 e) 5 2y =2

17.17.17.17. Cual de las siguientes expresiones es falsa:

a) log 6 = log 2 + log 3 b) log 12 – log 2 = log 6 c) log 6 = log 3 . log 2 d) log 6 = log ( 12 / 2 ) e) log 6 = ( 1 / 2 ) log 36

18.18.18.18. Si 2 ) y 1 ( 2 =+3log , entonces y = ?

a) 4, 2 b) 2, - 4 c) 1, 4 d) 3, 2 e) - 2, 4

19.19.19.19. El )32 / 1 ( 8log es :

a) - 1 / 3 b) 1 / 3 c) - 5 / 3 d) 5 / 3 e) 2

20.20.20.20. Si m 5 =2log , ¿ A qué es igual 10 2log ?

a) m b) 1 + m c) 1 / m d) 1 – m e) m – 1

91

21.21.21.21. Si log x = 2

1 log a – log b y a = 9 b² , el valor de x es :

a) 2 b) 1 c) -2 d) 4 e) 3

22.22.22.22. La solución que se obtiene al resolver: log )8 - x ( (x² - 16 ) = 2 , es:

a) {3} b) {3, 5} c) {5} d) ∅ e) {0}

23.23.23.23. El valor de log 2 8 es:

a) 1/2 b) 3/2 c) 2/3 d) 2 e) 3

24.24.24.24. Si 1 - x 256log ) 1 - x ( = ; el valor de xxxx es:

a) 5 b) 4 c) 2 d) 3 e) 1

25.25.25.25. El valor de a a a a en )16

1( log)

81

1( log 8a = , es:

a) 3 4 − b) 3 3 − c) 3 3 d) 31 e) 3 4

26.26.26.26. Si 2 ) 15a - a ( log 2 = , el valor de aaaa es:

a) -2 b) -3 c) -4 d) -5 e) -6

27.27.27.27. Si 1 8-x log 7 x log =++ ; el valor de xxxx es:

a) 13 b) 15 c) 17 d) 19 e) 21

28.28.28.28. En la ecuación 5 xlog x log 4 xlog =− ; xxxx es:

a) 10 1 b) 10 2 c) 10 3 d) 10 4 e) 10 5

29292929. . . . El valor de E = Log 2 32 - Log2

1 64 , es:

a) 11 b) 13 c) 15 d) 14 e) Más de 15

30. 30. 30. 30. Si Log a b = 3 y Log b 32a = 2 ; el valor de bbbb es:


92

31.31.31.31. Si Log a b = 3 y Log b 32a = 2 ; el valor de a + b a + b a + b a + b es:


32.32.32.32. Determinar E = 27 2 Log 3 :


33. 33. 33. 33. El valor de S = a 1)(0 Log a + + a 2)(1 Log a + + a 3)(2 Log a + , es:


34.34.34.34. El valor de S = a 1)(0 Log a + - a 2)(1 Log a + + a 3)(2 Log a + , es:


35. 35. 35. 35. Si: Log 2 4 + Log 2 4² + Log 2 4³ + ………. + Log 2 4 n = Log 2 4⁶ . El valor de n es:


36. 36. 36. 36. El valor de x en: Log 4 [ Log 3 ( Log 2 x ) ] = 0 , es:


37. 37. 37. 37. Si Log 2 x = 30 ; entonces el valor de Log 4 x es:


38.38.38.38. Si Log 3 x + Log 8116 - Log 3 6 = 2 , entonces el valor de x es:


39. 39. 39. 39. Si el logaritmo de 32 en una cierta base es 5 / 6 ; dicha base es:


40. 40. 40. 40. La suma de las soluciones de la ecuación : a2

a xLog + b xLogb + c 1 Logc = 3 , es:

a) -1 / 2 b) 2 c) -2 d) 1 e) -1

93

El término razonamiento se define de diferente manera según el contexto, normalmente se refiere a un conjunto de actividades mentales consistentes en conectar unas ideas con otras de acuerdo a ciertas reglas o también puede referirse al estudio de ese proceso. En sentido amplio, se entiende por razonamiento la facultad humana que permite resolver problemas. Se llama también razonamiento al resultado de la actividad mental de razonar, es decir, un conjunto de proposiciones enlazadas entre sí que dan apoyo o justifican una idea. El razonamiento se corresponde con la actividad verbal de argumentar. En otras palabras, un argumento es la expresión verbal de un razonamiento. El razonamiento lógico se refiere al uso de entendimiento para pasar de unas proposiciones a otras, partiendo de lo ya conocido o de lo que creemos conocer a lo desconocido o menos conocido. Se distingue entre razonamiento inductivo y razonamiento deductivo.

ÁREA - HABILIDAD COGNITIVA

Esta área consta de cuatro tipos de ejercicios: secuencias lógicas, relaciones lógicas, transformaciones lógicas y consideraciones lógicas. A continuación se presenta una descripción de cada uno de estos ejercicios.

SECUENCIAS LÓGICAS : Tienen como propósito evaluar la capacidad para percibir patrones de relación entre números y letras. Mide la habilidad del candidato para organizar información de forma inductiva.

Instrucciones: En cada uno de los siguientes ejercicios se presenta un par de palabras relacionadas, seguido de cinco pares de palabras o frases designadas con las letras A, B, C, D y E. Seleccione la letra que se refiere al par de palabras que mejor indica una relación similar a la expresada en el par original. Marque el espacio de la letra correspondiente en la hoja de respuestas.

Ejemplo: VOCACIÓN : OFICIO :: (A) necesidad : satisfactor (B) sacrificio : triunfo

(C) capacidad : tarea (D) producción : producto (E) calidad : meta

La respuesta correcta es la opción (C), por lo tanto debe marcar:

A B C D E

94

1. 1. 1. 1. ABEJA : PANAL : :

a. flores : polen

b. dromedario : joroba c. mariposa : oruga

d. gusano : tierra e. araña : telaraña

2. 2. 2. 2. NACIMIENTO : CRECIMIENTO : :

a. sonoridad : composición musical

b. merecimiento : éxito c. elección : nombramiento d. problema matemático : ecuación e. fuego : cenizas

3. 3. 3. 3. LUZ : TÚNEL : :

a. jueces : meta

b. baño : agua c. oxígeno : arteria d. alimento : saliva e. caminante : kilómetros

4. 4. 4. 4. MONTAÑA : ALPINISTA : :

a. playa : buzo b. garrocha : atleta

c. bicicleta : ciclista d. pista : corredor e. balas : tirador

5. 5. 5. 5. HOMBRES : CONDOMINIO : :

a. hormigas : hoyo

b. reses : corral c. perros : jardín d. abejas : panal e. aves : nido

95

RELACIONES LÓGICAS:RELACIONES LÓGICAS:RELACIONES LÓGICAS:RELACIONES LÓGICAS: Tiene como propósito medir la habilidad de extraer relaciones y hacer comparaciones basadas en reglas de similitud. Se utilizan preguntas de analogías y metáforas.

InstruccionesInstruccionesInstruccionesInstrucciones: En los siguientes ejercicios elija la alternativa que mejor representa el significado de la frase que se ofrece o la relación numérica similar al par original. Seleccione el encasillado correspondiente en las posibles respuestas.

Ejemplo: El ocaso de la vida (A) adolescencia (B) nacimiento

(C) vejez (D) juventud (E) madurez La alternativa correcta es la respuesta (C), porque ocaso significa descenso. La contestación correcta que debe marcar es:

A B C D E

1.1.1.1. Sus proyectos se estrellaron ante la realidad

a. se extendieron

96

b. se deshicieron c. fueron modificados d. tuvieron gran impacto e. se alteraron

2.2.2.2. La duda fue el veneno de mi felicidad

a. matar b. enfermar

c. acabar d. disminuir e. alimentar

3.3.3.3. 8 : 64 : :

a. 7 : 65

b. 9 : 90 c. 10 : 110 d. 13 : 187 e. 15 : 225

4.4.4.4. 60 : 3

20

333 : 3

100

100 : 8

80

18 : 4

72

500 : 10

50

90 : 20

45

e.

d.

c.

b.

a.

5.5.5.5. 123 : 6 : :

a.a.a.a. 456 : 8

b.b.b.b. 234 : 9 c.c.c.c. 345 : 10 d.d.d.d. 678 : 10 e.e.e.e. 456 : 12

97

CONSIDERACIONES Y TRANSFORMACIONES LÓGICAS: CONSIDERACIONES Y TRANSFORMACIONES LÓGICAS: CONSIDERACIONES Y TRANSFORMACIONES LÓGICAS: CONSIDERACIONES Y TRANSFORMACIONES LÓGICAS:

Miden la capacidad para usar correctamente las reglas de inferencia lógica. Se incluyen ejercicios de razonamiento condicional y de diagrama. El candidato debe analizar una situación particular y seleccionar la hipótesis o inferencia más apropiada.

InstruccionesInstruccionesInstruccionesInstrucciones: En los siguientes ejercicios elija la alternativa que mejor se relaciona con la información dada; luego seleccione el encasillado correspondiente en las posibles respuestas.

Ejemplo: En la fila del banco, el Sr. Hernández está formado después del Sr. González, y el Sr. González está

después del Sr. Ruiz. ¿En qué orden están formados? (A) González, Ruiz, Hernández

(B) Ruiz, Hernández, González (C) Hernández, González, Ruiz (D) Ruiz, González, Hernández (E) González, Hernández, Ruiz

La alternativa correcta es la respuesta (D). La respuesta que debe marcar es:

A B C D E

98

1.1.1.1. Si A está después que B y C, y D está antes que C pero después que B, entonces, el orden de las letras es

a. D B C A

b. B C D A c. B C A D

d. B D A C e. B D C A

2.2.2.2. Israel está menos poblado que Japón. Filipinas tiene mayor población que Japón. La población de Inglaterra es menor que Israel, sin embargo supera a Cuba en esta variable. Entonces:

a. Cuba está más poblada que Inglaterra.

b. Japón e Inglaterra tienen, cada una, más gente que Israel. c. los habitantes en Israel son más escasos que en Cuba. d. Filipinas no supera a Japón en cuanto al número de habitantes se refiere. e. el número de habitantes en Japón es superior al de Cuba.

3.3.3.3. Si consideramos los siguientes datos:

A = Z + D + F B = A + R D = J F = K + E + B R = L + O

A + B = _ _ _ _ _

a. Z + J + K + E + B + L + O

b. L + O + Z + D + K + E + A + R c. Z + J + K + E + B + L + O d. Z + J + K + E + B + Z + D + F + R e. K + E + B + J + Z + L + O + J + F

4.4.4.4. Ocho caballos corren por la pradera hacia la granja. Lirio llegó tres lugares después que Rubí pero uno antes que Sami. Mac le ganó a Chato mas no así a Rubí. Lulo entró 3 lugares antes que Chato y Toto entró 2 lugares después que Cucho, pero uno después que Sami. ¿Cuál de los ocho caballos entró en 4o.

lugar?

a. Mac.

b. Sami.

99

2

1

34

5

6

collares

muñecos

esculturas

mujeres

figuras

juguetes

c. Lirio. d. Chato. e. Cucho.

5.5.5.5. Julio nació antes que Gloria y que Pablo; Miguel es menor que Silvia, pues nació después que Pablo, pero antes que Gloria; y Julio es menor que Silvia. ¿Quién de los cinco jóvenes ocupa el tercer lugar en el

orden de nacimiento?

a. Julio.

b. Gloria. c. Pablo. d. Miguel. e. Silvia.

6.6.6.6. Manolo y Manuel salieron a piscar moras, durante la primera mitad de la jornada Manolo había recolectado 2/3 veces más moras que Manuel. Al final de la jornada, Manolo tenía 59 kilos de moras y Manuel tenía 14 kilos menos. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es FALSA?

a. En la segunda mitad de la jornada Manolo recolectó 24 kilos de moras. b. Manolo y Manuel recolectaron la misma cantidad de moras en la segunda mitad de la jornada.

c. Manuel tenía 21 kilos de moras al finalizar la primera mitad del día. d. Manolo tenía 14 kilos más de moras que Manuel al iniciar la segunda parte del día. e. Manolo tenía 39 kilos de moras a la mitad de la jornada.

7.7.7.7. En una tienda de artesanías se venden varios objetos diferentes, si María quiere comprar una muñeca de juguete; ¿a qué zona de la tienda debe dirigirse?

a. 2

b. 3 c. 4

d. 5 e. 6

100

8.8.8.8. Carlos camina 5 cuadras al este, da vuelta a la derecha y camina otro tramo igual, después sigue hacia su izquierda y camina otro poco más; de pronto da una vuelta entera (360°) ¿En qué dirección va?

a. Norte.

b. Sur. c. Este.

d. Oeste. e. Poniente.

9.9.9.9. Lolo es un perro entrenado por Sebastián, Xito es un gato callejero. Samuel protege a los gatos y perros sin hogar. ¿Cuál de las siguientes alternativas es VERDADERA?

a. Samuel entrenó a Lolo.

b. Sebastián entrenó a Xito. c. Xito y Lolo viven con Samuel. d. Samuel no protege a Lolo. e. Xito vive con Sebastián.

10.10.10.10. Hay 3 bolsas de papel; cada una de ellas está pintada de un color: rosa, rojo y blanco. Se sabe que dentro de ellas hay maíz, sorgo y trigo, pero se ignora en cuál bolsa está depositado cada uno de los

granos. Si la bolsa de maíz no es rosa, el sorgo está en la bolsa blanca, entonces el(la)

a. trigo está en la bolsa roja.

b. maíz está en la bolsa roja. c. bolsa roja tiene sorgo. d. trigo está en la bolsa blanca. e. bolsa blanca tiene maíz.

11.11.11.11. Un pintor empieza a pintar ventanas a las 8:00 a.m. logrando acabar 4 ventanas por hora. Una hora más tarde, a las 9:00 a.m. , su compañero inicia su tarea también de pintar ventanas, pero él alcanza a pintar 5 ventanas por hora. ¿Cuántas horas llevará pintando el primero cuando su compañero logre igualar el

número de ventanas ya pintadas?

a. 3

b. 4 c. 5 d. 6 e. 7

12.12.12.12. En un restaurante en donde fueron a comer 5 muchachos, Gilberto pedía lo mismo que Joel. Rogelio ordenaría pastel, sólo si Joel comía enchiladas. Joaquín quería algo diferente de lo que comieran los otros

101

4 jóvenes y Claudio lo mismo que Rogelio. Aunque se ordenaron finalmente 2 órdenes de enchiladas, 2 de hamburguesas y 1 de pastel, Rogelio no comió pastel. ¿Quiénes comieron hamburguesas?

a. Joel y Gilberto.

b. Joaquín y Rogelio. c. Joel y Claudio.

d. Gilberto y Joaquín. e. Claudio y Rogelio.

13.13.13.13. Raúl viaja con frecuencia a las ciudades A , B y C. A está a 4 horas de la casa de Raúl. Para llegar a B tarda el doble de tiempo que le lleva viajar de ida y vuelta a C. C está solamente a una hora menos que A. ¿Cuántas horas tarda el viaje de ida y vuelta a B?

a. 6

b. 9 c. 12 d. 18 e. 24

14.14.14.14. La calle Soledad es paralela a la calle Luciérnaga. La avenida Estrella es perpendicular a la calle

Pastora. La calle Pastora es paralela a la calle Luciérnaga. La calle Soledad es perpendicular a la calle Gaviota. Si la avenida Estrella corre de norte a sur, ¿cuál de las siguientes aseveraciones es FALSA?

a. La calle Gaviota es perpendicular a la calle Pastora.

b. La calle Soledad es paralela a la calle Pastora. c. La calle Gaviota corre de norte a sur. d. La calle Luciérnaga y la calle Soledad corren de este a oeste. e. La avenida Estrella es paralela a la calle Soledad.

15.15.15.15. Un maestro de piano debe seleccionar a 4 de sus 6 alumnos para participar en un programa de televisión. Para decidir quiénes van, toma en cuenta que puede ir Alfredo o Tomás, pero no pueden ir los dos porque

tienen el mismo repertorio, pero es preciso que uno de los dos vaya. Como Rosaura, Tomás y Carlota son hermanos, sólo llevará a dos de ellos. Si va Noemí, a fuerza deberá ir Arturo pues no quieren separarse. Es necesario llevar a dos mujeres; o va Alfredo o va Rosaura ya que como están peleados no deben ir los dos pero uno de ellos debería ejecutar la pieza principal. ¿Quiénes son los dos jóvenes que NO irán al programa de televisión?

a. Arturo y Nohemí

b. Carlota y Tomás

c. Tomás y Alfredo d. Rosaura y Tomás

102

e. Alfredo y Carlota

RAZONAMIENTO VERBALRAZONAMIENTO VERBALRAZONAMIENTO VERBALRAZONAMIENTO VERBAL.- Mide el potencial lingüístico que posee el aspirante y las habilidades adquiridas para comprender conceptos y analizar situaciones específicas. El contenido de esta área es: antónimos, completación de oraciones, comprensión de textos y analogías.

Antónimos:Antónimos:Antónimos:Antónimos: Los antónimos consumen la menor cantidad de tiempo. Miden la amplitud de su vocabulario. Cada ejercicio consiste en la presentación de un término para el que usted deberá escoger aquella palabra o frase con su significado opuesto. InstruccionesInstruccionesInstruccionesInstrucciones: Cada una de las siguientes preguntas consta de una palabra o frase impresa en letras mayúsculas, seguida de cinco palabras designadas con las letras A, B, C, D y E. Elija la letra de la

palabra o frase que indica el antónimo o significado opuesto de la palabra en letras mayúsculas; luego seleccione el encasillado correspondiente en la hoja de respuestas. Como algunas de las preguntas requieren que se distinga entre varios significados parecidos, asegúrese de que ha estudiado todas las posibilidades antes de decidir cuál es la mejor.

ADECUADO (A) analizado (B) estupendo (C) inadvertido (D) incorrecto

(E) inesperado El antónimo de EDECUADO es incorrecto, por lo tanto la respuesta correcta es la D , y debe marcar:

A B C D E

1.1.1.1. AUTÉNTICA

a. falsa

b. dependiente c. devaluada d. descompuesta e. flexible

2.2.2.2. DIVERSIDAD

a. uniformidad

b. opulencia c. llaneza

103

d. oposición e. aburrimiento

3.3.3.3. NOTORIO

a. escabroso

b. detallado c. caprichoso d. ilusorio e. inadvertido

4.4.4.4. REACIO

a. confuso b. fácil

c. dócil d. rancio e. inútil

5.5.5.5. DESCASTADO

a. amargado

b. solitario c. agradecido d. descarriado e. descentrado

COMPLETACIÓN DE ORACIONES:COMPLETACIÓN DE ORACIONES:COMPLETACIÓN DE ORACIONES:COMPLETACIÓN DE ORACIONES: Se mide la habilidad para reconocer las relaciones entre distintas partes de una oración. Requiere que conozca el significado de las palabras y su uso adecuado en el

contexto de la oración.

Instrucciones: Instrucciones: Instrucciones: Instrucciones: Cada una de las siguientes oraciones tiene uno o dos espacios en blanco. Cada espacio indica que se ha omitido una palabra o frase. Debajo de las oraciones hay cinco palabras o frases, señaladas con las letras A, B, C, D y E. Elija la palabra o frase que al insertarse en la oración, complete

mejor su significado; luego seleccione el encasillado correspondiente en la hoja de respuestas.

104

Ejemplo: Los animales pueden _ _ _ _ _ de muchas formas los problemas _ _ _ _ _ por los cambios estacionales. (A) soportar - comunitarios

(B) afrontar - causados (C) rechazar - proporcionados (D) esquivar - esperados (E) someter - propiciados La respuesta correcta es la opción (B), por lo tanto debe marcar:

A B C D E

1.1.1.1. La mundialización del ideal democrático no suprime las relaciones de _ _ _ _ _ entre las naciones.

a. masas

b. fuerza c. comprensión

d. pobreza e. impulso

2.2.2.2. En este ensayo se examinarán tres tendencias generales que caracterizan a todos los grupos de _ _ _ _ _; la burocratización, la centralización y la política.

a. campaña

b. concientización c. élite d. electores e. propaganda

3.3.3.3. Si alguien _ _ _ _ _ sin gracia una anécdota jocosa, _ _ _ _ _ a sus oyentes en lugar de divertirlos.

a. examina . . . disipará

b. designa . . . desligará c. narra . . . aburrirá

d. escoge . . . preocupará e. medita . . . sensibilizará

105

4.4.4.4. El espía se encargó de recoger la _ _ _ _ _ de esa potencia extranjera.

a. información

b. recompensa c. condonación d. representación e. inoperancia

ANALOGÍAS:ANALOGÍAS:ANALOGÍAS:ANALOGÍAS: Estos reactivos miden la habilidad para ver relaciones en un par de palabras, entender las ideas que se expresan y reconocer una relación similar o paralela. InstruccionesInstruccionesInstruccionesInstrucciones: En cada una de las siguientes preguntas se presenta un par de palabras relacionadas, seguidas de cinco pares de palabras designadas con las letras A, B, C, D y E. Elija la letra del par de palabras que mejor

indique una relación similar a la expresada en el par original. Seleccione el encasillado correspondiente en la hoja de respuestas.

Ejemplo: VOCACIÓN : OFICIO : : (A) sacrificio : triunfo

(B) necesidad : satisfactor (C) capacidad : tarea (D) producción : producto (E) calidad : meta La respuesta correcta es la alternativa (C), por lo tanto, debe marcar:

A B C D E

1.1.1.1. VOLCÁN : ERUPCIÓN : :

a. caldera : explosión

b. película : emoción c. carácter : acción

d. ruido : presión e. temperatura : división

2.2.2.2. CANCIÓN : COMPOSITOR : :

a. escultura : piedra b. pintura : composición

106

c. novela : lector d. película : actor e. poesía : poeta

3.3.3.3. AVIÓN : DESPEGA : :

a. cohete : estalla

b. tren : acelera c. helicóptero : aterriza d. submarino : frena e. barco : zarpa

4.4.4.4. TELESCOPIO : LEJANO : :

a. arado : siembra

b. radio : baile c. cine : historia

d. microscopio : pequeño e. periscopio : submarino

5.5.5.5. SIGNOS : DESCIFRAR : :

a. ejercicio : entrenar

b. escalera : ascender c. actos : automatizar d. reglas : disciplina e. trazos : proyecto

COMPRENSIÓN DE TEXTO:COMPRENSIÓN DE TEXTO:COMPRENSIÓN DE TEXTO:COMPRENSIÓN DE TEXTO: Esta sección pretende que el candidato demuestre su habilidad para asimilar información escrita. Este apartado contiene dos tipos de análisis: el tradicional y el crítico.

En el análisis tradicional se presenta un pasaje seguido por preguntas basadas en su contenido. En esta sección se le preguntará sobre la idea principal, inferencias, conclusiones y vocabulario, entre otras cosas.

En el análisis crítico aparecen dos pasajes, seguidos por preguntas basadas en su contenido. En este análisis el candidato deberá interpretar los textos, sintetizar, analizar y evaluar los elementos de los

mismos.

A continuación se presenta un ejemplo:

107

(1) (5) (10)

(1) (5) (10) (15)

InstruccionesInstruccionesInstruccionesInstrucciones:::: A continuación aparecen dos pasajes, A y B, seguidos por preguntas basadas en su contenido. Después de leer los pasajes, elija la mejor respuesta a cada pregunta basándose en lo que el pasaje afirma o implica. Seleccione el encasillado correspondiente en la hoja de respuestas.

(Los pasajes para esta prueba han sido tomados de material impreso que presenta contenidos propios para el análisis o la evaluación. Las ideas que se incluyen en cada pasaje son responsabilidad exclusiva de su autor).

Análisis Crítico

Pasaje APasaje APasaje APasaje A Si la extinción es un proceso natural e inevitable ¿por qué debemos preocuparnos hoy en día? Es cierto que se ha estudiado la importancia de los cambios térmicos en la influencia, por ejemplo de la extinción de los grandes mamíferos habitantes de Europa: mamuts y otros. Asimismo se conocen bastante bien algunas de las

causas que provocaron la desaparición de una especie en un lugar determinado, pero no la extinción de especies en un lugar cuyas condiciones han cambiado, por lo que se plantea el problema: Por la propia vida de las especies, como tales, independientemente de los individuos, es o no limitada. “A diferencia de las extinciones que ocurrieron en el pasado de forma natural, las actuales están sucediendo a un ritmo muy acelerado y no obedecen a una incapacidad natural de adaptación de las especies, ni son el

resultado de un proceso evolutivo, sino que se debe a alguna actividad que el hombre lleva a cabo”. En los últimos tiempos, en un plano de importancia trascendental, el problema de la extinción de las especies se atribuye a la desaparición de otras especies, reducidas ya a zonas geográficas limitadas, como consecuencia de la explotación humana directa.

Si además consideramos que la extinción de una especie no es un evento aislado, sino que puede generar una “reacción en cadena” (muchas especies que requieren de una u otra forma de la que se extingue enfrentan serios problemas para sobrevivir, e incluso pueden llegar a desaparecer por esta razón), nos daremos cuenta de que en consecuencia habrá procesos esenciales para la vida que se verán afectados. Es por ello que es necesario, al menos .... CONSERVAR.

Pasaje BPasaje BPasaje BPasaje B “La especie toda había disminuido hasta casi extinguirse, pues ésta (Labrador) era la única isla donde todavía se reproducían las alcas grises”, escribía en su diario George Cartwright, uno de los pocos residentes permanentes de esa isla en 1785. La matanza de estas delicadas aves, descritas con un plumaje

negro en la cabeza y en el dorso, y blanco en el vientre, concluyó el 3 de junio de 1844, cuando un cazador dio muerte a la última pareja de alcas y su único huevo fue arrojado al mar.

108

La extinción de estas aves a manos del ser humano se suma a una larga lista de otras especies: la ballena gris del Océano Atlántico, aniquilada desde principios del siglo XVIII por pescadores europeos; el bisonte norteamericano destruido por los aventureros estadounidenses del siglo XIX; el visón marino, desaparecido

de la faz de la tierra hacia 1880. Con métodos que indignan, el hombre sistemáticamente se ha dedicado a destruir la naturaleza. En el caso del visón marino, por ejemplo, los cazadores se valían de jaurías adiestradas, barras con ganchos de acero o carretadas de azufre para sacar a los visones de sus madrigueras y poder así matarlos más fácilmente. Aves, felinos, lobos, osos, bisontes, tortugas y otros muchos animales han dejado de existir en los últimos

300 años debido a la guerra que ha declarado el hombre en contra de la naturaleza. Y no sólo han sido animales, sino también bosques, selvas, barreras de coral, ríos y hasta el lecho de los océanos los que han perdido todo rastro de vida. Además del asalto directo de la mano del hombre contra la naturaleza, el desarrollo industrial del mundo ha contribuido al efecto de invernadero, al adelgazamiento y ruptura de la capa de ozono y al desequilibrio cada

vez más extendido de los ecosistemas. Y no obstante los avances en cuanto a investigación, programas de conservación nacionales o internacionales, nunca como ahora se ha estado tan cerca de precipitarse en una extinción generalizada de las especies.

En el pasaje A, líneas 7-9, el propósito del autor es (A) contrastar las extinciones del pasado con las del presente.

(B) restar importancia a los procesos naturales de extinción. (C) enumerar diferentes procesos evolutivos. (D) valorar la importancia de las acciones humanas. (E) ejemplificar dos formas de extinción.

La respuesta correcta es la opción (A); por lo tanto, debe marcar:

A B C D E

En el pasaje B, líneas 1-3, el autor utiliza como recurso para introducir el tema un (A) momento del pasado. (B) dato impresionante.

(C) testimonio valido. (D) signo de peligro. (E) suceso hasta ahora desconocido. La respuesta correcta es la opción (C); por lo tanto, debe marcar:

A B C D E

109

Ambos pasajes difieren en cuanto a las causales de extinción que tratan, mientras que el A se refiere a un proceso natural y a la acción humana, el B menciona

(A) la matanza de las especies. (B) desde la disminución hasta la extinción de las alcas. (C) el asalto directo de la mano del hombre y el desarrollo industrial del mundo. (D) la poca efectividad de la investigación y de programas de conservación. (E) el descuido de muchos animales durante 300 años.

La respuesta correcta es la opción (C); por lo tanto, debe marcar:

A B C D E

Ambos pasajes mencionan lo que podría ser la solución para la extinción de las especies que es

(A) resolver si se trata de un proceso natural e inevitable. (B) regenerar los procesos esenciales para la vida. (C) penalizar la caza. (D) conservar. (E) avanzar más en la investigación.

La respuesta correcta es la opción (D); por lo tanto, debe marcar:

A B C D E

RAZONAMIENTO NO VERBAL:RAZONAMIENTO NO VERBAL:RAZONAMIENTO NO VERBAL:RAZONAMIENTO NO VERBAL:

Los Test de Razonamiento No Verbal son pruebas que miden el razonamiento abstracto y la capacidad de razonar sobre problemas de lógica, mediante símbolos o figuras, problemas de agilidad mental,

razonamiento espacial , razonamiento numérico, etc

A continuación se presentan algunos ejemplos resueltos de este tipo de problemas:

1.1.1.1. Cuatro hermanos tienen 45 rublos. Si el dinero del primero es aumentado en 2 rublos, el del segundo reducido en 2 rublos, se duplica el del tercero y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de rublos. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?

110

Posible Solución

Si son cuatro hermanos, entonces:

A + B + C + D = 45

Por lo tanto:

(A + 2) + (B – 2) + (2C) + (D / 2) = ¿?

En un principio pensé que la cantidad sumaría 45, sin embargo, eso no es necesariamente cierto. Porque es evidente que los dos rublos que se le quitan a B se le agregan a A. Hasta ese punto la cifra sigue en 45, sin embargo, la mitad que se le quita a D no es la misma mitad que se agrega a C. Por esta razón, decidí hacer un estimado de las cantidades.

Se entiende que son rublos enteros, así que no se pueden tener fracciones. Ahora, despejando D de la relación que existe entre 2C = D / 2, tenemos que D = 4C. De todos los múltiplos de cuatro hay tres posibles soluciones para D: 4, 20 y 28. La razón es que con esos resultados, C y D suman un número impar: 5, 25 y 35, respectivamente, lo cual significa que dejan números pares para la otra mitad de la

operación: 40, 20 y 10, respectivamente. Esa parte de la operación debe ser par porque se necesita dividir entre 2, y a una mitad quitarle 2, A, y a la otra mitad sumarle esos 2, B. Sin embargo, de todas esas opciones, la única que cumple con la igualdad es la combinación: A = 8, B = 12, C = 5 y D = 20.

2.2.2.2. A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, la una frente a la otra. La altura de una es de 30 codos, y la de la otra, de 20. La distancia entre sus troncos, 50 codos. En la copa de cada palmera hay un pájaro. De

súbito los dos pájaros descubren un pez que aparece en la superficie del agua, entre las dos palmeras. Los pájaros se lanzaron y alcanzaron el pez al mismo tiempo. ¿A qué distancia del tronco de la palmera mayor apareció el pez?

Posible Solución

Para resolver este problema se genera dos triángulos rectángulos y se aplica el teorema de Pitágoras. Para la solución se está suponiendo que ambos pájaros vuelan a la misma velocidad. La distancia que

buscamos es la que existe entre el pez y el tronco, así que a esta distancia la llamaremos x, por lo tanto, la distancia entre el pez y la palmera menor es 50-x. Las hipotenusas de ambos triángulos son iguales. Por lo tanto: 30² + x² = (50 - x)² + 20². Desarrollando la igualdad tenemos: 900 + x² = 2500 – 100x + x² + 400. Las x² se eliminarán al despejar x y el resultado es: x = 20. El pez apareció a 20 pies de la palmera mayor.

3.3.3.3. Un grupo de alumnos de la secundaria se hizo cargo de construir una zanja en la huerta de la escuela y para eso formaron una brigada. Si hubiera trabajado toda la brigada, la zanja habría sido cavada en 24 horas. Mas el trabajo fue comenzado por un solo miembro de la brigada. Poco después se le unió otro y

111

más tarde un tercero, al cabo del mismo tiempo se incorporó un cuarto, y así sucesivamente, hasta el último. Cuando se hizo el balance del trabajo efectuado, resultó que el primero había invertido en el trabajo 11 veces más de tiempo que el último.¿Cuánto trabajó el último?¿Cuántos trabajadores hay en la brigada

de cavadores?

Posible Solución

Queremos saber el tiempo que trabajó el último miembro, así que a este tiempo le llamaremos x. Por lo tanto, el primer miembro trabajó 11x. Ahora, el número de miembros de la brigada se desconoce, por lo tanto, hablamos de y cavadores. El balance del trabajo efectuado se puede sacar a través de un promedio

del máximo y el mínimo, es decir: (11x + x) / 2. Lo cual nos da un total de 6x horas por cavador. Además, se nos da como premisa que si todos hubieran trabajado desde el principio habrían terminado en 24 hrs. Lo cual significa que se requieren y personas durante 24 hrs. para terminar el trabajo, esto lo representamos como 24y. Si relacionamos el promedio de horas trabajadas por cavador, con la expresión anterior, obtenemos: 6xy = 24y. Al despejar x obtenemos x = 4.

Por lo tanto, el último cavador sólo trabajó 4 horas.

Con esta última ecuación, sólo podemos saber el valor de x, para obtener el número de cavadores hace falta saber el progreso que tenían en el tiempo o algo así, porque sustituir x nos dará como resultado 24y = 24y, lo cuál no nos permite saber el número de miembros de la brigada

4.4.4.4. La distancia entre dos pinos es de 40 m. Sus alturas son: 31 m y solo 6 m. ¿Pueden calcular la distancia entre sus cimas?

Posible Solución

Sí, sólo hay que aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo superior. La distancia entre las puntas es la hipotenusa, la base es de 40 metros y la altura es 31 – 6 =25. Con esto tenemos que c² = 40² + 25².

Resolviendo tenemos: c² = 2225

Por lo tanto, la distancia entre sus cimas es c = 2225= 47.17m.

112

E J E R C I C I O S:E J E R C I C I O S:E J E R C I C I O S:E J E R C I C I O S:

1.1.1.1. Al formar un cubo cuyo desarrollo es el de la figura, ¿qué letra tiene la cara opuesta a la marcada con x?

a. A

b. B c. C d. D e. E

2.2.2.2. Existe un terreno con la forma que se ve en la figura. Este terreno posee la propiedad de que si medimos su perímetro en km y su área en km², las dos medidas están representadas por el mismo número. ¿Cuál es el

perímetro del terrenito?

a. 2.8 Km

b. 16.2 km c. 28 Km

d. 31.36 Km e. 39.47 Km

3.3.3.3. En una familia el padre, que se llama Petardo, es 6 años mayor que la madre, de nombre Sandalia. La media de sus edades es de 39 años, mientras que la media de las edades del padre y de su hija Pirula es de 27 años. Así que, ¿cuántos años tiene Pirula?

a. 9 años

b. 8 años c. 10 años d. 11 años e. 12 años

4.4.4.4. Un grupo de amigos fue a tomar unos refrescos y unos bocatas, y lo pusieron todo en una cuenta, que ascendió a 36 euros. Todos iban a pagar por igual, pero dos de ellos se habían ido, por lo que a cada uno le tocó pagar 1,14 euros más. ¿Cuántas personas conformaban el grupo original?

a. 8

b. 9 c. 10

113

d. 11 e. 12

5.5.5.5. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo, pero hace cinco años era cuatro veces más joven. ¿Cuántos años tiene?

a. 11 años

b. 12años c. 13 años

d. 14 años e. 15 años

6.6.6.6. Judith y Manuel visitaron la granja de su tío. Durante su estancia vieron un corral con cerdos y gallinas. Manuel dijo haber contado dieciocho animales en total. Judith afirmó haber contado cincuenta patas. ¿Cuántos cerdos había? y ¿Cuántas gallinas?

a. 13 gallinas y 5 cerdos

b. 12 cerdos y 6 gallinas c. 10 cerdos y 8 gallinas d. 7 cerdos y 11 gallinas e. 8 cerdos y 10 gallinas

7.7.7.7. Cuatro vacas negras y tres vacas marrones dan tanta leche en cinco días como tres vacas negras y cinco

marrones en cuatro días. ¿Qué clase de vaca es mejor lechera, la negra o la marrón?.

a. Las dos iguales

b. La marrón c. La negra d. Unas veces la marrón y otras la negra e. La vaca negra no da leche

8.8.8.8. En el fondo de un pozo de doce metros de profundidad hay un caracol que sube tres metros durante el día y desciende uno durante la noche.¿Cuánto tardará en salir el caracol del pozo?

a. 8 días y 7 noches

b. 5 días y 6 noches c. 6 días y 5 noches

d. 5 días y 5 noches e. No sale nunca

114

9.9.9.9. Alex piensa tres números. Si los agrupa de dos en dos y los suma, obtiene 38, 44 y 52.¿Cuáles son esos números?

a. 15, 23 y 29

b. 20, 21 y 22 c. 17 , 20 y 31

d. 38, 44 y 52 e. 16, 22 y 28

10.10.10.10. Cuántos números de tres cifras hay que cumplen la propiedad de que la suma de la cifra de las centenas y la de las decenas nos da la cifra de las unidades?

a. 9

b. 20 c. 22 d. 40 e. 45

11.11.11.11. Un tronco redondo pesa 150 kilos. ¿Cuánto pesaría si fuera el doble de grueso y la mitad de largo?

a. 150 Kg

b. 300 Kg c. 750 Kg

d. 600Kg e. 200 Kg

12.12.12.12. La doctora Numeratti era una de esas personas que siempre andan buscando relaciones entre números. Por ejemplo, un buen día se dio cuenta de que los números de su casa y las de sus amigas eran tres

números primos consecutivos tales que multiplicados los tres daban su número de teléfono. La doctora Numeratti vivía entre sus dos amigas y tenía un número de teléfono de cinco cifras que empezaba por 6. Averigua el número de la casa de la doctora Numeratti, así como su número de teléfono.

a. El número de la casa es 37 y su teléfono es 56321

b. El número de la casa es 41 y su teléfono es 65231 c. El número de la casa es 23 y su teléfono es 23155 d. El número de la casa es 13 y su teléfono es 31356 e. El número de la casa es 29 y su teléfono es 35621

115

13.13.13.13. Si pliegas una tira de papel por la mitad y después otra vez por la mitad, al desdoblarla verás tres marcas, una hacia arriba y dos hacia abajo. Preguntamos:

a) ¿Cuántas marcas habrá si el proceso de plegado por la mitad se hace 6 veces?

b) ¿Cuántas marcas estarán hacia arriba y cuántas hacia abajo?

a. a)63 b)31 hacia arriba y 32 hacia abajo b. a)6 b)3 hacia arriba y 3 hacia abajo c. a)64 b)32 hacia arriba y 32 hacia abajo d. a)31 b)15 hacia arriba y 16 hacia abajo e. a)127 b)63 hacia arriba y 64 hacia abajo

14.14.14.14. Dividimos un rectángulo en 4 rectángulos con segmentos paralelos a los lados como indica la figura. Si las áreas de tres de estos 4 rectángulos son las que se muestran, ¿cuál es el área del cuarto rectángulo?

a. 10

b. 15 c. 20 d. 21 e. 25

15.15.15.15. En la cena de Nochebuena, Juan compra una pizza enorme y la corta en 24 trozos iguales. Marcos se come 1/6 de la pizza. Claudia se come 1/4 de lo que queda y Silvia 1/3 del resto después de que Claudia y Marcos se han servido. Si Juan se come lo que queda, ¿qué fracción de la pizza se ha comido Juan?

a. 5/12

b. 3/7 c. 6/17

d. 9/24 e. 11/24

16.16.16.16. Una persona tarda 90 segundos en recorrer los 60 metros de una cinta mecánica que no funciona. En marcha, la cinta transporta a la gente en 60 segundos. ¿Cuánto tiempo necesitará esa persona para recorrer los 60 metros si anda mientras la cinta está en funcionamiento?

a. 30 seg

b. 36 seg c. 40 seg d. 45 seg e. 50 seg

116

17.17.17.17. Noventa personas han solicitado trabajo como vendedor de un empresa editorial. Diez solicitantes no han trabajado nunca en ventas ni en editoriales. Sesenta y cinco han trabajado en ventas, y cincuenta y ocho tienen cierta experiencia en el ramo editorial. ¿Cuántos solicitantes tienen experiencia tanto en ventas como

en empresas editoriales?

