Calculo de limites

UNIDAD III

ELEMENTOS DEL CÁLCULO

DIFERENCIAL

Apuntes realizados por: Ing. Carlos Ramón Alfonzo Santiago

AG

AS

[E

scriba su

dire

cción

] [E

scriba

su n

úm

ero

de te

léfo

no] [E

scriba su

dire

cción

de co

rreo e

lectró

nico

]

CÁ

LC

UL

O


2

LÍMITES

La noción de límites es una idea fundamental y que manejamos en forma

intuitiva.

Decimos que 1/x0 cuando x, por lo que todos los valores de 1/x se

hacen cada vez más pequeños tan pequeños como se quiera, cuando x crece hasta

hacerse tan grande como convenga, de acuerdo con lo anterior lo representamos de la

siguiente manera:

0x

1Lim,

x

1Lim

x0x

Dada la función y = x2, podemos ver que: cuando x2 entonces f(x) se

aproximará a 4. Porque eligiendo valores de x cada vez más pequeños y próximos a

2, y = f(x) se aproximará a 4, decimos que:

4xLim 2

2x

EJEMPLOS RESUELTOS:

1. 55Lim5x

2. 3575xLim5x5Lim7x7x

3. 8531513xLim5xLim3x5x3Lim2

1x

2

1x

2

1x

4. 484242xLim4xLimx4xLim2

2x

2

2x

2

2x

5.

04321

4131214LimxLim3xLim2xLim4x3x2xLim23

1x1x

2

1x

3

1x

23

1x

2 – 2

4


3

6.

2

1

8

4

2

2

2

13

11

113

1x

1x3Lim

3

2

3

2

3

2

3

2

1x

7. 02

0

11

11

33

33

33

33Lim

00

00

xx

xx

0x

8.

3

1

12

1

1x

1Lim

1x1x

1xLim

1x

1xLim

2x2x22x

9.

41

4

32

22

3x

2xLim

3x2x

2x2xLim

6x5x

4xLim

2x2x2

2

2x

10. 2

1

31

21

3x

2xLim

3x1x

2x1xLim

3x4x

2x3xLim

1x1x2

2

1x

11.

4

1

22

1

2x

1Lim

2x2x

2xLim

4x

2xLim

2x2x22x

12.

0

4

0

4

44

22

42

2x

4xLim

2x2x

4x2xLim

4x

4x2xLim

4x4x

4x2xLim

4x

2xLim

22

2x

2

2x2

2

2x22

2

2x22x

13.

0

0

44

0

42

22

4x

2xLim

222x

14.

222

0h

22

0h

33223

0h

33

0h

x3hhx3x3Lim

h

hhx3x3hLim

h

xhhx3hx3xLim

h

xhxLim

15.

2

2

4

2

22

2

24

11

231

1x

23xLim

1x1x

23x1xLim

1x

23x1xLim

43x

23x1xLim

23x

23x

23x

1xLim

23x

1xLim

22

1x

2

1x2

2

1x

2

2

1x2

2

21x21x

16.

0

3

11

21

1x

2xLim

1x1x

1x2xLim

1x

2xxLim

1x1x2

2

1x


4

17.

6935235x3Limx4

5x3x4Lim

5x9

5x3x4Lim

5x3

5x3

5x3

x4Lim

5x3

x4Lim

22

2x2

22

2x

2

22

2x2

2

2

2

2x2

2

2x

18. 455923332xLimxLim32xx3Lim3x3x3x

19. 4518273633xLim6xLim3x6x3Lim2

3x

2

3x

2

3x

20.

5.22

5

2

32

11

312

1xLim

3x2Lim

1x

3x2Lim

1x

1x

1x

21. 0044424LimxLim4xLim2

2x

2

2x

2

2x

22.

7

1

34

1

3x

1Lim

3x4x

4xLim

12xx

4xLim

4x4x24x

23.

2

9

6

27

33

9333

3x

9x3xLim

3x3x

9x3x3xLim

9x

27xLim

22

3x

2

3x2

3

3x

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Calculo de limites