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Capítulo 9 145 Curso 1

ReforzamientoCircunferencia

9-2B

El radio de un círculo es 7 metros. Calcula el diámetro.

d = 2rd = 2 · 7 Reemplaza r con 7.

d = 14 Multiplica.

El diámetro es 14 metros.

Calcula el diámetro de un círculo con un radio de 13 pulgadas. Usa 3.14 para π. Redondea a la décima más cercana.

C = 2πr Escribe la fórmula

≈ 2 × 3.14 × 13 Reemplaza r con 13 y π con 3.14.

≈ 81.64 Multiplica.

Redondeada a la décima más cercana, la circunferencia es aproximadamente 81.6 pulgadas.

Ejercicios

Calcula el diámetro de cada círculo. Usa 3.14 para π. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

1.

5 m

2.

8 pulg

3.

21 pies

El diámetro de un círculo es el doble de su radio. d = 2r

El radio es la mitad del diámetro. r = d − 2

centroLa circunferencia es la distancia alrededor de un círculo.

El diámetro, d, es la distancia a través de un círculo pasando por el centro.

El radio, r, es la distancia desde el centro a cualquier punto sobre el círculo.

Ejemplo 1

7 m

Ejemplo 2

La circunferencia de un círculo es igual a C = π dπ veces el diámetro o π veces el doble del radio. C = 2π r

Otra aproximación para π es 22 − 7 . Esta aproximación es útil cuando

el radio o el diámetro es un múltiplo de 7.

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Calcula el diámetro de cada círculo con las dimensiones dadas

1. r = 13 cm 2. d = 4 pies 3. r = 10 mm

4. d = 16 pulg 5. r = 7 mi 6. d = 22 yd

Calcula el diámetro de cada círculo. Usa 3.14 ó 22 − 7 para π. Redondea

a la décima más cercana si es necesario.

7.

9 cm

8.

3 pulg

9.

11 m

10.

21 mi

11.

70 yd

12.

18 mm

13.

5 pies

14.

12 cm

15.

14 m

16.

17.5 km

17.

9 yd

18.

25 pies

9-2 Práctica de destrezasCircunferencia

B


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AReforzamientoÁrea de círculos

D

Calcula el área del círculo. Usa 3.14 para π.

A = π r2 Área de un círculo

A = 3.14 · 52 Reemplaza π con 3.14 y r con 5.

A ≈ 3.14 · 25 5 2 = 5 · 5 = 25

A ≈ 78.5

El área del círculo es aproximadamente 78.5 centímetros cuadrados.

Calcula el área de un círculo que tiene un diámetro de 9.4 milímetros. Usa 3.14 para π. Redondea a la décima más cercana.

A = π r2 Área de un círculo

A ≈ 3.14 · 4.72 Reemplaza π con 3.14 y r con 9.4 ÷ 2 ó 4.7.

A ≈ 69.4 Multiplica.

El área del círculo es aproximadamente 69.4 milímetros cuadrados.

Ejercicios

Calcula el área de cada círculo. Usa 3.14 ó 22 − 7 para π. Redondea

a la décima más cercana.

1. 7 pulg

2.

25 mm

3.

12 pies

Aproxima el área de cada semicírculo.

4. 28 m 5.

3 pies

El área A de un círculo es igual al producto de pi (π) y el cuadrado de su radio.

A = π r 2

Ejemplo 1

Ejemplo 2

La fórmula para el área de un semicírculo, o medio círculo, es A = 1 − 2 π r 2.

5 cm

9-2


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Calcula el área de cada círculo. Redondea a la décima más cercana. Usa 3.14 ó 22 −

7 para π.

1.

1 cm

2.

4 yd

3.

70 mm

4.

14 pulg

5.

4.3 pies

6.

8 cm

7. radio = 5.7 mm 8. radio = 8.2 pies

9. diámetro = 3 pulg 10. diámetro = 15.6 cm

Calcula el área aproximada de cada semicírculo.

11.

4.7 yd

12.

