Clase 01

Prof. José Luis Quintero 1

ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)

SEMANA 01 – CLASE 01 – LUNES 09/04/12

1. Presentación de la asignatura. Contenido programático, plan de evaluación,

software de apoyo, bibliografía recomendada. Se sugiere ver los archivos Nota

Informativa (Impreso) y Nota Informativa (Presentación).

2. Se indica a los estudiantes que repasen todo sobre integración simple. Se sugiere

ver el archivo Tema 1 (Integración Indefinida) de la asignatura Cálculo II.

3. Ecuación diferencial. Es aquella en la que intervienen derivadas o diferenciales.

Si tales derivadas son las de una función de una variable, entonces a la ecuación

diferencial se le llama ordinaria. Una ecuación diferencial parcial (o en

derivadas parciales) contiene derivadas parciales.

4. Ejemplos y observaciones de interés.

• Las ecuaciones 2

3

2

d y dyx x y 7x

dxdx− + = − ,

3 34 25

4 2

d y d y dy 12 x

dx 3dx dx

+ − = ,

2(x 5y 3)y ' 7x 2y− + = − + ,

son ecuaciones diferenciales ordinarias, mientras que

z2

y

∂ = −∂

, 2 2 2

2 2 2

t t t0

x y z

∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂

son ecuaciones diferenciales parciales o en derivadas parciales.

• En el ejemplo anterior las ecuaciones 2

2

d y dyx y 7x

dxdx− + = ,

4 24 2

4 2

d y d yx 3x 1

dx dx+ =

también pueden escribirse de la forma y xy y 7x′′ ′− + = , 4 (4) 2x y 3x y '' 1+ = ,

respectivamente. Esto tomando en cuenta la notación

dyy

dx′ = ,

2

2

d yy

dx′′ = ,

3

3

d yy

dx′′′ = ,

4(4)

4

d yy

dx= , …. ,

n(n)

n

d yy

dx= , …. ,

cuando la derivada ordinaria es con respecto a t, considerando a esta variable

independiente como tiempo, y x es, por ejemplo, una variable que depende de

t, se usa con frecuencia para las tres primeras derivadas la notación

dxx

dt=ɺ ,

2

2

d xx

dt=ɺɺ ,

3

3

d xx

dt=ɺɺɺ .

Así, en el ejemplo anterior la ecuación dx dy

x 2ydt dt

+ = − +


podría escribirse como x y x 2y+ = − +ɺ ɺ . Tomando en cuenta que las derivadas

parciales con frecuencia se representan con un subíndice, el cual indica las

variables independientes, se puede escribir las ecuaciones

z zx

x y

∂ ∂+ =∂ ∂

, 2 2

2

u uu

x y t

∂ ∂+ =∂ ∂ ∂

como x yz z x+ = , xy ttu u u+ = , respectivamente

• m

dTk(T T )

dt= − , donde mk, T son constantes. Esta ecuación se presenta en

problemas relacionados con enfriamiento o calentamiento de un objeto • mx x kx 0+ β + =ɺɺ ɺ , donde m, β y k son constantes. Esta ecuación se presenta en

problemas en los que se tiene un sistema masa-resorte en movimiento

• 2(1 x )y '' 2xy ' ( 1)y 0, R− − + α α + = α ∈ (Ecuación de Legendre que se presenta en

problemas de propagación del calor con simetría esférica)

• 2y '' (y 1)y ' y 0+ µ − + = (Ecuación de Van der Pol que se presenta en problemas

de circuitos eléctricos conteniendo tubos al vacío)

• 2tt xxu a u 0− = (Ecuación de onda unidimensional que caracteriza la propagación

de ondas en algunos medios y las vibraciones mecánicas de una cuerda

vibrante) • xx yy zzu u u 0+ + = (Ecuación de Laplace que se presenta en el estudio de

potenciales magnético, eléctrico, gravitatorio y en el flujo de calor)

5. Orden de una ecuación diferencial. Es el mayor orden de las derivadas que

aparecen en dicha ecuación. Es decir, es el orden de la más alta derivada de la

ecuación diferencial.

6. Ejemplos de interés.

• 52

2

d y dy4 3y 1

dxdx

− − =

es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden o

de orden dos

• La ecuación 4 2

4 2

t t0

x x

∂ ∂+ =∂ ∂

es una ecuación diferencial parcial de orden cuatro

• 2 2 2x y '' xy ' (x p )y 0+ + − = (Ecuación de Bessel que se presenta en problemas de

flujo de calor en cilindros, propagación de corrientes eléctricas en conductores

cilíndricos y vibraciones de membranas) es una ecuación diferencial ordinaria de

segundo orden

7. Grado de una ecuación diferencial. Es la potencia de la derivada de mayor

orden en la ecuación.


