Camp gravitatori

Lurdes MorralFísica 2n batxillerat

2

1- Primers intents de descripció de l’Univers

resum

resum

resum

3

1-Primers intents de descripció de l’UniversEls estels formen constel·lacions. Per exemple: Óssa Major que conté l’estel polar.

4

1-Primers intents de descripció de l’Univers

El cel sembla que giri al voltant de l’estel polar.

Creien que els estels estaven enganxats a l’interior d’una esfera celest, centrada en la Terra.

5

Proposa esferes de cristall que sostenen els planetes i estels.Però hi ha set astres (Sol, LLuna, Mercuri, Venus, Mart, Júpiter i Saturn) que segueixen moviments irregulars o erràtics. Se’ls anomena planetes.

Sistema Ptolemaic.Trajectòries circulars. Model geocèntric.

1.1-Ptolomeu

6

Hi ha idees heliocèntriques però Ptolomeu s’imposa fins el segle XV, incorporant els epicicles, cercles petits que giren al voltant d’un gran cercle, deferent, que envolta al Sol.

1.1-Ptolomeu

7

1.2- Nicolàs Copèrnic

Permet explicar el moviment retrògrad d’alguns planetes de manera simple i el fet que , planetes com Venus i Mercuri, tenen brillantor variable en el transcurs d’un any.

Model heliocèntric. El Sol és el centre de l’univers.

8

A

AA

C

C

C

D

D

D

G

G

GH

H

H

B

B

B

I

II

F

F

F

E EE

1.2- Nicolàs Copèrnic Martsimul

9

1.3- Tycho Brahe

Als 14 anys ja va predir un eclipsi de Sol.Va comprovar les dades astronòmiques de Copèrnic i va observar que hi havia errors de dies en predicció de fets astronòmics.Va dedicar-se a observar i recollir dades amb molta precisió.Va construir nous instruments astronòmics.

Proposa un model geocèntric modificat: El Sol gira al voltant de la Terra i la resta de planetes al voltant del Sol.

10

1.4- Organització de dades. Kepler.

Poc observador, però molt matemàtic.Les òrbites dels planetes al voltant del Sol són el·líptiques.Recull totes les dades de Brahe en tres lleis.

Primera llei:Els planetes es mouen seguint òrbites el·líptiques. En un dels seus focus hi ha el Sol.

Sol

Focus• Eix menor

Afeli

•

b

a

Eix major

Periheli

•

estacions

11

1.4- Organització de dades. Kepler.

a2= b2 + c2

applet

a: semieix majorb: semieix menorc: semidistància focal

Excentricitat , e a

ce =

Una circumferència és una el·lipse on e=0, ja que a=b

El·lipse:

Per la Terra: raf= 152.097.701 kmrph=147.098.074 km

e= 0,017

El.lipse

El.lipse

12

1 de gener

r enero1

→

Sol

AA

r julio1

→

30 de gener

30 de juliol

1 de juliol

Segona llei:El radi que uneix qualsevol planeta amb el Sol recorre àrees iguals en temps iguals.

Quan el planeta passa més a prop del Sol, es mou més de pressa.

1.4- Organització de dades. Kepler.

Moment angular, :

Per a un cos de massa m, que es desplaça al voltant d’un punt P, el moment angular és el moment del vector quantitat de moviment:

→L

)(→→→→→

⋅×=×= vmrprL

applet

applet

13

1.4- Organització de dades. Kepler.

Tercera llei:La relació T2/r3 (entre el quadrat del període d’un planeta i el cub de la distància mitjana del planeta al Sol), és constant.

Moment angular dels planetes, , és constant: →L

Mòdul: on α, és l’angle que formen Direcció: perpendicular al pla que formen Sentit: Regle de la ma dreta.

→→pr i

→→pr i

αsin)( ⋅⋅×=×=→→→→→

vmrprL

Si el moviment és circular, α=90o, L=r⋅m⋅v

m⋅vaf⋅raf = m⋅vph⋅rph

Distància mitjana= a (semieix major el.lipse)

applet

14

2-La llei de gravitació universal

15

2.1- Isaac Newton

Galileu, va estudiar la caiguda de cossos i el moviment dels projectils. Principi d’inèrcia.

Hi ha alguna connexió entre les lleis de Galileu a la Terra i les lleis de Kepler per al moviment dels cossos celestes?

El Sol exerceix una força atractiva sobre la Terra, sinó es mouria en línia recta.