22.5 pulg

9-2D

Práctica de destrezasÁrea de círculos


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9-3 ReforzamientoPerímetro de figuras compuestas

La distancia alrededor de cualquier figura cerrada se llama perímetro. Para calcular el perímetro, suma las medidas de todos los lados de la figura.

Rectángulo El perímetro P de un rectángulo es el doble de la suma de la base b y la altura h.

P = b + b + h + h

P = 2b + 2h

Figuras compuestas

Una figura compuesta se compone de triángulos, cuadriláteros, semicírculos y otras figuras de dos dimensiones. Para calcular el perímetro de una figura compuesta, suma las distancias alrededor de la figura cerrada.

Ejemplos Calcula el perímetro de cada figura.

P = 2b + 2h Perímetro de un rectángulo P = 2(3) + 2(5) Reemplaza b con 3 y h con 5. P = 6 + 10 Multiplica. P = 16 Suma.El perímetro es 16 pies.

Calcula la circunferencia del círculo.

C = πd Circunferencia de un círculo C = 3.14(10) Reemplaza d con 10. C = 31.4 Multiplica.Como solamente necesitas la mitad de la circunferencia, divide entre 2.31.4 ÷ 2 = 15.7El perímetro es 10 + 10 + 10 + 15.7, ó 45.7 centímetros.

Ejercicios

Calcula el perímetro de cada figura. Usa 3.14 para π.

1. 1 pulg

4 pulg

1 pulg

4 pulg

2.

3 yd 3 yd

3 yd

10 yd12 10 yd1

2

3.

5 pies

5 pies

10 cm 10 cm

10 cm

5 pies

3 pies

5 pies

3 pies

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Práctica de destrezasPerímetro de figuras compuestas

Calcula el perímetro de cada figura. Usa 3.14 para π.

1.

2 pies

5 pies

2 pies

5 pies

2.

29 pulg

14 pulg

29 pulg

14 pulg

3.

4 pulg

4 pulg

4 pulg

4 pulg

4.

4 yd

5 yd

5 yd4 yd

11 yd

13 yd

11 yd

5.

9 km

7 km

2 km

3 km

4 km

7 km

6. 21 cm 21 cm

56 cm

56 c

m

7. 9 mi

4 mi

5 mi

9 mi

8.

6.2 km

2.7 km

9.4 km

7.1 km

9-3A


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C

9-3 ReforzamientoÁrea de figuras compuestas

Para calcular el área de una figura compuesta, sepárala en figuras cuyas áreas sepas calcular y luego suma las áreas.

Ejemplo Calcula el área de la figura de la derecha en pies cuadrados.

La figura se puede separar en un rectángulo y un trapecio. Calcula el área de cada figura.

Área de un rectánguloA = bh Área de un rectángulo

A = 12 · 8 Reemplaza b con 12 y h con 8.

A = 96 Multiplica.

Área de un trapecio

A = 1 − 2 h(b1 + b2) Área de un trapecio

A = 1 − 2 (4)(4 + 12) Reemplaza h con 4, b1 con 4 y b2 con 12.

A = 32 Multiplica.

El área de la figura es 96 + 32 ó 128 pies cuadrados.

Ejercicios

Calcula el área de cada figura. Redondea a la décima más cercada si es necesario.

1.

4 cm

6.5 cm

13 cm

6 cm

6 cm 2.

4 pulg 5 pulg

3. 18 mm

38 mm

11 mm

12 pies

4 pies

4 pies

8 pies

12 pies

4 pies

4 pies

12 pies

8 pies


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9-3C

Práctica de destrezasÁrea de figuras compuestas

Calcula el área de cada figura. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

1.

7 cm

7 cm

2.

7 mm5 mm

6 mm

3.

15 pulg5 pulg

10 pulg

30 pulg

15 pulg

4.

3 pulg 4 pulg

9 pulg

5.

13 m

9 m

7 m 6.

20 yd

9 yd11 yd

9 yd

4 yd 4 yd

7.