a. 40

b. 41 c. 42 d. 43 e. 44

18.18.18.18. Isabel tiene en su mano monedas de 1 céntimo de euro, de 5 céntimos y de 10 céntimos, que suman 80 céntimos. Si tiene un total de 15 monedas y tiene igual número de monedas de 1 que de 5 céntimos, ¿cuántas monedas de 10 céntimos tiene?

a. 1 b. 2

c. 3 d. 4 e. 5

19.19.19.19. Como se muestra en la figura, hemos quitado al triángulo equilátero ABC, de lado 3, un triángulo de la

esquina con DB = EB = 1. ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero ADEC que queda?

a. 6 b. 6.5

c. 7 d. 7.5 e. 8

20.20.20.20. Han hecho falta 4221 caracteres para numerar las páginas de un libro. Cuántas páginas tiene?

a. 1108

b. 1246 c. 1332

d. 1533 e. Ninguna de las respuestas

117

21.21.21.21. Un equipo de baloncesto ha ganado 30 partidos de 40 jugados. Entre los 30 partidos que todavía quedan por jugar, ¿cuántos debe ganar el equipo para conseguir un 80% de victorias en la liga?

a. 10

b. 15 c. 25

d. 26 e. 30

22.22.22.22. Juan ha gastado el 40 % de sus ahorros para comprarse bombones y ha dado a su hermana el 30 % de lo que le queda. ¿Qué porcentaje de sus ahorros conserva?

a. 18%

b. 30% c. 35% d. 42% e. 50%

23.23.23.23. María ha gastado 7 euros en la compra de 100 caramelos. Si los de menta cuestan 5 céntimos cada uno, los de fresa cuestan 6 céntimos cada uno y los de limón 7, ¿cuántos caramelos de limón más que de menta

ha comprado?

a. 50

b. 60 c. 70 d. 100 e. Falta información

Una partícula se mueve a lo largo del primer cuadrante de la forma siguiente: durante el primer minuto va desde el origen al punto (1, 0). Luego continúa con la trayectoria indicada en la figura con velocidad constante, de manera que en cada minuto recorre una unidad de distancia con camino paralelo a algún eje. ¿En qué

punto estará la partícula al cabo de una hora y media?

a. (9,9)

b. (9,0) c. (8,9) d. (10,9) e. (0,9)

24.24.24.24. En un bosque un guarda forestal ha observado que 3000 árboles deben talarse. En este bosque encontramos un 40 % de coníferas y un 60 % de otras familias de árboles, entre las que se encuentran los

118

chopos, que constituyen el 62 % de esos árboles. Los pinos constituyen el 25 % de las coníferas. ¿Cuántos chopos y pinos se talarán en total?

a. 1326

b. 1416 c. 1500

d. 2610 e. Ninguna de las respuestas anteriores

25.25.25.25. Jorge lava su coche en 30 minutos, mientras que su hermana María lo lava en 45 minutos. ¿Cuánto tiempo les costará lavar el coche entre los dos?

a. 15 minutos

b. 18 minutos c. 20minutos d. 25 minutos e. 37 minutos

26.26.26.26. Cortamos un cuadrado en tres rectángulos con rectas paralelas a un lado. Si el perímetro de cada uno de estos tres rectángulos es 24, ¿cuál es el área del cuadrado original?

a. 24 b. 36

c. 64 d. 81 e. 96

27.27.27.27. Un atleta comienza la carrera recorriendo 300 metros durante el primer minuto, pero comienzan las molestias y sigue la carrera disminuyendo 20 metros la distancia que recorre cada minuto que pasa hasta que por fin se para. ¿Qué distancia habrá recorrido desde el minuto ocho de carrera hasta que por fin se pare?

a. 640 m b. 720 m.

c. 800 m d. 850 m e. No se puede saber

119

28.28.28.28. Tenemos tres números naturales: el segundo es 5 unidades más que el primero y el tercero es el doble de la suma de los dos primeros. Si la suma de los tres es75, ¿cuál es el segundo?

a. 6

b. 10 c. 15

d. 30 e. 50

29.29.29.29. El precio postal de un paquete es de 3 dólares para el primer kilo y de 1/5 de centavo por cada gramo suplementario. Además, se paga 1 dólar si la ciudad está a menos de 50 km y se añaden 0,15 dólares por cada km que sobrepasa. ¿Cuál será el precio postal de un paquete de 3,5 kilos que se dirige a una ciudad que está a 115 km?

a. 10.25

b. 11.55 c. 12.05

d. 13.75 e. 18.75

30.30.30.30. Se dan 28 saludos en una recepción en la que todo el mundo se da la mano una vez. ¿Cuántas personas están presentes?

a. 6

b. 7 c. 8 d. 12 e. 14

31.31.31.31. En una sala el número de filas es igual al doble del número de sillas de una fila. Si hay 1352 sillas y cada fila tiene el mismo número de sillas, ¿cuántas filas hay en la sala?

a. 12 b. 26

c. 37 d. 52 e. Ninguna de las respuestas anteriores

120

32.32.32.32. Una caja contiene 24 cubos idénticos. ¿Cuántos cubos podrán colocarse en una caja de dimensiones dobles a la anterior?

a. 48

b. 96 c. 144

d. 192 e. La información es incompleta

121

1.1.1.1. En un cajón existen 5 pares de medias negras y 5 pares de medias blancas, si sacamos de una en una y sin mirar.¿Cuántos como mínimo debemos sacar para tener la certeza de obtener un par del mismo color?

a) 2 b) 1 c) 3 d) 7 e) 11

2.2.2.2. Un total de 55 estrechadas de mano se efectuaron en una fiesta. Suponiendo que cada uno de los participantes es cortés con cada uno de los demás, el número de personas era:

a) 11 b) 10 c) 12 d) 13 e) 14

3.3.3.3. En una caja hay 2 cajas y 3 bolas. En cada una de estas cajas hay 2 cajas y 3 bolas y finalmente en cada una de estas cajas hay 2 cajas y 3 bolas. ¿ El número total de bolas es ?

a) 21 b) 18 c) 20 d) 19 e) 22

4444.... Si de cada 20 mujeres 10 son solteras. ¿Cuántas casadas habrán de 200 que no sean casadas ?

a) 100 b) Más de 100. c) Más de 20 pero menos de 100. d) Ninguna.

e) Menos de 100.

5555.... A un número, se le multiplica por tres, se le resta seis. Luego se le multiplica por cinco, al nuevo resultado se le divide por ocho, al resultado se eleva al cuadrado, luego se le resta ciento setenta y uno para luego extraerle la raíz cúbica obteniéndose nueve. ¿El duplo de la cuarta parte del número inicial es:?

a) 24 b) 9 c) 18 d) 36 e) 7

6666.... Entre Cuenca y Guayaquil hay 5 líneas diferentes de autobuses y entre Guayaquil y Salinas hay 3 líneas de autobuses. ¿ de cuántas maneras puede una persona ir de Cuenca a Salinas y regresar en líneas diferentes ?

a) 125 b) 123 c) 120 d) 23 e) 15

7777.... ¿ Cuántas veces debemos lanzar un dado para obtener al menos dos veces la misma puntuación ?

a) 6 b) 8 c) 12 d) 7 e) 14

122

8888.... Halle la proposición equivalente a “No es cierto que, nos esforcemos y no ingresemos “.

a) Ingresamos o no nos esforzamos. b) Nos esforzamos o ingresamos.

c) Nos esforzamos o no ingresamos. d) No Ingresamos y no nos esforzamos.

e) Nos esforzamos e ingresamos.

9999.... Entre las siguientes opiniones, señale la que contiene información:

a) Dijo que le parecía injusto. b) Belleza es la de Lucía. c) La situación política es incierta. d) La paz es deseable. e) Hicieron lo que debían hacer en este caso.

10101010.... A la una de la tarde Ana y Luisa salen las dos de un mismo punto y empiezan a correr por una pista circular. Ana corre en el sentido de las manecillas del reloj y Luisa en sentido contrario. A las tres de

la tarde las dos se encuentran otra vez en el punto de partida. Si Ana ha dado 10 vueltas a la pista y Luisa ha dado 14 vueltas, ¿Cuántas veces se han cruzado durante la carrera ?

a) 24 veces. b) 23 veces. c) 22 veces. d) 14 veces. e) 10 veces.

11111111. . . . Un niño tarda 2 horas en ver un programa de televisión. ¿ Cuánto tardarán tres niños en ver el mismo programa ?


12121212.... Juan es mas pesado que Luis. Andrés es más pesado que Jaime. Jaime es más liviano que Paco. Luis y Paco tienen el mismo peso. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta?

a) Andrés es más pesado que Paco. b) Andrés es más pesado que Juan.

c) Luis es más liviano que Andrés. d) Juan es más pesado que Jaime.

e) Luis es mas liviano que Jaime.

13131313. . . .

123

Miguel mira a Pedro. Ramón mira a Benito. Jordi y Benito miran a Miguel.

Pedro y Narciso se miran. Entonces: Pedro y Ramón son:

a) 1 y 2. b) 4 y 5. c) 2 y 3. d) 5 y 6. e) Ningún par de los anteriores.

14141414.... María tiene un hermano llamado Juan. Juan tiene tantos hermanos como hermanas. María tiene el doble de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos chicos y chicas hay en la familia?

a) Cuatro chicos y tres chicas. b) Cuatro chicos y cuatro chicas.

c) Tres chicos y cuatro chicas. d) Tres chicos y tres chicas.


15151515.... En una habitación hay cierto número de niños. Cada uno de los niños ve 5 niños. ¿Cuántos niños hay en la habitación ?


16161616.... Un tendero dispone de una balanza y cuatro pesas distintas, y estas pesas son tales que le permiten pesar cualquier número exacto de kilogramos desde 1 a 40. ¿Qué pesa cada una de las pesas?

a) Las pesas son de: 1, 4, 9 y 26 Kg. b) Las pesas son de: 1, 3, 9 y 27 Kg.

c) Las pesas son de: 1, 5, 12 y 22 Kg. d) Las pesas son de: 1, 4, 12 y 23 Kg.


17171717.... De cuatro corredores de atletismo se sabe que C ha llegado inmediatamente detrás de B, y D ha llegado en medio de A y C. El orden de llegada será:

a) A – B – C y D. b) C – D – A y B. c) A – D – C y B.

d) B – C – D y A. e) Ninguno de los anteriores.

124

18181818. . . .

Nicolás, Carlos y Pedro llevan una misma bufanda. Ramón y Antonio también. Carlos y Ramón llevan la gorra del mismo color. Nicolás y Antonio no llevan gorra. Entonces Pedro y Ramón son:

a) 1 y 3. b) 2 y 4. c) 1 y 4. d) 2 y 5. e) No se puede determinar.

19191919.... Si se coloca 20 esferas formando una pirámide de triángulo regular, el número de esferas de la base es:


20202020.... Tres personas A , B y C deben repartirse 21 vasos iguales, de los cuales 7 están llenos, 7 medios llenos y 7 vacíos. Si a cada uno debe tocarle la misma cantidad de vino y el mismo número de vasos. ¿ Cuál es el número de vasos vacíos que le toca a la persona que tiene 3 vasos llenos ?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

21212121.... Armando, Basilio, Carlos y Dionisio fueron, con sus esposas, a comer en un restaurante. Se sentaron en una mesa redonda, de forma que: Ninguna mujer se sentaba al lado de su marido. Enfrente de Basilio se sentaba Dionisio. A la derecha de la mujer de Basilio se sentaba Carlos. No había dos mujeres juntas. ¿Quién se sentaba entre Basilio y Armando?

a) La esposa de Carlos. b) La esposa de Dionisio. c) La esposa de Basilio. d) La esposa de Armando. e) Es imposible determinarlo.

22222222.... Tres niños se comen tres pasteles en un minuto y medio. ¿Cuántos niños hacen falta para comer 60 pasteles en media hora?

a) 30 niños. b) 40 niños c) 6 niños d) 2 niños e) 3 niños.

125

23232323.... Angel, Boris, César y Diego se sentaron a beber. El que se sentó a la izquierda de Boris, bebió agua. Angel estaba frente al que bebía vino. Quien se sentaba a la derecha de Diego bebía anís. El del café y el del anís estaban frente a frente. ¿Cuál era la bebida de César?

a) Anís. b) Agua. c) Vino. d) Café. e) No hay como saber.

24242424. . . .

María y Juan se miran. Rosa mira a Carlos. Carlos y Antonio se hacen un guiño. Las chicas son: María, Luisa y Rosa. Entonces los personajes 3. y 4. son:

a) Carlos y Rosa. b) Juan y Rosa. c) Antonio y María d) Juan y María e) Carlos y Luisa.

25252525.... A lo largo de una carretera hay cuatro pueblos seguidos: Los Rojos viven al lado de los Verdes pero no de los Grises; los Azules no viven al lado de los Grises. ¿Quiénes son los vecinos de los Grises?

a) Los Verdes. b) Los Azules. c) Los Rojos. d) Los Grises. e) Los Amarillos.

26262626.... Tomás, Pedro, Jaime, Susana y Julia realizaron un test. Julia obtuvo mayor puntuación que Tomás, Jaime puntuó más bajo que Pedro pero más alto que Susana, y Pedro logró menos puntos que Tomás. ¿Quién obtuvo la puntuación más alta?

a) Jaime. b) Julia. c) Pedro. d) Susana. e) Tomás.

126

27272727. . . .

El tío Ramón lleva unos grandes bigotes. El tío Pedro, una gran barba. El tío Ernesto y el tío Manuel llevan gafas. El tío Juan y el tío Ernesto son calvos. Los personajes 2. y 5. son:

a) Pedro y Ramón. b) Manuel y Juan. c) Ernesto y Ramón.

d) Juan y Ernesto. e) Ramón y Juan.

28282828.... Todos los neumáticos son de goma. Todo lo de goma es flexible. Alguna goma es negra. Según esto, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

a) Todos los neumáticos son flexibles y negros. b) Todos los neumáticos son negros.

c) Sólo algunos neumáticos son de goma. d) Algunos neumáticos no son flexibles.

e) Todos los neumáticos son flexibles y algunos negros.

127

29292929. . . .

Pedro y Antonio llevan el sombrero igual. Jaime y Andrés también. Andrés y Pedro llevan lazos iguales. Juan y Antonio también. El que lleva el sobrero blanco es:

a) Andrés. b) Antonio. c) Jaime. d) Juan. e) Pedro.

30303030.... Todas las ostras son conchas y todas las conchas son azules; además algunas conchas son la morada de animalitos pequeños. Según los datos suministrados, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

a) Todas las ostras son azules. b) Todas las moradas de animalitos pequeños son ostras.

c) a) y b) no son ciertas. d) a) y b) son ciertas las dos.


31313131. . . .

Pepe imita a Juan en todo. Juan sólo imita a Luis en el fumar. Ernesto sólo imita a Luis en el sombrero. Juan y Felipe están de lado. Entonces el que fuma en pipa y el que fuma cigarrillo son respectivamente:

a) Juan y Felipe. b) Felipe y Ernesto. c) Luis y Juan. d) Pepe y Ernesto. e) Ernesto y Juan.

128

LA SIGUIENTE EXPLICACION SIRVE DE BASE PARA RESPONDER LOS LA SIGUIENTE EXPLICACION SIRVE DE BASE PARA RESPONDER LOS LA SIGUIENTE EXPLICACION SIRVE DE BASE PARA RESPONDER LOS LA SIGUIENTE EXPLICACION SIRVE DE BASE PARA RESPONDER LOS PROBLEMAS DEL 32 AL 37PROBLEMAS DEL 32 AL 37PROBLEMAS DEL 32 AL 37PROBLEMAS DEL 32 AL 37....

Un colegio debe escoger cuatro estudiantes para un concurso con otros colegios . Hay siete candidatos con iguales aptitudes: X, Y, y Z que se encuentran en el sexto curso y A, B, C, y D del quinto curso. Es requisito que sean dos del quinto curso y dos del sexto curso. También es necesario que todos los concursantes puedan trabajar entre si, pero: Los estudiantes A y B ; A y Y ; y , Z y C no pueden trabajar juntos respectivamente.

32323232.... Si el estudiante B es seleccionado y el Y eliminado, entonces el equipo debe estar integrado por:

a) X, Z, A y B. b) X, Z, D y B. c) X, Z, C y B.

d) X, D, C y B e) Z, C, D y B.

33333333.... Si el estudiante A es seleccionado, ¿Cuáles son los otros tres que deben ser escogidos?

a) X, Y y D. b) X, Z y D. c) X, Z y B.

d) X, Z y C e) C, Z y D.

34343434.... Si los estudiantes Y y Z son seleccionados, ¿Cuáles son los otros dos que deben ser escogidos?

a) C y D. b) Solamente D. c) B y A.

d) B y D. e) Solamente C.

35353535.... ¿Cuál de la(s) siguiente(s) frase(s) es falsa:

I. Los estudiantes Y y C nunca se les selecciona juntos.

II. Los estudiantes Z y B nunca se les selecciona juntos.

III. Los estudiantes Z y D nunca se les selecciona juntos.

a) Solamente la I. b) Solamente la II. c) Solamente la III. d) Solamente la I y III. e) La I, II y III.

36363636.... ¿Cuál de las siguientes frases es verdadera para el estudiante X:

I. El estudiante X debe ser seleccionado como uno del sexto curso.

II. El estudiante X debe ser seleccionado si el estudiante C lo es.

129

III. El estudiante X no puede ser seleccionado si A y B son eliminados.

a) Solamente la I: b) Solamente la II. c) Solamente la III. d) Solamente la I y la III. e) La I, II y III.

37373737.... ¿Cuál de las siguientes frases debe ser siempre verdadera:

I. Si X es seleccionado, B es también seleccionado.

II. Si X no es seleccionado, B es seleccionado.

III. Si D no es seleccionado, entonces X y Y son seleccionados.

a) Solamente la I. b) Solamente la II. c) Solamente la III. d) Solamente la II y la III. e) La I, II y III.

38383838....

Pedro y Antonio llevan el sombrero igual. Jaime y Andrés también. Andrés y Pedro llevan lazos iguales. Juan y Antonio también. Los personajes que llevan sombrero negro son:

a) Andrés y Juan. b) Antonio y Jaime. c) Jaime y Pedro. d) Juan y Andrés. e) Pedro y Antonio.

CCCCada pregunta desde la 39 hasta la 43ada pregunta desde la 39 hasta la 43ada pregunta desde la 39 hasta la 43ada pregunta desde la 39 hasta la 43 está formada de un dibujo que muestra un pedazo está formada de un dibujo que muestra un pedazo está formada de un dibujo que muestra un pedazo está formada de un dibujo que muestra un pedazo de cartón qude cartón qude cartón qude cartón que e e e

se debe doblar. Lse debe doblar. Lse debe doblar. Lse debe doblar. Las rectas punteadas indican los puntos donde se debe das rectas punteadas indican los puntos donde se debe das rectas punteadas indican los puntos donde se debe das rectas punteadas indican los puntos donde se debe doblar. Eoblar. Eoblar. Eoblar. Escoja el dibujo a, b, c scoja el dibujo a, b, c scoja el dibujo a, b, c scoja el dibujo a, b, c o d que se obtenga al doblar el cartón del dibujo. Marque a la derecha su respuesta:o d que se obtenga al doblar el cartón del dibujo. Marque a la derecha su respuesta:o d que se obtenga al doblar el cartón del dibujo. Marque a la derecha su respuesta:o d que se obtenga al doblar el cartón del dibujo. Marque a la derecha su respuesta:

39.

130

40.

41.

42.

43.

Cada pregunta desde lCada pregunta desde lCada pregunta desde lCada pregunta desde la 44 hasta la 49a 44 hasta la 49a 44 hasta la 49a 44 hasta la 49 está formada por un dibujo que muestra una caja que se debe está formada por un dibujo que muestra una caja que se debe está formada por un dibujo que muestra una caja que se debe está formada por un dibujo que muestra una caja que se debe desdoblar. Si la caja estuviera sin doblar se parece a uno de los dibujos A, B, C o D de la derecha. desdoblar. Si la caja estuviera sin doblar se parece a uno de los dibujos A, B, C o D de la derecha. desdoblar. Si la caja estuviera sin doblar se parece a uno de los dibujos A, B, C o D de la derecha. desdoblar. Si la caja estuviera sin doblar se parece a uno de los dibujos A, B, C o D de la derecha. Escoja la letra del cartón que al doblarlo dé la caja. Marque su rEscoja la letra del cartón que al doblarlo dé la caja. Marque su rEscoja la letra del cartón que al doblarlo dé la caja. Marque su rEscoja la letra del cartón que al doblarlo dé la caja. Marque su respuesta a la derecha.espuesta a la derecha.espuesta a la derecha.espuesta a la derecha. 44.

45.

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

131

46.

47.

48.

49.

EEEExamine cuidadosamente cada figura, y seleccionexamine cuidadosamente cada figura, y seleccionexamine cuidadosamente cada figura, y seleccionexamine cuidadosamente cada figura, y seleccione la cantidad de bloques que existe en cada una de ellala cantidad de bloques que existe en cada una de ellala cantidad de bloques que existe en cada una de ellala cantidad de bloques que existe en cada una de ellas s s s . S. S. S. Señale su opción de las cinco que se indican.eñale su opción de las cinco que se indican.eñale su opción de las cinco que se indican.eñale su opción de las cinco que se indican. 50.

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

a) 70

b) 80

c) 60

d) 90

e) 40

132

51.

52.

53.

54.

a) 48

b) 50

c) 46

d) 56

e) 40

a) 32

b) 34

c) 26

d) 28

e) 30

a) 46

b) 48

c) 50

d) 44

e) 52

a) 38

b) 40

c) 36

d) 42

e) 34

133

55.

56.

57.

a) 106

b) 112

c) 118

d) 124

e) 130

a) 32

b) 36

c) 34

d) 40

e) 38

a) 45

b) 46

c) 47

d) 48

e) 49

134

58.

Analice la secuencia y complete el número que hace falta. Elija su respuesta de las opciones mostradas.Analice la secuencia y complete el número que hace falta. Elija su respuesta de las opciones mostradas.Analice la secuencia y complete el número que hace falta. Elija su respuesta de las opciones mostradas.Analice la secuencia y complete el número que hace falta. Elija su respuesta de las opciones mostradas. 59595959.... 3 13 4 15 5 17 6 19 7 ?3 13 4 15 5 17 6 19 7 ?3 13 4 15 5 17 6 19 7 ?3 13 4 15 5 17 6 19 7 ?

a) 20 b) 23 c) 21 d) 25 e) 27 60606060.... 4 8 16 24 32 40 48 ?4 8 16 24 32 40 48 ?4 8 16 24 32 40 48 ?4 8 16 24 32 40 48 ?

a) 64 b) 56 c) 96 d) 62 e) 52 61616161.... 20 25 23 28 26 31 29 34 ?20 25 23 28 26 31 29 34 ?20 25 23 28 26 31 29 34 ?20 25 23 28 26 31 29 34 ?

a) 33 b) 32 c) 31 d) 30 e) 29

62626262.... 3 8 14 25 37 54 ?3 8 14 25 37 54 ?3 8 14 25 37 54 ?3 8 14 25 37 54 ?

a) 67 b) 69 c) 68 d) 72 e) 70 63636363.... A B D C E F H ? ?A B D C E F H ? ?A B D C E F H ? ?A B D C E F H ? ?

a) G H b) K L c) I H d) G I e) I G 64646464.... J I H G F E D C ? ?J I H G F E D C ? ?J I H G F E D C ? ?J I H G F E D C ? ?

a) B C b) C B c) B A d) A B e) D C 65656565.... A B C F E D G H I L K J M ? ?A B C F E D G H I L K J M ? ?A B C F E D G H I L K J M ? ?A B C F E D G H I L K J M ? ?

a) O N b) N O c) O M d) M O e) O P 66666666.... A C E G I K M O Q ? ?A C E G I K M O Q ? ?A C E G I K M O Q ? ?A C E G I K M O Q ? ?

a) S U b) S T c) R S d) R T e) T U

67676767.... B D B B D D B B B ?B D B B D D B B B ?B D B B D D B B B ?B D B B D D B B B ?

a) A b) B c) C d) D e) E 68686868.... T R S S Q R R P Q Q O ?T R S S Q R R P Q Q O ?T R S S Q R R P Q Q O ?T R S S Q R R P Q Q O ?

a) T b) P c) O d) Q e) R

a) 85

b) 90

c) 95

d) 100

e) 105

135

LA SIGUIENTE EXPLICACION SIRVE PARA RESPONDER LAS PREGUNTASLA SIGUIENTE EXPLICACION SIRVE PARA RESPONDER LAS PREGUNTASLA SIGUIENTE EXPLICACION SIRVE PARA RESPONDER LAS PREGUNTASLA SIGUIENTE EXPLICACION SIRVE PARA RESPONDER LAS PREGUNTAS QUE VIENEN A QUE VIENEN A QUE VIENEN A QUE VIENEN A CONTINUACION:CONTINUACION:CONTINUACION:CONTINUACION: Hay tres relaciones posibles entre dos conjuntos.

1. La figura indica que uno de los conjuntos contiene completamente al otro, pero no viceversa. Es decir uno de ellos es subconjunto del otro.

2. La figura indica que ningún conjunto está completamente contenido en el otro, pero los dos tienen elementos comunes. Son conjuntos intersecantes.

3. La figura indica que los dos conjuntos no tienen elementos en común. Son conjuntos disjuntos.

136

Las preguntas de la 69Las preguntas de la 69Las preguntas de la 69Las preguntas de la 69 a la 78a la 78a la 78a la 78 están basada en los siguientes 5 diagramas; de los cuales se deberá están basada en los siguientes 5 diagramas; de los cuales se deberá están basada en los siguientes 5 diagramas; de los cuales se deberá están basada en los siguientes 5 diagramas; de los cuales se deberá escoger el que ilustra la relación entre tres conjuntos, de la mejor manera.escoger el que ilustra la relación entre tres conjuntos, de la mejor manera.escoger el que ilustra la relación entre tres conjuntos, de la mejor manera.escoger el que ilustra la relación entre tres conjuntos, de la mejor manera. El tamaño de los círculos no indican el tamaño relativo de los conjuntos.El tamaño de los círculos no indican el tamaño relativo de los conjuntos.El tamaño de los círculos no indican el tamaño relativo de los conjuntos.El tamaño de los círculos no indican el tamaño relativo de los conjuntos. A B

E

69696969.... Zancudos, moscas, insectos.

a) b) c) d) e) 70707070.... Acuerdos, acuerdos de paz, oficiales del ejército.

a) b) c) d) e)

71717171.... Elefantes, jirafas, mamíferos.

a) b) c) d) e) 72727272.... Esmeraldas, diamantes, piedras preciosas.

a) b) c) d) e)

C D

137

73737373.... Vehículos, motos, automóviles.

a) b) c) d) e) 74747474.... Atletas profesionales, científicos jóvenes, profesionales.

a) b) c) d) e)

75757575.... Animales, perros, seres vivos.

a) b) c) d) e)

76767676.... Líquidos, jugos, agua de lluvia.

a) b) c) d) e)

77777777.... Caricaturistas, artistas, pintores de paisajes.

a) b) c) d) e)

78787878.... Deportistas, competidores de natación, ternos de baño.

a) b) c) d) e)

138

Las preguntas de la 79 a la 88Las preguntas de la 79 a la 88Las preguntas de la 79 a la 88Las preguntas de la 79 a la 88 están basadestán basadestán basadestán basadas en los siguientes 5 diagramas; de los cuales se deberá as en los siguientes 5 diagramas; de los cuales se deberá as en los siguientes 5 diagramas; de los cuales se deberá as en los siguientes 5 diagramas; de los cuales se deberá escoger el que ilustra la relación entre tres conjuntos, de la mejor manera.escoger el que ilustra la relación entre tres conjuntos, de la mejor manera.escoger el que ilustra la relación entre tres conjuntos, de la mejor manera.escoger el que ilustra la relación entre tres conjuntos, de la mejor manera. El tamaño de los círculos no indican el tamaño relativo de los conjuntos.El tamaño de los círculos no indican el tamaño relativo de los conjuntos.El tamaño de los círculos no indican el tamaño relativo de los conjuntos.El tamaño de los círculos no indican el tamaño relativo de los conjuntos.

A A A A BBBB

E

79797979.... Personas, cuencanos, quiteños.

a) b) c) d) e) 80808080.... Equipo de emergencia, vehículos, sogas.

a) b) c) d) e)

81818181.... Mamíferos, gatos, gallinas.

a) b) c) d) e)

82828282.... Ecuatorianos, lojanos, indígenas. a) b) c) d) e)

C D

139

83838383.... Cosas de pesca, anzuelos, recompensas. a) b) c) d) e)

84848484. . . . Plantas, cactus, crisantemos.

a) b) c) d) e)

85858585.... Bachilleres, mujeres, ciclistas.

a) b) c) d) e)

86868686.... Cóndores, aves, perros.

a) b) c) d) e)

87878787.... Artistas, actores, aficionados.

a) b) c) d) e)

88888888.... Ecuatorianos, americanos, pilotas de avión.

a) b) c) d) e)

89898989.... Seis amigos viven en un edificio, cada uno en un piso distinto. Carlos vive más abajo que Roberto, pero más arriba que David; Franco vive 3 pisos más abajo que Carlos; Andrés vive 2 pisos más arriba

que Carlos y a 4 pisos de Enrique. El tercer piso lo ocupa:

a) Roberto b) David c) Franco d) Carlos e) Enrique 90909090.... Seis ovejas tardan en saltar una cerca 6 minutos. Si las ovejas están igualmente espaciadas. ¿

Cuántas ovejas saltarán en una hora ?

a) 60 b) 40 c) 51 d) 46 e) 48

91919191.... En una carrera de caballos participaron 5 de estos veloces animales: Jet, Trueno, Galaxia, Expreso y

el favorito Láser. Se sabe que no llegaron a la meta más de uno a la vez, además se sabe que Expreso llegó después de Jet y Galaxia; Trueno llegó entre los 3 primeros puestos. El favorito no defraudó. Galaxia llegó a la meta antes que Trueno, por una nariz. Los últimos tres lugares los

ocuparon respectivamente:

a) Trueno, Galaxia, Expreso b) Jet, Expreso, Galaxia c) Trueno, Jet, Expreso d) Expreso, Jet, Tueno e) Galaxia, Trueno, Expreso

140

92929292.... Tres niños: Andrés, Beto y Toño tienen 5 caramelos, 3 caramelos y 2 caramelos. Beto le dice al que tiene 3 caramelos, que el que tiene 2 caramelos es simpático. El que tiene 3 caramelos le pregunta a Toño, por su estado de ánimo.

a) Andrés 5, Beto 3, Toño 2. b) Andrés 3, Beto 5, Toño 2. c) Andrés 2, Beto 5, Toño 3. d) Andrés 5, Beto 2, Toño 3. e) Andrés 2, Beto 3, Toño 5.

93939393.... Las fachadas de los edificios, en una calle, tienen 8 ventanas y 2 puertas. Si en la calle hay 8 edificios en cada acera, ¿ Cuántas ventanas más que puertas hay ?

a) 128 b) 72 c) 24 d) 48 e) 96

94949494.... Las hermanas Rosa, Juana y Roberta van de compras y deciden comprar el mismo modelo de vestido pero de colores diferentes, rojo, azul y verde. Juana dice: El verde no va con mis zapatos, Rosa dice: El azul me hace ver más delgada. Entonces podemos decir que:

a) Rosa llevó el rojo b) Roberta lleva el verde c) Juana lleva el verde

d) Roberta lleva el rojo e) Rosa lleva el verde

95959595.... Cuatro ovejas tardarán en saltar una cerca en 4 minutos. Si las ovejas están igualmente espaciadas. ¿ Cuántas ovejas saltarán en una hora ?

a) 60 b) 45 c) 46 d) 50 e) 55

96969696.... Tengo una caja azul con 8 cajas rojas dentro y 3 cajas verdes dentro de cada una de las rojas, el total

de cajas es:

a) 33 b) 23 c) 43 d) 19 e) 30 97979797.... Cuatro hermanos viven en un edificio de 4 pisos. Arturo vive en el primer piso, Mario vive más abajo

que Jorge y Willy vive en el piso inmediatamente superior a Mario. ¿ En qué piso vive Willy ?

a) En el primer piso. b) En el segundo piso. c) En el tercer piso. d) En el cuarto piso. e) Faltan datos.

98989898.... Mario, Luis e Iván viven en 3 ciudades diferentes: Quito, Ambato y Cuenca estudiando una carrera distinta: Educación, Derecho e Ingeniería. Si se sabe que: Mario no vive en Ambato. Luis no vive en

Cuenca. El que vive en Ambato no estudia derecho. Quien vive en Cuenca estudia ingeniería. Luis no estudia educación. ¿ Dónde vive Iván y que estudia ?

141

a) Quito - ingeniería b) Quito – Educación c) Quito – derecho d) Ambato – educación e) Cuenca – derecho.

99999999.... En el planeta X, Dios se escribe FKQU, entonces BESO se escribirá:

a) CGTP b) BFUQ c) DGUQ d) CFTP e) b) BFUQ c) DGUQ d) CFTP e) b) BFUQ c) DGUQ d) CFTP e) b) BFUQ c) DGUQ d) CFTP e) APRNAPRNAPRNAPRN

101.101.101.101. En un determinado mes existen 5 jueves, 5 viernes y 5 sábados. Hallar el día de la semana que

cae 25 de dicho mes. a) jueves b) lunes c) domingo d) viernes e) martes

101101101101.... En una fábrica trabajan tres padres y tres hijos, ¿ Cuál es el menor número de personas que pueden

trabajar en esa fábrica ? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

102102102102.... Tres amigos: Fernando, Julio y Luis, tienen cada uno un animal diferente. Se sabe que:

Fernando le dice al dueño del gato que el otro amigo tiene un canario. Julio le dice al dueño del gato que su mascota y el perro pelean siempre. ¿ Qué animal tiene Julio y quién es el dueño del perro ?

a) perro – Julio b) perro – Fernando c) canario – Luis d) gato – Luis e) canario – Fernando.

103103103103.... Con un alambre de 60 cm se construye un tetraedro regular. Calcular la velocidad de desplazamiento de una arañita que tarda como mínimo 7 minutos en recorrer todas las aristas del tetraedro ( en cm / min ).

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 104104104104.... Pedro no vive junto a Iván; Alberto no vive junto a Víctor, Víctor no vive junto a Pedro. Si los cuatro

viven en la misma calle y en la misma acera. ¿ Quiénes viven en el centro ?

a) Alberto e Iván b) Iván y Pedro c) Pedro y Alberto d) Juan y Víctor e) Faltan datos.

105105105105. . . . Se pintan las caras de un cubo, se corta hasta obtener 64 cubitos. ¿ Cuántos cubitos tendrán ninguna cara pintada ?

a) 8 b) 16 c) 4 d) 12 e) 0

142

106106106106.... Martha compró q kilogramos de pan a q dólares el kilogramo y además compro 25 dólares de mantequilla. Cuantos kilogramos de pan compró si en total pago 106 dólares.

a) 4,24 b) 8,48 c) 9 d) 7 e) Ninguna de las anteriores

107107107107.... El costo de energía para preparar una comida para tres familias es de $24. La familia A pone cinco leños, la familia B pone 3 leños, la familia C no poneleños, y se prepara la comida, entonces la familia C entrega $ 8 para que serepartan entre las que pusieron los leños, con el objeto de que el costo seaigual

para cada familia. Entonces:

a) A recibe $ 5 y B recibe $ 3 b) A recibe $ 6 y B recibe $ 2 c) A recibe $ 7 y B recibe $ 1 d) A recibe $ 3 y B recibe $ 5 e) Ninguna de las anteriores.

108108108108.... Al preguntarle a un postulante qué parte del examen ha contestado éste responde: he contestado los 4/5 de lo que no contesté. ¿Qué parte del examen ha contestado?

a) 4/9 b) 1/5 c) 1/9 d) 5/9 e) Ninguna de las anteriores

109109109109. . . . Tres muchachos están escalando un cerro. Jaime se encuentra más arriba que Antonio y Milton se encuentra arriba de Jaime. ¿Cuál de los muchachos se encuentra en el segundo

lugar?

a) Jaime b) Antonio c) Milton d) Ninguno e) Ninguna de las anteriores 110110110110.... Un soldado raciona su agua para 10 días. Después de 4 días le dicen que debe hacer

alcanzar el agua para 8 días más. ¿En qué porcentaje debe disminuir su ración de agua ?

a) 80 % b) 75 % c) 50 % d) 25 % e) Ninguna de las anteriores 111111111111.... Cuatro chicos son enviados al director del colegio por indisciplinados en clase. Para esperar su castigo tienen que esperar en fila ante la puerta del despacho, ninguno quiere ser el

primero desde luego. Los niños se llaman Andrés, Benito, Carlos y Daniel (los llamaremos A, B, C y D). Queremos escribir todos los órdenes posibles, por ejemplo: Para el orden ABCD, 1, 2, 3 y 4 respectivamente escribimos ABCD, ¿Cuantas formas diferentes hay en total?

a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) Ninguna de las anteriores

112112112112.... En una urna hay tres bolas numeradas con los dígitos 2, 4 y 7 extraemos una bola de la urna y anotamos su número, sin devolver la bola extraída, se extrae una segunda bola y se

143

anota su número y sin devolverla se saca la tercera bola y se anota su número. ¿Cuántos números de tres cifras diferentas podemos obtener? Ejemplo el número 724

a) 4 b) 6 c) 12 d) 8 e) Ninguna de las anteriores 113113113113.... Disponemos de 5 cartas cada una de ellas tiene grabado una letra A, B, C,C y C ¿De cuantas formas diferentes se puede colocar las cartas en la mesa formando una hilera, una al lado de la otra? Ejemplo ACBCC.

a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) Ninguna de las anteriores 114114114114.... Una maestra tiene que elegir tres estudiantes para borrar la pizarra. Para ello dispone de cinco voluntarios: Elisa, Fernando, Germán, Jorge y María. ¿De cuantas formas puede elegir tres de esos alumnos? Ejemplo: Elisa, Fernando y María.


115115115115. . . . María y Carmen tienen cuatro cromos numerados de 1 a 4. Deciden repartírselos entre las dos (dos cromos para cada una) ¿De cuantas formas se pueden repartir los cromos? Ejemplo: María puede quedarse con los cromos 1 y 2 y Carmen con los cromos 3 y 4


116116116116.... La nota media conseguida en una clase de 20 alumnos ha sido de 6. Ocho alumnos han suspendido con un 3 y el resto superó el 5. ¿Cuál es la nota media de los alumnos aprobados?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 7,5 e) Ninguna de las anteriores

117117117117.... De cuatro corredores de atletismo, se sabe que C ha llegado inmediatamente detrás de B, y D ha llegado en medio de A y C. El orden de llegada es:

a) ABCD b) CBDA c) ADCB d) BDCA e) Ninguna de las anteriores 118118118118.... Tenemos cuatro perros: un galgo, un dogo, un alano y un podenco. Éste último come más que el galgo; el alano come más que el galgo y menos que el dogo, pero éste come más que el podenco. Es más barato mantener a:

a) Galgo b) Dogo c) Alano d) Podenco e) Ninguna de las anteriores

144

111111119.9.9.9. Ana, Beatriz y Carmen. Una es tenista, otra gimnasta y otra nadadora. La gimnasta, la más baja de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de Beatriz, es más alta que la tenista. La que practica gimnasia es:

a) Ana b) Beatriz c) Carmen d) Luisa e) Ninguna de las anteriores

121212120.0.0.0. Ana, Beatriz y Carmen. Una es tenista, otra gimnasta y otra nadadora. La gimnasta, la más baja de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de Beatriz, es más alta que la tenista. La que practica tenis es:

a) Ana b) Beatriz c) Carmen d) Luisa e) Ninguna de las anteriores

121121121121.... Un recipiente con 10 litros de agua contiene 15 gramos de sal común, semezcla con otro recipiente

con 15 litros de agua con 10 gramos de sal común,un litro de la nueva solución contiene:

a) 2,5 gramos de sal b) 1,5 gramos de sal c) 1 gramos de sal d) 2 gramos de sal e) Ninguna de las anteriores

122122122122. . . . Un hombre que quería comprar unos cigarrillos que costaban 100 centavos, entregó al vendedor un billete de 10 dólares, éste no tenía cambio y cambió el billete en la tienda de

comestibles de al lado, y le devolvió a su cliente 9 dólares. Una vez que éste se hubo marchado, apareció el tendero, alegando que el billete de 10 dólares era falso y al vendedor no le quedo más remedio que restituirle su dinero. ¿Cuánto perdió el vendedor?

a) 9 dólares b) 1 dólares c) 10 dólares d) 11 dólares e) Ninguna de las anteriores

123123123123.... Un hombre tiene en su poder 9 monedas de oro. Sabe que una de las monedas no pesa lo suficiente. Utilizando una balanza provista de dos platillos, y un fiel que indica únicamente la igualdad de peso de ambos platillos. ¿Cuántas veces tiene que pesar como mínimo las monedas para descubrir la que pesa menos?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Ninguna de las anteriores 124124124124.... Pedro compro 4 botellas de cerveza ordinaria y José sólo una de cerveza tipo Pilsen. Ésta última costo dos veces más que una botella de cerveza ordinaria. Francisco no compro nada, pero aportó 50 pesetas, que se utilizaron para sufragar los gastos totales. Si las 50

pesetas de Francisco bastaron para pagar su parte, ¿Cuanto costo la botella de cerveza tipo Pilsen?


