Book คู่มือโปรแกรมสำเร็จรูป mathcad mathematica matlap maple

รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธาภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร

จฬาลงกรณมหาวทยาลย

ประยกตการคานวณกบเนอหาวชาคณตศาสตร ม. ปลาย แคลคลสสมการเชงอนพนธการวเคราะหเชงตวเลขพชคณตเชงเสนความนาจะเปนและสถตคณตศาสตรขนสง

คณตศาสตรปรนย เลมท 28

คมอ โปรแกรมสาเรจรป

Mathcad Mathematica MATLAB Maple

รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

คณตศาสตรปรนย เลมท 28

คมอโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathematica MATLAB Maple

ผเขยน รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา

พมพครงท 1 ตลาคม พ.ศ. 2546

สงวนลขสทธตามพระราชบญญตลขสทธ

ขอมลบรรณานกรมหอสมดแหงชาต

ดารงค ทพยโยธา

คณตศาสตรปรนย เลมท 28 คมอโปรแกรมสาเรจรป mathcad mathematica

- - กรงเทพฯ : โรงพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2546.

408 หนา

1. โปรแกรมคอมพวเตอร 2. การเขยนโปรแกรม(คอมพวเตอร) .I. ชอเรอง

005.1

ISBN 974–13–2564–9

จดจาหนายโดย ศนยหนงสอจฬาลงกรณมหาวทยาลย

ถนนพญาไท เขตปทมวน กรงเทพฯ 10330

ศาลาพระเกยว โทร. 0–2218–7000 โทรสาร 0–2255–4441

สยามสแควร โทร. 0–2218–9888 โทรสาร 0–2254–9495

สาขา ม.นเรศวร จ.พษณโลก โทร. 0–5526–0162–5 โทรสาร 0–5526–0165 CALL CENTER 0–2255–4433 http://www.chulabook.com

พมพท โรงพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย โทร. 0–2218–3563–4, 0–2215–3612 http://www.cuprint.chula.ac.th

คานา การประยกตใชงานทางดานคณตศาสตร ในสาขาตาง ๆ เชน สาขาวศวกรรมศาสตร สาขาวทยาศาสตร

และสาขาอน ๆ ทจาเปนตองใชการคานวณ เครองมอทใชในการคานวณทางดานคณตศาสตรตงแตอดตจนส

ปจจบนจงมความสาคญมากเชน เครองคานวณแบบใชเฟองของนกคณตศาสตรชาวฝรงเศส Blaise Pascal

เครองคานวณของนกคณตศาสตรชาวเยอรมน Gottfried Wilhelm von Leibniz ลกคดของชาวจน ไมบรรทด

คานวณ (slide rule) เครองคดเลข เมอมาสยดของคอมพวเตอร กเรมมภาษาคอมพวเตอรทสนบสนนการ

คานวณทางคณตศาสตร เชน ภาษาเบสก ภาษาฟอรแทรน ภาษาปาสคาส แตในปจจบนหากตองการคานวณ

เพอใหไดผลเรวทสด นกเรยน นสต นกศกษา ครและอาจารยผสอนทกทาน นาจะเลอกใชโปรแกรมสาเรจรปท

ชวยในการคานวณทางคณตศาสตร

ในปจจบนโปรแกรมสาเรจรปทมความสามารถสงและไดรบความนยมในการใชงานกนมากคอ

โปรแกรม Mathcad Mathematica MATLAB และ Maple

ตวอยางความสามารถในการคานวณของ Mathcad Mathematica MATLAB และ Maple เชน

- ทาการคานวณไดแบบเครองคดเลขและมฟงกชนทางคณตศาสตรใหใชมากมายเชน sin cos tan log

- สามารถคานวณในรปแบบ เวกเตอร เมทรกซ จานวนเชงซอน

– สามารถเขยนกราฟไดมากมายหลายรปแบบ เชนกราฟ 2 มต 3 มต พกดเชงขว กราฟพนผว

– มฟงกชนในกลมของคณตศาสตรขนสงใหใชงานเชน ฟงกชนแกมมา ฟงกชนเบสเซล ฟงกชนเลอจองด

– สามารถทาการจดรปพชคณต เชน การกระจาย การแยกตวประกอบ ทงพหนามและฟงกชนตรโกณมต

- สามารถคานวณ ลมต อนพนธ อนทกรล เพอใหไดผลลพธทงแบบเปนคาตวเลขและเปนสตร

– สามารถหา รากสมการ ผลเฉลยระบบสมการ ผลเฉลยสมการเชงอนพนธ และ ระบบสมการเชงอนพนธ

– สามารถนาคาสงตาง ๆ มาเขยนเปนโปรแกรมเพอทาการคานวณทางคณตศาสตรทยงยากซบซอนได

ในการเขยนหนงสอคมอเลมน ผเขยนไดแบงเนอหาการใชงานของทกโปรแกรมออกเปน 7 บทเหมอนกน

เพอทผอานจะไดเหนเนอหาในลกษณะเปรยบเทยบกน และสามารถเลอกใชงานโปรแกรมทง 4 โปรแกรมได

อยางเหมาะสมกบปญหาทางคณตศาสตร เนอหาทง 7 บทเปนดงน

บทท 1. ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม

ในบทนขอแนะนาใหอานใหครบทง 4 โปรแกรม เพอจะไดเหนความสามารถโดยรวมของโปรแกรม

สาเรจรปทมชอเสยงในปจจบน

บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป

ในบทนกลาวถงการเรยกโปรแกรมขนมาใชงาน การพมพคาสงคานวณ การคานวณคาทาง

คณตศาสตรตาง ๆ ในบทนขอแนะนาใหผอานศกษาดวยการทางานหนาคอมพวเตอร ฝกหดดวย

การพมพตามคาแนะนาของคมอ จะไดเขาใจวธการใชงานมากยงขน

บทท 3. การเขยนกราฟ

งานทางดานคณตศาสตร กราฟ เปนเรองทสาคญมาก จงแยกออกมาเปนหนงบทตางหาก เพอ

ผอานจะไดเหนการเขยนกราฟในรปแบบตางๆ และปรบเปลยนรปแบบของกราฟใหสวยงาม

บทท 4. การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม

ในบทนจะกลาวถงการทาการโดยทวไปเมออยหนาจอภาพของโปรแกรมสาเรจรป เชน การ copy

สตร การ paste สตร การเปดการปดแฟมขอมล และคาสงทางคณตศาสตรทสาคญ

บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของโปรแกรมสาเรจรป

โปรแกรมทง 4 โปรแกรมมคาสงและโครงสรางทสนบสนนการทางานแบบโปรแกรม ดงนนเราจง

สามารถเขยนโปรแกรมเพอคานวณคาทางคณตศาสตรทมความซบซอนได

บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย

ในบทนจะนาความสามารถของโปรแกรมสาเรจรปไปชวยในการคานวณคาตาง ๆ ทางคณตศาสตร

สาหรบนกเรยน ม. ปลาย และแนวทางในการเฉลยขอสอบ entrance

บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษา

เปนการประยกตความสามารถของการคานวณกบปญหาทางคณตศาสตรในระดบอดมศกษา เชน

แคลคลส สมการเชงอนพนธ การหาผลเฉลยเชงตวเลข ความนาจะเปนและสถต พชคณตเชงเสน

และ คณตศาสตรขนสง

จากประสบการณของผเขยน ในการสอนคณตศาสตรและการใชงานโปรแกรมสาเรจรปใหกบนสต ขอ

แนะนาวาโปรแกรม Mathcad จะเปนโปรแกรมทใชงานไดงาย แตถาสนใจการประยกตใชงานดวยการเขยน

โปรแกรมขอใหเรมตนศกษากบ Mathematica MATLAB และ Maple เมอใชโปรแกรมเปนอยางนอย 1

โปรแกรมแลว จะเขาใจการใชงานโปรแกรมทเหลองายขน

ผเขยนขอฝากความคดเหนไปยง ผมหนาทจดทาหลกสตรทางดานการเรยนการสอนในสาขาทตองม

การคานวณมาก ๆ เชน สาขาวศวกรรมศาสตร สาขาวทยาศาสตร จะเหนวาเมอประมาณ 30 – 40 ปทแลว

นสตนกศกษาทกคนตองใชไมบรรทดคานวณ (slide rule) เปน และในชวง 20 ปทผานมานสตนกศกษาทกคน

ตองใชเครองคดเลขและเรยนภาษาคอมพวเตอรอยางนอย 1 ภาษา จดมงหมายกคอตองการแกปญหาทางดาน

การคานวณ ปจจบนน โปรแกรม Mathcad Mathematica MATLAB และ Maple นบไดวามความสามารถ

เทยบเทาภาษาคอมพวเตอรและมความสามารถในการคานวณดกวา นาจะสอนใหนสตนกศกษาทกคนในสาขา

วศวกรรมศาสตร สาขาวทยาศาสตร ใชโปรแกรม Mathcad Mathematica MATLAB และ Maple อยางนอย 1

โปรแกรม เพอประโยชนในการคานวณระดบสงตอไป

สดทายนหวงวาหนงสอเลมนจะเปนประโยชนตอผอานทกทานทตองการเครองมอในการคานวณ และ

ขอขอบคณผอานทกทานทตดตามผลงานของผเขยนมาจนถง คณตศาสตรปรนย เลมท 28 น

ดารงค ทพยโยธา

สารบญ

Mathcad

บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathcad......................................... 1 – 10

บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad........................................................ 11 – 48

บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad................................................................ 49 – 72

บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad........................................ 73 – 84

บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad............................................. 85 – 90

บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad..................................... 95 – 104

บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad.............................................. 105 – 120

Mathematica

บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathematica................................... 1 – 10

บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica.................................................. 11 – 34

บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathematica.......................................................... 35 – 50

บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathematica.................................. 51 – 62

บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathematica........................................ 63 – 68

บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathematica................................ 69 – 78

บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica........................................ 79 – 94

MATLAB

บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม MATLAB...................................... 1 – 10

บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB..................................................... 11 – 30

บทท 3. การเขยนกราฟดวย MATLAB............................................................. 31 – 46

บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB...................................... 47 – 62

บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ MATLAB........................................... 63 – 72

บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย MATLAB................................... 73 – 80

บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย MATLAB........................................... 81 – 90

สารบญ Maple

บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Maple............................................. 1 – 8

บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple............................................................ 9 – 28

บทท 3. การเขยนกราฟดวย Maple.................................................................... 29 – 44

บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Maple............................................ 45 – 56

บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Maple.................................................. 57 – 64

บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Maple.......................................... 65 – 74

บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple................................................... 75 – 92

บทนา

Mathcad โปรแกรมสาเรจรป Mathcad เปนโปรแกรมชวยแกปญหาตางๆ ทางคณตศาสตรไดทงระดบ

มธยมศกษา และ ระดบอดมศกษา โปรแกรม Mathcad เปนโปรแกรมทมความสะดวกตอการใชเปนอยางมาก

เพราะสามารถทจะทาการคานวณโดยตรงแบบเครองคดเลขหรอจะคานวณในรปแบบโปรแกรมกได การใช

งานของโปรแกรมคลายกบการทดเลขบนกระดาษหรอบนกระดานดา กลาวคอเมอเราเขยนสตรหรอพมพสตร

เสรจ เมอกดเครองหมายเทากบกจะไดผลของการคานวณตามทตองการ

การใชงานของโปรแกรม Mathcad เมอเปรยบเทยบกนโปรแกรมอน ๆ จะมขอแตกตางบางอยางทสาคญเชน

• บนจอภาพของ Mathcad เราจะพมพสตรคานวณ ณ ตาแหนงทวางใด ๆ บนจอได แตโปรแกรมอน ๆ

ตองพมพทบรรทดของการรอรบคาสง แตการใชงานกตองระวง เพราะวากตกาการคานวณของ Mathcad

จะคานวณสตรจากสตรบนลงลาง และคานวณสตรจากสตรทางซายไปทางขวา

• ในการใชงาน ถาม การเปลยนคาของตวแปร การเปลยนแปลงสตร โปรแกรม Mathcad จะทาการคานวณ

ใหมโดยอตโนมตทกครง

• ระหวางการพมพสตร โปรแกรม Mathcad จะจดรปแบบของสตรใหตามความเหมาะสมของสตร ดงนน

การพมพสตรในครงแรก ๆ อาจจะทาใหงงได แตเมอพมพเปนแลว การจดรปแบบระหวางการพมพสตร

ของ Mathcad ถอไดวาเปนความสามารถทดเดนมาก

• การปรบเปลยนคาตาง ๆ เชน การแสดงทศนยม การกาหนดวธแสดงผลทไดจากการคานวณ การปรบ

รปแบบกราฟ สวนใหญจะใชการกาหนดคาตาง ๆ ทตองการผานคาสงยอยของเมนบาร

• สามารถนาแถบเครองมอเชน Calculus Graph แสดงบนจอภาพ เพอเลอกใชงานไดสะดวกขน

• สามารถเขยนกราฟไดถง 16 เสนพรอมกน การปรบเปลยนรปแบบของกราฟ ใชการเลอกคาสงผานเมน

format graph ทาใหการปรบเปลยนรปแบบกราฟสะดวกทสด

• ดวยความสามารถในการจดรปแบบการพมพอตโนมตทาใหโปรแกรม Mathcad สามารถพมพสตรทาง

คณตศาสตรทมความซบซอนมาก ๆ ไดดกวาโปรแกรมอน ๆ

สารบญ บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathcad............................................ 1 – 10

บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad.......................................................... 11 – 48

บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad.................................................................. 49 – 72

บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad........................................... 73 – 84

บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad................................................ 85 – 90

บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad........................................ 91 – 104

บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad................................................ 105 – 120

บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathcad Mathcaad – 1

บทท 1.

ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม Mathcad

ในบทนจะเปนการนาความสามารถตาง ๆ ทโปรแกรมสาเรจรป Mathcad ทาไดมานาเสนอใหดกอน

เพอผอานจะไดเหนความสามารถทางการคานวณทสาคญของโปรแกรมสาเรจรป Mathcad ในสวนของการ

พมพคาสง การเขาสโปรแกรม Mathcad และการประยกตตาง ๆ จะกลาวในบทตอไป

1. การคานวณเบ องตน บวก ลบ คณ หาร

หมายเหต Mathcad สามารถทาการคานวณไดอยางตอเนอง และ จดรปแบบการพมพได

2. สามารถเลอกแสดงผลการคานวณเปนทศนยมไดหลายตาแหนง

3. มฟงกชนทางคณตศาสตรใหเลอกใชมากมาย

3.25 16.5+ 19.75=

7.5 3.25− 4.25=

12 3⋅ 36=

154

3.75=

9 3+( ) 12⋅

436=

29

0.222=29

0.22222=29

0.22222222=

π 3.142= π 3.14159265= π 3.14159265358979=

cos π( ) 1−= sinπ

2

1= tan 45 deg⋅( ) 1=

asin 0.5( ) 0.524= asin 1( ) 90deg= atan 1( ) 0.785=

log 2( ) 0.301= ln 2( ) 0.693= log 100 10,( ) 2=

บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathcad Mathcad – 2

หมายเหต

1. asin คอ arcsin, acos คอ arccos, atan คอ arctan

2. log คอ ลอการทมฐาน 10 และ ln คอ ลอการทมฐาน e

log(A, x) คอ ลอการทมของ x ฐาน A

3. การหาคา sin, cos, tan, ... สามารถคานวณไดทงหนวย องศาและเรเดยน

4. คาของ acrsin, arccos, arctan, ... สามารถแสดงไดทงหนวย องศาและเรเดยน

5. ตวอยางฟงกชนอนๆ ดไดจากแถบเครองคดเลขน

4. ความสามารถทจะกาหนดสตรของฟงกชนใชงานเองได

5. สามารถสรางตารางคานวณคาของฟงกชนไดโดยงาย

เมอเรากาหนดคา x = 1, 2, ... , 5

และกาหนดสตร f(x), g(x)

โปรแกรม Mathcad จะแสดงผลการคานวณ

ในรปแบบของตารางไดโดยงาย

6. สามารถเปลยนหนวยของการคานวณไดโดยงาย

การคานวณคา ฟงกชนตรโกณมต sin, cos, tan, ... สามารถคานวณไดทงหนวย องศาและเรเดยน

การคานวณคา อนเวอรสฟงกชนตรโกณมต arcsin, arscos, ... สามารถแสดงผลไดทงหนวย องศาและเรเดยน

7. สามารถแสดงหนวยของผลการคานวณได

กาหนดให s มหนวยเปน เมตร

t มหนวยเปน วนาท

ผลการคานวณของ Mathcad

คา v = ts มหนวยเปน เมตรตอวนาท

ผลลพธของ Mathcad จะแสดงหนวยการคานวณ

f x( ) x2 3 x⋅+ 1+:=

f 1( ) 5= f 5( ) 41= f f 1( )( ) 41=

x 1 5..:= f x( ) x2:= g x( ) 2 x⋅ 1+:=

x

1

2

3

4

5

= f x( )

1

4

9

16

25

= g x( )

3

5

7

9

11

=

sin 30 deg⋅( ) 0.5= cos 60 deg⋅( ) 0.5= tan 45 deg⋅( ) 1=

sinπ

6

0.5= cosπ

4

0.707= tanπ

3

1.732=

asin 0.5( ) 0.524rad= asin 0.5( ) 30deg=

s 1000 m⋅:=

t 20 sec⋅:=

vst

:=

v 50ms

=


8. ความสามารถในการเขยนกราฟไดหลายแบบ

8.1 กราฟในระบบพกดมมฉาก

ตวอยาง กราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [–5, 5]

8.2 สามารถเขยนกราฟไดหลายเสนพรอมกน

ตวอยาง กราฟของ f(x) = 2x + 3 กบ g(x) = 2x – 4 บนชวง [–5, 5]

8.3 สามารถเขยนกราฟแบบคลาดบ

ตวอยาง การเขยนกราฟของขอมล

นาหนกและสวนสง

น าหนก ความสง

53 156 58 165 55 162 60 170 62 165 68 173

x 5− 4.99−, 5..:= f x( ) 2 x⋅ 3+:=

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

10

5

5101520

f x( )

x

x 5− 4.99−, 5..:= f x( ) 2 x⋅ 3+:= g x( ) x2 4−:=

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

10

5

5101520

f x( )

g x( )

x

ORIGIN 1:= i 1 6..:=

x

53

58

55

60

62

68

:= y

156

165

162

170

165

173

:=

50 55 60 65 70150

160

170

180180

150

yi

7050 xi


8.4 สามารถเขยนกราฟแทง (Bar graph) ของขอมลทางสถต

ตวอยาง การเขยนกราฟของขอมล

คะแนน และ ความถ

คะแนน ความถ

1 15

2 35

3 40

4 10

8.5 สามารถเขยนกราฟในระบบพกดเชงขว

ตวอยาง การเขยนกราฟรปหวใจ r = 3 + 2sinθ, กราฟรปกลบกหลาบ r = 4cos2θ

8.6 สามารถเขยนกราฟในระบบพกด 3 มต เชนกราฟพนผว กราฟ contour

ตวอยาง กราฟของพนผวไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด

หรอพนผวรปอานมา f(x, y) = 2x – 2y

ORIGIN 1:= i 1 4..:=

grade

1

2

3

4

:= frequency

15

35

40

10

:=

0 1 2 3 4 5

10

20

30

40

5050

0

frequencyi

50 gradei

M M

i 1 20..:= j 1 20..:= xi 2− 0.2 i⋅+:= y j 2− 0.2 j⋅+:= f x y,( ) x2 y2−:= M i j,( ) f xi y j,( ):=

θ 0 0.01, 2 π⋅..:=

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

543210

3 2 sin θ( )⋅+

θ

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

543210

4 cos 2 θ⋅( )⋅

θ


8.7 สามารถปรบเปลยนรปแบบของกราฟใหเหมาะสมกบการใชงาน

ตวอยาง กราฟของ f(x) = 3x + 2x – 9x – 9 บนชวง [–4, 4]

แบบท 1. มแกน X และแกน Y แตไมมสเกล แบบท 2. มแกน X และแกน Y มสเกล

แตไมมตวเลขทสเกล

แบบท 3. มแกน X และแกน Y แบบท 4. มแกน X และแกน Y

มสเกลและมตวเลขทสเกล มสเกล มตวเลขทสเกล

มเสนกรดชวยในการประมาณคา

8.8 สามารถเขยนกราฟ 2 ฟงกชนทมโดเมนตางกนได

ตวอยาง กราฟของ f(x) = 5 – 4x บนชวง [–3, 1] และ g(t) = 2t + 10 บนชวง [1, 4]

x 4− 3.99−, 4..:= f x( ) x3 x2 9 x⋅− 9−+:=

0f x( )

x

x 4− 3.99−, 4..:= f x( ) x3 x2 9 x⋅− 9−+:=

f x( )

x

x 4− 3.99−, 4..:= f x( ) x3 x2 9 x⋅− 9−+:=

4 3 2 1 0 1 2 3 4

40

20

20

40

f x( )

x

x 3− 2.99−, 1..:= f x( ) 5 4 x⋅−:= t 1 1.01, 4..:= g t( ) 2 t⋅ 10+:=

4 3 2 1 0 1 2 3 4 55

5

10

15

20

f x( )

g t( )

x t,

.x 4− 3.99−, 4..:= f x( ) x3 x2+ 9 x⋅− 9−:=

4 3 2 1 0 1 2 3 4

40

20

20

40

f x( )

x


9. การคานวณในรปแบบของเลขฐานอนๆ

ตวอยาง 12 ฐาน 8 บวกกบ 15 ฐาน 8 ได 23 ฐาน 10

12 ฐาน 16 บวกกบ 15 ฐาน 16 ได 39 ฐาน 10

หมายเหต อกษร o ทายตวเลขหมายถงเลขฐาน 8 และ อกษร h ทายตวเลขหมายถงเลขฐาน 16

10. การคานวณในรปแบบเวกเตอร

Mathcad สามารถหาผลบวก ผลตาง dot product cross product และ ขนาดของเวกเตอรได

11. การคานวณในรปแบบเมทรกซ

Mathcad สามารถหา ผลบวก ผลตาง อนเวอรส คากาหนด ของเมทรกซได

12. การคานวณจานวนเชงซอน

Mathcad สามารถหาผลบวก ผลตาง อนเวอรส คาสมบรณของจานวนเชงซอนได

13. การหาผลบวกในรปแบบผลบวก ∑

ตวอยาง การหาผลบวกของตวเลข

12o 15o+ 23=

12h 15h+ 39=

u

2

3

6

:= v

3

4

0

:=

u v+

5

7

6

= u v−

1−

1−

6

= u v×

24−

18

1−

= u v⋅ 18= u 7=

A1

3

2

5

:= B2

0

0

4

:= A B⋅2

6

8

20

=

A B+3

3

2

9

= 4 A⋅4

12

8

20

= B 8= A 1−= A 1− 5−

3

2

1−

=

z 3 4i+:= w 5 12i+:=

z w+ 8 16i+= z w⋅ 33− 56i+= z 5= z 1− 0.12 0.16i−=

1

10

i

i∑=

55=

1

10

i

i2∑=

385=

1

10

i

i i 1+( )⋅∑=

440=


ตวอยาง การหาผลบวกของตวแปร ix เมอ i = 1, 2, 3, ... , n

14. การคานวณคาสถตเบ องตน

ตวอยาง การหาคาสถตเบองตนของขอมล 2, 3, 7, 12, 16

mean = คาเฉลย min = คาตาสด

median = มธยฐาน max = คาสงสด

var = ความแปรปรวนของประชากร = n

)xx( 2i

n

1 i−∑

=

stdev = สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร = )xvar(

Var = ความแปรปรวนของตวอยาง = 1n

)xx( 2i

n

1 i−

−∑=

Stdev = สวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง = )x(Var

15. สามารถหาความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลในรปแบบ y = mx + c ได

ตวอยาง การหาความสมพนธเชงเสนตรงระหวาง นาหนก (x) กบสวนสง (y)


53 156 58 165 55 162 60 170 62 165 68 173

x เปนตวแปรอสระ

y เปนตวแปรตาม

slope(x, y) คอ สมประสทธการถดถอยเชงเสน

intercept(x, y) คอคาคงตวของสมการเสนตรง y = mx + c

corr(x, y) คอ สมประสทธสหสมพนธเชงเสนตรง

ORIGIN 1:= i 1 5..:= xi

2371216

:=

1

5

i

xi∑=

40=

1

5

i

xi( )2∑=

462=

ORIGIN 1:= i 1 5..:=

xi

2371216

:= mean x( ) 8=

median x( ) 7=

stdev x( ) 5.329=

var x( ) 28.4=

Stdev x( ) 5.958=

Var x( ) 35.5=

max x( ) 16=

min x( ) 2=

ORIGIN 1:= i 1 6..:=

x

53

58

55

60

62

68

:= y

156

165

162

170

165

173

:=

m slope x y,( ):= m 0.995=

c intercept x y,( ):= c 106.109=

r corr x y,( ):= r 0.891=


16. ความสามารถในการจดรปพชคณต การแยกตวประกอบ การกระจายพหนาม

16.1 การกระจายพหนาม

ตวอยาง

16.2 การแยกตวประกอบ

ตวอยาง

16.3 การจดรปแบบทางพชคณต

ตวอยาง

17. ความสามารถในการหาอนพนธ และอนพนธยอย ทงแบบคาตวเลขและเปนสตร

17.1 การหาอนพนธเปนคาตวเลข

ตวอยาง การหาอนพนธ

ตวอยาง การหาอนพนธยอย

17.2 การหาอนพนธเปนสตร

ตวอยาง การหาอนพนธ

ตวอยาง การหาอนพนธยอย

x 1−( ) x 2+( )⋅ expand x2 x 2−+→

x 1+( ) x 2+( )2⋅ expand x3 5 x2⋅+ 8 x⋅+ 4+→

x2 5 x⋅+ 6+ factor x 3+( ) x 2+( )⋅→

x3 5 x2⋅+ 8 x⋅+ 4+ factor x 1+( ) x 2+( )2⋅→

12

23

+ factor76

→

1

1 2+factor 2 1−→

11 x−

11 x+

+ factor2−

x 1−( ) x 1+( )⋅[ ]→

x 1:= f x( ) x3 4 x2⋅+ 5 x⋅+ 4−:=

f x( ) 6=xf x( )d

d16=

2xf x( )d

d

214=

3xf x( )d

d

36=

x 2:= y 1:=

xx3 2 x2⋅ y⋅+ y4+( )d

d20=

y yx3 2 x2⋅ y⋅+ y4+( )d

d

dd

12=

xx3 4 x2⋅+ 5 x⋅+ 4−( )d

dexpand 3 x2⋅ 8 x⋅+ 5+→

2xx3 4 x2⋅+ 5 x⋅+ 4−( )d

d

2expand 6 x⋅ 8+→

xx3 2 x2⋅ y⋅+ y4+( )d

dsimplify 3 x2⋅ 4 x⋅ y⋅+→

y yx3 2 x2⋅ y⋅+ y4+( )d

d

dd

simplify 12 y2⋅→


18. ความสามารถในการหาปรพนธเปนสตรและคาตวเลข

18.1 การหาปรพนธเปนคาตวเลข

18.2 การหาปรพนธเปนสตร

19. สามารถหาคาลมตได

20. ความสามารถในการคานวณเปนโปรแกรม

ตวอยาง โปรแกรมหาพนทสามเหลยมเมอรความยาวทงสามดาน

0

2

xx3 1+( )⌠⌡

d 6=0

1

y0

2

xx3y( )⌠⌡

d⌠⌡

d 2=0

1

z1

2

y1−

1

xx y3⋅ z+( )⌠⌡

d⌠⌡

d⌠⌡

d 1=

xx3 1+( )⌠⌡

d simplify14

x4⋅ x+→

yxx3 y⋅( )⌠⌡

d⌠⌡

d simplify18

x4⋅ y2⋅→

zyxx y3⋅ z+( )⌠⌡

d⌠⌡

d⌠⌡

d simplify18

x2⋅ y4⋅ z⋅12

z2⋅ x⋅ y⋅+→

1xx2 x+ 1+lim

→3→

1x

x2 1−

x 1−lim→

2→0x

sin x( )x

lim→

1→

0x

xx

lim+→

1→0x

xx

lim−→

1−→

∞x1

1x

+

2 x⋅lim→

exp 2( )→

a 3:=

b 4:=

c 5:=

sa b+ c+

2:=

Area s s a−( )⋅ s b−( )⋅ s c−( )⋅:=

Area 6=

1

x2

t4 t3⋅ 1+( )⌠⌡

d x8 x2 2−+→1

t

y0

t2

x2x 4 y⋅+( )⌠⌡

d⌠⌡

d t5 t4 2 t2⋅−+→


เมอเปลยนคา a, b, c ใหมจะไดผลการคานวณเปนดงน

21. ความสามารถในการหารากของสมการ f(x) = 0

ตวอยาง การหารากของสมการ 2x - 2 = 0

เพราะฉะนนรากของสมการ

คอ x = 1.414 และ –1.414

ตวอยาง การหารากของสมการ sinx - cosx = 0

รากสมการ sinx - cosx = 0 คอ x = 0.785 radian หรอ 45 degree

22. ความสามารถในการหาผลเฉลยของระบบสมการ

22.1 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน

ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ

2x + y = 4

9x – 4y = 1

เพราะฉะนน x = 1, y = 2

22.2 การหาผลเฉลยของระบบสมการไมเชงเสน


2x + 2y = 1

และ x – y = 0

เพราะฉะนน x = 0.707, y = 0.707

23. ความสามารถในการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ

ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ

dxdy = 1 + 4x, y(0) = 1

โปรแกรม Mathcad จะสามารถหาผลเฉลย y(x) ได

ความสามารถอน ๆ ในการประยกต

เนอหาคณตศาสตรขอใหศกษาในบทตอไป

x 1:= root x2 2− x,( ) 1.414=

x 1−:= root x2 2− x,( ) 1.414−=

x 0:= y 0:=

Given

2 x⋅ y+ 4

9x 4 y⋅− 1

Find x y,( )1

2

=

x 0:= y 0:=

Given

x2 y2+ 1

x y− 0

Find x y,( )0.707

0.707

=

x 1:= root sin x( ) cos x( )− x,( ) 45deg=

root sin x( ) cos x( )− x,( ) 0.785rad=

a 5:=b 12:=c 13:=

sa b+ c+

2:=

Area s s a−( )⋅ s b−( )⋅ s c−( )⋅:=

Area 30=

Givenxy x( )d

d1 4 x⋅+ y 0( ) 1 .

y Odesolve x 10,( ):=

0 1 2 3 4

816243240

y x( )

x

y 1( ) 4= .

y 2( ) 11=

บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 11

บทท 2.

การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad

ในบทนจะเรยนร เกยวกบการนาโปรแกรมสาเรจรป Mathcad เขามาทางาน และการทางานเบองตนกบ

คาสงของ Mathcad

หมายเหต โปรแกรม Mathcad ทใชในขณะนคอ Mathcad2001i Professional หากเปน Mathcad Version

อน ๆ เขน version 5.0 - 9.0 หรอ Mathcad2000 Professional จะมลกษณะใชงานทใกลเคยงกน

2.1 การเรยกโปรแกรม Mathcad ขนมาใชงาน

1. เปดเครองคอมพวเตอร

2. รอจนจอภาพขนขอความ ภาพและ icon ตาง ๆ ครบสมบรณ

คลกทปม Start จะมเมนใหเลอก

คลกทเมน All Programs จะมเมนยอยใหเลอก

คลกท MathSoft Apps จะขนเมนยอยใหเลอก


คลกท Mathcad 2001i Professional

บนจอภาพจะม Logo ของ Mathcad

เพอเขาสการทางานของโปรแกรม Mathcad

หมายเหต Logo ของ Mathcad

อาจแตกตางกนใน version อนๆ

เมอเขาสการทางานของโปรแกรม Mathcad เรยบรอยแลวจอภาพจะเปนดงน

1. แสดงวาเขามาทางานในหนาตางของ Mathcad Professional

2. แสดงชอแฟมทกาลงทางานเมอมการบนทกแฟมหรอนาแฟมเดมกลบมาใช

แตถาเปนการเขามาทางานครงแรกชอแฟมทกาหนดใหมชอวา Untitled:1

3. แถบเครองมอในการทางานเชน File เปดปดแฟมขอมล Edit คดลอกหรอลบทง

4. บรเวณของการทางานตาง ๆ ทเราตองการ

5. แถบเครองมอของการคานวณตาง ๆ

(หมายเหต ถาไมมแถบเครองมอ ใหคลกทเมน View แลวเลอก Toolbars และเลอก Math)

2.2 การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad

โปรแกรมสาเรจรป Mathcad เปนโปรแกรมทชวยในดานการคานวณทางคณตศาสตร ทสามารถใชงานได

งายเชน การหาผลบวกของ 45.25 + 17.5

1. ใหพมพ 45.25 + 17.5

45.25 17.5+ 62.75= .


2. แลวพมพ = จะไดผลลพธทนทดงน

ตวอยางการคานวณแบบอน ๆ เชน

เนองจากทางานของโปรแกรม Mathcad

จะทาการจดรปแบบการพมพบนจอภาพใหสอดคลองกบความหมายทางคณตศาสตรเสมอเชน

การหาคา 547 = 9.4

ขนท 1. พมพ 47

ขนท 2. เมอเรากดเครองหมายหาร (/)

บนจอภาพจะจดรปแบบเปนลกษณะของเศษสวน (ดงรป) ทนท

ขนท 3. ตอไปจงพมพ 5 แลวกด = จะไดผลการคานวณทตองการ

เพราะฉะนน การใชงานโปรแกรม Mathcad จะขอเขยนในรปแบบตารางโดยท ตารางชองท 1 หมายถงการ

พมพผานทางแปนพมพ ตารางในชองท 2 เปนผลทเกดจาก การคานวณของ Mathcad และ การจดรปแบบ

การพมพของ Mathcad

ขอแนะนา ในการใชงานเบองตนขอใหทดลองพมพชา ๆ และ ดผลของการจดรปแบบของ Mathcad ในตาราง

แสดงผลลพธของการคานวณเบองตน

ตวอยางการคานวณและวธการพมพดวยโปรแกรม Mathcad

1. การหาผลบวก 45.25 + 17.5

พมพ ผลบนจอภาพ

45.25+17.5=↵ 45.25 17.5+ 62.75=

หมายเหต 1. การคานวณใหมหรอขนบรรทดใหมตองกด <ENTER>

2. เครองหมาย = เปนการสงใหทาการคานวณ

2. การหาผลหาร 547


47

15 32⋅ 480=

475

9.4=

log 2( ) 0.301=

44 256=

sinπ

6

0.5=

475

9.4=


/

5

=

↵ 47

59.4=

3. การหาผลคณของ 15 กบ 32


15

*

32

=

↵ 15 32⋅ 480=

4. การคานวณเลขยกกาลง 34 และ 4e


4

^

3

=

↵ 43 64= e

^

4=↵ e4 54.598=

5. การคานวณโดยใชฟงกชนทางคณตศาสตร log(2), ln(2), sin( π6

), 3 , 5 32 , 5!



log(2)=↵ log 2( ) 0.301=

ln(2)=↵ ln 2( ) 0.693= sin(

<Ctrl + Shift>+P


กด Ctrl และ Shift คางไว แลวกด P

Mathcad บาง version เชน version 7.0

กด <Ctrl>+P จงจะได π

/

6

)

=

↵ sin

π

6

0.5=

การหารากท n

\

หมายเหต กด \ ไดสญลกษณการหารากท 2

3=↵ 3 1.732= <Ctrl>+\


กด <Ctrl>+\ ไดสญลกษณการหารากท n

32

<Tab>

5

=↵ 5 32 2= การหาคา 5! แฟกทอเรยล

5!=↵

5! 120=


6. การกาหนดคาใหกบตวแปร, การกาหนดสตรฟงกชน


x

:

หมายเหต กด : จะได := ซงหมายถง การ

กาหนดคาใหกบตวแปร

4↵ x 4:= .

ความหมาย คอ กาหนดตวแปร x มคาเปน 4

การกาหนดสตรฟงกชน

f(x)

:

x^2

↵ f x( ) x2

:= f(x)=↵ f x( ) 16= .เปนคาของ f เมอ x = 4

f(3)=↵ f 3( ) 9= .

หมายเหต สญลกษณ := หมายถงการกาหนดคาใหเปน หรอ การกาหนดสตรใหเปน

7. การหาคาอนทกรล dx)x(fb

a∫ ตวอยางเชน dx)4x( 2

4

1

+∫


f(x)

:

x^2

<Space bar>

หมายเหต การกด Space bar จะทาใหกรอบ

curser ขยายมาคลมทง 2x

+

4↵ f x( ) x2 4+:= .


&

หมายเหต กด & จะไดเครองหมายปรพนธ f(x)<Tab>

หมายเหต การกด Tab จะทาให curser เลอน

ตาแหนงไปตาแหนงถดไป x<Tab>

1<Tab>

4=↵

1

4xf x( )

⌠⌡

d 33=

2.3 การเขยนกราฟของฟงกชน ตวอยาง การเขยนกราฟของ f(x) = 2x - 3x - 7 บนชวง [-8, 8]


กาหนดสตรของ f(x) โดยพมพ

f(x):x^2

<Space bar>

-3*x-7↵ f x( ) x2 3 x⋅− 7−:= .

กาหนดชวงของ x โดยพมพ

x:-8

, หมายเหต กด , เพอบอกคาถดไปของ x

-7.9

หมายเหต x เพมคาครงละ 0.1

;

หมายเหต กด ; จะไดสญลกษณ ..

8↵

x 8− 7.9−, 8..:= .

หมายเหต x มคาจาก -8 ถง 8 โดยเพมคาครงละ 0.1


@


กด @ จะไดรปแบบการเขยน

กราฟ

x

<Tab>

8<Tab>

f(x)<Tab>


-25<Tab>

-8<Tab>

100↵

0

0

100100

25−

f x( )

88− x

ผลการคานวณบนจอภาพคอ

f x( ) x2 3 x⋅− 7−:=

x 8− 7.9−, 8..:=

0

0

100

f x( )

x


หมายเหต โปรแกรม Mathcad สามารถจดรปแบบการแสดงผลของกราฟไดหลายลกษณะเชน

แบบท 1. มสเกลทแกน X และ แกน Y แบบท 2. มสเกลแกน X และ Y และมตวเลข

สามารถกาหนดใหเสนกราฟหนาขน

แบบท 3. แกน X แบงเปน 8 สวน แบบท 4. มเสนตาขายชวยในการประมาณคา

เชน f(-4) มคาประมาณ 24

แบบท 5. เหมอนแบบท 2 แบบท 6. ความสามารถในการเขยนกราฟได

แตเปลยนลกษณะของเสนกราฟ หลายเสนพรอมกน

เปนการ plot แบบ dot

การเขยนกราฟแบบตางๆ นจะไดเรยนรคาสงตางๆ ในบทตอไป

100

25−

f x( )

88− x

8 6 4 2 0 2 4 6 825

25

50

75

100100

25−

f x( )

88− x

8 4 0 4 825

25

50

75

100100

25−

f x( )

88− x

8 6 4 2 0 2 4 6 825

25

50

75

100100

25−

f x( )

88− x

8 4 0 4 825

25

50

75

100100

25−

f x( )

2 x⋅ 3−

88− x

8 6 4 2 0 2 4 6 825

25

50

75

100100

25−

f x( )

88− x


2.4 การกาหนดคาและการคานวณเกยวกบเมทรกซ

ตวอยาง การกาหนด A =

−

−3524


A:

<Ctrl>+M บนจอภาพจะมเมนใหเตมจานวนแถวและ

หลก

ใหพมพ Rows: 2 และ Columns:

2

เสรจแลวคลก OK จะไดผลบนจอเปน

4<Tab>

หมายเหต การกด Tab ทาให

Curser กระโดดไปตาแหนงถดไป

-2<Tab>

-5<Tab>

3↵ A

4

5−

2−

3

:=

ในทานองเดยวกนกาหนด B =

3152


การคานวณคาของเมทรกซ A + B, 4A, AB , 2A , 1A− , TA , det(A)


A=↵ A

4

5−

2−

3

= .

B=↵ B

2

1

5

3

= .

การหาผลบวกของเมทรกซ

A+B=↵ A B+6

4−

3

6

=

สเกลารคณเมทรกซ

4*A

=↵ 4 A⋅16

20−

8−

12

=

การหาเมทรกซยกกาลง

A^

2=↵ A2 26

35−

14−

19

=

การหาผลคณของเมทรกซ

A*B=↵ A B⋅6

7−

14

16−

=

การหาเมทรกซผกผน

A^

-1=↵ A 1− 1.5

2.5

1

2

=

การหาคากาหนดของเมทรกซ

|

A=↵ A 2=

เมทรกซสลบเปลยน

A

<Ctrl>+!


=↵ AT 4

2−

5−

3

=

การกาหนดดรรชนลาง (subscript) สาหรบอางองใชงานกบสมาชกของเมทรกซ


A=↵ A4

5−

2−

3

=

ORIGIN:1↵ ORIGIN 1:= หมายเหต เปนการกาหนดคาของ Subscript เรมท 1

i:1;2↵ i 1 2..:= .

j:1;2↵ j 1 2..:= .

A[

(1, 1)

=↵ A 1 1,( ) 4=

A[(1, 2)=↵ A 1 2,( ) 2−=

หมายเหต ตวแปรทมดรรชนลางอาจมจดเรมตนเปน 0 หรอ 1 ตามความเหมาะสมของเนอหาคณตศาสตร

เชน ลาดบ อนกรม มคาเรมตนท 1 แตในเรองของเมทรกซดรรชนลาง ของ ijA ตองเรมท 1 เราจงตอง

กาหนด ORIGIN := 1 เพอกาหนดจดเรมตนของตวดรรชนลางเปนเลข 1

2.5 การกาหนดคาและการคานวณเกยวกบเวกเตอร

สาหรบขอมลทอยในรปแบบของเวกเตอรเชน u =

−

43 และ v =

21


u:

<Ctrl>+M บนจอภาพจะมเมนใหเตมจานวนแถวและหลก

ใหพมพ Rows: 2 และ Columns: 1



-3<Tab>

4↵ u

3−

4

:=

ในทานองเดยวกนกาหนด v =

21

การหาคา u + v, 4u, vu ⋅ , | u |


u=↵ u3−

4

=

v=↵ v1

2

=

การบวกเวกเตอร

u+v=↵ u v+2−

6

=

สเกลารคณเวกเตอร

4*u=↵ 4 u⋅12−

16

=

u dot v

u*v=↵ u v⋅ 5=

การหาขนาดของเวกเตอร

|

u=↵ u 5=

|v=↵ v 2.236=


ผลการคานวณบนจอภาพคอ

2.6 การกาหนดขอมล

2.6.1 ในรปแบบเวกเตอร สาหรบขอมลทอยในรปแบบของเวกเตอรเชน x =

1587532


x

:


ใหพมพ Rows: 6 และ Columns:

1


u3−

4

:= v1

2

:=

u3−

4

= v1

2

= u v⋅ 5=

u v+2−

6

= 4 u⋅12−

16

= u 5= v 2.236=


2<Tab>

หมายเหต การกด Tab จะทาให

curser กระโดดไปทตาแหนงของ

สเหลยมสดา เพอใหใสคาตอไป

3<Tab>

5<Tab>

7<Tab>

8<Tab>

15<Tab>↵

x

2

3

5

7

8

15

:=

ใน Mathcad มฟงกชนทชวยคานวณคาทางดานสถตของขอมลดงน

mean(x) = คาเฉลยเลขคณตของขอมลใน x median(x) = มธยฐานของขอมลใน x

var(x) = ความแปรปรวน(ประชากร) x Var(x) = คาความแปรปรวน(ตวอยาง) x

stdev(x) = สวนเบยงเบนมาตรฐาน(ประชากร) x Stdev(x) = สวนเบยงเบนมาตรฐาน(ตวอยาง) x

max(x) = คาสงสดของขอมลใน x min(x) = คาตาสดของขอมลใน x

length(x) = จานวนขอมลใน x

ตวอยางของการคานวณเชน

2.6.2 ในรปแบบตวแปรมต


ORIGIN:1↵ ORIGIN 1:=

i:1;10↵ i 1 10..:= .

x[i:

2

,

หมายเหต การกด , จะทาใหเกด

ตาแหนงของสเหลยมสดา เพอให

ใสคาตอไป

mean x( ) 6.667= median x( ) 6= length x( ) 6=

Stdev x( ) 4.676= Var x( ) 21.867= max x( ) 15=

stdev x( ) 4.269= var x( ) 18.222= min x( ) 2=


3,

5,7,8,15

↵ xi

2357815

:=

หมายเหต 1. การกาหนดขอมลแบบนมความสะดวกในกรณทเราไมทราบจานวนขอมลทงหมด

2. การกาหนดในรปแบบท 2. ตวแปร x จะม 2x1 = , 3x2 = , ..., 15x6 =

และตวแปร 0xxxx 10987 ====

2.7 การกาหนดขอมลในรปแบบเมทรกซ

ตวอยางเชนตองการกาหนดขอมลเปน


x:


x y 3 12 5 15 9 21 12 32


ใหพมพ Rows: 4 และ Columns: 2

จะไดผลบนจอภาพเปน

3<Tab>

หมายเหต การกด Tab จะทาให

curser กระโดดไปทตาแหนงของ

สเหลยมสดา เพอใหใสคาตอไป

12<Tab>

5<Tab>15<Tab>

9<Tab>21<Tab>

12<Tab>32<Tab>↵

x

3

5

9

12

12

15

21

32

:=

การแสดงผลทละ 1 column

ORIGIN:1↵ ORIGIN 1:=

x<Ctrl>^1=↵

หมายเหต x<1> เปนการเลอก

เฉพาะ column 1 มาใชงาน x 1⟨ ⟩

3

5

9

12

=

x<Ctrl>^2=↵

x 2⟨ ⟩

12

15

21

32

=

x[(1, 1)=↵ x 1 1,( ) 3=

x[(2, 1)=↵ x 2 1,( ) 5=

mean(x<Ctrl>^2)=↵ mean x 2⟨ ⟩( ) 20=


2.8 การคานวณคาเกยวกบผลบวกในรปแบบ ∑

ตวอยาง การหาคาของ ∑=

10

1 ii , ∑

=

10

1 i

2i , (i2 − −=∑ 4 5

1

10i

i)

ขนตอนการนาแถบเครองมอคานวณขนมาใชงาน

ขนท 1. เลอกเมน View

ขนท 2. เลอนมาท Toolbars

ขนท 3. เลอนเมาสมาท Math

ขนท 4. คลกเมาสทคาสง Math

จะไดแถบเครองมอของการคานวณ Math

ขนท 5. คลกเมาสท Icon จะไดแถบเครองมอของ Calculus

หมายเหต การเขามาใชงานโปรแกรม Mathcad

ในบางครงอาจมแถบเครองมอของการคานวณตาง ๆ ปรากฏอยบนจอภาพแลว

การหาคาของ ∑=

10

1 ii , ∑

=

10

1 i

2i , (i2 − −=∑ 4 5

1

10i

i)


การหาผลบวก ∑=

10

1 ii

คลกทสญลกษณ จะไดแถบเครองมอดงน

คลกทสญลกษณ

i<Tab>

i<Tab>


1<Tab>

10=↵

1

10

i

i∑=

55=

ในทานองเดยวกนจะไดวา

2.9 การคานวณคาปรพนธ dx)x(fb

a∫ ตวอยางการหาคาของ dxx2

1

0∫


จากแถบเครองมอ Calculus


x^2<Tab>

x<Tab>

0<Tab>

1=↵

0

1

xx2⌠⌡

d 0.333=

1

10

i

i2∑=

385=

1

10

i

i2 4 i⋅− 5−( )∑=

115=


หมายเหต ในกรณทเรากาหนด f(x) = 2x จะทาใหการคานวณสะดวกขนดงน

2.10 การคานวณคาอนพนธ )x(fdxd หรอ )x(f

dxd

n

n

ตวอยาง การคานวณ )x(fdxd เมอ f(x) = 2x ท x = 1


f(x):x^2↵ f x( ) x2:=

x:1↵ x 1:=



x<Tab>

f(x)=↵

xf x( )d

d2=

การคานวณ )x(fdx

d2

2 เมอ f(x) = 4x ท x = 2


f(x):x^4↵ f x( ) x4:= .

x:2↵ x 2:= . จากแถบเครองมอ Calculus


f x( ) x2:=

0

1xf x( )

⌠⌡

d 0.333=3−

3xf x( )

⌠⌡

d 18=0

3xf x( )

⌠⌡

d 9=


f(x)<Tab>

x<Tab>

2=↵ 2x

f x( )d

d

248=

หมายเหต 1. กดเครองหมาย ? บนแปนพมพจะไดสญลกษณ

2. กด <Ctrl> + ? บนแปนพมพจะไดสญลกษณ

2.11 การกาหนดหนวยใหกบผลการคานวณ


sin(30)=↵ sin 30( ) 0.988−= หมายเหต ขณะนคอมพวเตอรจะคดเปนหนวย เรเดยน

sin(30*deg)=↵ sin 30 deg⋅( ) 0.5= หมายเหต 30.deg คอ 30 องศา

atan(1)=

หมายเหต ขณะนผลลพธมหนวยเปน เรเดยน

<Tab>

d

eg↵ atan 1( ) 45deg=

ในทานองเดยวกน

2.12 การคานวณในรปแบบของเลขฐานอนๆ

ตวอยาง 12o + 17o = 25 o หมายถงเลขฐาน 8

(12o)(11o) =

10h + 12h = 34 h หมายถงเลขฐาน 16

(2h)(11h) = 32

cos 30( ) 0.154= cos 30 deg⋅( ) 0.866= asin 1( ) 1.571= asin 1( ) 90deg= .

s 1000 m⋅:= t 5 sec⋅:=st

200ms

=

s 60 km⋅:= t 2 min⋅:=st

500ms

=st

30kmmin

=



12o+17o=↵ 12o 17o+ 25=

หมายเหต 12 ฐาน 8 บวก 17 ฐาน 8 ได 25 ฐาน 10

12o*11o=↵ 12o 11o⋅ 90= หมายเหต 10 ฐาน 8 คณ 11 ฐาน 8 ได 90 ฐาน 10

10h+12h=↵ 10h 12h+ 34= หมายเหต 10 ฐาน 16 บวก 12 ฐาน 16 ได 34 ฐาน 10

2h*11h=↵ 2h 10h⋅ 32= หมายเหต 2 ฐาน 16 คณ 11 ฐาน 16 ได 32 ฐาน 10

2.13 การหาผลบวกในรปแบบ ∑=

n

1 iix

ตวอยางเชน


ORIGIN:1↵ ORIGIN 1:= กาหนดเมทรกซ x และ y

การกาหนดเมทรกซ x และ y

ดทหวขอ 2.6 x

2

3

6

9

:=

y

12

15

14

19

:=

การพมพเพอหาผลบวก



ORIGIN 1:= x

2

3

6

9

:= y

12

15

14

19

:=

1

4

i

xi∑=

20=

1

4

i

yi∑=

60=

1

4

i

xi( )2∑=

130=

1

4

i

yi( )2∑=

926=

1

4

i

xi yi⋅∑=

324=


x[i<Tab>

i<Tab>

1<Tab>

4=↵

1

4

i

xi∑=

20=

การพมพเพอหาผลบวก 21

4

1 ix∑

=


x[i

<Space Bar>

^

2<Tab>

i<Tab>


1<Tab>

4=↵

1

4

i

xi( )2∑=

130=

การพมพเพอหาผลบวก ii

4

1 iyx∑

=


x[i

<Space Bar>

*

y[i<Tab>

i<Tab>

1<Tab>

4=↵

1

4

i

xi yi⋅∑=

324=


2.14 การสรางตารางฟงกชน

การสรางตารางฟงกชนมขนตอนทสาคญดงตอไปน

ขนท 1. กาหนดชวงของตวแปร x

ขนท 2. กาหนดสตรของฟงกชน f(x)

ขนท 3. พมพคาของ x และ f(x)



x:1;4↵ x 1 4..:= .

f(x):2*x+4↵ f x( ) 2 x⋅ 4+:= .

x=↵ x

12

3

4

=

f(x)=↵ f x( )

68

10

12

=

หมายเหต ในกรณทคา x เพมไมเทากนสามารถคานวณในรปแบบตารางไดดงน

2.15 การคานวณคาเกยวกบจานวนเชงซอน

ตวอยาง (3 + 4i) + (5 - 9i) = 8 - 5i

| 3 + 4i | = 5


z : 3+4i↵ z 3 4i+:= .

w : 5-9i↵ w 5 9i−:= .

x 1 4..:=

f x( ) 2 x⋅ 4+:=

x

12

3

4

= f x( )

68

10

12

=

x

2

5

7

12

:= f x( ) 2 x⋅ 4+:= f x( )

8

14

18

28

=


z+w=↵ z w+ 8 5i−=

|

z=↵ z 5=

2.16 การหารากของสมการ f(x) = 0



f(x):x^2

<Space Bar>

-2↵ f x( ) x2 2−:= .

x:1↵ x 1:= .

root(f(x), x)=↵ root f x( ) x,( ) 1.414= .