Newton: la força que fa la Terra sobre la Lluna és de la mateixa natura que la que fa caure una poma a la Terra.

Observa una disminució de l’acceleració de caiguda amb l’invers del quadrat de la distància.

16

2.2- Llei de gravitació universal

Dues masses puntuals m1, m2, separades una distància r s’atrauen amb una força gravitatòria directament proporcional a les masses i inversament proporcional al quadrat de la distància que les separa.

221

r

m m GF = G= 6’67. 10-11 Nm2kg-2

12212

21

r

m m GF u

−=

applet

17

2.3- Deducció de les lleis de Kepler a partir de la llei de Newton

Un planeta de massa mp gira al voltant del Sol amb un període T.Suposem òrbita circular de radi r.

2ps

p-s r

m M GF =

rT

rT

rr

van 2

222

2 42 ππω =

===

Si el planeta gira, té acceleració angular:T

πω 2=

La força que el fa girar és la gravitatòria:

Per la segona llei de Newton: Sol

mp

RF→

np-s aF pm=

rT

mp 2

2

2ps 4

r

m M G

π=

2

2

3s 4

r

M G

T

π=sGM r

T3

2 24π=

18

3-El camp gravitatori

19

3.1- Concepte de camp gravitatori

Qualsevol massa M, modifica l’espai que l’envolta.

Si col·loquem una altra massa m, aquesta pateix una força atractiva

M actua a distància sobre m.

A l’espai modificat per M, en diem camp gravitatori

2r

m M GF =

20

3.2- Intensitat de camp gravitatori

Col·loquem una massa m en un punt, dins un camp gravitatori creat per M.Definim intensitat del camp gravitatori, g, en aquest punt:

m

→→

= F g

VectorForça sobre unitat de massaUnitats: N/KgIgual direcció i sentit que la força gravitatòria

mr

MmG

m

2F g ==

Intensitat del camp gravitatori creat per una massa M puntual i esfèrica

2

M g

rG=

gm→→

⋅= FForça gravitatòria sobre una massa m:

ur

G

2

M g −=

21

3.3- Línies de camp o de força

Si dibuixem els vectors intensitat de camp en cada punt de l’espai, tindrem un camp vectorial(poc pràctic)

Si dibuixem línies contínues amb puntes de fletxa que marquin el sentit del camp, tindrem les línies de camp:

• direcció vector intensitat és tangent a la línia

• Intensitat del camp és proporcional al nombre de línies per unitat d’àrea.

m M

22

3.4- Principi de superposició

Quan en una zona de l’espai coexisteixen varies masses, la intensitat de camp resultant és la suma vectorial de les intensitats de camps individuals:

gggg nT→→→→

+++= ...21r1

→

r2

→r3

→

g1

→

g2

→g 3

→

g 3

→g 1

→

g T

→m

1

m

2m3

P

23

3.5- Camp gravitatori terrestre

Camp gravitatori terrestre en un punt exterior, a una distància r.

r = RT+h

P

A

h

RT

r

MGg TT 2

=

( ) Kg

N

R

MGhR

MGr

MGgT

T

T

TTT 81'9

1037'6

1097'51067'6

)( 26

2411

222=

⋅

⋅⋅==+

== −

r>RT

Pes = m·g

g= intensitat de camp gravitatoriPes= força gravitatòria amb què la Terraatrau un cos.

Prop de la superfície terrestre, on h<<RT

Es representa per →

og

Pes= m·a = mgogo=a= 9’81 m/s2

24

4-Energia potencial gravitatòria

25

pfpoopFcons EEEEEW pfp −=−−=∆−= )(

Una força és conservativa si existeix una funció matemàtica anomenada energia potencial, que depèn de la posició, de manera que el treball que fa la força quan un cos es mou entre dos punts és igual a l’increment d’energia potencial canviada de signe.

4.1- La força gravitatòria és conservativa

El treball no depèn del camí seguit, sinó només dels punts inicial i final

C1

C2•A

•B

26

Suposem objecte de massa m, que es mou d’A a B, allunyant-se de M.