145

En lasEn lasEn lasEn las preguntas 1preguntas 1preguntas 1preguntas 122225555 a 1a 1a 1a 122227777 proceda de acuerdo al ejemplo que haproceda de acuerdo al ejemplo que haproceda de acuerdo al ejemplo que haproceda de acuerdo al ejemplo que ha Continuación se expone:Continuación se expone:Continuación se expone:Continuación se expone: Inserte en el espacio correspondiente, el número que falta: Ejemplo:

Respuesta 12 121212125555.... Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:


121212126.6.6.6. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:




146

En las preguntas 1En las preguntas 1En las preguntas 1En las preguntas 122228888 a 1a 1a 1a 133335555 inserte el número que falta en el espacioinserte el número que falta en el espacioinserte el número que falta en el espacioinserte el número que falta en el espacio correspondiente. Lacorrespondiente. Lacorrespondiente. Lacorrespondiente. La

misma regla aritmética vincula cada uno de losmisma regla aritmética vincula cada uno de losmisma regla aritmética vincula cada uno de losmisma regla aritmética vincula cada uno de los números de números de números de números de abajo con el correspondiente deabajo con el correspondiente deabajo con el correspondiente deabajo con el correspondiente de arriba.arriba.arriba.arriba. Ejemplo: Inserte en el espacio correspondiente, el número que falta:

El número que falta es el 5, puesto que el número de las casillas inferiores superan en uno a los de las casillas superiores. 121212128.8.8.8. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:






131313131. 1. 1. 1. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:




147







En laEn laEn laEn la resolución de los ejercicios 136resolución de los ejercicios 136resolución de los ejercicios 136resolución de los ejercicios 136 aaaa 145145145145 se debe insertar el númerose debe insertar el númerose debe insertar el númerose debe insertar el número que corresponda segúnque corresponda segúnque corresponda segúnque corresponda según la relación aritméla relación aritméla relación aritméla relación aritmética existente entre ellos.tica existente entre ellos.tica existente entre ellos.tica existente entre ellos. Ejemplo: Inserte el número que corresponda: 7 9 13 ___ 37

Las cifras van incrementando primero en 2 luego en 4 posteriormente en 8, en 16 y así sucesivamente, por lo tanto se inserta el número 21. 111136363636.... Complete la serie: 1, 7, 21, 35, 35, ___


111137373737.... Complete la serie: 1, 3, 6, ___, 15 a) 12 b) 8 c) 9 d) 10 e) Ninguna de las anteriores

138138138138.... Inserte el número que corresponda 5 10 15 25 40 ___ a) 60 b) 55 c) 65 d) 75 e) Ninguna de las anteriores

139139139139.... Inserte el número que corresponda 3 3

2 2

3

1 1 ─

3

1 ___

a) ─3

2 b) ─1

3

1 c) ─1

3

2 d) ─2

3

1 e) Ninguna de las anteriores

140140140140.... Inserte el número que corresponda 2 3 7 16 32 ____ a) 48 b) 50 c) 54 d) 57 e) Ninguna de las anteriores

111141414141. . . . Inserte el número que corresponda 12 8 14 7 16 6 ___

a) 20 b) 18 c) 4 d) 22 e) Ninguna de las anteriores 142142142142.... Hallar el término que continua 8 11 16 23 ____

a) 30 b) 26 c) 32 d) 28 e) Ninguna de las anteriores 143143143143. Qué término falta 2 5 ____ 11 14 17 a) 10 b) 9 c) 7 d) 8 e) Ninguna de las anteriores

148

144144144144.... Qué término continua 5 8 12 18 27 ____ a) 38 b) 40 c) 49 d) 48 e) Ninguna de las anteriores

145145145145.... Qué término continua 2

1 1 2 4 ____

a) 6 b) 5 c) 7 d) 8 e) Ninguna de las anteriores 146146146146.... Qué letra continua B D G K ____ a) M b) N c) Ñ d) O e) Ninguna de las anteriores 147147147147.... Qué letra continua C F I L ____ a) N b) O c) Ñ d) M e) Ninguna de las anteriores

148148148148.... Qué letra continua H L Ñ R ____ a) U b) P c) Y d) V e) Ninguna de las anteriores 149149149149.... En un corral hay gallinas y conejos, el número de patas es 14 más 2 veces el número de cabezas. ¿ Cuántos conejos hay ?


150150150150.... Pepe dice: “ Yo tengo tantas hermanas como hermanos “; pero Bertha hermana de Pepe dice: “ Tengo la mitad de hermanas que de hermanos “. ¿ Cuántos son en total ?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) Ninguna de las anteriores 151151151151.... Al comprar cuatro artículos, se paga por cada uno un número entero de dólares diferentes en cada caso; si el artículo de menor precio costó $ 3 y en total se pagó $ 19. ¿ Cuánto costó el artículo de mayor precio ?

a) $ 7 b) $ 6 c) $ 5 d) $ 4 e) Ninguna de las anteriores 152152152152.... Si Luisa ama a Timo, entonces:

a) Timo ama a Luisa b) Timo no ama a Luisa c) Timo es amado por Luisa d) Timo y Luisa se aman e) Luisa no ama a Timo

153153153153.... No hay perro que pueda cantar, pero algún perro puede hablar, siendo asi:

a) Algún perro puede cantar b) Ningún perro puede cantar c) Ningún perro puede hablar d) Los perros son caninos e) Los perros son carnívoros

154154154154.... Sólo los pájaros tienen plumas. ¿ Cuál es, pues, entre las afirmaciones que siguen, la exacta ?

a) Las culebras no tienen plumas b) Los pájaros cambian de plumas

c) Todas las plumas son ligeras d) Algunos pájaros tienen plumas e) Ninguna de las anteriores

155155155155.... Si X es perpendicular a Z, Y será paralela a Z, luego:

149

a) X es paralela a Z b) X se opone a Z c) Z no se opone a Y d) Y es perpendicular a X e) Ninguna de las anteriores. 156156156156.... Si X es igual a Y ; Y es diferente que Z, luego Z y X serán:

a) Iguales b) Diferentes c) Z es mayor d) X es mayor e) Ninguna de las anteriores. 157157157157.... En una fiesta hay dos padres y dos hijos y un nieto. ¿ Cuántas personas como mínimo se encuentran en la reunión ? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 158158158158.... Seis amigas viven en un edificio de 3 pisos, en el cual hay dos departamentos por piso, si se sabe

que: Sara y María viven en el mismo piso. La casa de Ana se encuentra más abajo que la de María. Para ir a la casa de Julia y a la de Pachy hay que bajar dos pisos. ¿ Cuál de las siguientes es la proposición falsa ?

a) Pachy no vive en el segundo piso b) Ana vive más abajo que Sara

c) Ana y Adela no viven en el mismo piso d) Sara vive en el tercer piso

e) María no vive en el segundo piso 159159159159. . . . Si el pasado mañana de ayer es jueves. ¿ Qué día será el anteayer del ayer de mañana ? a) Domingo b) Lunes c) Martes d) Miércoles e) Sábado 160160160160.... Tres amigos: Jorge, Orlando y Ricardo viven en las casas A, B y C , y tienen cada uno un auto; azul, verde y rojo, no necesariamente en ese orden. Se sabe además que: Nadie tiene su auto estacionado frente a su casa.

Ricardo es dueño del auto verde y de la casa C. El auto rojo esta frente a la casa B. El auto verde está frente a la casa de Orlando. ¿ Quién es el dueño del auto que está frente a la casa del dueño del auto azul ? a) Jorge b) Orlando c) Ricardo d) Javier e) No se puede determinar.

161161161161. . . . Paco saca su billetera, observa una foto y piensa: “ El padre de este hombre ( el de la foto ) es el único hijo de mi padre “. ¿ Quién es la persona de la foto ? a) El padre de Paco b) Paco c) El hijo de Paco d) El nieto de Paco e) No se puede determinar. 162162162162. . . . Los pesos de 4 paquetes son M , N , P y Q , y se sabe que: M < N < P < Q. ¿ Cuál de las siguientes alternativas podría ser verdadera ?

a) M + P = Q + N b) M + N = P + Q c) M + N + Q = P d) N + P = M e) M + Q = N + P 163163163163. . . . ¿ ¿ ¿ ¿ Cuántas bisabuelas tuvo mi abuela ? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8 164164164164. . . . En una reunión se encuentran presentes un bisabuelo y 3 padres, 4 hijos, 3 nietos, 2 bisnietos y 2

hermanos. Cada uno lanza tres dados y obtienen entre todas 28 puntos. Si todos excepto el bisabuelo,

150

obtuvieron el mismo valor cada uno y la cantidad de personas reunidas es la mínima. ¿ Cuál es el máximo valor que puede obtener el bisabuelo ? a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) No se puede determinar.

165165165165. . . . Cuatro amigas van al cine y encuentran una fila de seis butacas vacías numeradas del 1 al 6. Alicia eligió una butaca con numeración mayor en 2 unidades que la de Bety. Daniela eligió la butaca con un número impar mayor que la de Alicia. ¿ Cuánto suman los números de las butacas que quedarán vacías en esa fila ? a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) No se puede determinar. 166166166166. . . . Cuatro amigas van al cine y encuentran una fila de seis butacas vacías numeradas del 1 al 6. Alicia

eligió una butaca con numeración mayor en 2 unidades que la de Bety. Daniela eligió la butaca con un número impar mayor que la de Alicia. ¿ Cuánto suman los números de las butacas que ocupan Daniela y Bety en esa fila ? a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) No se puede determinar. 167167167167. . . . Abel, Beto, Paco y Pocho tienen $4, $6, $10 y $11, no necesariamente en ese orden. Se sabe que:

Abel no tiene $4, ni Paco $6. Beto no tiene $11, ni tampoco $6. Abel y Beto juntos tienen $21. ¿ Cuánto tienen juntos Beto y Pocho ?

a) 10 b) 13 c) 16 d) 19 e) No se puede determinar. 168168168168. . . . En un almuerzo estaban presentes: Padre, madre, tío, tía, hermano, hermana, sobrino, sobrina y 2 primos. ¿ Cuál es el menor número de personas presentes ? a) 2 b) 4 c) 8 d) 9 e) No se puede determinar.

169169169169. . . . Una señora le muestra la foto de un hombre a su hija y le dice: “ La medre de ese hombre es la suegra de mi marido “. ¿ Qué viene a ser la hija de la señora, del hombre de la foto ? a) Su hija b) Su sobrina c) Su nieta d) Su nuera e) Su hermana 170170170170. . . . Ana es mayor que Katy. Silvia es menor que Julia, quién es menor que Ana. Katy es menor que Silvia. ¿ Quién es la mayor ?

a) Katy b) Ana c) Silvia d) Julia e) No se puede determinar. 171171171171. . . . La ciudad X tiene más habitantes que la ciudad A. La ciudad A tiene menos habitantes que la ciudad Y, pero más que la ciudad Z. Si X tiene menos habitantes que Y, ¿ Qué ciudad tiene menos habitantes ? a) X b) Y c) Z d) A e) No se puede determinar. 172172172172.... En una carrera compiten 5 amigos: Antonio llegó antes que Armando, quien llegó en cuarto lugar. Si

Arsesio llegó inmediatamente después que Angel, Arsesio llegó después que Antonio y Angel llegó antes que Ernesto. ¿ Quién llegó en segundo lugar ? a) Antonio b) Angel c) Arsesio d) Armando e) Ernesto 173173173173. . . . El volcán Temboro está ubicado al Este del Krakatoa. El volcán Singapur al Oeste del Krakatoa. El Sumatra a su vez ésta ubicado al Oeste del Singapur. ¿ Cuál es el volcán ubicado más al Este ?

a) Krakatoa b) Singapur c) Sumatra d) Temboro e) No se puede determinar. 174174174174.... Se tiene un edificio de seis pisos en el cuál viven seis personas A , B , C , D , E y F ; cada una en un piso diferente. Si se sabe que: E vive adyacente a C y B. Para ir de la casa de E a la de F hay que bajar 3 pisos. A vive en el segundo piso. ¿ Quién vive en el último piso ?

151

a) A b) B c) C d) D e) E 175175175175.... Ocho estudiantes de diversas aulas de la facultad de Ingeniería, van al comedor, se sientan en una mesa circular guardando la misma distancia entre sí: El del 110 está frente al del 121 y es el único en

medio del 112 y 122. El del 124 está a la izquierda del de 121 y frente al del 112. Frente al del 122 está el del 113, éste a su vez está a la izquierda del de 123. ¿ Cuál de ellos está entre los estudiantes del 104 y 121 ? a) 113 b) 112 c) 123 d) 124 e) Ninguno de los anteriores. 176176176176. . . . Cuatro hermanos: Ana, Pachy, Susy y Paulo, para hacer sus tareas se sientan alrededor de una mesa circular con 4 sillas igualmente separadas entre si. Sabemos que: Pachy se sienta a la derecha de

Susy. Los hermanos cuyos nombres tienen la misma cantidad de letras no se sientan juntos. ¿ Quién está sentado frente a Paulo ? a) Pachy b) Ana c) Susy d) Polo e) No se puede determinar. 177177177177. . . . Adolfo es mayor que Alfonso; Aniceto es menor que Alonso y Alfonso es más viejo que Alonso. ¿ Quién posee más dinero, si está en relación directa con las edades ?

a) Alfonso b) Adolfo c) Aniceto d) Alonso e) No se sabe. 178178178178. . . . Ana, Aurora, Elcira y Bety viven en cuatro casas contiguas: Ana está al este de Elcira. Aurora no está al oeste de Bety, Ana vive muy al lado de Bety y Elcira. ¿ Quién vive en el extremo derecho ? a) Aurora b) Elcira c) Aurora o Elcira d) Bety e) No se sabe. 179179179179.... se tiene en una urna, 4 bolas negras, 6 bolas blancas y 5 bolas azules. ¿ Cuántas bolas deberán extraerse como mínimo, para tener la certeza de tener dos bolas negras ?

a) 10 b) 13 c) 16 d) 19 e) No se puede determinar. 180180180180. . . . Se tienen 50 bolos numerados desde el 1 hasta el 50. ¿ Cuántos bolos, como mínimo, se deben extraer al azar para tener la certeza de extraer 5 bolos pares, mayores de 30 ? a) 40 b) 30 c) 45 d) 35 e) No se puede determinar. 181181181181. . . . Se tienen 10 candados con igual número de llaves. ¿ Cuántos insertos como mínimo se deben

realizar para determinar la correspondencia entre llaves y candados ? a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 e) No se puede determinar. 182182182182. . . . Se tiene un mazo de 52 cartas. ¿ Cuántas barajas, como mínimo, se deben extraer al azar, para tener la certeza de extraer 5 tréboles y 10 espadas ? a) 52 b) 51 c) 50 d) 49 e) No se puede determinar.

183183183183. . . . se tiene un mazo de 52 cartas. ¿ Cuántas barajas, como mínimo, se deben extrae al azar, para tener la certeza de extraer 2 ases ? a) 52 b) 51 c) 50 d) 49 e) No se puede determinar. 184184184184. . . . En una caja hay 5 pares de zapatos negros y 4 pares de zapatos cafés. ¿ Cuántos zapatos hay que extraer para obtener un par útil del mismo color ?

a) 10 b) 18 c) 8 d) 16 e) No se puede determinar. 185185185185. . . . En cierto depósito se tienen 3 pares de guantes rojos y 3 pares de guantes negros. ¿ Cuántos guantes deben extraerse al azar para obtener con seguridad un par de guantes útiles de color negro ? a) 8 b) 10 c) 6 d) 12 e) No se puede determinar.

152

186186186186. . . . En un cajón se tienen guantes de box: 3 pares de guantes rojos, 4 pares de guantes negros y 2 pares de guantes blancos. “ Tyson “ desea tener un par de guantes usables del mismo color. ¿ Cuántos guantes debe extraer al azar y como mínimo para tener con certeza lo que quiere ?

a) 20 b) 16 c) 12 d) 10 e) No se sabe. 187187187187.... Una caja contiene 12 canicas rojas, 13 verdes y 9 azules. ¿ Cuál es el mínimo número de canicas que se debe extraer al azar para tener la certeza de haber extraído entre ellas tres canicas de diferentes colores ? a) 20 b) 30 c) 26 d) 36 e) No se puede determinar. 188188188188. . . . En una caja hay 4 cubos rojos, 3 cubos blancos y 2 cubos negros. ¿ Cuál es el menor número de

cubos que deben extraerse, para tener la seguridad de haber tomado un cubo blanco ? a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) No se puede determinar. 189189189189. . . . Una familia está formada por los padres y cuatro hijos . Dos son hijos de padre y madre, uno es solo hijo de padre y el otro solo de la madre. Dos de los abuelos (as) , han fallecido. ¿ Cuál es el mínimo número de abuelos vivos ?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 8 190190190190.... ¿ Qué es respecto a mi el abuelo materno del mellizo de Adrián, si la madre de Adrián es la hermana de mi hermano gemelo ? a) Abuelo b) Hijo c) Tío d) Padre e) Yerno 191191191191. . . . En una familia se notan 2 esposos, 2 hermanos, 3 sobrinas y 3 hermanas. ¿ Al menos, cuántas personas conforman esta familia ?

a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) No se puede determinar. 192192192192.... Mi nombre es Daniel. ¿ Qué parentesco tiene conmigo el tío del hijo de la única hermana de mi padre ? a) Mi Abuelo b) Mi Hijo c) Mi Tío d) Mi Padre e) No se puede determinar.

193193193193. . . . Si el hijo de Manuel es el padre de mi hijo. ¿ Qué parentesco tengo con Manuel ? a) Mi Abuelo b) Mi Suegro c) Mi Tío d) Mi Cuñado e) No se puede determinar. 194. 194. 194. 194. Se dan para multiplicar 24 y 30 . Si el multiplicando se hace 5 veces, ¿ Cuántas unidades es preciso restar al multiplicador para que el producto no varíe ? a) 24 b) 12 c) 6 d) 4 e) No se puede determinar. 195. 195. 195. 195. Se han de repartir 160 caramelos entre 45 niños de un salón, dándole tres caramelos a cada varón y

cuatro a cada niña. ¿ El número de niñas que hay en el salón, es ?: a) 12 b) 15 c) 40 d) 25 e) No se puede determinar.

153


CANTIDAD ESCALAR .- o simplemente escalar es una magnitud que no tiene nada que ver con direcciones espaciales. Muchos conceptos fiscos tales como longitud, tiempo, temperatura, masa, densidad carga eléctrica y volumen son escalares; cada una tiene una escala o tamaño (valor), pero no tiene asociada una dirección. El número de estudiantes en la clase, la cantidad de azúcar en una taza de café, el costo de una casa o de cualquier otro objeto son ejemplos familiares de escalares. Los escalares se especifican mediante números ordinarios y se suman y restan de acuerdo a las propiedades de los números reales. VECTOR O CANTIDAD VECTORIAL .- El vector es una representación gráfica de una magnitud física vectorial, el cual es definida a partir de tres de sus componentes: Módulo: Valor de un vector que determina el tamaño de este. Es decir, a mayor valor del vector (módulo) mayor será su tamaño en una representación gráfica. Sentido: Esta definido según “hacia donde apunte la flecha del vector”. Si bien existe una relación estrecha entre sentido y dirección de un vector, estos términos poseen significados distintos. Dirección: la dirección de un vector está definido por el ángulo existente entre las líneas de acción del vector y la línea de referencia. Está última es determinada en forma arbitraria por quién está desarrollando el análisis vectorial.

Varios conceptos físicos como desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, momento, campo eléctrico son cantidades vectoriales. Una cantidad vectorial puede ser representada geométricamente mediante una flecha dibujada a escala. La longitud de la flecha es proporcional a la magnitud de la cantidad vectorial (2 cm, 20 N, 40 km/h). La dirección de la flecha indica la dirección de la magnitud vectorial.

En material Impreso los vectores se representa mediante negrita, A; B, F; P o también comoAr

, etc. Los vectores no quedan completamente especificados hasta que no se establezca la regla para su comportamiento. LA RESULTANTE O SUMA DE VECTORES .- de un tipo particular (vectores de fuerza, de velocidad de momento, por ejemplo) es un vector simple que tiene el mismo efecto o resultado de todos los vectores originales tomados conjuntamente.

154

METODO GRAFICO DE ADICION.-

1. (METODO POLIGONAL ).- Este método es para encontrar la resultante rR de algunos vectores (, ,

r rrA B C ) y

consiste en ir uniendo consecutivamente el inicio de un vector con el final del otro, respetando las escalas y las

direcciones. El orden de la suma puede ser cualquiera + + = + + =+ + = + + =+ + = + + =+ + = + + =r r r rr r rA B C C A B R

La resultante queda representada por una flecha con su extremo inicial coincidiendo con el extremo inicial del primer

vector que se va a sumar y la punta final coincidiendo con la punta final del último vector que se sumo. Si rR es la

resultante, R = rR es el tamaño o magnitud de la resultante.

Ejemplo: Sea los siguientes vectores con sus módulos en centímetros. El bosquejo muestra la obtención del vector resultante para la operación de álgebra de vectores:

2. METODO DEL PARALELOGRAMO .- La resultante de dos vectores actuando bajo cualquier ángulo se puede representar por la diagonal de un paralelogramo. Los dos vectores son dibujados como lados del paralelogramo y la resultante es la diagonal que sale desde el origen de los dos vectores.

155

SUSTRACCION DE VECTORES.- Para sustraer el vector rB del vector

rA hay que invertir el sentido del vector

rB , manteniendo su dirección y sumarlo al vector

rA , esto es (((( ))))− = + −− = + −− = + −− = + −

r rr rA B A B

. Y en el paralelogramo es la otra diagonal, con el sentido hacia el vector minuendo.

DETERMINACIÓN DE LAS COMPONENTES DE UN VECTOR .- La obtención de las componentes de un vector se puede lograr utilizando un método de cálculo. Para ello, se hace necesario utilizar las funciones trigonométricas seno (sen) y coseno (cos). Con las cuales, al multiplicar el módulo del vector (v) con las funciones coseno y seno obtenemos las componentes Rx y Ry respectivamente. Observe como las funciones coseno y seno son aplicadas sobre el ánguloθ de inclinación del vector R. Nota: Dependiendo del ángulo que posea el vector respecto a la referencia horizontal, la interpretación del signo de la componente al determinarla a través del método de cálculo está ligada con el signo que acompaña a las funciones seno y coseno al considerar los cuadrantes del plano cartesiano. Así por ejemplo, la componente en el eje X del vector R es positiva, dado que el coseno del ángulo del vector R es positivo. Otro ejemplo sería los signos negativos para ambas componentes de un vector (ubicado en el 3er cuadrante, donde el seno y coseno son negativos).

cosxR R θθθθ====r r

y sinyR R θθθθ====r r

,o en forma equivalente Rx = R cosθθθθ , Ry = Rsinθθθθ

COMPONENTES PARA LA SUMA DE VECTORES .-Cada vector se descompone en sus componentes x, y, z tomando las componentes negativas en dirección negativa. La componente escalar x de la resultante Rx, es igual a la suma algebraica de las componentes de los vectores que se están sumando, de igual manera se obtiene Ry y Rz. Cuando se conocen las componentes la magnitud de la resultante está dada por:

2 2 2x y zR R R R= + +

En dos dimensiones el ángulo que forma la resultante con el eje x puede ser encontrado de la relación

tan y

x

R

Rθ =

LOS VECTORES UNITARIOS .-tienen magnitud igual a uno y se representan por letras negritas, o con su respectiva flecha. Los vectores unitarios especiales i, j, k se asignan a los ejes x, y, z respectivamente. Un vector 3i representa un vector en la dirección x con magnitud igual a 3, mientras el vector -5k representa un vector en la dirección –z de

magnitud 5. Un vector rR que tienen las componentes escalares x, y, z ,Rx, Ry, Rz, puede ser escrito como:

rr r r

x y zR R i R j R k= + +

EL DESPLAZAMIENTO .- Cuando un objeto se mueve en el espacio de un punto a otro el desplazamiento es un vector que va desde la posición inicial a la posición final. Este es independiente de la distancia real que ha viajado el objeto.

156

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.- Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como marque el escalar, que de ser negativo cambia el sentido (ver gráfico). Partiendo de un escalar ( n ∈ R ) y de un vector , el producto de por

es , es el producto de cada una de las componentes del vector por el escalar, representando el vector por sus componentes:

si lo multiplicamos por el escalar n:

esto es:

Representando el vector como combinación lineal de los vectores:

y multiplicándolo por un escalar n:

esto es:

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES.- El producto escalar de vectores se puede definir de dos maneras equivalentes, una manera algebraica, y otra geométrica. Comenzaremos con la manera geométrica, que tiene un significado intuitivo.

Tomemos dos vectores y , y llamemos al ángulo que ellos forman. Entonces, el producto escalar entre dichos vectores es:

En que ar

y br

corresponden a las longitudes de los vectores y , respectivamente. Naturalmente, debe cumplirse

que

Si usamos la representación cartesiana, se tiene que:

Es decir, se satisface el teorema de Pitágoras, conocido de nuestros estudios de geometría elemental. Indudablemente, la definición del producto escalar de vectores puede usarse para definir el ángulo entre dos vectores,

De acuerdo a la definición dada, es fácil ver que el producto escalar de dos vectores puede también definirse usando las componentes cartesianas de los vectores,

157

PRODUCTO VECTORIAL .- Sean dos vectores a y b en el espacio vectorial R3. El producto vectorial entre a y b da como resultado un nuevo vector, c. Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo, dirección y sentido:

El módulo de c está dado por

θsenbac =

donde θ es el ángulo entre a y b.

La dirección de c es tal que c es ortogonal a a y ortogonal a b. El sentido en el que apunta el vector c está dado por la regla de la mano derecha.

El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. Para evitar confusiones con la letra x, algunos autores denotan el producto vectorial mediante a ∧ b cuando escriben a mano.

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

θsenbanbar=×

donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su sentido está dado por la regla del sacacorchos y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla del sacacorchos se la llama a menudo también regla de la mano derecha.

158

E J E R C I C I O S:

1. Si a, b, c representan escalares y

, ,A B Cr rr

representan vectores indique cual de las siguientes operaciones tiene sentido:

a) a+ ( )A B C+ +r rr

b) a+b+c

c) ( )( )b B c C+ +rr

2. Es correcto poner

A B C B C A C A B+ + = + + = + +r r r r r rr r r

a) si b) no 3. Los vectores se pueden sumar mediante el método del paralelogramo, polígono o por componentes. El resultado a) depende del método b) no depende del método c) ninguna de las anteriores 4. En la siguiente figura se muestran dos vectores y su resultante. El valor de la resultante es:

a) R = 3.6, b) R = 4.6 c) R = 5.6 d) ninguna de las anteriores 5. En la siguiente figura se dan dos vectores

¿Cuál es la dirección de la resultante? a) 360 b) 720 c) 1000

d) ninguna de las anteriores

6. En las expresiones que se indican señale la correcta para cada resultante, de los diagramas de más abajo:

( )( )( )( )

46 39

0 .88 4 .48

94 71

5 .7 3 .2

R i j

R i j

R i j

R i j

= +

= − +

= − −

= −

r r r

r r r

r r r

r r r

a)

b)

c)

d)

159

7.- Para un vector Ar

que se encuentra en el segundo cuadrante sus componentes son:

) 0, 0

) 0, 0

) 0, 0

) 0, 0

x y

x y

x y

x y

a A A

b A A

c A A

d A A

> >

> <

< <

< >

8.- Dos vectores de 6 y 9 unidades forman ángulos de:

a) 00 ; b)600 ;c) 900 d) 1400 ;e) 1800

Indique entre paréntesis el valor del ángulo que corresponde a las respectivas resultantes: ( ) R = 3; ( ) R = 13.07; ( ) R=10.81 ( ) R = 5.85; ( ) R = 15 9.- Dados dos vectores de 8 y 6 unidades. La resultante de los vectores vale 12 unidades. El ángulo entre ellos es: a) 350; b) 45022´; c) 62043’; d) 152043’;

10.- Un vector Ar

tiene una magnitud de 35 unidades y forma un ángulo de 37 0 con el eje x positivo. El vector que esta en la dirección

opuesta al de Ar

forma un ángulo con el eje x de a) 370-1800 b) 370+1800 c) 370+ 900

11.- El vector Ar

tiene las componentes x y y de - 8.7cm y 15 cm. respectivamente; el vector

Br

tiene las componentes x y y de 13.2 y - 6.6

cm, respectivamente. Si 3 0A B C+ − =r rr

las

componentes de Cr

son: a) cx = 4.5, cy=8.4; b) cx = 1.5, cy=2.8 c) cx = -1.5, cy=2.8 d) cx = 1.5, cy=- 2.8 12.-Se tienen dos vectores

3 2 , 4A i j B i j= − = − −r rr r r r

la resultante R y de

la suma A B+r r

es a) Ry

= 6, b) Ry = - 6, c) Ry = 2 d) Ry = - 2 e) ninguna de las anteriores

13.- Un vector Ar

tiene una magnitud de 35 unidades y forma un ángulo de 37 0 con el eje x

positivo. La componente C x del vector Cr

que

al sumarse a Ar

produce un vector cuya

longitud es el doble de Ar

y apunta en la dirección negativa de y es: a) Cx= 28, b) Cx= -28, c) Cx= 91, d) Cx=- 91, e) ninguna de las anteriores 14.- Los vectores mostrados en la figura tienen igual magnitud. La magnitud del vector suma resultante es:

a) 0; b) 2; c) 5; d) 7 e) ninguna de las anteriores

15.- Las figuras de abajo representan cuadrados en los cuales todos los lados son formados por vectores de módulos iguales.

La resultante del sistema de vectores es nula en la figura número. a) 1; b) 2; c) 3; d) 4 e) ninguna de las anteriores

160

16.- El módulo de la suma de dos vectores es igual a la suma de sus módulos │A + B│= │A│+│B│ cuando: a) Los vectores tienen igual módulo y

distinta dirección b) Los vectores son perpendiculares

entre sí c) Los vectores tienen igual dirección

y sentido contrario d) Los vectores tienen igual dirección

y sentido e) Ninguna de las anteriores 17.- La velocidad es una Magnitud Física a) Escalonada creciente o decreciente b) Discontinua c) Escalar d) Vectorial e) Ninguna de las anteriores 18.- Dos desplazamientos tienen módulos iguales a 3 metros y a 4 metros respectivamente el módulo de la resultante es 7 metros cuando: a) Los dos son perpendiculares entre sí b) Siempre ya que 4+3=7 c) Tienen igual dirección y sentido d) Tienen igual dirección y sentido

contrario e) Ninguna de las anteriores 19.- El producto de un escalar C > 0 por un vector da como resultado: a) Una magnitud escalar b) El valor del escalar al cuadrado c) Un vector de igual dirección y

sentido con un módulo igual a C veces el módulo del vector

d) No existe la multiplicación de un escalar por un vector

e) Ninguna de las anteriores 20.- El producto de un escalar C < 0 por un vector da como resultado: a) Una magnitud escalar b) El valor del escalar al cuadrado c) Un vector de igual dirección y

sentido contrario con un módulo

igual a C veces el módulo del vector

d) No existe la multiplicación de un escalar por un vector

e) Ninguna de las anteriores 21.- La aceleración es una Magnitud Física a) Escalonada creciente o decreciente b) Discontinua c) Escalar d) Vectorial e) Ninguna de las anteriores 22.- El producto escalar de dos vectores es igual a: a) La suma de sus módulos b) Al producto de sus módulos por el

coseno del ángulo que forman entre sí los dos vectores.

c) Al producto de sus módulos por el seno del ángulo que forman entre sí los dos vectores.

d) No se pueden multiplicar dos vectores

e) Ninguna de las anteriores 23.- El producto escalar de un vector por si mismo da como resultado: a) El cuadrado de su módulo b) Otro vector cuyo módulo es el

cuadrado del módulo del vector que se multiplica por si mismo

c) Cero d) No es posible ésta operación e) Ninguna de las anteriores 24.- El producto escalar de dos vectores de igual dirección y sentido, da como resultado: a) La suma de sus módulos b) La resta de sus módulos c) El producto de sus módulos d) Cero e) Ninguna de las anteriores 25.- El producto escalar de dos vectores de igual dirección y sentido contrario, da como resultado: a) La suma de sus módulos

161

b) La resta de sus módulos c) Menos el producto de sus módulos d) Cero e) Ninguna de las anteriores 26.- Para que la suma de tres vectores sea cero, debe: a) Los vectores tener igual módulo b) Uno de los vectores ser cero c) Uno de los vectores tener como

módulo, el módulo de uno cualquiera de los otros dos vectores y ser de dirección contraria

d) Uno de los vectores tener como módulo, el módulo de la suma de los otros dos vectores y ser de dirección contraria

e) Ninguna de las anteriores 27.- La suma algebraica de los módulos de dos vectores de distinta dirección es: a) Mayor que el módulo de la suma

vectorial de dichos vectores b) Menor que el módulo de la suma

vectorial de dichos vectores c) Igual que el módulo de la suma

vectorial de dichos vectores d) Es indiferente e) Ninguna de las anteriores 28.- Si los vectores A y B forman un ángulo θ el módulo del vector │A - B│ es:

a) θcos222 ABBA ++

b) 2

BA+

c) 22 BA +

d) θθ BsenA +cos e) Ninguna de las anteriores 29.- Si los vectores A y B forman un ángulo θ el módulo del vector │A - B│ es:

a) θcos222 ABBA −+

b) 2

BA−

c) 22 BA −

d) θθ BsenA −cos e) Ninguna de las anteriores

30.- Si el vector A indica la posición inicial de un cuerpo y el vector B la posición final del mismo, el vector traslación del cuerpo es: a) Módulo de A+B b) Módulo de A-B

c) →→

− BA

d) →→

− AB e) Ninguna de las anteriores 31.- Un cuerpo se traslada hacia el este 4 Km, luego hacia el oeste 8 Km y finalmente hacia el norte 3 Km. El módulo de su traslación total es: a) 15 Km b) 5 Km c) 7 Km d) No se pueden sumar vectores de

distintas direcciones e) Ninguna de las anteriores 32.- Señale la operación vectorial correcta: a) A + B = A - B b) A - B = B - A c) A – B = - (B – A) d) │A + B│= A.B e) Ninguna de las anteriores 33.- Si el producto escalar de los vectores A y B es igual al producto escalar de los vectores A y C, entonces: a) Solo si B = C b) Solo si B ≠ C c) Puede ser B = C ó B ≠ C d) No tiene relación e) Ninguna de las anteriores 34.- Si la suma de los vectores A y B es igual al Vector C y la suma del módulo de A más el módulo de B es igual al módulo de C, entonces: a) Los vectores A y B son

perpendiculares entre Sí b) Los vectores A y B son paralelos y

de sentido contrario

162

c) Los vectores A y B son paralelos y del mismo sentido

d) No se da ese caso e) Ninguna de las anteriores 35.- Si el módulo de la suma vectorial de A y B es igual al módulo de A – B entonces los vectores A y B son: a) Los vectores A y B son


de sentido contrario c) Los vectores A y B son paralelos y

del mismo sentido d) No se da ese caso e) Ninguna de las anteriores 36.- Si el vector B es igual al producto de una constante K por el vector A entonces B es: a) Los vectores A y B son


de sentido contrario c) Los vectores A y B son paralelos y

del mismo sentido d) No se da ese caso e) Ninguna de las anteriores 37.- Se está probando un automóvil en una pista circular de radio R. El módulo del vector desplazamiento después de haber completado media vuelta es: a) π R b) 2 R

c) 2 R

d) 2R

e) Ninguna de las anteriores 38.- Se está probando un automóvil en una pista circular de radio R. El módulo del vector desplazamiento después de haber completado una vuelta es: a) π R b) 2 R

c) 2 R d) Cero

e) Ninguna de las anteriores 39.- Una magnitud Física es vectorial cuando para su plena determinación es necesario conocer: a) El valor numérico de la magnitud b) El valor numérico, su dirección y su

sentido c) Su valor funcional en dependencia

del tiempo d) Su valor funcional en dependencia

de la trayectoria e) Ninguna de las anteriores 40.- Cuando se suman más de dos vectores de distintas direcciones y su resultado es cero se obtiene: a) Una figura geométrica abierta b) Un polígono cerrado c) Una recta d) No se pueden sumar vectores de

distintas direcciones e) Ninguna de las anteriores 41.-Dos vectores de la misma naturaleza poseen módulos A = 6 y

B = 10, formando entre sí un ángulo θ . La medida del ángulo θ , si su resultante es R = 14 es : a) π /3 b) π /6 c) π d) π /4 e) Ninguna de las anteriores 42.- Dos vectores coplanares y concurrentes tienen una resultante que mide 74 unidades, y su correspondiente vector diferencia mide 37 unidades. El ángulo que forman dichos vectores, si se sabe además que sus módulos son iguales es: a) 57° b) 53° c) 55° d) 51° e) Ninguna de las anteriores

163

43.- Si los vectores jiArrr

129 += y

jmiBrrr

−= 12 son codirigidos. El valor de m es: a) 16 b) 17 c) -17 d) -16 e) Ninguna de las anteriores 44.- El ángulo que forman los vectores jiA

rrr68 −= y

jiBrrr

724 += es: a) 43° b) 73° c) 53° d) 63° e) Ninguna de las anteriores

164


LA RAPIDEZ Es una magnitud escalar. Si un objeto le toma un tiempo t en viajar una distancia l , entonces: Rapidez promedio = distancia total viajada / tiempo empleado

pro

lv

t=

En esta expresión la distancia es la longitud total viajada a lo largo del camino. LA VELOCIDAD es una magnitud vectorial. Si un objeto realiza un desplazamiento s en un intervalo de tiempo

t entonces: Velocidad promedio = vector desplazamiento/ tiempo

rr

pro

sv

t=

La dirección del vector velocidad es la misma que del vector desplazamiento. Las unidades de la velocidad y rapidez son las mismas de la distancia dividida por el tiempo, es decir m/s, km/h. LA ACELERACION mide el cambio de la velocidad con el tiempo. Aceleración promedio = cambio en el vector velocidad / tiempo

r rr f i

pro

v va

t

−=

Donde

riv es la velocidad inicial,

rfv es la velocidad final y t es el intervalo de tiempo en el cual ha ocurrido

el cambio de la velocidad; las unidades de la aceleración son las de velocidad dividida para el tiempo. Son ejemplos típicos (m/s)/s = m/s2 , otro es (km/h)/s Km/h.s. Tome en cuenta que la aceleración es una magnitud vectorial que tiene la dirección del cambio de la velocidad

rfv -

riv .