หมายเหต คาสง root เปนคาสงทใชหารากของสมการ f(x) = 0 โดยวธของนวตน

โดยกาหนดจดเรมตนของการหารากท x = 1

ตวอยางการหารากของสมการอน ๆ เชน

2.17 การผลเฉลยของระบบสมการ

ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 3y = 8

x + y = 3


x:0↵ x 0:= .

y:0↵ y 0:= .

Given↵ Given .

2*x+3*y

<Ctrl>+=

หมายเหต◌ กด <Ctrl>+= จงจะไดสญลกษณ = ทมสดา

เขม ตามรปแบบของชดคาสง Given

8↵ 2 x⋅ 3y+ 8

x+y↵

f x( ) x2 x− 20−:=

x 1:= root f x( ) x,( ) 5=

x 2−:= root f x( ) x,( ) 4−=


<Ctrl>+=

3↵ x y+ 3

Find(x, y)=↵ Find x y,( )1

2

=

หมายเหต ชดคาสง Given และ Find เปนคาสงทใชหาผลเฉลยของระบบสมการดวยวธของนวตน

โดยกาหนดจดเรมตนของการหาผลเฉลย x = 0 และ y = 0

ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการไมเชงเสน

การหาจดตดของวงกลม 2x + 2y = 25

และเสนตรง 3x + 4y = 0

2.18 การคานวณคา rn C และ r

n P

สตร rn C =

)!rn(!r!n−

สามารถกาหนดเปนสตรในโปรแกรม Mathcad ไดดงน


C(n, r):n!

/

r!*

(n-r)!↵ C n r,( )

n!r! n r−( )!⋅

:=

C(5, 1)= ↵ C 5 1,( ) 5=

C(5, 2)= ↵ C 5 2,( ) 10=

การกาหนดสตร rn P =

)!rn(!n−

P(n, r):

/

(n-r)!↵ P n r,( )

n!n r−( )!

:=

P(5, 1)= ↵ P 5 1,( ) 5=

P(5, 2)= ↵ P 5 2,( ) 20=

x 1:= y 1:=

Given

x2 y2+ 25 3x 4y+ 0 .

Find x y,( )4

3−

=


ตวอยางการคานวณในรปแบบตาราง

2.19 การคานวณทใหผลลพธเปนสตร

โปรแกรม Mathcad สามารถคานวณและแสดงผลออกมาในรปแบบของสตรไดเชน

การกระจายพหนาม (x - 1)(x + 2) กระจายไดเปน 2x + x - 2

การแยกตวประกอบ 4x - 2 2x - 3x - 2 แยกตวประกอบไดเปน (x - 2)(x + 1)( 2x + x + 1)

การแสดงผลเปนเศษสวนอยางตา 1511

125

43

+ จดรปเปน 23

15

การหาอนพนธเปนสตร dxd 2x ผลการหาอนพนธคอ 2x

การหาปรพนธเปนสตร dx)7x4( +∫ ผลการคานวณเปนสตรคอ 2 2x + 7x

สามารถหาคาลมตได 1x

lim→

( 2x + 2x + 4) หาคาลมตไดเปน 7

การคานวณเพอใหโปรแกรม Mathcad แสดงผลเปนสตร มขนตอนดงน

1. พมพสตรทตองการคานวณใหเรยบรอย

2. ใชการกด <Space bar> เพอขยาย curser ใหคลมบรเวณสตร การลดขนาด curser ทคลมสตรใหกด ↓

หรอใชการลากเมาสเขามาคลมบรเวณทตองการผลการคานวณเปนสตร

3. เลอกคาสงใหโปรแกรม Mathcad แสดงผลเปนสตร

ตวอยาง การกระจายสตรพหนาม (x - 1)(x + 2)


(x-1)*(x+2)↵

<Space bar>

คลก บนแถบเมน จะไดเมนยอยเปน

คลก บนแถบเมน x2 x 2−+ หมายเหต หลงจากเลอกบรเวณสตรแลว การสงอกแบบทาไดโดยการกด <Alt>+s คางไว แลวกด x

r 0 4..:= r

01

2

3

4

= C 4 r,( )

14

6

4

1

= P 4 r,( )

14

12

24

24

=


ตวอยาง การแยกตวประกอบ 4x - 2 2x - 3x - 2


x^4<Space bar>-2*x^2

<Space bar>-3*x-2 กด <Space bar> 5 ครง

หมายเหต ใชการลากเมาสเขามา

คลมบรเวณสตรกได

หมายเหต การกด <Space bar> แตละครงจะมเสนตง

ฉากเพมขนมาคลมสตรทเราจะทาการคานวณ

คลก บนแถบเมน

จะไดเมนยอยเปน


x 2−( ) x 1+( )⋅ x2 x+ 1+( )⋅

ตวอยาง การแสดงผลเปนเศษสวนอยางตา 1511

125

43


15


3/4<Space bar>

/

5/12<Space bar>

+11/15


กด <Space bar> 3 ครง


คลก บนแถบเมน 15

23

ตวอยาง การหาสตรอนพนธ dxd 2x


?

หมายเหต ? เปน Shortcut ของ

สญลกษณอนพนธอนดบหนง

x<Tab>

x^2 <Tab>

<Space bar><Space bar>


คลก บนแถบเมน 2 x⋅ .


ตวอยาง การหาปรพนธเปนสตร dx)7x4( +∫


<Ctrl> + I

หรอคลก ทแถบเครองมอ

คานวณ Calculus หมายเหต กด <Ctrl> + I จะไดสญลกษณปรพนธ

4*x+7<Tab>x

<Space bar>


คลก บนแถบเมน 2 x2

⋅ 7 x⋅+ .

หมายเหต ผลของการหาปรพนธ ดวยโปรแกรม Mathcad จะไมมคาคงตวเหมอนในวชา CALCULUS

ตวอยาง การหาคาลมต 1x

lim→

2x + 2x + 4


<Ctrl> + L


คานวณ Calculus

หมายเหต กด <Ctrl> + L จะไดสญลกษณลมต

x^2<Space bar>+2*x+4<Tab>

x<Tab>

1


<Space bar>


คลก บนแถบเมน 7

2.20 การใชคาสงในแถบเครองมอ Symbolic ชวยในการคานวณและแสดงผลลพธเปนสตร

การนาแถบเครองมอ Symbolic มาใชงาน

ขนท 1. นาแถบเครองมอ Math

ขนมาบนจอภาพ

ขนท 2. คลกทสญลกษณ จะไดแถบเครองมอ Symbolic

ตวอยางผลการคานวณโดยการใชคาสง

จากแถบเครองมอ Symbolic

2.20.1 การหาสตรอนพนธ dxd 2x โดยใชเครองมอ จากแถบเครองมอ Symbolic


?

หมายเหต ? เปน Shortcut ของ

สญลกษณอนพนธอนดบหนง

xx2d

d2 x⋅→ x4x 7+

⌠⌡

d simplify 2 x2⋅ 7 x⋅+→ .

x4 2 x2⋅− 3 x⋅− 2− factor x 2−( ) x 1+( )⋅ x2 x+ 1+( )⋅→

1xx2 4 x⋅+ 2+lim

→7→x 1−( ) x 2+( )⋅ expand x2 x 2−+→


x<Tab>

x^2 <Tab>



ทแถบเครองมอ Math

จะไดแถบเครองมอ Symbolic

คลก บนแถบเครองมอ

Symbolic แลวกด ↵ xx2d

d2 x⋅→ .

2.20.2 การหาปรพนธเปนสตร dx)7x4( +∫ โดยใชคาสง Symplify จากแถบเครองมอ Symbolic


<Ctrl> + I


คานวณ Calculus หมายเหต กด <Ctrl> + I จะไดสญลกษณปรพนธ

4*x+7<Tab>x

<Space bar>






Symbolic x4 x⋅ 7+⌠⌡

d simplify 2 x2⋅ 7 x⋅+→ .

2.20.3 การแยกตวประกอบ 4x - 2 2x - 3x - 2 โดยใชเครองมอจากแถบเครองมอ Symbolic


x^4<Space bar>-2*x^2

<Space bar>-3*x-2 กด <Space bar> 5 ครง

หมายเหต ใชการลากเมาสเขามา

คลมบรเวณสตรกได

หมายเหต การกด <Space bar> แตละครงจะมเสนตง

ฉากเพมขนมาคลมสตรทเราจะทาการคานวณ





factor↵ x4 2 x2

⋅− 3 x⋅− 2− factor x 1+( ) x 2−( )⋅ x2 x+ 1+( )⋅→

2.20.4 การกระจายสตรพหนาม (x - 1)(x + 2) โดยใชเครองมอจากแถบเครองมอ Symbolic


(x-1)*(x+2)↵

<Space bar>





expand↵

x 1−( ) x 2+( )⋅ expand x2 x 2−+→ .


2.20.5 การหาคาลมต 1x

lim→

2x + 2x + 4 โดยใชเครองมอจากแถบเครองมอ Symbolic


<Ctrl> + L


คานวณ Calculus

หมายเหต กด <Ctrl> + L จะไดสญลกษณลมต

x^2<Space bar>+2*x+4<Tab>

x<Tab>1

<Space bar>





Symbolic แลวกด ↵ 1xx2 2 x⋅+ 4+lim

→7→ .

2.20.6 การหาพหนามเทยเลอรดกร k ของฟงกชน ตวอยางการหาพหนามเทยเลอรดกร 3 ของ sin(x)


sin(x)




คลก series บนแถบเครองมอ

Symbolic


5<Tab>


เลข 5 เปนการหาพหนามเทยเลอรดกรไมเกน 5

x↵ sin x( ) series x, 5, 1 x⋅16

x3⋅−→

เพราะฉะนนพหนามเทยเลอรดกรไมเกน 5 ของ sin(x) คอ x - 6x3

2.20.7 การหาผลการแปลงลาปลาซ ตวอยางเชน L{sin(t)} = 1s

12 +


sin(t)




คลก laplace บนแถบเครองมอ

Symbolic

t↵ sin t( ) laplace t,1

s2 1+( )→

2.20.8 การหาผลการแปลงลาปลาซผกผน ตวอยางเชน }1s

1{L 21

+− = sin(t)


1/s^2<Space bar>+1






คลก invlaplace บนแถบเครองมอ

Symbolic

s↵ 1

s2 1+invlaplace s, sin t( )→

2.20.9 การแยกเศษสวนยอย ตวอยางเชนการแยกเศษสวนยอย )1x(x1+

= x1 - 1x

1+


1/x*(x+1)<Space bar><Space

bar>




คลก parfrac บนแถบเครองมอ

Symbolic

x↵ 1x x 1+( )⋅

convert parfrac, x,1x

1x 1+( )

−→

ในทานองเดยวกนจะไดวา

2 x3⋅ 5 x2

⋅− x+ 6−

x2 4 x⋅− 3+convert parfrac, x, 2 x⋅ 3+

4x 1−( )

+3

x 3−( )+→

บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 49

บทท 3.

การเขยนกราฟดวย Mathcad

โปรแกรม Mathcad มความสามารถในการเขยนกราฟไดหลายแบบ เชน กราฟในระบบพกดมมฉาก กราฟ

2 มต กราฟ 3 มต ฯลฯ ในบทท 3 นจะเปนทางานเกยวกบ การเขยนกราฟรปแบบตางๆ เพอใหไดรปของ

กราฟทมทงความเหมาะสม และ ความสวยงาม

ตวอยางของกราฟบางรปแบบทโปรแกรมสาเรจรป Mathcad ทาไดเชน

กราฟในพกดมมฉาก 2 มต กราฟพ นผว 3 มต

กราฟในพกดเชงขว กราฟ conture plot

8 4 0 4 825

255075

100100

25−

x2 3 x⋅− 7−

88− x

M

0

4590

135

180

225270

315

5

04 cos 2 x⋅( )⋅

x

M


3.1 การเขยนกราฟในพกด XY และการปรบรปแบบของกราฟ

ตวอยาง การเขยนกราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [0, 10]


f(x):2*x+3↵ f x( ) 2 x⋅ 3+:= x:0,0.1;10 x 0 0.1, 10..:= .

คลก ทแถบเครองมอ

จะไดแถบเครองมอ Graph

คลก

บนแถบเครองมอ Graph

หมายเหต กดเครองหมาย @

จะไดสญลกษณของการเขยน

กราฟ X-Y เหมอนกน

x<Tab>

10<Tab>

หมายเหต 1. การกาหนด x:=0,0.1..10 แปลวาคา x มคาเปน 0, 0.1, 0.2, ... , 10

เพราะฉะนนมการเขยนกราฟทงหมด 101 จด

2. ในกรณทพมพเฉพาะ x และ f(x) โปรแกรม Mathcad กสามารถเขยนกราฟได


f(x)<Tab>

0<Tab>

0<Tab>

30↵

0 5 100

2030

0

f x( )

100 x

หมายเหต กดสญลกษณ @ บนแปนพมพจะไดรปแบบของการเขยนกราฟเหมอนกน

ตอไปเราจะทาการเปลยนรปแบบกราฟใหไดหลายๆ แบบเชน

0 2 4 6 8 100

10

20

3030

0

f x( )

100 x0 2 4 6 8 10

5101520253030

0

f x( )

100 x01 2 3 4 5 6 7 8 910

5101520253030

0

f x( )

100 x


การ Format รปแบบกราฟใหมลกษณะตาง ๆ มขนตอนดงน


เลอกรปของกราฟทตองการ

เปลยนรปแบบ โดยการนาเมาส

ไปคลกทบรเวณของกราฟ

จะเกดกรอบคลมบรเวณกราฟ

คลก Format ทเมนบาร

เลอกเมนยอย Graph

เลอกเมนยอย X-Y Plot

จะไดเมนของการ Format กราฟดงน

หมายเหต วธทสะดวกทสดในการ Format กราฟคอ กดดบเบลคลก ในบรเวณกราฟทเราตองการจดรปแบบ

เมนยอยทมคอ X-Y Axes เมนยอยเกยวกบลกษณะของกรอบ และ สเกล

Traces เมนยอยเกยวกบลกษณะของเสนกราฟ สของกราฟ การพลอตจด

Labels เมนยอยเกยวกบการพมพชอของ แกน X แกน Y

Defaults เมนยอยของการกาหนดคามาตรฐานของการเขยนกราฟ

X-Y Axes เมนยอยของการจดรปแบบเกยวกบแกนพกด

Log Scale ใชกาหนดวาแกน X หรอ แกน Y เปนสเกล log

Grids Lines ใชกาหนดวาตองการตเสน grid หรอไม

Numbered ใชกาหนดวาตองการพมพตวเลขทแกน X หรอ แกน Y หรอไม

Autoscale ใชกาหนดวาตองการในคอมพวเตอรคานวณสเกลใหหรอไม

Show Markers ใชกาหนดวาตองการใหพมพสญลกษณท Plot กราฟหรอไม

Auto Grid ใชกาหนดวาตองการกาหนดจานวน grid เองหรอไม


◌Boxed ใชกาหนดวาตองการเขยนกราฟในกรอบสเหลยม

Crossed ใชกาหนดวาตองการเขยนกราฟโดยไมมกรอบสเหลยมลอมรอบ

None เปนการกาหนดวาไมตองเขยนแกน X และ แกน Y

หมายเหต มเครองหมาย ถก ในชองสเหลยมแปลวาตองการเลอก Option นน

Traces เมนยอยของการจดรปแบบ

เกยวกบการพลอตจดของกราฟ

Legend Label ใชแสดงหมายเลขเสนกราฟ

Symbol ใชกาหนดสญลกษณในการเขยนจด

เชนใชเครองหมาย +, x

Line ใชกาหนดชนดของเสนกราฟ

เปนเสบทบ เสนปะ

Color ใชกาหนดสของเสนกราฟเปน

สดา สแดง สนาเงน

Type ใชกาหนดรปแบบของเสนกราฟ

เชน พลอตเปนจด พลอตเปนจดและโยงเสน

Weigth ใชกาหนดความเขมหรอความหนาของเสนกราฟโดยทความเขมเพมจาก 1 ถง 9

ตวอยางของทางเลอก (Options)

ทมใหเลอกดจากภาพน


การเลอกใหคลกทบรเวณ

ของชองตรงตาแหนงหมายเลข 1

Label เมนยอยของการกาหนดคาอธบายเกยวกบแกนพกด


กาหนด Title เปน Graph of function y = f(x)

กาหนด Label ของแกน X เปน Value of X

กาหนด Label ของแกน Y เปน Value of Y

และเลอก Option Show Title

ดวยการ check box หนา Show Title ดวย

เสรจแลวคลก OK หรอทดลองคลก Apply


ภาพทไดคอ

Defaults เมนยอยกาหนดคามาตรฐานของการเขยนกราฟ

ใชในการเลอกการ

การกาหนดลกษณะกราฟ (Format)

ตามทโปรแกรม Mathcad กาหนดไว

ตวอยางการเปลยนรปแบบ การเขยนกราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [0, 10]

จากรปเดม ใหกลายเปน

ขนท 1. นาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณ

ของกราฟจะไดเมนของการ Format กราฟ

ขนท 2.

กาหนดทางเลอก (Options) ใน X-Y Axes ดงน

1. คลกท Auto Grid ของ แกน X

ใหเครองหมายถก หายไปเพอยกเลก Auto Grid

2. พมพ 5 ในชอง No. of Grids ของ แกน X

3. คลกท Auto Grid ของ แกน Y

ใหเครองหมายถก หายไปเพอยกเลก Auto Grid

4. พมพ 3 ในชอง No. of Grids ของ แกน Y

ขนท 3. คลก OK หรอ คลก Apply ภาพทไดคอ

0 2 4 6 8 100

10

20

3030

0

f x( )

100 x

0 2 4 6 8 100

10

20

3030

0

f x( )

100 x0 5 10

0

2030

0

f x( )

100 x

0 5 100

20

Graph of function y = f(x)

Value of x

Val

ue o

f y

30

0

f x( )

100 x




ขนท 1. นาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟจะไดเมนของการ Format กราฟ

ขนท 2.



ใหเครองหมายถกหายไป

เพอยกเลก Auto Grid


3. คลกท Auto Grid ของ แกน Y

ใหเครองหมายถก หายไป



5. คลกทวงกลมหนา Crossed

ใหเกดจดดาในวงกลม

6. เสรจแลวคลก OK หรอ คลก Apply

จะไดภาพตามทตองการ



01 2 3 4 5 6 7 8 910

5101520253030

0

f x( )

100 x

0 2 4 6 8 100

10

20

3030

0

f x( )

100 x

01 2 3 4 5 6 7 8 910

5101520253030

0

f x( )

100 x0 2 4 6 8 10

5101520253030

0

f x( )

100 x


ขนท 1. นาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟจะไดเมนของการ Format กราฟ

ขนท 2.



ใหเครองหมาย ถกหายไป



3. คลกท Auto Grid ของแกน Y

ใหเครองหมาย ถกหายไป



5. คลกทชอง Grid Line ใหเกดเครองหมายถก

ทงของแกน X และแกน Y

6. เสรจแลวคลก OK หรอ คลก Apply

จะไดภาพตามทตองการ

3.2 การยอและขยายขนาดของกราฟ

เขยนกราฟ f(x) = 2x + 3 บนชวง [0, 10]

เพอเปนตวอยางในการยอและขยาย

ขนตอนการยอและขยายขนาดกราฟ

ขนท 1. ลากเมาสเขาไปคลมบรเวณของกราฟ จะเกดกรอบสเหลยมทมเสนแบบเสนไขปลาลอมรอบกราฟ


ขนท 2. ขณะทกรอบเสนไขปลาลอมรอบกราฟ ใหปลอยมอจะเกดสเหลยมขอบเสนตรงคลมกราฟ

ขนท 3. ลากเมาสไปยงจดสดาทขอบของกรอบสเหลยมจะเกด

สญลกษณ ↔ หรอ หรอ การยอหรอขยายทาไดโดยลาก

เมาส ขณะทเกดลกศรตรงขอบทเอาเมาสไปเลอกไว

1. ยอหรอขยายทางดานขาง

2. ยอหรอขยายทางดานบน และ ลาง

3. ยอหรอขยายทงสองดานพรอมกน

ตวอยางการยอหรอขยายเชน

3.3 การ COPY CUT และ PASTE กราฟ

เขยนกราฟของ f(x) = 2x + 3

บนชวง [0, 10] เพอเปนตวอยาง

นาเมาสเขาไปคลกทบรเวณของกราฟ

จะไดสเหลยมทมเสนทบคลมรป

กดฟงกชนคย F2 หรอ <Ctrl> + C

เปนการ Copy กราฟรปน

เลอน Curser ไปทบรเวณนอกกราฟรปเดม

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1005

101520253030

0

f x( )

100 x01 23 45 6 78 910

05

101520253030

0

f x( )

100 x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

5

10

15

20

25

3030

0

f x( )

100 x


กดฟงกชนคย F4 หรอ <Ctrl> + V

เปนการ Paste กราฟท Copy

ไวลงตรงตาแหนงท Curser อย

ผลบนจอภาพคอ

หมายเหต หากตองการลบกราฟในกรอบทงทเลอกไว ใหกดฟงกชนคย F3 หรอ <Ctrl> + X

การเคลอนยายรปของกราฟโดยการลากเมาส

ขนท 1. ลากเมาสมาทเสนกรอบสเหลยม จะเกดรปมอทขอบของรปสเหลยมทคลมกราฟ

ขนท 2. กดเมาสคางไวและลากเมาสไปดวย กราฟรปนนกจะเคลอนยายตาม

หมายเหต เมอเลอกบรเวณของสตรบนจอภาพ เชนผลการคานวณ รปกราฟ หรอบางสวนในสตร

การกด ฟงกชนคย F2 หรอ <Ctrl> + C หมายถงการ Copy สตรหรอบรเวณทเลอกนน

ฟงกชนคย F3 หรอ <Ctrl> + X หมายถงการ Cut หรอการลบ สตรหรอบรเวณทเลอกนน

ฟงกชนคย F4 หรอ <Ctrl> + V หมายถงการ Paste สตรหรอบรเวณท copy ไว

3.4 การเขยนกราฟของแผนภาพการกระจายของขอมล

ตวอยางของขอมลเชน

การเขยนแผนภาพการกระจายของ X และ Y


กาหนดขอมล x และ y

กาหนดจดเรมตน

ORIGIN:1

และกาหนดตว Subscript

i:1;5

x

2

5

7

11

15

:=

y

4

10

25

32

38

:=

ORIGIN 1:= i 1 5..:= .

กดเครองหมาย @

หรอคลก


x y 2 4 5 10 7 25 11 32 15 38


x[i<Tab>

16<Tab>

y[i<Tab>

0<Tab>

0<Tab>


40<Tab>

↵

0 100

20

4040

0

yi

160 xi

กราฟทไดยงไมเปนแผนภาพการกระจาย ตอไปเราจะทาการ Format กราฟใหใหสวยงามและเหมาะสมเชน

การเปลยนรปแบบกราฟใหเปนแผนภาพการกระจายทมรปเปน

มขนตอนดงน

ขนท 1. เลอกรปของกราฟทตองการเปลยนรปแบบ

โดยการนาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟ

จะไดเมนของการปรบเปลยนรปแบบ

ขนท 2.

1. ยกเลก Auto Grid ของ X-Axis

และ ใส Number of Grids เปน 4

2. ยกเลก Auto Grid ของ Y-Axis


3. เลอก Axis Style เปน Crossed

ขนท 3.

1. เลอกเมนยอย Traces

โดยการคลกไปท Traces

2. เลอก Type การพลอตเปน points

3. เลอก Weight การพลอตเปน 3

ขนท 4. เสรจแลวคลก OK จะไดกราฟดงภาพขางตน

0 4 8 12 16

10

20

30

4040

0

yi

160 xi


การเปลยนรปแบบกราฟใหเปนแผนภาพการกระจายทมรปเปน





ขนท 2.






ขนท 3.



2. เลอก Symbol การพลอตเปน box

3. เลอก Type การพลอตเปน lines



3.5 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก

ตวอยางเชนการเขยนกราฟของเสนโคง

ทมสมการพาราเมตรก

x(t) = 80t

y(t) = –16 2t + 80t

บนชวง 0 < t < 5

0 4 8 12 165

1015202530354040

0

yi

160 xi

t 0 0.1, 5..:=

x t( ) 80 t⋅:=

y t( ) 16− t2⋅ 80 t⋅+:=

0 200 4000

100

y t( )

x t( )


ขนตอนการเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก


t:0,0.5;5↵

x(t):80*t↵

y(t):-16*t^2<Tab>+80*t↵

t 0 0.5, 5..:=

x t( ) 80 t⋅:=

y t( ) 16− t2⋅ 80 t⋅+:= กด @

x(t)<Tab>

400<Tab>

y(t)<Tab>


–25<Tab>

0<Tab>

125↵

กราฟทไดสามารถจดรปแบบไดหลายลกษณะเชน

การเปลยนรปแบบกราฟใหมรปเปน





0 100 200 300 40025

255075

100125125

25−

y t( )

4000 x t( )


ขนท 2. 1. ยกเลก Auto Grid ของ X-Axis





ขนท 3.






การเปลยนรปแบบกราฟใหมรปเปน





ขนท 2.






4. เลอกแสดง Grid Lines ท Y–Axis

0 100 200 300 40025

255075

100125125

25−

y t( )

4000 x t( )


ขนท 3. 1. เลอกเมนยอย Traces


2. เลอก Symbol การพลอตเปน box




3.6 การเขยนกราฟของสมการในพกดเชงขว

ตวอยางเชนการเขยนกราฟของฟงกชน

r(t) = 5sin(2t) บนชวง ] 2 , 0[ π

วธทา

ขนตอนการเขยนกราฟพกดเชงขว


t:0,0.1;2*π↵

r(t):5*sin(2*t)

t 0 0.1, 2 π⋅..:=

r t( ) 5 sin 2 t⋅( )⋅:=

คลก ทแถบเครองมอ

จะไดแถบเครองมอ Graph

คลก


หมายเหต <Ctrl> + 7

จะไดสญลกษณของการเขยน

กราฟพกดเชงขว

t<Tab>

t 0 0.1, 2 π⋅..:=

r t( ) 5 sin 2 t⋅( )⋅:=

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

420

5

0r t( )

t


r(t)<Tab>

0<Tab>

หมายเหต 0 เปนคานอยทสด

ของ 5sin(2t)

5↵

หมายเหต 5 เปนคามากทสด

ของ 5sin(2t)

หมายเหต เราสามารถจดรปแบบกราฟในพกดเชงขวโดยการกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟจะไดเมนยอย

ของการจดรปแบบกราฟในพกดเชงขวเปนดงน

เมนยอย Polar Axes

Log Scale กาหนดใหใชสเกล log

Grid Lines กาหนดใหตเสน grid

Number กาหนดใหมการเขยน

ตวเลขกากบสเกล

Show Markers กาหนดใหแสดงชนดของการ Plot

Auto Grid กาหนดจานวน Grid -ของแนวมม

และ แนวรศม

Perimeter กาหนดให Plot กราฟในแบบวงกลม

Crossed กาหนดให Plot กราฟ

ในแบบทมแกน X และ Y ตดกน

None เลอก Plot กราฟแบบไมมแกนพกด

เมนยอย Traces เมนยอย Labels เมนยอย Defaults


มหนาทเหมอนกราฟในพกดแกน XY (ดหวขอ 3.1) ตวอยางการจดรปแบบของกราฟและภาพของกราฟทได

3.7 การเขยนกราฟแบบ 3 มต

ตวอยางเชน กราฟของ f(x, y) = 2x – 2y บนชวง [–2, 2] × [–2, 2]

การเขยนกราฟพ นผว 3 มต แบบท 1.


x:-2,-1.99;2↵ x 2− 1.99−, 2..:= .

y:-2;-1.99;2↵ y 2− 1.99−, 2..:= .

f(x,y):x^2<Space bar>–y^2↵ f x y,( ) x2 y2−:= .

คลก



จะไดสญลกษณของการเขยนกราฟ

3 มต

f↵

f.

0

45

90

135

180

225

270

315

543210

5

0r t( )

t


การเขยนกราฟพ นผว 3 มต แบบท 2.


i:1;20↵ i 1 20..:= .

j:1;20↵ j 1 20..:= .

x[i:-2+0.2*i↵ xi 2− 0.2 i⋅+:= .

y[j:-2+0.02*j↵ y j 2− 0.2 j⋅+:= .

f(x,y):x^2<Space bar>–y^2↵ f x y,( ) x2 y2−:=

M[(i,j):f(x[i<Space bar>,y[j)↵ M i j,( ) f xi y j,( ):=

คลก



จะไดสญลกษณของการเขยนกราฟ

3 มต

M↵

M

การจดรปแบบของการเขยนกราฟ 3 มต

ทาไดโดยการกดดบเบลคลกทรปของกราฟ

จะไดเมนยอยของการเขยนกราฟ 3 มตคอ


เมน General

View ใชกาหนดเกยวกบมมมองของภาพ

Rotation กาหนดมมทหมนภาพ

องกบแกนมมฉาก ในการมองภาพ

Tilt กาหนดมมกม หรอ มมเงย

ของสายตาในการมองภาพ

Twist กาหนดมมทหมนภาพองกบแกนมมฉาก

ในการมองภาพ

Display As

Surface Plot กาหนดให plot กราฟแบบพนผว

Data Points กาหนดให plot กราฟแบบพนผวแบบกราฟแสดงขอมล

Bar Plot กาหนดให plot กราฟแบบ bar graph

Contour Plot กาหนดให plot กราฟแบบคอนทวร

Vector Field Plot กาหนดให plot สนามเวกเตอร

Patch Plot กาหนดให plot รปแบบพเศษ patch plot

Axes Style

Perimeter กาหนดใหแสดงแกนพกด หรอไมแสดงแกนพกด กราฟทดานลางของกราฟ

Corner กาหนดใหแสดงแกนพกด หรอไมแสดงแกนพกดในระบบพกด XYZ

None กาหนดใหไมแสดงแกนพกด

Frames

Show Border กาหนดใหแสดงขอบของรป

Show Box กาหนดใหแสดงกลองทคลมรป

เมน Axes

ใชกาหนดเกยวกบเสนของการเขยนกราฟ

X-Axis กาหนดคาตางๆ เกยวกบแกน X

Y-Axis กาหนดคาตางๆ เกยวกบแกน Y

Z-Axis กาหนดคาตางๆ เกยวกบแกน Z

เมน Apperarance

ใชในการกาหนดส การแรเงา ลกษณะเสน

ของการ plot กราฟ

เชน Alternate Mesh แสดงกราฟในรปแบบตาขาย


เมนยอย Graph Title

ใชกาหนดเกยวกบชอของกราฟ

เชนแสดงชอของกราฟ ชอของฟงกชน

โดยเลอกแสดงไวเหนอกราฟ ใตกราฟ

หรอไมแสดง

หมายเหต การหมนภาพพนผวสามารถทาไดโดยการนาเมาสไปดบเบลคลกทรป และนา pointer ชในกรอบรป

ของกราฟ การหมนภาพพนผวทาไดโดยใชการเคลอนทของเมาสเปนตวควบคม

ตวอยางของการเขยนกราฟแบบตาง ๆ

รปแบบการเลอกแบบท 1.



กราฟรปแบบ Contour Plot

M

M

M


3.8 ตวอยางการประยกตวธเขยนกราฟในรปแบบผสม

3.8.1 การเขยนกราฟ 2 เสนพรอมกน

ตวอยาง กราฟของ f(x) = 3x + x – 1

และ g(x) = 10 2x – 12

แนะนาการพมพ

การพมพสตรของฟงกชนบนแกน Y

เมอพมพ f(x) ทตาแหนงแกน Y แลว ใหกด ,

จะเปนการขนบรรทดใหม

ใหพมพ g(x) แลว กด Tab เพอเลอนไปตาแหนงอน ๆ ตอไป

ตวอยาง กราฟพกดเชงขว

ของ f(t) = 5 + 4sin(t)

และ g(t) = 12cos(2t)

3.8.2 การเขยนกราฟใหมลกษณะของการแรเงา

แนะนาการพมพ

กาหนดโดเมนของการ Plot ใหตางกน

แตใชสตรของ f เหมอนกน

กาหนดชวง x และ t ใหตางกน

บนแกน Y ใหพมพ f(x),f(t)<Tab>

และ บนแกน X ใหพมพ x,t<Tab> เลอกรปแบบการ plot ของเสนกราฟ f(t) เปนแบบ bar graph

3.8.3 การเขยนกราฟของคลาดบ และ กราฟเสนในกรอบเดยวกน

แนะนาการพมพ ทแกน Y ใหพมพ y[i,f(t)<Tab>

ทแกน X ใหพมพ x[i,t<Tab>

กราฟเสนท 1 เลอก Type ของการ plot เปน points

กราฟเสนท 1 เลอก Weight การ plot เปน 3 และ กราฟเสนท 2 เลอก Type ของการ plot เปน lines

2 1 0 1 2

15

15

3030

15−

f x( )

g x( )

22− x

t 0 0.1, 2 π⋅..:=

f t( ) 5 4 sin t( )⋅+:=

g t( ) 12 cos 2 t⋅( )⋅:=

0

45

90

135

180

225

270

315

12840

12

0f t( )

g t( )

t

4 3 2 1 0 1 2 3 4

2

4

6

88

0

f x( )

f t( )

44− x t,

ORIGIN 1:=

i 1 5..:=x

3

5

10

15

22

:= y

12

35

57

63

74

:=f x( ) 3 x⋅ 14+:=

t 0 0.1, 30..:=

0 5 10 15 20 25

16

32

48

64

8080

0

yi

f t( )

250 xi t,

x 2− 1.9−, 2..:=

f x( ) x3 x+ 1−:=

g x( ) 10 x2⋅ 12−:= .

f x( ) x2:=

x 4− 3.99−, 4..:= .t 2− 1.9−, 2.5..:=


3.8.4 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก 2 เสนพรอมกน

แนะนาการพมพ การพมพบนแกน X ใหพมพ x(t), z(t)

การพมพบนแกน Y ใหพมพ y(t), w(t)

กาหนดรปแบบการ Plot ของเสน 1 เปนแบบ lines และ เลอก Symbol เปนวงกลม

กาหนดรปแบบการ Plot ของเสนท 2 เปนแบบ lines และ เลอก Symbol เปนสเหลยม

3.8.5 การเขยนกราฟโดยการกาหนดฟงกชนทตาแหนงของแกน และ รปแบบอน ๆ

กราฟของ )x2sin(e3y x−= กราฟของ y = sinx และ )x2sin(e3y x−=

กราฟของ x = cosy กราฟของ r = 8cos(2t) และ r = 6(cost + sint)

t 0 0.5, 10..:=

x t( ) 80 t⋅:=

y t( ) 10− t2⋅ 100 t⋅+:=

z t( ) 60 t⋅:=

w t( ) 15− t2⋅ 150 t⋅+:=

0 200 400 600 800100

100

200

300

400400

100−

y t( )

w t( )

8000 x t( ) z t( ),

y 1− 0.99−, 4..:=

2 1 0 1 21

1234

y

cos y( )

t 0 0.01, 2 π⋅..:=

0

45

90

135

180

225

270

315

1086420

8 cos 2 t⋅( )⋅

6 cos t( ) sin t( )+( )⋅

t

x 0 0.01, 6..:=

0 1 2 3 4 5 6

2

1

1

2

3 e x−⋅ sin 2 x⋅( )⋅

x

x 0 0.01, 6..:=

0 1 2 3 4 5 6

2

1

1

2

3 e x−⋅ sin 2 x⋅( )⋅

sin x( )

x

บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 73

บทท 4.

การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad

ในบทนจะเปนการใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรมสาเรจรป Mathcad เชนการพมพสตรคานวณทมความ

ยงยากซบซอน การแกไขสตรทพมพผด การเปลยนแปลงขนาดตวแปร ตวอกษร ตวเลข และการกาหนด

ขอความหรอคาอธบายตาง ๆ ฟงกชนทสาคญทางคณตศาสตร และ ตวแปรทสาคญทางคณตศาสตร

4.1 การกาหนดคาตางๆ ในการแสดงผลเกยวกบตวเลข

การกาหนดตาแหนงของทศนยม

คา default ของการแสดงผลทศนยมกาหนดใหแสดง 3 ตาแหนง

การแสดงผลในรปแบบเลขยกกาลง

คา default ของการแสดงผลการคานวณทใหญหรอเลกเกนไปจะแสดงเปนเลขยกกาลง

การกาหนดฐานของตวเลขในการคานวณ

คา default ของการแสดงผลการคานวณโดยทวไปจะคดเปนเลขฐาน 10


วธเปลยนรปแบบการแสดงผลของตวเลข

ขนท 1. เลอนเมาสไปท Menu Bar คลกท Format จะไดแถบคาสง

ใหเลอกคาสง Result

จะไดเมนยอยของการ Format ตวเลขและการแสดงผลเปนดงน


เมน Result Format

เมนยอย Number Format

General

Number of decimal places

เลอกวาตองการแสดงผลกตาแหนง

โดยการเปลยนคาในชองตวเลข

Show trailing zeros

กาหนดให ตดศนยทายเลขทศนยม

ทงไปหรอใหแสดงออกมาดวย

Show exponents in engineering format ตองการแสดงผลเปนเลขยกกาลงหรอไม

Exponential threshold ใชกาหนดคา k , k = 1, 2, 3, ... , 15 เพอกาหนดเงอนไขในการแสดงผลตวเลข

ถาตวเลขทตองการแสดงผลมคาสงกวาหรอตากวา k10± แลวใหแสดงผลในรปแบบเลขยกกาลง

เมนยอย Display Options

Matrix display style

เลอกการแสดงผลของตวแปร

ในรปแบบ เวกเตอร เมทรกซ หรอรปแบบตาราง

Imaginary value

เลอกสญลกษณแทนจานวนเชงซอน 1− เปน i หรอ j

Radix

เลอกการแสดงผลตวเลขเปนเลขฐาน 10, 2, 8 หรอ ฐาน 16

เมนยอย Unit Display

Format units

กาหนดใหแสดงหนวยของผลลพธการคานวณ

Simplify units when possible

กาหนดใหแสดงหนวยของผลลพธการคานวณตามความเหมาะสมของผลการคานวณทได

เมนยอย Tolerance

Complex threshold

กาหนดการแสดงผลเกยวกบจานวนเชงซอน

กาหนดคา k = 0, 1, 2, 3, ... , 63

ตวอยางเชน k = 10 ถา 1010)zIm()zRe( −< แลว จะแสดงผลเฉพาะคาของ Re(z)

ถา 1010)zRe()zIm( −< แลว จะแสดงผลเฉพาะคาของ Im(z)


Zero threshold

กาหนดการแสดงของตวเลขวา

ตองการปดเปนศนยหรอไม

k = 0, 1, 2, 3, ... , 307

การแสดงผลของตวเลขจะปดเปนศนยถาคาของตวเลขนนตากวา k10−

ตวอยาง 008333.01201

= จะแสดงผลตามคาของ Zero threshold ดงน

Zero threshold การแสดงผล

3 1120

0.008333= .

2 1120

0= .

ตวอยาง Number Format และผลลพธบนจอภาพ




ตวอยางการแสดงผลแบบเมทรกซกบรปแบบตาราง

ตวอยางผลลพธทเลอกใชคา Complex threshold

Complex threshold ผลการคานวณทแสดงผลออกมา

10 1120

12

i+ 8.333 10 3−× 0.5i+= .

1 1120

12

i+ 0.5i=14

1150

i+ 0.25=

2 1120

12

i+ 8.333 10 3−× 0.5i+= .

Predefined Math Constants คอคาคงตวทโปรแกรม Mathcad กาหนดไวใหมดงน

สญลกษณ ตวแปร การพมพ คาตวเลข

∞ <Ctrl + Shift> + z 307101× e e e 2.71828182845905= .

π <Ctrl + Shift> + p π 3.14159265358979= .

i 1i 1− j 1j 1− % % A% มคา = 100

A เชน 27 %⋅ 0.27= .

ORIGIN ORIGIN:k ORIGIN k:= .

กาหนดคา Subscript เรมตนของตวแปร

TOL TOL:0.000...01 คาท Mathcad กาหนดคอ TOL = 0.001

เราสามารถกาหนดเปนคาอน ๆ ได เชน

TOL 0.00001:= .

CTOL CTOL:0.000...01 คาตวเลขทใชควบคมความถกตองของการ

หาผลเฉลยของระบบสมการ

ตวอยางเชนการหารากสมการ 2x – 2 = 0 ซงมคาราก x = 2

TOL 0.01:= . x 1:= root x2 2− x,( ) 1.413828=

TOL 0.000001:= . x 1:= root x2 2− x,( ) 1.414214=

คา TOL นอยคารากทไดจะถกตองมากขน คาสง root(f(x),x) คอรากของสมการ f(x) = 0

ORIGIN 1:= i 1 3..:= j 1 3..:= x i j,( ) i j+:= .

x

2

3

4

3

4

5

4

5

6

= x

1 2 3

12

3

2 3 43 4 5

4 5 6

=


4.2 การพมพสตรทยงยากซบซอน

การพมพสตรทางคณตศาสตรทมความยงยากซบซอนเชน 2

2ze

21)z(f

−

π= มแปนอกขระชวยในการพมพคอ

<Space bar> ใชขยายบรเวณของเสนตงฉาก (บรเวณเสนสนาเงนทคลมสตร) คราวละหนงขนตอน

แปนลกศร ใชเลอนตาแหนงของ Curser หรอ เสนตงฉาก ทอยในบรเวณสตร

แปนลกศร ใชยกเลกบรเวณของเสนตงฉากทกาลงคลมสตร

ตวอยางการพมพสตร 2

2ze

21)z(f

−

π=


f(z):1

\

2*

2*<Ctrl + Shift > + p

<Space bar>

เสนตงฉากขยายมาคลมเลข 2

<Space bar>

เสนตงฉากขยายมาคลม

<Space bar>

เสนตงฉากขยายมาคลมทงเศษและสวน

*

e^


–z^2

เสนตงฉากคลมเฉพาะเลขกาลง 2

<Space bar>

เสนตงฉากขยายคลม 2z

/

เฉพาะบรเวณเสนตงฉากคลมเทานนทถกหาร

2↵

f z( )1

2 π⋅e

z2−

2⋅:=

หมายเหต f(z) เปนฟงกชนทชวยในการหาพนทใตโคงปกตมาตรฐาน เชน P(–1 < z < 1) = 0.6827

4.3 การลบ การคดลอก สตร ตวแปร และ ตวเลข

ใน Mathcad จะมอง สตร ตางๆ เปนบรเวณทลอมดวยกรอบสเหลยม

เมอทาการกดเมาสคางไว

แลวลากเมาสเขาไปทบรเวณของสตร

จะเหนกรอบสเหลยมคลมสตร

เมอปลอยมอกจะมกรอบสเหลยมคลมสตรทงหมด

และ มเสนตงฉากคลมสตรตวจรงภายใน

เชน ลากเมาสไปคลมสตร x + y = 17

ขณะน เราไดทาการเลอกบรเวณของสตรแลว

ขณะน เราสามารถทาการ copy , cut , paste หรอ เคลอนยายสตรได ดวยการกด

f z( )1

2 π⋅e

z2−

2⋅:=

z 4− 3.99−, 4..:=

t 1− 0.9−, 1..:=

1−

1zf z( )

⌠⌡

d 0.6827= 4 3 2 1 0 1 2 3 4

0.5

0

f z( )

f t( )

44− z t,


การกด ฟงกชนคย F2 หรอ <Ctrl> + C หมายถงการ Copy สตรหรอบรเวณทเลอกนน

ฟงกชนคย F3 หรอ <Ctrl> + X หมายถงการ Cut หรอการลบ สตรหรอบรเวณทเลอกนน

ฟงกชนคย F4 หรอ <Ctrl> + V หมายถงการ Paste สตรหรอบรเวณทเลอกไว

การเคลอนยายสตรทาไดโดยการนาเมาสไปขอบของสเหลยม เมอเรากดเมาสคางไวกจะเปนรปมอทขอบ เมอ

เราลากเมาสไป กรอบสเหลยมทคลมสตรกจะยายตามไปดวย

4.4 การแกไขเกยวกบการพมพผด

เนองจาก Mathcad จะทาการจดรปแบบการพมพใหเหมาะสมตลอดเวลา ดงนนการทเราจะทาการลบ

อกษรบางตวดวย <Backspace> หรอ <Delete> หรอการพมพแทรก <Insert> ภายในสตรอาจจะทาใหรปแบบ

ของสตรขณะนนเปลยนแปลงไป อยางไรกตามหากเรามความชานาญในการเอา Pointer ไปช ตองตาแหนงทเรา

ตองการ ลบ หรอ พมพแทรก กจะทาใหการแกไขทาไดสะดวกมากขน และทางเลอกสดทายสาหรบผทเรมตน

ใช Mathcad ขอใหพมพใหมดทสด หรอพมพอยางชาตามคาแนะนา เมอชานาญแลวคอยพมพใหเรวขน

ตวอยางการแกไขสตรจาก 2

2ze

21)z(f

−

π= เปน

4ze2)z(f −

π=


เอา Pointer ไปชทเลข 1 ของสตร

f z( )1

2 π⋅e

z2−

2⋅:=

<Backspace>

2


ในเครองหมาย

<Backspace>


<Delete>

<Delete>


ทเปนตวหาร 2z

<Backspace><Delete>

<Delete>

4↵ f z( )

2

πe z4−⋅:=

4.5 การทา Remark ใน Mathcad

ในการทางานเราสามารถเขยนคาอธบายเพอเปนหมายเหต

ประกอบสตรคานวณ และ/หรอ คาอธบายของตวโปรแกรม ตวอยางเชน

ในตวอยางน Program 1 addition เปนหมายเหตของตวโปรแกรมซง Mathcad เรยกขอมลแบบน วา Text

การพมพขอมลแบบ Text ใน Mathcad


“

Program 1 Addition

<PageDown> Program 1 addition

หมายเหต กด จะไดบรเวณสเหลยมสาหรบพมพขอความ

ในบรเวณกรอบของ Text การกด Enter คอการขนบรรทดใหมภายในกรอบ

การออกจากบรเวณของ Text ตองกด <PageDown>


4.6 การเปลยนแปลงขนาดและรปแบบของตวอกษร และ ตวเลข

การเปลยนแปลงขนาดและรปแบบตวอกษรตวเลข วธทาคลายกบการใชโปรแกรม Microsoft Word หรอ

Excell แตในโปรแกรม Mathcad จาแนกรปแบบออกเปน 3 กลมคอ

1. กลมตวเลข

2. กลมตวอกษร

3. กลมตวเลข และ ตวอกษรทอยในบรเวณของ Text

ตวอยาง ภาพจากหนาจอ Mathcad

1. Curser อยท text

2. ชองแสดงชนดเปน Normal

3. Font ของ text คอ Arial

4. ขนาดของ Font เปน 10 point


1. Curser อยท ตวแปร a

2. ชองแสดงชนดเปน Varibles

3. Font ของ Variables คอ Time New Roman



1. Curser อยท ตวเลข

2. ชองแสดงชนดเปน Constants

3. Font ของ Constants คอ Tahoma


การเปลยน Fonts หรอ ขนาดของ Fonts

ขนท 1. ใหนา pointer ไปคลกท Text, Variables หรอ Constants

ขนท 2. เลอกชนดของ Fonts เปน Time New Roman , Tahoma ตามทตองการ

ขนท 3. เลอกขนาดของ Fonts เปน 8, 10, 12, ... ตามทตองการ

ตวอยางเชน การเปลยน Text Variables และ Constants เปน Tahoma 12

Program addition

a 1:=b 2:=a b+ 3=


4.7 การหารากสมการ และผลเฉลยของระบบสมการและการควบคมความถกตอง

การคานวณเกยวกบการหารากของสมการ เชนการใชคาสง root หรอ การหาคาตอบของระบบสมการดวย

ชดคาสง Given...Find โปรแกรม Mathcad จะตรวจความถกตองวาคาตอบทไดนนถกตองมากหรอนอย โดย

การตรวจสอบคาคลาดเคลอนกบคาของ TOL และ CTOL ซงเปนตวแปรทกาหนดคาไวลวงหนาแลวเปน

0.001 ดงนนหากเราตองการความถกตองมากขนจะตองลดคาของ TOL หรอ CTOL ใหเลกลงเชนกาหนด

TOL = 0.0000001 หรอ CTOL = 0.00000001

การหารากของสมการ f(x) = 0

ขนท 1. กาหนดสตร f(x)

ขนท 2. กาหนดจดเรมตนของการประมาณคาราก

ขนท 3. กาหนดคา TOL

ขนท 4. ใชคาสง root(f(x),x)

ตวอยางการหารากของสมการ 2x – 2 = 0


f(x):x^2<Spacebar>–2↵ f x( ) x2 2−:= .

x:1↵ x 1:= .

TOL:0.1↵ TOL 0.1:= .

root(f(x),x)=↵ root f x( ) x,( ) 1.406654= .

TOL:0.000001↵ TOL 0.000001:= .

root(f(x),x)=↵ root f x( ) x,( ) 1.414214= .

หมายเหต คาจรงทถกตอง 14 ตาแหนงของรากสมการ 2x – 2 = 0 คอ 2 1.4142135623731= .