4 m

4 m

2 m

2 m

2 m

8. 1.3 pies

1.3 pies

3.5 pies

3.5 pies

3.5 pies

3.5 pies


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DReforzamientoInvestigación para resolver problemas: Haz un modelo

EXHIBICIONES El empleado de una tienda de abarrotes está exhibiendo las cajas de un nuevo cereal colocándolas en forma de pirámide. Si no desea tener más de 4 hileras en su exhibición, ¿cuál es el menor número de cajas de cereal que puede usar?

Comprende Las cajas de cereal se tienen que apilar en forma de pirámide. Debe haber solamente 4 hileras en la pirámide. Debemos calcular el número mínimo de cajas de cereal que se necesitan para formar una pirámide.

Planifica Haz un modelo para hallar el número de cajas de cereal que se necesitan.

Resuelve Usa un rectángulo para representar cada caja de cereal.

El menor número de cajas que se necesita es 4 + 3 + 2 + 1, ó 10 cajas.

Verifica Cuenta el número de cajas en el modelo. Hay 10 cajas.

Ejercicio

EMBALDOSAR Demarcus tiene 18 baldosas decorativas cuadradas para hacer un diseño en la pared de atrás del lavadero de la cocina. Él quiere colocarlas en una figura rectangular con el menor perímetro posible. ¿Cuántas baldosas habrá en cada hilera?

Al resolver problemas, una estrategia que resulta útil es haz un modelo. Si un problema tiene datos que se pueden representar visualmente, quizá sea útil hacer un modelo de la situación. Luego se puede usar el modelo para resolver el problema.

Puedes usar la estrategia de haz un modelo, junto con el siguiente plan de cuatro pasos para resolver problemas

1 Comprende – Lee el problema y entiéndelo en general.

2 Planifica – Haz un plan para resolver el problema y estimar la solución.

3 Resuelve – Usa tu plan para resolver el problema.

4 Verifica – Verifica la racionabilidad de tu solución.

Ejemplo

9-3


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9-3D

Práctica de destrezasInvestigación para resolver problemas: Haz un modelo

Usa la estrategia de haz un modelo para resolver.

1. PATIO José tiene 24 ladrillos cuadrados para colocar como piso de un patio pequeño donde piensa colocar el asador. Quiere ponerlos en una figura rectangular con el menor perímetro posible. ¿Cuántos ladrillos habrá en cada hilera?

2. MANUALIDADES Nyah está haciendo un collage de las fotos escolares de su amiga en una cartulina. Cada foto mide 2 pulgadas por 3 pulgadas y la cartulina mide 8 pulgadas por 16 pulgadas. ¿Cuál es el mayor número de fotos que Nyah puede poner en la cartulina sin que ninguna foto quede pisando otra y con todas las fotos mirando en la misma dirección?

3. LIBROS Una librería coloca sus libros de mayor venta en la vitrina de adelante. ¿De cuántas maneras se pueden colocar cuatro libros en una hilera?

4. PELOTAS DE BÉISBOL El dueño de una tienda deportiva está exhibiendo 200 pelotas de béisbol. Las coloca en forma de pirámide cuadrada. La capa de abajo tiene 64 pelotas de béisbol colocadas en forma de cuadrado. Para cada capa consecutiva de pelotas, coloca una pelota donde se unen 4 pelotas. ¿Cuántas capas habrá en la pirámide? ¿Cuántas pelotas sobran?


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ReforzamientoVolumen de un prismas rectangulares

Calcula el volumen del prisma rectangular.

Método 1 Usa V = bah. Método 2 Usa V = Bh.

V = bah V = Bh

V = 10 × 5 × 2 V = 50 × 2

V = 100 V = 100

El volumen es 100 pies3. El volumen es 100 pies3.

Ejercicios

Calcula el volumen de cada prisma.

1.

3 pies

4 pies

2 pies 2.

4 pulg

4 pulg

4 pulg

3.