8. Ejemplos de interés. • y ' tg(x)= es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado

• 2

2

z z3x 6

xx

∂ ∂− =∂∂

es una ecuación diferencial parcial de orden 2 y grado 1

• 3

dy dyx 5 0

dx dx

− + =

es una ecuación diferencial ordinaria de orden 1 y grado 3

9. Variable dependiente y variable independiente. Se denomina variable

dependiente a la que presenta derivadas, mientras que la variable

independiente es aquella respecto de la cual se realiza la derivada.

10. Ejemplos de interés. • En la ecuación diferencial

3 2

3 2

d y d y dy5 7y cos(x)

dxdx dx− + − =

y es la variable dependiente, mientras que x es la variable independiente • La ecuación

2 2

2 2

v v0

y z

∂ ∂+ =∂ ∂

tiene dos variables independientes z, y, y una variable dependiente v

11. Observaciones de interés.

• Una ecuación diferencial ordinaria general, en una variable dependiente, de

orden n se puede representar mediante

n

n

dy d yF x,y, , , 0

dx dx

=

⋯ , (1)

donde F es una función definida en un subconjunto de n 2R + y que toma valores

reales.

• La ecuación 2

2

d y dyx y 7x

dxdx− + =

se puede representar mediante 2

2

dy d yF x,y, , 0

dx dx

=

,

donde ( )1 2 3 4 4 1 3 2 1F x ,x ,x ,x x x x x 7x= − + − . En efecto, tomando

1 2 3

dyx x , x y , x

dx= = = y

2

4 2

d yx

dx= ,

resulta 2 2

2 2

dy d y d y dyF x,y, , x y 7x

dx dxdx dx

= − + −

.

Luego, 2

2

dy d yF x,y, , 0

dx dx

=


conduce a 2

2

d y dyx y 7x

dxdx− + = .

• La ecuación 52

2

d y dy4 3y 1

dxdx

− − =

se puede representar mediante ( )F x,y,y ,y 0′ ′′ = , donde

( ) 51 2 3 4 4 3 2F x ,x ,x ,x x 4x 3x 1= − − − .

• En muchos casos, se puede despejar el término de orden máximo n

n

d y

dx

de la ecuación (1) y se escribe entonces

n n 1

n n 1

d y dy d yf x,y, , ,

dxdx dx

−

−

=

⋯ (2)

• La ecuación (2) se llama forma normal de (1). Así, cuando convenga y sea

posible, se usarán las formas normales

dy

f(x,y)dx

= , 2

2

d yf(x,y,y '')

dx=

para representar ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden

respectivamente

12. Ecuación diferencial ordinaria lineal. Una ecuación diferencial ordinaria es

lineal si tiene la siguiente forma

n n 1

n n 1 1 0n n 1

d y d y dya (x) a (x) a (x) a (x)y g(x)

dxdx dx

−

− −+ + + + =⋯ , (3)

donde n n 1 0a (x), a (x), , a (x)− ⋯ y g(x) dependen sólo de la variable independiente

x.

13. Observaciones de interés. • Si g(x) 0= la ecuación (3) se llama lineal homogénea

• Dada una ecuación lineal, su correspondiente ecuación lineal homogénea en la que se ha hecho g(x) 0= se denomina lineal homogénea asociada

• Si una ecuación diferencial ordinaria no es lineal, entonces se conoce con el

nombre de no lineal

• Si se mira la ecuación (3) como un caso particular de la ecuación (1), se tiene

entonces que ésta se puede representar en términos de la función

1 2 n n 1 n 2 n 1 n 2 n 1 1 n 1 1 1 3 0 1 2 1F(x ,x , , x ,x ,x ) a (x )x a (x )x a (x )x a (x )x g(x )+ + + − += + + + + −⋯ ⋯

14. Ejemplos de interés (ecuaciones lineales).

• dy

x 3y cos(x)dx

+ = . Aquí se puede tomar 1 2 3 1 3 2 1F(x ,x ,x ) x x 3x cos(x )= + −

• 3 2 xx y ''' (x 1) y ' e+ + =


15. Ejemplos de interés (ecuaciones no lineales).

• 12

y ''' yy '' 0+ = (Ecuación de Blasius que se presenta en problemas de mecánica

de fluidos)

• 2y y 'x 2(y ') y '= + − (Ecuación de Clairaut que se presenta en variados

problemas físicos)

16. Solución de una ecuación diferencial. Se dice que una función f, definida en

algún intervalo I, es solución de la ecuación diferencial (1) en el intervalo I, si y f(x)= tiene por lo menos derivadas hasta el orden n y además

(n)F(x, f(x), f '(x), , f (x)) 0=⋯ para todo x I∈ .