เมอเขาสโปรแกรม Mathcad ครงแรกคาของ TOL กาหนดไวเทากบ 0.001

การหาผลเฉลยของระบบสมการดวยชดคาสง Given...Find

ขนท 1. กาหนดคา TOL

ขนท 2. กาหนดจดเรมตนของการประมาณคาราก

ขนท 3. ใชคาสง Given

ขนท 4. พมพระบบสมการ

ขนท 4. ใชคาสง Find

ตวอยางการหาจดตดของเสนตรง y – x = 0 กบ วงกลม 2x + 2y = 1


CTOL:0.00001↵ CTOL 0.00001:= .

x:1↵ x 1:= .


y:1↵ y 1:= .

Given↵ Given .

y-x<Ctrl>+=0↵ x y− 0 .

x^2<Spacebar>–+y^2

<Spacebar><Ctrl>+=1↵ x2 y2

+ 1 .

Find(x,y)=↵

y

Find x y,( )0.7071054437

0.7071054437

= .

หมายเหต เมอเราลดขนาดของ CTOL ผลการคานวณจะถกตองมากขน ตวอยางเชน

หมายเหต พกดจดตดทแทจรงคอ (x = 0.707106781186547 , y = 0.707106781186547)

4.8 การบนทกแฟมขอมล Mathcad และ เรยกแฟมขอมลขนมาทางาน

เมอเรมทางานครงแรกกบ Mathcad จะเหนวาชอแฟมของงานทเราทาจะมชอทโปรแกรม Mathcad กาหนดคอ

[Untitled: 1] สมมตงานทเราทาขณะนคอ โปรแกรมการหารากสมการ

4.8.1 การบนทกแฟมขอมล

ขนท 1. คลกท File และเลอก คาสง Save

จะไดเมนยอยของการบนทกแฟม

ขนท 2. พมพชอแฟมตามทตองการเชน Findroot

CTOL 0.00001:=

x 1:=

y 1:=

Given

x y− 0

x2 y2+ 1

Find x y,( )0.707105443654304

0.707105443654304

= .

CTOL 0.0000001:=

x 1:=

y 1:=

Given

x y− 0

x2 y2+ 1

Find x y,( )0.707106776742374

0.707106776742374

= .


ขนท 4. คลกท Save

จะเหนวา [Untitled: 1] กลายเปน [Findroot] แลว

4.8.1 การเรยกแฟมขอมลเกาขนมาทางาน

สมมตขณะนจอภาพของเราวาง

เนองจากเขามาส Mathcad ครงแรก

ขนท 1. คลกท File และเลอกคาสง Open

จะไดเมนยอยของการเปดแฟม

ขนท 2. พมพชอแฟมทตองการเปดคอ Findroot

ขนท 3. คลก Open จะไดแฟมขอมลทตองการ

หมายเหต คาสง File\New.. คาสง File\Save As.. คาสง File\Close.. มลกษณะใชงานเหมอนกบการทางาน

ทวไปของระบบ Windows

บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad Mathcad – 85

บทท 5.

การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad

ในบทนจะเปนการนาคาสงตางของโปรแกรมสาเรจรป Mathcad มาใชในการเขยนโปรแกรมเพอเพม

ความสามารถในการคานวณใหมากขน แผนภมสายงานทใชในการคานวณเปนดงน

เรมตน ↓

กาหนดคาตางๆ ของตวแปร ↓

คานวณคาตางๆ ตามสตร ↓

แสดงผลการคานวณ ↓

จบการทางาน

โปรแกรมท 1. การหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดความยาวของดาน a, b, c

แนวคดของโปรแกรมภาษา Mathcad คอการนา คาสงกาหนดคา คาสงคานวณ มาประกอบกนเปนการทางาน

แบบโปรแกรม จากโปรแกรมท 1. เราสามารถจาแนกสวนของการทางานตางๆ ดงน

สวนของ INPUT คอ สวนประมวลผลคอ สวนแสดงผลคอ

Program 1. Find area of triangle

a 3:=b 4:=c 5:=

sa b+ c+

2:=

Area s s a−( )⋅ s b−( )⋅ s c−( )⋅:=

Area 6=

a 3:=b 4:=c 5:=

sa b+ c+

2:=

Area s s a−( )⋅ s b−( )⋅ s c−( )⋅:=Area 6=


เมอเราเปลยนคา a, b, c ใหมกจะไดผลการคานวณใหมดงน

โปรแกรมท 2. การหาเมทรกซผกผน และ เมทรกซผกพนของ A

โปรแกรมท 3. การหารากท n ของจานวนเชงซอน

โปรแกรมท 4. การหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดพกดจดยอด 3 จด

หมายเหต ถา ( 1a , 1b ), ( 2a , 2b ), ( 3a , 3b ) เปนพกดจดยอดสามเหลยม

แลวพนทสามเหลยมเทากบ )bbaabbaadet()2

1(13131212

−−−−

a 5:=

b 12:=

c 13:=

sa b+ c+

2:=

Area s s a−( )⋅ s b−( )⋅ s c−( )⋅:=

Area 30=

Program 2. Find inverse and adjoint matrix of A

A1

5

2

9

:=

adjA A A 1−⋅:=

A 1−= A 1− 9−

5

2

1−

= adjA9

5−

2−

1

=

Program 3. Find root of complex number

ORIGIN 0:= a 81:= b 0:= i 1−:= z a b i⋅+:= n 4:= r z:=

θ arg z( ):= k 0 n 1−..:= αkθ 2 k⋅ π⋅+

n:= xk

n r cos αk( ) i sin αk( )⋅+( )⋅:=

xk

33i

-3

-3i

=k

01

2

3

=

Program 4. Find area of triangle

a1 0:= b1 0:= a2 5:= b2 0:= a3 0:= b3 12:= .

Area12

a2 a1−

a3 a1−

b2 b1−

b3 b1−

⋅:=

Area 30=


โปรแกรมท 5. การหาคาเฉลย และ สวนเบยงเบนมาตรฐาน

โปรแกรมท 6. การหาระยะทางจากจด ( 0x , 0y ) ไปยงเสนตรง ax + by + c = 0

โปรแกรมท 7. การเขยนกราฟของ f(x) และ )x(f '

โปรแกรมท 8. การหาความนาจะเปน

มลกบอลทงหมด N = 20 ลก เปนสดา k = 5 ลก

หยบออกมาพรอมกน n = 4 ลก

P(x) = ความนาจะเปนทจะไดลกบอลสดา x ลกเทากบเทาใด

Program 5. Find mean and standard deviation

ORIGIN 1:=

x

2

5

7

11

15

:=n length x( ):=

i 1 n..:=

xbar1

n

i

xi∑=

n:= xbar 8= sd

1

n

i

xi( )2∑=

nxbar2−:= sd 4.561=

Program 6. Find distance from (xo,yo) to line ax+by+c = 0

a 3:= b 4:= c 10:= xo 2:= yo 5:=

distancea xo⋅ b yo⋅+ c+

a2 b2+

:= distance 7.2=

Program 8. Find Probability P(x)

C n r,( )n!

r! n r− !⋅:= N 20:= k 5:= n 4:= x 0 n..:= P x( )

C k x,( ) C N k− n x−,( )⋅

C N n,( ):=

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4

105

5101520

20

10−

f x( )

fpi x( )

45− x

Program 7. Graph of f(x) and f '(x)

f x( ) x2 4 x⋅+ 5−:= fpi x( )xf x( )d

d:=

x 5− 4.99−, 4..:=

x

01

2

3

4

= P x( )

0.28170.4696

0.2167

0.0310

0.0010

=


โปรแกรมท 9. การคานวณในรปแบบการกระทาซา การหารากโดยวธของนวตน

การหารากของสมการ f(x) = 3x + 3 2x – 4x +6, 0x = 1 สตรการหารากคอ )x(f

)x(fxxn

'n

n1n −=+

โปรแกรมท 10. การคานวณคาเจาะจงและเวกเตอรเจาะจงของเมทรกซ

โปรแกรมท 11. การคานวณคาความยาวเสนโคง

การหาความยาวเสนโคง r(t) = (6 2t , 4 2 t, 3 4t ) จาก t = –1 ถง t = 2

โปรแกรมท 12. การหารากของพหนามระดบขน 2 เชนการหารากของสมการ 2x + 2x –3 = 0

Program 10. Find eigen value and eigen vector of A

A1

2

1

2

:= eigenvals A( )0

3

= eigenvec A 0,( )0.707−

0.707

= eigenvec A 3,( )0.447

0.894

=

Program 11. Find length of curve

t1 1−:= t2 2:= x t( ) 6 t2⋅:= y t( ) 4 2⋅ t3⋅:= z t( ) 3 t4⋅:=

t1

t2

tt

x t( )( )dd

2

ty t( )( )d

d

2+

tz t( )( )d

d

2+

⌠⌡

d 81=

Program 12. Find root of polynomial degree 2

a 1:= b 2:= c 3−:=

x1b− b2 4 a⋅ c⋅−−

2 a⋅:= x2

b− b2 4 a⋅ c⋅−+

2 a⋅:=

x1 3−= x2 1=

Program 9. Find root of f(x) = 0 using Newton's Method

ORIGIN 0:= f x( ) x3 3 x2⋅+ 4 x⋅− 6+:= fpi x( )

xf x( )d

d:= x0 4−:= n 0 10..:= .

xn 1+ xn

f xn( )fpi xn( )−:= n 1 5..:=

xn

-4.30000000-4.26739384

-4.26697468

-4.26697461

-4.26697461

=n

12

3

4

5

=


โปรแกรมท 13. การหารากของพหนามระดบขน 3 เชนสมการ 3x – 6 2x + 3x + 10 = 0

เพราะฉะนนรากสมการคอ 5, –1, 2

โปรแกรมท 14. การหาพนทใตโคงปกตมาตรฐาน จาก z = a ถง z = b

โปรแกรมท 15. การหาสมการวงกลมทผานจด 3 จดทกาหนดให

จงหาสมการวงกลมทผานจด (3, –4), (3, 4), (4, 3)

Program 12. Find root of polynomial degree 3

ORIGIN 1:= i 1 3..:= p 6−:= q 3:= r 10:= a13

3 q⋅ p2−( )⋅:= b

127

2 p3⋅ 9 p⋅ q⋅− 27 r⋅+( )⋅:=

A

3b2

−b2

4a3

27++:= B

3b2

−b2

4a3

27+−:=

x1 A B+( )p3

−:= x1 5=

x2A B+

2

−A B−

2

3−⋅+

p3

−:= x2 1−=

x3A B+

2

−A B−

2

3−⋅−p3

−:= x3 2=

Program 14. Find area from z = a to z = b

a 1:= b 2:= f z( )1

2 π⋅e

z2

2−

⋅:= z 4− 3.99−, 4..:= t a a 0.06+, b..:=

P a b,( ) cnorm b( ) cnorm a( )−:= P a b,( ) 0.1359=

4 3 2 1 0 1 2 3 4

0.1

0.2

0.3

0.4

f z( )

f t( )

z t,

Program 15. Find circle

x2 y2+

25

25

25

x

3

3

4

y

4−

4

3

1

1

1

1

0 8− x2⋅ 8 y2

⋅− 200+ 0→ .


สมการวงกลมทผานจด (3, –4), (3, 4), (4, 3) คอ 8− x2⋅ 8 y2

⋅− 200+ 0 .

จงหาสมการวงกลมทผานจด (1, 1), (1, –1), (–1, 1)

สมการวงกลมคอ 4− x2⋅ 4 y2

⋅− 8+ 0 .

โปรแกรมท 16. การหาสมการทรงกลมทผานจด 4 จดทกาหนดให

ตวอยาง จงหาทรงกลมทผาน 4 จดทกาหนดใหคอ (1, 2, 3), (–1, 2, 3), (1, –2, 3), (1, 2, –3)

สมการทรงกลมคอ 48 x2⋅ 48 y2

⋅+ 48 z2⋅+ 672− 0 .

ตวอยาง จงหาทรงกลมทผาน 4 จดทกาหนดใหคอ (1, 1, 1), (–1, 1, 1), (1, –1, 1), (1, 1, –1)

สมการทรงกลมคอ 8 x2⋅ 8 y2

⋅+ 8 z2⋅+ 24− 0 .

Program 15. Find circle

x2 y2+

2

2

2

x

1

1

1−

y

1

1−

1

1

1

1

1

0 4− x2⋅ 4 y2

⋅− 8+ 0→ .

Program 16. Find conic equation

x2 y2+ z2

+

14

14

14

14

x

1

1−

1

1

y

2

2

2−

2

y

3

3

3

3−

1

1

1

1

1

0 48 x2⋅ 48 y2

⋅+ 48 z2⋅ 672−+ 0→ .

Program 16. Find conic equation

x2 y2+ z2

+

3

3

3

3

x

1

1−

1

1

y

1

1

1−

1

y

1

1

1

1−

1

1

1

1

1

0 8 x2⋅ 8 y2

⋅+ 8 z2⋅ 24−+ 0→ .

บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 91

บทท 6.

การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad

ในบทนจะเปนการนาความสามารถของโปรแกรมสาเรจรป MATHCAD มาใชในการคานวณเพอเสรมการ

เรยนการสอนคณตศาสตรระดบมธยมศกษาตอนปลายโดยจาแนกเนอหาคณตศาสตรตามระดบ ม.4 – ม.6

6.1 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 011

1. การคานวณเบองตน บวก ลบ คณ หาร เลขยกกาลง และ การหารากท 2

2. การคานวณคาในรปแบบตาราง การกาหนดสตรฟงกชนและการคานวณคา

3. การเขยนกราฟฟงกชน

4. การเปลยนเลขฐาน 8 ฐาน 16 เปนเลขฐาน 10 และการคานวณ

5. การแยกตวประกอบพหนาม และการกระจายพหนาม

6. การหาคาตอบของสมการพหนาม

ตวอยางการคานวณ




3 4+ 7= 3 4− 1−= 3 4⋅ 12=34

0.75=

34 81= 3 1.732=5 32 2=

x 1 3..:= f x( ) x2:=

x

12

3

= x

1.00001.4142

1.7321

= f x( )

14

9

=

y

2

5

7

:= f y( )→

4

25

49

= y3→ 8

125

343

=

x 3− 2.99−, 3..:= f x( ) 2 x⋅ 3+:=

3 2 1 0 1 2 33

3

6

9

f x( )

x


4. การเปลยนเลขฐาน 8 ฐาน 16 เปนเลขฐาน 10

จากฐาน 8 เปนฐาน 10 32o 26=

จากฐาน 16 เปนฐาน 10 12h 18=

ตวอยางการคานวณหาผลบวกและผลคณ

5. การแยกตวประกอบ และ กระจาย พหนาม



1. การเขยนกราฟ วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา

2. การคานวณคาฟงกชนประกอบ

3. การเปลยนองศาเปนเรเดยน และ เรเดยนเปนองศา

4. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต sin, cos, tan, sec, cosec, cot

5. กราฟของ sin, cos, tan, sec, cosec, cot

6. การหาคาเฉลยเลขคณต คาเฉลยเรขาคณต และคาเฉลยฮารมอนก



การเขยนกราฟของวงกลม (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16

2h 2h+ 4= 8h 8h+ 16= 8h 9h+ 17= 12o 13h⋅ 190=

4o 4o+ 8= 5o 3o+ 8= 10h 10o+ 24= 12o 12h+ 12+ 40=

12 x3⋅ 16 x2

⋅+ 5 x⋅− 3− factor 2 x⋅ 3+( ) 2 x⋅ 1−( )⋅ 3 x⋅ 1+( )⋅→

2 x⋅ 3+( ) 2 x⋅ 1−( )⋅ 3 x⋅ 1+( )⋅ expand 12 x3⋅ 16 x2

⋅ 5 x⋅− 3−+→

3 2 1 0 1

10

5

5

10

1515

10−

f x( )

0

13− x

f x( ) 6 x3⋅ 11 x2

⋅+ 4 x⋅− 4−:=

x 3− 2.99−, 2..:=

t 0:=root f t( ) t,( ) 0.5−=

t 2:=

root f t( ) t,( ) 0.667=

x 2− 1.99−, 6..:=

y1 x( ) 3− 16 x 2−( )2−+:=

y2 x( ) 3− 16 x 2−( )2−−:=

4 2 0 2 4 6 8

8

6

4

2

22

8−

y1 x( )

y2 x( )

84− x


การเขยนกราฟของพาราโบลา y = 2x81

การเขยนกราฟของวงร 12

)1y(4

)2x( 22=

−+

+

การเขยนกราฟของไฮเพอรโบลา 14

x5

y 22=−

2. การคานวณคาฟงกชนประกอบ

3. การเปลยนองศาเปนเรเดยน และ เรเดยนเปนองศา

การเปลยน องศา เปน เรเดยน การเปลยน เรเดยน เปน องศา

x 4− 3.99−, 4..:=

y x( )18

x2⋅:=

4 2 0 2 41

1

2

33

1−

y x( )

44− x

x 4− 3.99−, 0..:=

y1 x( ) 1 2 1x 2+( )2

4−⋅+:=

y2 x( ) 1 2 1x 2+( )2

4−⋅−:=

5 4 3 2 1 0 1

2

1

1

2

3

44

2−

y1 x( )

y2 x( )

15− x

x 4− 3.99−, 4..:=

y1 x( ) 5 1x2

4+⋅:=

y2 x( ) 5− 1x2

4+⋅:=

4 2 0 2 4

6

4

2

2

4

66

6−

y1 x( )

y2 x( )

44− x

x 1 3..:= f x( ) x2 3+:= g x( ) 3 x⋅ 2+:=

x

12

3

= f x( )

47

12

= g x( )

58

11

= f g x( )( )

2867

124

= g f x( )( )

1423

38

=

degree 0 45, 90..:= radian degree( )degree

180π⋅:= .

degree

045

90

= radian degree( )

0.00000.7854

1.5708

=

radian 1 3..:= degree radian( )radianπ

180⋅:= .

radian

12

3

= degree radian( )

57.2958114.5916

171.8873

=




6. การหาคาเฉลยเลขคณต คาเฉลยเรขาคณต และคาเฉลยฮารมอนก

sinπ

3

0.866= cosπ

6

0.866= tanπ

4

1=

sin 30 deg⋅( ) 0.5= cos 45 deg⋅( ) 0.707= tan 30 deg⋅( ) 0.577=

sec π( ) 1−= cscπ

4

1.414= cotπ−

4

1−=

ORIGIN 1:=

x

2

3

5

10

:=AM

1

4

i

xi∑=

4:= GM

1

4

i

xi∏=

1

4

:= HM1

16

1

4

i

1xi

∑=

⋅

:=

AM 5= GM 4.162= HM 5.294=

x 2− π⋅ 2− π⋅ 0.001+, 2 π⋅..:=

6.28 3.14 0 3.14 6.28

1.51

0.5

0.51

1.5

sin x( )

x

6.28 3.14 0 3.14 6.28

1.51

0.5

0.51

1.5

cos x( )

x

6.28 3.14 0 3.14 6.28

5

5

tan x( )

x

6.28 3.14 0 3.14 6.28

531135

cot x( )

x

6.28 3.14 0 3.14 6.28

4

2

2

4

sec x( )

x

6.28 3.14 0 3.14 6.28

4

2

2

4

csc x( )

x



1. การคานวณคาเลขยกกาลง และ รปแบบของกรณฑ การจดรปแบบทางพชคณต

2. การเขยนกราฟของ y = xa และ y = xloga การทาตารางคา log และ เลขยกกาลง

3. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตผกผน

4. กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน

5. การคานวณเกยวกบเมทรกซ


1. การคานวณคาเลขยกกาลง และ รปแบบของกรณฑ การจดรปแบบทางพชคณต

2. การเขยนกราฟของ y = xa และ y = logax การทาตารางคา log และ เลขยกกาลง

หมายเหต log(x, 2) คอลอการทมฐาน 2

2 3+

2 3−9.899−=

2 3+

2 3−factor 5− 2 2

1

2⋅ 3

1

2⋅−→

12 27+ 3− 6.928= 12 27+ 3− factor 4 3

1

2⋅→

a3 b3+

a4 b4−

factora2 a b⋅− b2

+( )a b−( ) b2 a2

+( )⋅→

x 2− 1.99−, 4..:=

2 1 0 1 2 3 4

1

2

3

4

0.5x

x2 1 0 1 2 3 4

4

8

12

16

2x

x

3 2n⋅ 4 2n 2−

⋅−

2n 2n 1−−

expand 4→3 2n⋅ 4 2n 2−

⋅−

2n 2n 1−−

simplify 4→ .

x xx 0.1 0.11, 6..:=

0 1 2 3 4

4321

12

log x 2,( )

x

0 1 2 3 4

21

1234

log x1

2,

x


3. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตผกผน


asin 1( ) 1.571= asin 1( ) 90deg= atan 1( ) 0.785= acsc 1( ) 1.571= acot 1−( ) 135deg=

acos 0.5( ) 1.047= asec 2( ) 1.047= asec 2( ) 60deg= acos 0.5( ) 1.047= asec 2( ) 1.047=

x 1− 0.99−, 1..:=

1 0.5 0 0.5 1

1.57

0.79

0.79

1.57

asin x( )

x1 0.5 0 0.5 1

1.57

3.14

acos x( )

xx 10− 9.99−, 10..:=

10 5 0 5 10

1.57

0.79

0.79

1.57

atan x( )

x10 5 0 5 10

0.79

1.57

2.36

3.14

acot x( )

x

x 10− 9.99−, 10..:=

10 5 0 5 10

1.57

0.79

0.79

1.57

acsc x( )

x10 5 0 5 10

0.79

1.57

2.36

3.14

asec x( )

x

x 1 4..:=x

12

3

4

= log x( )

00.301

0.477

0.602

= log x 2,( )

0.00001.0000

1.5850

2.0000

= 2x

24

8

16

= 0.2x

0.20000.0400

0.0080

0.0016

=



การบวกเมทรกซ การคณเมทรกซ สเกลารคณเมทรกซ เมทรกซสลบเปลยน คากาหนดของเมทรกซ

การหาผลเฉลยของระบบสมการโดยใชกฎคราเมอร

2x + 3y = 2

5x + 8y = 1

การหาผลเฉลยของระบบสมการโดยใชคาสง Given...Find

2x + 3y = 2

5x + 8y = 1

การดาเนนการเบองตนกบเมทรกซหรอการแปลงแถวของเมทรกซ

แถวท 2 ถกบวกดวย แถวท 1 สลบกบแถวท 2 คาคงตว 10 คณแถวท 2

–2 เทาของแถวท 1


1. การบวกและลบเวกเตอร สเกลารคณเวกเตอร ผลคณเชงสเกลาร ขนาดของเวกเตอร

2. มมระหวางของสองเวกเตอร เวกเตอรหนงหนวยในทศทางแกน X และ แกน Y และ แกน Z

3. การบวกและลบจานวนเชงซอน คาสมบรณ อารกวเมนต สวนจรง และ สวนจนตภาพของจานวนเชงซอน

4. การหารากท n ของจานวนเชงซอน

5. การหาเฉลยเลขคณตและคาความแปรปรวน

6. การหาพนทใตโคงปกต

A2

5

3

8

:= B5

4

8

7

:= A 1= AT 2

3

5

8

=

A B+7

9

11

15

= A B⋅22

57

37

96

= 4 A⋅8

20

12

32

= A 1− 8

5−

3−

2

=

x

1

2

3

8

2

5

3

8

:= x 2= y

2

5

1

2

2

5

3

8

:= y 1−=

x 0:= y 0:= Given 2 x⋅ 3 y⋅+ 1

5 x⋅ 8 y⋅+ 2 Find x y,( )2

1−

=

ORIGIN 1:= i 1 2..:= j 1 2..:= .

A2

5

3

8

:=

A 1 j,( ) 4 A 1 j,( )⋅:=

A8

5

12

8

=

ORIGIN 1:= i 1 2..:= j 1 2..:=.

A2

5

3

8

:=

tempj A 1 j,( ):=

A 1 j,( ) A 2 j,( ):=

A 2 j,( ) tempj:=

A5

2

8

3

=

ORIGIN 1:= i 1 2..:= j 1 2..:=.

A2

5

3

8

:=

A 2 j,( ) A 2 j,( ) 2−( ) A 1 j,( )⋅+:=

A2

1

3

2

=




2. มมระหวางของสองเวกเตอร เวกเตอรหนงหนวยในทศทางแกน X และ แกน Y และ แกน Z


4. การหารากท n ของจานวนเชงซอน

5. การหาเฉลยเลขคณตและคาความแปรปรวน

u3

4

:= v5

12

:= u v+8

16

= 4 u⋅12

16

= u v⋅ 63= u 5=

i1

0

:= j0

1

:= u 3 i⋅ 4 j⋅+:= u3

4

= u 5= 4 u⋅12

16

=

i 1−:= z 3 4 i⋅+:= w 5 12 i⋅+:= z w+ 8 16i+= z w⋅ 33− 56i+= z 5=

zw

0.101 0.041i−= arg z( ) 0.785= arg z( ) 45deg= Re w( ) 5= Im w( ) 12=

z 16−:= r z:= θ arg z( ):= k 0 3..:= x k( ) 4 r cosθ 2 k⋅ π⋅+

4

i sinθ 2 k⋅ π⋅+

4

⋅+

⋅:=

k

01

2

3

= x k( )

1.414+1.414i-1.414+1.414i

-1.414-1.414i

1.414-1.414i

=

x

2

3

5

10

:= mean x( ) 5= median x( ) 4= stdev x( ) 3.082= var x( ) 9.5=

u1

0

:= v1

1

:= angle acosu v⋅

u v⋅

:= angle 0.7854= angle 45deg= .

i

1

0

0

:= j

0

1

0

:= k

0

0

1

:= u 2 i⋅ 3 j⋅+ 6 k⋅+:= v 3 i⋅ 2− j⋅+ 6 k⋅+:= .

v

3

2−

6

= u

2

3

6

= u 7= u v×

30

6

13−

= u v⋅ 36=


6. การหาพนทใตโคงปกต

หมายเหต cnorm(k) = พนทใตโคงปกตตงแต -∞ ถง k

P(a, b) = cnorm(b) – cnorm(a) = พนทใตโคงปกตตงแต a ถง b


1. กราฟของลาดบ และการหาลมตของลาดบ

2. การหาผลบวกของอนกรม และ สตรผลบวกของอนกรม

3. การหาลมตของฟงกชน อนพนธของฟงกชนโดยใชนยามลมต

4. การหาอนพนธของฟงกชนเปนสตร และ อนพนธอนดบสง

5. การเขยนกราฟของ f, f′ 6. การหาคาอนทกรล การหาสตรอนทกรล และ การหาพนทใตโคง


1. กราฟของลาดบ และการหาลมตของลาดบ

2. การหาผลบวกของอนกรม และ สตรผลบวกของอนกรม

z 4− 3.99−, 4..:= t 0 .04, 2..:=

f z( )1

2 π⋅e

z2

2−

⋅:=

4 3 2 1 0 1 2 3 4

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5.5

0

f z( )

f t( )

44− z t,

n 1 30..:=

an 11−( )n

n+:=

0 5 10 15 20 25 301

1

22

1−

an

300 n

cnorm 1( ) 0.8413= cnorm 2( ) 0.9772=

P a b,( ) cnorm b( ) cnorm a( )−:=.P 1 2,( ) 0.1359= P 0 2,( ) 0.4772= P 0 1,( ) 0.3413=

∞n1

1−( )n

n+lim

→1→

∞n

2 n⋅ 1+

3 n⋅ 3−lim→

23

→∞n

2 n2⋅ 1+

n2 3−lim→

2→ .

1

10

i

i∑=

55=

1

10

i

i2∑=

385=

1

10

i

2 i⋅ 3+( )2∑=

2290= .

1

n

i

i∑=

12

n 1+( )2⋅

12

n⋅−12

−→

1

n

i

i∑=

factor12

n⋅ n 1+( )⋅→


3. การหาลมตของฟงกชน อนพนธของฟงกชนโดยใชนยามลมต

4. การหาอนพนธของฟงกชนเปนสตร และ อนพนธอนดบสง

5. การเขยนกราฟของ f, f′

6. การหาคาอนทกรล การหาสตรอนทกรล

และ การหาพนทใตโคง

1x2 x⋅ 1+lim

→3→

1x

x2 1−

x 1−lim→

2→0x

xx

lim+→

1→0x

25 x+ 5−

xlim

−→

110

→

x 3− 2.99−, 7..:= f x( ) x3 6 x2⋅− x− 30+:= t 1 1.05, 2..:=

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

20

10

40

f x( )

f t( )

x t,

1

2xf x( )

⌠⌡

d 18.25=

3

5xf x( )

⌠⌡

d 8=

1

t

xx2 x+ 1+( )⌠⌡

d13

t3⋅12

t2⋅+ t116

−+→0

t

xx x2 1+⋅⌠⌡

d13

t2 1+( )3

2⋅

13

−→

1

n

i

i2∑=

13

n 1+( )3⋅

12

n 1+( )2⋅−

16

n⋅+16

+→

1

n

i

i2∑=

factor16

n⋅ n 1+( )⋅ 2 n⋅ 1+( )⋅→ .

0h

x h+( )2 x2−

hlim→

2 x⋅→0h

x h+( )3 x3−

hlim→

3 x2⋅→

xx2d

d2 x⋅→

xx3d

d3 x2⋅→ 2x

x3d

d

26 x⋅→ .

0

4xx

⌠⌡

d 8=0

3

xx2 2+( )⌠⌡

d 15= xx⌠⌡

d12

x2⋅→ xx2 2+

⌠⌡

d13

x3⋅ 2 x⋅+→ .

x 4− 3.99−, 4..:= f x( ) 2 x3⋅ 3 x2

⋅+ 12 x⋅− 7−:= .

4 2 0 2 420

20

4060

80100120

f x( )

xf x( )d

d

x



1. การคานวณ n!, rn P , r

n C และ การกระจายทวนาม

2. กราฟแผนภาพการกระจายของขอมล

3. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

3.1 การหาคา m และ c จากสมการปกต และ ใชฟงกชนสาเรจรปของ Mathcad

3.2 กราฟของขอมลและสมการแสดงความสมพนธ y = mx + c






n 5:= r 1 n..:= nPr n r,( )n!

n r−( )!:= nCr n r,( )

n!r! n r−( )!⋅

:=

r

12

3

4

5

= r!

12

6

24

120

= nPr n r,( )

520

60

120

120

= nCr n r,( )

510

10

5

1

=

a b+( )3 expand a3 3 a2⋅ b⋅+ 3 a⋅ b2

⋅+ b3+→

a b+( )4 expand a4 4 a3⋅ b⋅+ 6 a2

⋅ b2⋅+ 4 a⋅ b3

⋅+ b4+→

a b+( )5 expand a5 5 a4⋅ b⋅+ 10 a3

⋅ b2⋅+ 10 a2

⋅ b3⋅+ 5 a⋅ b4

⋅+ b5+→

2 x⋅ y+( )5 expand 32 x5⋅ 80 x4

⋅ y⋅+ 80 x3⋅ y2

⋅+ 40 x2⋅ y3

⋅+ 10 x⋅ y4⋅+ y5

+→

ORIGIN 1:= i 1 5..:=

x

2

3

5

12

18

:= y

22

32

55

64

92

:=

0 5 10 15 20

20406080

100100

0

yi

200 xi

1

5

i

xi∑=

40=

1

5

i

xi( )2∑=

506=

1

5

i

yi∑=

265=

1

5

i

yi( )2∑=

17093=

1

5

i

xi yi⋅∑=

2839=


3.1 การหาคา m และ c จากสมการปกต

การหาคา m และ c โดยใชฟงกชนสาเรจรปของ Mathcad

3.2 กราฟของขอมลและสมการแสดงความสมพนธ y = mx + c

6.7 Mathcad กบการเฉลยขอสอบคณตศาสตร Entrance

ในหวขอนจะเปนการนาความสามารถของ Mathcad เขามาชวยหาคาตอบของขอสอบ Entrance ซงมขอสอบ

Entrance เปนจานวนมากทเราอาจจะหาคาตอบไดดวยการแทนคา คานวณคา หรอแมแตเขยนกราฟดกจะได

คาตอบ

ขอสอบคณตศาสตร 1. มนาคม 2546 ขอ 18.

0x

lim→ 3x

1 [ x1+ – x1− – )x1)(x1( 2−+ + )x1)(x1( 2−− ] มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 41

3. 21 4. 1

การคานวณดวย Mathcad

เพราะฉะนนตอบขอ 3.

m 0:= c 0:= Given 5 c⋅ 40 m⋅+ 26540 c⋅ 506 m⋅+ 2839

Find m c,( )3.866

22.075

=

m slope x y,( ):= m 3.866=

c intercept x y,( ):= c 22.075=

t 0 0.1, 20..:= ycap t( ) m t⋅ c+:=

0 5 10 15 20

20

40

60

80

100

yi

ycap t( )

xi t,

0x

1

x31 x+ 1 x−− 1 x+( ) 1 x2

−( )⋅− 1 x−( ) 1 x2−( )⋅+ ⋅lim

→

12

→



ถา xsin1

1−

+ xsin1

1+

= 8 โดยท π < x < 2

3π แลว sin x + cos2x + tan3x มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 2

13 − 2. 2

13 +

3. 2

13 −− 4. 2

13 +−



ขอสอบคณตศาสตร 1. มนาคม 2545 ขอ 2. 2sin− 1 + 2sin2 – 3sin2 + ... – 89sin2 + 90sin2 มคาเทากบเทาใด


เพราะฉะนน 2sin− 1 + 2sin2 – 3sin2 + ... – 89sin2 + 90sin2 มคาเทากบ 0.5


คาของ 1

47tan

23eccos

43tan

67sec

37sin4

−π

ππ+ππ เทากบขอใดตอไปน

1. 25− 2.

23−

3. 23 4.

25



TOL 0.000001:= x π:= root1

1 sin x( )−

11 sin x( )+

+ 8− x,

240deg=

x root1

1 sin x( )−

11 sin x( )+

+ 8− x,

:=

x 240deg=

sin x( ) cos 2 x⋅( )+ tan 3 x⋅( )+ 1.366−=

3 1−

20.366=

3 1+

21.366=

3− 1−

21.366−=

3− 1+

20.366−=

1

90

n

1−( )n sin n deg⋅( )2⋅∑

=

0.5=

4sin7 π⋅

3

sec7 π⋅

6

⋅ tan3 π⋅

4

csc3 π⋅

2

⋅+

tan7 π⋅

4

1−

1.5=


ขอสอบคณตศาสตร 1. ตลาคม 2545 ขอ 22.

กาหนดให f(x) = 2x – 2 | x | และ g(x) = 2x + 1

( fg )′(–3) + ( gf )′(3) เทากบขอใดตอไปน

1. –132 2. –84

3. 84 4. 132


เพราะฉะนน ( fg )′(–3) + ( gf )′(3) = –24 + 108 = 84

ขอสอบคณตศาสตร 2. ตลาคม 2545 ขอ 8.

ให x เปนจานวนจรง ซง 0 ≤ x ≤ 2π

ชวงททาให sec x – tan x > 0 และ sec x + tan x > 0 คอชวงในขอใดตอไปน

1. (0, π) 2. (2π ,

23π )

3. (0, 2π ) ∪ (π,

23π ) 4. (0,

2π ) ∪ (

23π , 2π)


เพราะฉะนน ชวงททาให sec x – tan x > 0 และ sec x + tan x > 0 คอ (0, 2π ) ∪ (

23π , 2π)

f x( ) x2 2 x⋅−:=

g x( ) x2 1+:=

x 3−:=xg f x( )( )d

d24−=

x 3:=xf g x( )( )d

d108=

x 0 0.001, 2 π⋅..:=

10

10

sec x( ) tan x( )−

sec x( ) tan x( )+

x

บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 105

บทท 7.

การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad

ในระดบอดมศกษามปญหาทางดานการคานวณมากมาย หากนกเรยนนสต นกศกษา หรอ ผสอน ไดนา

ความสามารถของโปรแกรมสาเรจรป Mathcad มาใชในการคานวณจะทาใหเกดประโยชนอยางมาก ในบทท 7

จงนา Mathcad มาเสรมการคานวณคณตศาสตรระดบอดมศกษาจาแนกเปนกลมตางๆ ดงน

1. แคลคลส 2. สมการเชงอนพนธ 3. การวเคราะหเชงตวเลข

4. พชคณตเชงเสน 5. สถตและความนาจะเปน 6. คณตศาสตรขนสง

7.1 เสรมการคานวณแคลคลสดวย Mathcad

7.1.1 การคานวณคาลมต

7.1.2 การคานวณอนพนธ ผลการคานวณเปนสตร และ ผลการคานวณเปนตวเลข

0x

x 4+ 2−

xlim→

simplify14

→0h

1h

12 h+

12

−

⋅lim→

simplify1−

4→

0x

x sin x( )⋅

1 cos x( )−lim

+→simplify 2→

2−x

x2 1−

2 x⋅ 4+lim

+→simplify ∞→

∞x

x2 4+

x 4+lim→

simplify 1→2−x

x2 1−

2 x⋅ 4+lim

−→simplify ∞−→

xx3 x2

+ 1+( )dd

simplify 3 x2⋅ 2 x⋅+→

xx sin x( )⋅d

dsimplify sin x( ) x cos x( )⋅+→

x 1:= f x( ) x3 x2+ 1+:=

xf x( )d

d5= 2x

f x( )d

d

28=

x2 x2⋅ y3

⋅ x3+( )d

d4 x⋅ y3

⋅ 3 x2⋅+→

y2 x2⋅ y3

⋅ x3+( )d

d6 x2⋅ y2

⋅→

x x2 x2⋅ y3

⋅ x3+( )d

d

dd

4 y3⋅ 6 x⋅+→

y y2 x2⋅ y3

⋅ x3+( )d

d

dd

12 x2⋅ y⋅→

x y2 x2⋅ y3

⋅ x3+( )d

d

dd

12 x⋅ y2⋅→

y x2 x2⋅ y3

⋅ x3+( )d

d

dd

12 x⋅ y2⋅→


7.1.3 การคานวณปรพนธ ผลการคานวณเปนสตร และ ผลการคานวณเปนตวเลข

7.1.4 กราฟของฟงกชน f, f′ และ f′′

7.1.5 การหาผลบวกรมนน (Riemann sum) เชนผลบวกรมนนของ f(x) = 2x – 4x + 6 บนชวง [1, 3]

7.1.6 การแทนฟงกชนดวยพหนามเทยเลอร

อนกรมเทยเลอรของฟงกชน sin(x)

x 4− 3.999−, 4..:= f x( ) x3 x2− 4 x⋅− 4+:=

4 3 2 1 0 1 2 3 4

30

20

10

10

20

30

40

f x( )

xf x( )d

d

x

4 3 2 1 0 1 2 3 4

30

20

10

10

20

30

40

f x( )

xf x( )d

d

2xf x( )d

d

2

x

sin x( ) series x, 5, 1 x⋅16

x3⋅−→ sin x( ) series x, 6, 1 x⋅

16

x3⋅−

1120

x5⋅+→

f x( ) x2 4 x⋅− 6+:= n 10:=

a 1:= b 3:= i 1 n..:=

hb a−

n:= x0 a:= xi xi 1− h+:=

S

1

n

i

f xi( ) xi xi 1−−( )⋅∑=

:=

S 4.68=

f x( ) x2 4 x⋅− 6+:= n 100:=

a 1:= b 3:= i 1 n..:=

hb a−

n:= x0 a:= xi xi 1− h+:=

S

1

n

i

f xi( ) xi xi 1−−( )⋅∑=

:=

S 4.6668=

0

3

xx2⌠⌡

d 9=0

πxsin x( )

⌠⌡

d 2=1

t

xx2⌠⌡

d13

t3⋅13

−→

xx2⌠⌡

d simplify13

x3⋅→ xsin x( )

⌠⌡

d simplify cos x( )−→ xln x( )⌠⌡

d x ln x( )⋅ x−→ .

yxx2 y⋅⌠⌡

d⌠⌡

d16

x3⋅ y2

⋅→0

t

y0

s

xx2 y⋅⌠⌡

d⌠⌡

d16

t2⋅ s3⋅→

0

3

y0

2

xx2y⌠⌡

d⌠⌡

d 12=

a

bxf x( )

⌠⌡

d 4.667= .


อนกรมเทยเลอรของฟงกชน cos(x)

อนกรมเทยเลอรของฟงกชน arctan(x)

อนกรมเทยเลอรของฟงกชน f(x) = 2x11+

7.1.7 การกาหนดคา ฟงกชนทนยามตางกนเปนเปนชวงๆ และการเขยนกราฟ

ตวอยาง f(x) =

<≤<≤

4x232x0x

ตวอยาง f(x) =

≤<≤<≤

x4,44x2,x2x0,2

7.1.8 การเขยนกราฟในพกดเชงขว ตวอยางเชนกราฟของ r = 4cos2θ และ r = 5sinθ

0

45

90

135

180

225

270

315

543210

5

04 cos 2 θ⋅( )⋅

θ

0

45

90

135

180

225

270

315

6420

6

05 sin θ( )⋅

θ

f x( ) if x 2< x, 3,( ):= x 0 4..:= x

01

2

3

4

= f x( )

01

3

3

3

=

f x( ) if x 2< 2, if x 4< x, 4,( ),( ):=

x 1 5..:= x

12

3

4

5

= f x( )

22

3

4

4

=

1

1 x2+

series x, 5, 1 1 x2⋅− 1 x4

⋅+→1

1 x2+

series x, 7, 1 1 x2⋅− 1 x4

⋅ 1 x6⋅−+→ .

atan x( ) series x, 5, 1 x⋅13

x3⋅−→ atan x( ) series x, 7, 1 x⋅

13

x3⋅−

15

x5⋅+→ .

cos x( ) series x, 3, 112

x2⋅−→ cos x( ) series x, 5, 1

12

x2⋅−

124

x4⋅+→ .

x 0 0.01, 5..:=

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

f x( )

x

x 0 0.01, 5..:=

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

f x( )

x


7.1.9 การเขยนกราฟ 3 มต เชน กราฟของ z = 2x – 2y

7.1.10 การเขยนกราฟของสวนโคง

เชนเสนโคงทเปนรอยทางของ r(t) = (t, 2t ) บนชวง 0 < t < 2

7.1.11 การหาพนทระหวางเสนโคง

เชน การหาพนทระหวาง f(x) = 2x + x – 1 และ g(x) = 4x + 3

7.1.12 การคานวณคาความยาวสวนโคง ตวอยางเชน

การหาความยาวเสนโคง r(t) = (6 2t , 4 2 3t , 3 4t ), –1 < t < 2

คานวณโดยตรง

หรอใชสตร

3 2 1 0 1 2 3 4 55

5

10

15

2020

5−

f x( )

g x( )

53− x

t 0 0.01, 2..:= x t( ) t:= y t( ) t2:=

1−

2

tt

6 t2⋅( )dd

2

t4 2⋅ t3⋅( )d

d

2+

t3 t4⋅( )d

d

2+

⌠⌡

d 81=

x t( ) 6 t2⋅:= y t( ) 4 2⋅ t3⋅:= z t( ) 3 t4⋅:=

1−

2

tt

x t( )( )dd

2

ty t( )( )d

d

2+

tz t( )( )d

d

2+

⌠⌡

d 81=

0 1 2

123455

0

y t( )

20 x t( )

x 2− 1.9−, 2..:=

y 2− 1.9−, 2..:=

f x y,( ) x2 y2−:=

f

.

f x( ) x2 x+ 1−:= g x( ) 4 x⋅ 3+:= x 3− 2.99−, 5..:= .

x 0:= root f x( ) g x( )− x,( ) 1−=

x 5:= root f x( ) g x( )− x,( ) 4=

1−

4xg x( ) f x( )−( )

⌠⌡

d 20.833=


7.2 เสรมการคานวณเกยวกบสมการเชงอนพนธดวย Mathcad

7.2.1 กราฟของการเคลอนทแบบซมเปลฮารมอนก

7.2.2 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธเชงเสน

ตวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการ dxdy – 2xy = x

สมการเชงเสน dxdy + P(x)y = Q(x) มสตรผลเฉลย y = ∫ ∫∫− C) + dx)x(Qe(e

dx)x(Pdx)x(P

เพราะวา P(x) = –2x และ Q(x) = x เพราะฉะนนผลเฉลยดวยการคานวณของ Mathcad คอ

7.2.3 การหารอนสเกยน ตวอยางเชนการหารอนสเกยนของ x xe , 2x xe

เพราะฉะนน W(x xe , 2x xe : x) = 2x x2e

7.2.4 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ

ตวอยาง กาหนดสมการเชงอนพนธ 2

2

dxyd + 3 dx

dy – 4y = 0 และ y(0) = 1, y′(0) = –5

จงหาคาของ y(1)

หมายเหต สญลกษณ ′ ใน Mathcad ทใชในการพมพ

.

y' 0( ) 5− ไดจากการพมพ <Ctrl>+F7

0 2 4 6 8 10

5

3

1

1

3

5

5−

5

x t( )

0

100 t

x t( ) 4 sin 3 t⋅π

3+

⋅:= t 0 0.001, 10..:= .

e

x2− x⋅⌠⌡

d−

xe

x2− x⋅⌠⌡

d

x( )⋅

⌠⌡

d C+

⋅ expand1−

2exp x2( ) C⋅+→ .

x ex⋅

xx ex⋅d

d

x2 ex⋅

xx2 ex⋅d

d

x2 exp x( )2⋅→

Given

2xy x( )d

d

23

xy x( )d

d⋅+ 4 y x( )⋅+ 0

y' 0( ) 5−

y 0( ) 1

y Odesolve x 3,( ):=

y 1( ) 0.518−=

0 1 2 3

1

0.5

0.5

11

1−

y x( )

30 x


7.2.5 การหาผลการแปลงลาปลาซ และ ผลการแปลงลาปลาซผกผน

7.2.6 การหาผลเฉลยเชงตวเลขของสมการเชงอนพนธดวยวธของออยเลอร (Euler’s method)

ตวอยางเชนกาหนด y′ = 1 + x และ y(0) = 1 จงหาคาประมาณของ y(1)

สตรของออยเลอร ny = 1ny − + hf( 1nx − , 1ny − ) เมอ f(x, y) = y′, 0x = 0, 0y = 1

หมายเหต สมการ y′ = 1 + x และ y(0) = 1 มผลเฉลย y(x) = x + 2x2

+ 1 และ y(1) = 2.5

7.3 เสรมการคานวณเกยวกบการวเคราะหเชงตวเลขดวย Mathcad

7.3.1 การประมาณเสนโคง y(x) ทผานจด ( 1x , 1y ), ( 2x , 2y ), ... , ( nx , ny )

จงหาสมการเสนโคง y(x) ทผานจด (3, 4), (6, 13), (8, 6), (11, 10), (15, 13) และ (17, 18)

การคานวณดวย Mathcad แบบท 1.

การคานวณดวย Mathcad แบบท 2. ใชคาสง lspline, pspline, cspline และ interp

หมายเหต lspline, pspline, cspline และ interp เปนฟงกชนสาเรจรปทใชประมาณเสนโคงเมอกาหนดจดผาน

0 2 4 6 8 10

5

3

1

1

3

5

5−

5

x t( )

0

100 t

ORIGIN 1:= i 1 6..:= t 0 0.1, 20..:=

x

3

6

8

11

15

17

:= y

4

13

6

10

13

18

:= m slope x y,( ):=

c intercept x y,( ):=

liney x( ) m x⋅ c+:=

0 5 10 15 20

5

10

15

2020

0

yi

liney t( )

200 xi t,

Vs lspline x y,( ):=

liney t( ) interp Vs x, y, t,( ):=

0 5 10 15 20

5

10

15

20

yi

liney t( )

xi t,

Vs pspline x y,( ):=


0 5 10 15 20

5

10

15

20

yi

liney t( )

xi t,

Vs cspline x y,( ):=


0 5 10 15 20

5

10

15

20

yi

liney t( )

xi t,

t2 et⋅ laplace t,

2

s 1−( )3→ sin t( ) laplace t,

1

s2 1+( )→

2

s 1−( )3invlaplace s, t2 exp t( )⋅→

1

s2 1+invlaplace s, sin t( )→ .

f x y,( ) 1 x+:= x0 0:= y0 1:= c 1:= n 10000:= i 1 n..:= hc x0−

n:=

xi xi 1− h+:= yi yi 1− h f xi 1− yi 1−,( )⋅+:= yn 2.49995=


7.3.2 การหารากของสมการ

ตวอยาง การหาราก 2x – 5 = 0

เพราะฉะนนรากสมการ 2x – 5 = 0 คอ x = 2.23607, –2.23607

การหารากของสมการ sinx – cosx = 0

เพราะฉะนนรากสมการ sinx – cosx = 0

คอ x = 0.785398 เรเดยน หรอ x = 45 องศา

7.3.3 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน และ ไมเชงเสน

ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ

x + y + z = 12 2x + 2y = 25

x – y + z = 4 x + y = 7

x + y – z = 2 การคานวณดวย Mathcad


เพราะฉะนน x = 4, y = 3

เพราะฉะนน x = 3, y = 4, z = 5

7.3.4 การประมาณคา y(c) เมอกาหนด )y,x(fdxdy

= และผานจด ( 0x , 0y )

โดยวธของออยเลอรทปรบปรงแลวทมสตร 1ny + = ny + 2h (f( nx , ny )+ f( 1nx + , ny + hf( nx , ny ))

เมอ h = nxc 0− , 1nx + = nx + h

จงหาคาประมาณคา y(1) เมอกาหนด yxdxdy

+= และผานจด (0, 0)

หมายเหต ผลเฉลยแทจรงคอ y(x) = xe – x – 1 เพราะฉะนนคาจรง y(1) = 0.718282

7.4 เสรมการคานวณเกยวกบพชคณตเชงเสนดวย Mathcad

7.4.1 การคานวณเกยวกบเมทรกซ

f x( ) x2 5−:= x 2.5:= root f x( ) x,( ) 2.23607=

x 2.5−:= root f x( ) x,( ) 2.23607−=

A3

4

5

6

:= B4

6

7

8

:= A B+7

10

12

14

= A B⋅42

52

61

76

= A 1− 3−

2

2.5

1.5−

= A 2−=

TOL 0.000001:= x 0:= root sin x( ) cos x( )− x,( ) 0.785398= .

root sin x( ) cos x( )− x,( ) 45deg=

x 0:= y 0:= z 0:=

Given x y+ z+ 12

x y− z+ 4

x y+ z− 2

Find x y, z,( )

3

4

5

=

x 0:= y 0:=

Given x2 y2+ 25

x y+ 7

Find x y,( )4

3

=

ORIGIN 0:= f x y,( ) x y+:= x0 0:= y0 0:= c 1:= n 1000:=

hc x0−

n:= i 1 n..:= xi xi 1− h+:= i 0 n 1−..:=

yi 1+ yih2

f xi yi,( ) f xi 1+ yi h f xi yi,( )⋅+,( )+( )⋅+:= yn 0.718281= .


