Ondas ElectromagnéticasClase 12

18-Julio-2014

Ondas Electromagnéticas

Como la mayoría de las regiones de interés son libres de carga, se supone que 𝜌 =0. Por otro lado, hay que suponer, materiales lineales isotrópicos de tal manera que𝐷 = 𝜖𝐸, 𝐵 = 𝜇𝐻 𝑦 𝐽𝐶 = 𝜎𝐸.

Isotrópico quiere decir que no depende de la elección de los ejes. no importa paraque lado estés midiendo cierta propiedad o magnitud física siempre va a medir lomismo.

Un ejemplo sencillo, se asume al espacio isotrópico, es decir, medir un metro haciaarriba, es lo mismo que medirlo de lado, diagonal, etc. Un ejemplo en donde no secumple la isotropía, si tu tienes un material, y es mas difícil estirarlo de izquierda aderecha que de arriba abajo, pues se dice que dicha propiedad de estirarlo(rigidez) es anisotropía.

Ondas Electromagnéticas

En electromagnetismo algunas de las propiedades que puedes medir son:conductividad, susceptibilidad magnética, susceptibilidad eléctrica, resistividad, etc.Si esas propiedades no dependen de la dirección (u orientación de los ejes) se diceque el cuerpo es isotrópico.

Por ejemplo si tu cuerpo tiene igual valor de conductividad cuando la corriente loatraviesa de arriba a abajo, que de izquierda a derecha (y en general de todas lasposibles direcciones) se dice que ese es un cuerpo isotrópico con respecto a laconductividad.

Ecuaciones de Onda

Con base en los principios anteriores y suponiendo que tanto 𝐸 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐻 sondependientes del tiempo 𝑒𝑗𝜔𝑡, las ecuaciones de Maxwell se transforman en:

Ahora aplicamos la identidad vectorial

𝛻 × 𝐻 = 𝜎 + 𝑗𝜔𝜖 𝐸 1𝛻 × 𝐸 = −𝑗𝜔𝜇𝐻 2𝛻 ∙ 𝐸 = 0 3𝛻 ∙ 𝐻 = 0 (4)

𝛻 × 𝛻 × 𝐴 ≡ 𝛻 𝛻 ∙ 𝐴 − 𝛻2𝐴

Ecuaciones de Onda

Donde, tan solo en coordenadas cartesianas

Tomando el rotacional de (1) y (2), y utilizando (3) y (4)

Ahora sustituyendo 𝛻 × 𝐸 𝑦 𝛻 × 𝐻 de (2) y (1), se obtienen las ecuacionesvectoriales

𝛻2𝐴 = 𝛻2𝐴𝑥 𝑎𝑥 + 𝛻2𝐴𝑦 𝑎𝑦+ 𝛻2𝐴𝑧 𝑎𝑧

𝛻2𝐻 = 𝛾2𝐻 𝛻2𝐸 = 𝛾2𝐸

−𝛻2𝐻 = 𝜎 + 𝑗𝜔𝜖 𝛻 × 𝐸−𝛻2𝐸 = −𝑗𝜔𝜇 𝛻 × 𝐻

Ecuaciones de Onda

Donde 𝛾2 = 𝑗𝜔𝜇 𝜎 + 𝑗𝜔𝜖 . La constante de propagación, 𝛾, es la raíz cuadrada de𝛾2 cuyas partes real e imaginaria son positivas:

con

γ = 𝛼 + 𝑗𝐵

𝛼 = 𝜔𝜇𝜖

21 +

𝜎

𝜔𝜖

2

− 1

𝛽 = 𝜔𝜇𝜖

21 +

𝜎

𝜔𝜖

2

+ 1

Ecuaciones de Onda

La constante 𝛼 se llama factor de atenuación y 𝛽 se llama constante de crecimientode fase. 𝛾 (Gamma) tiene unidades 𝑚−1 , sin embargo, es costumbre dar

𝛼 𝑦 𝛽 𝑒𝑛𝑁𝑝

𝑚𝑦

𝑟𝑎𝑑

𝑚, respectivamente, donde el neper (Np) es una unidad

adimensional como el radián.