5 yd

5 yd

20 yd

4. 1.9 cm

3.2 cm5.4 cm

La cantidad de espacio que hay adentro de una figura tridimensional es el volumen de la figura. El volumen se mide en unidades cúbicas. Esto te dice el número de cubos de cierto tamaño que se necesitan para llenar el prisma.

El volumen V de un prisma rectangular es el También puedes multiplicar el área de la base B producto de la base b, el ancho a y la altura h. por la altura h para calcular el volumen V.Símbolos V = bah Símbolos V = Bh

Modelo

a

h

b

Modelo

h

B

uidad cúbica

Ejemplo

5 pies

2 pies

10 pies

9-4B


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Práctica de destrezasVolumen de prismas rectangulares

Calcula el volumen de cada prisma.

1. 2 pulg

1 pulg4 pulg

2.

4 m

2 m7 m

3.

9 pies

6 pies

5 pies

4.

4 mm

1 mm

10 mm

5.

3 pulg2 pulg

10 pulg

6.

12 yd

10 yd

15 yd

7.

2 pulg

3 pulg5 pulg

8. 2 pies5 pies

20 pies

9.

10 mm

7 mm

6 mm

Calcula la dimensión desconocida e cada prisma.

10.

8.4 m

�1 m

V = 39.48 m3 11. h

7 pies12

3 pies34

V = 56.25 pies3 12.

7 yd

w

9 yd

V = 189 yd3

13. Calcula el volumen de un prisma rectangular con longitud de 3 metros, ancho de 4 metros y altura de 5 metros.

14. ¿Qué volumen tiene un prisma rectangular con longitud de 6 yardas, ancho de 3 yardas y altura de 2 yardas?

B

9-4


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ReforzamientoVolumen de prismas triangulares

B

Volumen de un prisma triangular

Palabras El volumen V de un prisma triangular es el área de la base B multiplicada por la altura h.

Modelo

Símbolos V = Bh, donde B = 1 − 2 bh

Calcula el volumen del prisma triangular.

El área del triángulo es 1 − 2 · 4 · 5, por tanto, reemplazas B con 1 −

2 · 4 · 5.

V = Bh Volumen de un prisma

V = ( 1 − 2 · 4 · 5) (h) Reemplaza B con 1 −

2 · 4 · 5.

V = ( 1 − 2 · 4 · 5) (8) Reemplaza h con 8, la altura del prisma.

V = 80 Multiplica.

El volumen es 80 pulgadas cúbicas u 80 pulg3.

Calcula el volumen del prisma triangular.

El área del triángulo es 1 − 2 · 4 · 5, por tanto, reemplazas B con 1 −

2 · 4 · 5.

V = Bh Volumen de un prisma

V = ( 1 − 2 · 7 · 10) (h) Reemplaza B con 1 −

2 · 7 · 10.

V = ( 1 − 2 · 7 · 10) (6) Reemplaza h con 6, la altura del prisma.

V = 210 Multiplica.

El volumen es 120 centímetros cúbicos o 210 cm3.

Ejercicios

Calcula el volumen de cada prisma. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

1. 7 pies

8 pies

8 pies

8 pies

6 pies

2.

12 pulg

10 pulg6 pulg

3.

5 m

4 m

7 m

Ejemplo 1

Ejemplo 2

8 pulg

4 pulg

5 pulg

12.2 cm

10 cm

7 cm

6 cm

h

B

10-1


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Práctica de destrezasVolumen de prismas triangulares

B

Calcula el volumen de cada prisma. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

1.

8 yd5 yd1

2

7 yd34

2.

4.8 m

5.9 m

6.1 m

3. 4.2 pies2 pies

3.5 pies

4.

6 m

8 m

12 m

5.

2.6 m5.1 m

4.1 m

6.

7.

12 pies

15 pies

7 pies

8.

5.7 cm

8.9 cm

13.7 cm

9.