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO. Esta es una situación importante. En este caso el vector aceleración es constante y está dirigido a lo largo de la línea del vector desplazamiento por lo que la dirección de

rv y de

ra puede ser especificada con signo + o -. Si representamos el desplazamiento por

s (positivo si está en la dirección positiva y negativo si está en la dirección negativa), el movimiento se puede describir con las siguientes cinco ecuaciones del Movimiento Uniformemente Acelerado:

2 2

2

2

2

1

2

pro

f ipro

f i

f i

i

s v t

v vv

v va

t

v v as

s v t at

=

+=

−=

= +

= +

Frecuentemente s es reemplazado por x o y si el movimiento es en el plano, y a veces vf y vi se escriben como v y vo respectivamente.

165

VELOCIDAD INSTATÁNEA es la velocidad promedio evaluada para un intervalo de tiempo que se aproxima a cero. Así si un objeto realiza un desplazamiento

rs∆ en un intervalo de tiempo t∆ , entonces para este objeto la

velocidad instantánea es:

0

rr

t

sv lím

t∆ →

∆=∆

Donde el significado de la expresión anterior es que la relación

rs∆ / t∆ debe ser evaluada para un intervalo de

tiempo t∆ que se aproxima a cero. Las interpretaciones gráficas para el movimiento a lo largo de una línea recta son las siguientes: 1.- La velocidad instantánea de un objeto en cierto instante de tiempo es la pendiente en la gráfica del desplazamiento versus tiempo en ese instante de tiempo, esta puede ser positiva, negativa o cero. 2.-La aceleración instantánea de un objeto en cierto instante de tiempo es la pendiente en la grafica de la velocidad versus tiempo en ese instante de tiempo. 3.- Para el movimiento con velocidad constante la gráfica de x versus t es una línea recta. Para un movimiento con aceleración constante la gráfica de velocidad versus tiempo es una línea recta. 4.-En general para una, dos o tres dimensiones la tangente de la grafica distancia versus tiempo en cualquier instante de tiempo es la rapidez. ACELERACION DEBIDA A LA GRAVEDAD (g): La aceleración de un cuerpo que se mueve solo bajo la acción de la fuerza de gravedad es g, aceleración de la gravedad o de caída libre que está dirigida verticalmente hacia abajo. En la tierra g = 9,8 m/s2 o (32,2 ft/s2). En la luna la aceleración de caída libre es 1,6 m/s2. COMPONENTES DE LA VELOCIDAD : suponiendo que un objeto se mueve con la velocidad v bajo cierto ángulo con respecto al eje x, entonces la velocidad tiene componentes en x y y,

rxv y

ryv . Las componentes

escalares correspondientes son: cosxv v θ= yv v sinθ=

Estas componentes pueden ser valores positivos o negativos dependiendo del ángulo θ . Como regla: 1.- Si la velocidad está en el primer cuadrante vx > 0, vy > 0 2.-Si la velocidad está en el segundo cuadrante vx < 0, vy > 0 3.- Si la velocidad está en el tercer cuadrante vx < 0, vy < 0 4.- Si la velocidad está en el cuarto cuadrante vx > 0, vy < 0 MOVIMIENTO DE PROYECTILES. Puede ser analizado fácilmente si es ignorada la fricción del aire. Se debe considerar éste movimiento como dos movimiento independientes: Movimiento horizontal con a = 0 y velocidad final = velocidad inicial = velocidad promedio, esto es con rapidez constante; y un movimiento vertical con a = g = 9,8 m/s2 hacia abajo.

166


1. La figura muestra la trayectoria de una pelota. En el punto A, de altura máxima

a) la velocidad es 0, pero la aceleración no es 0.

b) la velocidad, no es 0, pero la aceleración es 0.

c) la rapidez es menor que en B, pero la aceleración

es mayor en B.

d) la velocidad y la aceleración son perpendiculares entre si.

e) ninguna de las anteriores

2. Una piedra se arroja hacia arriba y alcanza una altura H antes de caer de nuevo al piso T segundos después. Su velocidad media durante el intervalo de tiempo T es

a) 0. c) H/T.

b) H/2T. d) 2H/T.

c) ninguna de las anteriores

3. Un automóvil que viaja con una rapidez inicial v se para en un intervalo de tiempo t. Si la desaceleración durante este intervalo es constante, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta para dicho intervalo?

a) La distancia recorrida es (v.t) / 2. b) La rapidez media es v.t. c) La aceleración es –v / 2. d) La distancia recorrida es (v.t2) / 2.

4. Una pelota se arroja verticalmente hacia arriba; alcanza su punto más alto y regresa. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

a) La aceleración siempre está en la direcci6n del movimiento. b) La aceleración siempre se opone a la velocidad. c) La aceleración siempre está dirigida hacia abajo. d) La aceleración siempre está dirigida hacia arriba.

5. Un objeto se deja caer desde el reposo. Durante el primer segundo cae una distancia S 1 y una distancia adicional S 2 en el siguiente segundo; la relación S 2/S1 es

a) 1. c) 3.

b) 2. d) 5.

6. Una piedra se tira hacia arriba y alcanza una altura H antes de caer al piso T segundos después. Su rapidez media durante el intervalo T es

a) 0. c) H/T.

b) H/2T. d) 2H/T.

7. Una piedra de masa M se lanza hacia arriba, con una velocidad inicial v o; alcanza una altura H. Una segunda piedra de masa 2M se tira hacia arriba con una velocidad inicial de 2v 0. ¿.Que altura alcanzará?

a) H/2. d) 2H. b) H e) 4H. c) 2H .

8. Una pelota se arroja hacia arriba. Después de que se suelta su aceleración:

a) permanece constante. c) disminuye.

b) aumenta. d) es cero.

9. Una piedra de masa m1 se deja caer desde el techo de un edificio alto. Al mismo instante, otra piedra de masa m2 se deja caer desde una ventana 10 m abajo del techo. La distancia entre las dos piedras durante su caída.

a) disminuye. b) permanece en 10 m siempre. c) aumenta. d) depende de la relación m 1 / m 2

10. Una maceta se cae desde el pretil de una ventana de un quinto piso. Exactamente cuando pasa por la ventana del tercer piso alguien deja caer accidentalmente un vaso de agua desde esa ventana. ¿Cual de las siguientes afirmaciones es correcta?

a) La maceta llega primero al piso y con una velocidad mayor que la del vaso.

b) La maceta toca el piso al mismo tiempo que el

vaso, pero la rapidez de la maceta es mayor.

167

c) La maceta y el vaso tocan el piso al mismo instante y con la misma velocidad.

d) El vaso toca el piso antes que la maceta.

11. Una piedra se lanza horizontalmente desde una barranca de 20 m de altura con una velocidad inicial de 10 m/s. Una segunda piedra se deja caer simultáneamente desde esa barranca. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es la correcta?

a) Ambas chocan con el suelo con la misma velocidad.

b) Las dos llegan al suelo con la misma rapidez.

c) Durante el vuelo, es igual al cambio de velocidad de ambas piedras.

d) Durante el vuelo, es igual al cambio de la rapidez de ambas piedras.

12. Una pelota de beisbol, al ser golpeada por un bateador, viaja hacia los jardines. La aceleración de la pelota durante el vuelo es:

a) la misma durante todo el trayecto. b) depende de si la pelota va hacia arriba o hacia abajo. c) máxima en la cúspide de su trayectoria. d) depende de cómo se le pegó e) ninguna de las anteriores

13. Dos pelotas se tiran horizontalmente desde un edificio alto al mismo tiempo, una con velocidad v 0 y la otra con velocidad v0 / 2

a) La pelota con velocidad inicial v0 llega primero al suelo. b) La pelota con velocidad inicial v0 / 2 llega primero al suelo.

c) Ambas pelotas llegan al suelo al mismo

tiempo. d) No se puede saber cual llega primero si no se conoce la altura del edificio.

14. Un vehículo viaja por una pista circular a velocidad constante .

a) Su aceleración es cero. b) Su aceleración es constante. c) Tanto a) como b) son correctos. d) Ni a) ni b) son correctos.

15. Dos proyectiles, A y B se disparan desde el piso plano horizontal con velocidades iníciales idénticas. La velocidad inicial de A hace un ángulo Aθ con la horizontal, y B hace un ángulo

Bθ también con la horizontal. Si Aθ < Bθ < 90 °

a) el proyectil B dura más tiempo en el aire y viaja más lejos que A. b) el proyectil B dura más tiempo en el aire y no llega tan lejos como el A. c) el proyectil B dura más tiempo en el aire y alcanza mayor elevación que el proyectil A

d) tanto a) como b) son correctas.

16. Un cazador le tira a un pato que vuela horizontalmente a una altura H. El intervalo de tiempo entre el acertar al pato y cuando este llega al suelo depende de

a) que tan rápido volaba el pato. b) cuán rápido volaba el pato y cuál era la altura

H. c) la altura H. d) la altura H y la distancia entre cl cazador y cl

pato cuando lo alcanzo la bala.

17. Dos automóviles, A y B, viajando a velocidades V A y VB se acercan por una carretera recta. Cuando t = 0, están a una distancia de 2 km. El tiempo que tardan en encontrarse es proporcional a:

a) A BV V++++r r

b) A BV V−−−−r r

c) 1 A BV V−−−−r r

d) 1 A BV V++++r r

18. Un pequeño aeroplano sigue el rumbo norte según su brújula. Su velocidad en el aire es de 80 km/h. Sopla un fuerte viento del noreste al suroeste también a 80 km/h. La velocidad del aeroplano con respecto al suelo es:

a) 80 km/h. b) mayor que 80 km/h. c) menor que 80 km/h. d) No se puede determinar con la información proporcionada.

19.- Cuál de las siguientes situaciones es imposible:

a) Un cuerpo tiene una velocidad hacia el este y una aceleración hacia el oeste

b) Un cuerpo tiene una velocidad cero y una aceleración diferente de cero

c) Un cuerpo tiene una velocidad hacia el norte y una aceleración hacia el noroeste

d) Un cuerpo tiene una velocidad constante y una aceleración constante

168

e) Ninguna de las anteriores

20.- Un niño en una plataforma de un camión que se traslada en una trayectoria rectilínea horizontal a velocidad constante, lanza una pelota verticalmente hacia arriba respecto del camión, sin considerar la resistencia del aire, la pelota cae:

a) En sus manos b) Delante de él c) Atrás de él d) Fuera del camión e) Ninguna de las anteriores

21.- Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba, en un planeta en el que la aceleración de la gravedad es el doble que la de la Tierra. La altura que sube respecto de la altura al que subiría en la Tierra es:

a) Igual b) El doble c) La mitad d) La cuarta parte e) Ninguna de las anteriores

22.- Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba, con una velocidad V=2Vo en un planeta en el que la aceleración de la gravedad es el doble que la de la Tierra. La altura que sube respecto de la altura a la que subiría en la Tierra si se lanzaría con una velocidad Vo es:

a) Igual b) El doble c) La mitad d) La cuarta parte e) Ninguna de las anteriores

23.- El entrenador de la competencia atlética de 100 metros planos determina que las velocidades de Juan y María son de 10 y 9 metros por segundo respectivamente, entonces se propone que Juan y María compitan saliendo Juan un segundo después

de María para compensar las velocidades. Entonces al competir:

a) María llega primero que Juan b) Llegan iguales c) Juan llega primero que María d) Ninguna de las anteriores

24.- Una persona que está al borde de un edificio, a cierta altura sobre el suelo, lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad inicial Vo y después lanza una piedra verticalmente hacia abajo, con la misma velocidad inicial Vo; despreciando la resistencia del aire la velocidad con la que llegan al suelo es: a) La pelota llega con mayor velocidad que la

piedra b) La piedra llega con mayor velocidad que la

pelota c) Llegan con igual velocidad d) Ninguna de las anteriores

25.- Dos cuerpos A y B parten del reposo, a una cierta altura h del suelo, el cuerpo A resbala por una superficie sin fricción inclinada un ángulo θ, el cuerpo B cae libremente, la velocidad con que llegan al suelo es:

a) Igual b) La velocidad de A es mayor que la de B c) La velocidad de B es mayor que la de A d) Depende del ángulo θ e) Ninguna de las anteriores

26.- Una partícula en movimiento rectilíneo uniforme, parte de la posición P1(3;4) metros, después de 10 segundos se encuentra en la posición P2(33;44) metros, el módulo de la velocidad de la partícula es:

a) 3 m/s b) 6 m/s c) 7 m/s d) 5 m/s e) Ninguna de las anteriores

169

27.- Un tren parte de un punto A hacia un punto B, con una velocidad constante VA, Al mismo tiempo parte un automóvil de B hacia A con una velocidad constante VB, si el tren y el automóvil se encuentran, medido desde A a un cuarto de la distancia de A a B, las velocidades son:

a) VA = 3/4 VB b) VA = 1/3 VB c) VA = 3 VB d) VA = 1/4 VB e) Ninguna de las anteriores

28.- Un cuerpo recorre una distancia de 100 metros en 5 segundos entre dos puntos P1 y P2 con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado si su velocidad en P2 es de 30 m/s su velocidad en el punto P1 es de:

a) Cero b) 20 m/s c) 10 m/s d) 5 m/s e) Ninguna de las anteriores

29.- Un cuerpo recorre una distancia de 100 metros en 5 segundos entre dos puntos P1 y P2 con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado si su velocidad en P2 es de 30 m/s su aceleración de:

a) 4 m/s² b) 2 m/s² c) 6 m/s² d) 5 m/s² e) Ninguna de las anteriores

30.- Considere un proyectil en lo más alto de su trayectoria, la dirección de su aceleración respecto a la dirección de su velocidad es:

a) La misma b) Depende del ángulo inicial del disparo c) Es perpendicular d) En lo más alto de su trayectoria no tiene

aceleración e) Ninguna de las anteriores

31.- Si un cuerpo duplica su velocidad Vo en tres segundos, su aceleración es:

a) Vo / 3 b) 2 Vo / 3 c) Vo d) 3Vo e) Ninguna de las anteriores

32.- Se deja caer un cuerpo desde una altura h desde el suelo, al mismo tiempo se lanza un segundo cuerpo desde el suelo, con una velocidad igual a la que el primer cuerpo golpearía el suelo. En el punto de encuentro la velocidad de un cuerpo respecto del otro es:

a) Vo / 4 b) Vo/ 2 c) Vo d) Depende de la altura e) Ninguna de las anteriores

33.- Un helicóptero vuela en línea recta, sobre un terreno horizontal, con una rapidez constante de 5 m/s. desde el helicóptero se lanza horizontalmente un paquete con una rapidez de 12 m/s respecto a éste y en dirección opuesta después de 10 segundos toca el terreno, el paquete ha recorrido una distancia horizontal respecto a Tierra de:

a) 50 m b) 120 m c) 170 m d) 70 m e) Ninguna de las anteriores

34.- Un helicóptero vuela en línea recta, sobre un terreno horizontal, con una rapidez constante de 5 m/s. desde el helicóptero se lanza horizontalmente un paquete con una rapidez de 12 m/s respecto a éste y en dirección opuesta después de 10 segundos toca el terreno, el helicóptero estuvo a una altura de :

170


35.- Un helicóptero vuela en línea recta, sobre un terreno horizontal, con una rapidez constante de 5 m/s. desde el helicóptero se lanza horizontalmente un paquete con una rapidez de 12 m/s respecto a éste y en dirección opuesta después de 10 segundos toca el terreno, la distancia al helicóptero es de:


36.- Para una misma velocidad inicial en el movimiento parabólico el ángulo que produce el mayor alcance horizontal es: a) 0 grados b) 45 grados c) 30 grados d) 90 grados e) Ninguna de las anteriores

37.- Cuál de los siguientes ángulos de lanzamiento en el movimiento parabólico para una misma velocidad produce la altura máxima es: a) 0 grados b) 45 grados c) 30 grados d) 60 grados e) Ninguna de las anteriores

38.- Una partícula que se mueve en línea horizontal, pasa por las siguientes posiciones en los instantes de tiempo indicados:

X (metros) 8 5 4 5 8 T (segundos) 0 1 2 3 4 La velocidad media de la partícula, en el intervalo de tiempo comprendido entre 0 y 1 segundos es: a) -3 m/s b) -4 m/s c) -2 m/s d) 6 m/s e) Ninguna de las anterior.


X (metros) 8 5 4 5 8 T (segundos) 0 1 2 3 4 La velocidad media de la partícula, en el intervalo de tiempo comprendido entre 0 y 2 segundos es: a) -3 m/s b) -4 m/s c) -2 m/s d) 6 m/s e) Ninguna de las

anteriores


X (metros) 8 5 4 5 8 T (segundos) 0 1 2 3 4

La aceleración de la partícula supuesta constante, en el intervalo de tiempo comprendido entre 0 y 1 segundos es:

a) No se puede determinar b) 1 m/s² c) 2 m/s² d) 6 m/s² e) Ninguna de las anteriores


X (metros) 8 5 4 5 8 T (segundos) 0 1 2 3 4

Si la velocidad en t=0 es cero, la aceleración de la partícula supuesta constante, en el intervalo de tiempo comprendido entre 0 y 1 segundos es:

a) -3 m/s² b) -1 m/s² c) -2 m/s² d) 6 m/s² e) Ninguna de las anteriores

171

42.- Un tren acelera 1 m/s² , partiendo del reposo en una estación, durante la mitad de la distancia a la siguiente estación, después desacelera 1 m/s² , durante la mitad final del recorrido. Si las estaciones están separadas 100 metros. El tiempo de recorrido entre las estaciones es:

a) 10 s. b) 20 s. c) 100 s. d) 50 s. e) Ninguna de las anteriores

43.- Un tren acelera 1 m/s² , partiendo del reposo en una estación, durante la mitad de la distancia a la siguiente estación, después desacelera 1 m/s² , durante la mitad final del recorrido. Si las estaciones están separadas 100 metros. La máxima velocidad del tren es:

a) 10 m/s b) 20 m/s c) 100 m/s d) 50 m/s e) Ninguna de las anteriores

44.- Un globo asciende con una rapidez de 12 m/s y una aceleración de 1,2 m/s² hacia arriba, en ese instante deja caer un paquete, la velocidad y aceleración iniciales del paquete serán:

a) 2/2,1;/0 smasmV =↑= ↑

b) 2/8,9;/0 smasmV =↓= ↑

c) 2/2,1;/12 smasmV =↑= ↑

d) 2/8,9;/12 smasmV =↓= ↓ e) Ninguna de las anteriores

45.- Un globo desciende con una rapidez de 12 m/s y una aceleración de 1,2 m/s² hacia arriba, en ese instante deja caer un paquete, la velocidad y aceleración iniciales del paquete serán:

a) 2/2,1;/0 smasmV =↑= ↑

b) 2/8,9;/0 smasmV =↓= ↓

c) 2/8,9;/12 smasmV =↓= ↓

d) 2/2,1;/12 smasmV =↑= ↓ e) Ninguna de las anteriores

46.- Un globo desciende con una rapidez de 12 m/s y una aceleración de 1,2 m/s² hacia abajo, en ese instante deja caer un paquete, la velocidad y aceleración iniciales del paquete serán:

a) 2/2,1;/0 smasmV =↑= ↑

b) 2/8,9;/0 smasmV =↓= ↓

c) 2/2,1;/12 smasmV =↓= ↓

d) 2/8,9;/12 smasmV =↓= ↑ e) Ninguna de las anteriores

47.- Un cazador dispara con un ángulo en línea de vista, a una ardilla que se encuentra en el extremo más alto de un árbol, en el mismo instante en el que dispara la ardilla se deja caer con la finalidad de no ser alcanzada por el proyectil. Entonces:

a) El impacto depende de la velocidad del proyectil

b) El impacto depende del ángulo de disparo c) Nunca le impacta d) Le impacta siempre e) Ninguna de las anteriores

48.- Una bola rueda sobre una mesa horizontal, cayendo al piso en 1 segundo y a una distancia horizontal del borde de la mesa de 3 metros. Sin considerar la resistencia del aire, la rapidez con la que abandona la mesa es:

a) 3 m/s b) ( 3 + gh2 ) c) 6 m/s

d) 3/9,8 m/s e) Ninguna de las anteriores

49.- Una bola rueda sobre una mesa horizontal, cayendo al piso en 1 segundo y a

172

una distancia horizontal del borde de la mesa de 3 metros. Sin considerar la resistencia del aire, la altura de la mesa:

a) 3 m b) ( 3 + gh2 ) c) 6

m

d) 4,9 m e) Ninguna de las anteriores

50.- Para una misma velocidad inicial en el movimiento parabólico el ángulo que produce el mayor alcance horizontal es:

a) 0 grados b) 45 grados c) 30 grados

d) 90 grados e) Ninguna de las anteriores

51.- Cual de los siguientes ángulos de lanzamiento en el movimiento parabólico para una misma velocidad produce la altura máxima:

a) 0 grados b) 45 grados c) 30 grados

d) 60 grados e) Ninguna de las anteriores

52.- La velocidad en el movimiento parabólico es una función del tiempo. Siendo Vo su velocidad inicial y θ el ángulo de elevación (ángulo que forma con la horizontal) su función es:

a) 220

20 2 tgsengtVVV +−= θ

b) 220

20 2cos tgsengtVVV −+= θθ

c) tgsengtVVV −+= θ02

0 2

d) gtsenVV −= θ0 e) Ninguna de las anteriores

53.- Para un mismo movimiento parabólico, el tiempo de alcance máximo horizontal es con respecto al tiempo de altura máxima:

a) Igual b) La mitad c) El doble d) No tiene relación e) Ninguna de las anteriores

54.- Un electrón gira alrededor de un protón

en una orbita circular de 11104 −x m de radio

con una rapidez de 6102x m/s . La

aceleración del electrón es:

a) 1910 m/s² b) 2310 m/s² c) 0,5 x

2310 m/s²

d) 2 x2310 m/s² e) Ninguna de las

anteriores

55.- Un bombardero en picada con un ángulo de 60 grados con la horizontal, deja caer una bomba, ésta impacta en el suelo 240 segundos después a una distancia horizontal de 24 Km. La velocidad del bombardero en el instante que deja caer la bomba es de:

a) 360 Km/h b) 720 Km/h c) 540 Km/h d) 100 m/s e) Ninguna de las anteriores

56.- La velocidad angular de un motor que gira a 1800 revoluciones por minuto es:

a) 60π r/s b) 30 r/s c) 15 r/s d) 30π r/s e) Ninguna de las anteriores

57.- La velocidad lineal V1 de un punto de la periferia de una polea de radio R1 se transmite mediante una banda el movimiento a una segunda polea de radio R2 = 0.5R1, la velocidad lineal en un punto de la periferia de la segunda polea es:

a) el doble b) la mitad c) el cuádruplo d) Igual e) Ninguna de las anteriores

173

58.- La velocidad angular w1de un punto de la periferia de una polea de radio R1 se transmite mediante una banda el movimiento a una segunda polea de radio R2 = 0.5R1 , la velocidad angular en un punto de la periferia de la segunda polea es:

a) el doble b) la mitad c) el cuádruplo d) Igual e) Ninguna de las anteriores

59.- Para una velocidad inicial de disparo fija, existen dos ángulos que dan igual alcance horizontal en el mismo sentido y estos son:

a) El un ángulo es el doble del otro b) Son suplementarios entre sí c) No existe dos ángulos que den el mismo

alcance horizontal d) Son complementarios entre sí e) Ninguna de las anteriores

60.- En un movimiento parabólico el módulo de la velocidad del cuerpo considerada en un plano horizontal cualquiera que corte a la trayectoria es:

a) Distinta en los puntos de corte considerados b) Su valor se ha incrementado de acuerdo a la

aceleración de la gravedad c) Su valor ha disminuido en g·t d) Tiene el mismo valor en los puntos de corte

considerados e) Ninguna de las anteriores

61.- En el movimiento parabólico, el tiempo en el que la partícula alcanza la altura máxima es:

a) El doble del tiempo de alcance máximo horizontal

b) Igual al tiempo de alcance máximo horizontal

c) La mitad del tiempo de alcance máximo horizontal

d) No tiene relación e) Ninguna de las anteriores

62.- En un movimiento parabólico los ángulos θ1 y θ2 que forma el vector velocidad con la horizontal en un plano horizontal cualquiera que corte a la trayectoria son:

a) θ1 = θ2 b) Sus valores no guardan relación alguna c) θ1 = 90 - θ2 d) θ2 = 360 - θ1 e) Ninguna de las anteriores

63.- Para una misma velocidad angular, en un movimiento cuya trayectoria es circular, la aceleración normal es:

a) Mayor a mayor radio b) Mayor a menor radio c) No existe aceleración normal d) Es independiente del radio e) Ninguna de las anteriores

64.- Si en un movimiento circular la rapidez del cuerpo se duplica, la aceleración normal:

a) Se duplica b) Permanece igual c) Se cuadruplica d) No hay aceleración normal e) Ninguna de las anteriores

174


LA MASA de un objeto es la medida de la inercia del cuerpo. La inercia es la tendencia de un cuerpo en reposo a permanecer en reposo y la de un cuerpo en movimiento a continuar moviéndose con la misma velocidad. Por muchos siglos los físicos encontraron que es útil pensar en la masa como la representación de la cantidad de materia. EL KILOGRAMO ESTANDAR es un patrón cuya masa está definida como la de 1 kilogramo. La masa de otros cuerpos se encuentra por comparación con este patrón. La masa de un gramo es igual 0,001 Kg. LA FUERZA es en general un agente de cambio, en mecánica es el agente que cambia la velocidad de un cuerpo. La fuerza es una cantidad vectorial que tiene magnitud y dirección. Una fuerza externa es una fuerza cuya fuente se encuentra fuera del sistema que está siendo considerada. LA FUERZA NETA EXTERNA actuando sobre un objeto obliga a que ese objeto se acelere en la dirección de esta fuerza. La aceleración es proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa. EL NEWTON es la unidad de la fuerza en el SI. Un Newton (1 N) es la fuerza necesaria para acelerar un cuerpo de 1 kilogramo de masa en 1m/s2.La libra (Pound) es igual a 4,45 N. PRIMERA LEY DE NEWTON : Un objeto en reposo permanecerá en reposo; un objeto en movimiento continuará en movimiento con velocidad constante. El reposo o el movimiento deben ser referidos a un sistema de referencia. SEGUNDA LEY DE NEWTON : Como Newton demostró la segunda ley debe ser expresada en términos del concepto del Momento, esto es una formulación correcta y rigurosa, también puede ser considerada de una

manera menos fundamental pero altamente útil. Si la resultante o fuerza neta rF que actúa sobre un objeto

de masa m no es cero, el objeto se acelera en dirección de la fuerza. La aceleración a es proporcional a la

fuerza e inversamente proporcional a la masa del objeto. Si rF está en Newtons, m en kg y

ra en m/s2 la

segunda ley se puede formular matemáticamente

rr Fa

m= o F ma=

r r

LA ACELERACIÓN: ra tiene la misma dirección de la fuerza resultante

rF

La ecuación vectorial F ma=r r

puede ser escrita en términos de componentes como:

x x y y z zF ma F ma F ma= = =∑ ∑ ∑

TECERA LEY DE NEWTON: Los cuerpos interactúan con cuerpos y las fuerzas siempre aparecen en pares. Para cada fuerza aplicada sobre un cuerpo hay una fuerza igual en magnitud y en sentido opuesto. Con frecuencia esta ley se llama Ley de Acción y Reacción. Tome en consideración que las fuerzas de acción y reacción actúan sobre dos cuerpos interactuantes diferentes. LEY DE LA GRAVEDAD UNIVERSAL: Cuando dos masas M y m interactúan gravitacionalmente, estas se atraen una a la otra con fuerza de igual magnitud. Para masas puntuales o cuerpos simétricamente esféricos la fuerza de atracción está dada por:

2G

MmF G

r=

Donde r es la distancia entre los centros de las masas, G es igual a 6,67 x 10-11 Nm2 / kg2 cuando FG está en newtons, M y m están en kg, y r en metros.

175

EL PESO de un objeto ( Fw ) es la fuerza gravitacional actuando hacia abajo sobre un objeto. En la tierra esta es la fuerza gravitacional ejercida sobre un objeto por el planeta, sus unidades son newton en el sistema SI y pounds en el sistema británico. RELACION ENTRE EL PESO Y MASA : Un objeto de masa m que cae libremente hacia abajo en la tierra está sujeto solamente a una fuerza: la influencia de la gravedad a la que llamamos peso Fw del objeto. La

aceleración del objeto debido a Fw es la aceleración de caída libre g . Por lo tanto F ma=r r

nos proporciona la relación F = Fw ; a = g y m; esto es Fw = mg. Por cuanto en promedio g = 9,81 m/s2 en la tierra un cuerpo de 1 kg pesa 9,81 N en la superficie de la tierra. LA FUERZA DE TENSION (FT) actuando sobre una cuerda, cadena o tendón es una fuerza aplicada que tiende a estirar. La magnitud de la fuerza de tensión es la Tensión (FT)

LA FUERZA DE FRICCION (Ff) es una fuerza tangencial que actúa sobre un objeto y se opone al deslizamiento sobre una superficie adyacente con la cual está en contacto. La fuerza de fricción es paralela a la superficie y opuesta a la dirección de movimiento o de movimiento inminente. Solo cuando la fuerza aplicada excede el máximo de la fuerza de fricción estática el cuerpo comenzara a deslizarse.

LA FUERZA NORMAL (FN) sobre un cuerpo es la que actúa en forma perpendicular a la superficie del cuerpo por parte de otra superficie o cuerpo con la cual se encuentra en contacto.

176

DIAGRAMAS DE CUERPOS Y FUERZAS . A continuación se indican como referencias algunos sistemas de cuerpos y fuerzas. Identifique cada situación y descríbala.

EL COEFICIENTE DE FRICCION CINETICA kµ está definido para el caso en el que una superficie se

desliza sobre otra con velocidad constante. Este es

kµ = Fuerza de fricción/Fuerza normal = Ff / FN

EL COEFICIENTE DE FRICCION ESTATICA sµ está definido para el caso en el que una superficie esta

justo al borde del deslizamiento sobre otra superficie

sµ = Fuerza de fricción máxima/Fuerza normal = Ff (max) / FN

Donde el máximo de la fuerza de fricción ocurre cuando el objeto esta justo al borde de comenzar el deslizamiento, pero sin embargo todavía se encuentra en reposo. ANALISIS DIMENSIONAL . Todas las cantidades como aceleración y fuerza pueden ser expresadas en términos de tres dimensiones fundamentales longitud: L, masa M y tiempo T. Por ejemplo, la aceleración es una longitud (una distancia) dividida para el tiempo2; decimos entonces que tiene las dimensiones L/T2, que se puede escribir como [LT -2]. Las dimensiones de un volumen son [L3], y para una velocidad son [LT -1]. Puesto que la fuerza es masa multiplicada por aceleración sus dimensiones son [MLT -2]. Las dimensiones

177

son muy útiles para chequear si las ecuaciones están correctas, puesto que cada termino de la ecuación debe tener las mismas dimensiones. Por ejemplo, las dimensiones de la ecuación S = vit +1/2 a t2 Son [L] = [LT -1] [T] + [LT -2] [T2]

Por lo que cada término de la ecuación tiene la misma dimensión de longitud L. Recuerde que todos los términos en una ecuación deben tener las mismas dimensiones. Un volumen [L3] no puede ser sumado a una área [L2], o a una fuerza [MLT -2] no le puede ser sustraída una velocidad [LT -1]; estos términos no tienen las mismas dimensiones. En el análisis dimensional no importan los factores numéricos, importan solo, las magnitudes físicas y sus dimensiones, y este es aplicable a todas las áreas de la física. OPERACIONES MATEMATICAS CON UNIDADES : En cada operación matemática las unidades de los términos deben ser consideradas conjuntamente con los números y someterse a las mismas operaciones matemáticas que se realizan sobre los números. Las cantidades no pueden ser sumadas o restadas mientras no tengan las mismas unidades y dimensiones. Por ejemplo, si queremos sumar algebraicamente 5 m. y 8 cm. debemos primero convertir los m a cm. , o los cm. a m. De otro lado las magnitudes de cualquier naturaleza pueden ser combinadas en multiplicaciones o divisiones en las que las unidades así como los números obedecen a las leyes de potenciación, cancelación, etc.

( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )

2 2 2 2 2 2

2 3 2 3

3 33 3

2 2

33 3

3 3

1 6 2 8

2 5 2 10

3 2 1500 3000

4 2 3 6

155 5

3

m m m m m m

cm cm cm cm cm cm

kg kgm kg m kg

m m

km km km kms s

s ss s

g g cmcm g cm

gg cm g cm

+ = + →

× = × →

× = × →

× = × →

= → × →

178


1.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones que describen un cuerpo en equilibrio no es cierta?

a) la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es cero. b) el cuerpo se mueve a velocidad constante. c) el cuerpo debe permanecer en reposo. d) el cuerpo se mueve a rapidez constante.

2.- Un bloque de masa M esta resbalando por un plano inclinado sin fricción, como se muestra en la figura. La fuerza de reacción ejercida por el plano sobre el bloque es:

a) g .sen θ b) M.g .cos θ c) M.g. sen θ d) cero porque el plano tiene fricción.

3.- Se suspende una masa de una cuerda y se acelera hacia abajo con una aceleración igual a 0.7g. Se concluye que la tensión en la cuerda es:

a) igual al peso de la masa. b) no cero, pero menor que el peso de la masa. c) mayor que el peso de la masa d) cero.

4.- Un bloque de masa m descansa en un plano inclinado de un ángulo de 30 0 con la horizontal ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la fuerza de fricción estática es verdad?

a) fs > m·g c) fs = m·g ·tan 30° b) fs>= m·g·tan 30°. d) f s = m·g ·sen 30°

5.- Un objeto se está moviendo a velocidad constante. La fuerza total F que actúa sobre ese objeto esta dada por:

a) 2 2F v m= b) F mv=

c) F mg= d) 0F =

6.- El bloque que se muestra en la figura esta sostenido sobre un plano sin fricción Su aceleración es:

a) g b) g .cosθ

c) g .senθ d) g. tanθ 7.- Suponiendo que se observa que el bloque de la figura resbala hacia abajo del plano a velocidad constante. Se concluye que el coeficiente de fricción cinética kµ entre el

bloque y el plano está definido por:

a) tanθ b) cosθ - senθ c) 1- cosθ d) M.g .senθ

8.- Una masa m sobre un plano horizontal se empuja levemente para que tenga una velocidad inicial v 0 . Si se detiene después de recorrer una

distancia D, el coeficiente de fricción cinética contra la masa y el plano es:

a) 0v Dg b) 0 2v Dg

c) 20 2v Dg d) 2

0 2v D


179

9.- En la figura se muestra un sistema que esta en equilibrio. No hay fricción entre el bloque de masa M1 y el plano inclinado, y la polea no tiene fricción. La masa M2 = 5 kg. la masa M 1 SE desconoce. La tensión en la cuerda es:

a) 5g N. b) 5g.cos θ N. c) 5g.sen θ N. d) no se puede determinar porque no se da M1 e) ninguna de las anteriores

10.- Un bloque de masa M se jala sobre una superficie, como se ilustra en la figura. La velocidad del bloque es constante. Si µ es el coeficiente de fricción cinética y T la tensión, T es igual a:

a) T= µ g b) T=M. µ g

c) T= M.g / µ d) ninguna de las anteriores

11.- Un bloque de masa m se remolca sobre una superficie como se muestra en la figura. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie es µ y la tensión de la cuerda T. La aceleración del bloque entonces es:

a) cosa T mgθ µ====

b) cosa T mgθ µ====

c) cos /a T m mgθ µ= += += += + d) ninguna de las anteriores

12.- Un bloque cuyo peso es de 20 N descansa sobre una superficie horizontal. El coeficiente de fricción estática entre el bloque y la superficie que la soporta es de 1.0. Una cuerda es atada al bloque. La tensión de la cuerda es de 15 N y la cuerda hace un ángulo de 30 0 con la horizontal:

a) el bloque permanecerá en reposo. La fuerza de fricción estática es de20 N b) el bloque se moverá horizontalmente c) el bloque se levantará de la superficie debido a la cuerda d) el bloque permanecerá en reposo, la fuerza de fricción estática es de 13 N e) ninguna de las anteriores

13.- Un objeto resbala sobre una superficie horizontal, a causa de un empujón que se le impartió con una velocidad inicial v en la dirección positiva de las x. Si el coeficiente de fricción cinética entre el objeto y la superficie es u, la aceleración el objeto es:

a) xa mµ= − b) xa g µ= −

c) xa mgµ= − d) xa gµ= −


14.- Un bloque liso de aluminio y un bloque de madera de igual masa parten al mismo instante del reposo sobre un plano inclinado de 2 m de longitud, que hace un ángulo de 45° con la horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque de aluminio y el plano es despreciable; el del bloque de madera y el plano es de 0.3. Marque las afirmaciones correctas:

a) ambos bloques alcanzaran el extremo del plano al mismo tiempo y con la misma velocidad. b) el bloque de aluminio llegará primero al extremo, pero los dos tendrán la misma velocidad cuando alcancen el extremo. c) el bloque de aluminio alcanzará el extremo

180

del piano primero y se moverá mas rápido que el bloque de madera cuando este alcance el extremo.

d) ambos bloques llegan al extremo del plano al

mismo tiempo, pero el bloque de madera se

mueve más despacio que el bloque de

aluminio. 15.- Un bloque cuyo peso es de 20 N descansa sobre una superficie horizontal. A este bloque se le fija una cuerda. El coeficiente de fricción estática entre el bloque y la superficie es de 1.0. Se tira de la cuerda en el sentido horizontal con una fuerza de 15 N:

a) la fuerza de fricción que actúa sobre el bloque es de 20 N. b) la fuerza de fricción que actúa sobre el bloque es de 15 N. c) la fuerza de fricción que actúa sobre el bloque es de 5N.

d) no se puede determinar la fuerza de fricción.

Porque la fuerza normal entre el bloque y la

superficie no se conoce.