Soluciones en Coordenadas Cartesianas

La familiar ecuación escalar de onda en una dimensión

Tiene soluciones de la forma 𝐹 = 𝑓 𝑧 − 𝑈𝑡 𝑦 𝐹 = 𝑔 𝑧 + 𝑈𝑡 , donde 𝑓 𝑦 𝑔 sonfunciones arbitrarias. Estas representan ondas que viajan con velocidad 𝑈 en lasdirecciones +𝑧 𝑦 − 𝑧, respectivamente, de acuerdo a la siguiente figura.

𝜕2𝐹

𝜕𝑧2=

1

𝑈2

𝜕2𝐹

𝜕𝑡2

Soluciones en Coordenadas Cartesianas

𝑓 𝑧𝑜

𝑈𝑡1

𝑓 𝑧1 − 𝑈1𝑡1

𝑡 = 𝑡1𝑡 = 0

Soluciones en Coordenadas Cartesianas

En particular, si se supone una variación armónica de tiempo 𝑒𝑗𝜔𝑡, la ecuación deonda se convierte en

Con soluciones (incluyendo el factor temporal) de la forma

O en las partes real o imaginaria de estas.

𝜕2𝐹

𝜕𝑧2= −𝛽2𝐹 𝛽 =

𝜔

𝑈

𝐹 = 𝐶𝑒𝑗 𝜔𝑡−𝛽𝑧 𝐹 = 𝐷𝑒𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧

Soluciones en Coordenadas Cartesianas

𝐶𝑡 = 0

𝑡 =𝜋

2𝜔

𝑑

𝐹

𝑧

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2

Soluciones en Coordenadas Cartesianas

La figura 2 muestra una de estas soluciones, 𝐹 = 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 , 𝑒𝑛 𝑡 = 0 𝑦 𝑒𝑛 𝑡 =𝜋

2𝜔;

durante este intervalo de tiempo la onda se ha movido una distancia 𝑑 =𝑈𝜋

2𝜔

= 𝜋/2𝛽 a

la derecha. Para cualquier 𝑡 fijo, la forma de onda se repite cuando 𝑧 cambia a 2𝜋/𝛽. Ladistancia

Se llama longitud de onda. De esta manera en la figura 2, la onda avanzado un cuartode longitud de onda a la derecha. La longitud de onda y la frecuencia 𝑓 = 𝜔/2𝜋,guardan entre si la relación conocida

También, 𝜆 = 𝑇𝑈 donde 𝑇 =1

𝑓= 2𝜋/𝜔 es el periodo

𝜆 =2𝜋

𝛽

𝜆𝑓 = 𝑈

Soluciones en Coordenadas Cartesianas

Las ecuaciones vectoriales de onda tienen soluciones similares a las ya discutidas

anteriormente. Como los vectores unidad 𝑎𝑥, 𝑎𝑦 𝑦 𝑎𝑧 en coordenadas cartesianastienen direcciones fijas, la ecuación de onda para 𝐻 puede reescribirse bajo laforma

De especial interés son las soluciones (ondas planas) que dependen solo de una

coordenada espacial, digamos 𝑧.

𝜕2𝐻

𝜕𝑥2+𝜕2𝐻

𝜕𝑦2+𝜕2𝐻

𝜕𝑧2= 𝛾2𝐻

Soluciones en Coordenadas Cartesianas

La ecuación se convierte entonces en

Dando

Las soluciones correspondientes para el campo eléctrico son

𝑑2𝐻

𝑑𝑧2= 𝛾2𝐻

𝐻 = 𝐻𝑜𝑒±𝑦𝑧𝑎𝐻 ó 𝐻 𝑧, 𝑡 = 𝐻𝑜𝑒

±𝑦𝑧𝑒𝑗𝜔𝑡𝑎𝐻

𝐸 = 𝐸𝑜𝑒±𝑦𝑧𝑎𝐸 ó 𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸𝑜𝑒

±𝑦𝑧𝑒𝑗𝜔𝑡𝑎𝐸

Soluciones en Coordenadas Cartesianas

Aquí 𝑎𝐻 𝑦 𝑎𝐸 son vectores unitarios. La cantidad compleja 𝛾 se definió anteriormente

Se demuestra que

Es decir que ningún campo tienen componente en la dirección de propagación.

