SECCIÓN CÓNICA

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

CONCEPTO DE CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es una sección cónica que resulta de cortar un cono con un plano paralelo a la base.

La circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano, de modo que permanece siempre a una distancia constante de un punto fijo del mismo plano. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante, se conoce como radio de la circunferencia

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA CENTRO (h, k)

Se obtiene cuando el centro de la circunferencia es un punto cualesquiera del plano diferente de (0, 0).

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

Sean: C(h, k) : coordenadas del centro.P(x, y) : Un punto de la circunferencia.R : Longitud del radio.

Ejemplo 1.

Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia de radio 7 cm y con centro en (–2, 1).

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

h = –2k = 1r = 7 cm

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

(x – (–2))2 + (y – 1)2 = 72

(x + 2)2 + (y – 1)2 = 49

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ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUNFERENCIA – CENTRO (0, 0)

Se obtiene cuando el centro de la circunferencia corresponde con el origen del plano (0, 0).

Ejemplo 1.

Hallar la ecuación canónica de la circunferencia de radio 8 cm.

La ecuación canónica se obtiene cuando la circunferencia tiene centro en el origen.

x2 + y2 = r2

x2 + y2 = 82

x2 + y2 = 64

FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

Se obtiene a partir de la ecuación ordinaria de la circunferencia, a través de una serie de artificios matemáticos.

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ↔ (x – h)2 + (y – k)2 = r2

Recordemos:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Ejemplo 3. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en C (2, 6) y radio R = 4 cm

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

(x – 2)2 + (y – 6)2 = 42

x2 – 2(x)(2) + 22 + y2 – 2(y)(6) + 62 = 16x2 – 4x + 4 + y2 – 12y + 36 – 16 = 0x2 + y2 – 4x – 12y + 24 = 0