16.- Una persona de peso W está sobre una balanza en un ascensor, cuando el ascensor asciende con una aceleración hacia arriba de 4,9 m/s2. La balanza marca: a) W b) 1,5 W c) 2W d) 0.5 W e) Ninguna de las anteriores 17.- La tensión T en la cuerda que esta atada a la masa m en la figura es T = mg/2 . La aceleración de la masa m es:

a) g / 2 dirigida hacia arriba b) g / 2 dirigida hacia abajo

c) 3g / 2 dirigida hacia abajo d) ninguna de las anteriores

18.- Dos masas M y m, siendo M > m, se cuelgan de una polea sin masa y sin fricción, como se muestra en la figura. La aceleración de la masa M hacia abajo es:

a) g b) M

gm

c) M m

gM m

−+

d)M m

gMm

− e) ninguna de los anteriores

19.- En la figura la tensión en la cuerda que soporta la polea sin masa es

a) Mm

gM m+

b) 2Mm

gM m+

c)4Mm

gM m+

d) 2Mm

gM m−


181

20.- En la siguiente figura M2 está sobre el plano horizontal sin fricción. La tensión de la cuerda es:

a) 1 2

1 2

M Mg

M M+ b) 1 2

1 2

2M Mg

M M+

c) 1 2

1 2

4M Mg

M M+ d) 1 2

1 2

2M Mg

M M−


21.-Dos masas m1 y m2 se aceleran uniformemente sobre una superficie sin fricción, como se muestra en la figura. La relación de las tensiones T1 / T2 está dada por:

a) 1

2

m

m b) 2

1

m

m c)

( )1 2

2

m m

m

+

d) ( )1

1 2

m

m m+ e) ninguna de las anteriores

22.- Una persona de peso W está sobre una balanza en un ascensor, cuando el ascensor asciende con velocidad constante m/s. La balanza marca: a) W b) 1,5 W c) 2W

d) 0.5 W e) Ninguna de las anteriores

22223333....---- Si las magnitudes fundamentales son: La longitud L, la fuerza F y el tiempo T, las dimensiones de la masa son:

a) 2−FLT b) 21TFL− c) FLT d) 12 −− TFL e) Ninguna de las anteriores

24.- Si las magnitudes fundamentales son: La longitud L, la masa M y el tiempo T, las dimensiones de la Fuerza son:

a) 2−MLT b)

21TML−

c) MLT d) 12 −− TML


25.- Un cuerpo está suspendido mediante una cuerda, del techo de un elevador. La tensión en la cuerda es máxima cuando: a) El elevador está en reposo b) El elevador asciende con rapidez constante c) El elevador desciende disminuyendo su

rapidez d) El elevador desciende aumentando su

rapidez e) Ninguna de las anteriores

26.- La fuerza de la gravedad actúa en un cuerpo de 2 Kg masa y también se ejerce sobre él una fuerza horizontal de 2 Kg fuerza el módulo de su aceleración es:

a) g b) 2g c) 2 g d) g/2 e)Ninguna de las anteriores

27.- Un viajero espacial cuya masa es de 60 Kg, abandona la tierra, su peso en el espacio interplanetario es: a) 60 Kgf b) 598 Nw c) Cero d) 58,58 Nw e) Ninguna de las anteriores

28.- La fuerza de fricción del aire en un cuerpo de 0,25 Kg de masa que cae con una aceleración de 9,4 m/s² es:

182

a) 0,1 Nw b) 0,1 Kgf c) 2 Nw d) 2 Kgf e) Ninguna de las

anteriores

29.- En una pelota de golf que viaja a través del aire, en movimiento parabólico la fuerza de la gravedad actúa:

a) En dirección del viaje b) Contraria a la dirección del viaje c) Estando en movimiento no actúa d) Hacia el centro de la Tierra e) Ninguna de las anteriores

30.- En el centro de una cuerda que jalan dos estudiantes cada uno con una fuerza de 30 Kg, como indica la figura, se ha instalado un dinamómetro, cuanto marca el dinamómetro

a) 60 Kg b) 0 Kg c) 30 Kg d) 45 Kg e) Ninguna de las anteriores

31.- Masa inercial es: a) El peso de un cuerpo b) La fuerza de atracción que ejerce sobre otro

cuerpo c) La que opone resistencia al cambio de

estado de reposo o de movimiento del cuerpo

d) La que produce el movimiento del cuerpo e) Ninguna de las anteriores

32.- A menudo en lugar de conocer la masa de un cuerpo, se da el peso W del mismo, la aceleración producida por una fuerza F que actúa sobre ese cuerpo está dada por:

a)F

Wga = b)

Fga

W= c)

Wa

Fg= d)

Wa

F= e) Ninguna de las anteriores

33.- Cuando se aplica la misma fuerza a dos cuerpos de masas M1 y M2 respectivamente la relación de sus masas está dada por:

a)1

2

1

2

a

a

M

M = b)2

1

1

2

a

a

M

M =

c) 1212 . . aaMM = d) Las masas no están relacionadas e) Ninguna de las anteriores

34.- La Tierra es un cuerpo de masa Mt, considerando un cuerpo de masa Mc que cae libremente con una aceleración g. La Tierra acelera hacia el cuerpo con una aceleración a igual a:

a) Cero b) t

c

M

gM . c)

c

t

M

gM .

d) Ninguna de las anteriores

35.- Suponga que sobre un cuerpo actúan sólo dos fuerzas y que el cuerpo se mueve con una cierta aceleración en dirección y sentido de la velocidad, entonces: a) La velocidad puede llegar a ser Cero b) Las dos fuerzas deben actuar a lo largo de

la misma línea c) La suma de las dos fuerzas no puede ser

cero y su dirección es la de la velocidad d) La suma de las dos fuerzas debe ser cero e) Ninguna de las anteriores

36.- Dos cuerpos de igual masa uno en la Tierra y otro en la Luna están sometidas a igual resultante de fuerzas. Entonces: a) La aceleración del cuerpo que está en la

Tierra es Mayor que la que está en la Luna b) La aceleración del cuerpo que está en la

Tierra es Menor que la que está en la Luna c) Tienen igual aceleración d) Es indiferente e) Ninguna de las anteriores

30 Kg 30 Kg

183

37.-Un estudiante quiere determinar el coeficiente de fricción estática entre una caja y un tablón. Coloca la caja sobre el tablón y levanta éste gradualmente. Cuando el ángulo llega a ser 30 grados la caja empieza a deslizarse hacia abajo. El coeficiente de fricción estático entre la caja y el tablón es:

a)3

1 b)

3

2 c)

2

3

d) 0,5 e) Ninguna de las anteriores

38.- Una fuerza F aplicada a un objeto de masa M1 produce una aceleración de 2 m/s² La misma fuerza aplicada a un objeto de masa M2 produce una aceleración de 6 m/s² Si se sujetan M1 y M2 bajo la acción de la misma fuerza su aceleración es:

a) 2,5 m/s² b) 3 m/s² c) 1,5 m/s² d) 4 m/s² e) Ninguna de las anteriores

39.- Un objeto de 6 Kg experimenta una aceleración de 2 m/s² la fuerza resultante aplicada en esa dirección es:

a) 12 Kg b) 1200 dinas c) 117,16 N d) 12 N e) Ninguna de las anteriores

40.- Una partícula de 2 Kg se mueve a lo largo del eje X, bajo la acción de una sola fuerza constante. Si la partícula parte del reposo, en t = 0 y después de 2 segundos se encuentra en X = 8 metros, la magnitud de la fuerza aplicada es:

a) 4 N b) 8 N c) 16 N d) 32 N e) Ninguna de las anteriores

41.- Un proyectil de masa 15 gramos sale del cañón de un rifle con una rapidez de 800 m/s. Si la longitud del cañón es de 75 cm, la fuerza supuesta constante que acelera el proyectil es:

a) 15000 N b) 6400 N c) 1125 Kg d) 11200 N e) Ninguna de las anteriores

42.- Un tractor de 3 toneladas proporciona una aceleración de 1 m/s² a un remolque de 7 toneladas, en las mismas condiciones éste tractor a un remolque de 17 toneladas le proporciona una aceleración de:

a) 0,41 m/s² b) 0,18 m/s² c) 0,50 m/s² d) 0,59 m/s²

43.- El momento de una fuerza con respecto a un punto se define como:

a) El equilibrio estático b) El equilibrio dinámico c) La fuerza por la distancia al punto d) La fuerza por la distancia que recorre el

cuerpo e) Ninguna de las anteriores

44.- Masa gravitacional es: a) El peso de un cuerpo b) La que interactúa con otra atrayéndose

mutuamente con una fuerza c) La que opone resistencia al cambio de

estado de reposo o de movimiento del cuerpo

d) La que produce el movimiento del cuerpo


184

45.- Una partícula está en equilibrio estático cuando: a) La resultante de las fuerzas aplicadas es igual a cero b) La suma de los momentos de las fuerzas aplicadas con respecto a cualquier punto es cero c) Las fuerzas aplicadas concurren a un punto

d) Las fuerzas aplicadas son paralelas e) Ninguna de las anteriores

185


EL TRABAJO realizado por una fuerza se define como el producto de fuerza por la distancia, cuando la fuerza es paralela al desplazamiento. W = F s Si la fuerza no es paralela al desplazamiento, entonces debe considerarse la componente de la fuerza paralela al desplazamiento. W = F. s .cosθ

Tenga en cuenta que θ es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento. Si el vector de fuerza Fr

es paralela al

desplazamiento sr

, cos cos0º 1θ = = y W = F.s. Por el contrario, si Fr

y sr

tienen direcciones opuestas cos cos180º 1θ = = − y W = -F s; esto es, el trabajo es negativo. Las fuerzas como la fricción frecuentemente detienen el movimiento del objeto y por lo tanto son opuestas a la dirección del desplazamiento, éstas fuerzas usualmente realizan trabajo negativo. El trabajo transfiere energía desde un objeto a otro por medio de la acción de la fuerza aplicada sobre una distancia. LAS UNIDADES DE TRABAJO en el sistema SI es el N.m = Joule. 1 Joule es el trabajo realizado por una fuerza de 1 newton cuando se desplaza un objeto un metro en la dirección de la fuerza. Otra medida usada a veces es el Ergio. 1 Erg = 10-7 joule, y el ft-lb = 1,355 Joule. La energía es la medida del cambio que sufre un sistema, este cambio se realiza cuando una fuerza realiza trabajo sobre el objeto. La cantidad de energía transferida al cuerpo es igual al trabajo realizado; cuando el objeto realiza trabajo este pierde energía igual al trabajo hecho por el cuerpo. La energía y el trabajo tienen las mismas unidades. La energía como el trabajo son magnitudes escalares. Un objeto es capaz de realizar trabajo si es que almacena energía. LA ENERGÍA CINETICA es la energía que posee un cuerpo debido a su movimiento. Si un cuerpo de masa m se mueve con rapidez v, este tiene una energía cinética traslacional dada por:

21

2K mv=

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA es la que posee un cuerpo debido a la interacción gravitatoria. En una caída libre desde una altura h, una masa m puede realizar un trabajo en una magnitud igual a mgh. Definimos la energía potencial gravitatoria de un objeto respecto a un nivel de referencia que por lo común es la superficie de la tierra, si el objeto está a una altura h sobre el nivel cero de referencia la energía potencial U mgh= Donde g es la aceleración debida a la gravedad. Tenga en cuenta que mg es el peso del objeto. La energía potencial se mide en Joule cuando m está en Kg, g en m/s2 y h en metros. EL TEOREMA DE TRABAJO-ENERGÍA : Si en el trabajo hecho sobre una masa puntual o un cuerpo rígido no hay cambio en su energía potencial elástica ( el cuerpo no se deforma), la energía impartida al cuerpo, puede solamente aparecer en forma de energía cinética. Cuando el cuerpo no es totalmente rígido, sin embargo, la

186

energía puede ser transferida a sus partes y el trabajo realizado sobre este no es precisamente igual al cambio en la energía cinética. CONSERVACION DE LA ENERGÍA . La energía no puede ser creada ni destruida, solo puede ser transformada de una forma a otra. POTENCIA es el ritmo con el cual se realiza el trabajo.

trabajo hecho por la fuerzaPotencia promedio Fv

tiempoempleado para realizar el trabajo= =

Donde la velocidad se mide en la dirección de la fuerza aplicada al objeto. Más generalmente la potencia es el ritmo de transferencia de energía. En el SI la potencia se mide en Watt, 1 W = J / s. Otra unidad de potencia usada frecuentemente es el HP (caballo fuerza) 1HP = 746 W. EL KILOWATT-HORA es una unidad de energía. Si una fuerza está haciendo trabajo con un ritmo de 1Kw (1000 J / s), entonces en una hora se realizará un trabajo de 1Kw-h 1kw-h = 3,6 x 106 Joule = 3,6 MJ.

187


1.- Una fuerza cambia el movimiento de un objeto. Cuando se multiplica la fuerza por el tiempo en el que se aplica, a esa cantidad se le llama impulso, el cual cambia la cantidad de movimiento de ese objeto. ¿Cuál es el nombre de la cantidad fuerza x distancia? a) Potencia b) trabajo c) momento de la fuerza d) ninguna de las anteriores 2.- El trabajo que se realiza al subir un saco de 2 5 kg. una distancia de 4 m. y un saco de 50 kg. una distancia de 2 m: a) es mayor para el saco de 50 kg. b) es mayor para el saco de 25 kg. c) Los trabajos son iguales. d) ninguna de las anteriores 3.- ¿Cuántos watts de potencia se producen cuando una fuerza de 1N mueve 2 m a un libro y se tarda 1 s: a) 1wt b) 2wt c) 0.5 wt

4.- La fuerza de gravedad efectúa trabajo sobre: a) una rueda de bolos que rueda sobre una pista b) un automóvil que va por una carretera plana c) un automóvil que va por una cuesta. 5.- Una pelota rebota a mayor altura que aquella desde la que se deja caer: a) Si b) No c) Ninguna 6.- Una pelota se lanza al aire directo hacia arrib a. En qué posición es máxima su energía cinética: a) cuando comienza el movimiento b) cuando alcanza la altura máxima c) cuando termina el movimiento d) ninguna de las anteriores 7.- Se deja caer una piedra desde cierta altura, y penetra en el lodo. En igualdad de las demás condiciones si se deja caer la piedra de una altura doble esta se hunde: a) la mitad b) el doble c) la misma cantidad

d) ninguna de las anteriores

8.- La energía cinética de un coche cambia más cuando su velocidad cambia de: a) 20 km / h a 30 k m / h b) 40 k m / h a 55 k m / h 9.- ¿Cuál de los siguientes es escalar? a) Velocidad b) Potencia. c) Aceleración. d) Desplazamiento. 10.- ¿Cuál de las siguientes no es una cantidad de energía? a) W • s. b) N . m. c) kg • m/s. d) J. 11.- La dimensión de potencia es a) [M] [L] / [T] b) [M] [L] 2 / [T] 2 c) [M] [L] 2 / [T] 3 d) ninguna anterior 12.- Juan y Pedro mueven cajas idénticas a lo largo de distancias iguales en dirección horizontal. Juan resbala la caja en una superficie que no tiene fricción. Pedro levanta su caja, y la carga la distancia requerida y luego la baja de nuevo: a) Juan Hace menos trabajo que Pedro b) Juan hace más trabajo que Pedro. c) Ni Juan ni Pedro hacen trabajo alguno.

d) La cantidad de trabajo que hace cada uno depende del tiempo que tomaron.

13.- Suponer que un saltador de garrocha alcanza toda su altura mediante la conversión completa de su EC en EP. Si su velocidad al momento exacto antes de bajar su garrocha es v, la altura alcanzada esta dada por

a) 2vg b) v2 / 2g

c) 2g / v2 d) v / 2g 14.- La energía potencial de una masa cambia en - 6 J. Se concluye que el trabajo hecho por la fuerza gravitacional sobre la masa es: a) 6 J, y la elevación de la masa disminuye. b) -6 J, y la elevación de la masa disminuye. c) 6 J, y la elevación de la masa aumenta. d) -6 J, y la elevación de la masa aumenta.

188

15.- La fuerza ejercida por un resorte es F = -k x en donde x es la elongación. La dimensión de la constante del resorte k es: a) [M] / [T]2 b) [M] [L]2 / [T] c) [M] [L] / [T]2 c) ninguna de las anteriores 16.- La defensa de un automóvil se fija al marco por medio de un resorte cuya constante es k. Cuando el vehículo choca en una pared de concreto a una velocidad de 1.0 km/h, el resorte se comprime 1.0 cm. Si el vehículo choca a una velocidad de 2.0 km/h, el resorte se comprimirá:

a) 2cm b) 2 cm.

c) 4 cm. d) 1 2 .cm

17.- El trabajo efectuado para acelerar un automóvil desde 0 hasta 30 m/s es: a) menor que el necesario para acelerarlo desde 30 m/s hasta 60 m/s. b) igual al necesario para acelerarlo desde 30 m/s hasta 60 m/s. c) mayor que el necesario para acelerarlo desde 30 m/s hasta 60 m/s. d) puede ser cualquiera de los anteriores, dependiendo del tiempo empleado para cambiar la velocidad. 18.- Una lenteja de péndulo de masa M se suspende por una cuerda de longitud L. La lenteja se jala hacia un lado para que este a una altura L/4 sobre su nivel cuando cuelga libremente. Si la lenteja se suelta partiendo del reposo, su velocidad en su punto más bajo esta dada por:

a) 8v MgL= b) 8gL

c) 2gL d) 2MgL

19.- Dos cañones de juguete idénticos A y B disparan proyectiles directamente hacia arriba. El proyectil del cañón A tiene una masa M A y el del B, una masa M B =2MA. La altura que alcanza el proyectil A es H. La altura que logra el proyectil es:

a) H / 4 b) H / 2

c) 2H d) H

20.- Una masa m se deja caer partiendo del reposo desde una altura h hasta el piso. Señale la afirmación correcta:

a) La velocidad de la masa al tocar el piso es proporcional a h. b) La EC de la masa cuando llega al piso es proporcional a /;. c) La EC de la masa al golpear al piso es independiente de m. d) La velocidad de la masa cuando pega en el piso es proporcional a m

21.- Dos automóviles de masa M 1 y M2 siendo M1>M2 viajan por una carretera recta. Sus energías cinéticas son iguales. Si el coeficiente de fricción estática entre llantas y pavimento es el mismo para ambos, y se detienen en la distancia mínima sin derrapar:

a) el auto 1 se para en menor distancia que el automóvil 2. b) ambos automóviles se detienen en la misma distancia. c) el automóvil 2 se detiene en menor distancia que el automóvil 1. d): a), b) o c) pueden ser ciertos, dependiendo del coeficiente de fricción estática.

22.- Una masa m se empuja hacia arriba por un

piano inclinado que hace el ángulo θ con la horizontal, como se muestra en la figura. En la parte superior del piano inclinado la velocidad de la masa es v. Si la masa partió del reposo y el plano no tiene fricción, el trabajo efectuado es:

a) m.g.L. cos θ .

b) m.g.L .sen θ + 21 2mv

c) m.g.L. sen θ .

d) m.g.L .cos θ + 21 2mv

189

23.- Un cañón de juguete dispara un proyectil directo hacia arriba. La altura máxima que alcanza el proyectil es H cuando se ha comprimido el resorte del cañón x cm. Para que el proyectil alcance una altura de 211, el resorte del cañón debe comprimirse: a) 2x cm. b) 4x cm.

c) 2x cm d) 2 2x cm 24.-Se supone que cuando se aplican los frenos, se ejerce una fuerza constante de fricción sobre las ruedas de un automóvil. Si esto es así, se deduce que:

a) El coche pierde EC con una rapidez constante. b) La distancia que viaja el automóvil antes de detenerse es proporcional a la velocidad del vehículo justo antes de aplicar los frenos. c) La distancia que recorre el vehículo antes detenerse es proporcional al cuadrado de la velocidad que tenia exactamente antes de aplicar los frenos. d) La EC del automóvil es inversamente proporcional al tiempo, siendo t = 0 el instante en que se aplican los frenos.

25.- Dos masas se sueltan desde una altura H sobre el piso. M 1 resbala hacia abajo de un piano inclinado sin fricción que hace un ángulo de 30° con la horizontal; M 2 resbala pendiente abajo en un piano semejante que hace un ángulo de 45° con la horizontal. ¿Cual de las afirmaciones siguientes es verdad?

a) M1 llega al final después que M2 y la velocidad de M1 en ese punto es menor que la de M2 b) M1 y M2 llegan al final al mismo tiempo y con la misma velocidad. c) M1 alcanza el fondo después que M2 ,pero ambas llegan con la misma velocidad a ese punto d) Ninguna de las afirmaciones anteriores son correctas.

26.- Irma, Miguel y Eduardo cargan bloques de concreto idénticos desde el piso hasta la parte trasera de un camión. Irma levanta sus bloques casi verticalmente del piso hasta el piso del camión. Miguel desliza sus bloques hacia arriba por una tabla tosca. Eduardo desliza sus bloques hacia arriba por un plano inclinado con rodillos sin fricción. La tabla de Miguel tiene la misma longitud que la del plano inclinado sin fricción de Eduardo. Los tres cargan el mismo número de

bloques. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

a) Irma hace más trabajo que Miguel, y Miguel hace más trabajo que Eduardo. b) Irma y Eduardo hacen el mismo trabajo, y Miguel hace más. c) Miguel hace más trabajo que Eduardo, y este hace más trabajo que Irma. d) Irma, Eduardo y Miguel realizan la misma cantidad de trabajo.

27.- Una piedra se arroja directamente hacia arriba desde el piso de un edificio, con una velocidad inicial v 0. En el mismo instante, se lanza una segunda piedra hacia arriba con un ángulo de 60° con la horizontal y con la misma velocidad inicial v 0:

a) Ambas piedras llegan al piso al mismo tiempo y con velocidades iguales. b) Las dos piedras llegan al piso al mismo tiempo, pero a distintas velocidades. c) Las piedras llegan al piso en tiempos distintos, pero con las mismas velocidades. d) Las piedras llegan al piso en diferentes tiempos y con distintas velocidades.

28.- Una masa m resbala a velocidad constante pendiente abajo por un plano inclinado que hace un ángulo θ con la horizontal. Mientras la masa se mueve una distancia D a lo largo del plano, el trabajo hecho por la fuerza de fricción sobre la masa es:

a) –M.g.D. sen θ . b) –M.g.D. cos θ c) –M.g.D. tan θ . d) ninguno de los anteriores.

29.- Una persona de 70 kg. de masa camina por una escalera y sube hasta el tercer piso de un edificio. El trabajo en joules que realizó su pes o durante el recorrido, si se sabe que cada piso tien e 4 m. de altura, es: a) - 5600 b) - 6500 c) 5600 d) 6500 e) Ninguna de las anteriores

190

30.- Un resorte de constante k =10 N /cm. se encuentra estirado x 1=20 cm. El trabajo que costará

estirarlo adicionalmente ∆ x =10cm. será: a) 0.25 J b) 0.35 J c) 0.15 J d) 0.05 J e) Ninguna de las anteriores 31.- Un cuerpo es soltado desde una altura H =240m . ¿ En que relación se encuentran las energías potenc ial y cinética al cabo de t=4seg? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Ninguna de las anteriores

32.- Un cuerpo de masa m=5kg. Es lanzado pendient e abajo con una velocidad v 0=4 m/s. El trabajo neto

que realizarán las fuerzas externas a él hasta el instante en que su velocidad es v f = 10 m/s. es:

a) 180 J b) 190 J c) 200 J d) 210 J e) Ninguna de las anteriores

191


EL MOMENTUM LINEAL p

rde un cuerpo es el producto de su masa m y su velocidad v

r.

p mv=r r

El Momentum es una cantidad vectorial cuya dirección es de la velocidad. Las unidades del Momentum son kg.m / s en el SI.

EL IMPULSO es el producto de la fuerza Fr

por el intervalo de tiempo t∆ durante el cual actúa la fuerza. Sus unidades son N / s en el SI. Un impulso causa variación o cambio en el Momentum. El cambio del Momentum producido por el impulso es igual al impulso en magnitud y dirección. Así si una fuerza constante actúa durante un intervalo de tiempo t∆ sobre un cuerpo de masa m, ésta cambia su velocidad

desde una ivr

hasta un valor final fv , entonces:

Impulso = cambio en el Momentum

( )f iF t m v v∆ = −r r r

La segunda ley de newton como la conocemos es p

Ft

∆=∆

rr de lo que se sigue que F t p∆ = ∆

r r

CONSERVACION DEL MOMENTUM LINEAL. Si la fuerza neta externa actuando sobre un sistema de cuerpos es cero, la suma vectorial del Momentum de los objetos se mantiene constante. En colisiones y explosiones la suma vectorial del Momentum justo antes del evento es igual a la suma vectorial del Momentum justo después del evento. La suma vectorial del Momentum de los cuerpos involucrados no cambia durante la colisión o la explosión. Cuando dos cuerpos de masa m1 y m2 colisionan. Momentum total antes del impacto = Momentum total después del impacto

1 1 2 2 1 1 2m u m u m v mv+ = +r r r r

Donde 1ur

y 2ur

son las velocidades antes del impacto, en tanto que 1vr

y 2vr

son las velocidades después del

impacto. En una dimensión, para las respectivas componentes, tenemos:

Y de forma semejante para las otras dos componentes, si es el caso. UNA COLISION PERFECTAMENTE ELASTICA es aquella en la que la suma de las energías cinéticas traslacionales de los cuerpos no cambia durante la colisión. En el caso de dos cuerpos,

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2m u m u m v m v+ = +

COEFICIENTE DE RESTITUCION Para algunas colisiones entre dos cuerpos en la que los cuerpos se mueven solamente a lo largo de una línea recta se define un coeficiente de restitución, dado por:

2 1

1 2

x x

x x

v ve

u u

−=

−

Donde las componentes en u son antes del impacto, en tanto que las componentes en v son después del impacto. Para una colisión elástica perfecta e=1, para una inelástica e<1. Si los cuerpos continúan juntos (pegados) después de la colisión e=0.

1 1 2 2 1 1 2x x x xm u m u m v mv+ = +

192


1.- ¿Qué tiene mayor cantidad de movimiento?

a) un pesado camión parado? b) una pequeña patineta en movimiento

2.- Que cañón imparte mayor cantidad de movimiento a un proyectil

a) uno corto b) uno largo

3.- En que clase de choque se conserva la cantidad de movimiento

a) en uno elástico b) en uno inelástico c) en ambos

4.- Se deja caer un objeto de masa m partiendo del reposo, desde una altura h. Al golpear el suelo le imparte un impulso proporcional a

a) m h b) m.h c) m.h2 d) ninguno de los anteriores

5.- Se suelta un objeto en reposo y cae bajo la acción de la gravedad. Después de t segundos, su cantidad de movimiento es

a) m.g. t b) m.g.t

c) ( )21 2 mgt d) m gt

NOTA: Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba. Las gráficas que aparecen en la figura están relacionadas con las siguientes seis preguntas.

6.- La gráfica que muestra mejor la posición de la piedra como función del tiempo es la:

a) B b) D c)A d) C e) ninguna de las anteriores

7.- La gráfica que muestra mejor la aceleración de la piedra como función del tiempo es:

a) A b) D c) F d) E e) ninguna de las anteriores

8.- La gráfica que muestra mejor la EP de la piedra como función del tiempo es la:

a) B b) D c) F d) E e) ninguna de las anteriores

9.- La grafica que muestra mejor la cantidad de movimiento de la piedra como función del tiempo es la:

a) F b) D c) A d) E e) ninguna de las anteriores

10.- La gráfica que muestra mejor la EC de la piedra como función del tiempo es:

a) D b)C c) E d)F e) ninguna de las anteriores

11.- La gráfica que muestra mejor la energía total de la piedra como función del tiempo es la:

a) B b) E c) C d) A e) ninguna de las anteriores

12.- Una pelota de 4 kg choca de frente con otra de 1 kg. Antes del choque, la velocidad de la pelota de 4 kg era 10 m/s, y la velocidad de la pelota de 1 kg era cero. Después del choque, la velocidad de la pelota de 1 kg es:

a) mayor que 10.0 m/s b) menor que 10.0 m/s c) igual a 10.0 m/s d) cero.

13.- Un automóvil de masa M que viaja a una velocidad v se impacta contra un automóvil de masa M que esta estacionado. Las carrocerías de los dos se atoran en el choque. La perdida de EC en el choque es:

a) un cuarto de la EC inicial. b) la mitad de la EC inicial. c) toda la EC inicial. d) cero.

193

14.- Un objeto, que inicialmente estaba en reposo, explota desintegrándose en tres partes iguales de masa. Las partes 1 y 2 tienen la misma velocidad inicial v, y los vectores velocidad v1 y v2 son perpendiculares entre si. Entonces, la parte 3 tendrá una velocidad inicial de:

a) / 2v b)v / 2 c) 2v d) 2v

15.- Una pelota de 0.3 kg se cae al piso y rebota sin pérdida de EC. Inmediatamente antes de pegar en el piso, su velocidad es de 10 m/s. El impulso que la pelota imparte al piso es:

a) 0 kg-m/s. b) 3 kg-m/s, dirigido hacia arriba. c) 6 kg-m/s, dirigido hacia abajo. d) 6 kgm/s, dirigido hacia arriba.

16.- [M][L]/[T] es la dimensión de:

a) la fuerza. c) la potencia. b) el impulso. d) la energía potencial.

17.- Un bloque de masa de 1 kg se mueve a una velocidad de 2 m/s hacia la derecha sobre un plano sin fricción, y choca y se pega con un bloque de masa de 2 kg, que estaba en reposo. Después del choque:

a) la EC del sistema es menor de 2 J. b) la cantidad de movimiento del sistema es de 6 kg-m/s. c) la cantidad dc movimiento del sistema es menor de 2 kg-m/s. d) la EC del sistema es de 2 J.

18.- Una expresión para la energía cinética en función del momento p es:

a) mp2/2 b)p2/2m c)pv/2 d) tanto b) como c)

19.- El producto a.p, en donde a es la aceleración y p es la cantidad de movimiento de un objeto, es igual a:

a) la energía cinética del objeto. b) la fuerza que actúa sobre el objeto c) la potencia suministrada al objeto. d) dos veces la energía cinética del objeto.

20.- Un pasajero en un tren que se mueve a velocidad constante v observa un choque entre dos objetos dentro del tren y llega a la conclusión de que el

choque es elástico. Un observador que está de pie fuera del tren que observa lo mismo llega a la conclusi6n de que:

a) el choque es inelástico; el cambio de energía es proporcional a v b) el choque es inelástico; el cambio de energía es proporcional a v2. c) el choque es inelástico; el cambio de energía no tiene una relaci6n sencilla con v o con v2. d) el choque es elástico.

21.- Una masa de 2.0 kg que está en reposo recibe un impulso de 10 N-S. Después del impulso:

a) la velocidad de la masa es de 20 m/s. b) la cantidad de movimiento de la masa es dc 20 kg-m/s. c) la velocidad de la masa es de 10 m/s. d) la cantidad de movimiento de la masa es de 10 kg-m/s.

22.- Una masa de 0.1 kg viaja a lo largo de una pista a una velocidad de 1 m/s. Hay colisión elástica con otra masa idéntica que estaba en reposo sobre la pista. Después del impacto:

a) la cantidad total de movimiento y la EC son las mismas que antes del impacto. b) la cantidad total de movimiento es igual que antes del impacto, pero la EC es menor. c) se conserva la EC, pero la cantidad de movimiento después del choque es menor que antes. d) la cantidad de movimiento se comparte por igual entre las dos masas después del impacto.

23.- Una pelota con masa de 2.0 kg, con velocidad inicial de 1.5 m/s en la dirección de las x positivas, choca y se pega con otra pelota de 2.0 kg que estaba en reposo. Marcar la afirmación que no sea correcta:

a) La energía cinética del sistema antes del choque es de 2.25 J. b) La energía cinética del sistema después del choque es de 2.25 J. c) La cantidad de movimiento del sistema antes del choque es de 3 kg- m/s. d) La cantidad de movimiento del sistema después del choque es de 3 kg-m/s.

194

24.- Un bloque de 20 kg. de masa es abandonado desde una altura h=5m. cayendo sobre una balanza de resorte. Si el impacto duró ∆ t=0.2 seg. La lectura media de la balanza fue:

a) 1100 N b) 1400 N c) 1200 N d) 1300 N e) Ninguna de las anteriores 25.- Un hombre de 72 kg. de masa va corriendo con una velocidad de 5 m/s, y da alcance a un vagón de 328 kg. que marcha a razón de 3 m/s, y se monta en él. La velocidad que adquirirán ambos, si el vagón se movía en la misma dirección que el hombre es: a) 4.72 m/s b) 3.86 m/s c) 3.36 m/s d) 4.22 m/s e) Ninguna de las anteriores

26.- Un hombre de 50 kg. de masa que viaja en un coche de masa M=450 kg. con v 0 = 20 m/s, empieza a correr sobre

él con una velocidad relativa u = 10 m/s respecto al coche y en dirección opuesta. La velocidad del hombre respecto al piso será: a) 15 m/s b) 16 m/s c) 17 m/s d) 18 m/s e) Ninguna de las anteriores

27.- Una pelota de tenis es dejada caer desde una altura H = 9 m. respecto de un piso horizontal, rebotando hasta una altura h = 4 m. El coeficiente de restitución e entre la pelota y el piso es: a) 2 / 3 b) 3 / 2 c) 1 / 3 d) 3 e) Ninguna de las anteriores

195


DESPLAZAMIENTO ANGULAR ( θ ) usualmente se expresa en radianes, grados o revoluciones.

1 rev = 360º = 2π rad.

1rad = 57,3º

Un radian es el ángulo subtendido por un arco igual a la longitud del radio del círculo, así un ángulo θ en

radianes está dado en términos de la longitud de arco y del radio por: l

rθ =

La medida de un ángulo en radianes es un número sin dimensiones. El radian, así como los grados, no son unidades físicas; el radian no se puede expresar ni en metros ni en kilogramos ni en segundos. Se usa la notación rad para recordar que se está trabajando con radianes.

LA VELOCIDAD ANGULAR ω de un objeto cuyo eje de rotación está fijo es la rapidez con que su

coordenada angular, desplazamiento angular θ cambia con el tiempo. Si θ cambia desde iθ hasta fθ en

un tiempo t , entonces la velocidad angular promedio es:

f ipro t

θ θω

−=

Las unidades de ω son rad / s. , también se la conoce como frecuencia angular y 2 fω π= , donde f es la

frecuencia en rev / s o ciclos/s.

ACELERACION ANGULAR α de un objeto cuyo eje de rotación está fijo es la rapidez con la cual cambia la

velocidad angular. Si la velocidad angular cambia uniformemente desde iω hasta fω en el tiempo t ,

entonces la aceleración angular es constante e igual:

f i

t

ω ωα

−=

Las unidades son rad /s2 o rev / min2.

ECUACIONES PARA EL MOVIMIENTO ANGULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO son exactamente análogas a las del movimiento lineal uniformemente acelerado.

196

Movimiento Lineal Movimiento Angular

( )1

2pro i fv v v= +

pros v t=

f iv v at= +

2 2 2f iv v as= +

21

2is v t at= +

( )1

2pro i fω ω ω= +

protθ ω=

f i tω ω α= +

2 2 2f iω ω αθ= +

21

2i t tθ ω α= +

RELACION ENTRE MAGNITUDES ANGULARES Y TANGENCIALES. Existe una estrecha relación entre las magnitudes angulares y las lineales, por ejemplo para una rueda que gira alrededor de un eje fijo

Tl r v r a rθ ω α= = =

Donde l es la distancia recorrida por un punto sobre la circunferencia, θ es el desplazamiento angular, ω la velocidad angular, α la aceleración angular, aT la aceleración tangencial, r el radio de la circunferencia, v la velocidad lineal. LA ACELERACION CENTRIPETA a c. Una masa puntual que se mueve con una velocidad constante alrededor de un círculo de radio r está bajo la acción de una aceleración. Puesto que la magnitud de la velocidad lineal no cambia, la dirección de la velocidad está en un cambio continuo. Este cambio de dirección se debe a la aceleración centrípeta de la masa dirigida hacia el centro del círculo. Su magnitud está dada por:

( )2 2tanc

velocidad gencial va

radio del cículo r= =

Donde v es la velocidad de la masa alrededor del perímetro del círculo. Por cuanto v rω=

2ca rω= en donde ω está en rad / s.

LA FUERZA CENTRÍPETA Fc es la fuerza que puede actuar sobre una masa m moviéndose en una trayectoria circular de radio r y que imprime al cuerpo una aceleración centrípeta. De la expresión F = m.a tenemos:

22

c

mvF mr

rω= =

Donde cFr

esta dirigido hacia el centro de la circunferencia.

197


1.- Un muchacho da vueltas a una honda con una piedra de masa m y una cuerda de longitud L, a una velocidad angular ω constante. El plano de rotación es vertical. La diferencia entre la tensión en la cuerda cuando la piedra esta en sus puntos más alto y más bajo de su trayectoria es:

a) 2 mg. b) proporcional a ω c) proporcional a L. d) 2 m .L.ω . e) ninguna de las anteriores

2.- La rapidez lineal es mayor en un caballito de un carrusel:

a) que se encuentra en el exterior b) que se encuentra más cerca del centro

3.- Si no te abrochas el cinturón de seguridad y por ello te deslizas sobre el asiento y vas a dar contra la portezuela del auto que toma una curva ¿que clase de fuerza es la responsable que vayas a dar contra la portezuela:

a) centrípeta b) centrifuga c) ninguna

4.- Un muchacho da vueltas a una honda con una piedra de masa m a una velocidad angular constante. La longitud de la cuerda es L. El plano de rotación es horizontal. El ángulo θ entre la cuerda y la velocidad lo determinan:

a) 2tan Lgθ ω=

b) tan L Lgθ ω=

c) 2tan L mgθ ω=

d tan m Lgθ ω=

e) 2sin Lgθ ω= 5. Una masa pequeña se coloca sobre un tornamesa que gira a 45 rpm. La aceleración de la mesa es:

a) tanto mayor cuanto más lejos está la masa del centro de la mesa. b) tanto mayor cuanto más cerca está la masa del centro de la mesa. c) independiente de la focalización de la masa. d) cero.

6.- Una rueda tiene una velocidad angular de 2 rad/s. Al término de 5 s habrá dado una vuelta igual a:

a)5π b)5 π c)10π d)20π

7.- Una rueda está sujeta a aceleración angular uniforme alrededor de su eje. Inicialmente su velocidad angular es cero. En los primeros 2 s gira un ángulo θ1 en los siguientes 2 s gira un ángulo extra θ2. La relación θ2/ θ1, es:

a) 1 c)3. b) 2. d) 5.

8.- Una masa m en una cuerda se suelta desde el reposo en el punto A como se muestra en la figura. Cuando pasa por el punto más bajo B, la tensión en la cuerda es:

a) m.g. b) 2m.g c) 3m.g d) no se puede determinar, la respuesta depende de R

9.- La velocidad angular de la rotación terrestre sobre su eje es:

a) 12/π rad/h. b) π /12 rad/h c) 48/π rad/h. d) 0.5 grados/min.

10.- Un aeroplano que vuela hacia el sur da una vuelta hacia el este manteniendo una velocidad constante:

a) Durante la vuelta, la aceleración de la nave es cero. b) Al dar la vuelta, la aceleración angular de la nave es cero. c) En la vuelta, la velocidad angular de la nave es cero. d) Ninguna de las aseveraciones anteriores es correcta.

198

11.- Una masa viaja en una trayectoria circular a velocidad tangencial constante. Por lo que:

a) la aceleración de la masa es cero. b) la aceleración es finita y se dirige hacia el

centro de la trayectoria circular. c) la aceleración es finita y se dirige hacia afuera del centro de la trayectoria circular.

d) la velocidad de la masa es constante.

12.- Una masa m que está sobre una mesa horizontal sin fricción, está fija a una cuerda de longitud L 0, cuyo extremo a su vez esta clavado sobre la mesa. La masa gira alrededor del clavo a una velocidad angular constante 0ω . Si la longitud de la cuerda se

reduce a L/2, la tensión de la cuerda no varia si la velocidad angular se cambia a:

a) 2 0ω b) 0ω / 2 c) 0 2ω d) 02ω

13.- Dos automóviles de masas M A y MB, siendo M A = MB, viajan a la misma velocidad v alrededor de una curva peraltada de radio R que esta cubierta de hielo. Si el automóvil A pasa por la curva sin resbalar, el automóvil B

a) también pasará la curva sin resbalar. b) tenderá a resbalar hacia abajo, es decir, hacia el interior de la curva. c) tenderá a resbalar hacia arriba, es decir, hacia afuera de la curva. d) : a), b) y c) pueden ser correctos, dependiendo de la relación v / R.

14.- Un automóvil viaja hacia el norte con rapidez constante. Entra a una curva sin peralte, que cambia la dirección del viaje hacia el este. Mientras el automóvil esta en la curva, la aceleración angular de las ruedas:

a) es cero. b) se dirige hacia arriba. c) se dirige hacia abajo. d) se dirige hacia el este.

e) no la describe ninguna de las afirmaciones

anteriores.

15.- Un volante en movimiento frena paulatinamente debido a la fricción de sus chumaceras. Después de un minuto su velocidad angular ha disminuido hasta 0.70 de:

a) 0.49 oω b) 0.40 oω c) 0.35 oω d) 0.10 oω 16.- Una masa se encuentra en una superficie horizontal sin fricción. Está fija a una cuerda y gira alrededor de un centro fijo con una velocidad angular 0ω Si la longitud de la cuerda y la

velocidad angular se duplican, la tensión de la cuerda, que era inicialmente T 0, ahora es: a) T0 / 2 b) T0 c) 4T0 d) 8T 0

17.- Un conductor apenas puede tomar una curva sin aperaltamiento a 40 km/h sin derrapar. Si aumenta la masa del automóvil cargándolo con sacos de arena en la cajuela y en los asientos:

a) podrá viajar con seguridad por la curva a una velocidad mayor de 40 km/h.

b) derrapara si trata de tomar la curva a 40

km/h. c) se dará cuenta que el haber colocado los sacos de arena no constituye una diferencia perceptible en la velocidad con la que puede tomar la curva. d): a), b) y c) podrían ser correctas dependiendo del radio de la curva.

199


EL PERIODO T de un sistema cíclico que vibra o rota de manera repetitiva es el tiempo que se requiere para que el sistema complete un ciclo. En el caso de una vibración es el tiempo total de ida y vuelta. LA FRECUENCIA f es el número de vibraciones realizadas en una unidad de tiempo o el número de ciclos por segundo. Debido a que T es el tiempo de un ciclo f = 1 / T. La unidad de la frecuencia es el Hertzio (Hz ), o un ciclo / s = 1 Hz. El gráfico del movimiento vibratorio se muestra en la siguiente figura y describe el movimiento oscilatorio hacia arriba y abajo de una masa atada del extremo de un resorte. Un ciclo completo es desde a hasta b o desde c hasta d o desde e hasta f . El tiempo que demora en realizar un ciclo es T, el periodo.