El treball que fa la força gravitatòria és:rB

rA

rBrA

oF r

GMmr

drMmGdr

r

mMGW Br

Ar

−−=∫−=∫= 1

180cos22

AF r

MmG

r

mMGW

B

−=Treball=resta d’una funció que depèn de la posició

Les forces gravitatòries són conservatives

pBpAA

F EEr

MmG

r

mMGW

B

−=−=

4.1- La força gravitatòria és conservativa

27

4.2- L’energia potencial gravitatòria

Energia potencial grav. d’una massa m, a una distància r de M

AAppAF r

MmG

r

MmG

mMGEEW −=−

∞=−= ∞

Treball que fa el camp per moure m des d’A fins ∞ :

Assignem E p ∞=0

r

MmGEp −=

EP r

rmM

GE p −=

Ep en un punt = treball que fa el camp gravitatori per portar la massa m des del punt fins a l’infinit a velocitat constant.

WF<0 el camp no pot allunyar una massa → cal l’acció d’una força exterior

Ep és sempre negativa

28

)E(Er

MmG

rmMGW pApB

ABBA −−=−=→

El treball que fan les forces del camp gravitatori per traslladar un cos de massa m entre els punts A i B:

4.2- L’energia potencial gravitatòria

Diferència d’energia potencial entre A i B:

•Si el cos de massa m s’acosta al cos que crea el camp (rA>rB)

El treball que fan les forces del camp és positiuEl cos perd energia potencial

•Si el cos de massa m s’allunya del cos que crea el camp (rA<rB)

El treball que fan les forces del camp és negatiu. Cal una força exterior perquè es produeixi el desplaçamentEl cos guanya energia potencial

EpB-EpA = treball canviat de signe que fa el camp gravitatori per portar la massa m, del punt A al B a velocitat constant.

29

4.3- L’energia potencial d’un cos de massa m al camp gravitatori terrestre

hR

mMG

r

mMGE

T

TT

p +−=−=

• Energia potencial d’un cos de massa m, a una altura h sobre la superfície de la Terra

Quan E p ∞=0

30

• Si el moviment és prop de la superfície terrestre, és millor assignar Ep=0 quan r=RT

Si movem un cos de rA fins a RT

A

T

T

TppA r

mMG

R

mMGEE −=− superfície

A

T

TpA r

mMG

R

mMGE

T −=− 0

r

mMG

R

mMGE

TT

Tp −= Quan Ep =0 a la superfície de la Terra

TRr ≅

hgmE op ⋅⋅=

A petites altures

4.3- L’energia potencial d’un cos de massa m al camp gravitatori terrestre

hmgr

Rhmg

rR

hmRg

rR

RrmMGE o

To

TTo

T

TTp ===

−= 2

2ToT RgGM =

2T

To R

MGg =

31

4.4- Energia potencial gravitatòria d’un sistema de masses

Principi de superposició: Ep del sistema, suma de totes les Ep de totes les parelles possibles

23

2 3

13

1 3

12

1 2231312 r

mmG

r

mmG

r

mmGEEEE ppppT −−−=++=

Aplicació: eclipsis

32

5-Potencial gravitatori

33

5.1- Potencial gravitatori en un punt.

m

EV p=

mVEp =

mrMm

G

m

EV p

−== r

MGV −=

Potencial gravitatori, V, en un punt dins d’un camp gravitatori, és l’energia potencial que té la unitat de massa que hi hagi en aquest punt.

EscalarUnitat: J/kg

Energia potencial d’una massa en un punt on coneguem V:

Prenent E p ∞=0

Potencial en un punt: treball que realitza el camp gravitatori per portar la unitat de massa m des del punt a l’infinit.

34

5.2- Diferència de potencial.

FpApB

AB Wm

EEVV −=

−=−

)Vm(V)Vm(VEEΔEW ABBApBpApF −−=−=−=−=

Diferència de potencial, VB-VA ,entre dos punts A i B:

Diferència de potencial VB-VA : treball canviat de signe, que realitza el camp gravitatori per portar la unitat de massa m des del punt A al B.

35

5.3- Potencial gravitatori de diverses masses

Principi de superposició: Potencial gravitatori resultant és igual a la suma dels potencials deguts a cadascuna de les masses.

...21 ++=∑= VVVV ii

36

6-Moviment de cossos en un camp gravitatori:

satèl·lits

37

6.1-Moviment de cossos en un camp gravitatori: satèl·lits

Un satèl·lit pot seguir 3 tipus de trajectòries:

Una el·lipse (cas concret, cercle) Òrbites tancades

Una paràbola Una hipèrbole

Sol

Estudiarem el casd’òrbites circulars.

Objectes celests que passen prop del planeta 1 cop i no tornen mai més

Primer, cal posar en òrbita la nau espacial o el satèl·lit artificial.