7.4.2 การหาผลเฉลยของระบบสมการ ตวอยางเชน การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 3y = 10

4x – 5y = –2


7.4.3 การหาคาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจง

ตวอยางเชน การหาคาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจง ของ A =

3104

7.4.4 การหาสมการลกษณะเฉพาะของเมทรกซ ตวอยาง การหาสมการลกษณะเฉพาะของ A =

4231


7.4.5 การแปลงแถวเมทรกซ

แบบท 1. แถวท 1 คณดวย –2

แบบท 2. สลบแถว 1 กบ 2

แบบท 3. แถว 1 ถกบวกดวย 5 เทา ของแถวท 2

7.4.6 การแปลงเชงเสน

ตวอยาง การหาผลการแปลงเชงเสน T(x, y, z) = (–2y – 6z, 3y + 7z, x – 2y – 5z )

7.4.7 การหามลฐานเชงตงฉากปกตของ 3R โดยใชกระบวนการของ Gram - Schmidt

ตวอยาง กาหนดมลฐาน { 1v =

111

, 2v =

110

, 3v =

100

} การคานวณดวย Mathcad มขนตอนดงน

x 0:= y 0:= Given 2 x⋅ 3 y⋅+ 10

4 x⋅ 5 y⋅− 2−

Find x y,( )2

2

=

A4

1

0

3

:= eigenvals A( )3

4

= eigenvec A 3,( )0

1

= eigenvec A 4,( )0.707

0.707

=

A1

2

3

4

:=1 λ−

2

3

4 λ−

0 2− 5 λ⋅− λ2

+ 0→

ORIGIN 1:= i 1 2..:= j 1 2..:=

A1

3

2

4

:= A 1 j,( ) A 1 j,( ) 5 A 2 j,( )⋅+:= A16

3

22

4

=

ORIGIN 1:= i 1 2..:= j 1 2..:=

A1

3

2

4

:= Tempj A 1 j,( ):= A 1 j,( ) A 2 j,( ):= A 2 j,( ) Tempj:= A3

1

4

2

=

T x y, z,( )

0

0

1

2−

3

2−

6−

7

5−

x

y

z

⋅:= T 1 0, 0,( )

0

0

1

= T 0 1, 0,( )

2−

3

2−

= T 0 0, 1,( )

6−

7

5−

=

ORIGIN 1:= i 1 2..:= j 1 2..:=

A1

3

2

4

:= A 1 j,( ) 2− A 1 j,( )⋅:= A2−

3

4−

4

=


เพราะฉะนนมลฐานเชงตงฉากปกตคอ { 1u =

577.0577.0577.0

, 2u =

−

408.0408.0816.0

, 3u =

−

707.0707.00

}

7.4.8 การหาสมการภาคตดกรวยทผานจดทกาหนดให

การหาสมการเสนตรงทผานจด (1, 2) และ (4, 5)


สมการเสนตรงคอ –2x + 3y – 7 = 0

การหาสมการพาราโบลาทผานจด (-1, 2), (2, 5) และ (4, 10)


เพราะฉะนนสมการพาราโบลาคอ

27x – 30y + 3 2x + 84 = 0

หรอ

54x – 75y + 3 2y + 192 = 0

การหาสมการวงกลมทผานจด (3, 4), (-3, 4) และ (-4, 3)


สมการวงกลมคอ –50 2x –50 2y + 1250 = 0

v1

1

1

1

:= v2

0

1

1

:= v3

0

0

1

:=

u1v1

v1:= u1

0.577

0.577

0.577

=

w2 v2 v2 u1⋅( ) u1⋅−:= w2

0.667−

0.333

0.333

= u2w2

w2:= u2

0.816−

0.408

0.408

=

w3 v3 v3 u2⋅( ) u2⋅− v3 u1⋅( ) u1⋅−:= w3

0

0.5−

0.5

= u3w3

w3:= u3

0

0.707−

0.707

=

x

1

4

y

3

5

1

1

1

0 2− x⋅ 3 y⋅ 7−+ 0→ .

x

1−

2

4

y

2

5

8

x2

1

4

16

1

1

1

1

0 27 x⋅ 30 y⋅− 3 x2⋅+ 84+ 0→ .

x

1−

2

4

y

2

5

8

y2

4

25

64

1

1

1

1

0 54 x⋅ 75 y⋅− 3 y2⋅+ 192+ 0→ .

x2 y2+

25

25

25

x

3−

4

3

y

4

3

4−

1

1

1

1

0 50− x2⋅ 50 y2

⋅− 1250+ 0→ .


การหาสมการไฮเพอรโบลาทผานจด (1, 1), (–1, 1), (2, -4) และ (-4, 3)


สมการไฮเพอรโบลาคอ –12 2x – 84 2y + 432y – 336 = 0

การหาสมการวงรทผานจด (5, 0), (–5, 0), (0, -4) และ (0, -4)


สมการวงรคอ 1280 2x + 2000 2y – 32000 = 0

7.5 เสรมการคานวณเกยวกบความนาจะเปนและสถตดวย Mathcad

7.5.1 การสรางตารางความนาจะเปนของตวแปรสมทวนาม

หมายเหต ฟงกชน dbinom(x, n, p) เปนฟงกชนทใหคาเทากบ b(x, n, p)

7.5.2 การสรางตารางความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซง

หมายเหต ฟงกชน dpois(x, µ ) มคาเทากบ !xe xµµ− เปนฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซง

µ 0.2:= x 0 2..:= p x( )e µ−

µx

⋅

x!:= x

01

2

= p x( )

0.81870.1637

0.0164

= dpois x 0.2,( )

0.81870.1637

0.0164

x2

1

1

4

16

y2

1

1

16

4

x

1

1−

2

4

y

1

1

4

2

1

1

1

1

1

0 12− x2⋅ 84 y2

⋅− 432 y⋅ 336−+ 0→ .

x2

25

25

0

0

y2

0

0

16

16

x

5

5−

0

0

y

0

0

4

4−

1

1

1

1

1

0 1280 x2⋅ 2000 y2

⋅ 32000−+ 0→ .

n 4:= p 0.2:= x 0 n..:= b x n, p,( )n!

x! n x−( )!⋅px⋅ 1 p−( )n x−

⋅:= .

x

01

2

3

4

= b x n, p,( )

0.40960.4096

0.1536

0.0256

0.0016

= dbinom x n, p,( )

0.40960.4096

0.1536

0.0256

0.0016

=


7.5.3 การเขยนกราฟของการแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมตอเนอง z, t, f, 2χ

Normal distribution

Standard Normal distribution

หมายเหต X เปนตวแปรสมปกต คาเฉลย µ และ สวนเบยงเบนมาตรฐาน σ

dnorm(x, µ , σ ) = 2)x(2

1e

21 σ

µ−−

σπ

pnorm(k, µ , σ ) = dxe21

2)x(21k

σµ−−

∞−σπ∫ = P(–∞ < X < k)

qnorm(A, µ , σ ) = คาของ k ททาให pnorm(k, µ , σ ) มคาเทากบ A

t distribution

z 4− 3.99−, 4..:= f z( )1

2 π⋅e

z2

2−

⋅:=

4 3 2 1 0 1 2 3 4

f z( )

z4 3 2 1 0 1 2 3 4

dnorm z 0, 1,( )

z

µ 4:= σ 2:= x 4− 3.99−, 12..:= f x( )1

2 π⋅ σ⋅e

1

2−

x µ−

σ

2⋅

⋅:=

4 2 0 2 4 6 8 10 12

f x( )

x4 2 0 2 4 6 8 10 12

dnorm x 4, 2,( )

x

dnorm 1 4, 2,( ) 0.0648=

pnorm 4 4, 2,( ) 0.5=

qnorm 0.5 4, 2,( ) 4=

v 14:= t 5− 4.99−, 5..:=

dt 2 14,( ) 0.0595=

pt 2 14,( ) 0.9674=h t( )

Γv 1+

2

Γv2

π v⋅⋅

1t2

v+

v 1+

2−

⋅:= qt 0.9674 14,( ) 2=

h 2( ) 0.0595=


หมายเหต t เปนตวแปรสมท ระดบขนความเสร ν

dt(t, ν ) = 212

)vt1(

)2(

)21( +ν−

+πννΓ

+νΓ ฟงกชนความหนาแนนของความนาจะเปนของตวแปรสมท

pt(k, ν ) = dt)vt1(

)2(

)21(

212k +ν−

∞−

+πννΓ

+νΓ∫ = P(–∞ < t < k)

qt(A, ν ) = คาของ k ททาให pt(k, ν ) มคาเทากบ A

Chi-square distribution

หมายเหต 2χ เปนตวแปรสมไคสแควร ระดบขนความเสร ν

dchisq(x, ν ) = 2x

2

2

ex

)2(2

1 −ν

ννΓ

ฟงกชนความหนาแนนของความนาจะเปนของตวแปรสมไคสแควร

pchisq(k, ν ) = 2x

2

2

k

0

ex

)2(2

1 −ν

ννΓ

∫ = P(–∞ < 2χ < k)

qchisq(A, ν ) = คาของ k ททาให pchisq(k, ν ) มคาเทากบ A

v 15:= x 0 0.1, 40..:=

dchisq 10 15,( ) 0.0629=

f x( )1

2

v

2Γ

v2

⋅

x

v

21−

⋅ e

x

2−

⋅:= pchisq 10 15,( ) 0.1803=

qchisq 0.1803 15,( ) 10=

f 10( ) 0.0629=

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.02

0.04

0.06

0.08

f x( )

x0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.02

0.04

0.06

0.08

dchisq x 15,( )

x

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

h t( )

t5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

dt t 14,( )

t


F distribution

หมายเหต F เปนตวแปรสมเอฟ ระดบขนความเสร 1ν และ 2ν

dF(f, 1ν , 2ν ) = 2

21

2121

121

21

2121

)f1)(2()2(

f))(2(

ν+ν

−νν

νν

+ν

Γν

Γ

ννν+ν

Γ ฟงกชนความหนาแนนของความนาจะเปนของตวแปรสมเอฟ

pF(k, 1ν , 2ν ) = df

)f1)(2()2(

f))(2(

221

2121

121

21

2121k

0ν+ν

−νν

νν

+ν

Γν

Γ

ννν+ν

Γ

∫ = P(–∞ < F < k)

qF(A, 1ν , 2ν ) = คาของ k ททาให pF(k, 1ν , 2ν ) มคาเทากบ A

7.5.4 การหาคาเฉลย และ ความแปรปรวนของตวแปรสมชนดตอเนอง

X เปนตวแปรสมชนดตอเนองทมฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปน f(x) = 3

x 2 เมอ –1 < x < 2

เพราะฉะนนตวแปรสม X มคาเฉลย เทากบ 1.25 และ ความแปรปรวนเทากบ 0.6375

v1 4:= v2 10:= f 0 0.005, 8..:=

dF 3 4, 10,( ) 0.0577=h f( )

Γv1 v2+

2

v1

v2

v1

2

⋅ f

v1

21−

⋅

Γv1

2

Γ

v2

2

⋅ 1v1

v2f⋅+

v1 v2+

2

⋅

:= pF 3 4, 10,( ) 0.9277=

qF 0.9277 4, 10,( ) 3=

h 3( ) 0.0577=

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.10.20.30.40.50.60.7

h f( )

f0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.10.20.30.40.50.60.7

dF f 4, 10,( )

f

f x( )x2

3:= µ

1−

2xx f x( )⋅

⌠⌡

d:= µ 1.25= variance1−

2

xx µ−( )2 f x( )⋅⌠⌡

d:= variance 0.6375=


7.5.5 การหาสมการถดถอยและสมประสทธสหสมพนธ

สมการถดถอยคอ y = a + bx = 0.25 + 8.55x

สมประสทธสหสมพนธคอ 0.98043

7.5.6 การเขยนแผนภาพกระจายขอมลไดหลายๆ แบบ

แผนภาพการกระจายของขอมล

สเกลบนแกน (X, Y) และ (lnY, lnX)

แผนภาพการกระจายของขอมล สเกลบนแกน (lnX, Y) และ (lnY, X)

7.6 เสรมการคานวณเกยวกบคณตศาสตรขนสงดวย Mathcad

7.6.1 การหาสตรของฟงกชนทนยามในพจนของปรพนธ

7.6.2 การหาสตรอนพนธของฟงกชนทนยามในพจนของปรพนธ

ORIGIN 1:= i 1 8..:=

x

150

235

432

511

645

759

834

915

:= y

10

12

15

23

32

34

36

38

:=

4.5 5 5.5 6 6.5 72

3

4

ln yi( )

ln xi( )4.5 5 5.5 6 6.5 7

2

3

4

ln yi( )

ln xi( )

4.5 5 5.5 6 6.5 7

10

20

30

40

yi

ln xi( )0 200 400 600 800 1000

2

3

4

ln yi( )

xi

x

x2

t1

1 t2+

⌠⌡

d atan x2( ) atan x( )−→

1

xtt

⌠⌡

d12

x2⋅

12

−→

x 1

xtt

⌠⌡

ddd

x→x

x

x2

t1

1 t2+

⌠⌡

ddd

2x

1 x4+( )

⋅1

1 x2+( )

−→

x

1

3

5

7

9

:= y

14

23

35

64

79

:=

a intercept x y,( ):= a 0.2500=

b slope x y,( ):= b 8.5500=

r corr x y,( ):= r 0.9804=


7.6.3 กราฟของฟงกชนแกมมา (Gamma function) และการคานวณคา

7.6.4 ฟงกชนเบสเซล (Bessel function) และ กราฟของฟงกชนเบสเซล

หมายเหต J0(x) คอ ฟงกชนเบสเซลอนดบ 0, J1(x) คอ ฟงกชนเบสเซลอนดบ 1, Jn(v, x) คอ ฟงกชน

เบสเซลอนดบ v

7.6.5 การหาอนพนธอนดบสง และ อนพนธยอย

7.6.6 การหาพหนามเลอจองด )x(Pn อนดบตางๆ จากสตรโรดรกส )x(Pn = n2n

n

n )1x(dxd

!n21 −

7.6.7 การหาสมประสทธ 0a , na , nb ของอนกรมฟเรยร

x 0.1 0.101, 5..:=Γ 2( ) 1= Γ 3( ) 2= π 1.772454=

0 1 2 3 4 5

510152025

Γ x( )

x

Γ12

1.772454= Γ32

0.886227=

Γ12

π

1

2→ Γ

32

12π

1

2⋅→

x 0 0.01, 10..:= J0 0( ) 1= J1 0( ) 0= Jn 1 0,( ) 0= Jn 2 0,( ) 0=

0 2 4 6 8 10

1.51

0.5

0.51

1.5

J0 x( )

x

0 2 4 6 8 10

1.51

0.5

0.51

1.5

J1 x( )

x

0 2 4 6 8 10

1.51

0.5

0.51

1.5

Jn 1 x,( )

x

0 2 4 6 8 10

1.51

0.5

0.51

1.5

Jn 2 x,( )

x

1

21 1!⋅ xx2 1−( )d

d⋅ x→

1

22 2!⋅2x

x2 1−( )2d

d

2⋅

32

x2⋅

12

−→

3xx4( )d

d

324 x⋅→

x yy x⋅( )2 x y⋅( )2

+ dd

dd

8 y⋅ x⋅→

x yln x2 y2

+( )( )dd

dd

4−y

x2 y2+( )2

⋅ x⋅→ .x y

sin x( ) cos y( )⋅( )dd

dd

cos x( )− sin y( )⋅→


ตวอยาง f(x) = x และ f(x + 2π) = f(x)

ตวอยาง f(x) = 2x และ f(x + 2π) = f(x)

การเขยนกราฟของ f(x) และ อนกรมฟเรยรทหาได

7.6.8 การคานวณปรพนธตามเสนโคง

การหาคา ∫C

dz)z(f เมอ f(z) = z, C เปนเสนโคง z(t) = t + i 2t , 1 < t < 2

การหาคา ∫C

dz)z(f เมอ f(z) = z, C เปนเสนโคง z(t) = cost + isint , 4π < t < 2

π

3.14 1.57 0 1.57 3.14

3.14

1.57

1.57

3.14π

π−

f x( )

S n x( )

ππ− x

i 1−:= z t( ) t i t2⋅+:= f z( ) z:=

1

2

tf z t( )( )tz t( )d

d

⋅⌠⌡

d 6− 7i+=

i 1−:= z t( ) cos t( ) i sin t( )⋅+:= f z( ) z:=

π

4

π

2tf z t( )( )

tz t( )d

d

⋅

⌠⌡

d 0.5− 0.5i−=

f x( ) x:=1π π−

πxf x( )

⌠⌡

d⋅ expand 0→1π π−

πxf x( ) cos n x⋅( )⋅

⌠⌡

d⋅ expand 0→ .

1π π−

πxf x( ) sin n x⋅( )⋅

⌠⌡

d⋅ expand2

π n2⋅

sin n π⋅( )⋅2n

cos n π⋅( )⋅−→

f x( ) x2:=

1π π−

πxf x( )

⌠⌡

d⋅ expand23π

2⋅→

1π π−


⌠⌡

d⋅ expand 0→ .

1π π−


⌠⌡

d⋅ expand 2π

n⋅ sin n π⋅( )⋅

4

π n3⋅

sin n π⋅( )⋅−4

n2cos n π⋅( )⋅+→

f x( ) x:= ORIGIN 0:= n 0 5..:=

.a01π π−

πxf x( )

⌠⌡

d⋅:= an1π π−


⌠⌡

d⋅:= bn1π π−


⌠⌡

d⋅:=

Sn x( )a0

21

5

n

an cos n x⋅( )⋅ bn sin n x⋅( )⋅+( )∑=

+:=

บทนา

Mathematica โปรแกรมสาเรจรป Mathematica เปนโปรแกรมทมชอเสยงมากและเปนโปรแกรมทมความสามารถใน

การคานวณสง รปแบบการใชงานตองพมพคาสงผานบรรทดทเรยกวา line in [..] ผลของการคานวณทไดจะ

แสดงออกมาทบรรทด line out [..] การใชงานโดยทวไปผใชตองจดจาคาสงทตองการได หรอจะให

โปรแกรมแสดงแถบเครองมอของคาสงใหปรากฏบนจอภาพตลอดเวลากได ในการใชงานโปรแกรม

Mathematica ความสามารถในการทางานบางอยาง เชนงานทางดาน Graphics จะจาแนกเปนโปรแกรมยอย

เรยกวา Package ซงเราตองเรยกโปรแกรมยอยนนขนมากอนจงจะใชงานทางดาน Graphics ได

ในการใช Package เชนการเรยก Package Graphics ตองพมพ <<Graphics `Graphics` จงจะใชคาสง

ในกลมของการเขยนกราฟได แตในการใชงานจรงเนองจากแปนพมพบางแปนพมพไมสามารถพมพสญลกษณ

backquote character (`) จงขอแนะนาวธพมพคาสงเรยกใช Package ดงน

วธท 1. พมพ $Packages แลวกด <Shift>+↵

ผลบนจอภาพจะไดสญลกษณ backquote character (`) ท Out[1] ใหเลอนเมาสไป copy สญลกษณ

backquote character (`) ทไดไวใชงานตอไปเมอตองการพมพ backquote character (`)

วธท 2. คลกท Help เมอไดเมนของ Help แลวใหเลอก Add–on \ Standard Package \ Graphics \

Graphics จะไดคาอธบายตาง ๆ ของการใช Package Graphics ใหทาการ copy คาวา Graphics`Graphics` มา

paste ทบรรทด line in เพอใชในการเรยก Package Graphics ตอไป

ความสามารถทเหมอนและแตกตางจาก Mathcad เชน

• Mathematica แสดงผลทศนยมไดหลายตาแหนงตามตองการแต Mathcad แสดงผลไดสงสด 15 ตาแหนง

• การปรบเปลยนรปแบบการแสดงผลของกราฟ ตองใชคาสงในการกาหนดคา ไมเหมอนกบ Mathcad ทม

เมนของการปรบเปลยนรปแบบกราฟ

• มแถบเครองมอในการคานวณ สามารถนาแถบเครองมอมาแสดงบนจอภาพไดเหมอนกน

• สามารถขอคาอธบายของคาสง ดวยการพมพ ? ตามดวยคาสงทตองการรความหมาย แลวกด Enter

สารบญ บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathematica......................................... 1 – 10

บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica....................................................... 11 – 34

บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathematica............................................................... 35 – 50

บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathematica........................................ 51 – 62

บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathematica............................................. 63 – 68

บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathematica..................................... 69 – 78

บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica.............................................. 79 – 94

บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathematica Mathematica - 1

บทท 1.

ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม Mathematica

ในบทน เปนการนาความสามารถเบองตนของโปรแกรมสาเรจรป Mathematica ทาไดมาใหดกอนเพอผอาน

จะไดเหนความสามารถทางการคานวณทสาคญของโปรแกรมสาเรจรป Mathematica ในสวนของการพมพ

คาสง การเขาสโปรแกรม Mathmatica และการประยกตตาง ๆ จะกลาวในบทตอไป

เนองจากลกษณะการทางานของโปรแกรม Mathematica มบรรทดของคาสงทเราตองพมพคาสงของการ

คานวณเขาไป เรยกวา line In ln[n] := ... โปรแกรม Mathematica จงจะแสดงผลการคานวณ ในบรรทดถดไป

เรยกวา line out Out[n] = ... ดงนน การยกตวอยางความสามารถตาง ๆ จงขอนาผลการคานวณทปรากฎบน

จอภาพ ซงมทงบรรทด line in (In[n] :=) และ line out (Out[n]=)

1. การคานวณเบ องตน บวก ลบ คณ หาร และเลขยกกาลง

2. สามารถกาหนดการแสดงผลการคานวณใหเปนทศนยมไดหลายตาแหนง

แสดงคาของ π เปนเลขทศนนม 5 ตาแหนง แสดงคาของ π เปนเลขทศนยม 20 ตาแหนง

3. มฟงกชนทางคณตศาสตรใหใชมากมาย


หมายเหต E หมายถง คา e มคาประมาณเทากบ 2.71828

Log[a, x] หมายถง log ฐาน a ของ x

Log[x] หมายถง log ฐาน e ของ x

4. มความสามารถในการกาหนดฟงกชนใชงานได

หมายเหต f[x_] คอ การกาหนดสตรของฟงกชน f(x)

5. สามารถกาหนดเซตของจานวน และสามารถคานวณสมาชกภายในเซตได

หมายเหต เซตของตวเลขเปนชนดของตวแปรแบบหนงใน Mathematica ซงเรยกวาตวแปรแบบ list

6. สามารถเปลยนหนวยการคานวณไดโดยงาย

หมายเหต ถาไมกาหนดหนวยของมมฟงกชนตรโกณมตใน Mathematica จะคดหนวยของมมเปนเรเดยน

การระบหนวยใหพมพ Degree ตอทายตวเลข

การเตมจดทายตวเลขจะทาใหผลการคานวณแสดงคาเปนเลขทศนยม

7. ความสามารถในการแสดงหนวยของผลการคานวณ


8. สามารถเขยนกราฟไดหลายรปแบบ


8.2 กราฟแผนภาพการกระจายของขอมล

8.3 กราฟในระบบพกดเชงขว

8.4 กราฟของสมการพาราเมตรก เชนการเคลอนทแบบโปรเจคไทล


8.5 กราฟพนผวใน 3 มต

8.6 กราฟของสมการพาราเมตรกใน 3 มต เชนการเคลอนทแบบบนไดเวยน หรอ สปรง

8.7 กราฟพนผวใน 3 มต หรอพนผวทเกดจากการหมน


9. การคานวณในรปแบบเลขฐานตาง ๆ

2^^10101 หมายถงจานวน 10101 ฐาน 2

รปแบบทวไป b^^xx...x หมายถง xx...x ฐาน b

หมายถงการเปลยน 21 ฐาน 10 เปนจานวนใบระบบฐาน 2

รปแบบทวไป BaseForm[N, b]

คอการเปลยนจาก N ฐาน 10 เปน จานวนในระบบฐาน b

ตวอยางอน ๆ เชน




หมายเหต การพมพสญลกษณ i ใหพมพ <Ecs>ii<Ecs>


13. การหาผลบวกอนกรมกาลง อนกรมจากด อนกรมอนนต และผลคณของลาดบ


15. การหาความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลในรปแบบ y = mx + c

หมายเหต ผลของคาสง Regress จะใหคา m = 0.995349 และ c = 106.109 นอกจากนนยงทาการ

วเคราะหขอมลทางสถตใหดวย เราสามารถใชคาสง Regress วเคราะหสมการความสมพนธในรปแบบอน ๆ ได

อกเชน หาความสมพนธ y = a 2x + bx + c



17. ความสามารถในการหา อนพนธ อนพนธอนดบสง อนพนธยอย แบบเปนสตร และ เปนคาตวเลข

การหาอนพนธเปนสตรและคาตวเลข อนพนธอนดบสง อนพนธยอย

หมายเหต D[f[x], x] คอ )x(fdxd และ D[f[x], {x, n}] คอ )x(f

dxd

n

n และ ]y,x[fy,x∂ คออนพนธยอย

18. ความสามารถในการหาปรพนธ เปนสตร และ เปนคาตวเลข


19. ความสามารถในการหาคาลมต

หมายเหต Limit[f[x] , x→ a] คอ )x(flimax→

Limit[f[x] , x→ a, Direction → 1] คอ )x(flimax −→

Limit[f[x] , x→ a, Direction → –1] คอ )x(flimax +→


โปรแกรมหาพนทสามเหลยมเมอรความยาวทงสามดาน


หมายเหต FindRoot[f[x]==0, {x, a}] คอการหารากของ f(x) = 0 จดเรมตนของการประมาณคาท x = a



ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน 2x + y = 4, 9x – 4y = 1

ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการไมเชงเสน 2x + 2y = 1, x – y = 0


การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ y′= 2x

การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนเอกพนธ y′′ + y = 0

การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนไมเอกพนธ y′′ + y = 2x

การหาผลเฉลยสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนไมเอกพนธ y′′ + y = 2x และ y′(0) = –1, y(0) = 2

การหาผลเฉลยระบบสมการเชงอนพนธ x′ = x – y + 2

y′ = -x + y – 5


การหาผลเฉลยระบบสมการเชงอนพนธ x′ = x – y + 2

y′ = -x + y – 5

x(0) = 1, y(0) = –1

24. มฟงกชนสาหรบการคานวณเกยวกบจานวนเตมเชน หรม. ครน. การแยกตวประกอบจานวนเตม

หมายเหต 10! = 82 43 25 7

25. สามารถหาผลการแปลงลาปลาซและผลการแปลงลาปลาซผกผนได

บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 11

บทท 2.

การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica

ในบทนจะเรยนร เกยวกบการนาโปรแกรมสาเรจรป Mathematica เขามาทางาน และการคานวณเบองตน

กบคาสงของ Mathematica

หมายเหต โปรแกรม Mathematica ทใชในขณะนคอ Mathematica 4

สาหรบ Version อน ๆ เชน Mathematica 3 หรอ Mathematica 2 จะมการใชงานทใกลเคยงกน

2.1 การเรยกโปรแกรม Mathematica ขนมาใชงาน

ขนท 1. เปดเครองคอมพวเตอร

ขนท 2. รอจนจอภาพขนขอมลตาง ๆ ครบ

ดงตวอยางเชนในภาพ

ขนท 3. คลกทปม จะไดเมน

ขนท 4. คลกท All Programs และเลอนเมาสไปท Mathematica 4 จะไดเมนยอยเปนดงน


ขนท 5. เลอกโปรแกรม Mathematica 4

หลงจากคลก Mathematica 4 แลว

บนจอภาพจะขน Logo ของ Mathematica 4

ดงรป

หลงจากนนจะเขาสโปรแกรม Mathematica

ซงจะปรากฏหนาจอดงน

1. แสดง Window ของการทางาน Mathematica 4

2. แสดงชอแฟมขอมลของ Mathematica ทกาลงทางาน (เมอเขามาครงแรกจะมชอเปน Untitled-1)

3. เมนบารของการทางานตาง ๆ เชน เปด-ปด แฟมขอมล สงพมพงาน

4. แสดง Window ยอยของการทางานใน Mathematica (Window ยอยขณะนมชอวา Untitled-1)

5. บรเวณของการทางานทางดานการคานวณตาง ๆ ของ Mathematica

6. แถบเครองมอของการคานวณเบองตน

7. แถบเครองมอของการคานวณเบองตน

หมายเหต เมอเขามาครงแรกแถบเครองมอของการคานวณเบองตนทแสดงออกมาอาจไมเหมอนกบรปขางน

การนาแถบเครองมอของการคานวณตาง ๆ ขนมา ทาไดโดยเลอกเมน File\Palettes\

และเลอกแถบเครองมอทตองการ เชน แถบเครองมอ BasicCalculations, แถบเครองมอ BasicInput, ...


ตวอยางของแถบเครองมอเชน

AlgebraicManipulation BasicCalculations BasicInput

2.2 การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica

รปแบบการทางานดวยคาสงตาง ๆ ของ Mathematica มบรรทดของการรบคาหรอคาสง และมบรรทดของการ

แสดงผล ตวอยางเชน การหาผลบวก 1 + 2 เมอเราพมพ 1 + 2 เสรจแลวกด <Shift > + ↵ โปรแกรมจะทา

การคานวณ แลวขนบรรทดใหม แลวแสดงผลการคานวณให ดงน

หมายเหต กด ↵ เปนการขนบรรทดใหม

การกด <Shift >+↵ (กด Shift คางไวแลวกด Enter) คอการสงใหโปรแกรมทาการคานวณ

เพอใหเขาใจการใชงานงายขน การใชงานโปรแกรม Mathematica จะขอเขยนในรปแบบตาราง โดยมตาราง

ชองท 1 หมายถงการพมพผานทางแปนพมพ ตารางในชองท 2 เปนผลทเกดจากการคานวณของ

Mathematica และสงเกดขนจากผลการคานวณและการจดรปแบบการแสดงผลบนจอภาพทม

ln[n] := .....................

และ Out[n]= .....................

การคานวณดวยโปรแกรม Mathematica

1. การหาผลบวก 45.25 + 17.5


45.25+17.5<Shift >+↵




47/5.<Shift>+↵

มจด . ทายเลข 5 จะแสดงผลการคานวณ

47/5<Shift>+↵

ไมมจด . ทายเลข 4 จะแสดงเปนเศษสวน



15*32<Shift>+↵



4^3<Shift>+↵

E^4.<Shift>+↵

หมายเหต E = 2.718281828

E^4<Shift>+↵

ไมมจด . ทายเลข 4 จะแสดงเปนการยกกาลง

5. การคานวณโดยใชฟงกชนทางคณตศาสตร log(2), ln(2), sin( π6

), 3 , 5 32 และ 5!


Log[2]<Shift>+↵

หมายเหต Log[x] คอ lnx

//N เปนการบงคบใหแสดงผลเปนตวเลข

Log[10, 2]<Shift>+↵

หมายเหต Log[10, x] คอ แสดงคา xlog10

ไมม //N จะแสดงผลเปนการจดรปพชคณต

Log[10, 2]//N<Shift>+↵

หมายเหต Log[10, x] คอ แสดงคา xlog10


Sin[Pi/3]<Shift>+↵

การหารากท 2 ม 2 วธ

วธท 1.

Sqrt[3]//N<Shift>+↵ วธท 2.

<Ctrl>+2

หมายเหต คลกสญลกษณ จากแถบ

เครองมอ BasicInput กได

3

→ หมายเหต กดแปนลกศร จะสงเกตเหนวา

curser เลอนออกไปนอกเครองหมาย Root

//N<Shift>+↵

การหารากท n

คลกสญลกษณ จากแถบเครองมอ

BasicInput

32

Tab

5<Shift>+↵

การหาคา 5! แฟกทอเรยล

5!<Shift>+↵



x:=4<Shift>+↵

หมายเหต := คอการกาหนดคาใหกบตวแปร

f[x_]:=x^2<Shift>+↵

หมายเหต f[x_]:= เปนการกาหนดสตร

f[x]<Shift>+↵


f[3]<Shift>+↵

f[x]/.x->4<Shift>+↵



4

1

+∫


f[x_]:=x^2+4<Shift>+↵ วธท 1.

Integrate[f[x], {x, 0, 1}]<Shift>+↵ วธท 2.

คลกสญลกษณ จากแถบเครองมอ

BasicInput

1<Tab>

4<Tab>

f[x]<Tab>

x<Shift>+↵

2.3 การเขยนกราฟของฟงกชน

ตวอยาง การเขยนกราฟของ f(x) = 2x – 3x + 7 บนชวง [–8, 8]


f[x_]:=x^2-3*x+7<Shift>+↵

Plot[f[x], {x, -8, 8}]<Shift>+↵


คาสง Plot[f[x], {x, a, b}]

คอการเขยนกราฟ y = f(x)

บนชวง [a, b]


หมายเหต โปรแกรม Mathematica สามารถจดรปแบบการแสดงผลของกราฟไดหลายลกษณะเชน

เลอกกาหนดสเกลทแกน X และ แกน Y มเสนตาขายชวยในการประมาณคา



−

−3524 และ B =

3152


การกาหนดเมทรกซแบบท 1.

A=

คลกสญลกษณ จากแถบ

เครองมอ BasicInput

4<Tab>

หมายเหต การกด Tab ทาให

Curser กระโดดไปตาแหนงถดไป

–2<Tab>–5<Tab>3<Shift>+↵


กาหนดเมทรกซ B

เรยกโปรแกรม

การทางานเกยวกบเมทรกซ คอ

<<LinearAlgebra'Matrixmanipula

tion'<Shift>+↵

MatrixForm[A]<Shift>+↵

หมายเหต MatrixFrom[A] เปน

คาสงกาหนดการแสดงผลใน

รปแบบเมทรกซ


การคานวณคาของเมทรกซ A + B, 4A, 2A , AB, 1A− , TA , det(A)


MatrixForm[A+B]<Shift>+↵

MatrixForm[4*A]<Shift>+↵

MatrixForm[MatrixPower[A,2]]

<Shift>+↵

MatrixForm[A.B]<Shift>+↵

MatrixForm[Inverse[A]]

<Shift>+↵

Det[A]<Shift>+↵

MatrixForm[Tranpose[A]]

<Shift>+↵



MatrixForm[A]<Shift>+↵



A<Tab>


1,1<Shift>+↵

การกาหนดเมทรกซแบบท 2.


A={{4,–2},{5,3}}<Shift>+↵

ในกรณทเมทรกซมมตใหญ ใหกาหนดในรปแบบของเซตดงน

A = {{ 11a , 12a , ... , m1a }, { 21a , 22a , ... , m2a }, ... , { 1na , 2na , ... , nma }}

ตวอยางเชน การกาหนด A =

5123211430215421


สาหรบขอมลทอยในรปแบบของเวกเตอรเชน u =

−

43 และ v =

21


u={–3,4}<Shift>+↵

MatrixForm[u]<Shift>+↵

v={1,2}<Shift>+↵

MatrixForm[v]<Shift>+↵


การหาคา u + v, 4u, vu ⋅ , | u |


MatrixForm[u+v]<Shift>+↵

MatrixForm[4*u]<Shift>+↵

MatrixForm[u.v]<Shift>+↵

การหาขนาดของเวกเตอร u

Sqrt[u.u]<Shift>+↵


ตวอยางขอมลคอ x = 2, 3, 5, 7, 8, 15


<<Statistics`DescriptiveStatistics`

<Shift>+↵

หมายเหต คาสงเรยก Package หรอโปรแกรมประยกต

ทางดานสถตของ Mathematica ขนมาใชงาน

x={2,3,5,7,8,15}<Shift>+↵

Mean[x]<Shift>+↵

Median[x]<Shift>+↵

Variance[x]<Shift>+↵

Length[x]<Shift>+↵

StandardDeviation[x]<Shift>+↵




x<Tab>

1<Shift>+↵

ใน Mathematica มฟงกชนทชวยคานวณคาทางดานสถตของขอมล เชน

Mean[x] = คาเฉลยเลขคณตของขอมลใน x Median[x] = มธยฐานของขอมลใน x

Variance[x] = ความแปรปรวน(ตวอยาง) x Length[x] = จานวนขอมลใน x

StandardDeviation[x} = สวนเบยงเบนมาตรฐาน(ตวอยาง) x

2.7 การกาหนดขอมลในรปแบบตวแปร 2 มต

ตวอยางเชนตองการกาหนดขอมลเปน


<<Statistics`LinearRegres

sion`<Shift>+↵

หมายเหต คาสงเรยก Package ทางดาน Linear Regression ของ

Mathematica ขนมาใชงาน

data={3,12},{5,15},{9,

21},{12,32}}

<Shift>+↵

MatrixForm[data]

<Shift>+↵

การเขยนแผนภาพการกระจาย

ListPlot[data]

เปนคาสงใหเขยนกราฟแผนภาพ

การกระจายของขอมล

ListPlot[data,

PlotStyl→{PointSize[0.025]}]

เปนการเพมขนาดของจด

x y 3 12 5 15 9 21

12 32




10

1 ii , ∑

=

10

1 i

2i , )5i4(i 10

1 i

2∑=

−−


วธท 1. ใชคาสง Sum

Sum[i,{i,1,10}]<Shift>+↵

Sum[i^2,{i,1,10}]<Shift>+↵

Sum[i^2–4*i–5,{i,1,10}]

<Shift>+↵ วธท 2. ใชสญลกษณผลบวก



i<Tab>

1<Tab>

10<Tab>

i<Shift>+↵

หมายเหต ถาตองการหาคา

∑=

10

1 i

2i ใหพมพ i^2<Tab>


a∫

ตวอยางการหาคาของ dxx2

1

0∫


วธท 1. ใชคาสง Integrate

Integrate[x^2,{x,0,1}]

<Shift>+↵


วธท 2.



0<Tab>

4<Tab>

x^2<Tab>

x<Shift>+↵


dxd

n

n

ตวอยาง การคานวณ )x(fdxd เมอ f(x) = 2x ท x = 1 และ )x(f

dx

d2

2 เมอ f(x) = 4x ท x = 2


วธท 1.

D[x^2,x]<Shift>+↵

หมายเหต D[f[x], x] เปนคาสงคานวณสตร f′(x)

D[x^2,x]/.x->1<Shift>+↵

หมายเหต D[f[x], x] /.x→a เปนคาสงคานวณคา f′(a)

D[x^4,{x,2}]<Shift>+↵

หมายเหต D[f[x], {x, n}] เปนคาสงหาสตร )n(f (x)

D[x^4,{x,2}]/.x->2<Shift>+↵

หมายเหต D[f[x], {x, n}] /.x→a คาสงหาคา )n(f (a)

วธท 2.



x<Tab>


x^2<Shift>+↵

คลกสญลกษณ แลวพมพ

x<Tab>x^2/.x->1<Shift>+↵



การกาหนดหนวยของมม

Sin[90]<Shift>+↵

หมายเหต ฟงกชนตรโกณมต Sin, Cos, Tan, Sec, ...

ถาไมระบหนวยจะคดหนวยเปนเรดยน

Sin[90Degree]<Shift>+↵

หมายเหต การกาหนดองศา ใหพมพ Degree ทายตวเลข

ArcSin[1.]<Shift>+↵

หมายเหต คาของ ArcSin, ArcCos, ArcTan, ...

ถาไมระบหนวยจะคดหนวยเปนเรเดยน

ArcSin[1.]/Degree<Shift>+↵

การกาหนดหนวยแบบอน ๆ เชน Meter, Hour, ....

<<Miscellaneous`Units`

<Shift>+↵

หมายเหต คาสงเรยก Package ทางดานการกาหนด

เกยวกบหนวยของ Mathematica ขนมาใชงาน s:=10800Meter;t:=3Hour;

v:=s/t<Shift>+↵

v<Shift>+↵

Convert[v,Centimeter/Second]

<Shift>+↵

หมายเหต Convert[x, หนวย] กาหนดการแสดงหนวย

ของ x ตามทตองการ




BaseForm[9,2]<Shift>+↵

8^^2+8^^17<Shift>+↵

หมายเหต 12 ฐาน 8 บวก 17 ฐาน 8 ได 25 ฐาน 10

16^^2*16^^10<Shift>+↵

หมายเหต 2 ฐาน 16 คณ 11 ฐาน 16 ได 32 ฐาน 10

หมายเหต BaseForm[x, b] คอการแสดงผลของ x ในรปแบบตวเลขฐาน b และ b^^x คอจานวน x ฐาน b


n

1 iix , ∑

=

n

1 iiy , ∑

=

n

1 i

2ix ,...

ตวอยางขอมลเชน


x:={2,3,6,9}<Shift>+↵

y:={12,15,14,19}<Shift>+↵

{x[[1]],y[[1]]}<Shift>+↵

หมายเหต x[[i]] คอ ix

Sum[x[[i]],{i,1,4}]<Shift>+↵

หมายเหต Sum[F[i],{i,a,b}] = ∑=

b

a iF(i)

Sum[x[[i]]^2,{i,1,4}]

<Shift>+↵ Sum[x[[i]]*y[[i]],{i,1,4}]

<Shift>+↵

x y 2 12 3 15 6 14 9 19


การใช และ



i<Tab>1<Tab>4<Tab>


เครองมอ BasicInput x<Tab>

i<Shift>+↵

ในทานองเดยวกนจะได


ตวอยางเชนการสรางตาราง

Table[{x, f(x)}, {x, a, b, d}}

เปนการทาตารางของอนดบ {x, f(x)}, x เปลยนคาจาก a ถง b

โดยมคาเพมขนครงละ d

TableForm[...] เปนการสงใหแสดงผลแบบแนวตง


Table[{x,2*x+4},

{x,1,4,1}]<Shift>+↵ TableForm[

Table[{x,2*x+4},

{x,1,4,1}]]

<Shift>+↵

x f(x) = 2x + 4 1 6 2 8 3 10 4 12


หมายเหต ในกรณทคา x เพมไมเทากนเชน x = 2, 5, 7, 12 สามารถคานวณในรปแบบตารางไดดงน


ตวอยาง z = 3 + 4i, w = 5 – 9i จะได z + w = 8 – 5i, | z | = 5, z = 3 – 4i, 1z− = 253 + 25

4 i


z:=3+4<Esc>ii<Esc><Shift>+↵

หมายเหต กด <Esc>ii<Esc> จะไดสญลกษณ i = 1−

w:=5-9<Esc>ii<Esc>

<Shift>+↵

z+w<Shift>+↵

Abs[z]<Shift>+↵

Conjugate[z]<Shift>+↵

z^-1<Shift>+↵


ตวอยาง การหารากของสมการ 2x – 2 = 0


FindRoot[x^2-2==0,{x,1}]

<Shift>+↵


FindRoot[x^2-2==0,{x,–1}]

<Shift>+↵

Solve[x^2-2==0,x]<Shift>+↵

Solve[x^2-2==0,x]//N

<Shift>+↵

หมายเหต FindRoot[f[x] == 0, {x, 0x }] เปนคาสงทใชหารากของสมการ f(x) = 0 โดยวธของนวตน

โดยมจดเรมตนของการประมาณคาเปน 0x

Solve[f[x] == 0, x] เปนคาสงทใชหารากของสมการ f(x) = 0

2.17 การหาผลเฉลยของระบบสมการ


x + y = 3


FindRoot[{2*x+3*y==8,

x+y==3,{x,0},{y,0}]

<Shift>+↵

FindRoot[{x^2+y^2==25,

3*x+4*y==0,{x,0},{y,0}]

<Shift>+↵

หมายเหต FindRoot[{equation1,equation2, ... , {x, 0x }, {y, 0y }, ....] เปนคาสงทใชหาผลเฉลยของ

ระบบสมการ โดยวธของนวตน โดยมจดเรมตนของการประมาณคาของ x, y เปน 0x , 0y , ...

ตวอยางการหาผลเฉลยของระบบสมการไมเชงเสนเชน

การหาจดตดของวงกลม 2x + 2y = 25 และเสนตรง 3x + 4y = 0

2.18 การคานวณคา rn C และ nPr r

n P

สตร rn C =

)!rn(!r!n−

สามารถกาหนดเปนสตรในโปรแกรม Mathematica ไดดงน


nCr[n_,r_]:=n!/(r!*(n-r)!)

<Shift>+↵


nCr[5,1]<Shift>+↵

nCr[5,2]<Shift>+↵

nPr[n_,r_]:=n!/(n-r)!

<Shift>+↵

nPr[5,1]<Shift>+↵

nPr[5,2]<Shift>+↵


โปรแกรม Mathematica สามารถคานวณและแสดงผลออกมาในรปแบบของสตรไดเชน

การกระจายพหนาม (x – 1)(x + 2) กระจายไดเปน 2x + x – 2

การแยกตวประกอบ 4x – 2 2x – 3x – 2 แยกตวประกอบไดเปน (x – 2)(x + 1)( 2x + x + 1)

การแสดงผลเปนเศษสวนอยางตา 1511

125

43


15



สามารถหาคาลมตเปนสตรได ตวอยางเชน 1x

lim→

( 2x + kx ) หาคาลมตไดเปน k + 1

ตวอยาง การกระจายสตรพหนาม (x – 1)(x + 2)


Expand[(x-1)*(x+2)]

<Shift>+↵

หมายเหต คาสง Expand[...] ใชกระจายสตรพหนาม หรอฟงกชนตาง ๆ

ตวอยาง การแยกตวประกอบ 4x – 2 2x – 3x – 2


Factor[x^4-2*x^2-3*x-2]

<Shift>+↵

หมายเหต คาสง Factor[...] ใชแยกตวประกอบพหนาม หรอฟงกชนตาง ๆ


ตวอยาง การแสดงผลเปนเศษสวนอยางตา 1511

125

43


15


Simplify[(3/4)/((5/12)+(11/

15))]<Shift>+↵

หมายเหต คาสง Simplify[...] ใชในการจดรปทางพชคณตเชน ทาเปนเศษสวนอยางตา

ตวอยาง การหาสตรอนพนธ dxd 2x


D[x^2]<Shift>+↵

D[x^2,{x,2}]<Shift>+↵

หมายเหต คาสง D[f(x)] ใชหาอนพนธอนดบท 1

คาสง D[f(x), {x, k}] ใชหาอนพนธอนดบท k เทยบกบตวแปร x



Integrate[4*x+7,x]<Shift>+↵

หมายเหต คาสง Integrate[f(x), x] ใชหาสตรอนทเกรตของ f(x)


lim→

( 2x + kx)


Limit[x^2+k*x,x->1]

<Shift>+↵

เมอกด -> บนจอภาพจะเปนลกศร →



2.20 การหาสตรเทยเลอรของฟงกชน

ตวอยางการหาอนกรมเทยเลอรของ sin(x) และ ln(x)


Series[Sin[x],{x,0,5}]

<Shift>+↵

Series[Sin[x],{x,0,8}]

<Shift>+↵

Series[Log[x],{x,1,3}]

<Shift>+↵

หมายเหต คาสง Series[f(x), {x, a, k}] ใชหาพหนามเทยเลอรดกรไมเกน k ของ f(x) รอบจด x = a

2.21 การหาผลการแปลงลาปลาซและผลการแปลงลาปลาซผกผน

ตวอยางเชน L{sin(x)} = 1s

12 +

และ 1L− {1s

12 +

} = sin(x)


LaplaceTransform[Sin[x],

x,s]<Shift>+↵

InverseLaplaceTransform[

1/(s^2+1),s,x]<Shift>+

↵

หมายเหต คาสง LaplaceTransform[f[x]], x, s] ใหผลเปนสตร F(s) ทเปนผลการแปลงลาปลาซของ f(x)

คาสง InverseLaplaceTransform[F[s], s, x] ใหผลเปนสตร f(x) ทเปนผลการแปลงลาปลาซผกผนของ F(s)

2.22 การแยกเศษสวนยอย

ตวอยางเชน การแยกเศษสวน )1x(x1+

ออกเปน x1 – 1x

1+


Apart[1/(x*(x+1))]<Shift>+↵

หมายเหต คาสง Apart[f[x]] จะทาการกระจายสตรของ f(x) เมอ f(x) เปนเศษสวนของพหนาม ออกเปน

ผลบวกของเศษสวนยอย


ตวอยางอน ๆ เชน )x1)(x1(

12x4x2xx2

234

++

+−+− แยกไดเปน –2 + x + x110+

+ 2x1x74

+

−

หมายเหต คาสง Together[f[x]] จะทาการจดรปผลบวกของพหนามและเศษสวนของพหนาม ใหออกมาเปน

รปแบบ เศษสวนของพหนาม )x(q)x(p ตวอยางเชน

2.23 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ และ ระบบสมการเชงอนพนธ

ตวอยาง การหาผลเฉลยสมการเชงอนพนธ y′ = 2x


DSolve[y'[x]==x^2,y[x],x]

<Shift>+↵

ผลเฉลยคอ y = 3x3

+ 1c

หมายเหต คาสง Dsolve[สมการเชงอนพนธ, y[x] ตวแปรตาม, x ตวแปรอสระ]

y′[x] คอ dxdy , y′′[x] คอ 2

2

dxyd , ...

ตวอยาง การหาผลเฉลยสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนเอกพนธ y′′ + y = 0


DSolve[y''[x]+y[x]==0,y[x],x]

<Shift>+↵

ผลเฉลยคอ y = 2c cos(x) - 1c sin(x)

ตวอยาง การหาผลเฉลยสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนไมเอกพนธ y′′ + y = 2x


DSolve[y''[x]+yx]==x^2

,y[x],x]<Shift>+↵

ผลเฉลยคอ y = –2 + 2x + 2c cos(x) - 1c sin(x)


ตวอยาง การหาผลเฉลยสมการเชงอนพนธ y′′ + y = 2x และ y′(0) = –1, y(0) = 2

พมพ DSolve[{y''[x]+y[x]==x^2,y'[0]==-1,y[0]==2},y[x],x]<Shift>+↵

ผลบนจอภาพ

ผลเฉลยคอ y = –2 + 2x + 4cos(x) - sin(x)

หมายเหต คาสง Dsolve[{สมการเชงอนพนธ, เงอนไข 1, เงอนไข 1, .... }, y[x], x] ใชหาผลเฉลยของ

สมการเชงอนพนธทมเงอนไขเรมตน

ตวอยาง การหาผลเฉลยระบบสมการเชงอนพนธ x′ = x – y + 2

y′ = -x + y – 5

พมพ

DSolve[{x'[t]==x[t]-y[t]+2,y'[t]==-x[t]+y[t]-5},{x[t],y[t]},t]<Shift>+↵


หมายเหต คาสง Dsolve[{สมการเชงอนพนธ 1, สมการเชงอนพนธ 2, .... }, x[t], y[x], t] ใชหาผลเฉลยของ

ระบบสมการเชงอนพนธทม x, y เปนตวแปรตาม และ t เปนตวแปรอสระ

ตวอยาง การหาผลเฉลยระบบสมการเชงอนพนธ x′ = x – y + 2

y′ = -x + y – 5

x(0) = 1, y(0) = –1

พมพ

DSolve[{x'[t]==x[t]-y[t]+2,y'[t]==-x[t]+y[t]-5,x[0]==1,y[0]==-1},{x[t],y[t]},t]

<Shift>+↵



2.24 ฟงกชนเกยวกบจานวนเตมเชน หรม. ครน. การแยกตวประกอบจานวนเตม

การหาตวประกอบของจานวนเตม


FactorInteger[100]<Shift>+↵

FactorInteger[10!]<Shift>+↵

หมายเหต คาสง FactorInteger[x] จานวนตวประกอบทเปนจานวนเฉพาะของจานวนเตม x

ตวอยางจากผลการคานวณเชน 100 = 22 25 และ 10! = 82 43 25 17

การหา หรม.


GCD[40,32]<Shift>+↵

GCD[40,32,64,96]<Shift>+↵

หมายเหต คาสง GCD[a, b, c, ...] ใชในการหา หรม. ของ a, b, c, ...

การหา ครน.


LCM[40,32]<Shift>+↵

LCM[40,32,64,96]<Shift>+↵

หมายเหต คาสง LCM[a, b, c, ...] ใชในการหา ครน. ของ a, b, c, ...

บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathematica Mathematica – 35

บทท 3.