EL DESPLAZAMIENTO ( X o Y) de un objeto que esta vibrando es la distancia desde la posición de equilibrio o de reposo, esto es desde el centro de su trayectoria de vibración. El desplazamiento máximo se llama amplitud. LA FUERZA DE RESTAURACIÓN es la fuerza que se opone al desplazamiento del sistema, ésta es necesaria para que se dé la vibración. En otras palabras la fuerza restauradora siempre apunta a la posición de equilibrio. En el caso del resorte cuando éste está comprimido la fuerza de restauración lo estira hacia la posición de equilibrio y cuando está estirado lo comprime también hacia la posición de equilibrio. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Es un movimiento vibratorio que se da en los sistemas que están sometidos a la acción de la Ley de Hooke. Debido a que el gráfico que describe este movimiento es una curva seno o coseno, frecuentemente el MAS se llama movimiento sinusoidal. La característica fundamental del MAS es que la oscilación se da con una frecuencia constante simple, esto es lo que hace que el movimiento se llame armónico simple. LA LEY DE HOOKE indica la fuerza que actúa sobre un sistema y que tiende a restaurarlo hacia la posición de equilibrio. En el caso de resortes esta ley viene dada por: F = - k x El signo menos indica que la fuerza restauradora siempre está en dirección opuesta al desplazamiento. La constante del resorte k tienen las unidades de N / m y esta es una medida de la rigidez del resorte. Muchos resortes obedecen a la ley de Hooke para pequeños desplazamientos. ENERGÍA POTENCIAL ELASTICA almacenada en un resorte cuando está estirado o comprimido en una distancia x es igual a ½ Kx2 . Si la amplitud del movimiento es x0 para una masa en el extremo de un resorte, entonces la energía de la vibración es ½ k xo

2 y esta se almacena en el resorte solamente cuando la masa tienen un desplazamiento máximo.

200

EL INTERCAMBIO DE ENERGÍA entre la energía cinética y potencial ocurre constantemente en un sistema vibratorio. Cuando el sistema pasa a través de su posición de equilibrio, la energía cinética K es máxima y la energía potencial es cero. Cuando el sistema tiene el máximo desplazamiento, la energía cinética es cero y la energía potencial es máxima. La ley de conservación de la energía, en ausencia de fuerzas de fricción Energía potencial + energía cinética = constante Para una masa m en el extremo de un resorte (con masa despreciable) la expresión de conservación de la energía es:

2 2 21 1 1

2 2 2 omv kx kx+ =

Donde ox es la amplitud del movimiento.

LA VELOCIDAD en el MAS está determinada por la expresión anterior de la energía como:

( )2 2o

kv x x

m= −

LA ACELERACION EN EL MAS se determina por medio de la ley de Hooke. F = - k x y de la segunda ley de Newton F = m a. Igualando estas expresiones obtenemos:

ka x

m= −

El signo menos indica que la dirección de la aceleración ar

(y Fr

) son siempre opuestas a la dirección del desplazamiento. CIRCULO DE REFERENCIA : Supongamos que un punto P se mueva con una velocidad constante vo sobre un círculo como se muestra en la figura. Este círculo se llama “El círculo de referencia para el MAS” . El punto A es la proyección del punto P sobre el eje x que coincide con el diámetro horizontal del círculo. El movimiento del punto A es hacia la izquierda y derecha del punto O como centro del movimiento armónico simple. La amplitud del movimiento es xo igual al radio del círculo. El tiempo que toma el punto P para realizar una vuelta completa es el periodo T. La velocidad del punto A tienen una componente escalar

x ov v senθ=

Cuando esta cantidad es positiva, el punto está en la dirección positiva del eje x, cuando es negativa el punto está en dirección negativa del eje x.

PERIODO EN EL MAS: El periodo T en MAS es el tiempo que toma el punto P en realizar una vuelta completa alrededor del círculo de referencia. Por lo tanto:

22 o

o o

xrT

v v

ππ= =

Pero vo es la máxima velocidad en el punto A de la figura, esto es vo es el valor del módulo de vx en el MAS cuando x = 0

201

( )2 2x o

kv x x

m= − lo que da o o

kv x

m=

Por lo tanto el periodo del MAS es:

2m

Tk

π=

ACELERACION EN TERMINOS DE T : Eliminando la cantidad k/ m entre las ecuaciones

a = - (k / m) y 2 mT kπ= encontramos:

2

2

4a x

T

π= −

EL PENDULO SIMPLE se aproxima al MAS si el ángulo del desplazamiento no es muy grande. El periodo de vibración del péndulo de longitud L en una ubicación donde la aceleración de la gravedad g está dado

por:

2L

Tg

π=

El MAS puede expresarse en forma analítica para sus componentes x y y de la siguiente forma. cos 2 cos

sin 2 sino o

o o

x x ft x t

y x ft x t

π ωπ ω

= == =

202


1.- ¿Qué tiene mayor período?: a) un péndulo largo b) un péndulo corto

2.- Si se acorta un péndulo su frecuencia:

a) aumenta b) disminuye

3.- Si se sube al doble la frecuencia de un objeto en vibración, que ocurre con su período:

a) se duplica b) se reduce a la mitad c) se mantiene igual d) ninguna de las anteriores

4.-Cual es la frecuencia en hertz que corresponde a un periodo de 5s:

a) 0.5 hz b) 0.2 hz c) 2hz d) ninguna de las anteriores

5.- Un MAS se caracteriza por ( )siny tπ= , en donde t se da en segundos. El periodo del sistema es: a) 2s b) 2 Hz. c) 3m. d) 0.5s 6.- La energía de un sistema de masas y resorte es proporcional a:

a) la amplitud de la vibración. b) el cuadrado de la masa. c) el cuadrado de la frecuencia. d) el cuadrado del producto de amplitud y constante del resorte.

7.- Dos sistemas, A y B, de masa y resorte, oscilan con frecuencias f A y f B Si f B=2fA, y las constantes de resorte en los dos sistemas son iguales, las dos masas M A y MB están relacionadas mediante:

a) MA = MB/4. c) MA = MB/ 2 .

b) MA = MB/2. d) MA = 4MB.

8.- La energía de un péndulo simple de longitud L y masa M que oscila con una amplitud A es:

a) independiente de M. b) independiente de L c) independiente de A.

d) dependiente de A, L y M.

En las preguntas 9, 10, 11 el péndulo A tiene una masa MA y longitud LA. El péndulo B tiene una masa M B y una longitud LB.

9.- Si L A = LB y MA = 2MB, y las amplitudes de vibración son iguales, entonces: .

a) TA = TB Y son iguales las energías de los péndulos iguales.

c) TA = TB y A tiene mayor energía que B. d) TA = TB y A tiene menor energía que B.

10.- Si L A = 2LB, y MA = MB, y además los dos péndulos tienen igual energía de vibración, entonces:

a) sus amplitudes de movimiento angular son iguales. b) sus períodos de movimiento son iguales. c) B tiene una mayor amplitud angular que A. d) ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.

11.- Si el péndulo A tiene un periodo doble que el del otro péndulo B, entonces: a) LA= 2LB y MA =2MB b) LA= 2LB y MA =2MB y las masas no cuentan c) LA= 2LB y MA =MB/2

d) ninguna de las afirmaciones anteriores

es correcta.

12.- Dos relojes tienen péndulos simples de longitud L idénticas. El péndulo del reloj A oscila en un arco de 10 0; el del reloj B oscila en un arco de 5 0 .Cuando se comparan entre si los dos relojes, se encontrará que:

a) el reloj A camina despacio comparado con el reloj B. b) el reloj A camina rápido comparado con el

reloj B. c) ambos relojes marcan la misma hora. d) la respuesta depende de la longitud de L.

13.- Dos relojes tienen péndulos simples de longitudes L idénticas. Se observa que el reloj A camina más despacio que el reloj B. Por tanto, el péndulo del reloj A:

a) oscila en un arco mayor que el del reloj B. b) oscila en un arco menor que el del reloj B. c) es más masivo que el del reloj B. d) es menos masivo que el del reloj B. e) está descrito ya sea por a) o por c).

203

14.- Dos sistemas, A y B, de masa y resorte, oscilan de tal manera que sus energías son iguales. Las masas M A y MB se relacionan mediante M A=2MB. Las amplitudes de oscilación se relacionan mediante:

a) AA= Ab / 4 b) AA= Ab / 4 c) AA= Ab / 4 d) ninguna de las anteriores es correcta. No hay suficiente información para determinar la relación AA / AB

15.- Si la longitud de un péndulo aumenta al doble, su frecuencia de oscilación cambia por un factor de:

a) 2. c) 1 / 2 .

b) 2 . d) 1 / 4

16.- Un sistema de masa y resorte con masa M vibra con una energía de 4 J cuando la amplitud de vibración es de 5 cm. Si se substituye la masa por otra de valor M/2 y el sistema se pone a vibrar con una amplitud de 5 cm. la energía será: a) 4J b) 1J c) 2j d) ninguna de las anteriores 17.- Dos péndulos simples idénticos, A y B, oscilan con amplitudes pequeñas, la energía del péndulo A se relaciona con la del péndulo B mediante:

a) EA = EB. c) EA = 2EB.

b) EA = 2 EB. d) EA = 4EB. 18.- ¿Cómo es el período de un oscilador armónico respecto de la amplitud?

a) Independiente. b) Directamente proporcional. c) Inversamente proporcional. d) Inversamente proporcional a su cuadrado.

19.- Un oscilador armónico tiene una amplitud A y una frecuencia N. ¿Cómo es su aceleración cuando pasa por la posición de equilibrio?

a) Proporcional a A2 b) Proporcional a A.N c) Proporcional a A.N2 d) Cero

20.-Un móvil oscila armónicamente con amplitud A y frecuencia angular ω. Cuando su velocidad es cero, ¿cómo será su aceleración?

a) cero. b) ±A.ω2 c) A.ω d) A2.ω

21.- Un oscilador armónico tiene una amplitud A y una frecuencia angular ω. Cuando su aceleración es cero, su velocidad es:

a) ±A.ω b) ±A.ω2 c) Cero d) A2.ω2

22.- ¿Qué magnitud permanece constante en un oscilador armónico?

a) Momento lineal. b) Aceleración. c) Energía mecánica. d) Energía cinética.

23.- Se aumenta la frecuencia de un oscilador armónico. ¿Cómo varían, si es que lo hacen, las magnitudes: período, amplitud y velocidad máxima? T A V

a) DISMINUYE NO VARIA AUMENTA

b) DISMINUYE AUMENTA AUMENTA

c) AUMENTA DISMINUYE NO VARIA

d) DISMINUYE NO VARIA DISMINUYE

24.- Un péndulo simple tiene un período de 1 s en la Tierra, ¿qué magnitudes debemos variar para que su período permanezca constante cuando lo llevamos a otro Planeta, donde la atracción gravitatoria sea superior a la de la Tierra?

a) Aumentar la masa. b) Aumentar la longitud. c) Disminuir la masa. d) Disminuir la longitud.

25.- Dos péndulos simples son iguales, excepto en que la masa de uno es doble que la del otro. ¿Cuál es la relación de sus períodos ?

a) 0'5 b) 1

c) d) 2 26.- Si conocemos el período y la longitud de un péndulo, podemos calcular: a) Constante de la gravitación universal.

b) Peso del péndulo. c) Tensión del hilo que soporta la bola del péndulo. d) Ninguna de las anteriores.

204

27.- Consideremos un péndulo simple que oscila con una pequeña amplitud. Calificar las siguientes afirmaciones: A. Si la longitud de un péndulo se duplica, el

período también se duplica. B. Si la masa del péndulo se multiplica por 5, el

período queda multiplicado por C. Si la amplitud se reduce a la mitad, el período

no se modifica. D. Si el valor local de g fuera 9 veces mayor, la

frecuencia se multiplicaría por 3.

Son correctas: a) A, B y C b) A, B, y D c) B, C y D d) C y D

28.- ¿Cómo variaría el período de un péndulo simple situado en el Ecuador, si la Tierra aumentara su velocidad de rotación?

a) Aumentaría.

b) No se modificaría.

c) Disminuiría.

d) Adquiriría un movimiento no armónico

y el período no sería constante.

29.- Un reloj de péndulo tiene un período de 2 s en un punto de altura 0 y latitud 45º. Su período disminuye si realizamos un viaje:

a) Al Ecuador. b) Al Polo Norte. c) A la estratosfera en globo. d) Al fondo de una mina.

30.- ¿Qué le sucede a un reloj de péndulo si se deja caer dentro de una caja desde una gran altura en el espacio libre?

a) No oscila. b) Aumenta su período. c) Disminuye su período. d) No se modifica.

31.- Un cuerpo oscila armónicamente con una frecuencia f = 5 Hz, de modo que al llegar a

un extremo su aceleración es 10 π ²²²² m/s ²²²². La amplitud de las oscilaciones es:

a) 10 cm b) 15 cm. c) 20 cm d) 30 cm e) ninguna de las anteriores

32.- Una masa m realiza un MAS suspendido de un resorte constante k . Si la amplitud de la oscilación es A. ¿ Para qué posición x las energías cinética y potencial estarán en la relación 1:3 ?

a) A 3/2

b) A 2/3 .

c) A 3

d) A 2 e) ninguna de las anteriores

33.- Un objeto experimenta un MAS, de modo que al pasar por la posición de equilibrio su velocidad es 15 m/s. El módulo de la aceleración en aquel punto de la trayectoria donde la velocidad es 12 m/s, si además se sabe que la posición de dicho punto viene dado por x = 9 m. es:

a) 10 m/s² b) 7 m/s². c) 9 m/s² d) 11 m/s² e) ninguna de las anteriores

205


LA PRESION PROMEDIO sobre una superficie de área A se encuentra como la fuerza dividida para el área, considerando que la fuerza debe ser perpendicular (normal) al área

Fp

A=

La unidad de presión en el SI es el Pascal que equivale a un N /m2. La presión atmosférica estándar es 1,01 x 105 Pa. Y es equivalente a 14,7 lb /plg2. Otras unidades que se utilizan para la presión son: 1 atmósfera ( 1atm) = 1,013 x 105 Pa 1 torr = 1 mm de Hg. (mmHg) = 133,32 Pa. 1 lb /plg2 = 6,895 KPa. LA PRESIÓN HIDROSTÁTICA debida a una columna de fluido de altura h y de densidad de masa ρ es

igual: P ghρ= PRINCIPIO DE PASCAL. Cuando la presión en cualquier parte de un fluido confinado (líquidos o gases) cambia, la presión en cualquier otra parte del fluido también cambia en la misma cantidad ( se transmiten las presiones). EL PRINCIO DE ARQUÍMIDES. Un cuerpo parcial o completamente sumergido en un fluido recibe un empuje hacia arriba, igual al peso del fluido desplazado.

.E csF gVρ=

Donde ρ es la densidad del fluido y csV es el volumen del cuerpo sumergido.

La fuerza neta sobre el cuerpo es.

( )N f cF Vg ρ ρ= −

Donde fρ es la densidad del fluido y cρ es la densidad del cuerpo.

FLUJO DE FLUIDOS EN DESCARGA Cuando un fluido que llena un recipiente fluye a través de un orificio con una velocidad promedio v, el flujo de descarga es igual J = A . v Donde A es el área de la sección transversal del orificio. Las unidades de J son m3 / s. ECUACION DE CONTINUIDAD : Suponiendo que un fluido incompresible llena un recipiente y fluye a través de él, y que las áreas de las secciones transversales del recipiente cambian, entonces se cumple la siguiente relación: J = A1. v1 = A2 .v2 = constante En esta última relación A1 y A2 son las secciones transversales que cambian en el recipiente, en tanto que v1 y v2 son las respectivas velocidades a través de estas secciones. ECUACION DE BERNOULLI. Para una corriente de flujo estacionario:

2 21 1 1 2 2 2

1 1

2 2P v h g P v h gρ ρ ρ ρ+ + = + +

P1 , v1, h1 son la presión, velocidad y la altura de un punto en el fluido, P2 , v2, h2 son la presión, velocidad y altura en otro punto del fluido

1 2ρ ρ ρ= = es la densidad del fluido y g es la aceleración debida a la gravedad.

206


1.- Se colocan dispositivos para medir la presión bajo la superficie de un lago, como se ilustra en la figura. Cada dispositivo registra la presión ejercida sobre un pequeño diafragma D. Se observara lo siguiente: a) PA = PB; PA >PC b) PA = PC; PA >PB

c) PB = PC; PA < PB d) PA = PC = PB

2.- A través del tubo que se ve en la figura fluye agua. El flujo es laminar. La presión:

a) es menor en B que en A b) en A es igual a la de B. c) es mayor en B que en A. d) la de A no tiene relación con la de B

. 3.- Una caja grande, de plástico, completamente cerrada, con un volumen de 1 m 3, se coloca en el platillo de una balanza. La balanza está en equilibrio cuando se coloca una pesa de latón en el otro platillo:

a) la masa de la caja es exactamente de 3g. b) el peso de la caja es exactamente de 0.0294N. c) la masa de la caja pesa más de 3 g. d) el peso de la caja es menor de 0.0294 N.

4.- Si una mezcla de agua y de finísimas gotas de aceite (una emulsión de aceite en agua) se coloca en un centrífuga y se pone a girar a alta velocidad angular:

a) el aceite se moverá rápidamente hacia el centro. b) el aceite se moverá rápidamente hacia la periferia. c) el aceite se moverá hacia la periferia, pero más lentamente de lo que lo haría sin centrifugar.

d) el aceite se moverá hacia el centra, pero más lentamente que sin centrifugar.

5.- Un trozo de madera flota en el agua, con la mitad sumergida, bajo el nivel del líquido. Si el mismo trozo de madera se pusiera a flotar en aceite (gravedad específica = 0.8), la parte de la madera sumergida bajo la superficie del aceite será:

a) más de la mitad. b) la mitad. c) menos de la mitad d) la respuesta dependerá de la forma que tenga el objeto de Madera

6.- Un objeto de densidad uniforme flota sobre el agua con sus tres cuartas partes sumergidas. Su gravedad específica es:

a) 1/4. c) 1 b) 3/4. d) 4/3.

7.- Una pequeña esfera de masa M se deja caer desde una gran altura. Después de caer 100 m alcanza su velocidad terminal y continua cayendo a esa velocidad. Durante los primeros 100 m de caída la acción de la fricción del aire contra la esfera es:

a) mayor que la ejercida por la fricción del aire en los siguientes 100 m. b) menor de lo que influye la fricción del aire en los siguientes 100 m. c) Igual a 100Mg d) mayor que en 100Mg

8.- Un trozo de madera con densidad 0.8 g/cm 3 (gravedad específica = 0.8) flota en un liquido cuya gravedad específica es 1.2. La parte de la madera que se sumerge bajo el nivel del Iíquido es:

a) 80%. b) 67%. c) 33%. d) no se puede definir, a menos que se conozca el volumen del trozo.

9.- Un objeto de masa M está suspendido de una balanza de resorte que indica 25 N. Cuando la masa se sumerge completamente en agua, la báscula indica 5 N. La gravedad especifica del objeto es:

a) 2.0 b) 1.5 c) 1.25 d) se requieren más datos para que se pueda determinar

207

10.-Una caja grande de plástico completamente cerrada, cuyo volumen es de 0.1 m 3, se coloca en el platillo de una balanza. Para equilibrarla se coloca en el otro platillo una pesa de latón de 30 g. ¿Qué masa, en gramos, tiene la caja?

a) 30 b) Más de 30 c) Menos de 30 d) Se precisa conocer el valor de la aceleración de la gravedad en el lugar de la experiencia.

11.- Dos objetos macizos, uno de aluminio y otro de plomo, aparentemente tienen igual peso cuando están sumergidos en agua. ¿Qué se puede afirmar de sus masas? [ ρPb > ρAl] a) La de plomo es mayor que la de aluminio. b) La de aluminio es mayor que la de plomo. c) Son iguales. d) Depende de la forma de los objetos. 12.- Un trozo de madera flota en un vaso de agua y éste se coloca en un ascensor. ¿Qué le ocurrirá al volumen de la madera sumergida cuando el ascensor baja con a < g?

a) No variará. b) Aumentará. c) Disminuirá. d) Aumentará y disminuirá alternativamente.

13.- Una caja grande de plástico completamente cerrada, cuyo volumen es de 0.1 m3, se coloca en el platillo de una balanza. Para equilibrarla se coloca en el otro platillo una pesa de latón de 30 g. ¿Qué masa, en gramos, tiene la caja?

a) 30

b) Más de 30

c) Menos de 30

d) Se precisa conocer el valor de la

aceleración de la gravedad en el lugar

de la experiencia.

14.- Un cubito de hielo flota en un vaso de agua lleno hasta el borde. ¿Cómo se modifica el nivel del agua cuando el hielo se derrite?

a) Asciende. b) Desciende. c) No se modifica. d) Primero desciende y luego asciende.

15.- ¿Que le ocurrirá a un trozo de madera, si un astronauta en órbita circular alrededor de la Tierra lo sumerge en agua?

a) Ascenderá y quedará flotando. b) Permanecerá donde lo dejó. c) Se hundirá y quedará en el fondo. d) No se puede afirmar nada

16.- En el Mar Muerto la densidad del agua es mayor que la densidad del cuerpo humano. Una persona que «hace el muerto» en el Mar Muerto sufre un empuje que, respecto a su peso, es:

a) Mayor o igual. b) Igual. c) Menor. d) Mayor.

17.- Un barco navega río abajo hasta llegar al mar. Si mantiene la misma carga a lo largo de todo el viaje, la parte del barco que permanece sumergida:

a) Es la misma en todo el viaje. b) Aumenta. c) Disminuye. d) Al principio aumenta y luego disminuye

18.- Añadimos unos cubitos de hielo a una bebida alcohólica y observamos que aquéllos se hunden hasta el fondo. Por eso deducimos que es una bebida de contenido alcohólico:

a) Bajo. b) Alto. c) Medio. d) Muy bajo.

19.- Un trozo de hielo flota en agua. Si aumenta el campo gravitatorio terrestre, ¿qué le pasa al volumen sumergido?

a) Aumentará. b) Disminuirá. c) No se modificará. d) Aumentará y disminuirá alternativamente.

20.- Dos objetos de diferentes volúmenes tienen el mismo peso aparente cuando están sumergidos en agua. Si se pesan en el vacío, ¿cómo será el peso del que tiene mayor volumen ?

a) Igual. b) Menor. c) Mayor. d) En el vacío ambos tendrán peso cero.

208

21.- Se deja caer una roca en un lago profundo. A medida que se hunde, el empuje:

a) Aumenta. b) Permanece constante. c) Disminuye. d) Disminuye hasta hacerse cero en el

fondo. Nota : Se supone que la variación de la densidad del agua con la profundidad es despreciable. 22.- Si el campo gravitatorio terrestre aumenta, un pez que nada en un estanque:

a) Se hundirá. b) Permanecerá a la misma profundidad. c) Morirá aplastado. d) Flotará sobre el agua.

23.- Una pelota de ping-pong flota en el agua dentro de un recipiente cerrado. Si sacamos aire de la parte superior del recipiente, la pelota

a) Se hundirá un poco más. b) Se hundirá hasta llegar al fondo. c) Emergerá un poco. d) No modificará su volumen sumergido.

24.- Se mide el peso de un cuerpo en el vacío con una balanza de resorte y el resultado es 25 N. Si el mismo cuerpo se sumerge en agua, la balanza indica 5 N. ¿Cuál es la densidad relativa del objeto?

a) 2.5 b) 2 c) 1.5 d) 1.25

25.- Un bloque de madera flota en el agua con las tres cuartas partes de su volumen sumergidas. ¿Cuál es la densidad relativa de la madera?

a) 0.5 b) 0.75 c) 0.8 d) 0.9

26.- Un flotador de 0.2 Kg de masa flota en el agua de forma que está sumergido en un 50%. Para conseguir que quede completamente sumergido, es necesario aplicarle una fuerza suplementaria de:

a) 0.98 N b) 1.96 N c) 3.92 N d) 5.98 N

27.- Un cuerpo, de masa m y densidad doble de la del agua, se coloca en el fondo de un recipiente que contiene agua. ¿Cuál es el valor de la fuerza normal que ejerce el fondo del recipiente sobre el cuerpo?

a) 0 b) 0.5 mg c) 3 mg d) 2 mg e) ninguna de las anteriores

28.- Un bloque de madera que se mantiene

sumergido tiene un volumen de 90 cm ³³³³ y una gravedad específica de 0.8. La fuerza en gramos que se debe ejercer para evitar que suba a la superficie del agua, es de:

a) cero b) 18. c) 72 d) 80 e) ninguna de las anteriores

209

GEOMETRÍA PLANA O EUCLIDEA

Un postulado es una proposición de "verdad evidente" que no requiere demostración, pues se justifica a sí misma, y sobre la cual se construye el resto de conocimientos por medio de la deducción.

POSTULADOS GEOMETRICOS

• Por dos puntos dados puede hacerse pasar una recta y solo una, por lo tanto dos rectas no pueden cortarse en mas de un punto. Y dos puntos definen una recta

• Toda recta puede prolongarse en ambos sentidos.

• El camino más corto entre dos puntos es la recta que los une.

• Una circunferencia queda determinada si se conoce su centro y su radio.

• Toda figura puede cambiarse de posición sin alterar su forma ni dimensiones.

PROPIEDADES DE PUNTO, RECTA Y PLANO Existen infinitos, puntos, rectas y planos. A un plano pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen a ella.

210

A una recta pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen a ella.

Por un punto pasan infinitas rectas que llamamos haz de rectas

Tres puntos no colineales determinan un plano, o una recta y un punto fuera de ella determinan un plano de modo que el punto pertenece al mismo y la recta está incluida en él.

211

Toda recta está incluida en infinitos planos.

Tres o más puntos son colineales si pertenecen a una misma recta Si varios puntos están en un mismo plano, decimos que dichos puntos son coplanarios. Se llama espacio al conjunto de todos los puntos Se llama figura geométrica a todo subconjunto (no vacío) del espacio Bisector , bisectriz: es el punto, línea o plano que divide a una figura geométrica en dos partes iguales. ANGULOS Definición: Angulo: abertura entre dos rectas que se cortan o encuentran, las rectas que se cortan se llaman lados, el punto de encuentro o corte se llama vértice. Magnitud : El tamaño del ángulo depende únicamente de la magnitud de rotación necesaria para llevar uno de sus lados a la posición del otro, manteniendo el vértice fijo. Modo de nombrar un ángulo:

Un ángulo se designa en cualquiera de las siguientes formas: Con la sola letra del vértice si hay únicamente un ángulo que tenga tal vértice. Por ejemplo

B< Con una letra minúscula o un número que se coloca interior del ángulo en las cercanías del vértice; por ejemplo, a< o < 1 Por medio de 3 letras mayúsculas, de las cuales la del vértice se halla en el centro y se nombra entre las otras dos, que se colocan sobre lados del ángulo.

B

a 1

212

B es donde esta el ángulo y siempre va al centro

El ángulo de nombra asi:

< A B C

Conguencia o igualdad : Dos ángulos son iguales cuando el uno puede colocarse sobre el otro de manera que coincidan los vértices y los lados tomen la misma dirección. Angulos adyacentes son los que tiene el vértice y uno de sus lados comunes y además el uno es externo al otro.

Perígono : ángulo que se obtiene al realizar una rotación completa de una recta alrededor de un punto fijo. Grado : unidad de medida de ángulos de magnitud igual a la 360ª parte de un perígono. Recta bisectriz: divide al ángulo en dos partes iguales.

Perpendiculares ; dos rectas son perpendiculares entre si se cortan formando ángulos adyacentes iguales, es decir ángulos rectos.

A 1

2 <1 = <2

B C

A

Vértice

90º 90º

213

En un plano por un punto externo a una recta se puede trazar a esta una sola perpendicular. Mediatriz : Si una recta biseca (corta en dos partes iguales) a un segmento, y además, es perpendicular a él se llama mediatriz. Mediatriz es, la perpendicular a un segmento en su punto medio. Clases de ángulos

Ángulo agudo : es menor de 90º

Ángulo recto : tiene 90º

Ángulo obtuso: es mayor que 90º pero menor de 180º. Ángulo llano o plano: mide 180º. Ángulo cóncavo o entrante : es mayor que 180º pero menor que 360º.

Relación entre ángulos:

B

90º

180º

90º 90º

G

F E

H

M

GH es mediatriz porque: GH biseca (corta) al segmento EF GH es perpendicular a EF Entonces < EMG y < EMF son ángulos rectos y M es el punto medio de EF

214

Ángulos complementarios: son los que sumados dan 90º. Ejemplo 60º + 30º = 90º Ángulos suplementarios son los ángulos que sumados dan 180º. Ejemplo: 140º + 40º = 180º Agulos conjugados : se dice de dos ángulos que sumados forman un perígono.

150º+ 210º = 360º

La suma de dos ángulos adyacentes que forman dos rectas al cortarse es igual a dos rectos.

Angulos opuestos por el vértice: son aquellos en los que los lados del uno son las prolongaciones de los del otro.

Todos los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Paralelas : si dos rectas de un plano no se cortan por mas que se prolonguen se llaman paralelas.

Propiedades de las paralelas: Por un punto externo a una recta se puede trazar a esta una solo paralela.

30º

60

40º 140º

150º

210º

<A + <B = 180º

215

Si una recta es paralela a una segunda y esta paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera. Dos rectas ubicadas en un mismo plano y perpendiculares simultáneamente a una tercera son paralelas entre sí. Igualdad de ángulos entre paralelas: Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.

1L y

2L son // paralelas L es trasversal Tipos de ángulos formados Ángulos correspondientes entre paralelas son iguales, en el gráfico anterior: <1=<5; <2=<6; <3=<7;<4=<8. Ángulos alternos externos y alternos internos entre paralelas son iguales. <1=<7; <2=<8; <3=<5;<4=<6. TRIANGULO Definición: Triángulo; espacio limitado por tres segmentos de recta que se encuentran. Los puntos de concurrencia se llaman vértices, y los segmentos lados.

Propiedades de los triángulos - En los triángulos contenidos en un plano, la suma de todos los ángulos internos, es igual a 180°. - A mayor lado se opone mayor ángulo. - La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado y su diferencia menor. Clasificación de los triángulos: Según sus lados:

2 1 3 4

6 5 7 8

2L

1L

L

216

Escaleno: sus lados y sus ángulos no son congruentes.

Isósceles: es un tipo de triángulo que tiene dos lados iguales. Los ángulos opuestos a estos lados iguales serán iguales.

Equilátero: es un triángulo que tiene sus tres lados iguales y sus ángulos también son iguales.

-Por sus ángulos:

Acutángulo: un triángulo acutángulo tiene sus tres ángulos agudos.

217

Obtusángulo: este tipo de triángulo tiene un ángulo obtuso y dos agudos. El lado opuesto al ángulo obtuso será de mayor longitud.

Rectángulo: es aquel triángulo que tiene un ángulo recto y dos agudos. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. Para calcular cuánto mide la hipotenusa se aplica el Teorema de Pitágoras que consiste en que la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos).

Fórmula: a 2 + b 2 = c 2

Líneas fundamentales de los triángulos

Mediana.- Es el segmento que tiene por extremos un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto. Cualquier triángulo tendrá 3 medianas: AP, BQ y CR, ó ma, mb, mc, respectivamente.

Las 3 medianas de un triángulo se intersecan en un único punto G llamado BARICENTRO que es el punto de cruce de las medianas y es el centro de gravedad del triángulo.

Bisectriz Interna.- Es la línea que partiendo del vértice divide a un ángulo en 2 iguales. Existen 3 bisectrices internas: AD, BE y CF, ó Va, Vb, Vc, respectivamente.

218

El Incentro (G), es el punto de cruce de las bisectrices y además es el centro del círculo inscrito. El punto * esta ubicado siempre en la parte interior de cualquier triángulo.

Altura .- Es la perpendicular trazada desde un vértice hacia el lado opuesto o a su prolongación. Cualquier triángulo tiene alturas: AL, BM, CN respectivamente.

Las alturas se intersecan en un único punto H llamado Ortocentro, punto que está ubicado al interior del triángulo si este es acutángulo y en el exterior del mismo si este es obtusángulo, es este caso el ortocentro se determina prolongando las alturas.

219

Mediatriz .- Es la recta perpendicular levantada en el punto medio de un lado cualquiera del triángulo, por lo tanto tiene 3 mediatrices: PO, QO y RO

Las 3 mediatrices se intersecan en un único punto O llamado Circuncentro, que se encontrará dentro del triángulo si es acutángulo y fuera de él si es obtusángulo. Además el circuncentro equidista de los vértices y es el centro del círculo circunscrito.

Angulo externo de un triángulo es el formando por uno de sus lados y la prolongación de otro.

El ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de sus dos internos opuestos. Area de un triángulo = base * atura / 2 (b*h/2)

Base .- Es cualquier lado de un triángulo, por lo tanto todo triángulo tiene 3 bases. En el caso del triángulo isósceles se acostumbra llamar base al lado no congruente, si lo tiene.

220

CUADRILATERO Cuadrilátero: porción de plano limitado por cuatro rectas llamadas lados. Cuadriláteros especiales: Trapecio: el que tiene dos lados paralelos y dos no paralelos. Trapecio isósceles el que tiene los lados no paralelos iguales. Paralelogramo: el que tiene los lados opuestos paralelos. Rectángulo: paralelogramo con sus cuatro ángulos rectos. Rombo: paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales. Cuadrado : paralelogramo que es rectángulo y rombo a la vez. Base del cuadrilátero: lado en el que se supone descansa la figura. Altura de paralelogramo o trapecio es la longitud de la perpendicular trazada desde la base a su lado opuesto. Diagonal: recta que une dos vértices no consecutivos. Número de diagonales de un polígono Si n es el número de lados de un polígono: Número de diagonales = n · (n − 3) : 2 Ejemplo para un hexágono

221

Nº de diagonales = 4 · (6 − 3) : 2 = 12

AREAS: Paralelogramo: Base * altura Trapecio: (base mayor + base menor) * altura /2

222

POLIGONO Definición: porción de plano limitado por segmentos de recta. Los polígonos según la magnitud de sus ángulos se divide en cóncavos y convexos, se dice convexo si los ángulos interiores son menores de 180º. Si uno o más de los ángulos interiores es mayor de 180, el polígono es no convexo, o cóncavo

Cóncavo convexo

Según su número de lados se dividen en triángulos, tres lados, cuadriláteros: cuatro lados, pentágonos: cinco lados, etc. Polígono equilátero: si todos sus lados son iguales. Polígono equiángulo si todos sus ángulos son iguales. Polígonos regulares : aquellos que son simultáneamente equiángulos y equiláteros. Ejem.

Angulo interno de un polígono se dice el formando por los lados consecutivos ver gráfico anterior. La suma de los ángulos internos de un polígono es igual a 2 rectos*( n-2) donde n es el número de lados. Angulo central de un polígono regular es el formado por dos semirrectas que unen el centro con dos vértices consecutivos. Apotema . La apotema de un polígono regular es la distancia del centro al punto medio de un lado Ángulo externo se define como el formado por uno de sus lados y la prolongación de otro.

223

Área de un polígono regular

2

* apotemaperimetroA =

CIRCULO Definición: superficie plana limitada por una curva que tiene todos sus puntos equidistantes de un punto fijo, a la curva se le llama circunferencia, el punto fijo centro, la distancia igual se llama radio.

224

Elementos de la circunferencia:

• centro, punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia; • radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia; • diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y, lógicamente,

pasa por el centro; • cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud

máxima son los diámetros; • recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos; • recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto; • punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia; • arco, segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia; • semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un

diámetro.

Área de círculo= π * r²

Perímetro de circunferencia = 2 * π * r

Área de sector circular = π * r² * nº /360º Donde : r = radio nº = ángulo central en grados CUERPO GEOMETRICOS Poliedro: es un sólido limitado por planos.

225

Prisma: poliedro en el cual dos de sus caras son polígonos iguales situados en planos paralelos y cuyas otras caras son paralelogramos.

Base de prisma: uno cualesquiera de los lados paralelos iguales. Pirámide: poliedro en que una de sus caras es un polígono cualquiera y las otras son triángulos, llamadas caras laterales, estas tienen un vértice común, denominado vértice de la pirámide.

Altura de la pirámide: perpendicular bajada desde su vértice a la base. Prisma recto: cuando los ángulos formados por las caras y las bases son rectos.

226

Pirámide recta cuando la altura de la pirámide pasa por el centro de la base.

Pirámide regular cuando la base es un polígono regular. Cuerpos redondos: Están limitados únicamente por superficies curvas o por superficies planas y curvas. Cilindro recto: cuerpo con bases circulares de igual radio. Cono recto: cuerpo que tiene como base una circunferencia. Esfera: El conjunto de todos los puntos del especio que se encuentran a igual distancia r de un punto O es una superficie esférica. VOLUMEN: Es el número no negativo que indica la porción de especio que ocupa el cuerpo, con respecto a una unidad de medida. Volúmenes de algunos cuerpos geométricos: Ortoedro: V= producto de las tres aristas

227

Cubo: V= arista al cubo

Prisma recto: V= base * altura Pirámide: V= base * altura / 3.

Cilindro:

Cono :

Esfera:

228

PROPORCIONES Definiciones.- Razón: llámese al cociente de dos cantidades. (cantidad es el número que expresa la medida) Serie de razones: tres o más razones iguales. Propiedades de una serie de razones: La razón entre la suma de los antecedentes y la suma de los consecuentes es igual cualquiera de las razones de la serie dada. Proporción.- Definición: igualdad de dos razones. Simbólicamente:

d

c

b

a =

Se lee a es a b como c es a d Cada cantidad que interviene en una proporción se denomina término, a los términos a y d se nombran extremos y a los términos b y c medios. También a los términos a y c se los nombra antecedentes a los b y d consecuentes. Se dice que una proporción es continua si tiene los medios iguales. Propiedades de las proporciones:

- En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios. - En toda proporción la suma o resta de los antecedentes con sus respectivos

consecuentes da como resultado otra proporción.

229

PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS GEOMETRIA PLANAGEOMETRIA PLANAGEOMETRIA PLANAGEOMETRIA PLANA

1. Señalar la proposición verdadera:

a) Dos rectas siempre son coplanarias b) Dos rectas coincidentes son coplanarias. c) Por dos puntos pueden pasar infinidad de rectas. d) Tres puntos colineales determinan un plano. e) Ninguna de las anteriores.

2. Considérense cuatro puntos en el espacio, no co planarios, ¿cuantos planos se pueden determinar?


3. Señalar la proposición falsa:

a) Existen infinitos puntos pertenecientes a una recta. b) Por un punto pasan infinitas rectas. c) Dos puntos distintos determinan una recta. d) Si una recta y un plano tienen un punto en común, entonces la recta está

necesariamente contenida en el plano. e) Si una recta y un plano tienen un punto en común, entonces la recta puede estar

contenida en el plano.

4. Señalar la afirmación verdadera; un plano esta determinado por:

a) Tres puntos no colineales. b) Una recta y un punto externo. c) Dos rectas que se intersecan. d) Dos rectas paralelas. e) Ninguna de las anteriores

5. ¿La proposición falsa es?

a) Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes. b) Dos ángulos congruentes son siempre opuestos por el vértice. c) Todo ángulo posee una sola bisectriz. d) Un triángulo isósceles puede ser equilátero. e) Si un triángulo es equilátero, entonces se puede afirmar que es isósceles.

6. Un triángulo obtusángulo es aquel que ...

a) tiene todos sus ángulos obtusos b) tiene un ángulo obtuso y los otros dos agudos c) tiene un ángulo obtuso y los otros dos pueden ser obtusos, rectos o agudos d) las respuestas a y c son ciertas

230

7. Un triángulo isósceles se caracteriza por ...

a) tener todos sus lados iguales b) tener todos sus lados distintos c) tener iguales los dos lados mayores d) tener dos lados iguales y uno desigual e) tener dos ángulos iguales

8. El baricentro o centro de gravedad de un triángu lo es el punto en el que se cortan las

a) Mediatrices b) Bisectrices c) Medianas d) Alturas.