6 m6 m

10.5 m

5.3 m

6 m

10-1

15.2 pulg

10.4 pulg

18.4 pulg

9.6 pulg


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Volumen de una pirámide

Palabras El volumen V de una pirámide es un tercio del área de la base B multiplicado por la altura h.

Modelo

Símbolos V = 1 − 3 Bh

Calcula el volumen de la pirámide.

V = 1 − 3 Bh Volumen de una pirámide

V = 1 − 3 (6 · 6)(20) La base es un cuadrado; por tanto,

reemplazas B con 6 · 6 y h con 20.

V = 240 Multiplica.

El volumen es 240 metros cúbicos o 240 m3.

Calcula el volumen de la pirámide.

V = 1 − 3 Bh Volumen de una pirámide

V = 1 − 3 (27.6)(9.4) La base es un triángulo; por tanto,

reemplazas B con 1 − 2 · 8 · 6.9 y h con 9.4.

V = 86.48 Multiplica.

El volumen es 86.48 centímetros cúbicos o 86.48 m3.

Ejercicios

Calcula el volumen de cada pirámide. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

1.

8 cm

5 cm

5 cm 2.

6 pies

4 pies4 pies

3. 7 mm16 mm

10 mm

ReforzamientoVolumen de pirámides

D

Ejemplo 26 m

6 m

20 m

8 cm6.9 cm

9.4 cm

10-1

Ejemplo 1


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Calcula el volumen de cada pirámide. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

1. 7.4 km

4 km 14 km

2. 7 yd

5 yd8 yd

3.

B = 31 km2

11 km

4. 5.4 pulg

14 pulg

15 pulg

5. 8 mi12 mi

11 mi

13

6.

10 mm

12 mm

4.6 mm

7.

10 pulg

14 pulg

24 pulg8. 6.5 m

6 m7 m

9.

5 pulg

12.5 pulg

5 pulg

10. La base de una pirámide triangular tiene una base de 20 metros y una altura de 14 metros. La pirámide tiene una altura de 14 metros. Calcula el volumen de la pirámide.

11. Una pirámide rectangular tiene una longitud de 19 yardas y un ancho de 8 yardas. La pirámide tiene una altura de 15 yardas. Calcula el volumen de la pirámide.

Práctica de destrezasVolumen de pirámides

D

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BReforzamientoVolumen de cilindros

Calcula el volumen del cilindro. Usa 3.14 para π.Redondea a la décima más cercana.

V = πr2h Volumen de un cilindro

V ≈ 3.14(2)2(5) Reemplaza π con 3.14, r con 2 y h con 5.

V ≈ 62.8 Multiplica.

El volumen es aproximadamente 62.8 pulgadas cúbicas.

Ejercicios

Calcula el volumen de cada cilindro. Usa 3.14 para π. Redondea a la décima más cercana.

1. 10 mm

18 mm

2. 4 pies

12.9 pies

3. 2 pulg

2 pulg

4. radio = 9.5 yd 5. diámetro = 6 cm 6. diámetro = 3 maltura = 2.2 yd altura = 11 cm altura = 1 m

Al igual que sucede con un prisma, el área de la base de un cilindro indica el número de unidades cúbicas en una capa. La altura indica cuántas capas hay en el cilindro. El volumen V de un cilindro con radio r es el área de la base B multiplicada por la altura h.

V = Bh o V = πr2h, donde B = πr2

r

h

B = πr2

Ejemplo

2 pulg

5 pulg

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BPráctica de destrezasVolumen de cilindros

Calcula el volumen de cada cilindro. Usa 3.14 para π. Redondea a la décima más cercana.

1. 7 cm

20 cm

2. 8 pies

9 pies

3. 12 pulg 4 pulg

4. 3.5 yd

6 yd

5. 6 m

8 m

6. 1.9 pulg

6.2 pulg

7. radio = 10 cm 8. radio = 4 pies

altura = 4.7 cm altura = 2 1 − 2 pies

9. diámetro = 10 mm 10. diámetro = 7.1 pulgaltura = 4 mm altura = 1 pulg

10-2


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