การเขยนกราฟดวย Mathematica

โปรแกรม Mathematica มความสามารถในการเขยนกราฟทใชงานในคณตศาสตรระดบนกเรยน และ

กราฟสาหรบเนอหาคณตศาสตรระดบอดมศกษา ไดหลายแบบ เชน กราฟในระบบพกดมมฉาก กราฟ 2 มต

กราฟ 3 มต กราฟเชงขว ในบทน จะศกษาการใชคาสงเพอเขยนกราฟรปแบบตางๆ เพอใหไดรปของกราฟทม

ทงความเหมาะสม และ ความสวยงาม

ตวอยางของกราฟบางรปแบบทโปรแกรมสาเรจรป Mathematica ทาไดเชน


f(x) = 2x - 3x – 7 f(x, y) = 2x – 2y

กราฟในพกดเชงขว กราฟเสนโคงใน 3 มต

r = 4cos(2t) r(t) = (2sint, 3cost, πt )

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

20

40

60

80

-2-1

01

2-2

-1

0

12

-4-2024

-2-1

01

2

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

-2-1

01

2

-2

0

2

01

2

3

4

-2-1

01

2

-2

0

2


3.1 การเขยนกราฟในระบบพกดมมฉาก 2 มต

ตวอยาง การเขยนกราฟ y = 2x - 3x – 7

พมพ Plot[x^2-3*x-7, {x, -8, 8}]<Shift>+↵


หมายเหต Plot[f[x], {x, a, b}] เปนคาสง plot กราฟ y = f(x) บนชวง [a, b]

ตวอยาง การเขยนกราฟ y = 2x - 3x – 7 และ y = 2x

พมพ Plot[{2*x+3, x^2-4}, {x, -5, 5}]<Shift>+↵


หมายเหต Plot[{f[x], g[x], ....}, {x, a, b}] เปนคาสง plot กราฟ y = f(x) และ y = g(x) บนชวง [a, b]




<<Graphics`Graphics`↵

เปนคาสงเรยก package Graphics ขนมาทางาน

พมพ ListPlot[{{2,4},{5,10},{7,25},{11,32},{15,38}}]<Shift>+↵


x y 2 4 5 10 7 25 11 32 15 38


หมายเหต ListPlot[{ 1y , 2y , ...}] ใช เขยนกราฟคลาดบ (i, iy ) , i = 1, 2, 3, ... , n

ListPlot[{{ 1x , 1y }, { 2x , 2y }, ...}] ใช เขยนกราฟคลาดบ ( ix , iy ) , i = 1, 2, 3, ... , n

3.3 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก 2 มต

ตวอยาง การเขยนกราฟของสมการ x(t) = 80t และ y(t) = –16 2t + 80t บนชวง 0 < t < 5

พมพ ParametricPlot[{80*t,-16*t^2+80*t},{t,0,5}]<Shift>+↵


หมายเหต ParametricPlot[{x(t), y(t)}, {t, a, b}] เปนคาสง plot กราฟของ r(t) = (x(t), y(t)) บน

ชวงเวลา t ตงแต a ถง b

ParametricPlot[{{x(t), y(t)}, {f(t), g(t)}, ...}, {t, a, b}]

เปนคาสง plot กราฟของ (x(t), y(t)), (f(t), g(t)), .. บนชวงเวลา t ตงแต a ถง b

ตวอยางการเขยนกราฟพาราเมตรก 2 เสน


3.4 การเขยนกราฟในระบบพกดพกดเชงขว

ตวอยางการเขยนกราฟ r = 4cos(2t)




พมพ PolarPlot[4*Cos[2*t],{t,0,2*Pi}]<Shift>+↵


หมายเหต PolarPlot[r(t), {t, a, b}] เขยนกราฟเชงขว r(t) บนชวง [a, b]

PolarPlot3D[{ 1r (t), 2r (t), ... }, {t, a, b}] เขยนกราฟเชงขว 1r (t), 2r (t), ... บนชวง [a, b]



3.5.1 กราฟพนผว 3 มต

ตวอยางการเขยนกราฟพนผว z = 2x – 2y บนชวง [–2, 2] × [–2, 2]





พมพ Plot3D[x^2-y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}]<Shift>+↵


หมายเหต Plot3D[{f(x, y), {x, a, b}, {y, c,d}] เขยนกราฟพนผว z = f(x, y) บนชวง [a, b] × [c, d]

3.5.2 การเขยนกราฟแบบ contour

ตวอยาง การเขยนกราฟแบบ contour ของพนผว z = 2x – 2y บนชวง [–2, 2] × [–2, 2]

พมพ ContourPlot[x^2-y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}]<Shift>+↵


หมายเหต ContourPlot[{f(x, y), {x, a, b}, {y, c, d}]

เปนคาสงเขยนกราฟแบบ contour ของพนผว z = f(x, y) บนชวง [a, b] × [c, d]

3.5.3 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก 3 มต r(t) = (x(t), y(t), z(t))

ตวอยาง การเขยนกราฟของสมการ x(t) = sin(t), y(t) = cos(t) และ z(t) = 4t บนชวง 0 < t < 2π

พมพ ParametricPlot3D[{Sin[t],Cos[t],t/4},{t,0,2*Pi}]<Shift>+↵



หมายเหต ParametricPlot3D[{x(t), y(t), z(t)}, {t, a, b}]

เปนคาสง plot กราฟของ r(t) = (x(t), y(t), z(t)) บนชวงเวลา t ตงแต a ถง b

3.5.4 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก 3 มต แบบ 2 ตวแปร

ตวอยาง การเขยนกราฟของสมการ

x(t, u) = cost(3 + cosu), y(t, u) = sint(3 + cosu), z(t, u) = sinu บนชวง 0 < t < 2π และ 0 < u < 2π

พมพ ParametricPlot3D[{Cos[t]*(3+Cos[u]),Sin[t]*(3+Cos[u]),Sin[u]},{t,0,2*Pi

},{u,0,2*Pi}]<Shift>+↵


หมายเหต ParametricPlot3D[{x(t, u), y(t, u), z(t, u)}, {t, a, b}, {u, c, d}]

เปนคาสงเขยนกราฟของพนผว (x(t, u), y(t, u), z(t, u)) บนชวง [a, b] × [c, d]

ตวอยางของการเขยนกราฟทมการกาหนดรปแบบตาง ๆ เพอใหไดรปกราฟทเหมาะสมและสวยงามมากขน


3.6 การเขยนกราฟของฟงกชนทนยามสตรตางกนในแตละชวง

ตวอยาง การเขยนกราฟ f(x) =

≥−<−

1x ,x21x ,1x2

ขนท 1. กาหนดสตร f(x)

พมพ f[x_]:=2*x-1/;x<1↵

f[x_]:=2-x/;x>=1<Shift>+↵


หมายเหต /; เปนการกาหนดโดเมนของสตร f(x)

พมพ >= โปรแกรม Mathematica จะจดรปเปน ≥

พมพ <= โปรแกรม Mathematica จะจดรปเปน ≤

ขนท 2. การเขยนกราฟ

พมพ Plot[f[x],{x,-1,3}]<Shift>+↵


ตวอยาง การเขยนกราฟของ f(x) =

<≤≤−

−<−

x2,22x2,x

2x,2


3.7 คาสงทใชในการปรบปรงรปแบบของกราฟ

ลกษณะ หนาท คา Default

PlotRange กาหนดขอบเขตของพสยในการเขยนกราฟ Automatic

AspectRatio กาหนดสดสวน ความสงตอความกวางของกราฟ Automatic

Frame กาหนดใหมกรอบลอมรอบกราฟ False

FrameLabel กาหนดใหมคาอธบายทกรอบ FrameLable{xlabel,

ylabel} หรอ FrameLable{text1, text2, text3,

text4} เปนคาอธบายทกรอบของรปโดยเรมทใต

กรอบและหมนตามเขมนาฬกาไปดานถดไปของกรอบ

None

Axes กาหนดใหมการแสดงแกน X, Y, Z ในกราฟ Automatic

AxesLabel กาหนดใหมคาอธบายทแกน X, แกน Y ซงกาหนดได

โดย {xlabel, ylabel}

None

AxesOrigin กาหนดจดตดแกนวาตองการใหตดกนทจดใด Automatic

FrameTicks กาหนดใหมการขด scale ทกรอบของกราฟ

หมายเหต ตองกาหนดใหมกรอบกอนใชคาสงน

Automatic

GridLines กาหนดใหมเสน grid ภายในกรอบของกราฟ Automatic

DisplayFunction กาหนดใหมการแสดงกราฟหรอเกบไวโดยไมแสดงผล

DisplayFunction $DisplayFunction แสดงกราฟ

DisplayFunction Identity ไมแสดงกราฟ

$Display

Function

PlotLabel กาหนดชอกราฟ None

PlotStyle กาหนดลกษณะของการเขยน

เชน PointSize[n] กาหนดขนาดของจดท plot

Automatic

PlotJoined กาหนดใหมการโยงเสนตรงระหวางจดหรอไม False

Ticks กาหนดใหมขด scale ทแกน X และ แกน Y Automatic

AxesLabel การแสดงคาอธบายประกอบทแกน None

Boxed กาหนดใหมกรอบเปนรปกลองลอมรอบกราฟ True

FaceGrids การแสดงเสน grid บนสวน box None

HiddenSurface การแสดงพนผวใหมลกษณะเปน solid True

Lighting การแสดงพนผวทมสใหมแสง True

Mesh การแสดงพนผวทมลกษณะเปนรางแห True

Shading กาหนดการแรเงาพนผว True

ViewPoint กาหนดวาจะมองกราฟในมมใด {1.3, -2.4, 2}

หมายเหต การกาหนดคาใหกบ Option ตาง ๆ เชน Frame → True

การพมพสญลกษณลกศร ใหพมพ -> โปรแกรม Mathematica จะเปลยนเปนลกศร → ใหเอง


ตวอยางท 1. การใช PlotRange กาหนดพสยของการ Plot กราฟ

เมอกาหนด PlotRange → {0, 1} ทาใหการ Plot กราฟคาของ y = sinx ในบรเวณ 0 ≤ y ≤ 1 เทานน

ตวอยางท 2. การใช AspectRatio กาหนดสดสวน ความสงตอความกวาง ของกราฟ

ตวอยางท 3. การใช Frame, PlotLabel, FrameLabel, RotateLabel, Axes และ AxesOrigin


ตวอยางท 4. การกาหนดใหมการขดบนแกนตามตาแหนงทตองการดวยคาสง Ticks

ตวอยางท 5. การกาหนดใหมการขดบนแกนตามตาแหนงทตองการดวยคาสง Ticks และลากเสนกรดตาม

ตาแหนงทตองการดวยคาสง GridLines

ตวอยางท 6. การกาหนดคาเกยวกบ Shading, PlotPoints, Mesh, FaceGrids และ AxesLabel


ตวอยางท 7. การเขยนกราฟหลายกรอบพรอมกน

line 1. เลอกใช package ของการเขยนกราฟ

line 2. สงใหเขยนกราฟรปแรก แตไมตองแสดงผลของกราฟ และ เกบไวในตวแปร graph1

line 3. สงใหเขยนกราฟรปท 2 แตไมตองแสดงผลของกราฟ และ เกบไวในตวแปร graph2



line 6. Show[GraphicsArray[....]] เปนการแสดงผลของกราฟ


Show[GraphicsArray[{g1, g2, g3, ...}] แสดงกราฟ g1, g2, g3, ... เปนแถวตามแนวนอน

Show[GraphicsArray[{{g1}, {g2}, {g3}, ...}] แสดงกราฟ g1, g2, g3, ... เปนแถวตามแนวดง

Show[GraphicsArray[{{g1, g2}, {g3, g4}, ...}] แสดงกราฟ g1, g2, g3, ... ในรปแบบตาราง


ตวอยางท 8. การกาหนดคาเกยวกบจดทใชในการเขยนกราฟ เชนขนาดของจด

ตวอยางท 9. การเขยนกราฟแบบโยงเสนระหวางจดโดยใช PlotJointd → True

ตวอยางท 10. กาหนด f(x) = xsinx บนชวง [0, π] การเขยนกราฟ f(x), f′(x) และ f′′(x) พรอมกน


3.8 การเขยนกราฟของฟงกชนทนยามโดยนยหรอกราฟของความสมพนธ

ตวอยางการเขยนกราฟของวงร 16x2

+ 9y2

= 1


<<Graphics`ImplicitPlot`↵

เปนคาสงเรยก package ImplicitPlot ขนมาทางาน

พมพ ImplicitPlot[{x^2/16+y^2/9==1},{x,-6,6},{y,-4,4}]<Shift>+↵



ImplicitPlot[f(x, y), {x, a, b}, {y, c, d}] เขยนกราฟความสมพนธ f(x, y) บนชวง [a, b] × [c, d]

ImplicitPlot[{ 1f (x, y), 2f (x, y), ...}, {x, a, b}, {y, c, d}] เขยนกราฟความสมพนธ 1f (x, y),

2f (x, y), ... บนชวง [a, b] × [c, d]

ตวอยางการเขยนกราฟไฮเพอรโบลา 16x2

– 9y2

= 1

การเขยนกราฟของวงกลม 2x + 2y = 16 และไฮเพอรโบลา 16x2

– 9y2

= 1


3.9 การเขยนกราฟของสมการและการแลเงาในบรเวณทตองการ

ตวอยางการเขยนกราฟและแรเงาพนทระหวางเสนโคง y = 2x – x – 4 กบ y = x + 4


<<Graphics`FilledPlot`↵ เปนคาสงเรยก package FilledPlot ขนมาทางาน

พมพ FilledPlot[{x^2-x-4,x+4},{x,-2,4},Fills->GrayLevel[0.7]]<Shift>+↵



FilledPlot[{f(x), g(x)}, {x, a , b}] เขยนกราฟ f(x) และ g(x) บนชวง [a, b] และแรเงาพนทดวย

Fills→GrayLevel[0.7]] เปนการกาหนดความเขมของสดาในการแรเงา

ตวอยางการเขยนกราฟและแรเงาพนทระหวางเสนโคง y = sinx และ y = cosx บนชวง [0, 45π ]

ตวอยางการเขยนกราฟและแรเงาพนทระหวางเสนโคง y = 4 – 2x บนชวง [–2, 2]


3.10 การเขยนกราฟของพ นผวทเกดจากการหมนเสนโคง

ตวอยางการเขยนกราฟพนผวทเกดจากการหมน เสนโคง y = x บนชวง [0, 1] รอบแกน X


<<Graphics

`SurfaceOfRevolution`↵

คาสงเรยก package SurfaceOfRevolution ขนมาทางาน

พมพ SurfaceOfRevolution[x,{x,0,1},RevolutionAxis->{1,0,0}]<Shift>+↵



SurfaceOfRevolution[f(x), {x, a, b}, RevolutionAxis → {1, 0, 0}] เปนคาสงเขยนกราฟพนผวทเกดจาก

การหมนเสนโคง y = f(x) บนชวง [a, b]

RevolutionAxis → {1, 0, 0}] รอบแกน X , RevolutionAxis → {0, 1, 0}] รอบแกน Y

ตวอยางการเขยนกราฟพนผวทเกดจากการหมน เสนโคง y = 2sinx บนชวง [0, 2π] รอบแกน X


ตวอยางการเขยนกราฟพนผวทเกดจากการหมน เสนโคง y = 2cosx บนชวง [0, 4π] รอบแกน X

ตวอยางการเขยนกราฟพนผวทเกดจากการหมน เสนโคง y = 2cosx บนชวง [0, 4π] รอบแกน Z

บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathematica Mathematica – 51

บทท 4.

การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม Mathematica

ในบทนจะเปนการใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรมสาเรจรป Mathematica เชนการพมพสตร การนาสตร

เกากลบมาใชใหม การอางถงผลลพธเพอนากลบมาใชใหม การบนทกแฟม การเปลยนแปลงขนาดตวแปร

ตวเลข การใชงาน window ตาง ๆ ของ Mathematica

4.1 การกาหนดผลการคานวณใหแสดงผลลพธตามทตองการ

โปรแกรม Mathematica สามารถกาหนดการแสดงผลการคานวณไดหลายแบบเชน

ตวอยางการคานวณ คาอธบาย

เมอไมกาหนดเงอนไขการแสดงผล

โปรแกรมจะแสดงผลในรปแบบ

เศษสวน

ม . ทายสตร เปนการบงคบให

แสดงผลเปนเลขทศนยม

ม //N ทายสตร เปนการบงคบให

แสดงผลเปนเลขทศนยม

N[ สตร, k] คาสงแสดงผลเปนเลข

ทศนยมทมเลขนยสาคญ k ตว

NumberForm[ สตร, k] คาสงแสดงผล

เปนเลขทศนยมทมเลขนยสาคญ k ตว

ScientificForm[x, k]

แสดงผลเปน N × m10 โดย N ม

ตวเลขนยสาคญ k ตว

EngineeringForm[x, k] แสดงผลเปน

N × m10 โดย N มตวเลขนยสาคญ k

ตว และ 3 หาร m ลงตว


4.2 การนาผลการคานวณเกามาใชใน Line input ใหม

การนาผลการคานวณเกาทเคยคานวณไวแลวกลบมาใชใหม มวธทาดงน

วธท 1. ใชการอางถงดวยสญลกษ %, %%, %%% , ... และ %k

% ผลการคานวณลาสดยอนหลง 1 ขนตอน

%% ผลการคานวณลาสดยอนหลง 2 ขนตอน

%%% ผลการคานวณลาสดยอนหลง 3 ขนตอน

:

%k ผลการคานวณจาก Output ตวท k


ใน Input line[3] 5 + % คอการบวก 5 ดวยผลลพธลาสดจาก Out[2]

ใน Input line[4] 35 + %% คอการบวก 5 ดวยผลลพธยอนหลง 2 ขนตอน

ซงเปนผลทไดจาก Out[2]

ใน Input line[5] 5 + %2 คอการบวก 5 ดวยผลลพธจาก Out[2]

วธท 2. ใชการอางถงดวย Out[k] หมายถงผลการคานวณใน Out[k]


ใน Input line[5] 5 + Out[1] คอการบวก 5 ดวยผลลพธทไดจาก Out[1]

4.3 การ copy สตร และ การ paste สตร

การทางานใน window notebook ของ Mathematica มสงตาง ๆ ทเกดขนระหวางการทางาน จากตวอยาง

ตอไปน มบรเวณทสาคญดงน

1. สญลกษณทบอกวาเรากาลงทางานใน Window notebook ของ Mathematica

2. ชอแฟมขอมล notebook(*.nb) ของ Mathematica ในตวอยางนชอวา test.nb

ในกรณทเขาใหมและยงไมไดบนทกแฟม Mathematica จะตงชอชวคราววา Untitled

3. การนาแฟมเกามาแกไข หากยงไมไดบนทก Mathematica จะเตอนเราดวยเครองหมายดอกจนเหนอชอ

4. Line Input[...] เปนบรเวณทเราพมพคาสงตาง ๆ เพอการคานวณ

5. สญลกษณวงเลบทคลม Line Input[...] ภายในสญลกณแบบน เราสามารถแกไขสตรในบรรทดนนและสง

คานวณใหมได (หมายเหต เมอแกไขและสงคานวณ Mathematica จะถอวา Input Line นนเปน Input

Line ใหมลาสด ขอใหสงเกตทหมายเลข Input Line[...])


6. สญลกษณวงเลบทคลม Line Input[...] และ Output Line[...] ชดเดยวกน โดยจาแนกยอยเปน

7. สวนของ Input Line

8. สวนของ Output Line (หมายเหต ในสวนของ Output Line จะแกไขสตรไมได)

การ Copy สตรมขนตอนดงน

ขนท 1. คลกเมาสทวงเลบหมายเลข 5.

จะขนแถบสดาดงรป

ทาการ copy โดยการกด <Ctrl> + C

ขนท 2. คลกเมาสในทวาง ๆ ใตบรรทด Out[2]

กด <Ctrl> + V จะเปน paste สงทเรา copy ไวเพอจะไดทาการแกไขเปน Input Line ใหมตอไป

4.3 การบนทกแฟม Notebook.nb

จากตวอยางการทางานใน Window Notebook

การ save แฟมขอมลมขนตอนดงน

ขนท 1. คลกคาสง File

ขนท 2. เลอกคาสงยอย Save

จะไดเมนยอยของการบนทกแฟมขอมล

ขนท 3. พมพชอแฟมเชน Newfile แลวคลกแปน Save

4.4 การเปดแฟม Notebook.nb

ขณะทางานใน Window Notebook

การเปดแฟมขอมลมขนตอนดงน



ขนท 2. เลอกคาสงยอย Open

จะไดเมนยอยของการเปดแฟมขอมล

ขนท 3. พมพชอแฟมเชน Newfile แลวคลกแปน Open

จะไดแฟมเกาทบนทกไวเพอจะไดทางานตอไป

ขอสงเกต ตรงหมายเลข 1. และ 2. ไมมคาวา Ln[...] และ Out[...] เหตผลกคอ เมอเปดแฟม Notebook เขา

มาใหม โปรแกรม Mathematica ยงไมเตมหมายเลข Input Line และ Output Line ให

การสงใหโปรแกรมทเปดขนมาใหม ทาการคานวณใหมมขนตอนดงน

ขนท 1. กด <Ctrl> + A

เพอเลอกคานวณใหมทงแฟม

ขนท 2. คลกทเมน Kernel

เลอกเมนยอย Evaluation

เลอกเมนยอยของ Evaluation คอ Evaluate Cells

จอภาพจะเปลยนแปลงไปเปนดงน


4.5 ฟงกชนทางคณตศาสตรและฟงกชนอน ๆ ทสาคญ

โปรแกรม Mathematica มฟงกชนทางคณตศาสตรดงน

ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน

Abs[x] คาสมบรณของ x หรอ คาสมบรณของจานวนเชงซอน a + bi

หมายเหต กด <Esc>ii<Esc> จงจะไดสญลกษณ

Arg[a + bi] คาอารกวเมนตของจานวนเชงซอน a + bi

Re[z], Im[z]

Conjugate[z]

สวนจรง สวนจนตภาพ และ คาสงยค ของ z

Exp[x] เอกซโพเนนเชยลฟงกชน ( xe )

Ceiling[x] จานวนเตมทเลกทสดทมคามากกวาหรอเทากบ x

Round[x] การปดเศษจานวนจรง x ใหเปนตวเลขจานวนเตมทใกลทสด

Floor[x] จานวนเตมทใหญทสดทมคานอยกวาหรอเทากบ x

Log[x] Log[x] คอ ln(x) คาลอกาลทมฐาน e

Log[b, x] xlogb คาลอกาลทมฐาน b


Mod[x, y] เศษเหลอจากการหาร x ดวยจานวนเตม y

Sign[x] เทากบ +1 ถา x > 0 และเทากบ –1 ถา x < 0

Sqrt[x] รากท 2 ของ x

Sin[x], Cos[x]

Tan[x], Sec[x]

Csc[x], Cot[x]

ฟงกชนตรโกณมต

ArcSin[x]

ArcCos[x]

ArcTan[x]

ArcSec[x]

ArcCsc[x]

ArcCot[x]

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

Sinh[x], Cosh[x]

Tanh[x], Sech[x]

Csch[x], Coth[x]

ฟงกชนไฮเพอรโบลก

ArcSinh[x]

ArcCosh[x]

ArcTanh[x]

ArcSech[x]

ArcCsch[x]

ArcCoth[x]

ฟงกชนไฮเพอรโบลกผกผน


คาสงเกยวกบการจดรปพชคณต


Apart[f(x)] เขยนเศษสวนของพหนามในรปแบบผลบวกของเศษสวนยอย

Together[f(x)] รวมเทอมผลบวกของเศษสวนยอยใหอยในรปพหนาม )x(q

)x(p

Simplify[f(x)] จดรปแบบพชคณตใหเปนรปแบบอยางงาย

Expand[f(x)]

ExpandAll[f(x)]

กระจายสตรของฟงกชน

Expand[f(x), Trig -> True] กระจายสตรของฟงกชนตรโกณมต

กระจายสตรของฟงกชนทกเทอมทปรากฏ

ComplexExpand

[f(x)]

กระจายสตรของฟงกชนเชงซอน


Collect[f(x)] จดรปแบบพชคณตโดยการกระจายตามพจนของตวแปรทกาหนด

Factor[f(x)] แยกตวประกอบ

Factor[f(x),Trig -> True] แยกตวประกอบฟงกชนตรโกณมต

Cancel[f(x)] หาผลหารของพหนาม

Denominator[f(x)] ใชในการหาพหนามสวนทเปนตวสวนของ f(x)

Numerator[f(x)] ใชในการหาพหนามสวนทเปนตวเศษของ f(x)

คาสงเกยวกบผลบวก และ ผลคณ


1. Sum[f(i), {i, a, b}]

2. Sum[f(i), {i, a, b, c}]

3. Sum[f(i, j), {i, a, b,

c}, {j, d, e, k}]

1. หาผลรวม f(i) โดย i เปลยนคา จาก a ถง b

2. หาผลรวม f(i) โดย i เปลยนคา จาก a ถง b เพมคาครงละ c

3. หาผลรวม f(i, j)

โดย i เปลยนคา จาก a ถง b เพมคาครงละ c

และ j เปลยนคาจาก d ถง e เพมคาครงละ k


1. Product[f(x), {x,a,b}

2. Product[f(x),{x,a,b,c}

3. Product[f(x, y),

{x, a, b, c}, {j, d, e, k}

1. หาคณ f(x) โดย x เปลยนคา จาก a ถง b

2. หาผลคณ f(x) โดย x เปลยนคา จาก a ถง b เพมคาครงละ c

3. หาผลคณ f(x, y)

โดย x เปลยนคา จาก a ถง b เพมคาครงละ c

และ y เปลยนคาจาก d ถง e เพมคาครงละ k

คาสงเกยวกบ ฟงกชน ลมต อนพนธ และ อนทเกรต


f[x_]:=....

f[x]/.x→a

f[a]

f[x_]:=......เปนการกาหนดสตรฟงกชน

คานวณคา f(a) (หมายเหต → ไดจากการพมพ – และ >)

f[a] คาสงคานวณคา f(a)

Composition[f, g, ...][x]

Nest[f, x, n]

ฟงกชนประกอบของ f, g, ...

ฟงกชนประกอบ ( f...ff )(x) n ครง



Limit[f[x], x→a]

Limit[f[x], x→a ,

Direction→–1]

Limit[f[x], x→a ,

Direction→1]

หมายถง )x(flimax→

, )x(flimax +→

, )x(flimax −→

ตามลาดบ

1. f′[x], f′′[x], f′′′[x], ...

2. D[f, x]

3. D[f, {x, k}]

4. Dt[f, x]

1. f′(x), f′′(x), f′′′(x), ... ตามลาดบ

2. อนพนธ หรออนพนธยอยของ f เทยบกบ x

3. อนพนธ หรออนพนธยอยอนดบ k ของ f เทยบกบ x

4. คาอนพนธของฟงกชนนยามโดยนย

หมายเหต dxdyyx3xy2)yx(dx

d 22332 +=

1. Integrate[f[x], x]

2. Integrate[f[x],{x,a,b}]

3.

NIntegrate[f[x],{x,a,b}]

1. fdx∫

2. dx)x(fb

a∫

3. การประมาณคา dx)x(fb

a∫


คาสงเกยวกบการคานวณคณตศาสตรขนสง


LaplaceTransform[f[x], x,

s]

ผลการแปลงลาปลาซของ F(s)

InverseLaplaceTransform

[F[s], s, x]

ผลการแปลงลาปลาสผกผนของ F(s)

Series[f[x], {x, a, n}] พหนามเทยเลอรของ f รอบจด x = a ดกรไมเกน n

คาสงในการหารากสมการ และ ผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ


Solve[equ1==equ2]

Solve[{equ1==equ2,

equ3==equ4,...}]

หารากของสมการ equ1 = equ2

หาผลเฉลยของระบบสมการ equ1 = equ2, equ3 = equ4, ...


NSolve[equ1==equ2]

NSolve[{equ1==equ2,

equ3==equ4,...}]

หารากของสมการ equ1 = equ2

หาผลเฉลยของระบบสมการ equ1 = equ2, equ3 = equ4, ...

NRoots[equ1==equ2, x] หารากของสมการ equ1 = equ2

FindRoot[equ1==equ2,

{x, 0x }]

หารากของสมการพหนาม equ1 = equ2 โดยมจดเรมตนของการ

ประมาณคารากท x = 0x

Reduce[equ1==equ2] คนหาความเปนไปไดของผลเฉลยของสมการ

Eliminate[equ1==equ2

&& equ1==equ2, ตวแปร

ทตองการ]

ขจดตวแปรอน ๆ ทงไปจากระบบสมการ ใหเหลอไวเฉพาะตว

แปรทตองการ

DSolve[equ1,y[x],x] หาผลเฉลยของสมการเชง

อนพนธ

บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathematica Mathematica – 63

บทท 5.

การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathematica

จากแผนภมสายงาน

เรมตน ↓





เราสามารถนามาประยกตกบการคานวณทางคณตศาสตรไดหลายแบบเชน

โปรแกรมหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดความยาวดาน a, b และ c

โปรแกรมหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดพกดจดยอด 3 จด

โปรแกรมหารากสมการ f(x) = 0 โดยวธของนวตน

โปรแกรมหาผลเฉลยเชงตวเลขของสมการเชงอนพนธ โดยวธของออยเลอร


สวนของ INPUT คอ การกาหนดคา a, b, c

สวนประมวลผล คอ การคานวณคา s และ area

สวนแสดงผล คอ การพมพคา area

ขนตอนการเขยนโปรแกรมมดงน

ขนท 1. เขาสการทางานของ Mathematica

(หมายเหต เพอใหผลของการพมพ

และขอความทปรากฏ เหมอนกบคาแนะนา

ในหนงสอขณะน ขอใหปดการทางานของ

Mathematica กอน แลวจงเขามาใหม)

ขนท 2. พมพโปรแกรม ดวยคาสงตาง ๆ ตามทตองการ



a:=3;↵

หมายเหต 1. กด ↵ เพอขน

บรรทดใหม โดยไมคานวณ

2. สญลกษญ ln[..] ยงไมม

เพราะวายงไมไดสงคานวณ

ขอสงเกต 1. ม * ทชอ Untiled-1*

2. Curser รอทบรรทดถดไป โดยยงไมคานวณ

b:=4;↵

c:=5;↵

s:=(a+b+c)/2;↵

area:=Sqrt[s*(s–a)*(s–b)*(s–

c)];↵

area<Shift>+↵

ขอสงเกต

1. ln[2] คอ b:=4;

ln[3] คอ c:=5;

:

ln[6] คอ area

ไมแสดงสญลกษญ line in ออกมา

ผลการคานวณทได คอ area มคาเทากบ 6

ทดลองเปลยนคา a, b, c ใหมเปน a:=5, b:=12, c:=13 แลวกด <Shift>+↵ จะไดผลการคานวณใหมดงน

ขอสงเกต 1. ไดผลการคานวณใหมเปน area = 30

2. หมายเลขของ Line In และ Line Out เปลยนแปลงไปจากเดม

การบนทกโปรแกรม

ขนท 1. คลกทคาสง File\Save

ขนท 2. เลอกบนทกชอตามตองการ (สมมตตองการบนทกชอเปน Findarea)


เมอเรา Save โปรแกรมแลว ชอชวคราว Untiled–1 จะเปลยนเปน Findarea.nb ตอไปขอใหปดการทางานของ

โปรแกรม Mathematica แลวกลบเขามาใหมอกครง เพอทดลองนาโปรแกรมเกากลบมาทางาน

ขนท 1. เปดแฟมโปรแกรมดวยคาสง

File\Open


ขนท 2. พมพชอ Findarea เสรจแลวคลก Open

แกไขคา a, b, c ใหมเชน a:=10, b:=8, c:=6 แลวกด <Shift>+↵ จะไดผลการคานวณใหมดงน



หมายเหต เมอกาหนดจดยอดของสามเหลยม ABC มาให A( 0x , 0y ), B( 1x , 1y ), C( 2x , 2y )

พนทสามเหลยม = 21 | det(

02020101

yyxxyyxx

−−−− )| = 2

1 |( 1y – 0y )( 2x – 0x ) – ( 1x – 0x )( 2y – 0y )|

โปรแกรมการหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดพกดจดยอด 3 จด

คาสงตาง ๆ ทควรทราบเพอใชในการเขยนโปรแกรมของ Mathematica

คาสง รปแบบและหนาท

Print[...] ใชพมพ ขอความ ตวแปร

Do Do[คาสง, {imax}] ทางานทกาหนดซา imax ครง

Do[คาสง(i), {i, imax}] ทางานทกาหนดซาตามคาของ i ตงแต 1 ถง

imax และ i เพมคาครงละ 1

Do[คาสง(i), {i, imax, d}] ทางานทกาหนดซาตามคาของ i ตงแต 1 ถง

imax และ i เพมคาครงละ d

Do[คาสง(i, j), {i, imax}, {j, jmax] ทางานทกาหนดซาตามคาของ i

ตงแต 1 ถง imax และ i เพมคาครงละ 1 และ j ตงแต 1 ถง jmax และ j

เพมคาครงละ 1


While While[เงอนไข 1., คาสง 1.]

ถา เงอนไข 1. เปนจรง ใหทางานตามคาสง 1.

For For[start, test, incr, body]

start การกาหนดคาตวแปรเรมตน

test เงอนไขในการทางาน ถา เงอนไข เปนเทจ ใหออกจากลป For

incr การเพมคาของตวแปร

body กลมคาสงของการทางาน

If If[test, command1, command2] เมอ test คอ เงอนไข

ถา เงอนไข test เปนจรง ใหทา command1

ถา เงอนไข test เปนเทจ ใหทา command2

โปรแกรมท 3. การหาราก f(x) = 0 โดยใชสตรของนวตน )x(f

)x(fxxn

'n

n1n −=+ เมอกาหนดคาเรมตน 0x

ตวอยาง การหารากของสมการ f(x) = 2x – 2, 0x = 1


ผลการทางานของโปรแกรม

เปรยบเทยบกบ 2 คอ

โปรแกรมท 4. การหาผลเฉลยเชงตวเลขของสมการเชงอนพนธ dxdy = f(x, y) เมอกาหนด y( 0x ) = 0y

การหาคาประมาณของ y(c) โดยวธของออยเลอร

ตวอยาง dxdy = xy และ y(1) = 1 จงหาคาประมาณของ y(1.5)


บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathematica Mathematica – 69

บทท 6.

การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathematica

ในบทนจะเปนการนาความสามารถของ Mathematica มาใชในการคานวณเพอเสรมการเรยนการสอน

คณตศาสตรระดบมธยมศกษาตอนปลายโดยจาแนกเนอหาคณตศาสตรตามระดบ ม. 4 – ม. 6





4. การเปลยนเลขฐาน 8 ฐาน 16 เปนเลขฐาน 10 และการคานวณ








4. การเปลยนตวเลขในฐานตาง ๆ ระหวาง เลขฐาน 2 ฐาน 16 และ เลขฐาน 10

5. การแยกตวประกอบ และ กระจาย พหนาม

6. การหาคาตอบของสมการพหนาม เชนการหารากของ 2x – 2 = 0





4. การหา คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน ความแปรปรวน สวนเบยงเบนมาตรฐาน




การเขยนกราฟของวงกลม 2x + (y + 3) 2 = 16

การเขยนกราฟของพาราโบลา x = 2y

การเขยนกราฟของวงร 19y

16x 22

=+

การเขยนกราฟของไฮเพอรโบลา 14x

9y 22

=−




4. การหา คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน ความแปรปรวน สวนเบยงเบนมาตรฐาน




2. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมตผกผน




1. การคานวณคา การเขยนกราฟของ y = xa และ y = alog x การทาตารางคา log และ เลขยกกาลง





การบวกเมทรกซ การคณเมทรกซ สเกลารคณเมทรกซ คากาหนดของเมทรกซ

การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 3y = 2

5x + 8y = 1

หมายเหต ถา x เคยมการกาหนดคาไวแลว ตองใชคาสง Clear[x] เพอยกเลกตวแปร x





3. การหาคาสถตของขอมล






1. การหาลมตของลาดบ การหาผลบวกของอนกรม และ สตรผลบวกของอนกรม

2. การหาลมตของฟงกชน และอนพนธของฟงกชน และ อนพนธอนดบสง และ การเขยนกราฟของ f, f′ 3. การหาคาอนทกรล การหาสตรอนทกรล และการหาพนทใตโคง




หมายเหต สญลกษณ → ไดจากการพมพ –>

สญลกษณ ∞ ไดจากการพมพ \[Infinity]

หรอ <Esc>inf<Esc>

2. การหาลมตของฟงกชน อนพนธของฟงกชน และ อนพนธอนดบสง และ การเขยนกราฟของ f, f′

3. การหาคาอนทกรล การหาสตรอนทกรล และการหาพนทใตโคง












x y 2 3 4 7 9 12 10 15 14 22


สมการแสดงความสมพนธของขอมลคอ y = 1.50647x + 0.049596


6.7 Mathematica กบการเฉลยขอสอบคณตศาสตร Entrance

ขอสอบ Entrance สามารถหาคาตอบไดดวยโปรแกรม Mathematica ตวอยางเชน


0x

lim→ 3x


1. 0 2. 41

3. 21 4. 1

การคานวณดวย Mathematica



ถา xsin1

1−

+ xsin1

1+

= 8 โดยท π < x < 2


1. 2

13 − 2. 2

13 +

3. 2

13 −− 4. 2

13 +−






บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica Mathematica – 79

บทท 7.

การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica


ความสามารถของโปรแกรมสาเรจรป Mathematica มาใชในการคานวณกจะทาใหเกดประโยชนอยางมาก ใน

บทนจงไดยกตวอยางการคานวณทางคณตศาสตรระดบอดมศกษา จาแนกเปนกลมตางๆ ดงน



7.1 เสรมการคานวณแคลคลสดวย Mathematica


7.7.2 การหาอนพนธ อนพนธอนดบสง และ อนพนธยอย





เพราะฉะนน คาของ dx)6x4x( 23

1

+−∫ = 4.666666


7.1.6 การแทนฟงกชนดวยพหนามเทยเลอร เชน พหนามเทยเลอรของ sin(x), arctan(x), cos(x), ln(x)

7.1.7 การเขยนกราฟในพกดเชงขว ตวอยางเชนกราฟของ r = 4cos(2t) และ r = 1 + cost, r = sin(t)

7.1.8 การเขยนกราฟของสวนโคง เชนเสนโคงทเปนรอยทางเดนของ r(t) = (t, 2t ) บนชวง 0 < t < 5



7.1.10 การเขยนกราฟของรอยทางเดนใน 3 มต

7.1.11 การเขยนกราฟแบบแรเงาและการหาพนท

7.1.12 การเขยนกราฟของอาณาบรเวณทเกดจากการหมนและการหาปรมาตรและพนทผว


หมายเหต การหมนเสนโคง f(x) = 2)2x(4 −− บนชวง [0, 4] รอบแกน X

จะไดอาณาบรเวณเปนทรงกลมรศม r = 2

ปรมาตรทเกดจากการหมน = dx)]x(f[4

0

2∫π = 332π (สตรปรมาตรทรงกลม = 2r3

4 π = 332π )

พนทผวทเกดจากการหมน = dx)]x(f[1)x(f24

0

2'∫ +π = 16π (สตรพนทผวทรงกลม = 4π 2r = 16π)

7.1.13 การหาคาตาสดของฟงกชน ตวอยางเชนการหาคาตาสดของ f(x) = 2x + 2x – 3

เพราะฉะนน f(–1) = –4 เปนคาตาสด

หมายเหต FindMinimun[f, {x, a}] เปนคาสงหาคาตาสดของ f(x) รอบ ๆ จด x = a

7.2 เสรมการคานวณเกยวกบสมการเชงอนพนธดวย Mathematica



ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ dtdx – 2xt = t

ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ x′′ + 4x = 0



ตวอยางเชน L{sin(x)} = 2s11+

และ 1L− { 2s11+

} = sinx

7.3 เสรมการคานวณเกยวกบการวเคราะหเชงตวเลขดวย Mathematica


ตวอยาง จงหาพหนามทผานจด (1, 2), (2, 5), (3, 13), (4, 20)

เพราะฉะนนพหนามทผานจด (1, 2), (2, 5), (3, 13), (4, 20) คอ 10 – 231 x + 2

17 2x – 3x

ตวอยาง จงหาพหนามทผานจด (2, 5), (5, 7), (7, 10), (9, 12), (11, 15)

เพราะฉะนนพหนามทผานจด 5 จดทกาหนดใหคอ 12169 – 216

1841 x + 54133 2x – 216

55 3x + 1081 4x



ตวอยาง การหารากของสมการ sinx – cosx = 0

เพราะฉะนนรากสมการ sinx – cosx = 0 คอ 0.785398 = 4π



ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ x + y + z = 12

x – y + z = 4

x + y – z = 2

เพราะฉะนนผลเฉลยคอ x = 3, y = 4 และ z =5


x + y = 7

รากของสมการคอ (3, 4) และ (4, 3)

7.3.4 การประมานคา y(c) เมอกาหนด )y,x(fdxdy



เมอ h = nxc 0− , 1nx + = nx + h

จงหาคาประมานคา y(1) เมอกาหนด yxdxdy




7.4 เสรมการคานวณเกยวกบพชคณตเชงเสนดวย Mathematica


7.4.2 การหาคาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจง ของเมทรกซ

ตวอยาง การหาสมการลกษณะเฉพาะ คาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจงของเมทรกซ A =

3104

คาเจาะจงคอ 3, 4 โดยมเวกเตอรเจาะจงเปน (0, 1) และ (1, 1) ตามลาดบ

7.4.3 การหาเมทรกซลดรปเปนขนแบบแถวทสมมลกบ A




111

, 2v =

110

, 3v =

100

}


577.0577.0577.0

, 2u =

−

408.0408.0816.0

, 3u =

−

707.0707.00

}

7.4.5 การแปลงเมทรกซ A ใหเปนเมทรกซเฉยง (Orthogonal Diagonalization)

เพราะฉะนน เมอกาหนด A =

1221 จะไดวา P =

−

−−707107.0707107.0707107.0707107.0 จะไดวา TP AP =

−1003


7.5 เสรมการคานวณเกยวกบความนาจะเปนและสถตดวย Mathematica

7.5.1 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมทวนาม

หมายเหต ฟงกชน b(x, n, p) = xnx )p1(p)!xn(!x!n −−−

เปนฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสมทวนาม

7.5.2 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซง

หมายเหต ฟงกชน p(x, µ ) มคาเทากบ !xe xµµ− เปนฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซง

7.5.3 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมปกต


หมายเหต f( 0x , µ , σ ) = 2)x(

e21 σ

µ−−

σπ

cmf( 0x , µ , σ ) = P(X < 0x ) เมอ X เปนตวแปรสมปกต คาเฉลย µ สวนเบยงเบนมาตรฐาน σ

7.5.4 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมท ระดบขนความเสร v

หมายเหต f(t, ν ) = 212

)t1()

2(

)2

1( +ν−

ν+

πννΓ

+νΓ

cmf( 0t , ν ) = P(t < 0t ) เมอ t เปนตวแปรสมท ระดบขนความเสร ν

7.5.5 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมไคสแควร ระดบขนความเสร v


หมายเหต 2χ เปนตวแปรสมไคสแควร ระดบขนความเสร ν

f(x, ν ) = 2x

2

2

ex

)2(2

1 −ν

ννΓ

เปนฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปน และ cmf(k, ν ) = P( 2χ < k)

7.5.6 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมเอฟ ระดบขนความเสร 1ν และ 2ν


หมายเหต F เปนตวแปรสมเอฟ ระดบขนความเสร 1ν และ 2ν มฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปน

f(f, 1ν , 2ν ) = 2

21

2121

121

21

2121

)f1)(2()2(

f))(2(

ν+ν

−νν

νν

+ν

Γν

Γ

ννν+ν

Γ และ cmf(k, 1ν , 2ν ) = P(F < k)

7.5.7 การหาสมการถดถอย และสมประสทธสหสมพนธ r และ การเขยนแผนภาพกระจายขอมล

ตวอยางขอมลจากตาราง

สมการถดถอยคอ y = 0.25 + 8.55x และ สมประสทธสหสมพนธคอ r = 961243.0 = 0.98043

7.5.8 กราฟของแผนภาพการกระจายบนกราฟสเกล log


x y 1 14 3 23 5 35 7 64 9 79

x y 150 10 235 12 432 15 511 23 645 32 579 34 834 36 915 38


กราฟบนสเกล (x, y), (logx, logy), (x, logy) คอ

7.6 เสรมการคานวณเกยวกบคณตศาสตรขนสงดวย Mathematica


ความหมายคอ tdtx

1∫ = 2x2

1 + 21

ความหมายคอ dtt1

12

2x

x +∫ = )x(tan)x(tan 121 −− −


ตวอยางการหาคา dxd ( tdt

x

1∫ ) = x

ตวอยางการหาคา dxd dt

t11

2

2x

x +∫ = 4x1

x2+

– 2x11+


7.6.3 กราฟของฟงกชนแกมมา (Gamma function) และการคานวณคาฟงกชนแกมมา


หมายเหต BesselJ[v, x] คอ ฟงกชนเบสเซลชนดท 1 อนดบ v

BesselY[v, x] คอ ฟงกชนเบสเซลชนดท 2 อนดบ v



อนพนธอนดบสง x24)x(dxd 4

3

3=

อนพนธยอย 32342

2yx12)yx(

x=

∂∂

อนพนธยอย yx6)yx(y

4342

2=

∂∂


3yx36)yx(

xy=

∂∂∂

7.6.6 การหาพหนามเลอจองด )x(Pn

บทนาMATLAB

โปรแกรมสาเรจรป MATLAB เปนโปรแกรมทมความสามารถในการคานวณมาก เชนทาการคานวณในรปแบบของเครองคดเลขหรอคานวณในรปแบบโปรแกรมประยกตใชงาน ความสามารถในการเขยนโปรแกรมประยกตใชงานของ MATLAB สามารถนาไปทดแทนโปรแกรมภาษาคอมพวเตอร เชน เบสก ซฟอรแทรน จาวา ปาสคาล เนองจากโปรแกรม MATLAB มโครงสรางภาษาสาหรบการเขยนโปรแกรมครบสมบรณเชน การวนลบ การตรวจสอบเงอนไข นอกจากนน MATLAB ยงมฟงกชนและคาสงสาเรจรปทางดานคณตศาสตรใหใชงานมากกวาภาษา เบสก ซ ฟอรแทรน จาวา ปาสคาล

การใชงานของโปรแกรม MATLAB โดยทวไปจะม Window ตาง ๆ ขนมาอานวยความสะดวกในการทางานเชน Command window Window history Window directory ซงผใชงานจะเลอกเปดทก window หรอเลอกเปดเฉพาะ window ทตองการใชงานกไดความสามารถในการคานวณทสาคญเชน• MATLAB แสดงผลการคานวณไดทงแบบเปนคาตวเลขและสตร• ในการคานวณเพอใหผลลพธเปนสตร เชนการหาอนพนธ การอนทเกรต ตองใชคาสงให syms ตามดวยชอ

ตวแปรทตองการประมวลผลเปนสตร• การปรบเปลยนรปแบบการแสดงผลของกราฟม Window Figure เฉพาะสาหรบการแสดงผลทางดานการ

เขยนกราฟ การเปลยนแปลงคาตางของกราฟสามารถสงโดยใชคาสงหรอใชเมนของ Window Figure กได• มคาสงในการเขยนโปรแกรมเชน if–then–else, for, while เหมาะสาหรบเขยนโปรแกรมประยกตใชงาน• สามารถเขยนกราฟพนผวไดเรวมากเชน พมพ ezsurf('x^2-y^2') กจะไดกราฟของพนผวรปอานมา• มเครองมอ และโปรแกรมยอย ทสนนสนนการเขยนโปรแกรมประยกตใชงาน• คาสง help ... จะเปนผชวยเหลอทดในการอธบายคาสงตาง ๆ ของ MATLAB เชน หากตองการรความ

หมายของฟงกชน tan ใหพมพ help tan แลวกด Enter จะไดคาอธบายของฟงกชน tan

สารบญบทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม MATLAB............................................ 1 – 10บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB.......................................................... 11 – 30บทท 3. การเขยนกราฟดวย MATLAB.................................................................. 31 – 46บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB........................................... 47 – 62บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ MATLAB................................................ 63 – 72บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย MATLAB........................................ 73 – 80บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย MATLAB................................................ 81 – 90

บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม MATLAB MATLAB – 1

บทท 1.

ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม MATLAB

ในบทนจะเปนการนาความสามารถตาง ๆ ทโปรแกรมสาเรจรป MATLAB ทาได มานาเสนอใหดกอน

เพอผอานจะไดเหนความสามารถทางการคานวณทสาคญของโปรแกรมสาเรจรป MATLAB ในสวนของการ

พมพคาสง การเขาสโปรแกรม MATLAB และการประยกตตาง ๆ จะกลาวในบทตอไป


หมายเหต >> เปนตาแหนงท MATLAB รอรบคาสงของการคานวณ ผลการคานวณคอ ans =

2. สามารถเลอกแสดงผลการคานวณเปนทศนยมไดหลายตาแหนง



หมายเหต 1. asin คอ arcsin, acos คอ arccos, atan คอ arctan

2. log10 คอ ลอการทมฐาน 10 และ log คอ ลอการทมฐาน e

3. การหาคา sin, cos, tan, ... สามารถคานวณไดทงหนวยองศาและเรเดยน


หมายเหต การกาหนดสตรฟงกชน เขยนวธทาไวทบทท 2.