Siendo esto así se pueden rotar siempre los ejes para colocar uno de los campos,digamos 𝐸 a lo largo del eje 𝑥. Entonces se demuestra que 𝐻 yace a lo largo del eje 𝑦.

La solución de onda plana que se acaba de obtener depende, vía 𝛾, de las propiedadesdel medio 𝜇, 𝜖 𝑦 𝜎

𝑎𝐻 ∙ 𝑎𝑧 = 𝑎𝐸 ∙ 𝑎𝑧 = 0

Soluciones para medios parcialmente conductores

Para una región de poca conductividad (ej.: suelo húmedo, agua de mar), lasolución de la ecuación de onda E es

La razón 𝐸/𝐻 es característica del medio (también dependen de la frecuencia). Mas

específicamente, para ondas 𝐸 = 𝐸𝑥𝑎𝑥 , 𝐻 = 𝐻𝑦𝑎𝑦 que se propaga en la dirección+ 𝑧, la impedancia intrínseca, 𝜂, del medio se define por:

De esta manera

𝐸 = 𝐸𝑜𝑒−𝛾𝑧𝑎𝑥

𝜂 =𝐸𝑥𝐻𝑦

𝜂 =𝑗𝜔𝜇

𝜎 + 𝑗𝜔𝜖

Soluciones para medios parcialmente conductores

Donde la raíz cuadrada puede escribirse en forma polar 𝜂 ∠𝜃 con

(Si la onda se propaga en la dirección −𝑧,𝐸𝑥

𝐻𝑦= −𝜂. En efecto, 𝛾 se reemplaza por

− 𝛾 y se usa la otra raíz cuadrada).

𝜂 =𝜇/𝜖

4

1 +𝜎𝜔𝜖

2𝑡𝑎𝑛2𝜃 =

𝜎

𝜔𝜖𝑦 0𝑜 < 𝜃 < 45𝑜

Soluciones para medios parcialmente conductores

Al introducer el factor tiempo 𝑒𝑗𝜔𝑡 y al escribir 𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 se obtiene las siguientesecuaciones para campos en una región parcialmente conductora:

El factor 𝑒−𝛼𝑧 atenúa las magnitudes de 𝐸 𝑦 𝐻 cuando se propagan en dirección +𝑧. Laexpresión para 𝛼,esto demuestra que existe atenuación a menos que la conductividad 𝜎sea cero, lo que solo es el caso de dieléctricos perfectos o de espacio vacío.

𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸𝑜𝑒−𝛼𝑧𝑒𝑗 𝜔𝑡−𝛽𝑧+𝜃 𝑎𝑥 o 𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸𝑜𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜃 𝑎𝑥

𝐻 𝑧, 𝑡 =𝐸𝑜

𝜂𝑒−𝛼𝑧𝑒𝑗 𝜔𝑡−𝛽𝑧+𝜃 𝑎𝑦 o 𝐻 𝑧, 𝑡 =

𝐸𝑜

𝜂𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜃 𝑎𝑦

Soluciones para medios parcialmente conductores

De la misma manera, la diferencia de fase temporal 𝜃, 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐸 𝑧, 𝑡 𝑦 𝐻(𝑧, 𝑡)desaparece solo cuando 𝜎 es cero. La velocidad de propagación y la longitud deonda están dadas por:

Si se conoce la velocidad de propagación 𝜆𝑓 = 𝑈 puede usarse para determinar lalongitud de onda 𝜆.

𝑈 =𝜔

𝛽=

1

𝜇𝜖2 1 +

𝜎𝜔𝜖

2+ 1

𝜆 =2𝜋

𝛽=

2𝜋

𝜔 1 +𝜎𝜔𝜖

2+ 1

Soluciones para medios parcialmente conductores

El termino 𝜎/𝜔𝜖 2 reduce tanto el valor de la velocidad como el de la longitud deonda, de lo que serían en el espacio vacío o dieléctricos perfectos, donde 𝜎 = 0.Obsérvese que el medio es dispersivo, es decir, ondas con frecuencias diferentes 𝜔tienen diferentes velocidades 𝑈.