38

6.2-Dinàmica d’un satèl·lit en òrbita circular

rv

m2

2r

m M GF == 2

r M

G v= rMGv =

Velocitat orbital no depèn de la massa del satèl·litDepèn del radi de l’òrbita (h+ RT)

Menor radi Major velocitat

Període de rotació serà:

rMG

rvr

rvT

πππωπ 22

/22 ====

GM

rT

3

2π= 2

39

6.3-Satè.lits geostacionaris

Tenen un període de rotació igual que el de la Terra: 23 h, 56 min,

3,5 s

La seva òrbita està situada sobre l’equador terrestre.

Es troben a uns 35800 km per sobre de la superfície de la Terra.

GM

rT

3

2π=

32

T3

4

GMTr

π=

T=23,98 hMT= 5,98⋅ 1024kg

r= 4,22 ⋅107 m

h= r-RT = 3,59 ⋅107 m = 35800 km.

Satel.lits

6.3-Satè.lits geostacionaris

41

22

2

1

2

1

== rMGmmvEc r

MmGEc 2

1=

pc EE2

1−=r

MmG

r

MmGEEE pcm −=+=

2

1

r

MmGEm 2

1−= pm EE2

1=

6.4-Energia d’un satèl·lit en òrbita circular

rMm

GEp −= Prenent E p ∞=0

42

m2m1 EE =

6.4-Velocitat de llançament per posar un satèl·lit en òrbita

Si es llança un satèl·lit des de la superfície de la Terra (posició1)perquè orbiti a una òrbita determinada (posició 2)

p2c2p1c1 EEEE +=+

Només actuen forces conservatives → l’energia mecànica es conserva

r

MmG

2

1E

r

MmGvm

2

1

R

MmGvm

2

1m2

22

21 −==−⋅=−⋅

−⋅=

2r

1

R

12GMv

T1

43

23 EE E −=∆

6.5- Càlcul de l’energia per passar d’unaòrbita a una altra

Si volem que el satèl·lit que orbita a l’òrbita 2 passi a l’òrbita 3, caldrà donar-li una energia que serà la diferència entre les energies de les òrbites.

−−−=

23 r

MmG

2

1

r

MmG

2

1ΔE

−⋅⋅⋅=

32 r

1

r

1mMG

2

1ΔE

r

MmGEm 2

1−=

44

6.6-Velocitat d’escapament

Velocitat d’escapament: mínima velocitat inicial amb què cal llançar un objecte , des de la superfície d’un planeta perquè l’objecte no torni a caure: r→∝

Cal que en el punt més alt, Ep=0

Moment del llançamentp

pp R

mMGE −=

Emec=0

Cal llançar-lo amb Ec=-Ep , i així Emec=0

02

1 2 =−p

po R

mMGmv

p

pescapament R

GMv

2=

1

r

MmGEp −=

No depèn de la massa del satèl·lit

Si ja està en òrbita, enlloc de Rp cal posar r = h+RT

45

6.7-Forma de les trajectòries en funció d’Em

Sol

02

1

2

1 <−==r

MmGEE pm

Òrbita tancada (el·líptica i circular)

Condició d’escapament

Òrbita oberta (parabòlica o hiperbòlica)

0=mE

0>mE

46

Com calcular la massa del Sol?

22

3

4

GM

T

r

πs=

Coneixent el període d’oscil·lació de la Terra al voltant del Solla distància de la Terra al Sol, i G.

Com calcular el radi de la Terra?

43

Sagan

Lleis Kepler1ª: Planetes òrbites el·líptiques. Sol en un dels focus 2ª: Recorren àrees iguals en temps iguals.

3ª: La relació T2/r3 és constant 22

3

4

GM

T

r

π=

221

r

m m GF =

Llei gravitació universal

m

→→

= F g

2

M g

rG=

Intensitat del camp gravitatori

E p ∞=0r

MmGEp −=

Energia potencial gravitatòria

m

EV p= mVEp =r

MGV −=

E p ∞=0Potencial gravitatori

rr

van

22

ω==

)V(Vm)V(VmEEΔEW ABBApBpApF −−=−=−=−=

Diferència de potencial

gm→→

⋅= F

Emec=0

p

pescapament R

GMv

2=

Velocitat d’escapamentrMm

GEc 21=

rMm

GEm 21−=

Satèl·lit en òrbita circular

m⋅vaf⋅raf = m⋅vph⋅rph

m2m3 EE E −=∆Energia per canviar d’òrbita