• Para todo número real C, la función xf(x) Ce−= con x R∈ , es solución de la

ecuación y ' y 0+ = . En efecto, xf '(x) Ce−= − y al sustituir f '(x) en lugar de y ' y

f(x) en lugar de y se obtiene, para todo x R∈ , la identidad f '(x) f(x) 0+ =

• Sean 1 2C , C números reales arbitrarios, la función x x1 2f(x) C e C e−= + con

x R∈ , es solución de la ecuación y '' y 0− = . En efecto, f ''(x) f(x)= y así se

obtiene, para todo x R∈ , la identidad f ''(x) f(x) 0− =

18. Observaciones de interés.

• xf(x) Ce−= define una familia uniparamétrica de soluciones, con parámetro

C, para la ecuación de primer orden y ' y 0+ =

• x x1 2f(x) C e C e−= + define una familia biparamétrica de soluciones, con

parámetros 1C y 2C , para la ecuación de segundo orden y '' y 0− =

• En general una ecuación diferencial de orden n tiene una familia de soluciones

con n parámetros (una familia que incluye n constantes arbitrarias o

parámetros)

• Si toda solución de una ecuación diferencial ordinaria de orden n, en un

intervalo I, se obtiene de una familia que depende de n parámetros 1 2 nC ,C , ,C⋯

mediante elecciones apropiadas de los iC , i 1,2, ,n= ⋯ , se dice entonces que la

familia es la solución general de la ecuación diferencial

• Puede darse el caso que para una ecuación diferencial exista alguna solución

que no se obtiene asignando valores específicos a los parámetros en una familia

de soluciones. A tal solución se le llama solución singular

• La terminología de solución completa se usa algunas veces para denotar

todas las soluciones, esto es, la solución general junto con las soluciones

singulares, si hay alguna


• Para todo número real C, la función 2

2 21f(x) x C

4

= +

con x R∈


es solución de la ecuación y ' x y= . Para ésta ecuación la función g(x) 0= ,

x R∈ , es solución. Sin embargo, no existe C R∈ tal que la función g se pueda

obtener a partir de la función f. Así, g(x) 0= es una solución singular para la

ecuación y ' x y= .

• Para todo número real C, la función 3f(x) x C= + es solución de la ecuación

2y ' 3x= en I R= , porque al sustituir f '(x) en lugar de y ' se obtiene la

identidad 2 23x 3x= . Entonces, a la función 3f(x) x C= + , se le llama solución

general de 2y ' 3x= , ya que toda solución es de esa forma. Observe que en la

solución general 3f(x) x C= + aparece el parámetro arbitrario C. Una solución

particular de 2y ' 3x= se obtiene asignándole un valor específico a dicho

parámetro.

20. Ejemplo ilustrativo. Considere dos números reales arbitrarios 1C , 2C . Demuestre

que 2x 2x1 2f(x) C e C e−= + es solución de y '' 4y 0,− = en I R= .

Solución.

Como 2x 2x1 2f '(x) 2C e 2C e−= − y 2x 2x

1 2f ''(x) 4C e 4C e−= + , al reemplazar f(x) y

f ''(x) en y '' 4y 0− = se tiene que f ''(x) 4f(x) 0− = , es decir,

2x 2x 2x 2x1 2 1 2(4C e 4C e ) 4(C e C e ) 0− −+ − + = .

Esto demuestra que f(x) es una solución de y '' 4y 0− = . La solución f(x) se llama

solución general de y '' 4y 0− = . Note que la ecuación diferencial es de orden 2 y

que la solución general contiene dos parámetros arbitrarios 1C , 2C .

Se va a calcular la solución particular de y '' 4y 0− = que satisface la condición

y 3= si x 0= , y ' 0= (esto suele escribirse y(0) 3= , y '(0) 0= , es decir, f(0) 3= ,

f '(0) 0= ). De esta manera

2.0 2.01 2 1 2

2.0 2.01 2 1 2

f(0) C e C e C C 3

f '(0) 2C e 2C e 2C 2C 0

−

−

= + = + =

= − = − =.

El sistema de ecuaciones a resolver es

1 2

1 2

C C 3

2C 2C 0

+ = − =

.

De aquí se obtiene

1 2

3C C

2= = ,

entonces la solución particular para las condiciones iniciales dadas

(y(0) 3, y '(0) 0)= = es: 2x 2x3 3f(x) e e

2 2−= + .