Problemas

Problema 1

Una onda viajera está descrita por 𝑦 = 10𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑧 − 𝜔𝑡 . Dibuje en 𝑡 = 0 𝑦 𝑒𝑛 𝑡 = 𝑡1

cuando ha avanzado𝜆

8, si la velocidad es de 3 × 108 𝑚/𝑠 y la frecuencia angular es

𝜔 = 106𝑟𝑎𝑑

𝑠, 𝑏)𝜔 = 2 × 106 𝑟𝑎𝑑/𝑠 y el mismo 𝑡1

Problemas

Solución Inciso a

La onda avanza 𝜆 en un periodo, 𝑇 = 2𝜋/𝜔. Por tanto tenemos que

𝑡1 =𝑇

8=

2𝜋/𝜔

8=

𝜋

4𝜔

𝜆

8= 𝑐𝑡1 = 3 × 108

𝜋

4 106= 236m

𝑡 = 0

𝑡 = 𝑡110

𝜔 = 106

𝑧

𝑦

𝜆/2 𝜆

236𝑚

Problemas

Solución inciso b

La onda avanza 𝜆 en un periodo, 𝑇 = 2𝜋/𝜔. Por tanto tenemos que

𝑡1 =𝑇

8=

2𝜋/𝜔

8=

𝜋

4𝜔

𝜆

8= 𝑐𝑡1 = 3 × 108

𝜋

4 2×106= 118m

𝑡 = 0

𝑡 = 𝑡110

𝜔 = 2 × 106

𝑧

𝑦

𝜆/2 𝜆

118𝑚

Soluciones para dieléctricos perfectos

Para un dieléctrico perfecto, 𝜎 = 0 y así

Como ∝= 0 no hay atenuación de las ondas 𝐸 𝑦 𝐻. El angula cero sobre 𝜂 produceun 𝐻 que esta en fase temporal con 𝐸 en cada localización fija. Suponiendo 𝐸 en𝑎𝑥 y la propagación en 𝑎𝑧 , las ecuaciones de campo pueden obtenerse comolimites, como se denota a continuación:

𝛼 = 0 𝛽 = 𝜔 𝜇𝜖 𝜂 =𝜇

𝜖∠00

𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸𝑜𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝛽𝑧)𝑎𝑥

𝐻 𝑧, 𝑡 =𝐸𝑜𝜂𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝛽𝑧)𝑎𝑦

Soluciones para dieléctricos perfectos

La velocidad de la onda y la longitud de la onda son:

Para espacio vacío

𝑈 =𝜔

𝛽= 4𝜋 × 10−7

𝐻

𝑚𝜖 = 𝜖𝑜 = 8.854 ×

10−12𝐹

𝑚≈10−9

36𝜋𝐹/𝑚

𝜂 = 𝜂𝑜 ≈ 120𝜋 Ω 𝑦 𝑈 = 𝑐 ≈ 3 × 108 𝑚/𝑠

Problemas

Problema 2

En el espacio vacío, 𝐸 𝑧, 𝑡 = 103𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎𝑦 (𝑉/𝑚). Obtenga 𝐻(𝑧, 𝑡)

Problemas

Solución

Un examen de la fase, 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧, revela que la dirección de la propagación es +𝑧, 𝐻debe tener dirección −𝑎𝑥. Por tanto

𝐸𝑦

−𝐻𝑧= 𝜂𝑜 = 120𝜋 Ω ó 𝐻𝑥 = −

103

120𝜋𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎𝑥 𝐴/𝑚

𝑦 𝐻𝑧 𝑧, 𝑡 = −103

120𝜋𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎𝑥 𝐴/𝑚

Problemas

Problema 3

Sea la onda, en el espacio vacío, 𝐸 𝑧, 𝑡 = 103𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎𝑦 (𝑉/𝑚). Determine laconstante de propagación 𝛾 sabiendo que la frecuencia es que la frecuencia es 𝑓 =95.5𝑀ℎ𝑧