9. ¿La proposición verdadera es?

a) Todo triángulo isósceles es acutángulo. b) Un triángulo rectángulo puede ser obtusángulo. c) Un triángulo rectángulo puede ser acutángulo. d) Un triángulo rectángulo nunca puede ser escaleno e) Un triángulo rectángulo nunca puede se equilátero.

10. ¿La proposición verdadera es?

a) El baricentro de un triángulo es siempre interno a él. b) El ortocentro de un triángulo es siempre interno a él. c) En un triángulo isósceles, el baricentro coincide con el incentro. d) El circuncentro de un triángulo se determina por el cruce de los bisectrices. e) El punto que en concurren las alturas determinan el incentro de un triángulo.

11. El centro del círculo inscrito en un triángulo (incentro) es el punto de corte de:

a) Las 3 medianas del triángulo b) Las 3 bisectrices del triángulo c) Las 3 alturas del triángulo d) Las 3 mediatrices del triángulo e) Ninguna de las anteriores

12. El incentro de un triángulo

a) es siempre interior al triángulo b) dista los mismo de un lado que de su vértice opuesto c) dista lo mismo de todos los vértices d) es siempre perpendicular a los lados e) ninguno de los anteriores.

231

13. El centro del círculo circunscrito en un triáng ulo (circuncentro) es el punto de corte de:

a) Las 3 medianas del triángulo b) Las 3 bisectrices del triángulo c) Las 3 medianas del triángulo d) Las 3 mediatrices del triángulo e) Ninguna de las anteriores

14. El ortocentro de un triángulo es el punto de co rte de:

a) Las 3 medianas del triángulo b) Las 3 bisectrices del triángulo c) Las 3 alturas del triángulo d) Las 3 mediatrices del triángulo e) Ninguna de las anteriores

15. El ortocentro es el punto donde se cortan las a lturas del triángulo. Si el ortocento conincide con un vértice ...

a) el área del triángulo es un medio de su perímetro b) el triángulo es obtusángulo c) dos alturas coinciden con los lados adyacentes a ese vértice d) una altura coincide con el lado opuesto a ese vértice

16. ¿La proposición falsa es?

a) En el cuadrado las diagonales son perpendiculares. b) En el cuadrado las diagonales son congruentes. c) En el cuadrado las diagonales son bisectrices. d) Todo cuadrado es un trapecio. e) Se conoce como romboide al paralelogramo en general.

17. Señalar la afirmación correcta:

a) Todo triángulo rectángulo es isósceles. b) Todo triángulo acutángulo es isósceles. c) Todo triángulo obtusángulo es isósceles. d) Un triángulo rectángulo puede ser isósceles. e) Ninguna de las anteriores.

18. Por 3 puntos colineales pueden pasar:

a) 2 rectas b) Infinito número de planos c) Solo un plano d) 2 planos e) Ninguna de las anteriores

232

19. ¿Cuántos planos contienen a una recta y un punt o que no está sobre la recta?

a) Dos planos b) Infinitos planos c) Un plano d) 3 planos e) Ninguna de las anteriores

20. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdade ra?

a) Dos rectas en un mismo plano siempre son paralelas b) Si 2 rectas no están en un mismo plano pueden ser paralelas c) Una recta no determina dos semiplanos en un mismo plano d) 2 puntos sobre una recta determina 3 segmentos de recta e) Ninguna de las anteriores

21. Tres familias tienen situadas sus casas en los vértices de un triángulo. Se quiere construir un pozo que se sitúe a la misma distancia de las tres viviendas. ¿Cuál será el lugar apropiado?

a) El corte de las 3 medianas del triángulo b) El corte de las 3 bisectrices del triángulo c) El corte de las 3 alturas del triángulo d) El corte de las 3 mediatrices del triángulo e) Ninguna de las anteriores

22. Indicar cuál de los siguientes enunciados es fa lso:

a) Si dos ángulos son congruentes entonces tienen igual medida b) Si 2 ángulos tienen el mismo complemento entonces son congruentes c) Un ángulo obtuso tiene por suplemento un ángulo agudo d) 2 ángulos adyacentes son suplementarios e) Ninguna de las anteriores

23. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?

a) Dos lados de un ángulo recto son perpendiculares. b) Un ángulo obtuso tiene mayor medida que su suplemento. c) La diferencia entre las medidas del suplemento y el complemento de un ángulo es

igual a 90º. d) Dos ángulos complementarios para el mismo ángulo son rectos. e) Las bisectrices de un par de ángulos opuestos por el vértice forman un ángulo

extendido.

24. L1, L2 y L3 son rectas tales que: L1 ⊥⊥⊥⊥ L2 , x =?

233

a) 30º b) 40º c) 45º d) 60º e) 70º

25. En la figura L1 // L2 , α + β=?

a) 50º b) 60º c) 70º d) 80º e) 90º

26. OD perpendicular a OA y OC es bisectriz del ∠∠∠∠BOD. ∠∠∠∠AOB : ∠∠∠∠BOC = 2 : 1, ∠∠∠∠BOD =?

a) 55º b) 60º c) 65º d) 72º e) 80º

27. Se tiene a + 40º = 180º y b + 140º = 180º, e ntonces: a + b = ?

a) 120º b) 140º c) 150º d) 180º e) 360º

28. En la figura, L1 // L2 // L3 y L4 // L5 // L6. Si ββββ = 2αααα, ¿cuál de las siguientes relaciones es falsa?

a) γ = 2α b) β = γ c) α = 60º d) β = 120º e) β + γ = 180º

234

29. Sean αααα y ββββ dos ángulos complementarios que están en la razón 2 : 3. ¿Cuál es la medida de αααα?

a) 18 b)25 c)32 d)36 e)54

30. En la figura, L1 // L2 y M1 // M2. ¿Cuánto mid e c?

a) 55º b) 70º c) 80º d) 90º e) 110º

31. Si un ángulo varía entre 35º y 60º, entonces su complemento varía entre:

a) 0º y 55º b)35º y 60º c)40º y 45º d)40º y 55º e)120º y 135º

32. αααα y ββββ son dos ángulos suplementarios. Si αααα : ββββ= 1 : 4, ¿cuál es la medida de αααα?

a) 30º b)36º c)45º d)54º e)60º

33. L1, L2 y L3 son rectas, L1 // L2 , ∠∠∠∠x =?

a) 70º b) 60º c) 45º d) 40º e) 30º

34. En la figura, OP perpendicular a OM, ∠∠∠∠QOP = ∠∠∠∠MON, ON es bisectriz del ∠∠∠∠MOP. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) ve rdadera(s)?

I) OP es bisectriz del ∠∠∠∠QON. II) ∠∠∠∠QOP y ∠∠∠∠MON son complementarios.

III) ∠∠∠∠QOP y ∠∠∠∠ PON son complementarios.

a) Sólo III b) I y II c) I y III d) II y III e) I, II y III

235

35. L, T y M son rectas. Si la recta M es perpendi cular a la recta L y αααα = γ9

4, entonces:

ββββ + γγγγ =?

a) 140º b) 135º c) 130º d) 100º e) 80º

36. αααα y ββββ son dos ángulos complementarios. Si el doble de αααα excede en 12º a ββββ. ¿Cuánto

mide ββββ?

a) 26º b)34º c)56º d)64º e)72º

37. En la figura, OD ⊥⊥⊥⊥ AB y OE ⊥⊥⊥⊥ OC; ∠∠∠∠BOC = 2∠∠∠∠AOE, ∠∠∠∠COD =?

a) 15º b) 30º c) 40º d) 45º e) 60º

38. En la figura, OC es bisectriz del ∠∠∠∠BOD y OD es bisectriz del ∠∠∠∠EOC. ∠∠∠∠AOE = 150º,

∠∠∠∠AOB = 15º, ∠∠∠∠BOD =?

a) 45º b) 60º c) 75º d) 85º e) 90º

236

39. αααα es el 75% de ββββ. Si αααα = 72º, entonces la mitad de ββββ mide:

a) 108º b)96º c)72º d)48º e)36º

40. L1 ⊥⊥⊥⊥ L2 y M1 ⊥⊥⊥⊥ M2. ββββ = 2αααα. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (so n) verdadera(s)?

I) ββββ = γγγγ II) αααα : γγγγ = 1 : 2

III) ββββ + γγγγ = 90º

a) Sólo I b) I y II c) I y III d) II y III e) I, II y III

41. En la figura, ON ⊥⊥⊥⊥ PQ, ∠∠∠∠MOQ = 2∠∠∠∠NOM, el valor de ∠∠∠∠x =?

a) 120º b) 130º c) 135º d) 150º e) N.A.

42. δδδδ y γγγγ son dos ángulos suplementarios. Si 5

γδ = , entonces δδδδ mide:

a) 15º b)30º c)36º d)45º e)90º

43. El ángulo αααα está con su complemento en la razón 1 : 3. ¿Cuál es la medida del

ángulo αααα?

a) 67,5º b)60º c)45º d)30º e)22,5º

44. En la figura, L1 ⊥⊥⊥⊥ L3 y L2 ⊥⊥⊥⊥ L4, entonces es falso que:

a) β = γ

237

b) α + β = 90º c) α = β + γ d) α = 90º − γ e) γ = 90º + α

45. Si αααα : ββββ = 1 : 2, entonces, ¿cuál es le suplemento del ∠∠∠∠(αααα + ββββ)?

a) 180º − 2α b)180º − 3α c)180º −2β d)180º − 3β e)N.A.

46. Si el triple de 2 δδδδ es 120º, entonces el doble de 3 δδδδ es igual a:

a) 270º b)240º c)135º d)120º e)80º

47. La suma del complemento y del suplemento del án gulo x es igual a 200º, ¿cuánto mide x?

a) 35º b)40º c)45º d)50º e)55º

48. En la figura, L1 ⊥⊥⊥⊥ L2 y αααα = ββββ, x =?

a) 90º b) 125º c) 135º d) 145º150º

49. δδδδ γγγγ son ángulos suplementarios. Si δδδδ mide 25º, ¿cuánto vale el 20% de γγγγ?

a) 13º b)18º c)23º d)31º e)36º

50. L1, L2, L3 y L4 son rectas. L1 // L2 y ββββ = γγγγ, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) ββββ −−−− αααα = 90º II) γγγγ + αααα = 180º

III) ββββ + γγγγ = 180º

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) I, II y III

238

51. Si un ángulo varía entre 40° y 140° entonces s u suplemento varía entre:

a) 40° y 140° b)30° y 150° c)50° y 140° d)40° y 150° e)N.A.

52. En la figura, ββββ = 100º. Si ββββ disminuye en un 20%, ¿en qué porcentaje aumenta αααα?

a) 20% b) 25% c) 30% d) 40% e) 80%

53. En la circunferencia de centro O, si αααα = 60º, se forman 6 ángulos. Si 40º < αααα < 120º, entonces el número de ángulos varía entre:

a) 3 y 12 b) 4 y 12 c) 8 y 10 d) 4 y 8 e) 3 y 9

54. La diferencia entre el 60% y el 45% de la medid a de un ángulo es 13,5º. ¿Cuánto

mide el ángulo?

a) 0,9º b)9º c)90º d)34,6º e)N.A.

55. En la figura, OD ⊥⊥⊥⊥ AB y OE ⊥⊥⊥⊥ OC, entonces siempre se cumple que:

I) ∠∠∠∠EOD = ∠∠∠∠BOC II) ∠∠∠∠AOE = 2∠∠∠∠BOC III) ∠∠∠∠COD = 2∠∠∠∠DOE

a) Sólo I b) I y II c) II y III d) I, II y III e) Ninguna.

239

56. En la figura, ∠∠∠∠AOD = 130º, ∠∠∠∠AOB : ∠∠∠∠BOC = 3 : 4 y ∠∠∠∠AOB : ∠∠∠∠COD = 1 : 2, ¿cuánto mide el ∠∠∠∠BOC?

a) 20º b) 30º c) 40º d) 60º e) 80º

57. Si αααα = ββββ + 30º y el suplemento de αααα mide 80º entonces ββββ mide:

a) 40º b)70º c)80º d)100º e)110º

58. OB ⊥⊥⊥⊥ OA; ∠∠∠∠BOC = ∠∠∠∠AOC y ∠∠∠∠COD:∠∠∠∠AOD=1:2 ∠∠∠∠COD =?

a) 30º b) 22,5º c) 17,5º d) 15º e) 12,5º

59. El 50% de la mitad de la medida de un ángulo es igual a 40º. ¿Cuánto mide el ángulo?

a) 10º b)20º c)40º d)80º e)160º

60. En la figura, OC ⊥⊥⊥⊥ AE y OB ⊥⊥⊥⊥ OD y ∠∠∠∠AOB ≠≠≠≠ ∠∠∠∠BOC. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ∠∠∠∠COD es agudo. II) ∠∠∠∠DOE y ∠∠∠∠COD son congruentes. III) ∠∠∠∠AOB y ∠∠∠∠EOD son complementarios.


240

61. ¿A cuánto es igual:

−2

%5αα de , si αααα = 100º?

a) 47,5º b)75º c)95º d)97,5º e)99,5º

62. Si αααα + ββββ = 200º y αααα : ββββ = 2 : 3, entonces los valores de αααα y ββββ son, respectivamente:

a) 120º y 80º b)140º y 60º c)80º y 120º d)60º y 140º e)40º y 160º

63. L // L’. ¿Cuál de las siguientes relaciones es siempre verdadera?

a) δ + ε − γ = 180º b) δ + ε + γ = 180º c) δ − ( ε + γ ) = 90º d) δ + ε − γ = 90º e) ninguna

64. En la figura L1 ⊥⊥⊥⊥ L 2. ¿Cuánto mide αααα?

a) 15º b) 30º c) 45º d) 60º e) 75º

65. Si αααα es menor que ββββ en 20º, ββββ es menor que γγγγ en 30º y ββββ = 50º, entonces αααα + ββββ + γγγγ =?

a) 230º b)160º c)140º d)100º e)N.A.

66. ¿A cuánto es igual la suma del complemento y de l suplemento del ángulo αααα, si αααα =

55º?

a) 145º b)150º c)160º d)170º e)180º

241

67. En la circunferencia de centro O, se han dibuja do dos diámetros. Si αααα + ββββ = 70º, entonces γγγγ =?

a) 70º b) 110º c) 135º d) 140º e) 145º

68. 30,3 grados es equivalente a:

a) 30 grados y 3 minutos. b) 30 grados y 18 minutos. c) 33 grados d) 303 grados. e) 1803 grados.

69. Si dos ángulos tienen sus dos lados respectivam ente paralelos y uno de ellos es recto, el otro siempre será:

a) Recto. b) Agudo. c) Obtuso. d) Extendido. e) Convexo.

70. En la figura, ββββ = 45º y αααα + ββββ + γγγγ = 135º. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) αααα y ββββ son complementarios. II) αααα y γγγγ son complementarios.

III) ββββ y γγγγ son complementarios.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y III e) I, II y III

71. αααα y ββββ son ángulos complementarios, ββββ y γγγγ son ángulos suplementarios. Si ββββ = 60º, ¿en qué razón están αααα, ββββ y γγγγ?

a) 1 : 2 : 3 b) 1 : 2 : 4 c) 1 : 3 : 4 d) 1 : 2 : 6 e) 1 : 2 : 8

242

72. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (s on) verdadera(s)?

I) Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en el mismo sentidos son congruentes.

II) Dos ángulos que tienen sus lados respectivament e paralelos y dirigidos en sentido contrario son congruentes.

III) Dos ángulos agudos y obtusos cuyos lados son r espectivamente perpendiculares son congruentes.


73. En la figura, L2 // L 3 , L1 ⊥⊥⊥⊥ L2 si:

a) γ = δ b) α = γ c) α = β d) β = ε e) N.A.

74. A, B y C son puntos colineales. EB ⊥⊥⊥⊥ BD, entonces es correcto que:

a) α = 180º − β b) β = 180º − α c) α = 90º − β d) β = 90º − α e) α + β = 90º

75. En la circunferencia se han dibujado 3 diámetro s. Si αααα = 60º, ¿cuál(es) de las

siguientes relaciones es (son) siempre verdadera(s) ?

I) ββββ = γγγγ II) ββββ + γγγγ = 120º

III) αααα + ββββ = 120º

a) Sólo II b) I y II c) I y III d) II y III e) I, II y III

243

76. ¿Son complementarios los ángulos x e y?

(1) x : y = 1 : 2 (2) y = 60º

a) (1) por sí sola. b) (2) por sí sola. c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2). e) Se requiere información adicional.

77. Determina el valor de x si los ángulos interior es de un triángulo son x, 2x y 3x.

a) 25º b)32º c)30º d)50º e)60º

78. En un triángulo isósceles, el ángulo exterior d el vértice mide 70º. Cuánto miden los ángulos interiores de la base?

a) 30º b)38º c)35º d)32º e)26º

79. El ángulo CAB de un triángulo ABC cualquiera mi de 52º; si el ángulo ABC es tres veces mayor que el ángulo ACB. ¿Cuánto mide el ángu lo ACB?

a) 65º b)60º c)64º d)70º e)32º

80. En un triángulo rectángulo los ángulos agudos e stán en la razón de 5:4. ¿Cuánto miden estos ángulos?

a) 40º y 60º b) 40º y 50º c) 30º y 60º d) 45º y 50º e) 50º y 40º

81. En un triángulo isósceles, un ángulo de la base tiene 18,3º más que el ángulo del vértice. Calcula los ángulos interiores del triángu lo.

a) 65.2º 65.2º 49.6º b) 65 º 65º 50º c) 66.1º 47.8º 66.1º d) 60.2º 60.2º 48.3 e) 60º 60º 50

82. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 3:4:5. ¿Cuánto miden estos ángulos?

a) 35º 70º 75º b) 50º 85º 45º c) 45º 60º 75º

244

d) 30º 90º 60º e) 30º 40º 50º

83. En un triángulo ABC cualquiera, el ángulo CAB t iene 15º más que el ángulo CBA y éste 12º más que el ángulo ACB. Determina el valor de los ángulos exteriores de este triángulo.

a) 60º 73º 47º b) 120º 107º 133º c) 121º 106º 133º d) 105º 122º 133º e) 130º 125º 105º

84. En un triángulo isósceles, la suma de uno de lo s ángulos exteriores de la base con el ángulo exterior del vértice es 243ª. Calcula la med ida del ángulo interior del vértice.

a) 64º b)54º c)117º d)126º e)45º

85. Si un cateto de un triángulo rectángulo mide 2a y el otro mide (a 2-1), entonces la hipotenusa mide:

a) (a2+4), a >1. b) (a2+1), a >1. c) (a4+1), a >1. d) (a2-1), a >1. e) (a2+2), a >1.

86. En un triángulo ABC, AB=6, BC=12, AC=x. Cuál de los siguientes valores no puede ser AC.

a) 6 b)7 c)8 d)9 e)10

87. La suma de los perímetros de dos triángulos equ iláteros es 21 cm. Si el lado de unos de los triángulos mide 1 cm más que el doble de lo que mide el lado del otro triángulo, ¿Cuál es la diferencia entre los perímet ros de los triángulos?

a) 3 cm b)4 cm c)5 cm d)6 cm e)9 cm

88. En la figura, AD = DC, AB = AC, el ángulo ABC m ide 75º y el ángulo ADC mide 50º. ¿Cuánto mide el ángulo BAD?

a) 64º b) 100º c) 95º d) 89º e) 90º

245

89. En la figura, 5:2: =βα ¿qué tipo de triángulo es?

a) Escaleno b) Isósceles c) Rectángulo d) Obtusángulo e) No se puede determinar

90. En el triángulo isósceles ABC el ángulo A mide 50. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

a) 110º b) 100º c) 115º d) 95º e) No se puede determinar

91. Calcula el perímetro del pentágono ABCDE. El tr iángulo ACE es equilátero y su perímetro es igual a 18 cm. Los triángulos ABC y CD E son isósceles congruentes de 14 cm de perímetro. AB = BC y CD = DE

a) 20 cm b) 22 cm c) 32 cm d) 24 cm e) 19 cm

92. Si AB = BD; AC = BC; <ABD = 129º; <CAD = 18º; x = ?

a) 100 º b) 104º c) 111º d) 115º e) 98º

246

93. MP bisectriz del <OMN;QP // MN; <QPM = ?

a) 30 º b) 27º c) 35º d) 65º e) 40º

94. Si en el gráfico DE // GF; AC = AB;el angulo BA C vale:

a) 70 º b) 68º c) 35º d) 65º e) 40º

95. Si α : β = 2 : 3; β : γ = 6 : 8; α : β = 2 : 3; β : γ = 6 : 8; α : β = 2 : 3; β : γ = 6 : 8; α : β = 2 : 3; β : γ = 6 : 8; entonces cuanto vale el ángulo β = ? β = ? β = ? β = ?

a) 50º b) 72º c) 35º d) 60º e) 40º

96. Encuentra la altura de un triángulo equilátero que mide 12 cm por lado

a) 10.5 b)√180 c) √108 d)12 e)18

97. ¿Cuál de los siguientes puede ser un valor de x , para el ángulo obtuso del diagrama?

a) 10 b) 20 c) 40 d) 50 e) Cualquiera de los de arriba

247

98. En la figura el valor de x es:

a) (a + b) b) (a + b + c) c) (a + c) b) (b + c) e) Ninguna de las anteriores.

99. Clasifique el triángulo de la figura siguiente según los lados.

a) Escaleno b) Isósceles c) Equilátero d) Acutángulo e) Ninguna de las anteriores

100. ¿cuál de los siguientes grupos de longitudes no pueden ser los lados de un triángulo rectángulo?

a) 3,4,5 b) 5,12,13 c) 8,15,17 d) 12,15,18 e) 9,12,15

101. Un campo triangular está rodeado por tres campos cuadrados, cada uno de los cuales tiene un lado común con el triángulo. Las superficies de estos tres campos son iguales a 64, 225 y 289 hectáreas. ¿Cuál es la superficie del campo triangular?.

a) 60 b) 80 c) 90 d)65 c100)

102. Calcular el perímetro de la figura siguiente: ED = AC = 15 cm; BC = 9cm , AE= 6cm.

a) 69 b) 54 c) 72 d) 81 e) 79

248

103. De las siguientes afirmaciones la verdadera es :

a) Si dos triángulos tienen igual área, tienen igual perímetro b) Si dos triángulos tienen igual perímetro entonces tienen igual área c) Si dos triángulos tienen sus bases iguales, entonces tienen la misma área d) Si dos triángulos tienen la igual altura, entonces tienen las misma área e) Si dos triángulos tienen igual altura y sus áreas son iguales, entonces sus bases

son iguales

104. En la figura, L1 y L2 son rectas paralelas, ad emás AB=BD, ¿Cuál es la relación entre las áreas de los triángulos ABC y BDE?

a) Area1 > área2 b) Area1 < área2 c) Area1=área2 d) No se puede saber e) Otra relación

105. Sea ABCD un cuadrado en el cual tenemos inscri to otro cuadrado EFGH cuyos

vértices se encuentran ubicados en los puntos medio s de los lados del cuadrado ABCD. A su vez tenemos un círculo de área a inscrit o en el cuadrado ABCD. Encuentre el área del cuadrado ABCD en función de a .

a) 8 a π b) 2 a π c) 5/4 a π d) 4 a/π e) aπ

106. Los lados AB, BC, CD y DA, de un cuadrilátero convexo ABCD tienen longitudes 3, 4, 12 y 13 respectivamente y el ángulo CBA es re cto, entonces el área del cuadrilátero es:

a) 32 b) 36 c) 39 d) 40 e) 30

249

107. En la figura adjunta CDE es un triángulo equil átero y ABCD y DEFG son cuadrados, encuentre el ángulo GDA.

a) 90º b) 105º c) 150º d) 125º e) 75º

108. Cual es el área de un trapecio cuya base mayor supera en 13 cm a la base menor que mide 43 cm, siendo la altura el doble de la bas e menor.

a) 4257cm2 b) 4128cm2 c) 4028cm2 d) 4000cm2 e) 2428cm2

109. La base de un triángulo isósceles es 14 cm, el perímetro es de 64 cm. Encuentre

el área del triángulo.


110. Calcula área y perímetro de los siguientes pol ígonos: ABCD es un cuadrado. ∆ ADE es rectángulo en E

a) 190 b) 189 c) 199 d) 196 e) 179

111. Cual es el área del paralelogramo ABCD, si: DC = 12 cm., AD = 5 cm., AE

= 3 cm.


250

112. En un cuadrado ABCD, de 5 dm de lado, se toman los segmentos AM=10

cm CN=15 cm Se une M con N y por A se traza la paralela AP al segmento MN. Determina el área de cada una de las tres partes en que queda dividido el cuadrado.

a) 200cm2 625cm2 1575cm2 b) 400cm2 725cm2 1375cm2 c) 500cm2 625cm2 1375cm2 d) 800cm2 625cm2 1075cm2 e) 500cm2 525cm2 1475cm2

113. A un cuadrado, cuyos lados miden 1024 m, se le inscribe un cuadrado, situando los vértices de éste en los puntos medios de los lados del primero. A este segundo cuadrado, por el mismo procedimiento, se le inscribe un tercer cuadrado. ¿Qué longitud tiene el lado del cuadrado más pequeño? a) 12 b) 8 c) 16 d) 20 e) 256

251

TRIGONOMETRIA Definición de funciones trigonométricas para ángulo s agudos: Seno = cateto opuesto / hipotenusa Coseno= cateto adyacente / hipotenusa Tangente = cateto opuesto / cateto adyacente Cosecante = hipotenusa / cateto opuesto Secante = hipotenusa / cateto adyacente Cotangente = cateto adyacente / cateto opuesto Aplicando las definiciones a los ángulos agudos del gráfico tenemos:

Fun. Trig. de α Fun. Trig. de β sen α = a/c sen β = a/c cos α = b/c cos β = b/c tan α = a/b tan β = a/b csc α = c/a csc β = c/a sec α = c/b sec β = c/b cot α = b/a cot β = b/a

Al analizar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos α y β del cuadro anterior podemos enunciar el siguiente teorema: Una función trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la cofunción de su ángulo complementario. Funciones trigonométricas de 30º, 45º ,60º. Para obtener las funciones de una ángulo de 45º, consideremos un triángulo rectángulo isósceles como el indicado en la gráfica a continuación en el cual se asignara a la longitud de

cada cateto la unidad, luego obtenemos la magnitud de hipotenusa 2 aplicando Pitágoras.

Para las funciones de 30º y 60º consideramos un triángulo equilátero con sus lados de longitud 2 unidades cada uno, trazamos PS perpendicular a QR, esta recta divide al triángulo PQR en dos triángulos rectángulos iguales, cada uno con sus ángulos agudos de 30º y 60º. Con los

valores de hipotenusa (QP) 2, y los catetos (QS) y (PS) 1 y 3

252

En el cuadro siguiente se presentan los valores respectivos.

Ángulo Sen Cos Tg Csc Sec Ctg

30 º

12 3

2 33

2

2 33 3

45º

22 2

2 1

2 2 1

60º

32

12 3 2 3

3 2

33

Generación de ángulos: Un ángulo puede considerarse como engendrado por una recta que coincide primero con uno de los lados del ángulo, gira después entorno del vértice y finalmente coincide con el otro lado.

Si la generatriz se mueve en sentido contrario al de las manecillas del reloj, los ángulos son positivos.

Si la generatriz se mueve en sentido de las manecillas del reloj, los ángulos son negativos.

253

Ángulos de cualquier Magnitud Aún cuando 2 ángulos tengan los mismos lados inicial y final y hayan sido engendrados por una rotación en el mismo sentido, pueden ser diferentes en magnitud.

Funciones trigonométricas de ángulo de cualquier ma gnitud Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x. En la figura siguiente, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo α con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y de un punto situado sobre el lado terminal del ángulo pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a

2 2x y+ , aplicando el teorema de Pitágoras.

Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:

• Seno sen α = ordenada / radio = y / r • Coseno cos α = abscisa / radio = x / r

254

• Tangente tg α = seno / coseno = ordenada / abscisa = y / x • Cotangente cotg α = coseno / seno = abscisa / ordenada = x / y • Secante sec α = 1 / coseno = 1 / (x / r) = r / x • Cosecante cosec α = 1 / seno = 1 / (y / r) = r / y

Estas definiciones aplicadas al ángulo XOB del primer cuadrante concuerda, necesariamente con las definiciones dadas anteriormente para ángulos agudos.

1.- El valor de cada una de las razones es independiente de la posición de P 2.- Los valores de las funciones depende únicamente de la posición del lado final del ángulo.

* Todos los ángulos que tengan los lados terminales coincidentes tendrán igual valor de función trigonométrica

Signo de las funciones En cada cuadrante, dependiendo del signo de las abscisas y ordenadas, las razones presentan los siguientes signos:

Las funciones trigonométricas de las funciones cosecante, secante y cotangente será el mismo que de su respectiva inversa. Expresar cinco de las Funciones Trigonométricas en términos de una Ejemplo: Como expresar todas las funciones en términos de la función seno Tomamos un triángulo rectángulo al cual se asigna el valor de sus lados de cuerdo a la definición de la función trigonométrica en la cual quedaran definidas las otras cinco.

r

ysenAsenA ==

1 Entonces r = 1 y=senA por lo tanto aplicando Pitágoras:

22 yrx −±=

221 senAx −±=

De donde obtenemos las siguientes expresiones:

255

sen A = sen A senAcocA

1=

AsenA 21cos −±= AsenA

21

1sec

−±=

Asen

senAA

21tan

−±=

senA

Asenctg

21−±=

RELACIONES FUNDAMENTALES 1) sen A csc A = 1 5) ctg A = cosA/senA 2) cos A sec A = 1 6) sen²A + cos²A = 1 3) tg A ctg A = 1 7) sec²A = 1 + tg²A 4) tg A = senA / cosA 8) csc²A= 1 + ctg²A Una de las aplicaciones de estas relaciones es el obtener una de las funciones trigonométricas en términos de las otras cinco. Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.

Función sin cos tan csc sec cot

sin

cos

tan

csc

sec

cot

Funciones trigonométricas de 0º, 90º, 180º, 270º: en el gráfico consideramos los puntos P1,P2,P3 yP4 correspondientes a los lados terminales de los ángulos de 0º,90º,180º y 270º respectivamente, asignando a cada uno las coordenadas presentadas a continuación, y aplicando la definición de las funciones trigonométricas obtenemos el valor de estas presentadas en el siguiente cuadro.

256

0º: para P1 tenemos: x =1, y = 0 90º: para P2 tenemos : x = 0, y= 1 180º: para P3 tenemos: x = -1, y = 0 270º : para P4 tenemos: x= 0 , y = -1

Angulo Sen cos tg ctg Sec csc 0º 0 1 0 ∞ 1 ∞ 90º 1 0 ∞ 0 ∞ 1 180º 0 -1 0 ∞ -1 ∞ 270º -1 0 ∞ 0 ∞ -1 * Se debe tomar en cuenta que la división para cero no tiene valor definido, lo que se expresa colocando ∞ Sistema circular : El sistema de medición de ángulos que solemos utilizar es el sexagesimal, divide a la circunferencia en seis partes de 60º cada una, obteniendo un giro completo de 360º. Cuando se quiso utilizar este sistema en física, para poder calcular el camino desarrollado por alguna partícula en trayectoria circular, se encontraron que el sistema sexagecimal no los ayudaba pues, matemáticamente, no está relacionado con el arco que describe el cuerpo al moverse. De esa manera se "inventó" otro sistema angular, el sistema circular, donde la medida del ángulo se obtiene al dividir el arco y el radio de la circunferencia. En este sistema se utiliza como unidad de medida de los ángulos, el "radián". Radián : un radián se define como la medida de un ángulo central que subtiende un arco con la misma longitud del radio de la circunferencia. En la figura, la longitud del radio r es igual a la del arco AB; el ángulo A0B mide 1�radianes.

Equivalencia de un ángulo en el sistema sexagesimal al circular y viceversa. Para medir los ángulos, los sistemas más utilizados son el sexagesimal y el circular. Es conveniente saber convertir un ángulo dado de un sistema a otro. La longitud P de una circunferencia está dada por P = 2πr, r radio

257

Como un radián es igual al radio, en una circunferencia hay 2π radianes También el ángulo de gira es de 360º, por lo tanto: 2π rad = 360º π rad = 180º 1/2π rad = 90º Relación entre arco, radio y ángulo En una circunferencia de radio “ r ”, la longitud “s” de un arco que subtiende un ángulo central de α radianes es: s = r . α ó α = r/s Regla general para reducir las funciones ángulos de cualquier magnitud en términos de funciones de ángulos agudos. I.- Cuando el ángulo sea de 180º ± A, o de 360º ± A, sus funciones son numéricamente iguales, es decir en valor absoluto, a las funciones del mismo nombre de A. II.- Cuando el ángulo sea de 90º ± A, o de 270º ± A, sus funciones son numéricamente iguales a las cofunciones del mismo nombre de A. III.- En todos los casos el signo del resultado es el que corresponde a la función buscada, en el cuadrante en que se encuentra el ángulo original. En caso de que el ángulo sea mayor de 360º se debe primero reducir a un ángulo menor a 360º mediante la substracción sucesiva de múltiplos de 360º, o en caso de ángulo negativo reducirlo al correspondiente ángulo positivo. Funciones trigonométricas de ángulos negativos en t érminos de su correspondiente positivo Teorema : las funciones trigonométricas del ángulo negativo (-A) son iguales en valor absoluto a las funciones del mismo nombre del ángulo correspondiente positivo (A). El signo algebraico, cambia para todas las funciones excepto para el coseno y la secante. Circulo trigonométrico : Circulo cuyo radio se toma como unidad de longitud, en el gráfico a continuación el circulo presentado será trigonométrico si el radio AB se toma = 1

258

Línea trigonométrica Definición : Son la representación gráfica de las funciones trigonométricas a través de segmentos dirigidos de recta.

Las razones trigonométricas deducidas en un círculo trigonométrico se corresponden con los valores de ciertos segmentos de recta que se denominan líneas trigonométricas. A continuación vamos a colegir las líneas trigonométricas en el primer cuadrante. La forma de obtener las líneas trigonométricas en los otros tres cuadrantes es similar. Línea seno Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el eje X. En el ángulo OQP: Sen α = PQ/r Sen α = PQ Análisis de la línea SENO En el cuadrante1 el Seno crece de 0 a 1 En el cuadrante2 el Seno decrece de 1 a 0 En el cuadrante3 el Seno decrece de 0 a -1 En el cuadrante4 el Seno crece de -1 a 0 - 1 ≤ Sen α ≤ + 1 0º = 0, 90º = 1,180º = 0, 270º = -1, 360º = 0 Línea Coseno Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el eje Y. En el ángulo PNO: Cos α = NP/r Cos α = NP

A

B

A’

B’

O

P ( x ; y )

Q

1

a

A

B

A’

B’

O

P ( x ; y )

Q

1

a

Na

259

Análisis de la línea COSENO En el cuadrante1 el Coseno decrece de 1 a 0 En el cuadrante 2 el Coseno decrece de 0 a -1 En el cuadrante 3 el Coseno crece de -1 a 0 En el cuadrante 4 el Coseno crece de 0 a 1 - 1 ≤ Cos α ≤ + 1 0º = 1, 90º = 0, 180º = - 1, 270º = 0, 360º = 1

Linea tangente Es una parte de la tangente geométrica trazada por el origen de arcos A ( 1 ; 0 ), Se empieza a medir de este origen y termina en la intersección de la tangente geométrica con el radio prolongado que pasa por el extremo del arco. Análisis de la línea SENO Análisis de la línea SENO Análisis de la línea Tangente En el cuadrante1 la Tangente crece de 0 a +∞

En el Q2 la Tangente crece de - ∞ a 0 En el Q3 la Tangente crece de 0 a +∞ En el Q4 ,la Tangente crece de - ∞ a 0 - ∞ < Tg α < +∞ Tg 0º = 0, Tg 90º = ∞, Tg 180º = 0, Tg 270º = ∞, Tg 360º = 0

Grafica de funciones Trigonométricas Graficamos, mediante tablas, las siguientes funciones tomando valores angulares desde 0º hasta 360º. Para facilitar el trabajo tomemos ángulos a intervalos de 45º:

260

Funciones Trigonométricas de ángulos negativos Teorema : las funciones trigonométricas del ángulo negativo (-A) son iguales en valor absoluto a las funciones del mismo nombre del ángulo correspondiente positivo (A). El signo algebraico, cambia para todas las funciones excepto para el coseno y la secante. APLICACIONES La principal aplicación que tiene la trigonometría es la resolución de figuras geométricas utilizando las funciones trigonométricas, es decir encontrar la longitud de los lados y medida de ángulos que forman las figuras geométricas. Resolución de triángulos Resolver un triángulo significa determinar el valor de sus 6 elementos, 3 lados y 3 ángulos, para que un triángulo sea resoluble se deben conocer por lo menos 3 de sus elementos y uno

261

de ellos por lo menos debe ser un lado. Partiendo siempre del supuesto que el triángulo puede construirse con los datos dados. Resolución de triángulos rectángulos. En los triángulos rectángulos se parte siempre de conocer un ángulo, es decir el ángulo recto, luego puede completarse los tres datos requeridos con las siguientes posibilidades: - Dos lados - Un lado y un ángulo agudo. En cualquiera de los casos siempre se puede realizar los siguientes pasos para la resolución: 1.- Se realiza una figura que represente al triángulo. 2.- Si se conoce el ángulo agudo, se obtiene el tercer ángulo, por complemento 3.- Dentro de las funciones trigonométricas para ángulos agudos se escoge la mas adecuada que contenga una sola incógnita. 4.- Se comprueba los valores obtenidos utilizando el teorema de Pitágoras por ejemplo. Ejemplo: Resolver el triángulo rectángulo con una ángulo agudo de 25º e hipotenusa de 260u. - Primer paso - Segundo paso: B = 90º - 25º = 65º - Tercer paso: Encontramos a

c

asenA=

260º25

asen =

260423.0

a= a = 109.88u.

Encontramos b

c

bA =cos

260º25cos

b=

260º25cos

b= 260

906.0b= b = 235.64

- Cuarto paso: Comprobamos los valores obtenidos con el teorema de Pitágoras 2602 = 235.642 + 109.882 67600 = 55526.2+12073.6 =67599.8

262

RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS ISOSCELES: Todo triángulo isósceles queda dividido, por la perpendicular bajada del vértice del ángulo desigual al lado opuesto, en dos triángulos rectángulos, luego la solución de un triángulo isósceles se reduce a la resolución de un rectángulo.

RESOLUCION DE POLÍGONOS REGULARES Todo polígono regular de n lados, queda dividido por la recta trazada de su centro a los vértices (radio del circulo circunscrito), en n triángulos isósceles, los mismo que pueden resolverse como triángulos rectángulos que se consiguen trazando la perpendicular del vértice del ángulo desigual (radio del circulo inscrito).

Ejemplo: En este polígono cada ángulo central tendrá por valor 360º dividido para el número de lados (n). Luego el ángulo del triángulo isósceles a resolver será: X= 369º/2n Donde: R= radio del circulo circunscrito r = radio del circulo inscrito o apotema AD = la mitad de la longitud de un lado Ángulo x = 180º /n

263

RESOLUCION DE TRIÁNGULOS OBLICUANGULOS Siempre se debe utilizar las siguientes propiedades geométricas de los triángulos en su resolución: - La suma de los tres ángulos internos es 180º - A mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente. La resolución de triángulos oblicuángulos depende de las siguientes leyes: Ley de los senos Los lados de un triángulo son proporcionales a la función seno de los ángulos opuesto.

senC

c

senB

b

senA

a ==

No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley de los senos, esta se puede aplicar cuando dos de los datos conocidos son: un lado y su ángulo opuesto. Ejemplo: Resolver el triángulo siguiente: A=43º B=27º C=? a=5 b=? c = ? El ángulo c es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma 180°. c = 180° - a – b c=180° -43°- 27° = 180° - 70° = 110° c=110° Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos:

senC

c

senB

b

senA

a ==

Sustituyendo queda:

264

1102743

5

sen

c

sen

b

sen==

De donde b=3.32838 c =6.88925 Ley del coseno En un triángulo cualquiera el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados, menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.