5. สามารถสรางตารางคานวณคาของฟงกชนไดโดยงาย

6. สามารถเปลยนหนวยของการคานวณได

7. ความสามารถในการคานวณเกยวกบพหนาม

ตวอยางเชน พหนาม p(x) = 2x + 2x – 3 ใน MATLAB จะแทนดวย p = [1 2 –3]

พหนาม q(x) = 2x + 5x + 6 ใน MATLAB จะแทนดวย q = [1 5 6]

การบวกพหนาม p + q ได ans = 2 7 3

หมายความวา p(x) + q(x) = 2 2x + 7x + 3

ผลของคาสง roots(p) แปลวา รากของสมการ p(x) = 0 คอ –3, 1







8.3 กราฟแบบคลาดบ

ตวอยาง กราฟของขอมล นาหนกและสวนสง


53 156 58 165 55 162 60 170 62 165 68 173

8.4 กราฟแทง (Bar graph) ของขอมลทางสถต

ตวอยาง กราฟของขอมล คะแนน และ ความถ


1 15 2 35 3 40 4 10


8.5 กราฟในระบบพกดเชงขว

ตวอยาง กราฟรปหวใจ r = 3 + 2sinθ, กราฟรปกลบกหลาบ r = 2cos2θ

8.6 กราฟในระบบพกด 3 มต เชนกราฟพนผว กราฟ contour

ตวอยาง กราฟพนผวไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด หรอพนผวรปอานมา f(x, y) = 2x – 2y

8.7 สามารถปรบเปลยนรปแบบของกราฟใหเหมาะสมกบการใชงาน

ตวอยาง กราฟของ f(x) = 3x + 2x – 9x – 9 บนชวง [–4, 4]


8.8 สามารถเขยนกราฟไดหลายรปพรอมกน บนกรอบทตางกน

ตวอยาง กราฟของอนพนธอนดบตาง ๆ ของฟงกชน f(x) = 4x บนชวง [–4, 4]

8.9 สามารถเขยนกราฟวงกลมได ตวอยางเชน

9. สามารถคานวณตวเลขในระบบฐานตาง ๆ ได

การเปลยนแปลงคาระหวางเลขฐาน 10 กบ เลขฐาน 2 ตวอยางเชน 1012 = 21100


10. การคานวณเกยวกบเวกเตอร

MATLAB สามารถหาผลบวก ผลตาง dot product cross product และ ขนาดของเวกเตอรได

การกาหนดเวกเตอร


การคานวณคา u + v , 4u, vu ⋅ , | u |


MATLAB สามารถหาผลบวก ผลคณ อนเวอรสเมทรกซ คากาหนดของเมทรกซ


MATLAB สามารถหาผลบวก ผลตาง อนเวอรส คาสมบรณของจานวนเชงซอนได


ตวอยาง การหาผลบวกของตวเลขเชน ∑=

10

1 x x , ∑

=

10

1 x

2x , ∑=

10

1 x )1x(x +

ตวอยาง x = 2, 3, 7, 12, 16 การหาผลบวก ∑=

5

1 iix , ∑

=

5

1 i

2ix



ตวอยาง การหาคาสถตเบองตนของขอมล 2, 3, 7, 12, 16

หมายเหต mean = คาเฉลย median = มธยฐาน

var = ความแปรปรวน = 1n

)xx( 2i

n

1 i−

−∑= std = สวนเบยงเบนมาตรฐาน = )xvar(

15. สามารถหาความสมพนธเชงฟงกชนของขอมล

ตวอยาง กาหนดขอมล นาหนก (x) กบสวนสง (y)

x เปนตวแปรอสระ และ y เปนตวแปรตาม

จากผลการคานวณ ความสมพนธเชงเสนตรง y = 0.9953x + 106.1093

จากผลการคานวณ ความสมพนธในรปแบบพหนามดกรสองคอ y = –0.0488 2x + 6.9017x – 71.3066


16.1 การกระจายพหนาม

ตวอยาง

16.2 การแยกตวประกอบ

ตวอยาง


53 156 58 165 55 162 60 170 62 165 68 173


17. ความสามารถในการหาอนพนธ

การหาอนพนธอนดบตาง ๆ ของ f(x) = 4x

18. ความสามารถในการหาปรพนธ

การหาปรพนธเปนคาตวเลข เชนการหาคา dxx 1

0

2∫

การหาปรพนธเปนสตร เชนการหาคา dxx 2∫

19. สามารถหาคาลมตได

การหาคาลมต 0x

lim→

2x + x + 1 การหาคาลมต 1x

lim→

2x + x + 1







เพราะฉะนนรากสมการคอ x = 1.4142 และ x = –1.4142

หมายเหต f = [1 0 -2] หมายถงพหนาม f(x) = 1 2x + 0x + (–2) ซงคอ f(x) = 2x – 2

คาสง roots(f) เปนคาสงหารากของสมการ f(x) = 0

ตวอยาง การหารากของสมการ sinx - cosx = 0

เพราะฉะนน รากสมการ sinx - cosx = 0 คอ x = 4π


22.1 การหาผลเฉลยระบบสมการเชงเสน


2x + y = 4

9x – 4y = 1

เพราะฉะนนผลเฉลยของระบบสมการคอ x = 1, y = 2

22.2 การหาผลเฉลยระบบสมการไมเชงเสน

ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 2y = 25 และ 3x – 4y = 0

เพราะฉะนนจดตดของวงกลม 2x + 2y = 25

กบเสนตรง 3x – 4y = 0

คอ (x, y) = (4, 3), (–4, –3)


23.1 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ

ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ x′ – x = 0

เพราะฉะนนผลเฉลยคอ x(t) = 1c te


ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ x′′ + x = 0

เพราะฉะนนผลเฉลยคอ x(t) = 1c sin(t) + 2c cos(t)

23.2 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ

ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ x′ – y′ = sin(t)

x′ + 2y′ = cos(t)

ผลเฉลยคอ x(t) = 1c – 32 cos(t) + 3

1 sin(t) และ y(t) = 2c + 31 cos(t) + 3

1 sin(t)

24. สามารถหาอนกรมเทยเลอรของฟงกชนได

ตวอยาง การหาสตรเทยเลอรของ sin(x)

เพราะฉะนนพหนามเทยเลอรดกร 5 ของ sin(x) คอ x – 61 3x + 120

1 5x + ...

25. สามารถหาผลการแปลงลาปลาซ และ ผลการปลงลาปลาซผกผนได

ตวอยาง การหาผลการแปลงลาปลาซของ f(x) = sin(x)

เพราะฉะนน L{sinx)} = 1s

12 +

ตวอยาง การหาผลการแปลงลาปลาซผกผนของ F(s) = 1s

12 +

เพราะฉะนน 1L− {1s

12 +

} = sin(x)

ความสามารถอน ๆ และการสงใหโปรแกรม MATLAB ทางานและการประยกตเขาสเนอหาทางคณตศาสตร

ในระดบ ม. ปลาย และ มหาวทยาลย ขอใหศกษาจากบทตอไป

บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB MATLAB – 11

บทท 2.

การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB

ในบทนจะเรยนร เกยวกบการนาโปรแกรมสาเรจรป MATLAB เขามาทางาน การพมพสตร คาสง การ

กาหนดฟงกชน และการทางานเบองตนกบคาสงตาง ๆ ของ MATLAB

2.1 การเรยกโปรแกรม MATLAB ขนมาใชงาน


2. รอจนจอภาพขน เมน icon ตาง ๆ ครบสมบรณ



คลกท MATLAB 6.5 จะขนเมนยอยใหเลอก


คลกท MATLAB 6.5 จอภาพจะขน Logo

ของ MATLAB และจะเขาสการทางานของ MATLAB

หมายเหต โปรแกรม MATLAB

ทใชในขณะนคอ MATLAB version 6.5 Release 13

Logo ของ MATLAB อาจแตกตางกนใน Version อนๆ

เมอเขาสการทางานของโปรแกรม MATLAB

เรยบรอยแลวจอภาพจะเปนดงน

1. แสดงวาเขามาทางานในหนาตางของ MATLAB


3. แสดงกลมของโปรแกรมยอย หรอโปรแกรมประยกตทมใหใชงานใน MATLAB

4. แสดงคาสงตาง ๆ ทสงให MATLAB ทางาน

5. Command Window เปนบรเวณทเราทางานดวยคาสงตาง ๆ ของ MATLAB

6. Prompt ของ MATLAB เปนตาแหนงทพมพคาสงให MATLAB ทาการคานวณ


(หมายเหต โปรแกรม MATLAB เปนโปรแกรมชนดทพมพคาสงทตาแหนง >> ... )

7. แสดง directory ปจจบนท MATLAB ทางานดวย

เชนเปนทเกบแฟมขอมลทเราบนทกไว

8. แสดงจานวนของหนวยความจาหรอ ขนาดของตวแปรตาง ๆ

ใน MATLAB ทใชในขณะนน

9. ทปม Start ของ MATLAB มเมนยอยในการเรยกความสามารถตาง ๆ

ของ MATLAB ขนมาใชงาน


1. การเขามาใน MATLAB ครงแรกจอภาพอาจแตกตางจากขางตนน เนองจากอาจมการปด window บางตว

ไปแลวโดยผใชโปรแกรมกอนหนานน

2. หากตองการ Window ชนดใดของ MATLAB

ใหเลอกทคาสง View

และเลอกคาสงยอยของเมน View ตามตองการ เชน

ถาตองการใหแสดง Window Command History

ใหคลกท Command History จะเกดเครองหมาย ถก หนา Command History และ MATLAB จะแสดง

window ของ Command History ออกมา

3. ในกรณทตองการแสดงทง 5 windows ยอยใหเลอก

View \ Desktop Layout \ Five Panel จะไดจอภาพเหมอนขางตน

4. การทางานสวนใหญจะทาใน Command Window โดยการเลอก Command Window Only

2.2 การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB

โปรแกรมสาเรจรป MATLAB เปนโปรแกรมทชวยในดานการคานวณทางคณตศาสตร โดยพมพคาสงตาง ๆ

ทเครองหมาย >> ..... ของ MATLAB ใน Command Window

ตวอยางเชนการหาผลบวก 45.25 + 17.5

ทาไดโดยการพมพ 45.25 + 17.5 ↵ ผลบนจอภาพ MATLAB คอ


คาแนะนาในการใชงานโปรแกรม MATLAB จะเขยนในรปแบบตารางโดยท ตารางชองท 1 หมายถงการพมพ

ผานทางแปนพมพ ตารางในชองท 2 เปนผลทเกดจากการคานวณของ MATLAB และ การจดรปแบบการ

พมพของ MATLAB ในการใชงานเบองตนขอใหทดลองพมพชา ๆ และ ดผลการคานวณและการจดรปแบบ

ผลลพธของ MATLAB ในตารางแสดงผลลพธของการคานวณเบองตน

การคานวณดวยโปรแกรม MATLAB

1. การหาผลบวก 45.25 + 17.5


45.25+17.5↵



47/5↵



15*32↵



4^3↵

exp(1)^4↵

5. การคานวณโดยใชฟงกชนทางคณตศาสตร log2, ln2, sin(6π ), 3 , 5 32 , 5!


log10(2)↵

หมายเหต log10 คอ log ฐาน 10


log(2)↵

หมายเหต log คอ log ฐาน e

sin(pi/6)↵

หมายเหต pi เปนคาคงตวของ MATLAB ม

คาเทากบ π

3^0.5↵

factorial(5)↵

32^(1/5)↵

6. การกาหนดคาใหกบตวแปร และ การกาหนดสตรฟงกชน

การกาหนดฟงกชนโดยใชโปรแกรม MATLAB file.m ตวอยางเชน โปรแกรม f.m กาหนดสตร f(x) = 2x

ขนตอนการกาหนดสตร

ขนท 1. เรยก MATLAB Editor

โดยการคลกทปม Start ของ MATLAB

ขนท 2. เลอก Desktop Tools

ขนท 3. เลอก Editor

เมอคลกท Editor

จะได window ของการเขยนโปรแกรม


พมพ function y=f(x);↵

พมพ y=x.^2;

การ save โปรแกรม

ขนท 4. การ save โปรแกรม เลอกคาสง File \ Save

บนทกชอแฟมเปน f

เสรจแลวคลกปม Save

การเรยกฟงกชนทกาหนดสตรไวแลวคอ f(x) = 2x

ในโปรแกรม f.m


x=4;↵

f(x)↵

x=[1;2;3];↵

f(x)↵



4

1

+∫


syms x↵

int(x.^2+4,1,4)↵

หมายเหต syms เปนการกาหนดตวแปรทตองการคานวณในรปแบบสญลกษณ


ตวอยาง การเขยนกราฟของ f(x) = 2x – 3x – 7 บนชวง [–8, 8]


x=-8:0.1:8;↵

หมายเหต เครองหมาย ; เปนการ

กาหนดวา ไมตองแสดงผลของ

คาสงทกาหนดน

รปแบบ x = a : d : b หมายถงตวแปร x มคาตงแต a ถง

b โดยมการเพมคาครงละ d


y=x.^2-3*x-7;↵

หมายเหต ตวแปร x เปนตวแปรมตการยกกาลงสองตอง

ใชรปแบบ x.^2

plot(x,y)↵

หมายเหต เนองจากคาสงกอนหนา

นม ; ปดทายคาสง เมอมาถงคาสง

plot(x,y) โปรแกรม MATLAB

จงทาการประมวลผล 3 คาสง

พรอมกนตามลาดบคอ

x=-8:0.1:8;

y=x.^2-3*x-7;

และ plot(x,y)

หมายเหต โปรแกรม MATLAB สามารถจดรปแบบการแสดงผลของกราฟไดหลายลกษณะเชน

มสเกลทแกน X และ แกน Y และม grid line กราฟแบบ scale log



−

−3524 และ B =

3152


A=[4,-2;-5,3]↵

หมายเหต , หรอ ชองวาง คอการ

จาแนก หลก ; คอการจาแนกแถว

B=[2,5;1,3]↵


การคานวณคาของเมทรกซ A + B, AB, 4A, 2A , 1A− , TA , det(A)


A+B↵

A*B↵

4*A↵

A^2↵

A^–1↵

หมายเหต inv(A) จะได 1A−

A'↵

det(A)↵



A(1,1)↵

A(1,1)+A(2,2)↵

หมายเหต A(i, j) คอ ija ของเมทรกซ A = nmij]a[ ×



ตวอยางเชน u =

−

43 และ v =

21 และการหาคา u + v, 4u, vu ⋅ และ | u |


u=[-3;4]↵

v=[1;2]↵

u+v↵

4*u↵

dot(u,v)↵

norm(u)↵


สาหรบขอมลทอยในรปแบบของเวกเตอรเชน x =

1587532


x=[2;3;5;7;8;15]↵

mean(x)↵


median(x)↵

std(x)↵

var(x)↵

ใน MATLAB มฟงกชนทชวยคานวณคาทางดานสถตของขอมลดงน

mean(x) = คาเฉลยเลขคณตของขอมลใน x median(x) = มธยฐานของขอมลใน x

var(x) = ความแปรปรวน(ตวอยาง) x std(x) = สวนเบยงเบนมาตรฐาน(ตวอยาง) x

max(x) = คาสงสดของขอมลใน x min(x) = คาตาสดของขอมลใน x

range(x) = พสยของขอมลใน x

การกาหนดขอมลแบบแถวทาไดดงน


x=[2,3,5,7,8,15]↵

mean(x)↵

x(4)↵

2.7 การกาหนดขอมลในรปแบบเมทรกซ

ตวอยางเชนตองการกาหนดขอมล


xy=[3,12;5,15;9,21;12,32]↵

x y 3 12 5 15 9 21 12 32


x=xy(:,1);↵

x↵

y=xy(:,2);↵

y↵



10

1 x x , ∑

=

10

1 x

2 x , )5x4(x 10

1 x

2∑=

−−


syms x↵

symsum(x,1,10)↵

symsum(x^2,1,10)↵

symsum(x^2-4*x-5,1,10)↵


a∫

ตวอยางการหาคาของ dxx2

1

0∫ และ dxx2

3

3∫−


syms x↵

int(x^2,0,1)↵

int(x^2,-3,3)↵



dxd

n

n

ตวอยาง การคานวณ 4xdxd และ 4

3

3x

dxd


syms x↵

diff(x^4)↵

diff(x^4,3)↵

หมายเหต diff(f(x), k) คอ

อนพนธอนดบท k ของ f(x)



sin(30)↵

หมายเหต ขณะนคอมพวเตอรจะคดเปนหนวย เรเดยน

degree=pi/180;↵

sin(30*degree)↵

หมายเหต 30*degree คอ 30 องศา

asin(0.5)↵

หมายเหต ขณะนผลลพธมหนวยเปน เรเดยน

degree=180/pi;↵

asin(0.5)*degree↵


hex2dec('x') เปลยนเลขฐาน 16 เปนเลขฐาน 10 ตวอยางเชน 1016 2317 →

dec2hex(x) เปลยนเลขฐาน 10 เปนเลขฐาน 16 ตวอยางเชน 1610 1732 →

dec2bin(x) เปลยนเลขฐาน 10 เปนเลขฐาน 2 ตวอยางเชน 210 110012 →

bin2dec('x') เปลยนเลขฐาน 2 เปนเลขฐาน 10 ตวอยางเชน 102 121100 →



hex2dec('17')↵

dec2hex(23)↵

dec2bin(12)↵

bin2dec('1100')↵


n

1 iix

ตวอยาง กาหนดขอมลจากตาราง


4

1 ii x , ∑

=

4

1 iiy , ∑

=

4

1 i

2i x , ∑

=

4

1 i

2iy , ∑

=

4

1 iiiy x


x=[2 3 6 9];↵

y=[12 15 14 19];↵

sum(x)↵

sum(y)↵

sum(x.^2)↵

sum(y.^2)↵

sum(x.*y)↵

x y 2 12 3 15 6 14 9 19



การคานวณคา f(x) = 2x + 4, x = 1, 2, 3, 4 ในรปแบบตาราง


x=[1;2;3;4]↵

2*x+4↵

f(x)=2*x+4;↵

f(x)↵


ตวอยาง z = 3 + 4i, w = 5 – 9i การหาคา z + w, zw, | z |, Arg(z), Re(z), Im(z) และ z


z=3+4*i↵

w=5–9*i↵

z+w↵

z*w↵

abs(z)↵

angle(z)↵

หมายเหต angle(z) คอคา

อารกวเมนตของ z


real(z)↵

imag(z)↵

cong(z)↵

2.16 การหารากของสมการ f(x) = 0 ตวอยางเชน การหารากของสมการ 2x – 2 = 0


f=[1 0 -2]↵

roots[f]↵

2.17 การหาผลเฉลยของระบบสมการ ตวอยางเชน การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 3y = 8

x + y = 3


[x y] =

solve('2*x+3*y=8','x+y=3')↵


n P

rn C =

)!rn(!r!n−

กาหนดเปนสตรในโปรแกรม nCr.m ไดดงน


nCr(5,1)↵

nCr(5,2)↵


rn P = )!rn(

!n−

กาหนดเปนสตรในโปรแกรม nPr.m ไดดงน

nPr(5,1)↵

nPr(5,2)↵


โปรแกรม MATLAB สามารถคานวณและแสดงผลออกมาในรปแบบของสตรไดเชน




การหาอนพนธอนดบสงเชน 3

3

dxd 4x ผลการหาอนพนธคอ 24x


สามารถหาคาลมตได 1x

lim→


ตวอยาง การกระจายสตรพหนาม (x – 1)(x + 2) สามารถเลอกคานวณได 2 แบบคอ


syms x↵

expand((x-1)*(x-2))↵

syms x↵

f=(x+1)*(x-3);↵

expand(f)↵

ตวอยาง การแยกตวประกอบ 4x – 2 2x – 3x – 2 เลอกคานวณได 2 แบบคอ


syms x↵

factor(x^4-2*x^2-3*x–2)↵


syms x↵

f=x^4-2*x^2-3*x–2;↵

factor(f)↵

ตวอยาง การหาอนพนธเปนสตร dxd 2x เลอกคานวณได 2 แบบคอ

syms x↵

diff(x^2)↵

syms x↵

f=x^2;↵

diff(f)↵

ตวอยาง การหาอนพนธอนดบสงเชน 3

3

dxd 4x เลอกคานวณได 2 แบบคอ

syms x↵

diff(x^4,3)↵

syms x↵

f=x^4,3;↵

diff(f,3)↵

ตวอยาง การหาปรพนธเปนสตร dx)7x4( +∫ เลอกคานวณได 2 แบบคอ


syms x↵

int(4*x+7)↵

syms x↵

f=4*x+7;↵

int(f)↵



lim→

( 2x + 2x + 4) และ 1x

lim→

( 2x + 2x + 4) เลอกคานวณได 2 แบบคอ


syms x↵

limit(x^2+2*x+4)↵

syms x↵

f= x^2+2*x+4;↵

limit(f)↵

syms x↵

limit(x^2+2*x+4,1)↵

syms x↵

f= x^2+2*x+4;↵

limit(f,1)↵

2.20 การคานวณคณตศาสตรขนสง

2.20.1 การหาผลการแปลงลาปลาซ เชนผลการแปลงลาปลาซของ f(t) = sint มวธทาได 2 แบบ


syms t↵

laplace(sin(t))↵

syms t↵

f=sin(t)↵

laplace(f)↵

2.20.2 การหาผลการแปลงลาปลาซผกผน

ตวอยางเชนผลการแปลงลาปลาซผกผนของ F(s) = 1s

12 +

มวธทาได 2 แบบ


syms s↵

ilaplace(1/(s^2+1))↵


syms s↵

F=1/(s^2+1);↵

ilaplace(F))↵

2.20.3 การหาสตรเทยเลอรของฟงกชน เชนการหาสตรเทยเลอรของ sinx มวธทาได 2 แบบ


syms x↵

taylor(sin(x),5);↵

syms x↵

f=sin(x);↵

taylor(f,5);↵

syms x↵

f=sin(x);↵

taylor(f,8)↵

2.20.4 การแยกเศษสวนยอยดวยโปรแกรม MATLAB

3x4x6xx5x2

2

23

+−−+− สามารถแยกเปนผลบวก 2x + 3 + 3x

3−

+ 1x4−


a=[1 -4 3];↵

b=[2 -5 1 -6];↵

[r,p,k]=rersidue(b,a)↵

a = เวกเตอรของสมประสทธพหนามตวสวน

b = เวกเตอรของสมประสทธพหนามตวเศษ

[r, p, k] = residue(b, a) จะทาการหารยาวและใหคา

k = เวกเตอรของสมประสทธสวนทเปนพหนาม


p =

m

21

p:

pp

และ r =

m

21

r:rr

เปนคาทสอดคลองกนซงหมายถง 1

1px

r−

+ 2

2px

r−

+ ... + m

mpx

r−

การกระจาย 2x + 3 + 3x3−

+ 1x4−

เปน 3x4x

6xx5x22

23

+−−+− ทาไดดวยคาสง [b, a] = residue(r, p, k)


k=[2 3];↵

r=[3 4 ];↵

p=[3 1];↵

[b,a]=rersidue(r,p,k)↵


ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ y′ – 4y = 4 และ y(0) = 1


dsolve('Dy–4y=4','t(0)=1')↵

ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ y′′ + 4y = t และ y(0) = 1, y′(0) = –2

พมพ dsolve('D2y+4*y=t','y(0)=1','Dy(0)=–2')↵


รปแบบคาสง dslove('สมการ', 'เงอนไข', 'เงอนไข', ...) Dy หมายถง dtdy , D2y หมายถง 2

2

dt

yd

2.20.6 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ

ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ x′ + y′ = sin(t), x′ – y′ = cos(t)

พมพ dsolve('Dx+Dy=sin(t)','Dx-Dy=cos(t)')↵


บทท 3. การเขยนกราฟดวย MATLAB MATLAB – 31

บทท 3.

การเขยนกราฟดวย MATLAB

การเขยนกราฟในรปแบบตาง ๆ มประโยชนมากในการศกษาทางคณตศาสตร โปรแกรม MATLAB

สามารถชวยในการเขยนกราฟไดหลายรปแบบ เชน กราฟในระบบพกดมมฉาก 2 มต และ 3 มต กราฟพกด

เชงขว กราฟพนผว ในบทนจะเปนทางานเกยวกบการเขยนกราฟรปแบบตางๆ เพอใหไดรปของกราฟทมความ

สวยงาม และถกตองตามความตองการในการใชงานทางคณตศาสตร

ตวอยางของกราฟบางรปแบบทโปรแกรมสาเรจรป MATLAB ทาไดเชน


กราฟในพกดเชงขว กราฟแทง



ตวอยาง การเขยนกราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [0, 10] โดยใชคาสง plot


x=0:0.1:10;↵

y=2*x+3;↵

plot(x,y)↵

หมายเหต MATLAB จะแสดง

ภาพของกราฟใน Window ใหม

เรยกวา Window Figure และ

ภาพใน Window นสามารถ

แกไขรปแบบ และบนทกเปน

แฟมขอมลแบบกราฟไดโดยใช

คาสง File, Save

หมายเหต plot(x, y) เปนคาสงเขยนกราฟของเสนโคงหรอฟงกชน y = f(x)

ตวอยาง การเขยนกราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [0, 10] โดยใชคาสง ezplot


ezplot('2*x+3',[0,10])↵

หมายเหต ezplot('f(x)', [a, b]) เปนคาสงเขยนกราฟของ f(x) บนชวง [a, b]


ตวอยาง การเขยนกราฟ 2 ฟงกชนโดเมนเดยวกน

ตวอยาง การเขยนกราฟ 2 ฟงกชนทมโดเมนตางกน

3.2 การเขยนกราฟขนบนได

การเขยนกราฟแบบขนบนไดของขอมล


x=[15 35 40 10];↵

stairs(x)↵

หมายเหต stairs(x) เปนคาสงเขยนกราฟขนบนไดของขอมลใน x

stairs(x, f(x)) เปนคาสงเขยนกราฟขนบนไดของเสนโคง y = f(x)

ตวอยางเชน การเขยนกราฟแบบขนบนไดของ f(x) = sin(x) เมอ x = 0, 0.5, 1.0, 1.5, ... , 4π

No X 1 15 2 35 3 40 4 10


กราฟทไดคอ

3.3 การเขยนกราฟแบบ histogram

กราฟแบบ histogram เปนกราฟแสดงการแจกแจงความถของขอมล

hist(x, y) เปนคาสงแจกแจงความถของขอมลจาก x ตามคาทกาหนดจาก y แลวแสดงผลในรปแบบกราฟ

ตวอยางเชน การแจกแจงความถและกราฟของคะแนนสอบจากขอมล 1, 4, 1, 1, 2, 2, 3, 2 , 2 และ 3


data=[1 4 1 1 2 2 3 2 2 3];↵

grade=[1 2 3 4];↵

hist(data,score)↵

หมายเหต hist(x) จะนาขอมลใน x มาแจกแจงความถและเขยนกราฟ



3.4 การเขยนกราฟวงกลม

การเขยนกราฟวงกลมของขอมล

No X 1 15 2 35 3 40 4 10



x=[15 35 40 10];↵

pie(x)↵

หมายเหต pie(x) เปนคาสงเขยนกราฟวงกลมของขอมลใน x

pie(x, explode) เปนคาสงเขยนกราฟวงกลมของขอมลใน x

และดงชนทกาหนดออกมา

โดยกาหนด explode = [d d d ...]

d = 0 หรอ d = 1 โดยท d = 1 หมายถงใหดงชนนนออกมา


pie3(x, explode) เปนคาสงเขยนกราฟวงกลมของขอมลใน x

และดงชนทกาหนดออกมาโดยแสดงภาพเปนรปแบบ 3 มต


หมายเหต pie(x, x == min(x)) ดงชนทมคาตาสดออกมา pie(x, x == max(x)) ดงชนทมคาสงสดออกมา

3.5 การเขยนกราฟแทง (Bar graph) ของขอมลทางสถต

ตวอยาง การเขยนกราฟของขอมล คะแนน และ ความถ


score=[1 2 3 4];↵

freq=[15 35 40 10];↵

bar(score,freq)↵

score frequency 1 15 2 35 3 40 4 10


หมายเหต bar(x, y) เปนคาสงเขยนกราฟแทงโดยมแกนนอนเปนขอมล x และ ขอมล y เปนแกนตง

ตวอยาง การเขยนกราฟแทงโดยระบคาเฉพาะขอมล y

หมายเหต โปรแกรม MATLAB จะกาหนดขอมล x เปน [1 2 3 ...]




x=[53 58 55 60 62 68];↵

y=[156 165 162 170 165 173];↵

plot(x,y,'*')↵

หมายเหต plot(x, y, '*') เปนคาสง plot กราฟแบบจดของคลาดบ ( ix , iy ) โดย plot ดวยสญลกษณท

กาหนดใน '...' ในตวอยางนคอ plot จดดวย *

x y 53 156 58 165 55 162 60 170 62 165 68 173


3.7 การเขยนกราฟในระบบพกดเชงขว

ตวอยาง การเขยนกราฟ r = 2cos(2t)


t=0:0.1:2*pi;↵

r=2*cos(2*t);↵

polar(t,r)↵

หมายเหต polar(r, t) เปนคาสง plot กราฟแบบในระบบพกดเชงขว

ตวอยาง การเขยนกราฟ r = 4cos(t)


ezpolar('4*cos(t)',[0,2*pi])↵

หมายเหต ezpolar('r(t)', [a, b]) เปนคาสง plot กราฟพกดเชงขว r(t) บนชวง [a, b]


3.8.1 กราฟพาราเมตรก 2 มต

ตวอยาง การเขยนกราฟของเสนโคงทมสมการพาราเมตรก x(t) = 80t และ y(t) = –16 2t + 80t

บนชวง 0 < t < 5 ขนตอนการเขยนกราฟของเสนโคงทมสมการพาราเมตรกเปนดงน

พมพ ezplot('80*t','-16*t^2+80*t',[0,5])↵



หมายเหต ezplot('x(t)', 'y(t)', [a, b]) เปนคาสง plot กราฟ r(t) = (x(t), y(t)) บนชวง [a, b]


ตวอยาง การเขยนกราฟของเสนโคงทมสมการพาราเมตรก x(t) = cost, y(t) = sint และ z(t) = 4t

บนชวง 0 < t < 2π

พมพ ezplot3('cos(t)','sin(t)','t/4',[0,2*pi])↵



ezplot3('x(t)', 'y(t)', 'z(t)', [a, b]) เปนคาสงเขยนกราฟ r(t) = (x(t), y(t), z(t)) บนชวง [a, b]


3.9 การเขยนกราฟพ นผว 3 มต และกราฟแบบ contour

ตวอยาง การเขยนกราฟพนผว f(x, y) = 2x – 2y บนชวง [–2, 2] × [–2, 2] และกราฟ contour

แบบท 1. ขนตอนการทางานมดงน

1. กาหนดสตรฟงกชน z = 2x – 2y

2. กาหนดโดเมน x เปน [–2, 2]

3. กาหนดโดเมน y เปน [–2, 2]

4. สรางเมทรกซของการเขยนกราฟดวยคาสง meshgrid เพอเปนโดเมนของฟงกชน z

5. เขยนกราฟพนผว ดวยคาสง surf(z)

6. เขยนกราฟ contour ดวยคาสง contour(z)


z=x.^2-y.^2;↵

x=-2:0.1:2;↵

y=-2:0.1:2;↵

[x,y]=meshgrid(x,y)↵

surf(z)↵

contour(z)↵


หมายเหต surf(z) เปนคาสงเขยนกราฟของพนผว z ทคานวณไดจากโดเมน [a, b] × [c, d]

contour(z) เปนคาสงเขยนกราฟแบบ contour ของพนผว z ทคานวณไดจากโดเมน [a, b] × [c, d]

แบบท 2. ใชคาสง ezsurf, ezcontour และ ezsurfc

ezsurf('f(x, y)', [a b c d]) เปนคาสงเขยนกราฟพนผว z = f(x, y) บนชวง [a, b] × [c, d]

ezcontour('f(x, y)', [a b c d]) เปนคาสงเขยนกราฟ contour ของพนผว z = f(x, y) บนชวง [a, b] × [c, d]

เพราะฉะนนการเขยนกราฟของ f(x, y) = 2x – 2y บนชวง [–2, 2] × [–2, 2] ทาไดดงน

คาสง ezsurfc('f(x, y)', [a b c d]) เขยนกราฟพนผวและ contour พรอมกน ของ z = f(x, y)

บนชวง [a, b] × [c, d]



3.10 การปรบรปแบบกราฟใหสวยงาม

3.10.1 การกาหนดลกษณะของเสนกราฟ

การเขยนกราฟมการกาหนด รปแบบเสน เครองหมาย และส ดงน

สญลกษณ ส สญลกษณ เครองหมาย สญลกษณ รปแบบเสน

r Red . จด : เสนจด

g Green o วงกลม - เสนทบ

b Blue + บวก -. เสนประและเสนจด

c Cyan x กากบาท - - เสนประ

m Magenta * ดอกจน

y Yellow s สเหลยมจตรส

k Black d รปขาวหลามตด

w White v สามเหลยมลาง


โปรแกรม MATLAB จะเขยนกราฟเปนเสนทบสนาเงน กราฟเปนเสน –. สเขยว

และ plot เปนจดสเหลยมจตรส

3.10.2 คาอธบายประกอบ เสนกราฟ และ แกนพกดตาง ๆ

คาสง ความหมายของคาสง

title('ขอความ') เขยนคาอธบายประกอบภาพของกราฟ

title(x, y,'ขอความ') เขยนคาอธบายประกอบภาพของกราฟ ทตาแหนง (x, y)

xlabel('ขอความ') เขยนคาอธบายประกอบแกน X

ylabel('ขอความ') เขยนคาอธบายประกอบแกน Y

zlabel('ขอความ') เขยนคาอธบายประกอบแกน Z

title(x, y,'ขอความ') เขยนคาอธบาย ทตาแหนง (x, y)

legend(text1, text2, ...) เขยนคาอธบายประกอบเสนของกราฟ



3.10.3 คาสงในการปรบคาตาง ๆ บนแกนพกด และการตเสนกรด


grid on, grid off เขยนเสนกรดหรอยกเลกการเขยนเสนกรด

axis on, axis off อนญาต หรอไมอนญาต ใหกาหนดคาตาง ๆ เกยวกบแกน

เชน การตเสนกรด

axis square กาหนดใหกรอบในการเขยนกราฟเปนสเหลยมจตรส

axis([xmin xmax ymin ymax])

กาหนดคาสงสด และ ตาสดของแกน X และ แกน Y

axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax])

กาหนดคาสงสด และ ตาสดของแกน X แกน Y และ แกน Z



3.10.4 การเขยนกราฟหลายรปใน window เดยวกนและการกาหนด window แสดงกราฟ


figure(n) สงเปด Window Figure ท n การเขยนกราฟรปตอไปจะปรากฏ

ใน Window Figure ลาสดทเปด

subplot(m, n, k) แบง Window ออกเปนกรอบยอย m แถว n หลก

กาหนดการเขยนกราฟใน Window ยอยรปท k

close(n) สงปด Window Figure ท n

close all สงปด Window Figure ทก window figure


3.10.5 กราฟบนสเกลลอการทม


plot(x, y) เขยนกราฟ (x, y) โดยใชสเกลปกต (x, y)

semilogx(x, y) เขยนกราฟโดยใชสเกลลอการทมเฉพาะแกน X

semilogy(x, y) เขยนกราฟโดยใชสเกลลอการทมเฉพาะแกน Y

loglog(x, y) เขยนกราฟโดยใชสเกลลอการทม ทงแกน X และ แกน Y




3.11 การปรบปรงรปแบบของกราฟโดยใชเมนของ Window Figure

เมนยอยทมใน Window Figure สามารถนามาชวย

ในการปรบปรงรปแบบของกราฟไดเชน สรางหนาตาง

รปภาพใหม การบนทกภาพ การนาภาพเกามาแกไข

การเพมตวอกษร เสนตรง และการหมนภาพ เพอดมม

มองตาง ๆ ของภาพ เมนยอยตาง ๆ มหนาทดงน

icon ความหมายของคาสง

เปด Window Figure ใหมเพอเขยนกราฟ

การเปดแฟมของกราฟทเคยบนทกไว

บนทกกราฟทเขยนไวเปนแฟมขอมล

พมพกราฟลงกระดาษ

เมนยอยของการแกไขกราฟ

insert text พมพขอความแทรกลงบนกราฟ

insert arrow เพมลกศรบนบรเวณของกราฟ

insert line เพมเสนบนหนาตางรปภาพ

การขยายภาพโดย คลกท icon น กอนแลวจงไปคลกเมาสบนภาพทตองการขยาย

การยอภาพโดย คลกท icon น กอนแลวจงไปคลกเมาสบนภาพทตองการยอ

การหมนภาพโดย คลกท icon น กอนแลวจงไปคลกเมาสบนภาพทตองการหมน

ตวอยางของกราฟ ทมการเพมเตมขอความ ลกศรและเสนตรง

เมน View มเมนยอยทสาคญคอ

เมน Figure Toolbar ชวยในการปรบปรงคณภาพของกราฟ

เมน Camera Toolbar เปนเมนชวยในการปรบเปลยนมมองของกราฟ


การใชเมน camera ทาไดโดยการเลอก icon ทตองการ เชนการหมน การเลอน การพลกภาพ แลวจงนาเมาส

ไปคลกทรปของกราฟ

ตวอยางของภาพทไดซงเกดจากการหมนภาพจากเมนยอย ของเมน Camera

เมนยอย Insert ใชในการปรบปรงกราฟโดยมเมนยอยทาหนาทดงน

X Label, Y Label, Z Label, Title ใชพมพคาอธบายเกยวกบ แกนตาง ๆ และคาอธบายรป

Legend, Colorbar ใชเขยนคาอธบายเกยวกบเสนของกราฟและสของกราฟ

Arrow, Line, Text ใชเพมเตม ลกศร เสนตรง และขอความในกราฟ

Axes, Light ใชในการเพมแกน หรอปรบความสวางของภาพ



เมนยอย Edit เลอกจากเมน หรอคลก icon

เมนน ใชในการแกไขตาง ๆ เชน

Copy Figure ใช copy กราฟเพอนาใชใน Window figure อน ๆ

Figure Properties ใชแกไขภาพ

เชน สของกราฟ การ plot เสนกราฟแบบตางๆ

Current Object Properties แกไขเฉพาะบรเวณทเลอกไวดวย icon

เมนยอย Figure Properties และ Current Object Properties คอ

จากเมนยอยน เราสามารถ เปลยนสของกราฟไดโดยเลอกเมนยอย Color

บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB MATLAB – 47

บทท 4.

การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB

ในบทน เปนการใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรมสาเรจรป MATLAB เชน การทางานใน Command

Window การกาหนดทศนยม ตวแปร ฟงกชน และตวแปรทสาคญทางคณตศาสตร

4.1 การกาหนดคาตางๆ ในการแสดงผลเกยวกบตวเลข

โปรแกรม MATLAB สามารถแสดงผลการคานวณของตวเลขไดหลายแบบ โดยใชคาสง format ดงน

format short แสดงตวเลขทศนยม 4 ตาแหนง

format long แสดงตวเลขทศนยม 14 ตาแหนง

format short e แสดงตวเลขในลกษณะ N × k10 โดยท N เปนทศนยม 4 ตาแหนง

format long e แสดงตวเลขในลกษณะ N × k10 โดยท N เปนทศนยม 14 ตาแหนง

format bank แสดงตวเลขทศนยม 2 ตาแหนง


format rat

แสดงตวเลขในลกษณะตวเลขเศษสวน

4.2 สญลกษณพเศษและ การกาหนดตวแปรจานวนใน MATLAB

เครองหมายหรอสญลกษณทใชในโปรแกรม MATLAB

เครองหมาย ความหมายและตวอยางการใชงาน

( )

[ ]

subscripts

กาหนดขอมลเวกเตอร หรอ เมทรกซ

=

;

↵

กาหนดคา

รอการคานวณ หรอใชในการคนคาสง

สงคานวณ

,

;

แยกสมาชกในแถวของเมทรกซ

แยกแถวของเมทรกซ

% เปนการทา remark ของโปรแกรม

ตวแปรจานวนใน MATLAB จะเกบขอมลตวเลขในรปแบบเมทรกซ คอจาแนกเปนแถวและหลก ตวอยางเชน

การกาหนดคา ความหมาย

กาหนดคา 1 คาใหกบตวแปร x

กาหนดคาของตวแปร x เปนเมทรกซ 1 แถว 3 หลก



การเวนชองวางหรอคนดวย , มผลเหมอนกน


การเวนดวย ; หมายถงการขนแถวใหม


การเวนชองวาง แปลวาอยแถวเดยวกน

การเวนดวย ; หมายถงการขนแถวใหม

การกาหนด x = a : d : b หมายถง x มคาเปนเวกเตอร

x = [a, a + d, a+ 2d, ... ตวสดทายมคาไมเกน b]

4.3 การคานวณเบ องตน

การคานวณเกยวกบตวเลข และ ตวแปรใน MATLAB มหลายแบบดงน

การดาเนนงาน ตวดาเนนการ ตวอยาง

การบวก +

การลบ –

การคณ *

การคณเชงสมาชก .*

การหารทางขวา /

a/b = ba


การหารทางซาย \

a\b = b 1a−

การหารเชงสมาชก ./

การยกกาลง ^

การยกกาลงเชงสมาชก .^

หมายเหต ในกรณท A, B เปนเมทรกซจตรส A\B = 1A− B แต A/B = A 1B− ตวอยางเชน

4.4 ตวแปรทสาคญทางคณตศาสตรของ MATLAB ทมการกาหนดคาไวแลว

โปรแกรม MATLAB มการกาหนดคาใหกบตวแปรเฉพาะ ดงน

ตวแปร ความหมายและตวอยางการใชงาน

pi คาคงท pi ซงเทากบ π = 3.1415926

i หรอ j สญลกษณแทน 1−

inf ∞

NaN NaN = Not – a – Number คอจานวนทไมสามารถระบคาได

clock ใหคา ป-เดอน-วน-ชวโมง-นาท และวนาท


date ฟงกชนทใหบอกคา วน-เดอน-ป ตวอยางเชน

ans ตวแปรผลการคานวณลาสด ในกรณทไมไดกาหนดชอตวแปรของผลลพธ

4.5 การแกไขเกยวกบการพมพผด

ในการพมพคาสงตาง ๆ เมอพมพผดและ enter ไปแลวเราสามารถนาคาสงเกาทงหมดทพมพกลบมาแกไข

ใหมได โดยการกดแปนลกศร

การกดลกศร 1 ครง จะเปนเรยกคาสงเกาทเคยพมพไวใหเราทาการแกไข

4.6 Window ตาง ๆ ของ MATLAB

จากเมนบารของ MATLAB โดยใชคาสง View \ Desktop Layout จะไดเมนยอยของการเลอก window

ในทน ขอใหเลอกเมนยอย Five Panel

จอภาพจะกลายเปนดงน

1. Lanuch Pad เปน window ทแสดง

โปรแกรมประยกต และโปรแกรมตวอยาง

ของ MATLAB

2. Command History เปน window ททาการ

บนทกคาสง ตวแปร ตาง ๆ ทไดสงไวจาก

Command Window

3. Workspace เปน window ทแสดงใหเหน

วาไดมการใชตวแปร และหนวยความจาท

ไดใชไปแลว

4. Current Directory เปน window ทแสดงทเกบของโปรแกรมตาง ๆ ทผใช MATLAB สรางไวเชน แฟม

รปภาพ แฟมโปรแกรม

5. Command Window เปน window ทผใชโปรแกรม MATLAB สงใหโปรแกรมทาการคานวณคาตาง ๆ

ตวอยางของการเปลยนแปลงในแตละ window ขณะทผใช MATLAB กาลงทางาน

ตวอยางเชน จากการทางานใน Command Window ตอไปน


1. กาหนดคา x = [1 2 3]

ใน Command Window

2. ใน Window Workspace

จะแสดงวามการใชตวแปร x ขนาด 1 × 3

3. ใน Command History

จะบนทกคาสง ทสงไวใน Command Window


ฟงกชนทางคณตศาสตร


abs(x) คาสมบรณของ x หรอ คาสมบรณของจานวนเชงซอน a + bi

angle(a + bi) คาอารกวเมนตของจานวนเชงซอน a + bi

real(a + bi)

imag(a + bi)

สวนจรง และสวนจนตภาพของจานวนเชงซอน

ceil(x) จานวนเตมทเลกทสดทมคามากกวาหรอเทากบ x

conj(a + bi) คา conjugate ของตวเลขเชงซอน a + bi


exp(x) ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล xe

fix(x) การปดเศษจานวนจรง x ใหเปนตวเลขจานวนเตมทเขาใกล 0 มากทสด

floor(x) จานวนเตมทใหญทสดทมคานอยกวาหรอเทากบ x

log(x) ln(x) คาลอกาลทมฐาน e

log10(x) log(x) คาลอกาลทมฐาน 10

mod(x, y) เศษเหลอจากการหาร x ดวยจานวนเตม y

dot(u, v)

norm(u)

ผลคณเชงสเกลารของ u และ v, ขนาดของเวกเตอร u

rem(x, y) เศษทเหลอจากการหาร x ดวย y

round(x) การปดเลขจานวนทศนยม x ใหเปนจานวนเตม

sign(x) เทากบ +1 ถา x > 0 และเทากบ –1 ถา x< 0

sqrt(x) square root ของ x


sin(x), cos(x)

tan(x), csc(x)

sec(x), cot(x)


asin(x), acos(x)

atan(x), asec(x)

acsc(x),acot(x)


sinh(x), cosh(x)

tanh(x), csch(x)

sech(x), coth(x)


asinh(x)

acosh(x)

atanh(x)

acsch(x)

asech(x)

acoth(x)


ฟงกชนเกยวกบเมทรกซ


zeros(n)

zeros(m, n)

zeros(size(A))

เมทรกซศนยมต n × n, เมทรกซศนยมต m × n,

เมทรกซศนยมตเดยวกบ A

ones(n)

ones(m, n)

ones(size(A))

เมทรกซมต n × n ทสมาชกทกตวเปน 1

เมทรกซมต m × n ทสมาชกทกตวเปน 1

เมทรกซทสมาชกทกตวเปน 1 และมตเดยวกบ A


eye(n)

eye(m, n)

eye(size(A))

เมทรกซเอกลกษณมต n × n

เมทรกซ m × n ทสมาชกในแนวทแยงมมเปน 1 นอกนนเปน 0

เมทรกซทสมาชกในแนวทแยงมมเปน 1 นอกนนเปน 0 และมมตเหมอน

A

det(A), inv(A)

trace(A)

diag(A)

rank(A), poly(A)

คากาหนดของเมทรกซ A, อนเวอรสของเมทรกซ A

ผลบวกแนวทแยงมมของเมทรกซ A

สมาชกในแนวทแยงมมของเมทรกซ A

คาลาดบชนของ A, พหนามลกษณะเฉพาะของ A

eig(A)

[V, D] = eig(A)

eig(A) คอคาเจาะจงของเมทรกซ A

V คอเวกเตอรเจาะจงของเมทรกซ A

D คอเมทรกซทมแนวทแยงมมเปนคาเจาะจงของเมทรกซ A


ฟงกชนเกยวกบพหนาม

หมายเหต p = [ na 1na − ... 1a 0a ] หมายถงพหนาม na nx + 1na −1nx − + ... + 1a x + 0a


1. polyder(p)

2. polyval(p, a)

3. [q, p]

= polyder(a, b)

1. อนพนธของพหนาม p(x), 2. คาของฟงกชนพหนาม p(a)

3. อนพนธของ )x(b)x(a มคาเปน )x(p

)x(q

ตวอยางเชน p(x) = 2 2x + x + 4, p(3) = 25, p′(x) = 4x + 1

ความหมายคอ dxd ( 1x

2xx2

−++ ) =

1x2x3x2x

2

2

+−−−

conv(p, q) ผลคณพหนาม p(x)q(x) ตวอยางเชน p(x) = x + 2, q(x) = 3x + 4,

p(x)q(x) = 3 2x + 10x + 8

deconv(p, q) ผลลพธของการหารพหนาม p(x) ดวย q(x)

ความหมายคอ 2x3x

5x51x2x3x

3x4x2x22

23

++++−=

+++++

roots(p)

fzero(f, a)

roots(p) = รากของพหนาม p(x) = 0

fzero(f, x) = รากของ f(x) = 0 โดยมคาเรมตนท a


poly(v)

poly(A)

พหนาม p(x) ทมรากเปนสมาชกของเวกเตอร v

พหนามลกษณะเฉพาะของเมทรกซ A

คาสงเกยวกบการจดรปแบบพชคณตของฟงกชน


expand(f)

factor(f)

collect(f)

simplify(f)

กระจายสตร

แยกตวประกอบ

กระจายสตร

จดรปแบบพชคณตใหมรปแบบอยางงาย

pretty(f)

poly2sym(p)

sym2poly(p)

แสดงสตรของพหนาม

เปลยนเวกเตอรของสมประสทธเปนพหนาม

เปลยนพหนามเปนเวกเตอรสมประสทธ

[a, b, k]

= residue(p, q) การแยกเศษสวนพหนาม )x(q

)x(p เปนเศษสวนยอย


ความหมายคอ

x1 + 1x

2−

+ 1x3+

+ 2x + 3 = xx

1x4x4x3x23

234

−−−++

[p, q]

= residue(a, b, k) จดรปผลบวกของเศษสวนยอยเปน )x(q

)x(p

xx1x4x4x3x2

3

234

−−−++ = x

1 + 1x2−

+ 1x3+

+ 2x + 3

โดยการคานวณของ MATLAb

คาสงเกยวกบแคลคลส


sum(x)

symsum(f(n))

symsum(f(n),a,b)

ผลบวกสมาชกใน x

หาผลรวม f(n) จาก 1 ถง n, หาผลรวม f(n) จาก a ถง b

limit(f)

limit(f, a)

limit(f, h, a)

limit(f, n, inf)

limit(f,x,a,'left')

limit(f,x,a,'right')

)x(flim0x→

, )x(flimax→

, )h ,x(flimah→

, )n(flimn ∞→

, )x(flimax −→

,

)x(flimax +→



diff(f), diff(f, k)

diff(f, x)

diff(f, x, k)

หมายถง dxdf , k

k

dxfd , x

f∂∂ และ k

k

xf

∂∂ ตามลาดบ

int(f)

int(f, a, b)

int(f, t)

int(f, t, a, b)

หมายถง fdx∫ , dx)x(fb

a∫ , fdt∫ , fdt

b

a∫ ตามลาดบ

laplace(f)

laplace(f, t)

laplace(f, x, t)

ผลการแปลงลาปลาซ F(s)

ผลการแปลงลาปลาซ F(t)

ผลการแปลงลาปลาซเทยบกบตวแปร x

ilaplace(F)

ilaplace(F, x)

ilaplace(F, s, x)

ผลการแปลงลาปลาซผกผน f(t)

ผลการแปลงลาปลาซ f(x)

ผลการแปลงลาปลาซผกผนเทยบกบตวแปร s


taylor(f, k) พหนามเทยเลอรของ f ดกรไมเกน k

solve(f)

solve('f(x)=0')

solve('eq1', 'eq2',

...)

solve(f) หาผลเฉลยของสมการ f(x) = 0

solve(f) หาผลเฉลยของสมการ f(x) = 0

solve('eq1', 'eq2', ...) หาผลเฉลยของระบบสมการ

หรอ

dsolve รปแบบ dsolve('สมการ', 'เงอนไข 1', 'เงอนไข 2',...)

ใชหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ


คาสงเกยวกบการวเคราะหเชงตวเลข


polyfit(x, y, k)

polyfit(y, k)

polyval(p, x)

corrcoef(x, y)

หาฟงกชนพหนามดกร k ทแสดงสมการความสมพนธระหวางตวแปร

อสระ x กบ ตวแปรตาม y

หมายถง polyfit(x, y, k) เมอ x = 1, 2, 3, ... , n

polyval(p, x) คาของพหนาม p ทจด x

สมประสทธสหสมพนธของตวแปร x และ y

หมายเหต สมการแสดงความสมพนธคอ y = 0.7569x + 3.0972

สมประสทธสหสมพนธของตวแปร x และ y มคา 0.7926

หมายเหต y(7) = 0.7569(7) + 3.0972 = 8.3958

หมายเหต สมการแสดงความสมพนธคอ

y(x) = 0.0306 2x + 0.1328x + 5.5404 และ y(7) = 7.9708

interp1(x, y, ix ) ประมาณคาในชวง iy ของคา ix ทสอดคลองกบความสมพนธระหวาง

ขอมล x และ y โดยการประมาณความสมพนธระหวาง 2 จดใด ๆ ของ

ขอมลดวยเสนตรง (linear interpolation)


interp1(x, y, ix ,'linear') เหมอนกบ interp1(x, y, ix )


spline(x, y, ix ) ประมาณคาในชวง iy ของคา ix ทสอดคลองกบความสมพนธระหวาง

ขอมล x และ y โดยการประมาณความสมพนธระหวาง 4 จดใด ๆ ของ

ขอมลดวยพหนามดกร 3

หมายเหต interp1(x, y, ix ,'spline') เหมอนกบ spline(x, y, ix )

interp2 interp2(x, y, z, ix , iy , 'วธ')

ประมาณคาในชวงของ z = f(x, y) ทสอดคลองกบความสมพนธระหวาง

ขอมล (x, y, z) โดยการประมาณความสมพนธดวยวธตาง ๆ เชน

'linear' วธ linear interpolation

'spline' วธ spline interpolation

ตวอยางจากขอมล (x, y, z) จากตารางขอมล

x y

3 5 9

5 2 3 5 7 5 3 5 8 8 9 9

บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ MATLAB MATLAB – 63

บทท 5.

การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ MATLAB

โปรแกรมทเขยนขนมาโดยใชคาสงตาง ๆ ของ MATLAB ทเราจะศกษาในบทน เรยกวาโปรแกรม M-

file(*.m) โปรแกรมในรปแบบ M-file น เปนไดทงโปรแกรมประยกตใชงาน และ โปรแกรมกาหนดสตร

ฟงกชน

การสรางโปรแกรมในทน ขอเรมตนจาก Command Window

การเขาส Window ของการสรางโปรแกรม แบบท 1.

หมายเลข 1. คลกเพอเปด Window ของการสรางโปรแกรมใหม

หมายเลข 2. คลกเพอเปดแฟมโปรแกรมเกาทสรางไว ใน Window ของการสรางโปรแกรม

การเขาส Window ของการสรางโปรแกรม แบบท 2.

ขนท 1. คลกท Start....................... หมายเลข 3.

ขนท 2. เลอก Desktop Tools........... หมายเลข 4.


ขนท 3. เลอก Editor...................... หมายเลข 5.

window ของการเขยนโปรแกรมเปนดงน

การทางานในรปแบบของโปรแกรมทสาคญของ MATLAB คอโปรแกรมฟงกชน และ โปรแกรมประยกต

5.1 การสรางโปรแกรมฟงกชน

1. พมพ function y=f(x);↵ เปนการกาหนดวาโปรแกรมน เปน โปรแกรมฟงกชน

2. y=x.^2; y เปนตวแปรเพอสงคาทคานวณไดใหกบ f(x)

x.^2 เปนสตรในเทอมของตวแปร x ทตองการคานวณคา

3. บนทกโปรแกรมมชอเปน f การ save ใหคลกท หรอใชสงผานคาสง File \ Save

และพมพชอ f

ตวอยางการเรยกใชงานฟงกชน f.m ทเรากาหนดสตรไว

ในทน ขอใหกลบไปทางานท Command Window

โดยการเลอก เมน View \ Desktop Layout \ Command Window Only


เมอกลบไปท Command Window จอภาพจะเปนดงน

ตวอยางการคานวณทมการเรยกใชฟงกชน f เชน

ตวอยางโปรแกรมคานวณคา

rn = )!rn( !r

!n−

การเรยกใชฟงกชน nCr(n, r)

ตวอยางของโปรแกรมฟงกชน 2 ตวแปร h(a, b) = ( 2a + 2b – 1, a – b)

การเรยกใชฟงกชน 2 ตวแปร h


5.2 การสรางโปรแกรมโดยใชภาษาคาสงของ MATLAB เพอประยกตใชงาน

จาก Window ของการเขยนโปรแกรม

เราสามารถพมพคาสงของโปรแกรมตาง ๆ ตามตองการได ตวอยางเชน

คาสง

เราสามารถพมพเปนโปรแกรมและบนทกไวในชอ pro_bargraph

การบนทกโปรแกรม แบบท 1.

1. คลกคาสง File

2. เลอก Save สาหรบโปรแกรมทเคยบนทกแลว

หรอโปรแกรมทเขยนขนมาใหม

เลอก Save As สาหรบโปรแกรมเกาทตองการบนทกในชอใหม

3. พมพชอ pro_bargraph

4. คลก Save

การบนทกโปรแกรม แบบท 2.

1. คลกคาสง Debug

2. เลอก Save and Run (หรอกด F5)

3. ถาเปนโปรแกรมใหมจะตองบนทก

แฟมชอ pro_bargraph กอน

เสรจแลวโปรแกรมจงจะทางานตอไป

ถาเปนโปรแกรมทเคยบนทกไวแลว โปรแกรมจะทาการบนทกในชอเดม แลวจงทางานตอไป


หมายเหต ในกรณทโปรแกรมเกาถกแกไขและยงไมไดบนทก จะมดอกจนเตอนเหนอชอ

การสงใหโปรแกรมทางาน

แบบท 1. กดแปนฟงกชน F5

แบบท 2. เลอกเมน Debug \ Save and Run

แบบท 3. สงในทางานดายคาสง run ใน Command Window

ผลการทางานของโปรแกรม pro_bargraph.m คอ

ตวอยางของโปรแกรม pro_plotsincos.m

ผลของการ run โปรแกรม pro_plotsincos.m


คาสงทสาคญในการเขยนโปรแกรมภาษา MATLAB


% ใชทาหมายเหตของโปรแกรม ตวอยางเชน

input ชอตวแปร = input('ขอความ') ใชรบคาของขอมล ตวอยางเชน

disp

display

disp('ขอความ'), display('ขอความ')

disp(ตวแปร), display(ตวแปร)

ใชแสดงผล ขอความ และตวแปร


fprintf


\n เปนสญลกษณ

ใหขนบรรทดใหม

fprintf('ขอความ รปแบบการแสดงผล', ตวแปร)

%f แสดงผลเปนเลขจานวนจรงตามปกต ตวอยางเชน

%10.2f ใชชองวาง 10 ชอง แสดงผล 2 ตาแหนง

%e แสดงผลเปนเลขยกกาลง ตวอยางเชน

% 10.4e ใชชองวาง 10 ชอง แสดงผล 4 ตาแหนง

%g แสดงผลตามความเหมาะสมของคาตวเลข


if เงอนไข c1

ชดคาสง 1

end

คาสงการประมวลผลแบบมเงอนไข

ถา เงอนไข c1 เปนจรง ใหทางานตามคาสงในชดคาสง 1

ถา เงอนไข c1 เปนเทจ ใหไปทางานคาสงทอยใต end



if เงอนไข c1


else


end



ถา เงอนไข c1 เปนเทจ ใหทางานตามคาสงในชดคาสง 2


for x = a : b : c


end


\n เปนสญลกษณ

ใหขนบรรทดใหม

ทางานวนลปตามคาของตวแปร x โดย x มคาเรมตน a และมคาเพมขน

ครงละ c และจะออกจากลปเมอ x มคามากกวา b ตวอยางเชน

ผลของการ run โปรแกรมคอ

while เงอนไข c1


end



ถา เงอนไข c1 เปนเทจ ใหออกจากลปของการทางาน


ตวอยางการ run โปรแกรม

run ชอโปรแกรม

ชอโปรแกรม

สงใหโปรแกรมทางานดวยการใชคาสง run หรอพมพเฉพาะชอโปรแกรม



การเขยนโปรแกรมประยกตใชงานจาก แผนภมสายงาน

เรมตน ↓






แนวคดของโปรแกรมภาษา MATLAB คอการนาคาสงกาหนดคา คาสงคานวณ มาประกอบกนเปนการทางาน

แบบโปรแกรม จากโปรแกรมท 1. เราสามารถจาแนกสวนของการทางานตางๆ ดงน

สวนของ INPUT คอ สวนประมวลผลคอ สวนแสดงผลคอ

การ run โปรแกรมใน Command Window

>> run area

จอภาพจะขนขอความ a = ... รอใหเราใสคา a

ใหใสคา 3 แลวกด enter

ในทานองเดยวกนใสคา b = 4 และ c = 5 จะไดคาพนท Area = 6

โปรแกรมท 2. การหาเมทรกซผกผน และ เมทรกซผกพนของ A

โปรแกรม การทางานของโปรแกรม


โปรแกรมท 3. การหารากท n ของจานวนเชงซอน

การทางานของโปรแกรม


หมายเหต ถา ( 1a , 1b ), ( 2a , 2b ), ( 3a , 3b ) เปนพกดจดยอดสามเหลยม

แลว พนทสามเหลยมเทากบ )bbaabbaadet()2

1(13131212

−−−−



โปรแกรมท 5. การหาระยะทางจากจด ( 0x , 0y ) ไปยงเสนตรง ax + by + c = 0


โปรแกรมท 6. การคานวณในรปแบบการกระทาซา การหารากโดยวธของนวตน

การหารากของสมการ f(x) = 3x + 3 2x – 4x + 6, 0x = 1 สตรการหารากคอ )x(f

)x(fxxn

'n

n1n −=+

ผลการ run โปรแกรมจะไดรากของสมการคอ

บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย MATLAB MATLAB – 73

บทท 6.

การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย MATLAB

เนอหาในบทนจะนาความสามารถของโปรแกรมสาเรจรป MATLAB มาใชในการคานวณเพอเสรมการ

เรยนการสอนคณตศาสตรระดบมธยมศกษาตอนปลายโดยจาแนกเนอหาคณตศาสตรตามระดบ ม. 4 – ม. 6





4. การเปลยนตวเลขในฐานตาง ๆ ระหวาง เลขฐาน 2 เลขฐาน 16 และ เลขฐาน 10









5. การแยกตวประกอบ และ การกระจายพหนาม

6. การหารากของสมการพหนาม เชนการหารากของ 2x – 3x – 4 = 0

หมายเหต [1 –3 –4] หมายถง พหนาม 2x – 3x – 4

roots([1 –3 –4]) เปนคาสงหารากของพหนาม

2x – 3x – 4 = 0





4. การหาคาเฉลยเลขคณต




การเขยนกราฟของพาราโบลา y = 2x81


การเขยนกราฟของวงร 16x2

+ 1y2

= 1

การเขยนกราฟของไฮเพอรโบลา 4y2

– 9x2

= 1



กราฟ y = sinx

กราฟ y = cosx

4. การหาคาเฉลยเลขคณต





4. การคานวณเกยวกบเมทรกซ และการหาผลเฉลยของระบบสมการ



1. การเขยนกราฟของ y = xa และ y = logax การทาตารางคา log และ เลขยกกาลง

กราฟ y = xe

กราฟ y = lnx



กราฟ y = arcsinx

กราฟ y = arccosx




การหาผลเฉลยของระบบสมการ

2x + 2y = 25

3x – 4y = 0

ผลเฉลยคอ (4, 3), (–4, –3)




3. การหาคาเฉลยเลขคณตและคาความแปรปรวน




3. การหาคาเฉลยเลขคณตและคาความแปรปรวน



2. การหาลมตของฟงกชน และอนพนธของฟงกชน และ อนพนธอนดบสง

3. การเขยนกราฟของ f, f′ 4. การหาคาอนทกรล การหาสตรอนทกรล




2. การหาลมตของฟงกชน อนพนธของฟงกชน และ อนพนธอนดบสง

3. การเขยนกราฟของ f, f′

4. การหาคาอนทกรล การหาสตรอนทกรล












สมการแสดงความสมพนธของขอมลคอ y = 3.3x – 1.7

6.7 MATLAB กบการเฉลยขอสอบคณตศาสตร Entrance

ในหวขอนจะเปนการนาความสามารถของ MATLAB เขามาชวยหาคาตอบของขอสอบ ซงมขอสอบ Entrance

หลายขอทเราหาคาตอบไดดวยการแทนคา คานวณคา หรอแมแตเขยนกราฟดกจะไดคาตอบ


0x

lim→ 3x


1. 0 2. 41

3. 21 4. 1


การคานวณดวย MATLAB



ถา xsin1

1−

+ xsin1

1+

= 8 โดยท π < x < 2


1. 2

13 − 2. 2

13 +

3. 2

13 −− 4. 2

13 +−






บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย MATLAB MATLAB – 81

บทท 7.

การคานวณระดบอดมศกษาดวย MATLAB


ความสามารถของโปรแกรมสาเรจรป MATLAB มาใชในการคานวณกจะทาใหเกดประโยชนอยางมาก ในบทน

จงไดยกตวอยางการคานวณทางคณตศาสตรระดบอดมศกษา จาแนกเปนกลมตางๆ ดงน



7.1 เสรมการคานวณแคลคลสดวย MATLAB




บทท 7. เสรมการคานวณระดบอดมศกษาดวย MATLAB MATLAB – 82


7.1.5 การหาผลบวกรมนน (Riemann sum)

เชนผลบวกรมนนของ f(x) = 2x – 4x + 6 บนชวง [1, 3]

คาของ dx)6x4x( 23

1

+−∫ = 4.666666

7.1.6 การแทนฟงกชนดวยพหนามเทยเลอร เชน พหนามเทยเลอรของ sin(x), arctan(x), cos(x), xe

7.1.7 การเขยนกราฟในพกดเชงขว

ตวอยางเชนกราฟของ r = 4cos(2t)


7.1.8 การเขยนกราฟ 3 มต

เชน กราฟของ z = 2x – 2y

7.1.9 การเขยนกราฟของสวนโคง

เชนเสนโคงทสมการพาราเมตรก

r(t) = (t, 2t ) บนชวง 0 < t < 5

7.2 เสรมการคานวณเกยวกบสมการเชงอนพนธดวย MATLAB



ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ dtdx – 2xt = t



ตวอยางเชน L{sin(t)} = 2s11+

และ 1L− { 2s11+

} = sint


7.3 เสรมการคานวณเกยวกบการวเคราะหเชงตวเลขดวย MATLAB


จงหาสมการเสนโคง y(x) ทผานจด (3, 4), (6, 13), (8, 6), (11, 10), (15, 13) และ (17, 18)

7.3.2 การประมาณคาภายในชวงจากขอมล ( 1x , 1y ), ( 2x , 2y ), ... , ( nx , ny )

ตวอยางขอมล

โดยวธ linear interpolation y(10) = 15.7

โดยวธ spline interpolation y(10) = 15.9301

7.3.3 การหารากของสมการ ตวอยาง การหารากของสมการ 2x – 5 = 0

p = [1 0 –5] หมายถงพหนาม 2x – 5

roots(p) เปนคาสงหารากของ p(x) = 0

ราก 2x – 5 = 0 คอ x = 2.2361, –2.361

การหารากของสมการ sinx – cosx = 0

เพราะฉะนนรากสมการ sinx – cosx = 0 คอ 4π


ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ x + y + z = 12

x – y + z = 4

x + y – z = 2

x y 2 3 5 5 7 9

11 18 15 22


ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการไมเชงเสน 2x + 2y = 25

x + y = 7

ผลเฉลยของระบบสมการคอ (3, 4) และ (4, 3)

7.3.5 การประมาณคา y(c) เมอกาหนด )y,x(fdxdy


โดยวธของออยเลอรทปรบปรงแลวทมสตร 1ny + = ny + 2h (f( nx , ny )+ f( 1nx + , ny + hf( nx , ny )))

เมอ h = nxc 0− , 1nx + = nx + h

จงหาคาประมาณคา y(1) เมอกาหนด yxdxdy



7.4 เสรมการคานวณเกยวกบพชคณตเชงเสนดวย MATLAB



7.4.2 การหาคาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจง และสมการลกษณะเฉพาะของเมทรกซ

ตวอยาง การหาคาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจง และสมการลกษณะเฉพาะของเมทรกซ A =

3104

สมการลกษณะเฉพาะของเมทรกซ A =

3104 คอ 2λ – 7 λ + 12 = 0

คาเจาะจงคอ 3, 4 โดยมเวกเตอรเจาะจงเปน (0, 1) และ (0.7071, 0.7071) ตามลาดบ

7.4.3 การหาคาลาดบชนของ A และ เมทรกซลดรปเปนขนแบบแถวทสมมลกบ A



111

, 2v =

110

, 3v =

100

}



577.0577.0577.0

, 2u =

−

408.0408.0816.0

, 3u =

−

707.0707.00

}

7.5 เสรมการคานวณเกยวกบความนาจะเปนและสถตดวย MATLAB


หมายเหต ฟงกชน binopdf(x, n, p) เปนฟงกชนทใหคาเทากบ b(x, n, p) = xnx )p1(p)!xn(!x!n −−−


หมายเหต ฟงกชน poisspdf(x, µ ) มคาเทากบ !xe xµµ− เปนฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซง


หมายเหต normpdf( 0x , µ , σ ) = 2)x(

e21 σ

µ−−

σπ

normcdf( 0x , µ , σ ) = P(X < 0x ) เมอ X เปนตวแปรสมปกต คาเฉลย µ สวนเบยงเบนมาตรฐาน σ

norminv(p, µ , σ ) หมายถงคา 0x ททาให p = P(X < 0x )


หมายเหต tpdf(t, ν ) = 212

)t1()

2(

)2

1( +ν−

ν+

πννΓ

+νΓ

tcdf( 0t , ν ) = P(t < 0t ) เมอ t เปนตวแปรสมท ระดบขนความเสร ν

tinv(p, ν ) หมายถงคา 0t ททาให p = P(t < 0t )



หมายเหต 2χ เปนตวแปรสมไคสแควร ระดบขนความเสร ν chi2pdf(x, ν ) = 2x

2

2

ex

)2(2

1 −ν

ννΓ

chi2cdf(k, ν ) = P( 2χ < k) chi2inv(p, ν ) หมายถงคา k ททาให chicdf(k, ν ) มคาเทากบ A


หมายเหต F เปนตวแปรสมเอฟ ระดบขนความเสร 1ν และ 2ν

fpdf(f, 1ν , 2ν ) = 2

21

2121

121

21

2121

)f1)(2()2(

f))(2(

ν+ν

−νν

νν

+ν

Γν

Γ

ννν+ν

Γ

fcdf(k, 1ν , 2ν ) = P(F < k), finv(p, 1ν , 2ν ) หมายถงคา k ททาให fcdf(k, 1ν , 2ν ) มคาเทากบ A

7.5.7 การหาสมการถดถอยและสมประสทธสหสมพนธ และ การเขยนแผนภาพกระจายขอมล


ผลการคานวณ สมการถดถอยคอ y = 0.25 + 8.55x และ สมประสทธสหสมพนธคอ 0.98043

7.5.8 กราฟของแผนภาพการกระจายบนกราฟสเกล log ตวอยางขอมลเชน

กราฟบนสเกล (x, y)

x y 1 14 3 23 5 35 7 64 9 79

x y 150 10 235 12 432 15 511 23 645 32 579 34 834 36 915 38


กราฟบนสเกล (logx, y) กราฟบนสเกล (x, logy) กราฟบนสเกล (logx, logy)

7.6 เสรมการคานวณเกยวกบคณตศาสตรขนสงดวย MATLAB


ตวอยางการหาคา

tdtx

1∫ = 2x2

1 + 21

dtt1

12

2x

x +∫ = )x(tan)x(tan 121 −− −


ตวอยางการหาคา

dxd ( tdt

x

1∫ ) = x

dxd dt

t11

2

2x

x +∫ = 4x1

x2+

– 2x11+




หมายเหต besselj(v, x) คอ ฟงกชนเบสเซลชนดท 1 อนดบ v



3

3=


2yx12)yx(

x=

∂∂


4342

2=

∂∂


3yx36)yx(

xy=

∂∂∂

7.6.6 การหาพหนามเลอจองด )x(Pn อนดบตางๆ จากสตรโรดรกส )x(Pn = n2n

n

n )1x(dxd

!n21 −

บทนา

Maple โปรแกรมสาเรจรป Maple เปนโปรแกรมทมความสามารถในการคานวณสงและนยมใชงานกนมากอก

โปรแกรมหนง สามารถคานวณแบบเครองคดเลข หรอจะใชในการเขยนโปรแกรมประยกตใชงานกได

โปรแกรมในกลมของโปรแกรมสาเรจรปทง 4 โปรแกรมในหนงสอเลมน อาจกลาวไดวา Mathematica และ

Maple มความใกลเคยงในรปแบบการใชงานมากทสด ถาผอานใช Mathematica เปนมากอนกจะใชงาน

Maple ไดงายขน ในทานองเดยวกน ถาใช Maple เปนกจะใชงาน Mathematica ไดงายขนเหมอนกน

ความสามารถทเหมอนหรอแตกตางระหวาง Maple กบโปรแกรมอน ๆ สรปไดดงน

• Maple แสดงผลทศนยมไดหลายตาแหนงตามตองการดวยคาสง Digits = n

• คาสงการทางานของ Maple ตองพมพท prompt ทมรปแบบเปน >...

• การคานวณบางอยางเชนการทางานทางดาน Graphics ตองมการเรยก Package หรอโปรแกรมยอยสาหรบ

การทางานนนขนมากอน เชนใช คาสง with(plots) เรยก Package ของการเขยนกราฟ คาสง with(linalg)

เรยก Package ของการคานวณเกยวกบเวกเตอร เมทรกซ

อยากร วา Maple ม Package อะไรบางใหพมพ ?Package จะไดรายชอของ Package ทงหมด ของ Maple

• การปรบเปลยนรปแบบการแสดงผลของกราฟ ใชคาสง หรอ คลกทรปกราฟกจะมเมนบารของการ

ปรบเปลยนรปแบบกราฟขนมาใหเราใชในการปรบเปลยนรปแบบของกราฟ

• สามารถขอความชวยเหลอจากโปรแกรมไดอยางรวดเรว เชนสงสยความหมายของคาสง plot กใหพมพ

?plot แลวกด Enter กจะไดคาอธบายตาง ๆ ของคาสง plot

• มคาสงทผสอนวชาแคลคลสตองชอบ เชน กราฟแสดงพนทใตโคงทแสดงความหมายของ ผลบวกรมนน

ผลบวกลาง ผลบวกบน ผลบวกจดกงกลาง และ คาสงคานวณคาผลบวกตาง ๆ

• มคาสงทผสอนวชาพชคณตเชงเสนตองชอบ เชน การแปลงแถวของเมทรกซ การแปลงหลกของเมทรกซ

การหาเมทรกซลดรปเปนขนแบบแถว

• มกลมคาสงสาหรบการเขยนโปรแกรมเชน if–then–else, for, while เหมอนโปรแกรมอน ๆ

สารบญ บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Maple............................................. 1 – 8

บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple............................................................ 9 – 28

บทท 3. การเขยนกราฟดวย Maple.................................................................... 29 – 44

บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Maple............................................ 45 – 56

บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Maple.................................................. 57 – 64

บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Maple.......................................... 65 – 74

บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple................................................... 75 – 92

บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Maple Maple – 1

บทท 1.

ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม Maple

ในบทนจะเปนการนาความสามารถตาง ๆ ทโปรแกรมสาเรจรป Maple ทาไดมานาเสนอใหดกอนเพอ

ผอานจะไดเหนความสามารถทางการคานวณทสาคญของโปรแกรมสาเรจรป Maple ในสวนของการพมพคาสง

การเขาสโปรแกรม Maple และการประยกตตาง ๆ จะกลาวในบทตอไป


หมายเหต > เปนตาแหนงท Maple รอรบคาสงของการคานวณ โดยทผลการคานวณจะแสดงในบรรทดตอไป

1.2 สามารถเลอกแสดงผลการคานวณเปนทศนยมไดหลายตาแหนง

หมายเหต คาสง Digits := k

กาหนดแสดงผลตวเลขนยสาคญ k ตว

เมอเขามาครงแรกจะแสดงผล 10 ตว



หมายเหต 1. log, ln หมายถงลอการทมฐาน e

2. คาฟงกชน ของจานวนเตมหรอเศษสวน

Maple จะแสดงผลเปนการจดรปแบบพชคณตหรอแสดงผลเปนเลขเศษสวนตามความเหมาะสม

3. คาฟงกชนทกาหนดคาเปนเลขจานวนจรง (มจดทศนยม) Maple จะแสดงผลเปนเลขทศนยม


5. การคานวณคาในรปแบบตาราง

6. สามารถแสดงหนวยผลลพธของการคานวณได

7. ความสามารถเกยวกบพหนาม เชน การบวก การหาราก การแยกตวประกอบ การกระจายพหนาม


หมายเหต roots(r) = [[1, 3], [2, 1], [3, 1]]

หมายถงพหนาม r(x) = 0 มราก 1 ซา 3 ตว ราก 2 ซา 1 ตว ราก 3 ซา 1 ตว






8.3 สามารถเขยนกราฟแบบคลาดบ

ตวอยาง กราฟของขอมล นาหนกและสวนสง


53 156 58 165 55 162 60 170 62 165 68 173


8.4 กราฟแทง (Bar graph) ของขอมลทางสถต

ตวอยาง การเขยนกราฟของขอมล คะแนน และ ความถ จากตาราง

8.5 กราฟในระบบพกดเชงขว เชนกราฟรปหวใจ r = 3 + 2sinθ

8.6 สามารถเขยนกราฟพนผว 3 มต เชนกราฟพนผวไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด f(x, y) = 2x – 2y

9. การเปลยนแปลงจานวนในเลขฐานตางๆ



0 – 1 15 1.1 – 2.0 35 2.1 – 3.0 25




Maple สามารถหาผลบวก ผลตาง dot product cross product และ ขนาดของเวกเตอรได


Maple สามารถหาผลบวก ผลคณ อนเวอรสเมทรกซ คากาหนดของเมทรกซได


Maple สามารถหาผลบวก ผลตาง อนเวอรส คาสมบรณของจานวนเชงซอนได


ตวอยาง การหาผลบวกของตวเลข ∑=

10

1 ii, ∑

=

10

1 i

2i , ∑=

n

1 i

2i


14. การคานวณคาสถตเบ องตน ตวอยางการหาคาสถตเบองตนของขอมล 2, 3, 7, 12, 16

15. สามารถหาความสมพนธเชงฟงกชนของขอมล

ตวอยาง กาหนดขอมล นาหนก (x) กบสวนสง (y)

x เปนตวแปรอสระ และ y เปนตวแปรตาม


17. ความสามารถในการหาอนพนธ เชนการหาอนพนธของ f(x) = 4x

18. ความสามารถในการหาปรพนธ การหาปรพนธเปนคาตวเลข เชนการหาคา dxx 1

0

2∫

หมายเหต คาสง Int แสดงผลเปนสญลกษณการปรพนธ แต คาสง int แสดงผลการคานวณคาทได


45 162 50 174 55 178 60 182


19. สามารถหาคาลมตได การหาลมต 1x

lim→

2x + x + 1 และลมตทางซาย ทางขวา ของ x|x| ท x = 0

หมายเหต คาสง Limit แสดงผลเปนสญลกษณลมต แต คาสง limit แสดงผลการคานวณคาทได






ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน x + y = 1

x – y = 3


3x – 4y = 0


23. การหาผลการแปลงลาปลาซ และผลการแปลงลาปลาซผกผน

เชนผลการแปลงลาปลาซ L{sint} = 1s

12 +

และ ผลการแปลงลาปลาซผกผน 1L− {1s

12 +

} = sint

24. การหาสตรเทยเลอรของฟงกชน เชนการหาสตรเทยเลอรของ sinx, cosx

25. การแยกเศษสวนยอย

2xx

x2

3

−− สามารถแยกเปนผลบวกยอยไดเปน x + 1 + )2x(3

8−

+ )1x(31+

26. การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ เชนการหาผลเฉลยของสมการ dxdy – 4y = 0

ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการ dxdy – 4y – 4= 0 และ y(0) = 1

27. การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ

ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการ dtdy – x + y = 0

dtdx + x – 4y = 0

บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple Maple – 9

บทท 2.

การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple

ในบทนจะเรยนร เกยวกบการนาโปรแกรมสาเรจรป Maple เขามาทางาน และการทางานเบองตนกบคาสง

ของ Maple

หมายเหต โปรแกรม Maple ทใชในขณะนคอ Maple 8 ถาเปน version อน ๆ เชน Maple 3, Maple 6 จะม

ลกษณะใชงานทใกลเคยงกน

2.1 การเรยกโปรแกรม Maple ขนมาใชงาน


2. รอจนจอภาพขน รปภาพ ขอความและ icon ตาง ๆ ครบ




คลกท Maple 8 จะขนเมนยอยใหเลอก

คลกท Maple 8 จะเขาสการทางานของโปรแกรม Maple

หมายเหต Logo ของ Maple อาจแตกตางกนใน version อนๆ

เมอเขาสการทางานของโปรแกรม Maple เรยบรอยแลวจอภาพจะเปนดงน


1. แสดงวาเขามาทางานในหนาตางของ Maple 8

2. แสดงชอแฟมทกาลงทางานเมอมการบนทกแฟมหรอนาแฟมเดมกลบมาใช

แตถาเปนการเขามาทางานครงแรกชอแฟมทกาหนดใหมชอวา Untiled(1)


4. แถบเครองมอ icon ของการทางานตาง ๆ เชน บนทกแฟม การพมพ การเปดแฟมใหม

5. บรเวณบรรทดของการรบคาสงตาง ๆ ในการทางานของโปรแกรม Maple

6. ตาแหนงเรมตนของการพมพคาสงในการคานวณตาง ๆ ซงตองพมพท Maple prompt (>)

2.2 การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple

โปรแกรมสาเรจรป Maple เปนโปรแกรมทชวยในดานการคานวณทางคณตศาสตร ทสามารถใชงานไดงายเชน

การหาผลบวกของ 45.25 + 17.5

1. ใหพมพ 45.25 + 17.5 ;

2. แลวกด ↵ จะไดผลลพธทนท ผลบนจอภาพ Maple คอ

หมายเหต รปแบบการพมพคาสง ตองม ; (semi colon ปดทายคาสง แลวจงกด Enter ↵)

การใชงานโปรแกรม Maple จะเขยนในรปแบบตารางโดยท ตารางชองท 1 หมายถงการพมพผานทาง

แปนพมพ ตารางในชองท 2 เปนผลทเกดจากการคานวณของ Maple และ การจดรปแบบการพมพของ Maple

ในการใชงานครงแรกของผอาน ขอใหพมพชา ๆ และ ดผลของการจดรปแบบของ Maple

การคานวณดวยโปรแกรม Maple

1. การหาผลบวก 45.25 + 17.5


45.25+17.5;↵




45/12;↵

หมายเหต จานวนเตมหารกน maple จะ

แสดงผลเปนเศษสวนอยางตา

45/12.;↵

หมายเหต จานวนเตมหารดวยจานวนจรง(ตว

เลขทม . ) maple จะแสดงผลเปนเลขทศนยม



15*32;↵



4^3;↵

exp(4);↵

หมายเหต exp(x) เมอ x เปนจานวนเตม

maple จะแสดงผลเปนการจดรปพชคณต

exp(4.);↵

หมายเหต exp(x) เมอ x เปนจานวนจรง (ตว

เลขทมจด . ) maple จะแสดงคาทคานวณได

5. การคานวณโดยใชฟงกชนทางคณตศาสตร log2, ln2, sin(6π ), 3 , 5 32 , 5!


log10(2.);↵

หมายเหต log10 หมายถงลอการทมฐาน 10

ln(2.);↵

หมายเหต log, ln หมายถงลอการทมฐาน e

sin(Pi/6);↵


sqrt(2.);↵

root(32,5);↵

หมายเหต root(x, n) = n x

5!;↵



f:=x->x^2;↵

หมายเหต รปแบบ f:=x -> expression

f:=x เปนการกาหนดวา f เปนฟงกชนของ x

-> กาหนดสตรใหเปน

expression สตรในเทอมของ x

f(2);↵

x:=4;↵

หมายเหต รปแบบ x:=....

สญลกษณ := เปนการกาหนดคาใหกบตวแปร

f(x);↵



4

1

+∫


Int(x^2,x);↵

หมายเหต คาสง Int(f(x), x) จะไดสญลกษณของปรพนธ

คาสง int(f(x), x) จะไดผลการคานวณ หรอสตรทคานวณได

คาสง Int(f(x), x=a..b) จะไดสญลกษณของปรพนธ dx)x(fb

a∫

คาสง int(f(x), x=a..b) จะไดผลการคานวณคาของปรพนธ dx)x(fb

a∫


Int(x^2,x);↵

Int(x^2,x=0..1);↵

int(x^2,x=0..1);↵


ตวอยางเชนการเขยนกราฟของ f(x) = 2x – 3x – 7 บนชวง [–8, 8]


plot(x^2-3*x-7,x=-8..8);↵

หมายเหต plot(f(x), x = a .. b)

เปนคาสงเขยนกราฟ y = f(x) บน

ชวง [a, b]



−

−3524 และ B =

3152


with(linalg):↵ หมายเหต with(linalg) เปนคาสงเรยกโปรแกรมคานวณ

เกยวกบเมทรกซของ Maple มาใชงาน

คาสงกาหนดเมทรกซ A = nmij]a[ × คอ

A:=<< 11a , 21a , ... , 1ma >|< 12a , 22a , ... , 2ma >| ... |< n1a , n2a , ... , mna >>

A:=<<4,-5>|<-2,3>>;↵

B:=<<2,1>|<5,3>>;↵


การคานวณคาของเมทรกซ A + B, AB, 4A, 2A , 1A− , TA , det(A)


A+B;↵

A.B;↵

หมายเหต สญลกษณ (.) จดแทน

การคณเมทรกซกบเมทรกซ

4*A;↵

A^2;↵

A^(–1);↵

หมายเหต inverse(A) ใชหา 1A−

ไดเหมอนกบ A^(–1)

det(A)↵

transpose(A);↵



A[1,1];↵

หมายเหต A[i, j] คอ ija ของเมทรกซ A = nmij]a[ ×

การอางอง แถว และ หลกของเมทรกซ


with(LinearAlgbra);↵

A:=<<4,-5>|<-2,3>>;↵


Column(A,1);↵

Row(A,1);↵

Row(A,1)+2*Row(A,2);↵


ตวอยางเชน u =

−

43 และ v =

21 และการหาคา u + v, 4u, vu ⋅ และ | u |


with(LinearAlgebra):↵ หมายเหต with(linearalgebra) เปนคาสงเรยกโปรแกรม

คานวณเกยวกบพชคณตเชงเสนของ Maple มาใชงาน

คาสงกาหนด เวกเตอร u = ( 1a , 2a , ... , na ) คอ v:=< 1a , 2a , ... , na >

u:=<–3,4>;↵

v:=<1,2>;↵

u+v;↵

4*u↵

u.v;↵

หมายเหต สญลกษณ (.)

แทนการ dot ของเวกเตอร

norm(u,2)↵

2.6 การกาหนดขอมล ตวอยางขอมลเชน x = 2, 3, 5, 7, 8, 15


with(stats):↵


หมายเหต with(stats) เปนคาสงเรยกโปรแกรมคานวณ

เกยวกบสถตของ Maple มาใชงาน

x:=[2,3,5,7,8,15];↵

x[2];↵

หมายเหต ขอมลตวท i แทนดวย x[i]

describe[range](x);↵

คาสงแสดงคา ตาสด .. สงสดของขอมล

describe[mean](x);↵

describe[median](x);↵

describe[variance](x);↵

describe

[standarddeviation](x);↵

ใน Maple มฟงกชนทชวยคานวณคาทางดานสถตของขอมลดงน

describe[mean](x) = คาเฉลยเลขคณตของขอมล describe[median](x) = มธยฐานของขอมล

describe[variance](x) = ความแปรปรวนของขอมล(ประชากร)

describe[standarddeviation](x) = สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล(ประชากร)

describe[range](x) = แสดงคา ตาสด ... สงสด ของขอมล

2.7 การกาหนดขอมล 2 ตวแปรและการเขยนแผนภาพการกระจาย



with(stats):↵

x:=[3,5,9,12];↵

y:=[12,15,21,32];↵

x y 3 12 5 15 9 21 12 32


statplots[scatterplot](x,y);↵

2.8 การคานวณคาเกยวกบผลบวกในรปแบบ ∑ ตวอยางเชน การหาคาของ ∑=

10

1 ii , ∑

=

10

1 i

2i , ∑=

n

1 ii


add(i,i=1..10);↵

คาสง add( ix ,i=a..b) เปนการหาผลบวก i

b

a ix∑

=

sum( ix ,i=a..b) เปนการหาผลบวก i

b

a ix∑

= ไดเปนผลการคานวณ หรอ เปนสตร

Sum( ix ,i=a..b) เปนคาสงแสดงผลในรปแบบสญลกษณผลบวก

add(i^2,i=1..10);↵

sum(i,i=1..10);↵

sum(i,i=1..n);↵

Sum(i,i=1..n);↵

2.9 การคานวณคาปรพนธจากดเขตและปรพนธไมจากดเขต และปรพนธ 2 ตวแปร

ตวอยางเชน การหาคาของ dxx21

0∫ , dxx2

2t

t∫ , dxdx)yx( 2∫ ∫ และ dxdy)yx( 2

2

1

3

0∫ ∫


int(x^2,x=0..1);↵


int(x^2,x=t..t^2);↵

int(int(y*x^2,x),y);↵

int(int(y*x^2,x=0..3),y=1..2)

;↵

2.10 การคานวณคาอนพนธ อนพนธรวม และ อนพนธยอย

ตวอยาง การคานวณ 4xdxd , 4

2

2x

dxd และ )xy(xy

422

∂∂∂


Diff(x^4,x);↵

diff(x^4,x);↵

คาสง Diff(f(x), x) คาสงแสดงรปแบบอนพนธ หรออนพนธยอย

diff(f(x), x) คาสงคานวณคาอนพนธและอนพนธยอย และแสดงผลเปนสตร

D(f) คาสงคานวณอนพนธ หรอ อนพนธรวม และแสดงผลเปนสตร

D(f)(a) คาสงคานวณคาอนพนธท x = a

Diff(y^2*x^4,x,y);↵

diff(y^2*x^4,x,y);↵

f:=x->x^4;↵

D(f);↵

D(f)(–2);↵

D(D(f));↵


D(D(f))(2);↵

D(y^2*x^2);↵

ความหมายคอ dxxy4dyyx2)xy(d 32442 +=



sin(30.0);↵

หมายเหต ขณะนคอมพวเตอรจะคดเปนหนวย เรเดยน

degrees:=evalf(Pi/180.);↵

หมายเหต เปนการกาหนดหนวย

degrees ไวใชงาน

sin(30*degrees);↵

arctan(1.);↵

ผลการคานวณทไดมหนวยเปน เรเดยน

arctan(1.)*(1/degrees);↵

ผลการคานวณทไดมหนวยเปน องศา

2.12 การคานวณในรปแบบของเลขฐานอน ๆ


convert(18,hex);↵

convert(18,octal);↵

คาสง convert(n, hex) เปลยนเลข 10n เปนเลขฐาน 16

convert(n, binary) เปลยนเลข 10n เปนเลขฐาน 2

convert(n, base, k) เปลยนเลข 10n เปนเลขฐาน k (แสดงคาในแตละหลกสลบกบแบบแรก)

convert(“xxxx”, decimal, hex) เปลยนเลขฐาน 16 เปนเลขฐาน 10

convert(“xxxx”, decimal, octal) เปลยนเลขฐาน 8 เปนเลขฐาน 10

convert(“xxxx”, decimal, binary) เปลยนเลขฐาน 2 เปนเลขฐาน 10

convert(“xxxx”, decimal, k) เปลยนเลขฐาน k เปนเลขฐาน 10


convert(18,binary);↵

convert(18,base,2);↵

convert(“12”,decimal,hex);↵

convert(“10010”,decimal,

2);↵

convert(“10010”,decimal,

binary);↵

convert(“22”,decimal,octal);↵


n

1 iix


4

1 ii x , ∑

=

4

1 iiy , ∑

=

4

1 i

2i x , ∑

=

4

1 i

2iy , ∑

=

4

1 iiiy x จากขอมล


x:=[2,3,6,9];↵

y:=[12,15,14,19];↵

sum(x[i],i=1..4);↵

sum(y[i],i=1..4);↵

sum(x[i]^2,i=1..4);↵

sum(y[i]^2,i=1..4);↵

sum(x[i]*y[i],i=1..4);↵


การคานวณคา f(x) = 2 2x + 4, x = 2, 3, 5 ในรปแบบตาราง


x:=[2,3,5]:↵

x y 2 12 3 15 6 14 9 19


f:=x->2*x^2+4;↵

พมพ

for i from 1 to 3 do;↵ บรรทดแรกของโปรแกรม เรมคาสง for

printf(“%10.1f %20.2f”,x[i],f(x[i]));↵ บรรทดท 2 ของโปรแกรม

od;↵ บรรทดท 3 ของโปรแกรม จบคาสง for


คาอธบายเพมเตม for i from a to b do

ชดคาสง

od

เปนชดคาสงของการทางานเปนลบ โดยตวแปร i เปลยนคาจาก a ถง b

printf คอคาสงพมพ โดยมรปแบบกาหนดการพมพตวเลขเชน

รปแบบ %10.1f หมายถงเตรยมชองวาง 10 ทแลวพมพเลขทศนยม 1 ตาแหนง

%n.kf หมายถงเตรยมชองวาง n ทแลวพมพเลขทศนยม k ตาแหนง

\n เปนคาสงขนบรรทดใหมกอนพมพ


ตวอยาง z = 3 + 4i, w = 5 – 9i การหาคา z + w, zw, | z |, อารกวเมนตของ z, Re(z), Im(z) และ z


z:=3+4*I:↵

หมายเหต I = 1−

w:=5–9*I;↵

z+w;↵

4*z;↵

z.w;↵

หมายเหต . แทนการคณของ

จานวนเชงซอนกบจานวนเชงซอน


abs(z);↵

conjugate(z);↵

argument(z);↵

Re(z);↵

Im(z);↵




solve({x^2-2=0});↵

2.17 การหาผลเฉลยของระบบสมการ


x + y = 3


solve({2*x+3*y=8,x+y=3});↵


3x – 4y = 0


solve({x^2+y^2=25,

3*x-4*y=0});↵


n P

rn C =

)!rn(!r!n−


nCr:=(n,r)->n!/((r!)*(n-r)!);↵


nCr(5,2);↵

rn P = )!rn(

!n−

nPr:=(n,r)->n!/(n-r)!;↵

nPr(5,2);↵


โปรแกรม Maple สามารถคานวณและแสดงผลออกมาในรปแบบของสตรไดเชน




การหาอนพนธอนดบสง 3

3

dxd 4x ผลการหาอนพนธคอ 24x


การหาคาลมต 1x

lim→


ตวอยาง การกระจายสตรพหนาม (x – 1)(x + 2)


expand((x-1)*(x-2));↵

ตวอยาง การแยกตวประกอบ 4x – 2 2x – 3x – 2


factor(x^4-2*x^2-3*x–2);↵

ตวอยาง การหาอนพนธเปนสตร dxd 2x

diff(x^2,x);↵

ตวอยาง การหาอนพนธอนดบสง 3

3

dxd 4x

diff(x^4,x,x,x);↵




int(4*x+7,x);↵


lim→

( 2x + 2x + 4), −→0x

lim x|x| และ

+→0xlim x

|x|


limit(x^2+2*x+4,x=1)↵

limit(abs(x)/x,x=0,left);↵

limit(abs(x)/x,x=0,right);↵

2.20 การคานวณคณตศาสตรขนสง

2.20.1 การหาผลการแปลงลาปลาซ เชนผลการแปลงลาปลาซของ f(t) = sint


with(inttrans):↵ หมายเหต with(inttrans) เปนคาสงเรยกโปรแกรม

คานวณเกยวกบผลการแปลงลาปลาซมาใชงาน

laplace(sin(t),t,s);↵

2.20.2 การหาผลการแปลงลาปลาซผกผน เชนผลการแปลงลาปลาซผกผนของ F(s) = 1s

12 +


with(inttrans):↵

invlaplace(1/(s^2+1),s,t);↵

2.20.3 การหาสตรเทยเลอรของฟงกชน เชนการหาสตรเทยเลอรของ sinx


taylor(sin(x),x,5);↵


series(sin(x),x,5);↵

taylor(sin(x),x,8);↵

2.20.4 การแยกเศษสวนยอยดวยโปรแกรม Maple

2xx

x2

3

−− สามารถแยกเปนผลบวกยอย x + 1 + )2x(3

8−

+ )1x(31+

ดวยคาสง convert

พมพ convert(x^3/(x^2-x-2),parfrac,x);↵


การกระจาย x + 1 + )2x(38−

+ )1x(31+

เปน )2x)(1x(x3

−+ ไดดวยคาสง factor

พมพ factor(x+1+8/(3*(x-2))+1/(3*(x+1)));↵


2.20.5 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการ dxdy – 4y = 0

พมพ dsolve(diff(y(x),x)-4*y(x)=0);↵


หมายเหต คาสง dsolve(สมการ), dsolve([สมการ 1, สมการ 2, ...]) , dsolve({สมการ 1, สมการ 2, ...})

เปนคาสงชวยในการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธและผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ

โดยม diff(y[x], x) = dtdy , diff(y[x], x, x) = 2

2

dx

yd และ diff(y[x], x$k) หมายถงอนพนธ k

k

dx

yd

การคานวณแบบท 2. คอ


ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ dxdy – 4y = 4

พมพ dsolve(diff(y(x),x)-4*y(x) = 4);↵


แบบท 2.

ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ dxdy – 4y = 4 และ y(0) = 1

พมพ dsolve([diff(y(x),x)-4*y(x))=4,y(0)=1]);↵


แบบท 2.

ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ 2

2

dx

yd + 4y = 0

พมพ dsolve(diff(y(x),x,x)+4*y(x)=0);↵


แบบท 2.

2.20.6 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ

ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ dtdy – x + y = 0

dtdx + x – 4y = 0

พมพ dsolve([diff(y(t),t)-x(t)+y(t)=0,diff(x(t),t)-x(t)+y(t)=0]);↵



แบบท 2.

ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ dtdy – x + y = t

dtdx + x – 4y = 2

พมพ dsolve({diff(y(t),t)-x(t)+y(t)=t,diff(x(t),t)+x(t)–4y(t)=2});↵


แบบท 2.

ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ dtdy – x + y = t

dtdx + x – 4y = 2, x(0) = 2 และ y(0) = 3

พมพ dsolve({diff(y(t),t)-x(t)+y(t)=t,diff(x(t),t)+x(t)–4*y(t)=2,x(0)=2,y(0)=3});↵


แบบท 2.

บทท 3. การเขยนกราฟดวย Maple Maple – 29

บทท 3.