Problemas

Solucion

En general, 𝛾 = 𝑗𝜔𝜇 𝜎 + 𝑗𝜔𝜖 En el espacio vacío, 𝜎 = 0, así que:

𝛾 = 𝑗𝜔 𝜇0𝜖0 = 𝑗 2𝜋𝑓/𝑐 = 𝑗2𝜋 95.5×106

3×108= −𝑗2𝑚−1

Obsérvese que este resultado demuestra que el factor de atenuación es 𝛼 = 0 y laconstante de defasaje es 𝛽 = 2 𝑟𝑎𝑑/𝑚

Problemas

Problema 4

El campo eléctrico de una onda plana de 1MHz que viaja en la dirección +𝑧 en aire

apunta en la dirección 𝑥. Si el valor pico de 𝐸 es de 1.2𝜋𝑚𝑉

𝑚y 𝐸 es máximo

cuando 𝑡 = 0 𝑦 𝑧 = 50𝑚, obtenga expresiones para 𝐸 𝑧, 𝑡 𝑦 𝐻 𝑧, 𝑡 y luego traceuna grafica de estas variaciones en función de 𝑧 𝑐𝑜𝑛 𝑡 = 0.

Problemas

Solución

Con 𝑓 = 1𝑀𝐻𝑧, la longitud de onda en el aire es:

𝜆 =𝑐

𝑓=

3×108

1×106= 300 𝑚

Y el numero de onda correspondiente es 𝛽 =2𝜋

𝜆=

2𝜋

300𝑟𝑎𝑑/𝑚. La expresión general

para un campo eléctrico dirigido hacia 𝑥 que viaja en la dirección de +𝑧 aparece enla ecuación como

𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸𝑜𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜃 𝑎𝑥 ⇒ 𝐸 𝑧, 𝑡 = 1.2𝜋𝑐𝑜𝑠 2𝜋 × 106𝑡 −2𝜋

300𝑧 + 𝜃 𝑎𝑥

𝑚𝑉

𝑚

El campo 𝐸 𝑧, 𝑡 es máximo cuando el argumento de la función coseno es igual acero o a múltiplos de 2𝜋. Con 𝑡 = 0 𝑦 𝑧 = 50𝑚, esta condición es

Problemas

Solución

−2𝜋×50

300+ 𝜃 = 0 𝑜 𝜃 =

𝜋

3

𝐸 𝑧, 𝑡 = 1.2𝜋𝑐𝑜𝑠 2𝜋 × 106𝑡 −2𝜋

300𝑧 +

𝜋

3𝑎𝑥

𝑚𝑉

𝑚

Y de acuerdo con

𝐻 𝑧, 𝑡 =𝐸𝑜

𝜂𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜃 𝑎𝑦 ⟹

𝐻 𝑧, 𝑡 =1.2𝜋×10−3

120𝜋𝑐𝑜𝑠 2𝜋 × 106𝑡 −

2𝜋𝑧

300−

𝜋

3𝑎𝑦 𝜇𝐴/𝑚

𝐻 𝑧, 𝑡 = 10𝑐𝑜𝑠 2𝜋 × 106𝑡 −2𝜋𝑧

300−

𝜋

3𝑎𝑦 𝜇𝐴/𝑚

Donde se utilizo la aproximación 𝜂𝑜 ≈ 120𝜋 Ω 𝑐𝑜𝑛 𝑡 = 0 tenemos que

Problemas

Solución

𝐸 𝑧, 0 = 1.2𝜋𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑧

300−

𝜋

3𝑎𝑥 𝑚𝑉/𝑚

𝐸 𝑧, 0 = 10𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑧

300−

𝜋

3𝑎𝑦 𝑚𝑉/𝑚

Variaciones espaciales de

𝐸 𝑦 𝐻 𝑐𝑜𝑛 𝑡 = 0 para la ondaPlana del ejemplo