21. Problema de valores iniciales (PVI). Es el problema que consiste en encontrar la solución y y(x)= de la ecuación

n n 1

n n 1

d y dy d yf x,y, , ,

dxdx dx

−

−

=

⋯


con (n 1)0 0 0 1 0 n 1y(x ) , y '(x ) , ,y (x )−

−= α = α = α⋯ , donde 0 0 1 n 1x , , , , −α α α⋯ son

números reales dados. Los valores de y(x) y sus primeras n 1− derivadas en un

solo punto 0x se llaman condiciones iniciales.

22. Ejemplo ilustrativo. Suponga que se quiere determinar una curva C del plano

pasando por el punto (1,1) y tal que la pendiente de la tangente en cada uno de

sus puntos sea igual a la abscisa del punto correspondiente.

Solución. Sea y y(x)= la ecuación, en forma explícita, de la curva C a determinar. Si

(x,y(x)) es un punto cualquiera de C, la pendiente de la recta tangente en el

mismo es igual a dy(x) dx y por lo tanto, de acuerdo al enunciado del problema,

se verifica dy(x)

xdx

= .

Luego, el problema consiste en encontrar una función y(x) tal que satisfaga la

ecuación anterior en todo punto x de su dominio y además y(1) 1,= ya que C pasa

por el punto (1,1).

23. Ejemplo ilustrativo. Demuestre que x 2x1 2y C e C e− −= + es solución de

2

2

d y dy3 2y 0

dxdx+ + =

para las constantes arbitrarias 1 2C , C y obtenga una solución particular que

satisfaga las condiciones y(0) 1, y '(0) 1= = .

Solución. x 2x

1 2

x 2x1 2

2x 2x

1 22

y C e C e

dyy ' C e 2C e

dx

d yy '' C e 4C e

dx

− −

− −

− −

= +

= = − −

= = +

Se debe probar que 2

2

d y dy3 2y 0

dxdx+ + = .

En efecto: x 2x x 2x x 2x

1 2 1 2 1 2C e 4C e 3( C e 2C e ) 2(C e C e ) 0− − − − − −+ + − − + + =

x 2x x 2x x 2x1 2 1 2 1 2C e 4C e 3C e 6C e 2C e 2C e 0− − − − − −+ − − + + =

Por otro lado, si y(0) 1, y '(0) 1= = se tiene:

1 2

1 2

C C 1

C 2C 1

+ =− − =

,

de aquí se obtiene 1 2C 3, C 2,= = − entonces la solución particular para las

condiciones iniciales dadas es x 2xy 3e 2e− −= − .


24. Interpretaciones para el PVI. Cuando el PVI se considera para una ecuación de

primer o segundo orden, se tiene una interpretación geométrica bien sencilla. Para

el PVI

( )0 0

dyf x,y

dx

y(x )

= = α

se busca una solución de la ecuación, definida en un cierto intervalo I que contiene

a 0x , de modo que su gráfica pasa por el punto 0 0(x , )α . Para el PVI

2

2

0 0 0 1

d yf(x,y,y ')

dx

y(x ) , y '(x )

=

= α = α

se busca una solución, definida en un cierto intervalo I que contiene a 0x , de modo

que su gráfica pasa por el punto 0 0(x , )α y además la pendiente de la curva en ese

punto sea el número 1α .

25. Observación de interés. En los ejemplos anteriores las soluciones exhibidas vienen dadas en forma explícita. Esto significa que se tienen funciones y f(x)= , en las

que la variable dependiente se expresa solamente en términos de la variable

independiente y constantes, que son soluciones. En muchas ocasiones, sobre todo

cuando se intentan resolver ecuaciones no lineales, los métodos de solución no conducen en forma directa a una solución explícita y f(x)= . En estos casos, una

solución de la ecuación (1) podría venir definida en forma implícita. Esto significa que existe una relación del tipo G(x,y) 0= , donde se tiene que y esta definida en

forma implícita como función de x, con x en cierto intervalo, y que además

satisface (1).

26. Ejemplo ilustrativo. Para 2 x 2− < < la relación 2 2x y 4 0+ − = es una solución

implícita de la ecuación diferencial dy x

dx y= − .

En efecto, derivando implícitamente se obtiene

2 2d d d(x ) (y ) (4) 0

dx dx dx+ − = ,

dy2x 2y 0

dx+ = o bien

dy x

dx y= − .

La relación 2 2x y 4 0+ − = define dos funciones en el intervalo 2 x 2− < < :

2y 4 x= − , 2y 4 x= − − .

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