การเขยนกราฟดวย Maple

โปรแกรม Maple สามารถเขยนกราฟไดหลายรปแบบ เชน กราฟในระบบพกดมมฉาก 2 มต และ 3 มต

กราฟพกดเชงขว กราฟพนผว ในบทนจะเปนทางานเกยวกบเขยนกราฟรปแบบตางๆ เพอใหไดรปของกราฟท

มความสวยงาม และถกตองตามหลกคณตศาสตร

ตวอยางของกราฟบางรปแบบทโปรแกรมสาเรจรป Maple ทาไดเชน

กราฟในพกดมมฉาก 2 มต กราฟพนผว 3 มต z = 2x – 2y

y = 2x + 3, y = 2x – 4

กราฟในพกดเชงขว r = 4sin2t กราฟแผนภาพการกระจายของขอมล



ตวอยาง การเขยนกราฟของ y = 2x + 3 บนชวง [–4, 4] โดยใชคาสง plot


plot(2*x+3,x=-4..4);↵

หมายเหต plot(f(x), x = a .. b) เปนคาสงเขยนกราฟ y = f(x) บนชวง [a, b]

ตวอยาง การเขยนกราฟของ y = 2x + 3 และ y = 2x – 4 บนชวง [–4, 4]


plot({2*x+3,x^2–4}, x=-

4..4);↵

หมายเหต plot({f(x), g(x)}, x = a .. b) เปนคาสงเขยนกราฟ y = f(x) และ y = g(x) บนชวง [a, b]

การเขยนกราฟโดยกาหนดสตรฟงกชนไวกอนทาไดดงน

3.2 การเขยนกราฟแจกแจงความถ กราฟแทง


ชวงคะแนน ความถ

0 – 1.0 15 1.1 – 2.0 35 2.1 – 3.0 40 3.1 – 4.0 10


พมพ with(stats):↵


(หมายเหต เรยกโปรแกรมทางานทางดานสถตขนมาใชงาน)

พมพ data:=[Weight(0..1.0,15),Weight(1.1..2.0,35),

Weight(2.1..3.0,40),Weight(3.1..4.0,10)];↵


พมพ statplots[histogram](data);↵


หมายเหต with(stats): เปนคาสงเรยกโปรแกรมทางานทางดานสถตขนมาใชงาน

Weight(a .. b, f) เปนคาสงกาหนดความถของชวงคะแนน (a – b)

statplots[histogram](data) เปนคาสงเขยนกราฟแจกแจงความถของขอมล

ตวอยางการเขยนกราฟ histogram ของขอมล 1, 4, 1, 1,2. 2, 3, 2 , 2 และ 3

(1) เรยก package stats (2) กาหนดขอมล (3) กาหนดชวงคะแนนทใชในการแจกแจงความถ

(4) ทาการแจกแจงความถของขอมล data ดวยชวงคะแนน interval โดยใชคาสง transform (5) เขยนกราฟ





with(stats):↵

x:=[53,58,55,60,62,68];↵

y:=[156,165,162,170,165,

173];↵

statplots[scatterplot](x,y);↵

3.4 การเขยนกราฟในระบบพกดเชงขว ตวอยาง การเขยนกราฟ r = 4sin(2t)

พมพ plot(4*sin(2*t),t=0..2*Pi,coords=polar);↵


ตวอยาง การเขยนกราฟ โดยกาหนดสตรฟงกชนกอน และการเขยนกราฟ 2 เสนบนสเกลเดยวกน

x y 53 156 58 165 55 162 60 170 62 165 68 173



3.5.1 กราฟพาราเมตรก 2 มต ตวอยางเชน การเขยนกราฟของเสนโคงทมสมการพาราเมตรก

x(t) = 80t และ y(t) = –16 2t + 80t บนชวง 0 < t < 5

พมพ plot([80*t,-16*t^2+80*t,t=0..5]);↵



ตวอยางเชน กราฟของสมการพาราเมตรก x(t) = cost, y(t) = sint และ z(t) = 4t บนชวง 0 < t < 2π


with(plots):↵

x:=t->2*sin(t);↵

y:=t->2*cos(t);↵

z:=t->t/4;↵

พมพ spacecurve([x(t),y(t),z(t)],t=0..4*Pi,axes=BOXED,colour=black);↵



หมายเหต spacecurve เปนคาสงเขยนกราฟใน 3 มต

colour = ... เปนคาสงกาหนดสของกราฟ

axes = BOXED เปนคาสงกาหนดใหแสดงกรอบของสเกลแกน XYX

3.6 การเขยนกราฟพ นผว 3 มต และกราฟแบบ contour

ตวอยาง การเขยนกราฟพนผว f(x, y) = 2x – 2y บนชวง [–2, 2] × [–2, 2] และกราฟ contour


with(plots):↵ พมพ plot3d(x^2-y^2,x=-2..2,y=-3..3,axes=BOXED);↵


พมพ contourplot3d(x^2-y^2,x=-2..2,y=-3..3,axes=BOXED,style=CONTOUR,

orientation=[90,0],colour=black);↵


หมายเหต contourplot3d เปนคาสงเขยนกราฟ contour

style = .... เปนคาสงกาหนดรปแบบการ plot

orientation = .... เปนคาสงกาหนดมมมอง ของกราฟทได

คาแนะนา ในกรณทคาสงและเงอนไขมขอความมาก ควรขนบรรทดใหมดวยการกด <Shift>+↵


3.7 การเขยนกราฟของความสมพนธ ตวอยาง การเขยนของวงร 25x2

+ 16y2

= 1


with(plots):↵

พมพ implicitplot(x^2/25+y^2/16=1,x=-5..5,y=-4..4,scaling=CONSTRAINED);↵


หมายเหต implicitplot เปนคาสงเขยนกราฟของความสมพนธ

3.8 การเขยนกราฟสนามเวกเตอร

ตวอยาง การเขยนกราฟฟงกชนคาเวกเตอร F(x, y) = (x + y, x – y) บนชวง [-1, 1] × [–2, 2]


with(plots):↵

พมพ fieldplot([x+y,x-y],x=-1..1,y=-2..2);↵


ตวอยาง การเขยนกราฟฟงกชน F(x, y, z) = (x + y, x – y, z) บนชวง [0, 1] × [0, 2] × [0, 1]


with(plots):↵ พมพ

fieldplot3d([x+y,x-y,z],x=0..1,y=0..2,z=0..1,axes=FRAMED,colour=black);↵



หมายเหต fieldplot, fieldplot3d เปนคาสงเขยนกราฟของสนามเวกเตอร

3.9 การเขยนกราฟของ gradient vector

ตวอยาง การเขยนกราฟ gradient ของฟงกชน f(x, y) = 2x y บนชวง [-2, 2] × [–1, 1]

และการเขยนกราฟ gradient ของฟงกชน f(x, y, z) = 2x + yz บนชวง [0, 1] × [0, 1] × [0, 1]


with(plots):↵

พมพ gradplot(x^2*y,x=-2..2,y=-1..1);↵


พมพ gradplot3d(x^2+y*z,x=0..1,y=0..1,z=0..1,axes=FRAMED,colour=black);↵


หมายเหต gradplot, gradplot3d เปนคาสงเขยนกราฟของ graddient vector field


3.10 การปรบรปแบบกราฟใหสวยงาม

โปรแกรม Maple มคาสงในการปรบรปแบบของการเขยนกราฟไดหลายลกษณะ โดยมคาสงทสาคญและนยม

ใชงานดงตอไปน

คาสง หนาทและตวอยางการใชงาน

colour กาหนดสของเสนกราฟ เชน colour = black, colour = red

thichness กาหนดความหนาของเสนกราฟ เชน thickness = 1, 2 , 3, ...

style

symbol

numpoints

symbolsize

style กาหนดรปแบบการเขยนกราฟแบบ line, point, patch, patchnogrid

symbol กาหนดสญลกษณการ plot จดเชน box([]). circle(o)

numpoints กาหนดจานวนจดในการ plot

symbolsize กาหนดขนาดของ symbol ในการเขยนกราฟ


linestyle กาหนดรปแบบของเสน เชน linestyle = SOLID, DOT, DASH, DASHDOT

filled กาหนดการแรเงาระหวางเสนโคงกบแกน X

axes กาหนดลกษณะของแกนพกด เปน FRAME BOXED NORMAL หรอ NONE

coords กาหนดพกดในการเขยนกราฟ เชน coords = polar เปนการเขยนกราฟเชงขว

title

legend

titlefont

labelfont

labels

label

directions

title= .... ใชแสดงคาอธบายประกอบกราฟ

legend=..... ใชแสดงคาอธบายประกอบเสนกราฟ

titlefont = [font, style, size] กาหนดรปแบบตวอกษรของ title

labelfont = [font, style, size] กาหนดรปแบบตวอกษรของ label

label = [textx, texty] เขยนคาอธบายประกอบแกน

labeldirections = [(HV), (HV)] ทศทางของการเขยนคาอธบายประกอบแกน

HORIZONTAL, VERTICAL


tickmarks

xtickmarks

ytickmarks

tickmarks = [m, n] กาหนดจานวนขดบอกสเกลบนแกน X และ แกน Y

xtickmarks = m กาหนดจานวนขดบอกสเกลบนแกน X

ytickmarks = n กาหนดจานวนขดบอกสเกลบนแกน Y

view view=[xmin..xmax,ymin..ymax] กาหนดขอบเขตของการแสดงกราฟ


discont สงใหเขยนกราฟของฟงกชนทนยามเปนชวงใหถกตองตามหลกคณตศาสตร

grid grid = [nx, ny] กาหนดจานวนเสน grid ของการเขยนกราฟพนผว หรอ contour

contours contours = จานวนเสนในกราฟแบบ contour


gridstyle gridstyle = rectangular ตเสน grid เปนรปสามเหลยม

gridstyle = triangular ตเสน grid เปนรปสเหลยม

orientation orientation = [theta, phi] กาหนดการหมนของภาพทตองการ

scaling scaling = UNCONSTRAINED ไมควบคมอตราสวนของสเกล

คา default คอ scaling = UNCONSTRAINED

scaling = CONSTRAINED ควบคมอตราสวนของสเกลใหเทากน

จะเหนไดวาสดสวนของแกน X และ แกน Y เทากน


ตวอยางกราฟในรปแบบตาง ๆ

ตวอยางท 1. กราฟของเสนโคง y = f(x), y= f′(x) และ y= f′′(x)

ตวอยางท 2. กราฟของพนผว 4z = 2x + 2y และ 4z = 1 – 2x – 2 2y บนชวง [–1, 1] × [–1, 1]


ตวอยางท 3. การเขยนกราฟบนสเกล (x, y), (x, logy), (logx, y), (logx, logy)

3.11 การปรบรปแบบกราฟใหสวยงามโดยใช icon ของคาสงทเมนบาร

เพอใหเขาการใชงานของคาสง Format กราฟจาก icon ของคาสงทเมนบารขอใหเขยนกราฟรปน กอน เพอเปน

ตวอยางในการศกษาคาสง

1. พมพคาสง with(plots): เพอเรยก package ของการเขยนกราฟ

2. คาสงเขยนกราฟพนผวรปอานมา

3. เมอ Maple เขยนกราฟเสรจแลว curser จะรอคาสงตาง ๆ ตอไป

4. เมนปกตกอนทเราจะทาการ Format กราฟ


การเรยกเมนของการ Format กราฟใหนาเมาสมาคลกทรปกราฟ จอภาพและเมนจะเปลยนแปลงไปเปนดงน

เมนบารตรงหมายเลข 4

จะเปนเมนของการ Format

กราฟเชน

1. กาหนดองศาของการหมนรอบแกนแนวดง

2 กาหนดองศาของมมกมหรอมมเงยในการมองภาพ

3. เลอกรปแบบของการเขยนกราฟในลกษณะตาง ๆ

4. เลอกรปแบบของการแสดงแกนพกดของกราฟในรปแบบตาง ๆ

ตวอยางของการ Format กราฟแบบตาง ๆ เชน

1. กาหนดองศาของการหมน

รอบแกนแนวดง 30 องศา

2 กาหนดองศาของมมกม

หรอมมเงย 30 องศา

3. เลอกรปแบบ

ของการเขยนกราฟแบบรางแห

4. เลอกรปแบบของ

การแสดงแกนพกดแบบ Boxed

หมายเหต การหมนกราฟสามารถ

ทาไดโดยการนาเมาสไปคลกทรป

แลวใชการเลอนเมาส แทนการหมน

ของกราฟ

หมายเหต สาหรบกราฟ 2 มตเมอนาเมาสมาคลกทรปกราฟ จะไดเมนยอยของการ Format กราฟเหมอนกน

บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Maple Maple – 45

บทท 4.

การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม Maple

การคานวณทางคณตศาสตรโดยใชโปรแกรม Maple เชนใชเปนเครองคดเลข ชวยในการเขยนกราฟ หา

รากสมการ การคานวณตาง ๆ เหลาน โปรแกรม Maple จะสามารถทาได แตเพอความสะดวกในการทางาน

เราควรจะศกษาการใชงานในระดบพนฐานตาง ๆ เชนการพมพสตร การนาสตรเกากลบมาใชใหม การอางถง

ผลลพธเพอนากลบมาใชใหม การบนทกแฟมขอมล และคาสงสาเรจรปทางคณตศาสตรทสาคญ

4.1 การกาหนดใหแสดงผลลพธตามทตองการ

เมอเขามาสการทางานโปรแกรม Maple ครงแรก

ในการคานวณคาตาง ๆ ควรมความร พนฐานในการใชงานดงน

1. สตรการคานวณทพมพเสรจแลวเมอตองการให Maple ทาการคานวณตองพมพ ;↵

2. ถากด ↵ โปรแกรมจะไมทาการคานวณ

3. ในกรณทตองการขนบรรทดใหมภายในคาสง ใหพมพ <Shift>+↵

4. การสงให Maple คานวณสตรทพมพ แตไมตองแสดงผลของคาสงนน

ทาไดดวยการกด :↵

กรณอน ๆ ของการใชงานขออธบายในรปแบบของตารางดงน (ถาผอานพมพตามดวยกจะเขาใจมากขน)


ในกรณทจานวนเตมหารกน โปรแกรม

Maple จะแสดงผลในรปแบบเศษสวน


หมายเหต เมอเขาครงแรก Maple จะแสดงผล เปน

เลขนยสาคญ 10 ตว

เพราะวา 9. ไมเปนจานวนเตม Maple

จงแสดงผลเปนเลขทศนยม

เพราะวา 20. ไมเปนจานวนเตม

Maple จงแสดงผลเปนเลขทศนยม

กาหนดใหแสดงเลขนยสาคญ 5 ตว

เพราะวาเราสงใหแสดงผลดวยเลข

นยสาคญ 5 ตว จงไดผล 2.2222

เพราะวาเราพมพ :↵ โปรแกรมทาตามคาสง แตไม

พมพผลของคาสงททาออกมาให

กาหนดการแสดงผลดวยตวเลข

นยสาคญ 10 ตาแหนงเหมอนคา

default ตามปกตของ Maple

แสดงผลเลขนยสาคญ 10 ตว

ตามปกตแลว

ตวเลขทมคามากเกนไป จะแสดงผล

เปนเลขยกกาลง

ตวเลขทมคานอยเกนไป จะแสดงผล

เปนเลขยกกาลง

ขอแตกตางระหวางการกาหนดคาดวย := และ =


กาหนดคาใหกบตวแปร x มคาเปน

จานวนเตม 2

เพราะวา x มคาเปนจานวนเตมผลการ

คานวณจงแสดงในรปสญลกษณ

กาหนดคาใหกบตวแปร x มคาเปน

จานวนจรง 2.

เพราะวา x มคาเปนจานวนจรง ผลการ

คานวณจงแสดงในรปตวเลข

คาสงน ไมใชการกาหนดคาของ y

เพราะวา y ไมมคา จงไมมผลการ

คานวณ แตไดผลในรปแบบสมการ


4.2 การแทรกบรรทดคาสง การลบบรรทดคาสง และการ copy บรรทดคาสง

การนาผลการคานวณเกาทเคยคานวณไวแลวกลบมาใชใหม (สมมตผลการคานวณบนจอภาพเปนดงน)

ตาแหนงท 1.

เปนตาแหนงสาหรบพมพคาสงการทางานบรรทดตอไป

เราตองการแทรกบรรทดคาสงทตาแหนง 3.

มวธทาดงน

ขนท 1. คลกเมาสทเสน [ ตรงหมายเลข 2.

ผลบนจอภาพจะเหนวาขอบของเสน [ จะหนาขน

ขนท 2. กด ↵ จะไดบรรทดคาสงใหมดงน

คาสงคานวณใหมไดตามตองการเชน 5!;↵ จะไดผลดงน

การลบบรรทดคาสง มขนตอนดงน

(สมมตตองการลบบรรทดคาสงหมายเลข 4. ทง)



ขนท 2. กด <Ctrl> + <Delete>

บรรทดคาสงตรงหมายเลข 4. จะหายไปดงรป

ใหคลกเมาสตรงหมายเลข 1. เพอคานวณคาอน ๆ ตอไป

การ copy บรรทดคาสง

(สมมตตองการ copy บรรทดคาสงหมายเลข 5.

มาแทนบรรทดคาสงหมายเลข 1.)




ขนท 2. กด <Ctrl> + C เพอ copy

ขนท 3. คลกเมาสทบรรทดตรงหมายเลข 1. แลวกด <Ctrl> + V เพอ paste จะไดผลดงน

4.3 การบนทกแฟม

จากตวอยางการทางานขางตน การ save แฟมขอมลมขนตอนดงน


ขนท 2. เลอกคาสงยอย Save

จะไดเมนยอยของการบนทกแฟมขอมล

ขนท 3. พมพชอแฟมเชน Newfile แลวคลกแปน Save

4.4 การเปดแฟมขอมล

ขณะทางานใน Window ของ Maple

การเปดแฟมขอมลมขนตอนดงน


ขนท 2. เลอกคาสงยอย Open


ขนท 3. พมพชอแฟมเชน Newfile แลวคลกแปน Open

จะไดแฟมเกาทบนทกไวเพอจะไดทางานตอไป


โปรแกรม Maple มฟงกชนทางคณตศาสตรทสาคญดงน


abs(x) คาสมบรณของ x หรอ คาสมบรณของจานวนเชงซอน a + bi

หมายเหต I หมายถง 1−

Re(z),

Im(z)argument(z)

conjugate(z)

สวนจรง สวน จนตภาพ ของจานวนเชงซอน z

คาอารกวเมนตของจานวนเชงซอน z

คาสงยค ของ z


exp(x) เอกซโพเนนเชยลฟงกชน ( xe )

trunc(x) ปดเศษของจานวนจรง x ใหเปนจานวนเตมดานทมคาเขาใกล 0

frac(x) จานวนตรรกยะทตดสวนของจานวนเตมทงไป

ceil(x) จานวนเตมทเลกทสดทมคามากกวาหรอเทากบ x

round(x) การปดเศษจานวนจรง x ใหเปนตวเลขจานวนเตมทใกลทสด

floor(x) จานวนเตมทใหญทสดทมคานอยกวาหรอเทากบ x

ln(x)

log(x)

log10(x)

log[b](x)

ln(x) คาลอกาลทมฐาน e

log(x) คาลอกาลทมฐาน e

log10(x) คาลอกาลทมฐาน 10

log[b](x) คาลอกาลทมฐาน b

a mod b

modp(a, b)

mods(a, b)

เศษเหลอจากการหาร a ดวยจานวนเตม b

เศษเหลอจากการหาร a ดวยจานวนเตม b (เศษทมคาเปนบวก)

เศษเหลอจากการหาร a ดวยจานวนเตม b (เศษทมคาเปนลบ)

sign(พหนาม)

signum(x)

เทากบ +1 ถา สมประสทธนา na > 0 และเทากบ –1 ถา na < 0

เทากบ +1 ถา x > 0 และเทากบ –1 ถา x < 0

และ signum(0)= 0, sign(0) = 0

sqrt(x) รากท 2 ของ x


sin(x), cos(x)

tan(x), sec(x)

csc(x), cot(x)


arcsin(x)

arccos(x)

arctan(x)

arcsec(x)

arccsc(x)

arccot(x)


sinh(x), cosh(x)

tanh(x), sech(x)

csch(x), coth(x)


arcsinh(x)

arccosh(x)

arctanh(x)

arcsech(x)

arccsch(x)

arccoth(x)


คาสงของการจดรปพชคณต


convert, parfrac convert(f(x), parfrac, x)

เขยนเศษสวนของพหนาม f(x) ในรปแบบผลบวกของเศษสวนยอย

simplify(f(x)) จดรปแบบพชคณตใหเปนรปแบบอยางงาย


combine(f(x)) จดรปแบบใหเปนรปแบบอยางงาย

expand(f(x)) กระจายสตรของฟงกชน

collect(f, x) จดรปแบบพชคณตโดยการกระจายตามพจนของตวแปรทกาหนด

factor(f(x)) แยกตวประกอบ

denom(f(x))

numer(f(x))

ใชในการหาพหนามสวนของ f(x)

ใชในการหาพหนามทเปนเศษของ f(x)

คาสงเกยวกบผลบวก และ ผลคณ


sum

Sum

add

sum คานวณหาผลรวม

Sum แสดงการคานวณในรปแบบสญลกษณ

add คานวณหาผลรวม


product(f(i), i = a .. b)

Product(f(i), i = a .. b)

mul(f(i), i = a .. b)

หาผลคณ f(i) โดย i เปลยนคา จาก a ถง b

สญลกษณผลคณ f(i) โดย i เปลยนคา จาก a ถง b

หาผลคณ f(i) โดย i เปลยนคา จาก a ถง b

คาสงเกยวกบ ฟงกชน ลมต อนพนธ และ อนทเกรต


f:=x–>...

f(a)

f:=x–>......เปนการกาหนดสตรฟงกชน

คาของ f(a)

limit(f(x), x = a)

limit(f(x), x = a,

right)limit(f(x), x = a,

left)

limit(f(x), x = infinity)

limit(f(x), x = –infinity)

หมายถง )x(flimax→

, )x(flimax +→

, )x(flimxah −→

, )x(flimx ∞→

,

)x(flimx −∞→


Diff(f, x)

Diff(f, x, x)

Diff(f, x$k)

Diff(f, x, y, ..)

diff(f, x)

อนพนธ หรออนพนธยอยของ f เทยบกบ x

อนพนธ หรออนพนธยอยอนดบ 2 ของ f เทยบกบ x

อนพนธ หรออนพนธยอยอนดบ k ของ f เทยบกบ x

อนพนธ หรออนพนธยอยของ f เทยบกบ x, y, ...

หมายเหต Diff จะไดผลเปนสญลกษณของอนพนธ

ditt จะไดผลเปนสตรของอนพนธหรอคาตวเลข

อนพนธ หรออนพนธยอยของ f เทยบกบ x


diff(f, x, x)

diff(f, x$k)

diff(f, x, y, ..)

อนพนธ หรออนพนธยอยอนดบ 2 ของ f เทยบกบ x

อนพนธ หรออนพนธยอยอนดบ k ของ f เทยบกบ x

อนพนธยอย

D(f)

D[i](f)

D(f)(a)

(D@@k)(f)

ดฟเฟอเรนเชยลของ f

D[i](f) = ดฟเฟอเรนเชยลของ f เทยบกบตวแปรลาดบท i

และ D[](f) คอ f

ดฟเฟอเรนเชยลของ f ท x = a

ดฟเฟอเรนเชยล )k(D (f)


Int(f, x)

Int(f, x = a .. b)

int(f,x)

int(f, x = a .. b)

Int(f, x) แสดงผลเปนสญลกษณอนทเกรต fdx∫

Int(f, x = a .. b) แสดงผลเปนสญลกษณอนทเกรต dx)x(fb

a∫

int(f,x) แสดงผลเปนสตร, int(f, x = a ..b ) = dx)x(fb

a∫

คาสงคณตศาสตรขนสง


laplace(f(t), t, s)

invlaplace(F(s), s, t)


ตองมการเรยก package

with(inttrans):

ผลการแปลงลาปลาซของ f(t)

ผลการแปลงลาปลาซผกผนของ F(s)

taylor(f, x = a, k)

series(f, x = a, k)

พหนามเทยเลอรของ f รอบจด x = a ดกรไมเกน k


คาสงในการหารากสมการ และ ผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ


RootOf(f, x)

RootOf(f, x, a)

RootOf(f, x, a..b)

allvalues(RootOf(f, x))

allvalues(RootOf(f, x,

a..b))

รากของสมการ f(x) = 0

รากของสมการ f(x) = 0 ทประมาณจากคาเรมตน a

รากของสมการ f(x) = 0 บนชวง (a, b)

แสดงคารากของสมการ f(x) = 0

แสดงคารากของสมการ f(x) = 0 บนชวง (a, b)

1. solve(eq1=eq2)

2. solve(eq1=eq2, x)

3. solve({eq1=eq2,

eq3=eq4, ...})

4. fsolve(eq = eq2, x)

หาผลเฉลยของสมการ eq1 = eq2

หาคา x จากของสมการ eq1 = eq2

หาผลเฉลยของระบบสมการ eq1 = eq2, eq3 = eq4, ...

หาผลเฉลยของสมการ eq1 = eq2


dsolve(equ1)

dsolve({equ1, equ2, ..})

หาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ

หาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ

คาสงประมวลผล


eval ประมวลผลโดยการแทนคา

evalf(x, n) ประมวลผลคาตวเลขโดยการแทนคา และแสดงผลดวยตวเลข

นยสาคญ n ตว

evalm ประมวลผล และแสดงผลในรปเมทรกซ

evalc ประมวลผลจานวนเชงซอน

บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Maple Maple – 57

บทท 5.

การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Maple

การทางานใน Maple มลกษณะของการทางานทใกลเคยงกน ของ สตรคลายฟงกชน ฟงกชนจรงทเรานยาม

สตรตามความหมายทางคณตศาสตร ฟงกชนทนยามสตรในรปแบบโปรแกรม และ โปรแกรมประยกตใชงาน

ตวอยางการกาหนดสตรคลายฟงกชน f:= สตรในเทอมของตวแปร

ตวอยางการคานวณ ความหมายและคาอธบาย

การกาหนดแบบน

หมายความวาตวแปร f มคาเปนพหนาม

ตวแปร f นสามารถทาการ แยกตวประกอบ

หาอนพนธ ทาการอนทเกรตได

หรอจะคานวณคา f เมอ x = 2 กได แตตอง

ใช evalf เขามาชวย

แตพอจะคานวณในความหมายของฟงกชน

ทางคณตศาสตร f(2) จะไมสามารถทาได

ตวอยางการกาหนดสตรฟงกชน f:= x –> ... สตรในเทอมของตวแปร


การกาหนดแบบน

มหมายความวา f เปนฟงกชนทางคณตศาสตร

การแยกตวประกอบ factor(f) จะทาไมได

ตองใช factor(f(x)) จงจะใชได

การหาอนพนธกตองพมพในความหมายของ

ฟงกชนคอ diff(f(x), x)


การอนทเกรต ตองพมพในความหมายของ

ฟงกชนคอตองอางสตรในรปแบบ f(x) เสมอ

เพราะวา f(x) มความหมายเปนฟงกชน

เพราะฉะนน f(t) จงเปน 2t + 2t – 3

และ f(sin(t)) จงเปน )t(sin2 + 2sin(t) – 3

และ f(3) มคาเปน 12

หมายเหต การเปลยนฟงกชน จากรปแบบ f:= ... ใหเปนฟงกชนในรปแบบ f:=x->... ใชคาสง unapply

หาคา f(2) ไมไดเพราะวายงเปนตวแปร f ทมคาเปนสตร

ฟงกชน 2x + 2x – 3

หาคา f(2) ไดแลว เพราะวาขณะน f เปนฟงกชน 2x + 2x – 3

ตวอยางการกาหนด ฟงกชนทนยามสตรในรปแบบโปรแกรม


การกาหนดฟงกชนในรปแบบ

f:= proc.......

.....

.....end

ฟงกชน f ทไดจะเหมอนกบการกาหนด

f:=x-> x^2 + 2x – 3

การคานวณ diff, int, factor และ การคานวณ

คาตาง ๆ จะมผลเหมอนกน

หมายเหต การกาหนดฟงกชน f:=proc...end นยมใชกบฟงกชนทมโครงสรางซบซอน หรอตองการให f

ทางานคลาย ๆ กบโปรแกรมยอยทเรยกวา procedure

ตวอยาง ฟงกชนหาคาสงสด – ตาสด


ตวอยาง ฟงกชนทนยามเปนชวง เชน f(x) =

>≤

2x,x2x,x

3

2

หมายเหต การกาหนดฟงกชนทนยามเปนชวงสามารถใชคาสง piecewise

การเขยนโปรแกรมโดยใชคาสงตาง ๆ ของ Maple จากแผนภมสายงาน

เรมตน ↓






สวนของ INPUT คอ การกาหนดคา a, b, c

สวนประมวลผล คอ การคานวณคา s และ area

สวนแสดงผล คอ การพมพคา area

ขนตอนการเขยนโปรแกรมมดงน

ขนท 1. เขาสการทางานของ Maple

ขนท 2. พมพโปรแกรม ดวยคาสงตาง ๆ ตามทตองการ


a:=3:<Shift>↵

หมายเหต 1. กด <Shift>↵

เพอขนบรรทดใหม โดยไมคานวณ

จะเหนวา Curser รอทบรรทดถดไป โดยยงไมคานวณ


b:=4:<Shift>↵

c:=5:<Shift>↵

s:=(a+b+c)/2:<Shift>↵

area:=sqrt(s*(s–a)*(s–b)*(s–

c)):<Shift>↵

printf(“area = %10.4f”,area);↵

ผลการคานวณทได คอ area มคาเทากบ 6

ทดลองเปลยนคา a, b, c ใหมเปน a:=5, b:=12, c:=13 แลวกด ↵ จะไดผลการคานวณใหมดงน

การบนทกโปรแกรม

ขนท 1. คลกทคาสง File\Save

ขนท 2. เลอกบนทกชอตามตองการ (สมมตตองการบนทกชอเปน Findarea)

เมอเรา Save โปรแกรมแลว ชอชวคราว Untiled–1 จะเปลยนเปน Findarea.nb ตอไปขอใหปดการทางานของ

โปรแกรม Maple แลวกลบเขามาใหมอกครง เพอทดลองนาโปรแกรมเกากลบมาทางาน

ขนท 1. เปดแฟมโปรแกรมดวยคาสง File\Open จะไดเมนยอยของการเปดแฟมขอมล

ขนท 2. พมพชอ Findarea เสรจแลวคลก Open

แกไขคา a, b, c ใหมเชน a:=10, b:=8, c:=6 แลวกด ↵ จะไดผลการคานวณใหมดงน


หมายเหต เมอกาหนดจดยอดของสามเหลยม ABC มาให A( 0x , 0y ), B( 1x , 1y ), C( 2x , 2y )

พนทสามเหลยม = 21 | det(

02020101

yyxxyyxx

−−−− )| = 2

1 |( 1y – 0y )( 2x – 0x ) – ( 1x – 0x )( 2y – 0y )|

โปรแกรมการหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดพกดจดยอด 3 จด เปนดงน


คาสงตาง ๆ ทควรทราบเพอใชในการเขยนโปรแกรมของ Maple


print

printf

ใชพมพ ขอความ

ใชพมพ ขอความ และ ตวแปร ตวอยางเชน


%n.df เปนรปแบบการพมพ เลขนยสาคญ n ตว และทศนยม d ตาแหนง

for...

from ...

by...

to...

while...

do

...

end do

for ตวแปรเรมตน เชน i

from คาเรมตนของตวแปรในลบ for

by คาเพมขนสาหรบตวแปร i (ถาไมม by i จะเพมคาทละ 1)

to คาของตวแปรสนสด เชน 12 แปลวาลป for หยดทางานเมอ i > 12

while เงอนไข ถาเงอนไขน เปนเทจ แลวลป for หยดทางาน

do

กลมของคาสงทตองการทางานในลป for

end do จบการทางานของลป for

ตวอยางท 1.

ไมมคาสง by เพราะฉะนนตวแปร i มคาเพมครงละ 1

ตวอยางน ไมมการตรวจสอบเงอนไขของการทางาน while



มคาสง by กาหนดใหตวแปร i มคาเพมครงละ 2

และไมมการตรวจสอบเงอนไขของการทางาน while


มคาสง by กาหนดใหตวแปร i

มคาเพมครงละ 2

มการตรวจสอบเงอนไขของการทางาน while

เพราะฉะนนโปรแกรมจงหยดทางานเมอ i มคา

ถง 7 และหยดทางานเมอ i เทากบ 9


1. if cond1 then comm1 fi

2. if cond1 then comm1

else comm2 fi

3. if cond1 then comm1

elif cond2 then comm3

else comm2 fi

1. ถา เงอนไข cond1 เปนจรง ใหทา comm1


ถา เงอนไข cond1 เปนเทจ ใหทา comm2


ถา เงอนไข cond1 เปนเทจ และ cond2 เปนจรง

ใหทา comm3

ถา เงอนไข cond1 เปนเทจ และ cond2 เปนเทจ

ใหทา comm2



โปรแกรมท 3. การหาราก f(x) = 0 โดยใชสตรของนวตน )x(f

)x(fxxn

'n

n1n −=+ เมอกาหนดคาเรมตน 0x

ตวอยาง การหารากของสมการ f(x) = 2x – 2, 0x = 1

ผลการคานวณคอ

เปรยบเทยบกบ 2 = 1.4142135623730950488

โปรแกรมท 4. การหาผลเฉลยเชงตวเลขของสมการเชงอนพนธ dxdy = f(x, y) เมอกาหนด y( 0x ) = 0y

การหาคาประมาณของ y(c) โดยวธของออยเลอร

ตวอยาง dxdy = xy และ y(1) = 1 จงหาคาประมาณของ y(1.5)



เพราะฉะนนคาประมาณของ y(1.5) คอ 1.7616392640

ถาตองการความถกตองมากขน ตองลดขนาดของ h ใหเลกลงเชน h = 0.01, 0.001, ...

หมายเหต การหาคาจรงของ y(1.5) เมอ dxdy = xy และ y(1) = 1

ผลของคาสง dsolve จะไดคาตอบ y(x) = 212x

e−

และ y(1.5) = 1.868245957

บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Maple Maple – 65

บทท 6.

การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Maple

ในบทนจะเปนการนาความสามารถของ Maple มาใชในการคานวณเพอเสรมการเรยนการสอนคณตศาสตร

ระดบมธยมศกษาตอนปลายโดยจาแนกเนอหาคณตศาสตรตามระดบ ม. 4 – ม. 6





4. การเปลยนเลขฐาน 8 เลขฐาน 16 เปนเลขฐาน 10 และการคานวณ









5. การแยกตวประกอบ และ กระจายพหนาม

6. การหาคาตอบของสมการพหนาม เชนการหารากของ 2x – 2 = 0




3. กราฟของฟงกชนตรโกณมต y = sinx, y = cosx

4. การหาคาสถตเบองตนเชน คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน ความแปรปรวน สวนเบยงเบนมาตรฐาน





การเขยนกราฟของพาราโบลา 2y = x

การเขยนกราฟของวงร 11y

16x 22

=+

การเขยนกราฟของไฮเพอรโบลา 14x

9y 22

=−



3. กราฟของฟงกชนตรโกณมต เชน y = sinx, y = cosx



1. การคานวณคา และ การเขยนกราฟของ y = xa และ y = xloga การทาตารางคา log และ เลขยกกาลง





1. การคานวณคา และ การเขยนกราฟของ y = xa และ y = alog x การทาตารางคา log และ เลขยกกาลง







การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 3y = 2

5x + 8y = 1

การแปลงแถวเมทรกซ โดยใชคาสง with(LinearAlgebra) เรยก package การคานวณเกยวกบการแปลงแถว

RowOperation(A, i, k) คอแถวท i ถกคณดวยคาคงตว k

RowOperation(A, [i, j], inplace = true) คอการสลบแถว i กบ j

RowOperation(A, [i, j], k) คอแถวท i ถกบวกดวย k เทาของแถวท j













2. การหาลมตของฟงกชน และอนพนธของฟงกชน และ อนพนธอนดบสง และ การเขยนกราฟของ f, f′ 3. การหาคาอนทกรล การหาสตรอนทกรล และ การหาพนทใตโคง


1. การหา ลาดบ ลมตของลาดบ ผลบวกของอนกรม และ สตรผลบวกของอนกรม

32

2n31n2lim

n=

++

∞→

210n(ni

n

1 i

+=∑=

43

)2n(n1

n

1 i=

+∑=

2. การหาลมตของฟงกชน อนพนธของฟงกชน และ อนพนธอนดบสง และ การเขยนกราฟของ f, f′


3. การหาคาอนทกรล การหาสตรอนทกรล และการหาพนท









2. กราฟแผนภาพการกระจายของขอมล ตวอยางขอมลเชน

x y 2 3 4 7 9 12 10 15 14 22



สมการแสดงความสมพนธของขอมลคอ y = 464699 x + 464

23 = 1.50647x + 0.049596

6.7 Maple กบการเฉลยขอสอบคณตศาสตร Entrance


0x

lim→ 3x


1. 0 2. 41

3. 21 4. 1

การคานวณดวย Maple



ถา xsin1

1−

+ xsin1

1+

= 8 โดยท π < x < 2


1. 2

13 − 2. 2

13 +

3. 2

13 −− 4. 2

13 +−






บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple Maple – 75

บทท 7.

เสรมการคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple

ในระดบอดมศกษามปญหาทางดานการคานวณมากมาย หากนกเรยน นสต นกศกษา หรอ อาจารยผสอน

ไดนาความสามารถของโปรแกรมสาเรจรป Maple มาใชในการคานวณกจะทาใหเกดประโยชนอยางมาก ในบท

นจงไดยกตวอยางการคานวณทางคณตศาสตรระดบอดมศกษา จาแนกเปนกลมตางๆ ดงน



7.1 เสรมการคานวณแคลคลสดวย Maple







หมายเหต คาของ dx)6x4x( 23

1

+−∫ = 314


7.1.6 การแทนฟงกชนดวยพหนามเทยเลอร เชน พหนามเทยเลอรของ sin(x), arctan(x), cos(x), ln(x)

7.1.7 การเขยนกราฟในพกดเชงขว ตวอยางเชนกราฟของ r = 4cos(2t) และ r = 1 + cost, r = sin(t)

7.1.8 การเขยนกราฟสมการพาราเมตรก เชนกราฟของ r(t) = (t, 2t ) บนชวง 0 < t < 5



7.1.10 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรกใน 3 มต

7.1.11 การเขยนกราฟแบบแรเงาและการหาพนท

7.1.12 การหา dxdy ของฟงกชนทนยามโดยนย ตวอยางเชน ความสมพนธ 2x + 2y - xy + 4x - 2y = 0

เพราะฉะนน dxdy = 2xy2

4yx2++−+−

หมายเหต subs เปนคาสงใหแทนคาทกาหนดลงในสมการหรอสตรทตองการ


7.1.13 การประมาณคาอนทกรลโดยใชผลบวกรมนน จาแนกเปนผลบวกซาย (left sum) ผลบวกขวา (right

sum) และ ผลบวกจดกงกลาง (middle sum) ตวอยางเชน กาหนดให f(x) = 2x + 4 บนชวง [1, 5]

1. กาหนดฟงกชน

2. เรยก package การเขยนกราฟ

3. เรยก package student

4. คาสง leftbox(f(x), x=a..b, n)

เขยนกราฟแทงแสดง

พนทใตโคง y = f(x) บนชวง [a, b]

โดยแบงชองยอยออกเปน n สวน

และใชความสงของแทงสเหลยม

จากคาฟงกชนของจดทางซายของชวงยอย

5. leftsum(f(x), x=a..b, n) เปนคาสงหาผลบวก

ของพนทสเหลยมทงหมดทเกดจาก

คาสง leftbox(f(x), x=a..b, n)

6. คาสง middletbox(f(x), x=a..b, n) เขยนกราฟแทงแสดงพนทใตโคง y = f(x) บนชวง [a, b] โดยแบง

ชองยอยออกเปน n สวน และใชความสงของแทงสเหลยมจากคาฟงกชนของจดกงกลางของชวงยอย

7. middlesum(f(x), x=a..b, n) เปนคาสงหาผลบวกของพนทสเหลยมทงหมดทเกดจากคาสง

middlebox(f(x), x=a..b, n)

8. คาสง rightbox(f(x), x=a..b, n) เขยนกราฟแทงแสดงพนทใตโคง y = f(x) บนชวง [a, b] โดยแบงชอง

ยอยออกเปน n สวน และใชความสงของแทงสเหลยม จากคาฟงกชนของจดทางขวาของชวงยอย

9. rightsum(f(x), x=a..b, n) เปนคาสงหาผลบวกของพนทสเหลยมทงหมดทเกดจากคาสง

rightbox(f(x), x=a..b, n)


7.2 เสรมการคานวณเกยวกบสมการเชงอนพนธดวย Maple



ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ dtdx – 2tx = t


ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ y′′ + 4y′ - 5y = 2 + x3e + sin(x)

ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ y′′ = xsinx, y′(0) = 2, y(0) = –1 อยางเปนขนเปนตอน

แตละขนตอนมความหมายดงน

1. solution1 ไดจากการอนทเกรต

xsinx แตไมมคาคงตว

2. เพราะวา y′(0) = 2

เพราะฉะนนแทนคา x = 0

ใน solution1 จะไดวา

yprime ตองมคาเทากบ 2

3. แสดงสตรของ y′(x)

4. solution1 ไดจากการอนทเกรต

sinx - xcosx + 2 แตไมมคาคงตว

5. เพราะวา y(0) = –1 เพราะฉะนนแทนคา x = 0 ใน solution2 จะไดวา y ตองมคาเทากบ -1

6. พมพสตรของ y ทตองการ



ตวอยางเชน L{sin(x)} = 1s

12 +

และ 1L− {1s

12 +

} = sinx

7.3 เสรมการคานวณเกยวกบการวเคราะหเชงตวเลขดวย Maple



เพราะฉะนนพหนามทผานจด (1, 2), (2, 5), (3, 13), (4, 20) คอ – 3x + 217 2x – 2

31 x + 10


เพราะฉะนนพหนามทผานจด 3 จดทกาหนดใหคอ 154 2x – 5

3 x + 1547




ตวอยาง การหารากของสมการ sinx – cosx = 0


ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนโดยใชคาสง solve

x + y + z = 12

x – y + z = 4

x + y – z = 2

ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนโดยใชคาสง linsolve

x – 2y = 1

2x – y = 5

หมายเหต คาสง linsolve(A, B) เปนคาสง

หาผลเฉลยของระบบสมการ AX = B

เพราะฉะนน ผลเฉลยของระบบสมการคอ x = 3, y = 1

การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน

โดยวธของเกาส-จอรแดน

x – 2y = 1

2x – y = 5

หมายเหต คาสง augment(A, B)

เปนคาสงรวมเมทรกซ A และ B ของระบบสมการ AX = B

ใหกลายเปนเมทรกซแตงเตม

คาสง gaussjord เปนคาสงหาเมทรกซลดรปเปนขนแบบแถว

เพราะฉะนนจากเมทรกซลดรปทได จะไดวา x = 3, y = 1


x + y = 7

เพราะฉะนนผลเฉลยของสมการคอ (3, 4) และ (4, 3)


7.3.4 การประมานคา y(c) เมอกาหนด )y,x(fdxdy



เมอ h = nxc 0− , 1nx + = nx + h

จงหาคาประมานคา y(1) เมอกาหนด yxdxdy



7.4 เสรมการคานวณเกยวกบพชคณตเชงเสนดวย Maple



7.4.2 การหาคาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจง ของเมทรกซ

ตวอยาง การหาสมการลกษณะเฉพาะ คาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจงของเมทรกซ A =

3104

คาเจาะจงคอ 4 มการซา 1 ครง

และมเวกเตอรเจาะจงเปน (0, 1)

คาเจาะจงคอ 3 มการซา 1 ครง

และมเวกเตอรเจาะจงเปน (1, 1)

7.4.3 การหาเมทรกซลดรปเปนขนแบบแถวทสมมลกบ A , rank(A) มลฐานของปรภมเวกเตอรแถว มลฐาน

ของปรภมเวกเตอรหลก

7.4.4 การหาเมทรกซลดรปเปนขนแบบแถวทสมมลกบเมทรกซ A ตวอยางเชน A =

524115341263421

หมายเหต คาสง gaussjord(A) และ rref(A) ใชหาเมทรกซลดรปทสมมลกบ A


7.4.5 การแปลงแถวเมทรกซ และการแปลงหลกเมทรกซ

RowOperation(A, i, k) คอการแปลงแถว คาคงตว k คณแถวท i

RowOperation(A, [i, j], c)

คอการแปลงแถว แถวท i ถกบวกดวย c เทาของแถวท j

RowOperation(A, [i, j]) คอการแปลงแถว สลบแถว i กบ j


ColumnOperation(A, i, k)

คอการแปลงหลก คาคงตว k คณหลก i

ColumnOperation(A, [i, j], c)

คอการแปลงหลก หลกท i ถกบวกดวย c เทาของหลกท j

ColumnOperation(A, [i, j])

คอการแปลงหลก สลบหลกท i กบ หลกท j

นอกจากนนยงมคาสง swaprow(A, i, j) สลบแถวท i กบ แถวท j

addrow(A, j, i, c) แถวท i ถกบวกดวย c เทาของแถวท j

mulrow(A, i, k) คาคงตว k คณแถวท i

swapcol(A, i, j) สลบหลกท i กบ หลกท j

addcol(A, j, i, c) หลกท i ถกบวกดวย c เทาของหลกท j

mulcol(A, i, k) คาคงตว k คณหลกท i

7.4.6 การหามลฐานเชงตงฉากปกตของ 3R

โดยใชกระบวนการของ Gram - Schmidt


111

, 2v =

110

, 3v =

100

}


577.0577.0577.0

, 2u =

−

408.0408.0816.0

, 3u =

−

707.0707.00

}


7.4.7 การหาเมทรกซ P ททาให 1P− AP เปนเมทรกซเฉยง (Orthogonal Diagonalization)

ตวอยางเชน A =

1221

โดยการใชคาสง jordan(A, 'P')

จะได P =

− 21

21

21

21

จะไดวา 1P− AP =

−

3001

ในกรณทเราตองการใหเมทรกซ P

เปนเมทรกซเชงตงฉากปกตใหทาตอ

โดยการแปลงทกหลกของ P ใหเปนเวกเตอรหนวย

เพราะฉะนนเลอกให P =

−2

12

12

12

1

จะไดวา TP AP =

−

3001

7.5 เสรมการคานวณเกยวกบความนาจะเปนและสถตดวย Maple


หมายเหต binomial(n, r) = )!rn( !r1n−

ฟงกชน b(x, n, p) = xnx )p1(p)!xn( !x!n −−−

เปนฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสมทวนาม


หมายเหต ฟงกชน p(x, µ ) มคาเทากบ !xe xµµ− เปนฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซง



หมายเหต f( 0x , µ , σ ) = 2)x(

e21 σ

µ−−

σπ

F( 0x , µ , σ ) = P(X < 0x ) เมอ X เปนตวแปรสมปกต คาเฉลย µ สวนเบยงเบนมาตรฐาน σ

zval(A, µ , σ ) = คาของ 0z ททาให P(z < 0z ) มคาเทากบ A


หมายเหต f(t, ν ) = 212

)t1()

2(

)2

1( +ν−

ν+

πννΓ

+νΓ

F( 0t , ν ) = P(t < 0t ) เมอ t เปนตวแปรสมท ระดบขนความเสร ν

tval(A, ν ) = คาของ 0t ททาให P(t < 0t ) มคาเทากบ A



หมายเหต f(x, ν ) = 2x

2

2

ex

)2(2

1 −ν

ννΓ

เปนฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมไคสแควร 2χ

ระดบขนความเสร ν และ F(k, ν ) = P( 2χ < k)

chival(A, ν ) = คาของ 0x ททาให P(x < 0x ) มคาเทากบ A


หมายเหต F เปนตวแปรสมเอฟ ระดบขนความเสร 1ν และ 2ν มฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปน

f(f, 1ν , 2ν ) = 2

21

2121

121

21

2121

)f1)(2()2(

f))(2(

ν+ν

−νν

νν

+ν

Γν

Γ

ννν+ν

Γ และ F(k, 1ν , 2ν ) = P(F < k)

fval(A, 1ν , 2ν ) คอคาของ k ททาให P(F < k) มคาเทากบ A


7.5.7 การหาสมการถดถอย และ การเขยนแผนภาพกระจายขอมล ตวอยางขอมลจากตาราง

สมการถดถอยเชงเสน คอ y = 41 + 20

171 x

สมการถดถอยในรปแบบพหนามดกรสองคอ y = 5629 + 35

118 x + 5629 2x

แผนภาพการกระจายของขอมลคอ

7.5.8 กราฟของแผนภาพการกระจายบนกราฟสเกล log

ตวอยางขอมลเชน กราฟบนสเกล (x, y) คอ

x y 1 14 3 23 5 35 7 64 9 79

x y 150 10 235 12 432 15 511 23 645 32 579 34 834 36 915 38


กราฟบนสเกล (x, logy) คอ

กราฟบนสเกล (logx, logy) คอ

กราฟบนสเกล (logx, y) คอ

7.6 เสรมการคานวณเกยวกบคณตศาสตรขนสงดวย Maple


ความหมายคอ tdtx

1∫ = 2x2

1 + 21

ความหมายคอ dtt1

12

2x

x +∫ = )x(tan)x(tan 121 −− −



ตวอยางการหาคา dxd ( tdt

x

1∫ ) = x

ตวอยางการหาคา dxd dt

t11

2

2x

x +∫ = 4x1

x2+

– 2x11+




หมายเหต BesselJ(v, x) คอ ฟงกชนเบสเซลชนดท 1 อนดบ v

BesselY(v, x) คอ ฟงกชนเบสเซลชนดท 2 อนดบ v



3

3=


2yx12)yx(

x=

∂∂


4342

2=

∂∂


3yx36)yx(

xy=

∂∂∂

7.6.6 การหาพหนามเลอจองด )x(Pn

กราฟของพหนามเลอรจองด

ฟงกชนและคาสงทสาคญ

Mathematics Mathcad Mathematica MATLAB Maple

π = 3.141592654 <Ctrl+Shift>+P Pi pi Pi, pi

i = 1− i, j , <Esc>ii<Esc> i I

x , n x x , n x Sqrt[x], x , n x sqrt(x) sqrt(x)

e = 2.7182818, xe xe , exp(x) E^x, Exp[x] exp(x) exp(x)

n! n! Factorial[n], n! factorial(n) factorial(n), n!

การกาหนดสตร f(x) f(x):=... f[x_]:=... สราง f.m file f:=x->...

ลอการทม ฐาน 10 log(x) Log[10, x] log(x) log10(x)

ลอการทม ฐาน e ln(x) Log[x] log10(x) log(x), ln(x)

sin(x) sin(x) Sin[x] sin(x) sin(x)

cos(x) cos(x) Cos[x] cos(x) cos(x)

tan(x) tan(x) Tan[x] tan(x) tan(x)

sec(x) sec(x) Sec[x] sec(x) sec(x)

cosec(x) csc(x) Csc[x] csc(x) csc(x)

cot(x) cot(x) Cot[x] cot(x) cot(x)

arcsin(x) asin(x) ArcSin[x] asin(x) arcsin(x)

arccos(x) acos(x) ArcCos[x] acos(x) arccos(x)

arctan(x) atan(x) ArcTan[x] atan(x) arctan(x)

arcsec(x) asec(x) ArcSec[x] asec(x) arcsec(x)

arccosec(x) acsc(x) ArcCsc[x] acsc(x) arccsc(x)

arccot(x) acot(x) ArcCot[x] acot(x) arccot(x)

คาสมบรณ | x | Abs[x] abs(x) abs(x)

อารกวเมนตของ z arg(z) Arg[z] angle(z) argument(z)

สวนจรงของ z Re(z) Re[z] real(z) Re(z)

สวนจนตภาพของ z Im(z) Im[z] imag(z) Im(z)

สงยคของ z z Conjugate[z] conj(z) conjugate(z)

det(A) | A | Det[A] det(A) det(A)

เมทรกซ 1A− A^-1 Inverse[A] inv(A), A^-1 inverse(A)

คาเจาะจงของ A eigenvals(A) Eigenvalues[A] [V, D] = eig(A) eigenvalues(A)

เวกเตอรเจาะจงของ A eigenvecs(A) Eigenvectors[A] [V, D] = eig(A) eigenvectors(A)

ขนาดของเวกเตอร u | u | Sqrt[u.u] norm(u) norm(u, 2)

u dot v u*v, yx ⋅ u.v, Dot[u, v] dot(u, v) u.v

DotProduct(u, v)

u cross v ( vu × ) yx × , <Ctrl>+8 Cross[u, v] cross(u, v) CrossProduct(u,v)

ฟงกชนและคาสงทสาคญ

Mathematics Mathcad Mathematica MATLAB Maple

ผลบวก Σ

Sum sum, symsum Sum, sum, add

ผลคณ Π

Product prod product, Product

ลมต Limit limit limit

อนพนธ D, Dt diff Diff, diff, D

อนทกรล Integrate int Int, int

อนกรมเทยเลอร series Series taylor series, taylor

ผลการแปลงลาปลาซ laplace LaplaceTransform laplace laplace

ผลการแปลง

ลาปลาซผกผน

invlaplace InverseLaplaceTra

nsform

ilaplace invlaplace

ฟงกชนแกมมา Γ(x) Gamma[x] gamma(x) GAMMA(x)

ฟงกชนเบสเซล J0, J1, Jn

Y0, Y1, Yn

BesselJ, BesselY bessej, bessely BesselJ, BesselY

ฟงกชนเลอจองด leg(n, x) LegendreP[n, z] legendre LegendreP

กราฟบนระนาบ XY Plot plot, ezplot plot

กราฟพกดเชงขว PolarPlot polar, ezpolar polarplot

กราฟ 3 มต Plot3D surf, ezsurf plot3d

กราฟ contour

ContourPlot

ContourPlot3D

contour, ezsurfc contourplot

contourplot3d

กราฟ scatter 3 มต Plot3D ezplot3 scatterplot

กราฟของ

สมการองตวแปรเสรม ParametricPlot

ParametricPlot3D

ezplot plot

spacecurve

การจดรปพชคณต simplify Simplify simplify, collect simplify

การกระจาย expand Expand expand expand

การแยกตวประกอบ factor Factor factor factor

การแยกเศษสวนยอย parfrac Apart residue convert

การหารากของสมการ root, lsolve, Find,

polyroots

Solve, FindRoot,

NRoots

solve, roots, fzero solve, fsolve,

rsolve, RootOf,

allvalues

การหาผลเฉลยของ

ระบบสมการ

Given-Find,

lsolve

Solve, NSolve solve, linsolve solve, linsolve

การหาผลเฉลยของ

สมการเชงอนพนธ

odesolve DSolve dsolve dsolve

หนงสอคมอเลมนเขยนเพอใหผอานทกทานสามารถใชโปรแกรมสาเรจรปทางดานการคานวณทม

ความสามารถสงมากในปจจบนได เชน พมพคาสงเพอคานวณคาทางคณตศาสตร เขยนกราฟของ

ฟงกชน โปรแกรมทกโปรแกรมมความสามารถทางดานการคานวณทสาคญเชน

• ทาการคานวณแบบเครองคดเลข

• กาหนดสตรของฟงกชนใชงานเองได

• เขยนกราฟไดหลายแบบ

• คานวณ เวกเตอร เมทรกซ จานวนเชงซอน

• แยกตวประกอบ และ กระจายสตร พหนามและฟงกชน

• คานวณคา ผลบวกอนกรม ลมต อนพนธ ปรพนธ

• หาผลเฉลยของสมการและผลเฉลยของระบบสมการ

• หาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ

• หาสตรเทยเลอร และ อนกรมของฟงกชน

• หาผลการแปลงลาปลาซ ฟงกชนเลอจองด ฟงกชนเบสเซล

โปรแกรมสาเรจรปทง 4 โปรแกรม มกลมของคาสงทสนบสนนการเขยนโปรแกรมประยกตใชงาน

เพอทผอานจะไดนาโปรแกรมประยกตไปแกปญหาทางดานคณตศาสตรทตองการได

จดจาหนายโดย ศนยหนงสอจฬาลงกรณมหาวทยาลย ถนนพญาไท เขตปทมวน กรงเทพฯ 10330

ศาลาพระเกยว โทร. 0 – 2218 – 7000 โทรสาร. 0 – 2255 – 4441

สยามสแควร โทร. 0 – 2218 – 9888 โทรสาร. 0 – 2254 – 9495

สาขา ม.นเรศวร จ.พษณโลก โทร. 0 – 5526 – 0162 – 5 โทรสาร. 0 – 5526 – 0165

CALL CENTER 0 – 2255 – 4433 http://www.chulabook.com

Education

Book คู่มือโปรแกรมสำเร็จรูป mathcad mathematica matlap maple