Abccba cos2222 −+= Análogamente:

Baccab cos2222 −+=

Cabbac cos2222 −+= Despejando:

bc

acbA

2cos

222 −+=

ac

bcaB

2cos

222 −+=

ab

cbaC

2cos

222 −+=

Ejemplo: a = ? b = 9 c = 12 A= 25°

265

B = ? C = ? Usando la ley del coseno tenemos sustituyendo:

25cos*12*9*2129 222 −+=a realizando las operaciones queda: a = 5.4071 ANALISIS TRIGONOMETRICO Funciones de sumas y diferencias de dos ángulos:

xsenyysenxyxsen coscos)( +=+

xsenyysenxyxsen coscos)( −=−

senxsenyyxyx −=+ coscos)cos(

senxsenyyxyx +=− coscos)cos( Funciones trigonométricas de ángulos dobles conocidas las del ángulo

xsenxxsen cos22 =

22cos2cos senx −=

1cos22cos 2 −= xx

xsenx 2212cos −=

tgx

tgxxtg

−=

1

22

Funciones de ángulos múltiples: Se debe expresar las funciones de ángulos nx, donde n es un número entero en términos del ángulo x, el método utilizado consiste en expresar en ángulo múltiple nx como la sumas en términos de x. Ejemplo sen(3x)= sen (x+2x) Funciones trigonométricas de un ángulo en funciones de su ángulo mitad:

2cos

22

xxsensenx=

22coscos 22 x

senx

x −=

266

21

22

2 xtg

xtg

tgx−

=

Funciones trigonométricas del ángulo mitad en términos del coseno del ángulo:

2

cos1

2

xxsen

−±=

2

cos1

2cos

xx +±=

x

xxtg

cos1

cos1

2 +−±=

x

senxxtg

cos12 +=

senx

xxtg

cos1

2

−=

x

xxctg

cos1

cos1

2 −+±=

senx

xxctg

cos1

2

+= x

senxxctg

cos12 −=

Transformación de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos:

)(2

1cos)(

2

12 BABAsensenBsenA −+=+

)(2

1)(

2

1cos2 BAsenBAsenBsenA −+=−

)(2

1cos)(

2

1cos2coscos BABABA −+=+

)(2

1)(

2

12coscos BAsenBAsenBA −+−=−

267

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Es una igualdad que contiene funciones trigonométricas y que se cumple para todos los valores de los ángulos para los cuales estás funciones estén definidas. Caminos para la demostración de identidades: 1.- Reducir un miembro o la forma del otro, usando identidades conocidas. En general el miembro más complicado se lleva a la forma del más simple. Si esto no es posible entonces; 2.- Reducir ambos miembros a la misma expresión, luego dos cantidades simultáneamente iguales a una tercera iguales entres sí. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS Las ecuaciones es un igualdad que se cumplen para ciertos valores de ángulo, y resolver una ecuación consiste en encontrar las ángulos para los cuales se cumple. Sugerencias para resolver una ecuación trigonométrica: 1.- Expresar todas las funciones que intervienen en términos de funciones de un mismo ángulo. 2.- Expresar todas las funciones en términos de la misma función. 3.- Resolver algebraicamente considerando como incógnita la única función que interviene ahora en la ecuación.

268

PROBLEMAS TRGONOMETRIAPROBLEMAS TRGONOMETRIAPROBLEMAS TRGONOMETRIAPROBLEMAS TRGONOMETRIA 1. Sabiendo que sena= 0.8 y que 90º<a<180º, cuales son los valores de las funcones

coseno y tangenteres pectivamente

a) 5

4,

5

3− b) 5

4,

5

3 c) 5

4,

5

3 −− d) 5

4,

5

7 − e) 5

8.0,

5

3−

2. Calcula coseno y seno de un ángulo del tercer cu adrante sabiendo que su tangente

es 3

a)2

1,

2

3− b) 2

3,

2

1 −− c) 2

2,

2

3 −− d) 5

3,

5

2 − e) 2

8.0,

5

3−

3. Calcula las razones trigonométricas seno y secan te del menor de los ángulos de un triángulo de lados 12, 13 y 5

a)5

13,

13

5− b) 12

13,

13

5 c) 3

15,

5

3 −− d) 12

5,

5

12 − e) 3

5,

5

3−

4. Calcula, sin usar la calculadora, las razones tr igonométricas coseno y cosecante de 120º

a) 3

2,

2

1 −− b) 2

3,

3

2 c) 3

2,

2

3 − d) 3

2,

2

3 e) 3

5,

5

3

5. Calcula, sin usar la calculadora, las razones tr igonométricas tangente y secante de 225º

a) 2,1−− b) 2,1 c) 2,1− d) 1,2− e) 2,1

6. Calcula, sin usar la calculadora, las razones tr igonométricas tangente y coseno de 270º

a) ∞− ,1 b) 1,−∞ c) 2,1 d) 1,1− e) 2,∞

7. Calcula, sin usar la calculadora, las razones tr igonométricas seno y cotangente o de 1890º

a) 1,1 b) 1,0 − c) 1,∞ d) 0,∞ e) 0,1

8. Calcula el valor del ángulo b sabiendo que a=31º 43´31´´

a) 57º 56´ 8´´ b) 58º 36´12´´

269

c) 58º 16´ 29´´ d) 39º 45´69´´ e) Ninguna de las anteriores

9. Calcula el valor de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) del ángulo mayor del siguiente triángulo

a) 7

5,

4

7,

7

5

b) 7

5,

4

7,

5

7

c) 5

7,

4

7,

4

7

d) 7

5,

7

7,

4

7


10. Sabiendo que 0º< a<90ºy que sen a =5

3, calcula cos a y tan a

a) 4

3,

3

5− b) 5

4,

5

3 c) 3

4,

5

4 d) 4

3,

5

4 e) 5

4,

4

3

11. Sin usar la calculadora, averigua las razones t rigonométricas seno y coseno de:

-1110º

a) 3

2,

3

1− b) 2

1,

2

3 c) 2

3,

2

1− d) 2

3,

2

1 − e) 2

1,

2

3 −

12. Las soluciónes correctas para la ecuación: 024

=−

+ senxxsenπ

para

0º<x<360º son:

a) -210º,270 b) 210º,330º c)-30º,-150º d) 30º,150º e) 150º,210º

13. Las soluciónes correctas para la ecuación: 012 2 =−xsen para 0º<x<360º son:

a)90º,180º b) 45º,90º c)45º,135º d) 30º,120º e) 50º,10º

270

14. Las soluciónes correctas para la ecuación: 01coscos2 2 =−− xx para 0 ≤ <x ≤ 2π son:

a)0,2/3π ,4/3π ,2π b) 0,1/3π ,π ,2π c) 0,3π ,4π ,2π

d) 0,2/3π ,π e) 4/3π ,2π

15. Las soluciónes correctas para la ecuación: 02cos2cos4 222 =−+ xxxsen para 0º<x<360º son:

a)45º,90º,180º,240º b) 0º,60º,120º,240º,300º c)60º,120º150º

d)30º,60º,120º150º e) 0º,45º,90º,180º,360º

16. Las soluciónes correctas para la ecuación: 1cos2

cos2 2 =−

x

x para 0º<x<360º

son:

a) 0º,180º b) 180º,360º c)120º150º d)180º e) 90º, 270º

17. Las soluciónes correctas para la ecuación: 02cos2

2 2 =+

x

xsen para 0º<x<360º

son:

a) 0º,60º,120º,180º b) 60º,90º, 270º,300º c)120º, 180º, 360º

d)0º, 60º, 150º, 180º e) 90º, 270º

18. Calcula: 4

71

4

3cos

4

5 πππsensen −+

a) 2

2 b)

2

3 c)

2

2− d) 3

22 e)

2

25−

19. Halla el valor de la siguiente expresión: ππππ2cos

2

3coscos0cos

2cos5 +−+−

a) 1 b) 2 c) -2 d) -1 e) -2

271

20. Halla el valor de la siguiente expresión:

ππππ 222

30tan2

2cos3tan5 sensen −+−+

a) 3 b) 10 c) 5 d) 0 e) -5

21. Sin usar la calculadora y sabiendo que sen12º = 0.2 y sen 37º =0.8. Hallar sen 49º

a) ( )2215

4 − b) ( )212

3 − c) 2

21−

d) )65(3

22 − e) 2

252 −

22. Sin usar la calculadora y sabiendo que sen12º = 0.2 y sen 37º =0.8 ,halla tan 25º

a)5

4 b)

7

5 c)

7

4 d)

9

5 e) 1

5

4 −

23. Sabiendo ques senx=5

3 y que ππ << x

2, averigua el valor de sen 2x

a)25

24 b)

7

52 c)

27

24− d) 25

24− e) 5

12

24. Al recorrer 0.56 km. por una carretera, cuyo án gulo de inclinación es constante, hemos ascendido 280 m. ¿Qué ángulo forma la carrete ra con la horizontal?

a) 35º b) 60º c) 45º d) 30º e) 50º

25. En un rectángulo de lados 8 cm. y 12 cm. y de v értices A, B, C y D, dibujamos dos puntos M y N sobre su diagonal AC, de forma que los segmentos MB y ND sean perpendiculares a dicha diagonal. Halla la distanci a entre M y N.

a) 15

24 b)

17

20 c)

13

20 d)

23

24 e)

15

12

26. En el interior de un ángulo de 30º dibujamos do s circunferencias de radios 10 cm y 13 cm. tangentes a ambos lados del ángulo (sus cent ros estarán situados sobre la bisectriz del ángulo). Averigua la distancia entre ambos centros.

a) 32

6

− b)

22

5

− c)

31

6

− d)

32

6

+ e)

32

12

−

272

27. Halla la altura de un globo conociendo los dato s del siguiente esquema:

a) ( )212

25 +

b) ( )212

23 −

c) ( )313

25 −

d) ( )312

25 +

e) ( )213

25 +

28. Resuelve un triángulo isósceles sabiendo que el lado desigual mide 20 cm. y uno de sus ángulos mide 30 grados.

a)23

10

− b)

26

20

− c)

26

40

− d)

36

30

− e)

26

40

+

29. Cual es el valor del seno y coseno de un ángulo del tercer cuadrante sabiendo que

su tangente es 3

a)1 1

,23

b) 3 1

,2 2

− c) 3 1

,23

d) 3 1

,2 2

− e) 3 1

,2 2

30. Dada la ecuación trigonométrica ( ) 1º18022 =−xsen , cuales son los ángulos x

menores de 360 grados que son solución.

a) 105º,1600º,290º,330º b) 150º,180º,300º,360º c) 120º,160º,250º,300º d) 105º,150º,285º,330º e) 115º,160º,280º,345º

31. Pasar de grados sexagesimales a radianes 28º

a) 1/4π b) 1/7π c) 2/7π d) 1/5π e) 5/7π

32. Pasar de grados sexagesimales a radianes 258º

a) 40/30π b) 42/17π c) 43/30π d) 41/15π e) 45/27π

273

33. Identificar la expresión trigonométrica identic a a la siguinete:

( )α

αα2cos

º45cos)º45cos(2 −+

a)cosα b) 1/cos2α c) 1 d) senα/cos2α e) senα

34. Hemos colocado los cable AC y BC sobre un mást il CD, según la figura. ¿Cuánto miden los cables y el mástil?

a) AC=20 3

1 3+ BC=

30

1 3+ DC=

20

1 3+

b) AC=20 2

1 3+ BC=

40 2

1 3+ DC=

20

1 3+

c) AC=20 2

1 3+ BC=

40

1 3+ DC=

20

1 3+

d) AC=20

1 3+ BC=

40

1 3+ DC=

20

1 3+

e) AC=20 2

1 3+ BC=

40

1 3+ DC=

20 2

1 3+

35. Encontrar la expresión trigonométrica equivalen te a: 2 21 * 1 cossenα α− −

a) 2cosα b) ½*sen2α c) sen2α d) sen2α/cosα e) senα

36. Encontrar la expresión trigonométrica equivalen te a: 3 2*cossen senα α α+

a) cosα b) sen2α c) senα d) senα/cosα e) senα/2

274

37. Al simplifica la siguiente expresión trigonomét rica:

3 2 2 3cos cos cossen sen senα α α α α α+ + + , su igual es:

a) cosα− senα b) senα+ cosα c) sen2α d) senα∗cosα e) senα∗2cosα

38. Encontrar la expresion trigonométrica equivalen te a: ( ) ( )( ) ( )

cos cosa b a b

sen a b sen a b

+ + −+ + −

a) cosa/ sen2a b) sena*cosb c) ctana d) tanb e) sena*cosa

39. Encontrar la expresion trigonométrica equivalen te a :

*cos( ) cos * ( )senb a b b sen a b− + −

a) sen2a b) sena c) cosa d) senb e) cosb

40. Encontrar la expresion trigonométrica equivalen te a :2

1 cos 2

sen x

x+

a) senx /cos2x b) tanx c) 2tanx d) sen2x e) cos2x

41. Encontrar la expresion trigonométrica equivalen te a :2 2

*1 cos 2 cos

sen a sen a

a a−

a) 2cos2a b) 2cosa c) 4cosa d) 4sen2a e) 4cos2

42. Calcular la altura de una torre si al situarnos a 25 m de su pie, observamos la parte más alta bajo un ángulo de 45º.

a) 28m b) 25m c) 20m d) 50m e) 30m

43. Calcula la altura de un arbol, sabiendo que des de un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 60º y si retrocedemos 10 m, bajo un ángulo de 30º.

a) 4 3 b) 3 3 c) 5 2 d) 5 3 e)

5 2

275

44. Desde la orilla de un río, observamos la copa d e un árbol situado en la otra orilla, bajo un ángulo de 60º. Si nos retiramos 10 m. de la orilla, el ángulo de observación es de 45º. Calcular la altura del árbol y la anchura d el río.

a) 22.6m y 12.6m b) 24.6m y 14.6m c) 23.6m y 13.6m

d)23.6m y 13.6m e) 25.6m y 15.6m

45. Hallar el área de un rectángulo sabiendo que un a diagonal mide 60m y el ángulo obtuso que determinan sus diagonales es 120º

a) 900 3 b) 3600 3 c) 4500 2 d) 225 3 e) 144 3

46. En un triángulo isósceles ABC conocemos el lado BC=80m y el radio de la circunferencia inscrita r=20m. Calcular el área del triángulo y los lados iguales.

a) 1900m2, 8 60 b) 1920m2, 8 61 c) 1890m2, 9 61

d) 900m2,12 60 e) 1900m2, 61

47. Los valores de x comprendidos entre 0º y 180º q ue satisfacen la ecuación:

sen x + 1/sen x = 5/2, son:

a) 20º ,160º b) 45º ,135º c) 30º,150º d) 30º,120º e) 35º,125º


(2sen 2 x + 2) / 2sen x = 5sen x / 2sen x , son:

a) 30º ,160º b) 45º ,130º c) 30º,120º d) 30º,150º e) 40º,120º


sen 2 x - 2cos 2 x = 1 son:

a) 60º b) 90º c) 120º d) 150º e) 180º


sen x + cos 2 x = 1 son:

a) 30º,90º,120º b) 0º,90º,120º c) 0º,45º,90º d) 30º,60º,150º e)0º,90º, 180º

276

51. Encontrar la expresión equivalente a :

xx 2cos1

8

2cos1

8

++

−

a) 4/senx b) 2/cosx c) 4/sen2x d) 2senx/cosx e) 4cos2x

52. Sean A, B, C tres vértices consecutivos de un h exágono regular de lado 10, y M el punto medio del lado BC. Determinar la longitud del segmento AM.

a) 9 2 b) 14 3 c) 7.5 2 d) 7.5 3 e) 6 2

53. Calcular el área y el perímetro del siguiente p ológono, sabiendo que el triángulo ABC es equilátero y ACDE es un trapecio isósceles.

a) 30u2, 22u b) 34u2, 20.5u c) 30u2, 22.5u d) 32u2, 25u e) 40u2, 22.5u

277

GEOMETRÍA ANALÍTICA Segmento rectilíneo dirigido Definimos a un segmento rectilíneo como aquella parte determinada de una recta. En la siguiente figura es posible ver un segmento de la recta L, este segmento se encuentra determinado por los puntos A y B, y la notación que se usa para representar a ese segmento es AB.

Ahora bien, tras definir el concepto de segmento rectilíneo, solo basta agregar el concepto de dirección a dicho segmento y con esto tenemos ya la definición de un segmento rectilíneo dirigido. Llámese segmento rectilíneo dirigido a todo segmento rectilíneo con una dirección.

El segmento AB tiene dirección (indicada por la flecha), la dirección del segmento se indica también en la nomenclatura ya que un segmento AB es aquel que va de A hacia B mientras que un segmento BA es aquel que va de B hacia A; como una consecuencia de esto las dimensiones de los segmentos AB y BA tienen igual magnitud absoluta pero signos

diferentes; es decir: BAAB −= Ejemplo. La línea mostrada en la figura tiene sentido positivo de izquierda a derecha, exprese

AC en función de los otros segmentos.

A

B lC

Soluciones posibles: CBABAC

BCABAC

−=

+=

Distancia entre dos puntos Es el valor absoluto (siempre positivo) del segmento que une esos dos puntos. Dados los

puntos ( )111 , yxP y ( )222 , yxP la distancia entre P1 y P2 viene dado por:

( ) ( )212

21221 yyxxPPd −+−==

278

Ejemplo. Encuentre la distancia entre los puntos

( )3,21 −=P y ( )2,32 −=P

( )( ) ( ) 1036643326 22

21=+=−−+−−=

PPd

División de un segmento en razón dada: Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB , de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r: PA/PB=r Las coordenadas del punto P que divide a un segmento dirigido AB de extremos A(x1,y1) b(x2,y2) en una razón r =AP:PB , se obtienen mediante las relaciones:

1 2

1 2

1

1

x rxx

ry ry

yr

+=++=+

Caso particular: las coordenadas del punto medio un segmento dirigido AB de extremos A(x1,y1) b(x2,y2) se obtienen con las relaciones:

1 2

1 2

2

2

x xx

y yy

+=

+=

Ejemplo ¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales?

1 31 5

2 2 11 3

12 2

13 6 02 0

1 31

2 2

xp

yp

− += = =

+

− += = =

+

21 5 91 3

2 311

23 6 91 3

2 311

xq

yq

− += = =

+

− += = =

+

P(1,0) Q( 3, 3)

( )3,62 −P

( )3,21 −P

279

Angulo de inclinación de una recta Es el ángulo medido de manera anti-horaria (contra las manecillas del reloj) entre la parte positiva del eje de las x (abscisas) y la recta. Ejemplo. En la gráfica se tienen 2 rectas l y l´, con ángulos respecto del eje x de a y a´ respectivamente. El ángulo de inclinación varia entre 0º y 180º.

α'α

'l l

Ox

y

Pendiente de una recta La pendiente de una recta, generalmente denominada como m, es la tangente de su ángulo de inclinación; es decir, m=tan (a). En base a la figura mostrada a continuación y usando la definición de la tangente tenemos que:

( ) ( )( ) 12

12

12tan xxxx

yy

adyacentecatetoopuestocateto

m ≠−−

=== α

Por lo tanto dados dos puntos de una recta se puede definir su pendiente y su ángulo de inclinación. Como se puede ver en la expresión para la pendiente si los dos puntos usados para definir la pendiente tienen el mismo valor de la abscisa (valor de x), el valor de m es infinito. Las rectas que tienen un ángulo de inclinación de 90º son paralelas al eje Y , y no tienen pendiente. Ángulo entre dos rectas Bajo el principio que dos rectas que no son paralelas se cortan en un único punto, los ángulos

entre 2 rectas son los mostrados en la figura. Para la determinación de 1θ se pueden usar las

pendientes de las rectas 1l y 2l de la siguiente forma:

α

l

Ox

y

( )222 ,yxP

( )111 ,yxP( )

32112 xx −

α

O

2θ

1θ

C

BA

1α2α

1l2l

x

y

280

21

121 1

tanmm

mm

+−

=θ

En donde 21, mm son las pendientes de las rectas 1l y 2l respectivamente.

De igual manera si queremos encontrar 2θ la ecuación a usar es la siguiente:

21

211 1

tanmmmm

+−

=θ

Para saber exactamente como usar una u otra ecuación se debe visualizar lo siguiente:

finalinicial

inicialfinal

mm

mm

+−

=1

tanθ

En donde finalinicial mym están definidas por el sentido del ángulo el cual siempre se considera antihorario (ver sentido de las flechas en el gráfico). Condición de perpendicularidad La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares entre si es que el producto de sus pendientes sea -1; es decir:

121 −=⋅ mm Si analizamos la ecuación para determinar el ángulo entre dos rectas nos podemos dar cuenta que la condición de perpendicularidad está contenida en esta ecuación (analizar el denominador).

Ejemplo. Determine si la recta 1l definida por los puntos ( )2,2 −−A y ( )3,3B es perpendicular

(normal) a la recta 2l definida por los puntos ( )4,4 −C y ( )6,6−D .

( )( )( )

( ) 111

110

104646

12323

21

2

1

−=−⋅=⋅

−=−

=−−−−=

=−−−−=

mm

m

m

Por lo tanto las rectas si son perpendiculares. Condición de paralelismo La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas entre sí es que sus pendientes sean iguales; es decir:

21 mm =

281

LA LINEA RECTA Es un grupo de puntos tal que si tomamos 2 de ellos y calculamos la pendiente usando la

ecuación 12

12

xx

yym

−−

= este es un valor constante para cualquier par de puntos.

Ecuación de una recta dada un punto y la pendiente

La recta que pasa por el punto ( )111 , yxP y tiene la pendiente m, tiene por ecuación:

( )11 xxmyy −=−

Ejemplo. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )2,1P y tiene una pendiente de -2.

( )xyxy

xyxy

24222

222122

−=++−=+−=−−−=−

Ecuación de una recta dada dos puntos

La recta que pasa por los puntos ( )111 , yxP y ( )222 , yxP , tiene por ecuación:

( )121

211 xx

xx

yyyy −

−−

=− .

Esta ecuación se obtiene fácilmente mediante la sustitución de la ecuación para la pendiente

de una recta en la ecuación ( )11 xxmyy −=− . Distancia de un punto a una recta Cuando se solicita hallar la distancia desde un punto P a una recta l nos referimos a la distancia más corta desde P a la recta l; esta distancia está medida sobre la recta perpendicular a l, por lo tanto, en este tipo de problemas lo que se debe hacer es determinar la ecuación de la recta que pasa por P y es normal a l, luego se debe hallar el punto Q de intersección de las dos rectas; la distancia solicitada es la distancia del punto P al punto Q.

Ejemplo. Determine la distancia del punto ( )5,2−A a la recta cuya ecuación es: 32 −= xy Condición de perpendicularidad

121 −=⋅ mm Pendiente de la recta dada = 2 por lo tanto:

2112 11 −=−=⋅ mm

Ecuación de la recta dada un punto y su pendiente ( ) ( )( ) ( )

24

2215

11

xy

xy

xxmyy

−=

+−=−

−=−

Obtenemos el punto de corte de la recta dato y la obtenida: P(14/5, 13/5)

282

Y por último obtenemos la distancia entre A y P que será la distancia entre el punto A y la recta dada. Ecuación de la circunferencia Definición: Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio. Teorema1: La circunferencia con centro en el punto (h,k) y radio r, tiene por ecuación:

222 )()( rkyhx =−+−

Esta ecuación se conoce como segunda forma ordinaria de la circunferencia. Corolario: La circunferencia de centro en el origen y radio r Tiene por ecuación:

222 ryx =+

Esta ecuación se conoce como primera forma ordinaria o canónica de la circunferencia

283

Traslación de ejes coordenados:

Suponiendo un sistema de coordenadas inicial con origen en O y ejes x e y las coordenadas de un punto A dado, en este sistema son:

Dado un segundo sistema de referencia de origen O´ y ejes x´ e y´. Siendo los centros de coordenadas de los sistemas 0 y 0´, puntos distintos, y los ejes x, x´; e y, y´ paralelos dos a dos, y las coordenadas de O´, respecto a sistema Oxy son:

´( , )O h k Se dice traslación del origen, a calcular las coordenadas de A en el sistema O´xý´, según los datos anteriores. Que llamaremos:

Dados los puntos O, B y C sobre el eje de las X y los puntos O, D y E sobre el eje de las y tenemos que por suma de segmentos dirigidos:

A

A

x OB BC

y OD BC

= += +

Pero por segmento de paralelas comprendidas entre paralelas tenemos: BC igual a xÁ ,OB igual a h, OD igual a k y BC igual a yÁ , tenemos::

´

Á A

A A

x h x

y k y

= += +

Esta dos expresiones que relacionan las coordenadas leídas en el un sistema original y una en traslación con respecto a este se constituyen la ley de traslación.

284

Rotación alrededor del origen

Dado un sistema de coordenadas en el plano con origen en O y ejes x e y, un punto A del plano, se representara en este sistema tiene por coordenadas:

Para un segundo sistema de referencia girado un ángulo , respecto al primero, las coordenadas del punto A, respecto a este segundo sistema de referencia serán :

Hay que tener en cuenta que el punto y son el mismo punto, ; empleamos una denominación u otra para indicar si las coordenadas están determinadas con respecto a uno u otro sistema de referencia, llamando r a la distancia del punto A con respecto al origen que es la misma en ambos sistemas tenemos:

( )( )

cos cos cos

cos cos

A

A

x r r rsen sen

y rsen rsen r sen

α β α β α βα β α β α β

= + = −

= + = +

En el sistema rotado las coordenadas del punto se pueden expresar como:

´

´

cosA

A

x r

y rsen

ββ

=

= Remplazando en con las expresiones de las coordenadas en el sistema original tenemos:

´ ´

´ ´

cos

cosA A A

A A A

x x y sen

y x sen y

α αα α

= −

= + Ecuaciones que relaciones las coordenadas del sistema original con las del sistema rotado es expresan la ley que gobierna la rotación.

285

LA PARABOLA Definición.- una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz.

En el gráfico tenemos los siguientes elementos de la parábola: F foco ; l recta directriz ; la recta a que pasa por F y es perpendicular a l se llama eje de la parábola; A punto de intersección entre la directriz y el eje de la parábola; V punto medio del segmente AF se denomina vértice de la parábola; BB´segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola se denomina cuerda, cuerda que para por el foco tal como CC´se denomina cuerda focal, cuerda focal tal como LL´que es perpendicular al eje se denomina lado recta de la parábola, y por último segmento de recta que une el foco con uno cualesquiera de los puntos de la parábola se denomina radio vector del punto por ejemplo el segmento PF. Ecuación de la Parábola con vértice en el origen y como eje un eje coordenado:

pxy 42 =

286

Esta ecuación corresponde a la parábola del gráfico, es decir con su vértice en (0,0), foco de coordenadas (p,0) y su directriz de ecuación x= -p Análisis de la ecuación: - Intersecciones: para x = 0, y = 0 , por lo tanto pasa por el origen - Simetría.- si reemplazo y por –y la ecuación no se altera por lo tanto es simétrica con respecto al eje X. Extensión: despejando y tenemos

pxy 2±=

Por lo tanto para que exista valor real de y p y x deben tener el mismo signo, así que si F esta en la parte positiva del eje X, x puede tener solo valores positivos y se dice que la parábola se abre hacia la derecha, de lo contrario es decir con p negadito la parábola se abre a la izquierda. Y puede tomar todos los valores reales positivos y negativos. - Asíntotas: la parábola no tiene asíntotas verticales ni horizontales Si el eje de la parábola esta en el eje Y y el vértice esta en el origen la ecuación sería:

pyx 42 =

La ecuación de la recta directriz sería y= -p y si p>0 la parábola se abre hacia arriba, y si p<0 la parábola se abre hacia abajo. En cada caso la longitud del lado recto es 4p Estas formas de ecuación se conocen como primera forma ordinaria de la parábola.

287

PROBLEMAS DE APLICACIÓN GEOMETRIA ANALITICA

1. Demuestra, mediante la fórmula de distancia, que los siguientes puntos son coloniales, A( 0,4 ) B( 3,-2 ) C( -2,8 )

2. Halla la distancia entre los puntos de coordenadas: A( 4 , 1 ) y B( 3 , -2 )

a) 10 b)13 c)12 d)11 e)8

3. Halla el punto de abscisa 3 que diste 10 unidades del punto: P (-3, 6).

a) A( 3,10 ) y B(3,-1 ) b) A( 3,12 ) y B(3,-2 ) c) A( 3,14 ) y B(3,-2 ) d) A( 3,11 ) y B(3,-3 ) e) A( 3,14 ) y B(3,0 )

4. Calcula las coordenadas del punto medio del siguiente segmento: A( 3,4 ) y B( 1,-2 )

a)( 2,4) b)( 2,1) c)( 1,4) d)( 1,2) e)( 2,3)

5. Dados los puntos P1(2,-3) y P2(-1,2), encontrar las coordenadas del punto sobre P1P2 que dista doble de P1 que de P2

a) ( 1,1/2) b) ( 0,1) c) ( 0,1/3) d) ( 1,3/2) e) ( 3,1/2)

6. Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos: A( 3,4 ) y B( 1,-2 )

a) 8/4 b)3/2 c)3 d)2/3 e)2

7. Halla las inclinaciones de las rectas que pasan por los puntos: A( 4,6 ) y B( 1,3 )

a) 30º b)55º c)45º d)60º e)90º

8. Dados los puntos M(2,2) y N(5,-2) determinar un punto P en el eje de las abscisas que forme un ángulo MPN de 90º.

a) (5,0) y (2,0) b) (6,0) y (2,0) c) (6,0) y (1,0) d) (4,0) y (1,0) e) (5,0) y (2,0)

288

9. Aplicando el concepto de pendiente, averigua la posición relativa en el plano de los puntos siguientes A(4,1 ) B( 5,-2 ) C( 6,-5 )

a) vertives de un triángulo b) puntos de una linea quebrada c) B punto medio del segmento AC d) colineales e) puntos de trisección de un segmento de recta

10. Aplicando el concepto de pendiente, determine de que tipo de triángulo son vértices los puntos siguientes A( 6,5 ) B( 1,3 ) C( 5,-7 )

a) Isosceles b) equilátero c) rectángulo d) acutángulo e) obtusángulo

11. Determinar vértices de que tipo de cuadrilátero son los puntos siguientes: A( -1,-2 ) B( 0,1 ) C( -3,2 ) y D( -4,-1 )

a) trapecio b) trapecio isosceles c) cuadrado d) rectángulo e) rombo

12. Los puntos (2,1),(6,2),(5,6) y (1,5) son los vértices de un cuadrado, los valores de su perímetro y el área son:

a) 10+ 15; 10* 15

b) 10+2 15; 10* 15

c) 10+ 17 ; 10* 17

d) 10+2 17; 10* 17

e) 10+3 15; 10* 15

13. Los puntos (-1,5),(3,12),(7,9) y (7,4) son vértices de un romboide: calcular luego su perímetro y área.

a) 11 652+ ; 45

b) 10 652+ ; 40

c) 10 65+ ; 45

d) 9 602+ ; 40

e) 11 653+ ; 40

289

14. Los puntos (2,2),(11,2) y (8,8) son los vértices de un triángulo calcular el perímetro de dicho triángulo.

a) 3(3 )322 ++

b) 3(3 )533 ++

c) 3(3 )522 ++

d) 1.5(3 )522 ++

e) (3 )522 ++

15. Los vértices de la base de un triángulo isósceles son los puntos (-1,1) y (3,1), hallar las coordenadas del tercer vértice.

a) ( 1,2 32± )

b) ( -1,-1 32± )

c) ( -1,1 32± )

d) ( 1,-1 32± )

e) ( -1,3 32± )

16. El lado de un rombo mide 5 10 y dos de sus vertices opuestos son los puntos (4,9) y (-2,1) determinar el valor de su área.

a) 120 b)130 c)150 d)100 e)125

17. Dada la recta cuya ecuación es 3X + 2Y – 5 = 0. ¿Determine por cual es su pendiente?

a) 3 b)-3 c)-1.5 d)3/2 e)2/3

18. Dada la ecuación de la recta AX + BY + C = 0 los puntos de intersección con los ejes coordenados son:

a) X = 0 ; Y = 0 con C ≠ 0 b) X = -(C/A) ; Y = -(C/B) c) X = -(C/B) ; Y = -(C/A) d) X = (C/A) ; Y = (C/B) con C ≠ 0

19. Calcular el área del triángulo que la recta 3x-4y-12=0 forma con los ejes coordenados.

a) 5 b)10 c)6 d)5.25 e)8

290

20. Los vértices de un triángulo son los puntos A(0.0); B(4,2) y C(-2,6) encontrar la ecuación de la recta que contiene el lado BC.

a) 3x+2y=14 b) 2x+3y-12=0 c) 2x+2y=9 d) 2x+3y-14=0 e) 5x-6y-1=0

21. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4,8/3) y la intersección de las rectas 3x-4y-2=0 y 9x-11y-6=0-

a) 13x+11y+14=0 b) 12x-15y-8=0 c) 21x+2y-8=0 d) 5x+3y-44=0 e) 15x-16y-1=0

22. Las ecuaciones de dos rectas son B

YY

A

XX 11 −=

− y

D

YY

C

XX 22 −=

−

respectivamente: Son perpendiculares si y sólo si:

a) AC + BD = 0 b) AC – BD = 1 c) AD + BC = 0 d) AD –BC = 1 e) Ninguna de las anteriores

23. Las ecuaciones de dos rectas son AX + BY + C = 0 y DX + EY + F = 0 respectivamente: Son coincidentes si y sólo si:

a) A/D = B/E = C/F b) AE = BD y C= F c) AD = BE = CF d) AB = DE = CF e) Ninguna de las anteriores

24. 19.- Las ecuaciones de dos rectas son AX + BY + C = 0 y DX + EY + F = 0 respectivamente: Se cortan en un punto y solamente en un punto si:

a) AD + BE = 0 b) AE – BD = 0 c) AE – BD ≠ 0 d) AD + BD = 0 e) Ninguna de las anteriores

291

25. Los puntos A(-1,1), B(3,1) y C(3,7) definen el triangulo ABC, ¿Cuál es el valor de la tangente del ángulo C?

a) 2/3 b)-2/3 c)3/2 d)-3/2 e)Ninguno de los anteriores

26. Si P1 (X1; Y1) y P2 (X2; Y2) son puntos diferentes de una recta entonces su pendiente m está dada por:

a) 11

22

YX

YXm

++=

b) 12

12

YX

XYm

−−

= Con X2 ≠ Y1

c) 12

12

XX

YYm

−−= Con X2 ≠ X1

d) 12

12

XX

YYm = Con X2 ≠ 0 y X1 ≠ 0

27. Dada la ecuación de la recta ax+by+c=0 y asumiendo que todos sus coeficientes son diferentes de cero. ¿Cuáles son las coordenadas del corte de la recta con el eje y?

a) (c/b,0) b) (-c/b,0) c) (0,c/b) d) (0,-c/b) e) Ninguno de los anteriores

28. Las ecuaciones de dos rectas son: B

yy

A

xx 11 −=

− y D

yy

C

xx 22 −=

− , estas líneas

NO se cortan en ningún punto si y solo si:

a) BC=-AD b) BC=AD c) AB=CD d) AB=-CD e) Ninguno de los anteriores

29. Las coordenadas del punto P (1; 0) referidos a los ejes coordenados cuando giran un ángulo de 90 grados son:

a) (1; 0) b) (-1; 0) c) (0; 1) d)(0; -1) e) Ninguna de las anteriores

292

30. La ecuación de la curva X² + Y² = r² cuando giran los ejes coordenados un ángulo θ toman la forma:

a) X² + Y² = r² sen² θ d) X² + Y² = r²cos² θ b) X² + Y² = r² e) X² cos² θ + Y² sen² θ = r² c) Ninguna de las anteriores

31. Dados los puntos P1 (X1; Y1) y P2(X2; Y2) cuando trasladamos paralelamente los ejes coordenados al punto P1 las nuevas coordenadas del punto P2 son:

a) a) P2(X2; Y2) b) b) P2((X2+X1); (Y2+Y1)) c) c) P2((X2-X1); (Y2-Y1)) d) d) P2((X2X1); (Y2Y1)) e) e) Ninguna de las anteriores

32. Hallar la ecuación de una circunferencia que tiene como extremos de uno de sus diámetros los puntos A(-2,3) y B(4,-1).

a) (X-1) ² +(Y-1) ² = 13 b) (X² + Y² = 34 c) ( X+2) ² +(Y+1) ² = 144 d) (X² + Y² = 115 e) (X-2) ² +(Y+1) ² = 12

33. Hallar la ecuación de una circunferencia tangente a los dos ejes coordenados que tiene radio igual a 6 y se encuentra en el segundo cuadrante.

a) (X-2) ² +(Y-3) ² = 36 b) X² + Y²-12X-12Y+36 = 0 c) ( X+2) ² +(Y-6) ² = 144 d) X² + Y² = 36 e) (X-3) ² +(Y-3) ² = 36

34. Determinar el centro y radio de la circunferencia de ecuación 3x2+3y2+4y-7=0

a) (0,2/3);5/3 b) (0,-2/3);5/3 c) (1,2/5);5/2 d) (0,-2/7);7/3 e) (0,2/5);5/7

293

35. Encontrar la ecuación de la circunferencia de radio 10 que se tangente al eje e las X y tiene su centro en la recta x=2y.

a) X² + Y²-20X-20Y+400 = 0; X² + Y²+40X+20Y+400 = 0; b) X² + Y²-40X+20Y+400 = 0; X² + Y²+40X+20Y-400 = 0; c) X² - Y²-40X-20Y+400 = 0; X² + Y²+40X+20Y+400 = 0; d) X² + Y²+40X+20Y-400 = 0; X² + Y²+40X+20Y+400 = 0; e) X² + Y²-40X-20Y+400 = 0; X² + Y²+40X+20Y+400 = 0;

36. La ecuación de una parábola está dada por 16

2Xy = +3 el foco está en:

a) P(4; 0) b) P(0; 7) c)P(4;7) d) P(0; 4) e) Ninguna de las anteriores

37. La ecuación de una parábola está dada por Xy 16= el foco está en:

a) P(4; 0) b) P(0; 7) c)P(4;7) d) P(0; 4) e) Ninguna de las anteriores

38. 33.- La ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje Y, y pasa por el punto P(6; 3) es:

a) 332 −= Xy b) Y² = X + 3

c) 12

2Xy = d) Y = 2X – 9


39. 34.- La ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje X, y pasa por el punto P(3; 6) es:

a) 33 −= XY b) Y² = X + 33

c) 12

2Xy = + 21/4 d) XY 122 =


294

ANEXO 1

INSTRUCTIVO BÁSICO PARA RENDIR EL EXAMEN DE ADMISI ÓN

• Con la finalidad de que pueda rendir el examen, se recomienda revisar que su nombre esté constando en los listados de inscritos que se exhibirán en la página de la Facultad http://ingeniería.ucuenca.edu.ec a partir del 15 de Julio de 2011.

• En vista del elevado número de aspirantes, el examen se receptará en dos grupos. Por lo tanto, se recomienda revisar en los listados que se exhibirán en las carteleras de la Facultad dos días previos al examen, en donde constará: el grupo, el aula y la hora que le corresponde rendir el examen.

• Se recomienda a los aspirantes llegar con 20 minutos de anticipación para ubicar el

aula correspondiente donde se receptará el examen.

• Para el ingreso a rendir el examen, el aspirante debe presentar la cédula o el pasaporte.

• Solo se permite al aspirante portar esfero, lápiz y borrador.

• Está prohibido el uso de calculadoras científicas, teléfonos celulares (deben

permanecer apagados mientras dure el examen).

• Los cupos fijados para cada carrera, serán asignados a aquellos aspirantes que obtengan las mejores calificaciones, siendo la nota mínima a considerar CUARENTA DE CIEN PUNTOS (40/100).

LA FACULTAD DE INGENIERÍA NO DICTARÁ NINGÚN CURSO

PROPEDÉUTICO, POR LO TANTO NO SE RESPONSABILIZA POR LOS CURSOS QUE SE DICTEN FUERA DE LA UNIVERSIDAD.

Education

Banco de problemas